РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НАМОТКИ КАНАТА

УДК 622.673.1; 621.778.27
Рутковский Максим Александрович
аспирант
Научный руководитель: Заболотный Константин Сергеевич
д.т.н., проф.
кафедра Горных машин и инжиниринга
ГВУЗ «Национальный горный университет»
г. Днепропетровск, Украина
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НАМОТКИ
КАНАТА НА БАРАБАН ШАХТНОЙ ПОДЪЕМНОЙ МАШИНЫ
DENELOP MATHEMATICAL MODEL OF WINDING THE ROPE ON
DRUM MINE HOISTS
Постановка проблемы. Для повышения конкурентоспособности
отечественных шахтных подъемных машин (ШПМ) на внешнем рынке
необходимо решить ряд задач, связанных с совершенствованием методик
расчета их рациональных параметров, повышением прочности узлов и
деталей, снижением металлоемкости и стоимости оборудования подъема.
Существующий на сегодняшний день комплекс методических
рекомендаций по выбору параметров барабанных органов навивки ШПМ
из-за сложности объектов проектирования не позволяет достичь
необходимых результатов. Поэтому совершенствование методов расчета
барабанных органов навивки ШПМ является актуальной научной
проблемой.
Состояние вопроса. Для выбора параметров барабанных органов
навивки
ШПМ
необходимо
точное
определение
нагрузок,
воспринимаемых барабаном при подъеме груза. В процессе намотки
каната на барабан происходит деформация цилиндрической обечайки
барабана в радиальном направлении, вызывающая ослабление натяжения
ранее намотанных витков каната. Б.С. Ковальским [1] предложен метод
определения канатных нагрузок на барабан ШПМ, рассматриваемый как
полубесконечная гладкая неподкрепленная осесимметричная оболочка, в
предположении непрерывной намотки бесконечно тонких колец.
На основании закона совместности деформации и закона Гука
автором получено интегральное уравнение для определения переменного
давления на оболочку при намотке с постоянным усилием натяжения:
s
u
2
(1)
   s, x    u  x  dx     u, x    u  x  dx   1    s, u  ,
0
0
Eк  Fк
– деформация оболочки;
E t
Eк, Fк – модуль упругости и площадь сечения каната;
где  
49
δ – толщина оболочки;
t – шаг намотки;
 x   ex  cos x  sin x  – прогиб полубесконечной оболочки;
p l, r 
, x = βz, u = βr, s = βl – безразмерные величины в
  s, u  
p0
которых:
p(l,r) – нагрузка, приложенная на расстоянии r от начала координат
при ширине навитого слоя каната l ;
z – текущая координата навиваемого витка каната;
T
p0  0 – радиальная канатная нагрузка на барабан;
Rt
1,28
– коэффициент затухания;

