УДК 621.671 комбинированными отводами

УДК 621.671
Исследование и расчет стационарной радиальной силы в ступенях с кольцевыми и
комбинированными отводами
Е.И. Янкин, к.т.н.
(ВНИИАЭН, г. Сумы)
При создании насосов большой единичной мощности с повышенной надежностью необходимо решать
задачи как конструкторско-технологического, так и гидравлического характера. К последним относится
определение гидродинамических сил, действующих на элементы конструкции, которые необходимо знать,
чтобы учитывать их в расчетах. К таким силам относятся радиальные силы, действующие на рабочие
колеса. Эти силы вызывают прогиб вала и поэтому должны учитываться при выборе величины зазора для
исключения контакта в щелевых уплотнениях между ротором и статором, а также при расчете опор ротора.
Причины возникновения стационарных радиальных сил – неосесимметричность параметров потока на
входе и выходе рабочего колеса, обусловленная неосесимметричными геометрическими формами
подводящих и отводящих устройств.
Рисунок 1 - Расчетная схема ступени с кольцевой камерой
Кольцевые и комбинированные отводы (последние представляют осесимметричный лопаточный отвод с
кольцевой камерой и радиальным патрубком) имеют неосесимметричные геометрические формы (рисунки 1
и 2), поэтому в насосах (ступенях) с такими отводами на рабочие колеса действуют гидродинамические
стационарные радиальные силы.
Рисунок 2 - Расчетная схема ступени с комбинированным отводом
Общие уравнения для расчета проекций на оси Х и У радиальной силы, действующей на рабочее колесо,
имеют вид [1]:
2
Rx  b2 r2

0
l 2
pст cosd  
  r cosdlp
0 0
ст
cosd  b2r2 
2
 2

   2 cosd    sin d   ,


0
0



2
Ry  b2 r2
(1)
l 2
p
ст
0
sin d  
  r cosdlp
ст
sin d  b2r2 
0 0
2
 2

2

   sin d    cosd   ,


0
0



где
pст - статическое давление;
r2 - наружный радиус рабочего колеса;
b2 - ширина колеса на выходе;
b2 - ширина колеса на выходе с учетом толщины дисков;
 ρ - радиальная составляющая скорости;
 φ – тангенциальная составляющая скорости;
dl - элемент боковой поверхности диска;
γ - угол между нормалью к боковой поверхности диска и плоскостью, нормальной к оси вала
(рисунок 3).
Рисунок 3 - Расчетная схема к выводу уравнений (1)
Строгое решение задачи по определению величин, входящих в формулы (1), в настоящее время
встречает известные трудности. Поэтому решение может быть найдено только в приближенной постановке.
Так как диски рабочих колес с коэффициентом быстроходности ns<250 практически перпендикулярны к
оси вала, то γ≈90˚, а, следовательно, члены с двойными интегралами в уравнениях (1) будут равны нулю. В
диагональных колесах поверхность покрывающего диска рабочего колеса близка к поверхности наружного
радиуса, поэтому сделано допущение, что давление, действующее на эту поверхность, будет таким же, как
на выходе из рабочего колеса. Следовательно, ее можно учесть, увеличив толщину дисков рабочего колеса –
S на радиусе r2 так, чтобы дополнительная площадь цилиндрической поверхности дисков рабочего колеса
была равна площади боковой проекции покрывающего диска.
При таких допущениях для расчета радиальных сил по уравнениям (1) необходимо и достаточно
определить осредненные по ширине b параметры потока только на выходе из рабочего колеса, которые
можно получить в результате решения плоской задачи, для решения которой была принята следующая
расчетная схема:
- трехмерный реальный поток в кольцевом отводе заменен плоским потенциальным;
- рабочее колесо заменено вихреисточником, расположенным в центре круга. Мощности
вихреисточника Q и Г соответствуют подаче и циркуляции скорости на выходе из рабочего колеса. В
случае комбинированного отвода эти параметры соответствуют потоку на выходе из лопаточного
отвода.
Рассмотрена задача о потенциальном течении жидкости в круге от вихреисточника, помещенного в
центре, с выходом жидкости через щель, расположенную на границе круга (рисунок 4). Задача решена в
предположении произвольного распределения радиальной составляющей скорости на границе круга  R , а
осредненное значение тангенциальной скорости являлось параметром.
В [2] получены формулы для составляющих скоростей в кольцевой камере для принятой расчетной
схемы течения в плоскости, перпендикулярной оси вращения рабочего колеса, при следующих граничных
условиях:
на окружности r=RK,



  R  const,  2    2 ,
 R    



 R  0,     2  .

