6 класс, сериянс - 1, с теорией и делимостью

6 класс, сериянс - 1, с теорией и делимостью
ТЕОРИЯ. Сформулируйте и докажите признак делимости на 11, 25, 99, 101, 1001,
37, 13.
1. В ряд выписаны 100 чисел. Первые два числа равны 1, а каждое число, кроме
первого и последнего, на единицу меньше произведения двух соседних с ним.
Чему равно произведение всех этих чисел?
2. В школе учится 450 школьников, которые сидят за 225 партами. Известно, что
ровно половина девочек сидит за одной партой с мальчиками. Докажите, что
нельзя так пересадить школьников, чтобы ровно половина мальчиков сидела за
одной партой с девочками.
3. По кругу лежат 7 непустых коробок, в которых в сумме находится не более 36
бриллиантов. В любых двух соседних коробках количество лежащих в них бриллиантов отличается на 2 или на 3. Какое наибольшее число бриллиантов может лежать в одной коробке?
4. Сколькими способами можно разбить числа 1, 2, …, 13 на несколько групп с равными суммами чисел в этих группах?
5. Найдите все пары натуральных чисел (a, b), для которых НОК(a, b) + НОД(a,
b) = 77
6. Можно ли подобрать 6 таких натуральных чисел, чтобы их попарными Наибольшими Общими Делителями были числа 1, 2, 3, ….., 14, 15?
7. Последовательные числа 22, 23 и 24 обладают тем свойством, что в разложение
каждого из них на простые множители каждый множитель входит в нечетной степени: 22=21•111, 23=231, 24=23•31. А какое наибольшее количество последовательных натуральных чисел может обладать таким свойством?
8. Известно, что n2= a×b, причем (a, b) = 1. Докажите, что и a, и b – точные квадраты.
9. Остатки от деления натурального числа на 10, 11, 12, …, 20 выписали в строчку. Оказалось, что каждое число, начиная со второго,
больше предыдущего. Докажите, что в строчке записаны 11 последовательных целых чисел
10. Из 4 монет одна фальшивая – но неизвестно, легче она или тяжелее настоящей. Кроме того, имеется одна заведомо настоящая монета. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах без гирь
определить фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее?
6 класс, сериянс - 1, с теорией и делимостью
ТЕОРИЯ. Сформулируйте и докажите признак делимости на 11, 25, 99, 101, 1001,
37, 13.
1. В ряд выписаны 100 чисел. Первые два числа равны 1, а каждое число, кроме
первого и последнего, на единицу меньше произведения двух соседних с ним.
Чему равно произведение всех этих чисел?
2. В школе учится 450 школьников, которые сидят за 225 партами. Известно, что
ровно половина девочек сидит за одной партой с мальчиками. Докажите, что
нельзя так пересадить школьников, чтобы ровно половина мальчиков сидела за
одной партой с девочками.
3. По кругу лежат 7 непустых коробок, в которых в сумме находится не более 36
бриллиантов. В любых двух соседних коробках количество лежащих в них бриллиантов отличается на 2 или на 3. Какое наибольшее число бриллиантов может лежать в одной коробке?
4. Сколькими способами можно разбить числа 1, 2, …, 13 на несколько групп с равными суммами чисел в этих группах?
5. Найдите все пары натуральных чисел (a, b), для которых НОК(a, b) + НОД(a,
b) = 77
6. Можно ли подобрать 6 таких натуральных чисел, чтобы их попарными Наибольшими Общими Делителями были числа 1, 2, 3, ….., 14, 15?
7. Последовательные числа 22, 23 и 24 обладают тем свойством, что в разложение
каждого из них на простые множители каждый множитель входит в нечетной степени: 22=21•111, 23=231, 24=23•31. А какое наибольшее количество последовательных натуральных чисел может обладать таким свойством?
8. Известно, что n2= a×b, причем (a, b) = 1. Докажите, что и a, и b – точные квадраты.
9. Остатки от деления натурального числа на 10, 11, 12, …, 20 выписали в строчку. Оказалось, что каждое число, начиная со второго,
больше предыдущего. Докажите, что в строчке записаны 11 последовательных целых чисел
10. Из 4 монет одна фальшивая – но неизвестно, легче она или тяжелее настоящей. Кроме того, имеется одна заведомо настоящая монета. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах без гирь
определить фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее?
6 класс, серия нс - 2, НЕлюбимая НЕпрерывность
11. Миша и Костя выходят из пункта А, а навстречу им из пункта Б выходят Оля и
Андрей. Причем Миша идет в два раза быстрее Кости, а Андрей – в три раза быстрее Оли. Какая встреча произойдёт ближе к пункту А – Оли и Кости или Андрея и
Миши?
12. Докажите, что если (n-1)!+1 делится на n, то n – простое число.
13. Известно, что существуют 2013 последовательных натуральных чисел, среди
которых нет ни одного простого числа (кстати, а почему? Докажите!). А заодно докажите, что существует 2013 последовательных натуральных чисел, среди которых
ровно 5 простых чисел.
14. В ряд выложено 100 черных и 100 белых шаров, причем самый левый и самый
правый шары – черные. Докажите, что можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все!) так, что среди них количество белых равно количеству черных.
15. а) На плоскости дано 100 точек. Докажите, что есть прямая, по обе стороны от которой лежит по 50 точек данного
набора. б) На плоскости дана 101 точка. Обязательно ли
найдется прямая, которая проходит ровно через одну из данных точек, а по обе стороны от ее лежат по 50 точек из данного набора?
16. а) Цифры числа N как-то переставили, и оно уменьшилось
в 3 раза. Доказать, что N делится на 27. б) Суммы цифр чисел
A и 2A равны. Докажите, что А делится на 9.
