Дистанционная олимпиада по математике 10 класс

Дистанционная олимпиада по математике
10 класс
1.
Решение :
x2+3x+9-9n2=0,
D=9-36(1-n2)=9(4n2-3),
x1,2=-3±3√4𝑛2 − 3
2
x∈ℤ ⇒ 4n2-3=k2, где k∈ℤ,
можем считать, что k≥0,
(2n-k)(2n+k)=3.
k≥0⇒2n-k≤2n+k, получаем 2 системы:
{2n-k=-32n+k=-1 или {2n-k=12n+k=3
Ответ: (x,n)=(0,±1),(-3,±1).
2. Решение
Из данных k точек выбираем 3 такие, что треугольник с вершинами в данных
точках имеет наибольшую площадь из всех треугольников с вершинами в
данных k точках. Пусть это будут точки A,B,C (рис.). Проведём через
точку B прямую LN||AC . Каждая из k точек будет лежать по ту же сторону
от прямой LN , что и треугольник ABC , ибо иначе площадь треугольника с
вершиной в этой точке и основанием AC была бы больше площади
треугольника ABC . Проведя через точку A прямую LM||BC и через
точку C прямую MN||AB , точно так же докажем, что все k точек лежат по ту
же сторону от прямых LM и MN , что и точки A,B,C . Следовательно,
все k точек будут лежать внутри треугольника LMN . Площадь этого
треугольника состоит из площадей четырёх равных треугольников.
Поскольку площадь одного из них не превосходит единицы, то площадь
всего треугольника LNM не превосходит четырёх.
3. Решение. Возьмем от первой машины один мяч, от второй – два, от
третьей – три и т.д., от десятой – десять. Найдем их общую массу. Это
взвешивание будет единственным. Если бы все мячи были массой по 10г,
то весы показали бы 10  (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 550г.
Если первая машина допускает брак, то общая масса станет меньше на 5г,
если вторая, то на 10г, и т.д., если десятая, на 50г. Таким образом, по массе
55 мячей можно узнать, какая машина испортилась.
4. Если n=1,
2+7=9=32 удовлетворяет.
Перебрав натуральные значения n , я убедилась, что n=1 и k=3
единственно возможное решение.
Ответ: n=1, k=3.
5. Решение
a4+4b4 = a4+4a2 b2+4b4 - 4a2 b2 = (a2 +2b2)2 - (2ab) 2 =
= (a2+2b2-2ab)(a2+2b2+2ab).
6.
a1 , a2, a3, a4 - арифметическая прогрессия.
a4= a12 +a22 + a32
Решение.
Пусть а - второй член, d- разность
отсюда
каждое из квадратичных слагаемых
неотрицательно при целых значениях, значит а=0,d=1 или 0,
одно удовлетворяющее условиям решение : a1=-1, a2=0,a3=1,a4=2
Ответ: a1=-1, a2=0, a3=1, a4=2
7. Решение.
x2 + (
𝑥
)2 = 8
𝑥−1
1
x2 ( 1+
𝑥−1
)= x2 (
𝑥−1+1
𝑥3
𝑥−1
𝑥−1
)=
=8
x≠1
3
x = 8x-8
x3-8x+8=0
Решаем данное уравнение по схеме Горнера.
2
1
1
0
2
-8
-4
+8
0
x2 + 2x- 4=0
D1=1+4=5
X1,2=-1±√5
Ответ: x=2, X=-1±√5
8. Решение
9. Решение 1
В каждой вертикали находится по одной ладье. Их положение определяется
перестановкой горизонталей.
Решение 2
Ладья на первой горизонтали может занимать 8 разных положений. Если это
положение фиксировано, то ладья на второй горизонтали может занимать
уже только 7 положений. Аналогично для ладьи на третьей горизонтали
остается 6 вариантов и т. д. Итого 8·7·6·5·4·3·2 = 8! способов.
Ответ: 8! способами.
10.
𝑎𝑥 2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
{𝑏𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑎 = 0
𝑐𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
Решение: Предположим, что ни одно из уравнений не имеет корней. Тогда
дискриминанты всех этих уравнений отрицательны, откуда получаем
неравенства
Левые части всех этих неравенств неотрицательны, следовательно, и правые
тоже неотрицательны. Перемножим все три неравенства, получим
что невозможно. Тем самым, хотя бы одно из уравнений имеет корень.