перевод на 2 курс 4 семестр

Аттестационные испытания при переводе, восстановлении, поступлении на второе высшее
образование на математический факультет
Математика с дополнительной специальностью Информатика.
Перевод на 2 курс 4 семестр.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Предмет математического анализа. Исторические сведения. Связь со школьным курсом математики.
Действительные числа и их свойства. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа. Сложение, умножение и сравнение действительных чисел. Аксиома непрерывности.
Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями и изображение действительных чисел на прямой.
Примеры числовых множеств: интервалы, отрезки, промежутки и др. Ограниченные и неограниченные множества. Неограниченность сверху множества натуральных чисел. Верхняя и
нижняя грани числового множества. Теорема существования верхней и нижней граней. Свойства
верхних и нижних граней числовых множеств.
История возникновения и развития понятия функции. Числовые функции. Способы задания
и график функции. Арифметические операции над функциями. Композиция функций. Обратная
функция. Монотонные функции. Периодические функции. Чётные и нечётные функции. Основные
элементарные функции. Степенная функция с натуральным, целым и рациональным показателями.
Определение степени с действительным показателем. Показательная функция и её свойства. Логарифмическая функция и её свойства. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Задачи, приводящие к понятию предела последовательности. Определение предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Примеры. Ограниченные и неограниченные последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. Бесконечно
малые последовательности и их свойства. Бесконечно большие последовательности и их связь с
бесконечно малыми. Арифметические свойства предела последовательности; теоремы о пределе
суммы, произведения и частного. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе
промежуточной последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной и ограниченной последовательности. Число е. Теорема Кантора. Подпоследовательности.
Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема БольцаноВейерштрасса. Использование предела последовательности для измерения геометрических величин в школьном курсе математики.
Задачи, приводящие к понятию предела функции. Определение предела функции. Примеры. Предел функции по Гейне. Арифметические свойства предела функции; теоремы о пределе
суммы, произведения и частного. Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе
промежуточной функции. Теорема о пределе композиции. Предел отношения синуса к аргументу,
стремящемуся к нулю. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие и их связь
с бесконечно малыми. Расширение понятия предела функции на бесконечно удалённые точки. Показательно-степенная функция. Пределы, связанные с числом е. Пределы функции слева и справа.
Определение непрерывности функции в точке и на множестве. Примеры непрерывных и
разрывных функций. Свойства непрерывных функций; непрерывность суммы, произведения,
частного и композиции. Теорема о непрерывности обратной функции. Точки разрыва и их классификация. Точки разрыва монотонной функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема о промежуточном значении, теоремы об ограниченности и о наибольшем и наименьшем значениях. Равномерная непрерывность функции на множестве. Примеры равномерно и неравномерно непрерывных функций. Свойства равномерно непрерывных функций. Теорема о равномерной
непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение дифференцируемости функции
и производной. Производные основных элементарных функций. Геометрический и физический
смыслы дифференцируемости и производной. Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Непрерывность диффе-
ренцируемой функции. Свойства дифференцируемых функций. Дифференцирование суммы, произведения, частного, композиции и обратной функции. Дифференциал, его геометрический и физический смыслы. Инвариантность формы дифференциала относительно замены переменной.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правила Лопиталя для раскрытия неопределённостей типа 0/0 и /. Формула Тейлора. Вычисление приближённых значений функций с помощью
формулы Тейлора.
Экстремум функции. Исследование функции на возрастание, убывание и экстремум с помощью производной. Выпуклые функции и точки перегиба. Необходимое и достаточное условие
выпуклости дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
Асимптоты.
Различные способы задания кривых на плоскости. Параметрически заданные кривые. Примеры. Кривые, заданные уравнением в полярных координатах. Примеры. Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Нахождение касательных к параметрически заданным
кривым на плоскости.
Определение первообразной функции и неопределённого интеграла. Таблица неопределённых интегралов основных элементарных функций. Свойства неопределённого интеграла: вынесение постоянного множителя за знак интеграла, интегрирование суммы. Интегрирование по частям
и замена переменных в неопределённом интеграле. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших иррациональных функций. Подстановки Эйлера. Интегрирование тригонометрических функций. Неопределённый интеграл в школьном курсе математики.
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Интегральные суммы Римана и
определённый интеграл. Простейшие свойства определённого интеграла: вынесение постоянного
множителя за знак интеграла, интегрирование суммы, интегрирование неравенств. Ограниченность интегрируемой функции. Верхние и нижние суммы Дарбу. Критерий интегрируемости.
