Лекция № 4. Спектральные характеристики непериодических сигналов.

Лекция № 4. Спектральные характеристики непериодических сигналов.
Теория спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов,
основанная на прямом и обратном интегральных преобразованиях Фурье, позволяет
осуществлять анализ прохождения сигналов через широкий класс функциональных
элементов измерительных систем: электрических цепей, различного рода
преобразователей, функциональных блоков. Если функция u (t ) , отображающая реальный
сигнал, абсолютно интегрируема, то ее спектральная плотность определяется интегралом:

S ( j ) 
 u(t )e
 j t
dt .
(4.1)

Величину S ( j ) называют комплексной спектральной плотностью или
спектральной характеристикой. Она имеет размерность [амплитуда/частота]. Используя
обратное преобразование Фурье для сигнала u (t ) , можно записать:
u (t ) 
1
2

 S ( j )e
j t
d .
(4.2)

Как комплексная величина спектральная плотность может быть записана в виде
модуля и аргумента:
S ( j )  S ( )e j ( )  A( )  jB( ) ,
(4.3)
где модуль S ( )  S ( j ) называют спектральной плотностью амплитуд или
просто амплитудным спектром непериодического сигнала, а аргумент спектральной
плотности  ( ) – фазовым спектром этого сигнала.
Модуль и аргумент спектральной плотности могут быть вычислены по
формулам:
S ( ) 
A( )  B( ) ,
2
2
 ( )  arctg B( ) A( ) ,
A( ) 
(4.4)
где
(4.5)

 u(t ) cos tdt
,
(4.6)
 u(t )sin tdt .
(4.7)

B( ) 


Как и в случае ряда Фурье, S ( ) является четной функцией частоты, а  ( ) – нечетной
функцией частоты. Так как составляющие расположены на всех частотах, то спектр
непериодического сигнала является непрерывным или сплошным.
1
На основании формулы (4.3) нетрудно привести комплексную форму интегрального
преобразования Фурье (4.2) к тригонометрической форме:
u (t ) 
1


 S ( ) cos t   ( )d .
(4.8)
0
Преимущество тригонометрической формы записи Фурье-преобразования заключается в
возможности некоторого физического толкования с использованием идеализаций, не
очень далеких от реальности. Следует отметить, что условие абсолютной

интегрируемости сигнала u (t ) , т.е. сходимости интеграла
 u(t ) dt  M   ,
сужает класс

сигналов, допустимых к Фурье-анализу. Так, в классическом смысле невозможно
говорить о спектральной плотности таких сигналов, как единичная функция 1(t),
гармонический сигнал u(t )  U 0 cos 0t и некоторые другие, т.к. они не соответствуют
условию абсолютной интегрируемости.
Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса
Найдем спектральные характеристики (амплитудную и фазовую) одиночного
прямоугольного импульса, описываемого выражением:



U 0 , при  2  t  2 ;
u (t )  
0, при t    , t  

2
2
(4.9)
Графическое изображение импульса представлено на рисунке.
u (t )
U0
t

2

2
Применяя формулу (4.1), находим спектральную плотность:
 2
S ( j )  U 0

e  j t dt 
 2
 sin( 2) 
U 0 

  2 
i
U 0  i2
2U 0

(e
e 2 ) 
sin

i

2
(4.10)
2
Заметим, что произведение U 0 , равное площади импульса, определяет
значение спектральной плотности импульса при   0 , т.е. S (0)  U 0 . Более того, это
выражение справедливо для импульсов произвольной формы:

S (0) 
 u(t )dt  U  .
(4.11)
0

Спектр амплитуд одиночного прямоугольного импульса представляет из себя
модуль выражения (4.10):
S ( )  U 0
sin  2 
.
 2
(4.12)
Графически спектр амплитуд этого импульса представлен на рисунке (приведена правая
часть спектральной характеристики, соответствующая положительным значениям  ).
S ( )
U 0

0
2

4
6


Из рисунка и анализа соотношения (4.12) следует, что при увеличении
длительности импульса  расстояние между нулями функции S ( ) сокращается, что
равносильно сужению спектра амплитуд. При этом значение S ( ) при   0 возрастает.
При укорачивании (сжатии) импульса расстояние между нулями функции S ( ) ,
напротив, увеличивается (спектр расширяется), а значение S (0) убывает. В пределе при
  0 значение    2  стремится к бесконечности, а модуль спектральной
плотности, бесконечно малый по величине при постоянном значении U 0 , становится
равномерным в полосе частот от  до  . Очевидно также, что амплитудный спектр
прямоугольного импульса имеет ту же форму, что и огибающая периодической
последовательности таких импульсов.
Фазовая характеристика спектра прямоугольного импульса (спектр фаз)
описывается выражением:  ( )  arctg B( )
A( )
 n , n  0, 1, 2,... Очевидно, что
каждое изменение знака S ( j ) учитывается изменением фазы на  .
3
Распределение энергии в спектре непериодического сигнала.
Рассмотрим импульсный сигнал u (t ) , физическим представлением которого
будем считать электрическое напряжение на резисторе номиналом 1 Ом. Тогда энергия,
выделяемая на этом резисторе равна:

W
 u(t ) dt .
2
(4.13)

В предположении, что интеграл (4.13) сходится, выразим энергию через модуль
спектральной характеристики S ( j ) этого сигнала u (t ) . Для этого квадрат модуля
запишем в виде: S ( )  S ( j ) S (  j ) , где S ( j ) 
2

 u(t )e
j t
dt – функция,

комплексно-сопряженная спектральной характеристике S ( j ) сигнала u (t ) . Тогда


S ( ) d 
2



S ( j ) S ( j )d 





S ( j )  u (t )e jt dtd .

После изменения последовательности интегрирования и использования обратного
преобразования Фурье получим:


S ( ) d  2
2


 u(t )
2
dt .
(4.14)

Окончательно имеем



u (t ) dt 
2


1
1
2
2
S ( ) d   S ( ) d .

2 
 0
(4.15)
Соотношение (4.15) известно как равенство Парсеваля. Из него следует, что каждое из
бесконечно малых слагаемых 1  S ( ) d , соответствующих бесконечно малым
2
участкам спектра, характеризует энергию, приходящуюся на спектральные составляющие
сигнала, сосредоточенные в полосе частот от  до   d .
Соотношение (4.15) может быть записано в виде:


u (t ) dt 
2

где W ( )  S ( )
2
1


 W ( )d ,
u
(4.16)
0
называют спектральной плотностью энергии сигнала, или
энергетическим спектром. Изучение сигнала с помощью его энергетического спектра
неизбежно приводит к потере информации, которая заключена в фазовом спектре сигнала,
поскольку энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не
зависит от ее аргумента. Тем не менее понятие энергетического спектра оказывается
полезным при получении различных оценок, связанных с шириной спектра сигнала.
4