Нестандартные приёмы решения уравнений и неравенств
advertisement
Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики ГОУ «Чувашский республиканский институт образования» Элективный курс Нестандартные приёмы решения уравнений и неравенств Автор: Андреева Рена Валерьяновна, учитель математики МОУ «Красноармейская средняя общеобразовательная школа № 2» Красноармейского района Чувашской Республики с. Красноармейское - 2010 г. Рабочая программа элективного курса в 10 классе физико-математического профиля «Нестандартные приёмы решения уравнений и неравенств» Количество часов в неделю: 2 ч, всего 51час Пояснительная записка. Основная функция курсов по выбору в системе подготовки по математике – выявление средствами предмета математики направленности личности, её профессиональных интересов. Для того, чтобы познакомить учащихся с интересными, нестандартными уравнениями и неравенствами и расширить, углубить знания обучающихся считаю целесообразным включение предметно – ориентированного курса физико-математического профиля ««Нестандартные приёмы решения уравнений и неравенств» Опыт работы в школе показывает, что решение уравнений и неравенств вызывают иногда затруднения у обучающихся в выпускных и вступительных экзаменах. Учащиеся физикоматематического профиля находятся в более выигрышной ситуации, да и сама программа предполагает развитие навыков решения заданий сложного уровня. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования. Данный курс дополняет и углубляет знания, полученные по программе базового уровня. Большое внимание уделяется формированию навыков решения заданий, содержащих абсолютную величину и параметр. Кроме того, рассматриваются вопросы, связанные с различными приёмами решения показательных, логарифмических, иррациональных и комбинированных уравнений. Известно, что решение уравнений и неравенств приводит к систематизации имеющихся знаний, развивает творческое мышление, учит детей к поиску нестандартных ситуаций. Предлагаемый курс содержит совершенно не проработанные в базовом курсе школьной математики вопросы и своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 10-11 классов, которым интересна математика. Практическим результатом данного курса является подготовка учащихся к ЕГЭ по математике. Данный элективный курс поможет систематизировать знания по решению уравнений и неравенств, развить нестандартные способы мышления, а также научиться решать широкий курс задач с параметрами. Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости. Теоретический материал сопровождается разбором типовых заданий. В процессе обучения учащиеся овладевают приемами нестандартного подхода к решению уравнений и неравенств с одной переменной. Решить уравнения и неравенства, уравнения с параметрами – это значит найти все те и только те значения параметров, при которых задача имеет решения. Наряду с основной задачей обучения математики – обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, развитие и выявление математических способностей, ориентацию на профессии существенным образом связанные с математикой. Основная цель данного курса – подготовить учащихся таким образом, чтобы они смогли в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с заданиями ЕГЭ группы. В1 – В12 и С1-С6. Основные задачи данного курса: -углубить знания по математике, предусматривающие формирование у обучающихся устойчивого интереса к предмету; -выявить и развить их математические способности; -расширить математические представления учащихся о приёмах и методах решения задач различного типа сложности, включая задачи с модулем и параметром -повышение уровня математического и логического мышления учащихся; -развитие навыков исследовательской деятельности; -обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования; -обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры; Работа элективного курса строится на принципах научности, доступности, опережающей сложности, вариативности, самоконтроля, само и взаимооценки. Воспитательное назначение курса. Обучение потребует от учащихся умственных и волевых усилий, внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива, умений коллективно-познавательного труда. Контроль знаний и умений. Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется в результате выполнения обучающимися самостоятельных работ, само и взаимооценке, а также, творческих проектов в виде презентаций Итоговый контроль – 2 контрольные работы в форме решения заданий с развёрнутым ответом в конце каждого полугодия. Формы организации учебных занятий. Занятия организуются в форме уроков. Это уроки: лекция, семинар, конференция, практическая работа. В течение всего курса проходит тренинг. В ходе изучения проводятся краткие теоретические опросы по знанию формул и основных понятий. Наряду с тренингом используется принцип беспрерывного повторения, что улучшает процесс запоминания и развивает потребность в творчестве. В ходе курса учащимся предлагаются различного типа сложности задачи. Для презентации своих творческих проектов обучающиеся могут использовать домашние компьютеры или компьютеры кабинета информатики. Требования к уровню подготовки учащихся: должны иметь элементарные умения решать задачи обязательного и повышенного уровня сложности; точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач, правильно пользоваться математической символикой и терминологией, применять рациональные приемы тождественных преобразований. Планируемые результаты курса. Учащиеся должны знать: понятие параметра, прочно усвоить понятие модуль числа, алгоритмы решений задач с модулями и параметрами, различные приёмы при решении тригонометрических, иррациональных, показательных и комбинированных уравнений и систем. Должны уметь: решать уравнения с модулем и параметром, применять различные приёмы при решении рациональных, иррациональных, показательных и комбинированных уравнений, знать и уметь применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств. Сокращения, используемые в рабочей программе: Типы уроков: УОНМ — урок ознакомления с новым материалом. УЗИМ — урок закрепления изученного материала. УПЗУ — урок применения знаний и умений. УОСЗ — урок обобщения и систематизации знаний. УПКЗУ — урок проверки и коррекции знаний и умений. КУ — комбинированный урок. Виды контроля: ФО — фронтальный опрос. ИРД — индивидуальная работа у доски. ИРК — индивидуальная работа по карточкам. СР — самостоятельная работа. ПР — проверочная работа. МД — математический диктант. Т – тестовая работа. Учебно-тематическое планирование № Наименов ание раздела элективного курса «Нестандартные приёмы решения уравнений и неравенств» (2 ч. в неделю, всего 51 ч.) Тема урока 2 3 1 Модуль. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком модуля (8 ч) 1 Кол во часо в Тип урока Элементы содержания курса Требования к уровню подготовки обучающихся лекция Модуль действительного числа и его основные свойства. Уравнения, содержащие неизвестные под знаком модуля Уравнения с одной переменной вида ׀ƒ(х) =׀а ƒ(|х|)=g(х) -знать определение модуля, его геометрический смысл и научить решать линейные, квадратные, дробно- рациональные уравнения , содержащие неизвестное под знаком модуля Уравнения, содержащие неизвестные под знаком модуля Уравнения с одной переменной вида ׀ƒ(х) =׀а ƒ(|х|)=g(х) Решение уравнений вида ׀ƒ(х) =׀g(х) 1 УОНМ Решение уравнений вида ׀ƒ(х) =׀g(х) ƒ(|х|)=g(х) Решение уравнений вида ׀ƒ(х)׀ =׀g(х)׀ 1 КУ Решение уравнений вида ׀ƒ(х)׀ =׀g(х)׀ - уметь решать уравнения вида ׀ƒ(х) =׀а ƒ(|х|)=g(х) - знать и уметь решать уравнения вида ׀ƒ(х) =׀g(х) ƒ(|х|)=g(х) - знать решение уравнений вида ׀ƒ(х)׀ =׀g(х)׀ Вид контроля . ФО ИРД Элементы доп-го сод-ния Электронное учебное издание «Открытая математика 2.6. Алгебра» Дата проведения Д/З план Факт 45 6 78 Решение уравнений вида ׀ƒ1(х)׀+ ׀ƒ2(х) ׀+ ׀ƒn(х) …׀+ =g(х) 2 Решение неравенств вида ׀ƒ(х) ≤׀а и ׀ƒ(х)≥׀ а 1 Графическое решение уравнений. 