Верхний и нижний интегралы функции. Аддитивность определённого интеграла. Интегрируемость непрерывной функции и ограниченной функции, имеющей конечное множество точек разрыва. Интегрируемость монотонной функции.
Определённый интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Непрерывность
определённого интеграла как функции верхнего предела. Дифференцирование интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой
переменной в определённом интеграле. Определённый интеграл в школьном курсе математики.
Понятие квадрируемой фигуры на плоскости и её площади. Свойства квадрируемых фигур.
Критерий квадрируемости. Вычисление площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла. Нахождение площади криволинейной трапеции и криволинейного сектора, заданного
уравнением в полярных координатах.
Понятие спрямляемой кривой на плоскости и её длины. Вычисление длины гладкой кривой
с помощью определённого интеграла.
Понятие кубируемого тела в пространстве и его объёма. Вычисление объёма тела вращения
с помощью определённого интеграла. Вычисление площади поверхности тела вращения.
Приложение определённого интеграла к нахождению некоторых физических величин: пути, массы, работы, статических моментов и координат центра тяжести и др.
Расширение понятия определённого интеграла на случаи некомпактных промежутков и неограниченных функций. Несобственные интегралы и их свойства. Сходящиеся и расходящиеся
несобственные интегралы. Необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы.
Понятие числового ряда и его суммы. Примеры. Геометрическая прогрессия. Сходящиеся и
расходящиеся числовые ряды. Простейшие свойства сходящихся рядов: умножение на константу
и сумма сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Гармонический ряд. Сходимость
рядов с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами. Сравнение сходимости рядов с неотрицательными членами. Признаки
Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Условно сходящиеся ряды. Теорема Римана.
Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Область сходимости. Примеры. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов. Непрерывность предела равномерно
сходящейся последовательности и суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
Интегрирование равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Дифференцирование равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Примеры. Свойства степенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора. Разложение
в ряд Тейлора основных элементарных функций. Вычисление приближённых значений функций с
помощью рядов.
Определение тригонометрического ряда и ряда Фурье. Формулы для коэффициентов ряда
Фурье. Теорема о разложении в ряд Фурье кусочно-гладкой функции. Равномерная сходимость
ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье непрерывно
дифференцируемой функции.
Расстояние между точками в пространстве Rn. Неравенство Коши-Буняковского. Окрестности точек. Внутренние, внешние и граничные точки множества. Ограниченные множества. Компактные множества. Связные множества. Функции нескольких переменных.
Определение предела последовательности в пространстве Rn. Сходящиеся и расходящиеся
последовательности. Связь предела последовательности в Rn с пределами её координатных последовательностей. Свойства предела последовательности в Rn. Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса в Rn.
Определение предела и непрерывности функции нескольких переменных. Свойства предела
и непрерывности функции нескольких переменных. Теорема об ограниченности непрерывной
функции на компактном множестве. Теорема о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Равномерная непрерывность функции нескольких переменных и её свойства. Теорема о равномерной непрерывности
функции, непрерывной на компактном множестве.
Студенты должны уметь
1. Строить эскизы графиков функций, используя линейные и модульные преобразования графиков.
2. Исследовать ограниченность множеств и находить их грани.
3. Используя определение предела, доказывать сходимость и расходимость последовательностей.
4. Вычислять пределы последовательностей.
5. Используя определение предела, доказывать равенства, связанные с пределом функции.
6. Вычислять пределы функций.
7. Доказывать по определению непрерывность функции в точке.
8. Находить и классифицировать точки разрыва функций.
9. Дифференцировать функции.
10. Находить производные высших порядков.
11. Вычислять пределы функций с помощью правил Лопиталя и формулы Тейлора.
12. Исследовать функции и строить их графики.
13. Вычислять неопределённые и определённые интегралы.
14. Вычислять площади плоских фигур, длины плоских кривых, объёмы и площади поверхностей тел вращения с помощью определённого интеграла.
15. Исследовать сходимость и вычислять несобственные интегралы.
16. Исследовать сходимость числовых рядов.
17. Исследовать характер сходимости функциональных последовательностей и функциональных рядов.
18. Доказывать равномерную сходимость функциональных рядов, используя достаточный признак Вейерштрасса.
19. Находить промежутки сходимости степенных рядов.
20. Раскладывать функции в ряд Тейлора.
21. Раскладывать функции в ряд Фурье.
22. Строить линии уровня функций двух переменных и поверхности уровня функций трёх переменных.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1,2,3. – М.: Дрофа, 2003-2006.
2. Архипов Г.И., В.А. Садовничий, Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. –
М: Дрофа, 2004.
