Фамилия, Имя

Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР2 Билет №1
Задача 1.1.
- Вероятность события, которое не может произойти, меньше 0.
- Математическое ожидание любой случайной величины больше 0.
- Матожидание любой случайной величины меньше её медианы.
- Для любых двух независимых событий А и В
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
- Если вероятность выпадения 6 на игральной кости 1/6, то наивероятнейшее
количество выпадений 6 при 7 бросках равно 7/6.
Задача 1.2.
Случайная величина подчинена
показательному (экспоненциальному)
закону распределения с интенсивностью потока событий, равному 7
событий за год. Чему равны математическое ожидание
и среднее
квадратическое отклонение такой случайной величины? Покажите эти
величины на графике распределения.
Задача 1.3.
Известно, что Y  3X  1 , причем EX  5;  X   2.
Найдите EY ,  Y ,  X , Y  .
Задача 1.4.
Дана таблица результатов наблюдений над величинами X и Y:
X
-2
-1
1
3
4
6
Y
2,5 3,5 4,0 6,0 5,5 8,5
Постройте график, отражающий связь величин. Рассматривая данные, как
выборочные наблюдения случайных величин, найдите для X точечные
несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии, оцените
влияние случайных величин друг на друга.
Задача 1.5.
Аналитик рынка ценных бумаг оценивает среднюю доходность
определенного вида акций. Случайная выборка из 16 дней показала, что
средняя доходность по акциям данного типа составляет 8% с выборочным
средним квадратическим отклонением в 4%. Предполагая, что доходность
акции подчиняется нормальному закону распределения, определите 99% -ый
доверительный интервал для средней доходности интересующего аналитика
вида акций.
Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР3 Билет №2
Задача 2.1.
Вероятность события, которое не может произойти, не существует.
Математическое ожидание любой случайной величины меньше 1.
Если Х непрерывная случайная величина, то P(X>Med X)=0.5.
Для любых двух несовместных событий А и В Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Если вероятность выпадения 6 на игральной кости 1/6, то наивероятнейшее
количество выпадений 6 при 7 бросках равно 1 .
Задача 2.2.
Имеются две зависимые случайные величины
X
и Y с известными
математическими ожиданиями и дисперсиями:
EX  4, DX  3; EY  2, DY  3. Известно
также, что
 ( X , Y )  0.4 .
Найдите
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z  2 X  3Y .
Задача 2.3.
Получены данные по затратам предприятия на рекламу своей продукции X и
объемам продаж этой продукции Y (в стоимостном выражении) за пять
месяцев:
2
3
5
3
5
X
4
5
3
4
3
Y
Рассматривая данные, как выборочные наблюдения случайных величин,
найдите для X точечные несмещенные оценки математического ожидания и
дисперсии. По наблюдениям постройте график, отражающий связь двух
параметров. Найдите выборочный коэффициент корреляции; сделайте вывод
о тесноте связи между этими параметрами.
Задача 2. 4.
Непрерывная случайная величина Y имеет плотность распределения вида
C  x 2 ,1  x  2
f ( x)  
.
0
,
x

1
,
x

2

Найдите неизвестный параметр распределения.
Вычислите M Y , DY , Y , P3 / 4  Y  2.
Задача 2.5.
Опрос 545 случайно отобранных жителей города показал, что 39% из них
довольны деятельностью вновь избранного мэра. Построить 95%-ный
доверительный интервал для генеральной доли жителей всего города,
которые довольны деятельностью мэра. Сколько следует опросить жителей
города, чтобы доверительный интервал уменьшился в четыре раза?
Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР3 Билет №3
Задача 3.1.
Вероятность события, которое не может произойти, равна 0.
Дисперсия любой случайной величины меньше 1.
Если Х непрерывная случайная величина, то P(X<Med X)=0.5.
Для любых двух событий А и В
Р(АВ)=Р(А)Р(В|А).
Если вероятность выпадения 6 на игральной кости 1/ 6, то наивероятнейшее
количество выпадений 6 при 7 бросках равно 2.
Задача 3.2.
Коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y равен
 XY  0.8 . Найдите коэффициент корреляции UV между случайными
величинами U  2 X  1 и V  3Y  2 .
Задача 3.3.
Для отрасли имеются данные по 6 предприятиям: время эксплуатации
оборудования ( в годах) и стоимость на обслуживание этого оборудования в
течение года( в тыс. долл.):
6
№ предприятия 1
2
3
4
5
6
Время
1
2
3
4
5
6
6.
Стоимость
4
4.5 5.2 5.5
7
М
Постройте график, отражающий связь двух параметров.
