Эллипс - znate.ru

Эллипс
План:
Введение







1 Аналитическое определение
2 Определяющая свойство эллипса
3 Геометрическое определение
4 Элементы эллипса
o 4.1 Вершины эллипса
o 4.2 Оси эллипса
o 4.3 Директриса и эксцентриситет
5 Различные виды уравнений эллипса
o 5.1 Каноническое уравнение эллипса
o 5.2 Параметрическое уравнение эллипса
o 5.3 Нормальное уравнение эллипса
6 Длина дуги эллипса
o 6.1 Приближенные формулы периметра
7 Касательная
Введение
Эллипс
Эллипс с фокусами
Эллипс в геометрии - линия второго порядка.
Термин происходит от греч. ἔλλειψις - Недостаток, пробел, выпадения
(подразумевается "неполнота" или "дефектность" эллипсу сравнению с "полным" кругом
или кругом).
1. Аналитическое определение
Эллипсом называют линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе
координат задается уравнением:
Эллипс относится к кривых второго порядка.
2. Определяющая свойство эллипса
Точки
и
называют фокусами эллипса, а расстояние между ними - фокусным
расстоянием, ее обозначают через
, Следовательно,
от любой точки
эллипса до фокусов
и
обозначим
имеем:
таких точек
. Сумму расстояний
. Тогда по определению
. Отсюда можно сказать, что эллипс состоит из таких и только
, Которые удовлетворяют условию:
3. Геометрическое определение
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний до двух данных точек
и
этой плоскости есть величина постоянная,
больше расстояние между и
.
4. Элементы эллипса
4.1. Вершины эллипса
Точки
пересечения эллипса с осями прямоугольной системы координат,
выбранной так, чтобы начало координат был серединой отрезка
совпадала с прямой
, А ось
, Называют вершинами эллипса.
4.2. Оси эллипса
Отрезок
, Проходящая через оба фокусы
и
, Называют большой осью
эллипса, а перпендикулярно ему отрезок
, Пересекающийся с большой
осью в центре эллипса - Соответственно его малой осью. Длина этих отрезков
соответствует условию
центра.
. Эллипс симметричен относительно своих осей и
4.3. Директриса и эксцентриситет
Число
это эксцентриситет эллипса, величина, характеризующая его вытянутость,
для эллипсу
. Прямые, уравнение
называются Директриса
эллипса, соотношение расстояния от любой точки эллипса до ближайшего фокуса к
расстоянию до ближайшей директрисы постоянное и равно эксцентриситета.
Заметим, что величинами, которые характеризуют эллипс, есть большая и малая полуоси
и , Расстояние фокуса от центра, эксцентриситет . Зависимость между ними
выражается формулами:
. Поэтому, чтобы составить уравнение
эллипса, достаточно знать или полуоси и , Или одну полуось и эксцентриситет и т.д.
Если точки
и
совпадают, то эллипс становится кругом радиуса . При этом
. Итак, круг является частным случаем эллипса.
5. Различные виды уравнений эллипса
Эллипс в полярной системе координат.
5.1. Каноническое уравнение эллипса
5.2. Параметрическое уравнение эллипса
5.3. Нормальное уравнение эллипса
6. Длина дуги эллипса
Длина дуги эллипса вычисляется по формуле:
Использовав параметрический запись эллипса получаем следующее выражение:
После замены
выражение длины дуги принимает окончательный вид:
Полученный интеграл принадлежит к семейству эллиптических интегралов, которые не
выражаются в элементарных функциях, и сводится к эллиптического интеграла второго
рода
. В частности, периметр эллипса равна:
,
где
- Полный эллиптический интеграл Лежандра второго рода.
6.1. Приближенные формулы периметра
YNOT:
, Где
Максимальная погрешность этой
формулы составляет близка 0,3619% при эксцентриситете эллипса 0,979811 (отношение
осей ~ 1/5). Погрешность всегда положительна.
Очень приближенная формула:
7. Касательная
Уравнения касательной к эллипсу через точку
См.. также
В Википедии есть портал
"Математика"




Круг
Гипербола
Парабола
Эллипс погрешностей
http://nado.znate.ru
, Которая принадлежит эллипсу