3. Зорич В.А. Математический анализ, т.1,2. – М.: МЦНМО, 2007.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, т.1,2. – М.: Физматлит, 2006.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1,2. – СПб.: Лань, 2006.
6. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Физматлит, 2001.
7. Асланов Р.М., Джабраилов М.С., Колягин С.Ю., Топунов М.В. Математический анализ,
ч.1,2. – М.: Изд-во МПГУ, 2005-2006.
8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: АСТ,
2005.
9. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу, т.1,2,3. – М.: Физматлит, 2003.
10. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу, кн.1, 2. – М.: Высшая школа, 2002.
11. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: ЛКИ, 2008.
12. Брайчев Г.Г., Колягин С.Ю., Топунов М.В. Интегральное исчисление функций нескольких
переменных. – М.: Прометей, 2002.
13. Колягин С.Ю., Быкова О.Н. Практические занятия по математическому анализу, ч.1. –
М.: Изд-во МПГУ, 2009.
АЛГЕБРА
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия
над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корня nой степени из комплексного числа. Корни n-ой степени из единицы. Первообразные корни.
2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы. Фактормножество. Сюръективные, инъективные и биективные функции. Композиция функций.
3. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И КЛАССЫ ВЫЧЕТОВ
Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель двух целых чисел. Алгоритм
Евклида. Теорема о разложении натурального числа в произведение простых чисел. Каноническое
разложение натурального числа.
Свойства отношения сравнимости по натуральному модулю. Классы вычетов по модулю n.
Операции над классами вычетов.
4. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ НАД ПОЛЕМ
Полиномы над полем. Степень полинома. Теорема о делении с остатком. Теорема Безу.
Схема Горнера. Рациональные корни полиномов с целыми коэффициентами.
Наибольший общий делитель двух полиномов и алгоритм Евклида.
Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность.
5. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Кольцо квадратных матриц. Обратимость квадратных матриц, обратная матрица. Способ
вычисления обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Определитель n-го порядка и его свойства Определитель произведения двух матриц. Способы вычисления определителей n-го порядка.
Вычисление обратной матрицы с помощью определителей.
6. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Решение и
исследование системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных. Понятие общего и частного решений системы линейных уравнений. Критерий совместности
системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).
Матричная запись решения систем линейных уравнений. Теорема Крамера.
7. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ УМНОЖЕНИЕМ
Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис и ранг системы векторов. Базис и размерность конечномерного векторного пространства.
Изоморфизмы векторных пространств. Необходимое и достаточное условие изоморфизма
конечномерных векторных пространств.
Подпространства. Линейные многообразия. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств. Условие, при котором сумма подпространств является прямой.
Линейные операторы. Ядро и образ линейного оператора, ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта. Матрица оператора в данном базисе. Матрица перехода от
базиса к базису. Связь между матрицами оператора в различных базисах. Собственные векторы и
собственные значения линейного оператора. Свойство корней характеристического уравнения
оператора. Условия приведения матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Векторное пространство со скалярным умножением, примеры. Ортогональная система векторов, ее независимость. Процесс ортогонализации.
Евклидово векторное пространство. Норма вектора.
8. ГРУППЫ
Группа. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппы. Морфизмы групп.
Простейшие свойства гомоморфизма групп. Смежные классы по подгруппе. Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Теорема Лагранжа. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теоремы о гомоморфизмах групп. Теорема Кэли.
Порядок элемента в группе. Циклические группы. Описание бесконечных и конечных циклических групп.
9. КОЛЬЦА
Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Область целостности.
Поле. Простейшие свойства поля. Примеры полей. Подполе.
Идеалы кольца. Отношение сравнимости по идеалу. Факторкольцо. Морфизмы колец. Ядро
и образ гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах колец.
Характеристика кольца. Поле частных области целостности.
Определение делимости в коммутативных кольцах. Простые и составные элементы области
целостности. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. Факториальные кольца. Взаимосвязи
между различными классами колец. НОК и НОД в коммутативных кольцах.
ПЕРЕЧЕНЬ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
1. Решить систему уравнений с действительными коэффициентами методом последовательного
исключения переменных:
х1 + 2х2 + 3х3 + х4 = 1,
-2х1 + 2х2 - 4х3 + 2х4 = 6,
3х1 + 2х2 + 8х3 + х4 = -3.
2. Решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными с комплексными коэффициентами
методом Крамера:
7х1 -3 х2=1,
3х1 + х2=5.
3. Решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами: x2 - (1 + i)x + 6+3i = 0.
4. Найти геометрическое место точек, изображающих комплексные числа, если заданы ограни
чения на модуль или аргумент: а) 1  | z - 2i | < 2; б) 2 < | z |  3, 0  arg z < 4 .
5. Выполнить указанные действия над комплексными числами: а)
(1  i ) 9
; б)
(1  i ) 7
 3  i


