Олимпиадные задачи 2 тура предметных олимпиад школьников по математике 8 класс, 2008 год 1. Корень из числа 49 можно извлечь по такой «формуле»: 49 = 4 + 9 . Существуют ли другие двузначные числа, квадратные корни из которых извлекаются аналогичным образом и являются целыми? Укажите все такие двузначные числа. 2. ABC – равнобедренный треугольник с вершиной А, А 27 0 . Точка D симметрична точке В относительно А. Чему равен угол BCD ? 3. Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус? 4. Про числа a и b известно, что a =b + 1. Может ли оказаться так, что a4 = b4? 5. Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки? Олимпиадные задачи 2 тура предметных олимпиад школьников по математике 8 класс, 2009 год 1. Докажите, что 13 13 2 133 13 4 ... 13 2009 13 2010 делится нацело на 7. 2. Постройте график функции у х 2 2 . 3. На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС взяты соответственно точки D, E , F , так что AD BE CF . Каков вид треугольника DEF ? Докажите. 4. Известно, что a b c 5 , ab ac bc 5 . Чему может равняться a 2 b 2 c 2 ? 5. На 44 деревьях, расположенных по кругу, сидели по веселому чижу. Время от времени какие-то два чижа перелетают на соседнее дерево – один по часовой стрелке, а другой – против. Могут ли все чижи собраться на одном дереве? Олимпиадные задачи муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике (2010 год) 8 класс 1. Найдите последнюю цифру числа 2009 2010 2. Дома у Олега есть сейф, но кода он не знает. Бабушка рассказала Олегу, что код состоит из 7 цифр - двоек и троек, причем двоек больше, чем троек. А дедушка что код делится и на 3, и на 4. Сможет ли Олег с первой попытки открыть сейф? 3. Представьте в виде квадрата суммы выражение ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 1. 4. У звезды ACEBD равны углы при вершинах A и B, углы при вершинах E и C, а также равны длины отрезков AC и BE. Известно, что AD = 10 см. Найдите BD. 5. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, желтый, зеленый. Известно, что красная фигура лежит между синей и зеленой; справа от желтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и желтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком порядке лежат фигуры и какого они цвета. Олимпиадные задачи муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике (2011 год) 8 класс 1. Найдите все такие трехзначные числа N , что сумма цифр числа N в 11 раз меньше самого числа N . 2. Через точку P, лежащую вне окружности, проводятся всевозможные прямые, пересекающие эту окружность. Найти множество середин хорд, отсекаемых окружностью на этих прямых. 3. На диагонали BD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что прямая AE пересекает сторону BC в точке M , прямая AF пересекает сторону CD в точке N и CM CN . Найдите длину диагонали квадрата, если BE 3, EF 4 . 4. Что больше: 3111 или 1714 ? 5. На смотре войска Острова лжецов и рыцарей (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) вождь построил всех воинов в шеренгу. Каждый из воинов, стоящих в шеренге, сказал: «Мои соседи по шеренге – лжецы». (Воины, стоящие в концах шеренги, сказали: «Мой сосед по шеренге – лжец».) Какое наибольшее число рыцарей могло оказаться в шеренге, если на смотр вышло 2011 воинов?