2
2


 

2  * n 1
n
 ,

sin
cos
n

 2 *
 R

n
2
n 1



  


* n 1 

2
   u* 

n
n 1

*

sin

n
sin n   R .

2

(2)
(3)
Рисунок 4 – Расчетная схема (математическая) к задаче о потенциальном течении жидкости в круге от вихреисточника
Определим модуль скорости и давление на окружности
   2  2 ,
(4)
тогда
pст  p0 
2
2
.
(5)
В формулах (2-5) приняты следующие обозначения:
β – центральный угол дуги, через которую жидкость вытекает из камеры (рисунок 4);
r
* 
- отношение текущего радиуса к наружному радиусу камеры;
RK


,


2r  R

здесь Г – циркуляция скорости в кольцевой камере;
 R – радиальная составляющая скорости в выходном патрубке, которая при выводе формул (2 и 3)
принята постоянной;
ρ – плотность жидкости;
p0 – полное давление на выходе из рабочего колеса, принимается постоянным для каждого режима.
С учетом принятых выше допущений, заменив рст эквивалентной величиной (примут вид:
2
' 2
2


b

Rx  r2  2 22 cosd  b2  22 cosd  2 2 sin d   ,
2




 0
0
0




 2
2
), уравнения (1)
2
' 2
2


b

Ry  r2  2 22 sin d  b2  22 sin d  2 2 cosd   . (6)
2




 0
0
0




Суммарная сила
R
Rx2  Ry2 .
Направление силы
  arctg
Ry
Rx
.
Здесь b2'  b2  S,
где S – толщина дисков рабочего колеса с учетом сделанного выше допущения.
Анализ формул (2,3 и 6) показывает, что радиальная сила зависит от режима работы ступени, радиуса
камеры – Rк и угла β или диаметра патрубка – R=f(Rк, β, Г ,Q).
Формулами (2, 3 и 6) можно пользоваться для расчета радиальной силы только в случае, если ширина
кольцевой камеры равна ширине рабочего колеса на выходе (Вк=b2), а выходное отверстие имеет форму
прямоугольника, изогнутого по дуге наружного радиуса кольцевой камеры, и шириной, равной b2. В
практике таких камер нет и такую схему можно рассматривать как одну из возможных расчетных вариантов.
Поэтому рассмотрим другую расчетную схему, которая представляет кольцевую камеру прямоугольного
сечения, внутренний диаметр которой равен наружному диаметру рабочего колеса, а ширина камеры Вк не
равна ширине рабочего колеса. Такая расчетная схема более близка к действительной, но в этом случае
необходимо установить зависимости между скоростями в кольцевой камере, которые определяются по
формулам (2 и 3), и скоростями на выходе из рабочего колеса при внезапном изменении ширины потока на
границе выхода из рабочего колеса и входа в кольцевую камеру.
Делается допущение, что радиальный размер δ2, на котором происходит преобразование скорости от
внезапного расширения, мал, т.е. преобразование потока происходит на радиусе r2.
Тогда на кольцевой поверхности с радиусом r2 из условия неразрывности течения можно написать
уравнение
2
r2 BK

2
0
где
2 

2  d   r2b2 2'  d   Q ,
(7)
0
- радиальная составляющая скорости на выходе из рабочего колеса;
2  - радиальная составляющая скорости в кольцевой камере.
Делается допущение, что окружная неравномерность скоростей в кольцевой камере полностью
передается потоку на выходе из рабочего колеса, т.е. 2'  имеет такую же неравномерную по окружности
составляющую, как и скорость 2  . Кратко поясним возможность такого допущения.
На выходе из рабочего колеса поток неравномерный в пределах межлопастного шага. Но эта
неравномерность осесимметричная и не может вызвать стационарную радиальную силу. Поэтому в данной
задаче эта неравномерность не учитывается, а поток на выходе из рабочего колеса, в случае
осесимметричного отвода, считается «условно» равномерным. На границе кольцевой камеры и рабочего
колеса на «условно» равномерный поток накладывается окружная неравномерность, обусловленная
неосесимметричным отводом; здесь же происходит и преобразование скоростей из-за изменения ширины
потока. В первом приближении можно допустить, что окружная неравномерность полностью передается
«условно» равномерному потоку на выходе из рабочего колеса. Вероятно, что эта передача должна
происходить с уменьшением неравномерности, как и передача любого другого качества, но определить
степень уменьшения переданной неравномерности потока не представляется возможным, поэтому и
делается допущение о полной передаче окружной неравномерности.
Сделанное допущение позволяет записать зависимость между скоростями 2  и 2  в таком виде
2   2   2  ,
где 2   const для каждого режима.
2
Подставив полученное значение для 2'  в уравнение (7) и имея в виду, что r2 BK
   d  Q , получим
2
0
2  
1  b2
Bк Q
.
2r2b2
Окружная составляющая скорости на границе рабочего колеса и камеры принимается неизменной - 2 .
Заменив в (6) 2  на 2'  , получим уравнения для составляющих радиальной силы в ступени с
кольцевым отводом, у которого ширина камеры Вк  b2. В окончательном виде уравнения будут иметь вид:
2
2
 S
1
S