 1i 


30
.
6. Найти все обратимые элементы и все делители нуля в данном кольце классов вычетов:
а) Z12; б) Z40; в) Z23.
7. Разложить полином f(x) по степеням двучлена х - х0 с помощью схемы Горнера:
f(x)= x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 1, x0 = -1
8. Определить кратность корня -2 для полинома x5 + 7х4 + 16x3 + 8x2 - 16x - 16 с помощью
схемы Горнера.
9. Найти рациональные корни целочисленного полинома:
а) 6х4 + 19x3 - 7x2 - 26х+ 12; б) х5 - 2х4 - 4x3 + 4x2 - 5х+ 6; в) 24х5 + 10х4 - x3 - 19x2 - 5х+ 6.
10. Найти НОД полиномов : f(x)= x4 + x3 +4x2 -2x -1, g(x)= 2x3 - x2 +3x -2 и его линейное выражение
11. Определить, является ли множество группой (кольцом, полем) относительно данных операций:
а) является ли множество G={<a, b> | a0, a, bQ} группой относительно операции ,
определенной следующим образом: <a, b>  <c, d> = <ac, ad+b> ?
б) является ли множество P1 = {<m, n> | m, nN} кольцом относительно операций  и ,
заданных следующим образом <m, n>  <k, l> = <m+k, n+l> , <m, n>  <k, l> = <mk +nl, ml+nk>?
12. Найти базис системы векторов и координаты всех векторов системы в найденном базисе: a1
= (2, 1, -3, 1), a2 = (2, 2, -6, 2), a3 = (6, 3, -9, 3), a4 = (1, 1, 1, 1).
13. Найти ранг матрицы:
 1

