otnositelnost_mehanicheseogo_dvizheniya

Подготовка к ЕГЭ. Относительность движения.
Все кинематические понятия: траектория, координаты, путь, перемещение, скорость – имеют
определенную форму и численные значения в одной выбранной системе отсчета. При переходе от
одной системы отсчета к другой указанные величины могут измениться. В этом состоит так
называемая относительность движения, и в этом смысле механическое движение всегда
относительно.
Например: Катится колесо по поверхности Земли. (Рис.1)
У
У1
О1

А
А2

Х1
О
V

А1
Х

А3
Точка А обода колеса относительно координатной системы Х1О1У1 движется по окружности,
проходя за время одного оборота путь, равный длине этой окружности. Но относительно системы
ХОУ, связанной с поверхностью Земли, траекторией точки А является более сложная кривая А1 А2
А3, называемая циклоидой. За этот ж интервал времени точка А проходит путь, равный длине этой
кривой.
Пример 2: Представьте себе пассажира в движущемся равномерно относительно Земли вагоне,
выпускающего из рук мяч. Он видит, как мяч падает относительно вагона вертикально вниз с
ускорением g.
( Рис.2)
Относительность движения.
Свяжем с вагоном систему координат Х1О1У1. В этой системе координат за время падения мяч
пройдет путь AD = h, и пассажир видит, что мяч упал на пол со скоростью V1, направленной
вертикально вниз. Ну а что увидит наблюдатель, находящийся на неподвижной платформе, с
которой связана система координат ХОУ? Он заметит, что траекторией мяча является парабола
AD и мяч упал со скоростью V2 , направленной под углом к горизонту. И так мы отмечаем, что
наблюдатели в системах Х1О1У1 ХОУ обнаруживают различные по форме траектории, скорости,
пройденные пути при движении одного тела – мяча.
Связь координат точки в системах отсчета, движущихся друг относительно друга, описывается
преобразованиями Галилея. ( Формула сложения скоростей):
Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна геометрической сумме
скорости тела относительно подвижной системы и скорости самой подвижной системы
отсчета.

 

V  V1  V2 ;
V  абсолютная скорость тела ( скорость тела
относительно неподвижной системы отсчета)

V1  относительна скорость ( скорость тела относительно подвижной системы отсчета)

V2  переносная скорость ( скорость самой подвижной системы относительной неподвижной
системы отсчета.
Принцип относительности Галилея. Все инерциальные системы равноправны. Это
проявляется в том, что законы механики в них записываются одинаково.
1
Инерциальные системы отсчета – системы отсчета, которые двигаются равномерно,
прямолинейно относительно друг друга.
Относительная скорость двух тел.
Рассмотрим два тела А и В, имеющих в системе отсчета К скорости
 

V A иVB . Найдем скорость движения VBA тела В относительно тела А.
Для этого свяжем систему отсчета К1 с телом А (рис). Тогда искомая

относительная скорость VBA есть скорость тела относительно
системы К1
Воспользуемся далее законом сложения скоростей. Для данного
случая скорость тела В относительно системы отсчета К

представляет собой абсолютную скорость: V B = VA
Скорость тела А в системе отсчета К — это переносная скорость.


Наконец, скорость VBA — это есть относительная скорость: VBA
=VoTH Согласно закону сложения скоростей (1.30.8) имеем