1
S  2
 2 cosd     1  
Rx  r2b2 
  22 cosd    
 2b2 2  0
 2 2b2  0
 b2



2
 2 

2
2
cosd  
0
2
    sin d       sin d
2
2
2
0
2
0
2

 ,
2
 S
1
S

1
S  2
 2 sin d     1  
Ry  r2b2 
  22 sin d    
2
b
2
2
2
b
b
2 0
0

 2

 2


2

 2  sin d  
2
2 2 cosd  2  2 cosd   .

0

0
(8)
Для рабочих колес, у которых диски перпендикулярны к оси вращения рабочего колеса, S=2δ (δ –
толщина диска рабочего колеса на выходе).
Для комбинированных отводов (рисунок 2), сделав такие же допущения, как и в случае кольцевой
камеры, радиальная составляющая скорости на выходе из рабочего колеса
2   4   4   2   4 

r b
1  2 2
r4 Bк

2r2b2


 Q,
(9)
где 4  - радиальная скорость в кольцевой камере на поверхности с радиусом;
r4 - выход из лопаточного отвода;
 1  b4



B
к 
4   
Q - разность между радиальными скоростями в кольцевой камере и на выходе из
2r 4
лопаточного отвода;

br 
1  2 2 
b4r4 
2   
Q - разность между радиальными скоростями на входе и выходе лопаточного отвода.
2r2b2
Окружная составляющая скорости на выходе из рабочего колеса 2  f   определяется из условия,
что лопаточный отвод изменяет окружную скорость на постоянную величину   
2  4
, т.е.
делается аналогичное допущение о том, что неравномерные по окружности части тангенциальных скоростей
на входе и выходе лопаточного отвода одинаковы. Такое допущение подтверждается сравнением
экспериментально полученных эпюр на входе и выходе лопаточного отвода в пределах одного шага.
Тогда
2   4   2   4  ,

где  2 
1
2
2

0
2 d  , 4 
1
2

2
   d - осредненные скорости.
4
0
Осредненные скорости определяются по интегральным параметрам ступени и ее геометрическим
характеристикам:
 4 
Г4
Qctg 4

,
2r4 2r4b4 4
 2 
gH Т
,
U2
где HТ – теоретический напор;
U2 - окружная скорость на выходе из рабочего колеса.
Если  u r 1  0,
Г4 – циркуляция на выходе из направляющего аппарата;
HТ - теоретический напор ступени,
тогда
 gH Т
Qctg 4 
,
2  4  

2r4b4 4 
 U2
(10)
где ψ4 – стеснение выходной площади лопатками отвода.
Обозначив вторые члены правой части уравнений (9,10) через   и  , получим уравнения для
расчета проекций радиальных сил, действующих на рабочие колеса, в ступенях с комбинированными
отводами в следующем виде:
2
2
 S
1
1
S  2
 4 cosd 
Rx  r2b2 
  42 cosd   

 2b2 2 
 2 2b2  0
0



2
2
S

S

   1   4  cosd     1  4 cosd  
 b2

 b2

0
0


2

   
4
4
0
4


   4    4 sin d   ,

2
(11)
2
 S
1
1
S  2
 4 sin d  
Ry  r2b2 
   2 4 sin d    

 2b2 2  0
 2 2b2  0


2
2
S

S

   1   4  sin d     1  4 sin d  
 b2

 b2

0
0


2

           cosd
4
4
4
4
0

 .
(12)
Действительные кольцевые камеры приводятся к расчетным из условия равенства их пропускных
способностей или из условия равенства в них средних скоростей.
В первом случае между геометрическими параметрами фактической и расчетной камер существует
зависимость
Rд

ri
а во втором случае
R
bdr
 Bk ln k ,
r
r2
Fд  Rk  r2 Bk ,
(13)
(14)
где Rд и Fд – соответственно наружный радиус и площадь радиального сечения действительной кольцевой
камеры. Rк и Вк – соответственно радиус и ширина расчетной кольцевой камеры. Этих зависимостей
недостаточно для однозначного определения всех геометрических размеров расчетной кольцевой камеры,
необходимых для расчета радиальной силы. Поэтому вводится дополнительное условие.
Выходное сечение расчетной камеры принимается в форме прямоугольника, изогнутого по наружному
радиусу расчетной камеры. Ширина выходного отверстия и камеры одинаковы; только в этом случае все
сечения камеры, перпендикулярные оси вращения, будут одинаковыми, а течение в такой камере можно
считать двухмерным.
1. Выходные отверстия действительных кольцевых камер, как правило, круглые. В этом случае в
расчетной схеме они заменяются равновеликими квадратами. Тогда
Bk  L 