1 / 2
1 / 3

1 / 4

2
3
1
3/ 2
2/3
1
1/ 2
3/ 4
4 

2 .
4 / 3

1 
14. Найти базис и размерность суммы и пересечения данных подпространств:
L1= <(2, -1, 0, -2), (3, -2, 1, 0), (1, -1, 1, -1)> и L2= <(3, -1, -1, 0), (0, -1, 2, 3), (5, -2, -1, 0)>.
15. Найти фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений:
х1 + 2х2 + 4х3 - 3х4 = 0,
3х1 + 5х2 + 6х3 - 4х4 = 0,
4х1 + 5х2 - 2х3 + 3х4 = 0,
3х1 + 8х2 + 24х3 -19х4 = 0.
3
2
2
5

3
4 
16. Вычислить обратную матрицу для матрицы  1 3 1  с помощью элементарных преобразо

ваний и с помощью алгебраических дополнений.
17. Вычислить определитель 4-го порядка:
4
3
3
5
3
4
3
2
3
2
5
4
2
4
2
3
18. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданных в некотором базисе матрицей:
 2 1 1 

.
  1 2  1
 0
0
1 

19. Найти размерность ядра (образа) линейного оператора, заданного матрицей
 3 5  4 2

.
 2 4  6 3
11 17  8 4 


20. Вычислить порядок каждого элемента в группе корней n-ой степени из единицы, если n=5; 6;
8; 9.
21. Доказать, что данные группы (кольца, поля) изоморфны:
а) <Z, + >  <{4k | kZ},  >; б) <Z, +,  >  <Z,* ,  >, где x* y = x+y+3, xy = xy+3x+3y+6.
22. Найти левостороннее (правостороннее) разложение группы Z[i] по подгруппе 2Z[i].
23. Проверить, является ли данная подгруппа R нормальной в C.
24. Проверить, будет ли данное подмножество кольца его идеалом: а) Z в Z[i]; б) Z в Z[x]; в) 3Z в Z.
25. Найти характеристику данного кольца Z;
; R; C.
26. Найти поле частных кольца Z[i ].
27. Докажите, что элементы 2, -2, 2i, -2i приводимы в кольце Z[i].
28. Построить факторкольцо числового кольца Z по идеалу 6Z.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.:Наука, 1977.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. –
М.: Просвещение, 1993.
5. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во
"Лань", 2005.
6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1970.
7. Сборник задач по алгебре / Под ред. А.И. Кострикина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
8. Винберг Э.Б. Курс алгебры. – М.:Факториал, 1999.
9. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1973.
10. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. – М.: Наука, 1980.
1.
2.
3.
4.
ГЕОМЕТРИЯ
Линия второго порядка. Векторы и прямые асимптотического направления относительно
линии 2-го порядка, тип линии, теорема об асимптотических направлениях. Лемма о векторе
асимптотического направления параболического типа. Лемма о координатах середины хорды, теорема о центре линии 2-гопорядка. Центральные и нецентральные линии
Касательная к линии 2-го порядка. Обыкновенные и особые точки. Уравнение касательной
к линии 2-го порядка. Теорема о диаметре линии 2-го порядка, свойства, сопряженные диаметры.
Сопряженные направления относительно линии 2-го порядка, их свойства. Главные направления
относительно линии 2-го порядка, формула для нахождения главных направлений линии 2-го порядка. Главные диаметры линии 2-го порядка, свойства, уравнения диаметров. Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.
Координаты точек в пространстве. Простейшие задачи в координатах.
Определители перехода и их свойства. Ориентация пространства. Формулы преобразования
координат в пространстве.
Смешанное произведение векторов. Теорема о смешанном произведении. Свойства. Векторное произведение векторов. Теорема о связи векторного и смешанного произведения. теорема о
вычислении координат векторного произведения..Свойства.
Уравнения плоскости, заданной различными способами. Теоремы об общем уравнении
плоскости. Условие параллельности вектора и плоскости. Взаимное расположение плоскости и
системы координат. Геометрический смысл знака четырехчленна Ax+Вy+Cz+D. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Взаимное расположение трех плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Угол
между плоскостями. Способы задания прямой в пространстве. Лемма о направляющем векторе
прямой. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Метрические задачи теории прямых. Метод сечений.