V B = VBA + V A
Или скорость движения тела В относительно тела А равна разности скоростей этих двух тел. Она
не зависит от системы отсчета. В любой системе отсчета, движущейся со скоростью U
относительно системы отсчета К,
Преобразования Галилея. Согласно этим представлениям расстояния между телами одинаковы
во всех системах отсчета и течение времени не зависит от систем отсчета.
§ 1.31. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Из всех задач на относительность движения мы будем в основном решать такие, которые
связаны с законом сложения скоростей. Для этого удобно использовать понятия абсолютного,
относительного и переносного движений.
Решая задачу, следует выбрать две системы координат и одну из них условно принять за
неподвижную, после чего уяснить, какая скорость будет абсолютной, переносной и
относительной. далее надо записать закон сложения скоростей . После этого можно переходить к
записи этого закона в проекциях на выбранные направления осей координат. Но можно
воспользоваться и геометрическим сложением векторов.
Мы рассмотрим несколько задач, причем в большинстве случаев приведем два решения с
различным выбором неподвижной системы отсчета. При этом убедимся, что не имеет
принципиального значения, какую систему считать неподвижной. однако в некоторых случаях
удачный выбор неподвижной системы отсчета упрощает решение (задача 5).
Задача 1.
Участок шоссе расположен параллельно железной дороге. Найдите время, в течение которого
мотоциклист, движущийся со скоростью V1 = 80 км/ч, будет перемещаться мимо встречного
поезда длиной L = 700 м, следующего со скоростью V2 = 46 км/ч. Обе скорости заданы
относительно Земли.
Решение. 1. Если мотоциклист движется относительно поезда с некоторой скоростью V, то путь,
равный длине поезда, он пройдет за
L
время t = .
V
Длина поезда известна. Скорость
мотоциклиста относительно поезда
найдем по закону сложения скоростей:

 
VA  Vo  Vп ;
2
Неподвижную систему координат ХОУ свяжем с Землей, а подвижную Х101У1 - с поездом (рис.
1.95). Движение
мотоциклиста относительно Земли (неподвижной системы
координат ХОУ) является абсолютным, а движение поезда
относительно Земли переносным. Скорость мотоциклиста
относительно поезда (подвижной системы координат Х101У1)
является относительной. Следовательно, в данном случае:



V1 = VA , V 2 = VП , V = Vо Поэтому закон сложения скоростей
можно записать так:



V1  V2  V ;

 
Отсюда V  V1  V2 ;
Выполним вычитание векторов геометрически. Из
рисунка 1.96 видно, что V = V1 + V2.
2. Решим ту же задачу, изменив выбор систем
координат:
неподвижную систему координат ХОУ свяжем с
поездом, а подвижную Х101У1 — с Зёмлей. Теперь в
системе координат ХОУ Земля движется навстречу


поезду со скоростью = V3  V2 ,


т. е. переносная скорость V П  V2 (рис. 1.97).
Мотоциклист перемещается относительно подвижной системы координат (Земли). Поэтому его


скорость в данном случае является относительной: VO  V1 ;
Скорость же мотоциклиста


относительно системы координат ХОУ (поезда) — абсолютна, т. е. V А  V .

 
  
Согласно закону сложения скоростей будем иметь VA  Vo  Vп ;
или V  V1  V2 ; Мы пришли к
тому же результату, что и при первом способе выбора систем координат. Результат вычитания
векторов опять такой же, как на рисунке 1.96. Поэтому
V = V1+V2 ; и t = 20 с.
З. Можно неподвижную систему координат связать с мотоциклистом, а подвижную с Землей.
Рассмотрите самостоятельно этот вариант решения. Безусловно, вы придете к тому же результату.
Задача 2
Капли дождя падают относительно Земли отвесно со скоростью V1 = 20 м/с. С какой наименьшей скоростью V2
относительно Земли должен двигаться автомобиль, чтобы на заднем смотровом стекле, наклоненном под углом 45° к
горизонту, не оставалось следов капель? Чему равна скорость капель относительно автомобиля? Завихрения воздуха
не учитывать.
Решение. 1. Капли дождя не будут задевать стекла автомобиля, если вектор скорости капель относительно автомобиля
направлен параллельно стеклу. Этим определяется минимальная скорость автомобиля. Чтобы найти ее, воспользуемся
законом сложения скоростей:

 
VA  Vo  Vп ;
Систему координат ХОУ свяжем с Землей и
будем считать ее неподвижной. движущуюся
систему координат Х101У1 свяжем с
автомобилем (рис. 1.98). Обозначим скорость
капель относительно автомобиля через