R
T0 – натяжение набегающего конца каната;
R – радиус барабана.
В результате анализа уравнения (1) автором получено аналитическое
решение для канатной нагрузки в виде экспоненты, затухающей от места
намотки. Доказано, что после намотки каната на расстоянии 3…5 витков
от последнего навитого витка, радиальная канатная нагрузка уменьшается
на величину корректирующего, аналитическое выражение которого:
0 
1
.
Eк Fк
1
Et
Радиальная нагрузка на барабан определяется из выражения:
T
(2)
p  0 0 .
Rt
Данные результаты были получены при следующих допущениях:
барабан рассматривался как полубесконечная оболочка, не учитывалось
влияние лобовин, шпангоутов и других подкрепляющих элементов
барабана ШПМ. Такие допущения приводят к занижению значения
действующей радиальной канатной нагрузки и возникающих в обечайке
барабана опасных напряжений.
Теория Б.С. Ковальского для многослойной намотки каната получила
дальнейшее развитие в работе Е.В. Панченко [2], где процесс намотки
рассматривается как дискретный с последовательным надеванием
анизотропных кольцевых слоев друг на друга. Такой подход позволил
получить математическую модель многослойной намотки в виде системы
алгебраических уравнений и исследовать более сложные расчетные
случаи, учитывающие наличие подкрепляющих элементов барабана и
переменность натяжения, а также применить его при разработке метода
определения канатных нагрузок на барабан.
50
Таким образом, разработка метода определения канатных нагрузок на
барабан подъемной машины с учетом жесткости лобовин, шпангоутов и
других подкреплений является актуальной научной задачей.
Цель работы – разработать математическую модель намотки каната
на барабан ШПМ, позволяющую определить давление навитых канатов.
Постановка задач. Для достижения цели поставлены такие задачи:
- разработать математическую модель намотки каната на барабан;
- оценить достоверность полученной модели.
Основная часть.
Для учета явления ослабления натяжения в намотанных витках при
определении канатной нагрузки рассмотрим процесс намотки каната на
профилированный цилиндрический барабан заданным натяжением каната.
На рис. 1 представлен общий вид и разрез барабана ШПМ типа ЦР.
а)
б)
Рис. 1. Общий вид барабан ШПМ типа ЦР (а) и его разрез (б):
1 – головной канат; 2 –порожняковый канат; 3 – тормозные колодки;
4 – тормозные поля; 5 – ступицы; 6 – малая реборда; 7 – большая реборда;
8 – обечайка; 9 – вал; 10 – подшипники; 11 – переставная часть барабана;
12 – заклиненная часть барабана; 13 – винтовая канавка; 14 – лобовины;
15 – швеллеры с подкосами; 16 – ребра заклиненной части;
17 – шпангоуты; 18 – ребра переставной части; 19 – косынки
В работе [3] показано, что при замене спиральной канавки для
укладки каната на обечайке барабана рядом кольцевых канавок с шагом t
погрешность определения радиальных перемещений обечайки составляет
3-4%. Это дает основание принять это допущение.
Намотку каната по винтовой линии представим в виде процесса
последовательного надевания колец на обечайку, аналогичного
рассмотренному в работе [2], где намотка осуществлялась по плоской
51
спирали. Первоначальный радиус каждого кольца выбирается из условия
равенства усилий в нем после навивки величине соответствующего
натяжения каната. При этом возникают дополнительные деформации всех
канавок и уменьшаются натяжения намотанных витков каната. Для учета
ослабления натяжения необходимо построить матрицу податливости
цилиндрического барабана с учетом различных подкреплений. Одной из
наиболее эффективных моделей является полуаналитическая модель
барабана ШПМ, построенная с учетом допущения о превалирующем
значении осесимметричных составляющих напряженно-деформированного
состояния, что позволяет описать поведение барабана обыкновенным
дифференциальным уравнением с кусочно-постоянными коэффициентами.
Создадим математическую модель для определения зависимости
величины канатной нагрузки на барабан при намотке головного каната.
Общее количество витков навивки каната обозначим через k, причем виток
с номером k соответствует навиваемому витку, а витки с номерами j=1..k-1
соответствуют уже навитым виткам.
Намотка каната рассматривается в виде процесса последовательного
надевания колец на обечайку барабана с радиусом R0 (см. рис.2). Каждое
кольцо представляет собой модель навиваемого витка каната, имеющего
характеристики: Fк - площадь поперечного сечения каната, Eк - модуль
упругости каната. Для этих колец введем следующие обозначения: rj –
радиус недеформированного (не надетого на барабан) кольца, нижний
индекс которого изменяется от 1 до k, Rj,k - радиус кольца надетого на
барабан, первый индекс соответствует номеру рассматриваемого витка, а
второй - номеру последнего навитого витка.
Рис. 2 Поперечное сечение барабана с канатами при намотке k-го витка.
52
На рис. 2 также обозначено через Pj,k окружное усилие в j-кольце при
надевании k-го кольца, вызвавшего прогиб обечайки uj,k.
Примем следующие допущения:
1. Радиальная деформация кольца при его надевании определяется из
выражения:
R j,k  rj
.
(3)
 j ,k 
rj
2. При деформации колец выполняется закон Гука
Pj,k = Eк·Fк·εj,k.
(4)
3. Окружное усилие в k-ом кольце Pk,k равняется натяжению в канате в
его верхнем сечении Sk при намотке на соответствующую канавку.
Из допущений 1 и 2 можно получить выражение для радиуса
недеформированного k-го кольца в виде:
R u
(5)
rk  0 k , k .
Pk , k
1
Eк ·Fк
Кроме того, из условия совместности деформаций колец и барабана
(согласно [3]) можно записать
k
ui ,k   Pj ,k  Wi , j .
(6)
j 1
где Wi,j – компонент матрицы податливости, математическая модель
которой получена в работе [4].
Рассмотрим основные формулы для определения радиальных
деформаций и окружных усилий при навивке первых трех витков каната
Усилие в первом навиваемом витке:
P1,1 = S1.
Радиальное перемещение первого кольца:
u1,1 = P1,1·W1,1.
На основании закона Гука получим:
P
1,1  1,1 ;
Eк ·Fк
радиус недеформированного первого витка:
R u
r1  0 1,1 .
1  1,1
Рассмотрим намотку второго витка.
Усилие во втором навиваемом витке:
P2,2 = S2.
53
Из выражения (5) найдем окружное усилие в первом навитом витке:
 R u