Поверхности вращения. Эллипсоид и его свойства. Однополостный гиперболоид и его
свойства. Двуполостный гиперболоид и его свойства. Эллиптический параболоид и его свойства.
Гиперболический параболоид и его свойства. Прямолинейные образующие поверхностей второго
порядка. Цилиндрические поверхности и их уравнения. Цилиндрические поверхности второго порядка. Конические поверхности и их уравнения. Конические поверхности второго порядка.
n-мерное векторное пространство. Задание подпространства векторного пространства. Билинейная форма. Теорема о существовании в Vn базиса с сопряженными базисными векторами.
Евклидово n-мерное векторное пространство. Свойства скалярного произведения. Теорема о существовании ортонормированного базиса
Аффинное n-мерное пространство. Свойства Аn. Формулы преобразования системы координат.
К-мерные плоскости. Способы задания. Теорема об общем уравнении к-плоскости. Задание
плоскости системой линейно независимых точек. Взаимное расположение к-плоскостей. Гиперплоскость.
Евклидово n-мерное пространство.
Квадратичные формы. Ранг квадратичной формы. Теоремы о каноническом и нормальном
виде квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Признак положительно определенной квадратичной формы.
Квадрики. Центр квадрики. Цилиндрические квадрики и конические квадрики. Теорема о приведении квадрики к нормальному виду. Классификация нецилиндрических квадрик.
Параллельное проектирование и его свойства.
Аффинные отображения. Аффинная эквивалентность фигур.
Изображения. Свойства изображений. Теорема об изображениях. Изображения плоских
многоугольников. Изображение окружности. Изображение пространственных фигур. Теорема
Польке-Шварца. Изображение многогранников. Изображение шара. Изображение цилиндра.
Изображение конуса. Основные понятия аксонометрии.
Проективная плоскость, ее свойства. Модели проективной плоскости. Проективный репер на
прямой. Координаты точки на прямой. Проективный репер на плоскости. Координаты точки на
плоскости. Теорема о координатах проекций точки.
Преобразования проективных координат на прямой и плоскости. Уравнения прямой на проективной плоскости. Взаимное расположение прямых. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
Сложное отношение четырех точек прямой. Теорема о вычислении сложного отношения.
Сложное отношение четырех точек прямой и четырех прямых пучка. Свойства. Полный четырехвершинник и его свойства. Проективное отображение прямых и пучков. Основная теорема. Перспективное отображение прямых и пучков. Критерий перспективного отображения. Проективные
преобразования прямых. Основная теорема.
Инволюция и ее свойства. Проективные преобразования плоскости. Основная теорема.и их
свойства. Проективные преобразования плоскости и их свойства. Гомология и ее свойства.
Линии второго порядка на проективной плоскости. Классификация. Пересечения линий второго порядка с прямой. Касательные к овальной линии. Полюсы и поляры. Свойства овальной линии второго порядка. Теорема Штейнера. Обратная теорема Штейнера. Теорема Паскаля. Обратная теорема Паскаля.
Аксиоматика Гильберта евклидова пространства. Аксиомы принадлежности и следствия из
них. Аксиомы порядка и следствия из них. Теорема о полуплоскости и о луче. Аксиомы конгруэнтности и следствия из них. Признаки конгруэнтности треугольников. Аксиомы непрерывности и
параллельности. Следствия. Теорема о внешнем угле треугольника..
«Начала» Евклида. Их характеристика. Проблема пятого постулата Евклида. Пятый постулат
Евклида и его основные эквиваленты.
ПЕРЕЧЕНЬ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ:
1. Написать каноническое уравнение эллипса с эксцентриситетом   3 и большой полуосью
a  3.
3
2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее директрисами равно
8
и   3.
3
2
3. Написать уравнения асимптот линии второго порядка 4 x 2  12 xy  9 y 2  36 x  100  0 .
2
4. Дана парабола y  10 x . Найти касательные к этой параболе в точках ее пересечения с прямой
y  4x  5 .
5. Найти касательную к гиперболе
x2
y2