17. Докажите, что простых чисел бесконечно много.
18. На доске написано число 1. Каждую секунду к числу на доске прибавляют сумму
его цифр. Может ли через некоторое время на доске появиться число 123456?
19. Докажите, что если НОК(a, a + 5)=НОК(b, b + 5) , то a=b.
20. Два кота делят огромную цепочку из 100 свиных и
200 говяжьих сосисок., причем разделить ее так, чтобы
каждому досталось ровно по половине сосисок каждого вида. Какое минимальное число разрезов надо
сделать для этого?
6 класс, серия нс - 2, НЕлюбимая НЕпрерывность
ТЕОРИЯ по сравнениям
11. Миша и Костя выходят из пункта А, а навстречу им из пункта Б выходят Оля и
Андрей. Причем Миша идет в два раза быстрее Кости, а Андрей – в три раза быстрее Оли. Какая встреча произойдёт ближе к пункту А – Оли и Кости или Андрея и
Миши?
1. Сравнения можно складывать и вычитать
12. Докажите, что если (n-1)!+1 делится на n, то n – простое число.
Если ab (mod m), то ka ≡ kb (mod m), a+tm ≡ b (mod m)
13. Известно, что существуют 2013 последовательных натуральных чисел, среди
которых нет ни одного простого числа (кстати, а почему? Докажите!). А заодно докажите, что существует 2013 последовательных натуральных чисел, среди которых
ровно 5 простых чисел.
3. Сравнения можно умножать
14. В ряд выложено 100 черных и 100 белых шаров, причем самый левый и самый
правый шары – черные. Докажите, что можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все!) так, что среди них количество белых равно количеству черных.
15. а) На плоскости дано 100 точек. Докажите, что есть прямая, по обе стороны от которой лежит по 50 точек данного
набора. б) На плоскости дана 101 точка. Обязательно ли
найдется прямая, которая проходит ровно через одну из данных точек, а по обе стороны от ее лежат по 50 точек из данного набора?
16. а) Цифры числа N как-то переставили, и оно уменьшилось
в 3 раза. Доказать, что N делится на 27. б) Суммы цифр чисел
A и 2A равны. Докажите, что А делится на 9.
17. Докажите, что простых чисел бесконечно много.
18. На доске написано число 1. Каждую секунду к числу на доске прибавляют сумму
его цифр. Может ли через некоторое время на доске появиться число 123456?
19. Докажите, что если НОК(a, a + 5)=НОК(b, b + 5) , то a=b.
20. Два кота делят огромную цепочку из 100 свиных и 200 говяжьих сосисок., причем разделить ее
так, чтобы каждому досталось ровно по половине
сосисок каждого вида. Какое минимальное число
разрезов надо сделать для этого?
Если a  b (mod m) и c  d (mod m), то a+c  b+d(mod m), a–c  b–d(mod m)
2. Сравнения можно умножать на одно и то же число
Если a  b (mod m) и c  d (mod m), то ac  bd(mod m)
4. Сравнения можно возводить в степень
Если a  b (mod m), то an  bn (mod m),
5. Сравнения можно делить, если делятся обе части и модуль (тогда модуль
ТОЖЕ делится)
Если a ≡ b (mod m), a = a1d, b = b1d, m = m1d, то a1 ≡ b1 (mod m1)
6. Сравнения можно делить, если делятся обе части, а модуль ВЗАИМНО ПРОСТ
Если a ≡ b (mod m), a = a1d, b = b1d, НОД(m, d)=1, то a1 ≡ b1 (mod m)
7. Если a≡b (mod m1), a≡b (mod m2),…, a≡b (mod mk), то a≡b (mod m), где m = НОК
(m1,m2, …, mk)
8. Если a≡b (mod m), то a≡b (mod d), где d | m.
9. Если a≡b (mod m), то (a, m) = (b,m).
Отдельная упражнялка по сравнениям
1. На какую цифру оканчивается число а) 777777; б) 72013+92013?
2. Найдите остаток от деления 32013 на 7.
3. Найдите остаток от деления:
а) числа 9100 на 8;
б) числа 12100 на 13;
в) числа 2349 на 7;
г) числа 275  276  277  278 на 5.
4. Найти остаток от деления на 3 следующих чисел
а) 1316–255515;
б) 776776+777777+778778 ;
в) 418+517.
5. Найдите остаток от деления:
а) числа 7778×7779×7780×7781×7782×7783 на 7;
б) числа 1000100110021003 – 24 на 999;
в) числа 1000100110021003 на 1004.
6. Найти остаток от деления (116+1717)21749 на 8
7. Найдите остаток от деления на 7 числа 1010+10100+…+1010000000000.
8. Пусть 3x+7y  1 (mod 11).
а) Показать, что 3x+40y  1 (mod 11).
б) Найти остаток от деления 14x-15y на 11.
в) Найти остаток от деления 6x+3y на11.
9. Докажите, что 22225555+55552222 делится на 7.
10. На сколько нулей оканчивается число 999999+1?
11. Доказать, что если a2+b2 делится на 7, то и ab делится на 7.
12. Доказать, что 4323+2343 делится на 66.
13. Доказать, что 4343+1717 делится на 10.
14. Доказать, что (2n-1)n-3 делится на 2n-3 при любом натуральном n.
15. Доказать, что n3+5n делится на 6 при любом натуральном n.
16. Доказать, что 22n-1+3n+4 делится на 9 при любом натуральном n.
1989
17. Доказать, что 2 2
 1 делится на 17.
18. Найти, какие остатки может давать квадрат числа при делении на а) 3; б)
4; в) 5; г) 8; д)16.
19. Найти, какие остатки может давать куб числа при делении на а) 7; б) 9;
в) 13.
20. Докажите, что nn≡n (mod 8).