P1,2  Eк ·Fк   0 1,2  1 .
r1


Исходя из условия совместности деформаций получим выражения
деформаций колец:
u1,2 = P1,2·W1,1+P2,2·W1,2;
u2,2 = P1,2·W2,1+P2,2·W2,2.
Введем обозначения C1= u1,2, C2= u2,2, C3=P1,2, C4=P2,2.
Полученную систему уравнений запишем в матричной форме
[M]·{C}={H},
(7)
где
0
1
0 -W1,1 -W1,2
0
0
1 -W2,1 -W2,2
[M]  Eк ·Fк
r1
H  
R

Eк ·Fк   0  1
 r1

0
0
0
1
S2
Используя метод исключения Гаусса, получим решение системы
уравнений (7).
Прогибы обечайки и натяжения колец найдем из выражений u1,2= C1,
u2,2 = C2, P1,2= C3, P2,2 = C4.
После этого вычислим деформацию второго кольца:
P
2,2  2,2
Eк ·Fк
и его радиус в недеформированном состоянии:
R u
r2  0 2,2 .
1   2,2
Рассмотрим намотку третьего витка.
Усилие в третьем навиваемом витке:
P3,3 = S3;
окружное усилие в первом и втором навитом витке:
 R u

P1,3  Eк ·Fк   0 1,3  1 ;
 r1

 R u

P2,3  Eк ·Fк   0 2,3  1 .
 r2

Исходя из условия совместности деформаций получим выражения
деформаций колец:
u1,3 = P1,3·W1,1+P2,3·W1,2+ P1,3·W1,3;
u2,3 = P1,3·W2,1+P2,3·W2,2+ P3,3·W2,3;
u3,3 = P1,3·W3,1+P2,3·W3,2+ P3,3·W3,3;
0
1
0
,
54
Введем обозначения C1= u1,2, C2= u2,2, C3=P1,2, C4=P2,2.
Полученную систему уравнений запишем в матричной форме (7),
где
0
1
0
0 -W1,1 -W1,2 -W1,3
0
0
1
0 -W2,1 -W2,2 -W2,3
0
0
0
1 -W
-W
-W
3,1
[M] 
Eк ·Fк
r1
0
0
3,2
1
0
3,3
0 ,
H  
R