1
9
4
,
проходящую через точку
 3,1 .
x2
y2

1
16
4
,
6. Написать уравнения двух сопряженных диаметров эллипса
один из которых паx

2
y

1

0
раллелен прямой
.
7. Написать уравнение главного диаметра и найти координаты вершины параболы
x 2  2 x  y  1  0 (ПДСК).
8. Определить вид линии второго порядка, не приводя ее уравнение к каноническому виду
2
2
а) 2 xy  4 x  2 y  5  0 ; б) 9 x  24 xy  16 y  29 x  110 y  50  0 ;
9. Составить уравнение конуса с вершиной (0,0,3), направляющая которого задана уравнениями
x2
y2

 1, z  0
2
4
(ПДСК).
2
2
10. Составить уравнения цилиндра, если его направляющая имеет уравнения 2 y  3z  1  0, x  1,
p 1, 2,3
а образующая параллельна вектору 
(АСК).
11. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического параболоида
4 x 2  y 2  16 z , которые пересекаются в точке А(2,0,1) (ПДСК).
12. Составить
2
2
уравнения
прямолинейных
образующих
однополостного
гиперболоида
2
x
y
z


1
9
4 16
, перпендикулярных оси Oy (ПДСК).
13. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического
4x 2  y 2  z , которые образуют с прямой x  y  0, z  0 угол 450 (ПДСК).
14. Изобразить геометрическое тело, ограниченное плоскостью
2
2
и поверхностью x  y  z .
x y
 1
2 2
,
параболоида
плоскостями координат
15. Через данную точку А провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данной прямой и
окружности делился точкой пополам.
16. Построить квадрат, если дан его центр и две точки, принадлежащие противоположным сторонам квадрата.
17. Написать формулы движения, единственная инвариантная прямая которого параллельна пряB  0,1  B  2,1
мой x  y  6  0 и
.
18. Найти уравнение прообраза прямой 3x  y  2  0 при движении 1 рода, при котором прямая
2 x  y  0 инвариантна, а прямая 4 x  3 y  0 переходит в прямую 4 x  3 y  4  0 .
M  6, 2
19. Найти образ точки
при движении, не имеющем инвариантных точек и переводящем
A  0,1  A  3, 2 B  1,0  B  2,1
,а
.
 3, 2 при движении первого рода, для которого точка
20. Найти координаты прообраза точки
 0, 0  инвариантна, прямая x  3 y  1  0 переходит в прямую 3x  y  1  0 .
21. Доказать, что формулы, записанные в ПДСК, задают движение, определить его вид и задающие элементы, записать уравнения инвариантных прямых, найти образ и прообраз прямой
x  y 1  0
 x  1   y  1
2
при этом движении, образ и прообраз окружности
2
1
.
2
2
2
2
1
3
3
3
1
1
x
y, y  
x
y
x   x 
y
, y 
x y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2;
1)
;
2)
1
3
3
3
1
1
x  x 
y
, y 
x y


x

x

2,
y

y

6
2
2
2
2
2
2 ; 5) x   x  2, y   y  2 ;
3)
; 4)
x 
M 1, 2
22. Найти уравнение прообраза прямой 5 x  3 y  0 при гомотетии с центром в точке 0   , которая переводит прямую 2 x  y  1  0 в прямую 2 x  y  5  0 .
23. Построить прообраз данной прямой при гомотетии, заданной парой соответствующих точек
A  A и инвариантной прямой b .
a  a a a
24. Сдвиг задан парой соответствующих прямых
и инвариантной прямой b . Построить образ данного треугольника (квадрата, параллелограмма) при данном сдвиге. Сколько
решений имеет задача?
25. Определить вид движения пространства x '  y, y '   z  2, z '  x .