V.
Тогда V А  V1




Vo  V ; V П  V2
Следовательно,
запишется так:
закон
сложения
скоростей
  
V1  V  V2 ;
3



Отсюда V  V1  V2 ;
 
Вычитание векторов V1иV2 ; и показано на рисунке 1.98 (Δ АВС). Поскольку треугольник АВС — прямоугольный и
угол АВС =α, то V =
V1
20 м / с
иV2  V1ctg ;V 
 28 м / с, V2 = V1 = 20 м/с.
Sin
sin 450
2. Решим эту задачу, связав неподвижную систему координат ХОУ с автомобилем, а подвижную Х101У1 с Землей
(рис. 1.99). В этом случае относительно системы координат ХОУ Земля движется навстречу автомобилю со скоростью





 

V3  V2 . Так как V А  V ; Vп  V2 ; Vo  V1 то закон сложения скоростей запишется следующим образом:
 

V  V1  (V2 );
 

Сложение векторов V1иV3  V2 показано на рисунке 1.99.
Мы пришли к тому же результату, что и при первом способе решения задачи:
V2=V1 = 20 м/с и 1) V ≈ 28 м/с.
Задача З
Два корабля идут пересекающимися курсами. В некоторый момент времени расстояние между
ними 1 = 10 км, а скорости и образовывали с прямой, соединяющей корабли, углы α = 45°
(рис. 1.100). На каком минимальном расстоянии друг от друга пройдут корабли? Модули
скоростей кораблей относительно воды V1 = 60 км/ч, V2 = 80 км/ч. Считайте, что морские течения
отсутствуют.
Решение. Пусть в начальный момент времени первый корабль находился в точке А, а второй
в точке В (рис. 1.101).
Перейдем в систему координат, связанную с первым кораблем. Тогда скорость воды относительно


этой системы V П  V1 является переносной скоростью, а скорость второго корабля относительно


воды есть относительная скорость Vо  V2 . Скорость второго корабля относительно первого при
данном выборе системы отсчета будет абсолютной скоростью Va. По закону сложения скоростей

 