Рассматривая
о
данные, как выборочные наблюдения случайных величин,
найдите для X
н
точечные несмещенные оценки математического ожидания
и дисперсии,
е
найдите тесноту связи между параметрами.
т
Задача 3.4.
а
Ежедневная прибыль швейной фабрики «Платье короля»
распределена по
б
нормальному закону с таким значением параметра:р m  222 , в некоторых
условных единицах. Известно, что вероятность того, ов понедельник прибыль
компании будет лежать в диапазоне от 200 до 244 условных
единиц, равна 0.7.
ш
Найти значение среднего квадратического отклонения.
Построить график
е
плотности заданного нормального распределения и указать
на нем фигуру,
н
соответствующую указанной вероятности.
а
Задача 3.5.
2
0
Изучение роста десятилетних мальчиков одной московской
школы на основе
0
случайной выборки объемом 23 мальчика показало, что их средний рост по
р
выборке составляет 118 см с выборочным средним
квадратическим
а
отклонением 6см. Найдите 99%-ный доверительный интервал для среднего
з
возраста всех десятилетних мальчиков московских школ.
.
Н
а
й
т
Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР3 Билет №4
Задача 4.1.
Вероятность события, которое наверняка произойдёт, равна 1.
Математическое ожидание неотрицательной случайной величины
больше 0.
Если Х непрерывная случайная величина, то P(X=Med X)=0.5.
Для любых двух событий А и В
Р(АВ)=Р(А)Р(А|В).
Если вероятность выпадения 6 на игральной кости 1/6, то математическое
ожидание количества выпадений 6 при 7 бросках равно 7/6.
Задача 4.2.
Доказать, что для зависимых случайных величин X
утверждение:
и Y справедливо
D( X  Y )  D( X )  D(Y )  2 cov( X , Y )
Задача 4.3.
Дана таблица данных по затратам предприятия на рекламу своей продукции
Х и объемами продаж этой продукции Y (в условных денежных единицах) в
разные месяцы:
6
Х
3
4
5
3
Y
3,5
4,0 5,0 4,0 6,5
Построить график, отражающий связь Х и Y. Рассматривая данные, как
выборочные наблюдения случайных величин, найдите для X точечные
несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии, на основе
коэффициента корреляции Пирсона оцените их влияние друг на друга.
Задача 4.4.
Данный прибор состоит из двух устройств. Функция распределения
случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет для первого
устройства вид F (t )  1  e2t , а для второго устройства вид F (t )  1  e 3t .
Найти вероятность того, что в течение времени от 0 до T прибор будет
работать, если он функционирует при условии работы хотя бы одного
устройства.
Задача 4.5.
Случайная выборка 345 людей, обратившихся в брачное агентство, показала,
что 210 из них нашли себе пару с его помощью. Построить 95%
доверительный интервал для доли всех людей, обратившихся в это агентство
и нашедших себе супруга с его помощью. Найдите минимальный объем
выборки, при котором предельная ошибка выборки для доли всех людей,
обратившихся в это агентство и нашедших супруга, не превысит 0.015.
Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР3 Билет №5
Задача 5.1.
Функция распределения положительной случайной величины определена при
х>0.
Математическое ожидание случайной величины меньше её дисперсии.
Если Х непрерывная случайная величина, то P(X>Med X)=0 .
Р(А|А)=1.
Если вероятность выпадения 6 на игральной кости 1/6 то математическое
ожидание количества выпадений 6 при 7 бросках равно 6/7.
Задача 5.2.
Известно, что Y  3X  1, причем EX  5;  X   2.
Найдите EY ,  Y ,  X , Y  .
Задача 5.3.
Получены данные по затратам предприятия на рекламу своей продукции X и
объемам продаж этой продукции Y (в стоимостном выражении) за пять
месяцев:
2
3
5
3
5
X
4
5
3
4
3
Y
Рассматривая данные, как выборочные наблюдения случайных величин,
найдите для X точечные несмещенные оценки математического ожидания и
дисперсии. По наблюдениям постройте график, отражающий связь двух
параметров. Найдите выборочный коэффициент корреляции; сделайте вывод
о тесноте связи между этими параметрами.
Задача 5.4.
Случайная величина подчинена
показательному (экспоненциальному)
закону распределения с интенсивностью потока событий, равному 7
событий за год. Чему равны математическое ожидание
и среднее
квадратическое отклонение такой случайной величины? Покажите эти
величины на графике распределения.
Задача 5.5.
Аналитик рынка ценных бумаг оценивает среднюю доходность
определенного вида акций. Случайная выборка из 16 дней показала, что
средняя доходность по акциям данного типа составляет 8% с выборочным
средним квадратическим отклонением в 4%. Предполагая, что доходность
акции подчиняется нормальному закону распределения, определите 99% -ый
доверительный интервал для средней доходности интересующего аналитика
вида акций.
Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР3 Билет №6
Задача 6.1.
Интеграл интегральной функции распределения по всей прямой равен 1.
Дисперсия отрицательной случайной величины не больше 0.
Если Х непрерывная случайная величина, то P(X>Med X)=1
Р(В|В)=0.
Медиана всякой случайной величины обязательно совпадает с ее
математическим ожиданием.
Задача 6.2.
Имеются две зависимые случайные величины X и Y с известными
математическими ожиданиями и дисперсиями: EX  4, DX  3; EY  2, DY  3.
Известно также, что  ( X , Y )  0.4 .
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Z  2 X  3Y .
Задача 6.3.
Для отрасли имеются данные по 6 предприятиям: время эксплуатации
оборудования ( в годах) и стоимость на обслуживание этого оборудования в
течение года( в тыс. долл.):
6
№ предприятия
1
2
3
4
5
6
Время
1
2
3
4
5
6
6.
Стоимость
4
4.5 5.2 5.5
7
М
Постройте график, отражающий связь двух параметров.
Рассматривая
о
данные, как выборочные наблюдения случайных величин, найдите для X
н
точечные несмещенные оценки математического ожидания
и дисперсии,
е
найдите тесноту связи между параметрами.
т
Задача 6.4.
а
Данный прибор состоит из двух устройств. Функция распределения
случайного
б
времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет рдля первого устройства
вид F (t )  1  e 2t , а для второго устройства вид F (t )  1  eо3t .
Найти вероятность того, что в течение времени отш0 до T прибор будет
работать, если он функционирует при условии работы
хотя бы одного
е
устройства.
н
а
Задача 6.5.
2
Опрос 545 случайно отобранных жителей города показал,
что 39% из них
0
довольны деятельностью вновь избранного мэра.
0 Построить 95%-ный
доверительный интервал для генеральной доли ржителей всего города,
которые довольны деятельностью мэра. Сколько следует
опросить жителей
а
города, чтобы доверительный интервал уменьшился вз четыре раза?
.
Н
а
Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР3 Билет №7
Задача 7.1.
Интегральная функция распределения определена для любой случайной
величины.
Если Х и Y любые случайные величины, то Е(Х +Y)=Е(Х)+Е(Y).
Среднеквадратичное отклонение всегда меньше дисперсии.
Математическое ожидание случайной величины всегда положительно.
Медиана всякой случайной величины обязательно больше ее
математическим ожиданием.
Задача 7.2.
Коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y равен
 XY  0.8 . Найдите коэффициент корреляции UV между случайными
величинами U  2 X  1 и V  3Y  2 .
Задача 7.3.
Получены данные по затратам предприятия на рекламу своей продукции X и
объемам продаж этой продукции Y (в стоимостном выражении) за пять
месяцев:
2
3
5
3
5
X
4
5
3
4
3
Y
Рассматривая данные, как выборочные наблюдения случайных величин,
найдите для X точечные несмещенные оценки математического ожидания и
дисперсии. По наблюдениям постройте график, отражающий связь двух
параметров. Найдите выборочный коэффициент корреляции; сделайте вывод
о тесноте связи между этими параметрами.
Задача 7.4.
Ежедневная прибыль швейной фабрики «Платье короля» распределена по
нормальному закону с таким значением параметра: m  222 , в некоторых
условных единицах. Известно, что вероятность того, в понедельник прибыль
компании будет лежать в диапазоне от 200 до 244 условных единиц, равна 0.7.
Найти значение среднего квадратического отклонения.
Построить график плотности заданного нормального распределения и
указать на нем фигуру, соответствующую указанной вероятности.
Задача 7.5.
Изучение роста десятилетних мальчиков одной московской школы на основе
случайной выборки объемом 23 мальчика показало, что их средний рост по
выборке составляет 118 см с выборочным средним квадратическим
отклонением 6 см. Найдите 99%-ный доверительный интервал для среднего
возраста всех десятилетних мальчиков московских школ.
Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР3 Билет №8
Задача 8.1.
Интегральная функция распределения не определена для дискретной
случайной величины.
Если Х и Y любые случайные величины, то Е(ХY)=Е(Х)Е(Y).
Распределение Пуассона непрерывно.
Выбирая случайным образом ответы (из двух альтернативных вариантов,
содержащих правильный ответ) на 10 разных вопросов, вероятность ответить
8
правильно на 8 из них равна 2 .
Математическое ожидание случайной величины всегда положительно.
Задача 8.2.