Eк ·Fк   0  1
 r1

R

Eк ·Fк   0  1
 r2

0
0
0
0
0
1
S3
Используя метод исключения Гаусса, получим решение системы
уравнений (7).
Прогибы обечайки и натяжения колец найдем из выражений u1,3= C1,
u2,3 = C2, u3,3 = C3 P1,3= C4, P2,3 = C5, P3,3 = C5.
После этого вычислим деформацию третьего кольца:
P
 3,3  3,3
Eк ·Fк
и его радиус в недеформированном состоянии.
R u
r3  0 3,3 .
1   3,3
При сравнении формул, полученных для второго кольца, и формул,
полученных для третьего видно, что система уравнений стала регулярной.
Из этого следует: формулы можно записать в общем виде, начиная с
третьего кольца.
Для намотки k-го витка справедлива система уравнений:
натяжение в наматываемом витке
Pk,k = Sk;
(8)
натяжения намотанных k-1 витков:
 R  u j ,k

(9)
Pj ,k  Eк ·Fк   0
 1 , где j=1…k-1;
 r

j


перемещения каждой из k канавок равно сумме перемещений,
вызванных натяжением Pj,k каждого j-ого витка при навивке k-го:
0
Eк ·Fк
r2
0
0
1
0
k
ui ,k   Wi , j  Pj ,k .
(10)
j 1
Введем обозначения Ci= ui,k, Ci+k=Pi,k.
Запишем систему уравнений для определения вектора {C} в
матричной форме (7). Приведем выражения для ненулевых компонент
матрицы [M] и вектора {C}
55
Mi,i= 1, Mi+k,i+k=1, M i  k ,i 
Eк ·Fк
(i=1…k), Mi,j+k=-Wi,j (j=1…k),
ri
(11)
R