26. Построить прямую a : x1  x 2  2 x3  0 в репере R   A1 , A2 , A3 , E  .
27. Изобразить два трехвершинника, центр перспективы которых – несобственная точка, а ось
перспективы – собственная прямая.
28. Вычистить сложное отношение четырех точек А(1,0,1), В(1,1,1), С(2,1,4), D(0,1, 2) по их проективным координатам на плоскости.
29. Проективное отображение f : d  d  задано тремя парами соответствующих точек
A  A, B  B, C  C  . Построить образ точки M  d при этом отображении.
30. Параболическая гомология f задана центром S , осью s и парой точек A  A . Построить
точку f 2  B  , где В – данная точка, не принадлежащая прямой  AA .
31. Дана точка М внутри овальной линии. Построить поляру этой точки.
32. Даны пять точек общего положения и прямая, проходящая через одну из них и не проходящая
через остальные точки. Построить вторую точку пересечения данной прямой с овальной линией, проходящей через данные пять точек, используя теорему Штейнера.
33. Построить прямую a : x1  x 2  x3  0 в репере R   A1 , A2 , A3 , E  .
34. Изобразить два трехвершинника, центр перспективы которых – собственная точка, а ось перспективы – несобственная прямая.
35. На прямой даны три точки А, В, С. Построить точку D такую, что  AB, CD   2 .
36. Проективное отображение f : d  d  задано тремя парами соответствующих точек
A  A, B  B, C  C  . Построить прообраз точки M   d  при этом отображении.
37. Параболическая гомология f задана осью s , центром S и парой точек A  A . Построить образ данной прямой d .
38. Дана овальная линия Q и точка M  . Построить поляру точки M  относительно Q .
39. Овальная линия второго порядка задана пятью точками общего положения. Построить несколько точек этой линии, используя теорему Паскаля.
40. Доказать, что две плоскости либо не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.
41. Доказать, плоскость и не лежащая в ней прямая имеют не более одной общей точки.
42. Доказать, что через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
43. Доказать, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
44. Доказать, что каковы бы ни были две точки Х и У, существует хотя бы одна точка А, лежащая
между точками Х и У.
45. Доказать, что если F - внутренняя точка угла MKN , то луч  KF  - внутренний луч угла
MKN .
46. Доказать, что в равнобедренном треугольнике FGH углы при основании равны.
47. Доказать первый признак равенства треугольников. (Даны треугольники ASD и AS D . Если
AS  AS , DS  DS , S  S  , то ASD  AS D .)
48. Доказать, что если равны углы JKL и J K L , то равны смежные им углы.
49. Доказать, что через любую точку R можно провести прямую перпендикулярную данной прямой t .
50. Доказать четвертый признак равенства треугольников. (Даны треугольники ASD и AS D . Если AS  AS , A  A, D  D , то ASD  AS D .)
51. Доказать, что если направленные прямые  SD   KL  , то: а) существует ось симметрии этих
прямых; б)  KL 
 SD  ; в)  DS   LK  .
52. Доказать, что при пересечении двух направленных прямых  SD   KL  третьей прямой YU 
внутренние накрест лежащие углы не равны. При этом меньшим является тот из углов, сторона которого, не принадлежащая секущей, имеет направление, в котором данные прямые параллельны.
53. Доказать, что у любой пары параллельных прямых  SD   KL  существует хотя бы одна равнонаклонная.
54. Доказать, что в любой точке каждой из двух параллельных прямых  SD   KL  существует
единственная равнонаклонная.
55. Доказать, что сумма углов треугольников на плоскости Лобачевского не постоянна.
56. Доказать, что сумма углов любого выпуклого четырехугольника меньше 4d .
57. Доказать, что если три угла одного треугольника равны соответственно трем углам другого
треугольника, то треугольники равны.
58. Доказать, что угол, вписаный в окружность и опирающийся на диаметр, острый.
59. Доказать, что любая прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.
60. Доказать, что касательная к окружности имеет с окружностью единственную общую точку.
61. Доказать, что любая прямая пересекает эквидистанту не более, чем в двух точках.
62. Доказать, что эквидистанта симметрична относительно любой своей оси.
63. Доказать, что любая хорда эквидистанты есть секущая равного наклона к осям, проходящим
через концы хорды.