Доказать, что для зависимых случайных величин X
утверждение:
и Y справедливо
D( X  Y )  D( X )  D(Y )  2 cov( X , Y )
Задача 8.3.
Дана таблица данных по затратам предприятия на рекламу своей продукции
Х и объемами продаж этой продукции Y (в условных денежных единицах) в
разные месяцы:
6
Х
3
4
5
3
Y
3,5
4,0 5,0 4,0 6,5
Построить график, отражающий связь Х и Y. Рассматривая данные, как
выборочные наблюдения случайных величин, найдите для X точечные
несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии, на основе
коэффициента корреляции Пирсона оцените их влияние друг на друга.
Задача 8.4.
Непрерывная случайная величина Y имеет плотность распределения вида
C  x 2 ,1  x  2
f ( x)  
 0, x  1, x  2 .
Найдите неизвестный параметр распределения.
Вычислите M Y , DY , Y , P3 / 4  Y  2.
Задача 8.5.
Случайная выборка 345 людей, обратившихся в брачное агентство, показала,
что 210 из них нашли себе пару с его помощью. Построить 95%
доверительный интервал для доли всех людей, обратившихся в это агентство
и нашедших себе супруга с его помощью. Найдите минимальный объем
выборки, при котором предельная ошибка выборки для доли всех людей,
обратившихся в это агентство и нашедших супруга, не превысит 0.015.
Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР3 Билет №9
Задача 9.1.
Интегральная функция распределения не определена для непрерывной
случайной величины.
Если Х и Y любые случайные величины, то D(Х +Y)=D(Х)+D(Y).
Случайная величина, распределённая по закону Пуассона, может принимать
значение 3,7.
Отвечая случайным образом на 10 вопросов, с двумя альтернативными
10
вариантами ответов, вероятность правильно ответить на 8 из них 45  2 .
Для равномерного распределения плотность распределения является
постоянной величиной на отрезке.
Задача 9.2.
Известно, что Y  3X  1 , причем EX  5;  X   2. Найдите EY ,  Y ,  X , Y  .
Задача 9.3.
Для отрасли имеются данные по 6 предприятиям: время эксплуатации
оборудования ( в годах) и стоимость на обслуживание этого оборудования в
течение года( в тыс. долл.):
6
№ предприятия
1
2
3
4
5
6
Время
1
2
3
4
5
6
6.
Стоимость
4
4.5 5.2 5.5
7
М
Постройте график, отражающий связь двух параметров.
Рассматривая
о
данные, как выборочные наблюдения случайных величин,
найдите для X
н
точечные несмещенные оценки математического ожидания
и дисперсии,
е
найдите тесноту связи между параметрами.
т
Задача 9.4.
а
Автомат заполняет банки кофе. Масса кофе и бмасса банки являются
независимыми случайными величинами, имеющими нормальное
распределение
р
со средними значениями соответственно 250 г ои 40 г и средними
квадратическими отклонениями 8 г и 6 г.
ш
Какова вероятность того, что вес готовой к продаже продукции
будет менее
е
280 г?
н
Задача 9.5.
а
Аналитик рынка ценных бумаг оценивает 2 среднюю доходность
определенного вида акций. Случайная выборка из0 16 дней показала, что
средняя доходность по акциям данного типа составляет
8% с выборочным
0
средним квадратическим отклонением в 4%. Предполагая,
что доходность
р
акции подчиняется нормальному закону распределения,
а определите 99% -ый
доверительный интервал для средней доходности интересующего
аналитика
з
вида акций.
.
Н
а
й
Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР3 Билет №10
Задача 10.1.
Интегральная функция любой случайной величины не убывает.
Если Х и Y любые случайные величины, то D(Х -Y)=D(Х)-D(Y).
Случайная величина, распределённая по экспоненциальному закону, не может
принимать значение 
Выбирая случайным образом ответы (из двух альтернативных вариантов,
содержащих правильный ответ) на 10 разных вопросов, ответишь правильно
8
на 8 из них с вероятностью 45  2 .
Интегральная функция любой случайной величины не убывает.
Задача 10.2.
Имеются две зависимые случайные величины X и Y с известными
математическими ожиданиями и дисперсиями: EX  4, DX  3; EY  2, DY  3.
Известно также, что  ( X , Y )  0.4 .
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Z  2 X  3Y .
Задача 10.3.
Получены данные по затратам предприятия на рекламу своей продукции X и
объемам продаж этой продукции Y (в стоимостном выражении) за пять
месяцев:
2
3
5
3
5
X
4
5
3
4
3
Y
Рассматривая данные, как выборочные наблюдения случайных величин,
найдите для X точечные несмещенные оценки математического ожидания и
дисперсии. По наблюдениям постройте график, отражающий связь двух
параметров. Найдите выборочный коэффициент корреляции; сделайте вывод
о тесноте связи между этими параметрами.
