3. Частичный предел. Теорема БольцаноВейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента. Если f:N R, тогда говорят, что задана последовательность f(1)=a1, f(2)=a2,…,f(n)=an,.. a1, a2,…,an,… {an}+ n=1 Пример: 1, 1/2, 1,3,…1/n,…(1) b1, b2,…bn,…(2). Последовательность (2) называется подпоследовательностью (1), если ( k N) [ak , bk ] ={c*} (согласно принципу стягив. вложен. i 1 отезков, если длина отезка 0, то единств. точка прин. всем отрезкам системы). Покажем, что lim aк и bk совпад. с c*, т.е. c= c* (lim ar=c), k k ak c c* [ak,bk], ak c* bk 1) Пусть c>c*, lim ak=c k ( >0) ( k>n0) |akc c* c c* c c* c c* , c<bk<c+ , ak> > c* 2 2 2 2 ak> c* противоречие. c не равно c* 2) Пусть c< c* ak c< c* bk c [ak,bk] k N c|< ( nk N) bk=ank (т.е. любой член послед. (2) содержится в (1)) и kk<ki k<i (сохр.порядок следования) Число a R называется пределом последовательности c i 1[ ak , bk ] а это противоречит тому, что (1), если выполняется условие ( >0) ( n0 N) пересеч. состоит из одного единств. элем. c не ( n>n0) |an-a|< меньше c*. Из 1) и 2) c=c*, т.е. lim ak=c* {xnk} ( >0) ( n0) ( n>n0) an> , n ak xn bk k N lim xn - c*= { xn }- сходится. lim an=- ( >0)( n0) ( n>n0) an<- ,n Критерий Коши сход. числ. послед. Послед. {ak} сходится она удовлет. условию lim an=x ( >0) ( n0) ( n>n0) |an |> Общее опр. предела: lim an=a, a R {+ ,- ,x} Коши:( >0)( n0)( n>n0)( m>n0) |am-an|< . Для того, что бы послед. была сходящейся ( >0) ( n0) ( n>n0) an U(a, ) |im an=+ Предел (конечный или бесконечный) подпоследовательности данной последовательности называется частичным пределом последов. (предельной точкой) Любая последовательность имеет хотя бы один частичный предел. Пример: 1)последоват (-1)n имеет два частичных предела -1 и 1. Из этой последовательности можно выделить две сход. подпоследоват.: 1)-1,-1,-1,…. предел котор равенг -1; 2)1,1,1,…предел котор равен 1; 3)последов. sin n и необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Послед. {xn} называется фундаментальной, если ( >0)( n0 N)( n N)( p N)|xn+p- xn|< Фундаментальная послед. является огранич. Для того, чтобы послед. {xn } была сход, необходимо и достаточно, чтобы она была огранич. и ее верхний и нижний пределы совпадали. Если послед. сходится, то она фундаментальная, если послед. фундаментальная, 2 то она не обязат. сходится. имеет три частичных предела:-1, 1, 0. У любой Упорядоченная пара (M,p), где M- некоторое последовательности существует наибольший и множество, а p-метрика на M назыв. метрическим наименьший частичный предел. Наибольший пространством. Отображение p: M*M R назыв. частичный предел называется верхним пределом, метрикой, если: наименьший – нижним. У любой последовательности 1) p(x,y) 0, p(x,y)=0 x=y всегда существует верхний и нижний предел. 2) p(x,y)= p(y,x)-аксиома симметрии Последоват. (1) называется сходящейся, если существует a R, lim an=a, n . 3) p(x,z) p(x,y)+ p(y,z)- аксиома треугольника Метрическое пространство называется полным, если Последовательность (1) называется расходящейся, всякая фундаментальная послед. точек этого если a R, lim an=a, n . пространства сх-ся. Последовательность (1) называется убывающей, если Примеры: n N an>an+1 1) M=(0,+ )p(x,y)=|x-y| xn=1/n-фундаментальная, но Последовательность (1) называется возрастающей, предела не имеет. если n N an<an+1 2) Q, p(r1,r2)= |r1-r2| x1=1, 1< 2 <2, x2=1,4; Последовательность (1) называется ограниченной, 1,4< 2 <1,42. Эта послед. фундаментальная x1=1, если существует b,c R n N b an c x2=1,4, x3=1,41,…..Но эта послед. не сходится, она Связь м/д пределом последов. и подпослед. 2 , но точка 2 выколотая ( в начале Лемма1: Если послед. {a }сходится и {b } – n n подпоследов. последов. {an}, то {bn} также сходится и фундаментальн. можно взять послед. n 0 n! ее их пределы совпадают. предел не лежит в Q) Док-во: ( n) ( kn) bn=bkn lim an=a ( >0) Полные пространства 1) R, p(x,y)= |x-y|; 2)Rk, k 2 ( k>k0) |ak-a|< ( n0) ( n>n0) (kn.>k0) |ak-a|< , |bk-a|< limbn=a, n . Лемма2: Если последов. {bn} и {cn}-это подпосл. посл. {ak} и lim bn =b, lim cn=c, b c, то последов. {ak} является расходящейся (т.е. если у последоват. есть две подпослед., сход. к разным пределам, то сама послед. является расходящейся). Док-во: Пусть последов. {ak} сходится. lim ak=a по лемме1 lim bn=a lim cn=a b=c, а это противоречит условию {ak}расход. теорема Б-Вейерштр: из любой ограниченной послед. можно выделить сход. послед. Док-во: {xn}-ограничена a, b R n a xn b xn [a,b] 1) разделим отрезок [a,b] пополам получим два отрезка. В одном из этих отрезков обязат. будет бесконечно много членов послед. Пусть это отрезок [a1,b1]. Найдем такой элемент xn1 [a1,b1]; 2) [a1,b1] делим пополам. За [a2,b2] обозначим отрезок, в котором бесконечно много членов послед. xn2 [a2,b2], n2>n1 3) [a2,b2] делит пополам, обозначим [a3,b3] отрезок, в котор. бесконеч. много членов послед. xn3 [a3,b3] n3>n2 и т.д. k) На к-том шаге [ak-1,bk-1] если пополам, обозн. [ak,bk] отрез, в котор. бескон. много членов послед. xnk [ak,bk], nk>nk-1 и т.д. Пусть мы проделали бесконечно много шагов и получили послед. xn1, xn2, …,xnk1,… {xnk}и подпосл. {xn}. Покажем, что {xnk}- сходится ak xnk bk {ak} возрастает, ограничена сверху по теореме Вейерштрасса {ak} сходится {bk} убывает, ограничена снизу по теореме Вейерштрасса {bk}сходится, т.е. lim ak=c, lim bn=c1 k [a1,b1]: b1-a1=1/2(b-a) 1 [a2,b2]: b2-a2=1/2(b1-a1)= 2 (b-a)…. [ak,bk]: bk2 ak= 1 (bk-1-ak-1)= 1л (b-a) 2 2 [ak,bk] [ bk-1-ak-1]. (кажд. послед. отрезок содер. в предыдущем, т.е. имеем сист. слож. отрезков). lim (bkak)= lim 1 (b-a)=(b-a) lim( 1 )k=0, k 2 2k