VA  Vo  Vп ; или V A  V2  (V1 ); (см. рис. 1.101). Прямая ВК траектория второго корабля в
системе отсчета, связанной с первым («неподвижным») кораблем. Кратчайшим расстоянием
между кораблями будет длина перпендикуляра АС, опущенного из точки А на прямую ВК.
Из прямоугольного треугольника, образованного векторами
скоростей, находим модуль скорости, а по теореме Пифагора:
Va  Vп2  V22  100км / час.
Дальнейшее решение задачи является чисто геометрическим. Треугольник АDВ прямоугольный и
равнобедренный.
Найдем длину его катета: АD = DВ =
l
; Из подобия треугольников
2
DBV п
ВМN и ВРD найдем PD =
.
V2
Вычислим длину отрезка АР = АD –
AD(V2  Vп )
PD =
V2
Где Vп =V1.
Из подобия треугольников АРС и BMN находим искомое расстояние d = AC:
4
V
d
 2 ,d 
AP Va
l (V2  V1 )
2(V22  V12 )
 1,4км
Проанализируем частные случаи. Если скорости равны, V1 =V2 то d =0; и корабли встретятся в точке D. Если
относительно воды движется только один корабль ( V1 = 0) или V2 = 0, d= L/ 2 = AD. Найти расстояние d можно из
треугольника АСВ: d = l Sin <CBA, где Б СВА = 80. Действительно, из треугольника NBM находим Sin < NBM =
V1
 0,6 Отсюда < NBM=370. Так как угол СВА = 450-370= 80, то d = 10 км ∙Ѕіn80= 1,4 км
Va
Задача 4
Вагон А движется по закруглению радиусом 01 А = 0,3 км, а вагон В — прямолинейно (рис. а). Найдите
скорость вагона В относительно вагона А в момент, когда расстояние АВ = 0,1 км. Скорость каждого вагона
относительно Земли равна 60 км/ч.
Решение. Так как необходимо найти скорость вагона В относительно вагона А, то целесообразно (но
необязательно) связывать с вагоном А неподвижную систему координат ХОУ. В этой системе вагон А не
движется, но поверхность Земли под ним
поворачивается по часовой стрелке вокруг
точки 01 с угловой скоростью ω (рис. 1.102,
6).
Систему координат Х101У1 свяжем с
Землей. Эта система
координат
вращается
вместе
с
поверхностью Земли с угловой скоростью
ω вокруг точки 01.
Угловую скорость ω определим по
движению вагона А относительно Земли:
VA=ω∙ A1B.
Отсюда ω =
VA
;
O1 A
При вращательном движении подвижной системы координат переносная скорость в каждый момент времени
является той линейной скоростью, которую в данной точке пространства имеет вращающаяся система
координат, связанная с Землей. для вагона В переносной скоростью Vп является скорость точки оси Х1 на
расстоянии 01В от точки 01. Найдем модуль этой скорости:
Скорость вагона В относительно поверхности Земли (относительно подвижной системы координат Х101У1) i=
(ПВ = ПА по условию), но по отношению к вагону А (неподвижной системе координат ХОУ) скорость вагона В
является абсолютной. Эту скорость мы найдем по закону сложения скоростей:
Сложение скоростей выполнено на рисунке 102, в. Из рисунка видно, что вагон В относительно вагойа А
движется в сторону, противоположную скорости вагона В относительно Земли, со скоростью а’ модуль которой
равен
Задача 5
Вверх по реке на весельной лодке плывет рыбак. Проплывая под мостом, он уронил удочку, но заметил это
лишь полчаса спустя. Рыбак повернул назад и нагнал удочку на расстоянии 1,5 км от моста. Чему равна
скорость течения реки, если рыбак греб одинаково интенсивно как при движении вверх (против течения), так
и при движении вниз (по течению)?
5
Подготовка к ЕГЭ. Часть А. Относительность движения. Кинематика.
1.(2006 реальные варианты) Два автомобиля движутся по взаимно перпендикулярным дорогам. Скорость первого
относительно дороги по модулю равна V, а модуль скорости второго относительно первого равен 3V. В этом случае
модуль скорости второго автомобиля относительно дороги равен
1)
1
V ;2)2 2V ;3)V ;4)2V ; ответ:
2


2. Два автомобиля движутся по прямому шоссе: первый- со скоростью V , второй - со скоростью ( -3 V ). Какова




скорость второго автомобиля относительно первого? 1) V 2) - 4 V 3) - 2 V 4) 4 V .
3. Два автомобиля удаляются друг от друга по взаимно перпендикулярным направлениям со скоростями V1 = 3 м/с,
V2 = 4м/с. Тогда скорость их относительного движения равна: 1) 7м/с, 2) 1 м)с 3) 3,5 м/с 4) 5 м/с.
4. Эскалатор метро поднимается со скоростью 1 м/с. Может ли человек, находящийся на нем, быть в покое в системе
отсчета, связанной с Землей? 1) Может, если движется в противоположную сторону со скоростью 1 м/с. 2) ) Может,
если движется в ту же сторону со скоростью со скоростью 1 м/с. 3) ) Может, если он стоит на эскалаторе. 4) Не может
ни при каких условиях.
5. Два автомобиля движутся в одном направлении по прямому шоссе с одинаковыми скоростями




V . Чему равна
скорость первого автомобиля относительно второго? 1) 0. 2) V . 3) 2 V . 4) - V .
6. Лодка должна попасть на противоположный берег по кратчайшему пути в системе отсчета .связанной с берегом.
Скорость течения реки равна U а скорость лодки относительно берега должен быть равен 1) V+U; 2) V-U; 3)
V 2  U 2 ;4) V 2  U 2 ;


V , второй – со скоростью ( 4 V ).