(12)
H j  k  Eк ·Fк   0  1 , (j=1…k-1),
 rj



H2k = Sk.
(13)
После определения вектора {C} прогибы обечайки и натяжения колец
могут быть найдены из выражений: ui,k = Ci, Pi,k = Ci+k, при чем i=1…k.
После чего деформация k-го кольца может быть найдена по формуле:
P
(14)
 k ,k  k ,k ,
Eк ·Fк
а его радиус в недеформированном состоянии:
R u
(15)
rk  0 k ,k .
1   k ,k
Для определения нагрузок, передаваемых непосредственно на
барабан, перейдем от окружного усилия к радиальному давлению:
q j, Nг 
Pj , N г
R0 ·t
,
(16)
где Nг - количество навитых витков головного каната.
Разработанная математическая модель (11)-(16) позволяет определить
значения радиальных перемещений, деформаций, окружных усилий и
радиальных давлений от канатной нагрузки.
Достоверность расчетов оценим на основе сравнения результатов
вычислений радиального давления от головного каната на барабан
машины ЦР – 6×3,4/0,6, полученные по формуле Б.С. Ковальского (3) и по
приведенной математической модели (11)-(16).
Паспортные данные подъемной ЦР – 6×3,4/0,6 машины и параметры
заклиненной части приведены в табл. 1.
Таблица 1.
Паспортные данные.
Высота подъема
Масса скипа
Масса породы
Масса противовеса
Диаметр каната по ГОСТ 7669-80
697 м
12000 кг
15300 кг
19650 кг
57 мм
Рассмотрим расчетный случай намотки каната с постоянным
натяжением на барабан заклиненной части и сматывания его с переставной
части подъемной машины. На рис. 3 приведены графики результатов
расчета давления каната на обечайку барабана, полученные с
56
использованием методики Б.С. Ковальского (рис.3, 1), а также по
предлагаемой методике с учетом влияния лобовин (рис.3, 2) и при
совместном влиянии лобовин и подкрепляющих шпангоутов (рис.3, 3).
Рис. 3. Зависимость радиального давления qj на заклиненную часть
барабана от номера навитого витка головного каната j, определенная по
методике: 1 – Б.С. Ковальского; 2 – с учетом лобовин; 3 – с учетом
лобовин и подкрепляющих шпангоутов.
Анализируя полученные графики видно, что в области двадцать
пятого витка, где канат навивается вдали от лобовин, давление,
полученное по формуле Б.С. Ковальского, совпадает с результатами
расчетов по предлагаемой методике (погрешность составляет 0,6%).
В области намотки четвертого витка, где происходит навивка каната
над лобовиной, формула Б.С. Ковальского не учитывает влияние
жесткости лобовины и это приводит к занижению величины радиального
давления (приблизительно на 16%).
При учете жесткости шпангоутов нагрузка в окрестности левой
лобовины уменьшилась на 2,3%, а нагрузка над шпангоутом увеличилась
на 5,3%. По сравнению с формулой Б.С. Ковальского занижение величины
нагрузки в месте установки шпангоута составило 6,8%.
В области навивки набегающего каната (тридцать четвертый виток)
величина давления, рассчитанная по предлагаемой методике, на 20%
выше, чем его значение, определенное по формуле Б.С. Ковальского.
На рис. 4 представлены графики зависимостей радиального давления
каната на обечайку барабана при постоянной величине натяжении каната
(рис. 4, а) и при переменном характере натяжения (рис. 4, б), когда
величина натяжения изменяется в соответствии с диаграммой подъема.
57
Рис. 4. Зависимость радиального давления qj от номера витка j:
а – при постоянном усилии натяжения каната;
б – при переменном усилии натяжения каната.
Анализируя представленные графики видно, что при переменном
характере натяжения каната (соответствующего диаграмме подъема)
происходит постепенное уменьшение натяжения навиваемого каната и
снижается радиальное давление каната на барабан. Максимальное
расхождение наблюдается в зоне намотки очередных витков каната
(тридцать четвертый виток), где недостаточный учет эффекта уменьшения
натяжения навиваемого каната приводит к завышению радиального
давления каната на 48-50%.
Выводы.
1. Разработана математическая модель намотки каната на барабан, в
которой процесс намотки каната по винтовой линии представлен в виде
последовательного надевания колец на обечайку барабана, при этом
первоначальный радиус каждого кольца выбирается из условия равенства
усилия в нем соответствующему натяжению витка каната.
2. Достоверность
разработанной
математической
модели
подтверждается тем, что вдали от подкреплений результаты расчета
совпадают с результатами, полученными по формуле Б.С. Ковальского с
погрешностью 0,6%.
58
3. Результаты проведенных расчетов показали, что для участков
обечайки барабана, находящихся в окрестности набегающего каната,
значения величины радиального давления на 20% выше, чем значения,
рассчитанные по формуле Б.С. Ковальского.
4. Недостаточный учет эффекта ослабления натяжения наматываемого
каната, происходящего в соответствии с диаграммой подъема, приводит к
завышению значений величины радиального давления в зоне намотки на
48-50%.
Литература.
1. Ковальский Б.С. Нагрузка канатных барабанов и бобин //Сб. статей:
Стальные канаты. – Киев: Техника, 1966 – Вып.3. – С. 89-106.
2. Панченко Е.В. Разработка математической модели для определения
радиальных нагрузок при многослойной намотке резинотросового каната
шахтной подъемной установки // Математическое моделирование:
Научный журнал, 2006. – №15. – С. 36-39.
3. Рутковский М.А. Обоснование применения осесимметричной
модели для расчета цилиндрических барабанов со спиральной канавкой //
Сб. науч. трудов ДонГТУ. – Алчевск: ДонГТУ, 2012 – Вып. 37. – С. 116126.
4. Заболотный К.С. Разработка физической модели барабана шахтной
подъемной машины / К.С. Заболотный, М.А. Рутковский, А.Л. Жупиев // :
Материалы международной конф. «Проблемы и перспективы
совершенствования горного оборудования: Форум горняков, 03-06 окт.
2012 г.» – Днепропетровск, 2012. – С. 186–193.
Аннотация.
В статье разработана математическая модель намотки каната на
барабан, позволяющая определить радиальное канатное давление с учетом
ослабления натяжения навитых витков, в следствии деформации обечайки.
The article describes a mathematical model of the winding rope on the
drum, which allows to determine the radial rope pressure with the weakening of
rope tension due with shell deformation.
Ключевые слова.
математическая модель намотки каната, шахтная подъемная машина,
ослабление натяжения, радиальное канатное давление
mathematical model of the rope winding , mine hoists, easing rope tension ,
radial rope pressure
59