2
Dп ,
(15)
где Dп - диаметр выходного патрубка действительной камеры;
L - длина дуги выходного отверстия в расчетной схеме.
2. Наружный радиус расчетной камеры равен наружному радиусу действительной камеры:
Rk  Rд .
(16)
Перечисленные выше условия совместно с уравнениями(13,14) не могут быть в общем случае
выполнены одновременно. Поэтому при обязательном выполнении зависимостей (13 или 14) для
однозначного определения всех геометрических параметров расчетной камеры достаточно задаться только
одним допущением (15 или 16).
Таким образом, одной действительной камере могут соответствовать несколько расчетных. Какая из
расчетных схем лучше отвечает характеру гидродинамического взаимодействия рабочего колеса с потоком
жидкости в действительной камере, может показать только сравнительный анализ расчетных и
экспериментально определенных радиальных сил.
В таблице 1 приведены формулы для определения необходимых геометрических размеров расчетных
камер для различных расчетных схем.
Таблица 1- Геометрические параметры и расчетные формулы
Номер
варианта
1
2
3
4
Геометрические параметры и расчетные формулы
DП=L

2

2
DП
DП
FП
BK
FП
BK
Bk

2
β
Rk
Ap
DП

DП
2
A
R
ln k
R2
Fk
Rk  R2
R2 e Bk
R2 
FK
BК
180  L
  RК
180  L
  RК
Rk
180  L
  RК
Rk
180  L
  RК
Примечание Fп – площадь выходного отверстия в камере;
Dп – диаметр выходного патрубка действительной кольцевой камеры;
L и Вк – параметры выходного отверстия расчетной камеры, равновеликого
выходному отверстию действительной камеры;
Rк – наружный радиус эквивалентной расчетной камеры;
β - центральный угол выходного отверстия в расчетной камере
На рисунках 5, 6 и 7 приведены экспериментальные графические зависимости радиальных сил от подачи
для кольцевого и комбинированного отводов. Там же приведены и расчетные зависимости радиальных сил
от подачи для различных расчетных схем.
Рисунок 5 - Расчетные и экспериментальная Rэ радиальные силы в зависимости от подачи в насосе с кольцевым отводом:
R1, R2, R3, R4 соответствуют номерам вариантов расчетных кольцевых камер из таблицы 1
Рисунок 6 – Расчетные и экспериментальная Rэ радиальные силы в насосах с комбинированными отводами
Рисунок 7 – Расчетные и экспериментальная Rэ радиальные силы в насосах с комбинированными отводами
Из сравнения графиков следует, что расчетные радиальные силы выражают основную закономерность
изменения экспериментально определенных радиальных сил в зависимости от режима и имеют с ними
удовлетворительное количественное соответствие.
Сравнительный анализ показал, что из приведенных вариантов расчетных схем лучшее количественное
соответствие с экспериментальными данными имеют 1-я и 2-я расчетные схемы.
Следует обратить внимание, что параметры расчетной камеры определяются, в конечном итоге, по
площади или пропускной способности фактической кольцевой камеры. Поэтому очень важно определить
только активную часть фактической кольцевой камеры, ее пропускную способность или площадь, и только
по ним определять геометрические размеры для расчетной камеры.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
Шемель В.Б., Агульнин Р.М. Исследование радиальных сил в центробежных насосах. -Труды ВИГМ.- Вып. ХХIV.- 1959.
Мэти (L.Matsch), Райс (W.Rice). Потенциальное течение между двумя параллельными круговыми дисками с подачей жидкости
через щель. TRAHSACTIONS, OF THE ASME, Series E.
Труды американского общества инженеров-механиков.- Издательство “МИР”, 1967.- С.129-131.
Янкин Е.И. Исследование и расчет радиальных сил в центробежных насосах с кольцевыми и комбинированными отводами. Автореферат дисс… на соискание ученой степени к.т.н.- Москва, 1983.
Поступила в редколлегию 20 сентября 2002г.