2) - 3 V ; 3) 3 V ; 4) 4 V ;
7. (11-5) Два автомобиля движутся по прямому шоссе: первый – со скоростью

Какова скорость первого автомобиля относительно второго? 1) 2 V ;
8.(10-5) Два автомобиля движутся по взаимно перпендикулярным дорогам. Скорость первого относительно дороги по
модулю равна V, а модуль скорости второго относительно первого равен 2 V. В этом случае модуль скорости второго
автомобиля относительно дороги равен 1) 0,5 V.2) 3V ; 3) V; 4) 2V;
8 (а) Два автомобиля движутся по взаимно перпендикулярным дорогам. Скорость первого относительно дороги по
модулю равна V1 = 1 м/с, а модуль скорости второго V2 = 3 м/с. Тогда их относительная скорость равна: 1) 7м/с; 2) 10
м/с; 3) 3,5 м/с; 4) 10 м/с;
9. (КИМ 2005-6) В-1. Два автомобиля движутся по прямой дороге в одном направлении: один – со скоростью 50
км/час, другой – со скоростью 70 км/час. При этом они 1) они сближаются; 2) удаляются; 3) не изменяют расстояние
друг от друга; 4) могут сближаться, а могут и удаляться;
10. (В-2). Лодка должна попасть на противоположный берег реки по кратчайшему пути в системе отсчета, связанной с
берегом. Скорость течения реки u, а скорость лодки относительно воды V. Модуль скорости лодки относительно
берега должен быть равен 1) V + u; 2) V - u; 3) V  u ; 4) V  u ;
11. (В-3). Два автомобиля движутся по прямой дороге: один со скоростью (-10) м/с, а другой – со скоростью (-25) м/с.
Скорость второго автомобиля относительно первого равна 1) – 35 м/с; 2) -15 м/с;
3) – 20 м/с; 4) 35 м/с;
12.(2006 реальные варианты В-3) Пловец переплывает реку по кратчайшему пути. Скорость пловца относительно
воды 5 км/час, скорость течения реки 3 км/час. Скорость пловца относительно берега равна: 1) 2 км/час; 2) 3 км/час; 3)
4 км/час; 4) 8 км/час;
13. (В-4) Катер, двигаясь вдоль по реке, проходит 2 км по течению, разворачивается(мгновенно) и возвращается в
пункт отправления. Скорость течения реки 4 км/час, скорость катера относительно воды 36 км/час. Полное время
движения катера туда и обратно равно ( ответ дать в минутах): 1) 4 мин; 2) 6,8 мин; 3) 12,5 мин; 4) 21,1 мин;
14. (В-5) Самолет летит из города А в город В со скоростью V относительно воздуха. На трассе полета со скоростью u
дует ветер направление которого перпендикулярно отрезку, соединяющему эти города. Определите модуль скорости
самолета относительно земли.
2
2
2
2
1) V + u; 2) V - u; 3) V  u ; 4) V  u ;
15.(В-7) Траектория точки обода колеса относительно центра колеса при движении автомобиля – это
1) окружность; 2) винтовая линия; 3) прямая; 4) синусоида;
2
2
2
2

16.(2004-05) Два автомобиля движутся по прямому шоссе: первый- со скоростью V , второй - со скоростью




( -2 V ). Какова скорость второго автомобиля относительно первого? 1) 0; 2) V 3) 3 V 4) 5 V .
17.(28Р)Какова траектория движения точки обода велосипедного колеса при равномерном и прямолинейном
движении велосипедиста в системах отсчета, жестко связанных: а) с вращающимся колесом; б) с рамой
велосипедиста; в) с землей; 1) прямая, 2) окружность; 3) винтовая линия; 4) циклоида; 5) точка Ответ: точка, окр,
циклоида.
6