Задача 10.4.
Непрерывная случайная величина Y имеет плотность распределения вида
C  x 2 ,1  x  2
f ( x)  
 0, x  1, x  2 .
Найдите неизвестный параметр распределения.
Вычислите M Y , DY , Y , P3 / 4  Y  2.
Задача 10.5.
Опрос 545 случайно отобранных жителей города показал, что 39% из них
довольны деятельностью вновь избранного мэра. Построить 95%-ный
доверительный интервал для генеральной доли жителей всего города,
которые довольны деятельностью мэра. Сколько следует опросить жителей
города, чтобы доверительный интервал уменьшился в четыре раза?
Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР3 Билет №11
Задача 11.1.
Интегральная функция любой случайной величины не возрастает.
Если Х и Y любые независимые случайные величины, то
D(Х +Y)=D(Х)+D(Y).
Случайная величина, распределённая по экспоненциальному закону, может
быть равна .
Если МХ=5, DХ=16, то Х N(5;16) .
Дисперсия любой случайной величины всегда меньше ее математического
ожидания.
Задача 11.2.
Коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y равен
 XY  0.8 . Найдите коэффициент корреляции UV между случайными
величинами U  2 X  1 и V  3Y  2 .
Задача 11.3.
Дана таблица данных по затратам предприятия на рекламу своей продукции
Х и объемами продаж этой продукции Y (в условных денежных единицах) в
разные месяцы:
6
Х
3
4
5
3
Y
3,5
4,0 5,0 4,0 6,5
Построить график, отражающий связь Х и Y. Рассматривая данные, как
выборочные наблюдения случайных величин, на основе коэффициента
корреляции Пирсона оцените их влияние друг на друга, найдите для X
точечные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.
Задача 11.4.
Данный прибор состоит из двух устройств. Функция распределения случайного
времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет для первого устройства
вид F (t )  1  e 2t , а для второго устройства вид F (t )  1  e 3t .
Найти вероятность того, что в течение времени от 0 до T прибор будет
работать, если он функционирует при условии работы хотя бы одного
устройства.
Задача 11.5.
Изучение роста десятилетних мальчиков одной московской школы на основе
случайной выборки объемом 23 мальчика показало, что их средний рост по
выборке составляет 118 см с выборочным средним квадратическим
отклонением 6см. Найдите 99%-ный доверительный интервал для среднего
возраста всех десятилетних мальчиков московских школ.
Фамилия, Имя
группа
Вероятностно-статистические модели и методы в управлении
2007-2008 уч. год. (ф-т ГиМУ ГУ ВШЭ)
КР3 Билет №12
Задача 12.1.
Интегральная функция любой случайной величины возрастает.
Если Х и Y любые независимые случайные величины, то
D(Х -Y)=D(Х)-D(Y).
Для любых двух событий А и В Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Если вероятность выпадения 6 на игральной кости 1/6, то вероятность
выпадение двух 6 подряд будет равна 1/6 +1/6.
Дисперсия любой случайной величины всегда больше ее математического
ожидания.
Задача 12.2.
Доказать, что для зависимых случайных величин X
утверждение:
и Y справедливо
D( X  Y )  D( X )  D(Y )  2 cov( X , Y )
Задача 12.3.
Дана таблица данных по затратам предприятия на рекламу своей продукции
Х и объемами продаж этой продукции Y (в условных денежных единицах) в
разные месяцы:
6
Х
3
4
5
3
Y
3,5
4,0 5,0 4,0 6,5
Построить график, отражающий связь Х и Y. Рассматривая данные, как
выборочные наблюдения случайных величин, найдите для X точечные
несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии, на основе
коэффициента корреляции Пирсона оцените их влияние друг на друга.
Задача 12.4.
Случайная величина подчинена
показательному (экспоненциальному)
закону распределения с интенсивностью потока событий, равному 7
событий за год. Чему равны математическое ожидание
и среднее
квадратическое отклонение такой случайной величины? Покажите эти
величины на графике распределения.
Задача 12.5.
Случайная выборка 345 людей, обратившихся в брачное агентство, показала,
что 210 из них нашли себе пару с его помощью. Построить 95%
доверительный интервал для доли всех людей, обратившихся в это агентство
и нашедших себе супруга с его помощью. Найдите минимальный объем
выборки, при котором предельная ошибка выборки для доли всех людей,
обратившихся в это агентство и нашедших супруга, не превысит 0.015.