2 УОНМ Решение уравнений вида ׀ƒ1(х)׀+ ׀ƒ2(х) ׀+ ׀ƒn(х) …׀+ =g(х) - уметь решать уравнения вида Решение неравенств вида ׀ƒ(х) ≤׀а и ׀ƒ(х)≥׀ а - уметь решать уравнения вида Построение графиков функций вида у = ƒ(|х|) Построение графиков функций вида у = ׀ƒ(х)׀ Построение графиков функций вида ׀у = ׀ƒ(х) - уметь решать уравнения графически; - знать построение графиков функций вида у = ƒ(|х|), у = ׀ƒ(х),׀ ׀у = ׀ƒ(х) УОНМ .Алгоритм Евклида. Теорема Безу. - знать теорему Безу и метод деления уголком; УОСЗ Подбор корня многочлена по теореме Безу КУ Метод неопределенных коэффициентов Группировка. КУ КУ УОНМ 910 11 Решение алгебраических уравнений (6 ч) УПЗУ Теорема Безу Метод неопределенных коэффициентов 2 1 ФО ׀ƒ1(х)׀+ ׀ƒ2(х) ׀+ ׀ƒn(х) …׀+ =g(х) ЭУИ «Уроки алгебры КиМ»(10-11 кл.) ИРК ЗР ׀ƒ(х) ≤׀а и ׀ƒ(х) ≥׀а Тест ЕГЭ ФО ИРД ЭУИ «Уроки алгебры» КиМ ИРД - уметь подбирать корни многочлена по теореме Безу. - знать метод неопределенных коэффициентов Т Т 12 Метод введения параметра 1 УПЗУ Метод введения параметра МД 13 Замена переменных в уравнениях и системах уравнений Комбинирование различных методов 1 КУ ФО 1 УПЗУ Симметрические уравнения 2 УОНМ Замена переменных в уравнениях и системах уравнений Комбинирование различных методов в заданиях ЕГЭ Симметрические уравнения третьей степени Симметрические уравнения четвертой степени 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Симметрические и возвратные уравнения (8 ч) УЗИМ Возвратные уравнения 2 УОНМ - знать методы решения алгебраических уравнений третей и четвертой степеней. ФО ИРД Возвратные уравнения Уметь распознавать и решать симметрические и возвратные уравнения. ПР Решение систем уравнений..Уравн ения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты -знать решение систем уравнений из КИМ ЕГЭ ИРК Монотонно возрастающие, монотонно убывающие и постоянные функции - уметь использовать монотонность при решении уравнений ФО УЗИМ Решение систем уравнений. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты Использование монотонности при решении уравнений 2 КУ КУ 2 УОНМ КУ ИРК Т ЭУИ «Уроки алгебры» КиМ (10 класс)» Электронный учебник «Математика Готовимся к ЕГЭ Т 24 28 29 30 . Угадывание корня уравнения . Способы решения уравнений (8 ч) 23 32 35 36 Решение неравенств (6 ч) 31 1 Решение иррациональных уравнений 5 ч Использование симметричности уравнения 2 Способы решения алгебраических неравенств. Метод интервалов 1 Обобщенный метод интервалов 4 Контрольная работа 37 Уравнения параметрами. 38 Решение уравнений параметрами. КУ . Угадывание корня уравнения - уметь решать уравнения., в которых надо угадывать корень ФО ИРД УОНМ КУ КУ УПЗУ УОСЗ УЗИМ Решение иррациональных уравнений - знать решение иррациональных уравнений; - уметь находить ОДЗ ИРК Использование симметричности уравнения - уметь решать симметрические уравнения из КИМ ЕГЭ Способы решения алгебраических неравенств. - знать способы решения неравенств; УКЗУ с с УПЗУ Обобщенный метод интервалов 1 УОНМ КУ УПЗУ УОСЗ УКЗУ 1 УОНМ Уравнения с параметрами. 1 КУ Решение уравнений с параметрами. Модуль. Решение уравнений и неравенств - уметь решать методом интервалов -уметь решать обобщённым методом интервалов методом интервалов - уметь решать уравнения и неравенства различными способами -уметь решать уравнения с параметрами. - знать решение уравнений с параметрами. Т ЭУИ «Уроки алгебры» КиМ (10 класс)» Т СР ЗР Т ЭУИ «Уроки алгебры» КиМ Т ИРД ИРК КР Электронное учебное издание «Уроки алгебры» КиМ (10-11кл.) Т Т Неравенства параметрами. 40 Решение неравенств параметрами. 41 42 43 44 45 46 Решение заданий с параметром (9ч) 39 с 1 УОНМ Неравенства с параметрами. -уметь решать неравенства с параметрами. 1 КУ Решение неравенств с параметрами – знать решение неравенств с параметрами. Исследование квадратного трехчлена. Графические интерпретации уравнений и неравенств с параметром. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль и параметр. Графическое решение уравнений и неравенств, содержащих модуль и параметр. 1 УОНМ - знать исследование квадратного трехчлена. 1 КУ Исследование квадратного трехчлена. Графические интерпретации уравнений и неравенств с параметром. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль и параметр. Графическое решение уравнений и неравенств. Показательная и логарифмическая функции. 1 с 1 УПЗУ 2 КУ УОСЗ КУ Показательная и логарифмическая функции. - знать графические интерпретации уравнений и неравенств с параметром. ФО Электронное учебное издание «Уроки алгебры» КиМ (10-11кл.) Т ПР ЭУИ «Уроки алгебры» КиМ -уметь решать уравнения и неравенства, содержащие модуль и параметр. - уметь графически решать уравнения и неравенства, содержащие модуль и параметр. Зачётная работа по теме: «Решение заданий с модулем и параметром» - знать построение графиков показательной и логарифмической функций Т СР ИРД Электронный учебник «Математика Готовимся к ЕГЭ Электронное учебное издание «Уроки алгебры» КиМ (10-11кл.) Т 48 Показательная и логарифмическая функции (16ч) 47 Решение заданий на нахождение области определения и области значений функций. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. 1 УЗИМ 1 УПЗУ Решение уравнений, различными способами, содержащими абсолютную величину и параметр. Контрольная работа №2 по теме: «Различные приёмы при решении уравнений». 1 УОСЗ Области определения и области значений показательной и логарифмической функций. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. - уметь решать задания на нахождение области определения и области значений функций. ФО - пготовиться К ЕГЭ -систематизировать, анализировать и классифицировать информацию, использовать разнообразные информационные источники, включая учебную и справочную литературу, иметь навыки поиска необходимой Эл. уч. изд. «Готовимся к ЕГЭ. Версия 2.0. Математика» Тест ЕГЭ Электронное учебное пособие «Готовимся к ЕГЭ» Т информации 49 50 51 ИТОГО: КУ 1 51 КР Решение уравнений, различными способами, содержащими абсолютную величину и параметр. «Различные приёмы при решении уравнений». -знать различные приёмы при решении комбинированных уравнений. СР - знать тему: «Различные приёмы при решении уравнений». КР Содержание материала 1. Модуль. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком модуля (8 ч) Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение и неравенства вида |х|= а, |ах+в|=0, |ах+в|≤0. График функции у=|х|, у=| ах+в |. Построение графиков функций, связанных с модулем. Методы решения уравнений вида: |ах+в|=с, где с - любое действительное число, |ах+в|=|сх+д|. Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое действительное число. Методы решения уравнений вида: |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т. Методы решения неравенств вида: |ах+в|+|сх+д|<т,|ах+в|+| сх+д|+ пх>т. Методы решения неравенств вида: |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация. Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину. Метод замены переменной. Решение уравнений. Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само число а , если оно неотрицательно или противоположное ему число , если оно отрицательно. Обозначение модуля числа: | а | . Можно записать и так: | а | = Примеры: | Противоположные числа имеют равные модули, т.е. Расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число, рассматривается всегда как величина неотрицательная. Это можно считать геометрической интерпретацией модуля числа а. Если | а | = 3, то а = 3. Уравнения и неравенства, содержащие модуль, решаются с использованием аналитического определения модуля, а так же и с использованием его геометрического смысла. Уравнения вида | f(x)| = b, b R При b<0 решений нет, При b=0 имеем f(x)=0, При b>0 уравнение | f(x)| =b равносильно совокупности двух уравнений Пример: | х-5 | =2 откуда х = 7 и х = 3. Второй способ. Пользуясь тем, что модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа, можно это уравнение решить так: | х – 5 |= 2 Прочитаем это соотношение так: расстояние от точки х до точки 2 равно 5. Откладываем на числовой прямой от точки 2 отрезок длиной 5 (в обе стороны) Получим ответ: 7 и 3. Упражнения. Решить уравнения: 1). | 8х+5|=10 3). | х2 -5х +3|=1 2). | 3х+2|=4 4). |х2-7х+9 |=3 Уравнение вида f(| x| )=g(x), где f(x) и g(x) некоторые рациональные выражения Пример: решить уравнение х2 + | х | -6 =0 Данное уравнение равносильно совокупности систем: и Уравнение имеет два решения: -3 и 2. Решением уравнения являются числа 3 и –2. Решением первой системы совокупности является неотрицательное число х=2. Решением второй системы совокупности есть число –2. Следовательно, решением данного уравнения являются два числа: 2 и –2. Замечание: Данное уравнение можно решать, используя метод замены неизвестного. Пусть | х| =t, тогда и уравнение можно записать так: Решая его, находим корни. Это числа -3 и 2. Берем только 2. Имеем | х| =2, т.е. х= . Уравнение вида | f(x)| =g(x) Уравнение равносильно совокупности систем: Пример: | 2х-5| =х-1 и g(х)≥0 и и и Числа х=4 и х=2 удовлетворяют данному уравнению. Пример: | х3+3х2 +х|=-х+х3 Решение. Решим уравнения х3+3х2 +х=-х+х3 и х3+3х2 +х=х –х3. Первое из них имеет корни 2/3 и 0, а второе 0 и -3/2. Легко видеть, что условие х3 – х ≥ 0выолняется только при х = 0 и при х = -2/3. Следовательно, -2/3 и 0 корни исходного уравнения. Упражнения. Решить уравнения: 1). | 8х+5|+2х=4х 3). | х2 -3х|= х 2 -2х 2). | 3х+2|=4х -2 4). |3х2 -5х - 8| =3х +8 Уравнение вида ׀ƒ1(х)׀+ ׀ƒ2(х) ׀+ ׀ƒn(х) …׀+ =g(х) Такие уравнения проще решать методом интервалов. Для этого находят сначала все точки, в которых хотя бы одна из функций | f1(x)| +| f2(x)| +…| fn(x)| меняет знак. Эти точки делят область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых эти функции сохраняют знак. Затем, используя определение модуля, переходят от данного уравнения к совокупности систем, не содержащих знак модуля. Пример: | 2х-3| +| х-3| =| 4х-1| 2х-3=0, х=1,5, х–3=0 х=3 х-3=0, х=3, 4х-1=0, х=0,25 Вся числовая прямая разбивается на четыре промежутка. х = -5 2) 3) х=1 Нет решений 4) Нет решений Ответ: -5 и 1. Пример: | | х-1| +2| =1 Можно при решении данного уравнения ввести вспомогательную переменную | х-1| = у. Тогда будем иметь простейшее уравнение | у+2| =1. Это уравнение решаем так: Получаем: Данные уравнения решения не имеют, т.к. модуль числа неотрицателен. Ответ: решений нет. Упражнения для самостоятельной работы: Решить уравнения: 1). | х+2| + |х - 2| =6 3). | х+3| - | х -3| =6 2). | х+ 1| -|х - 3| =2 4). |х2 -9| +|х - 2| = 5 5). |х - 2|+2 |х-4|=3х-10 Решение неравенств, содержащих знак модуля Примеры: 1) | 2х-5| <7 -7 < 2x-5 < 7 -2 < 2x < 12 -1 < x < 6 Ответ: (-1;6). 2) | x-3| >1 x-3 >1 и x-3 < -1 x>4 и x<2 Ответ: 4).2х+1| >7 2x+1>7 и 2x+1<-7 2x>6 и 2x<-8 x>3 и x<-4 Ответ: Упражнения. Решить уравнения: 1). | х+2| ≤3 2) |х - 2|≥2 3).|х2 -5|>4 4. Неравенство вида | f(x)| <g(x), где f(x) и g(x) - некоторые функции Данное неравенство равносильно системе: Для тех х, при которых , эта система, (а значит и данное неравенство), решений не имеет. Решить неравенство: Данное неравенство равносильно системе: 2<x<5 Ответ: (2; 5) Ответ: Упражнения: Решить неравенства: 1) |3х-2| +х >1 2). | х+ 1| <-|х - 3| 4). |х2 -9| >|х - 2| Защита рефератов. 2). |х - 1|≤ 2х +1 2. Решение алгебраических уравнений (6 ч) Теорема Безу. Метод неопределенных коэффициентов .Метод введения параметра.. Замена переменных в уравнениях и системах уравнений. Комбинирование различных методов. Целое уравнение и его корни. Приемы решения уравнений. Разложение многочлена на множители. Метод ведения новой переменной. Ищем целые корни среди делителей свободного члена по теореме Безу: 1) х3 – 3х2 - 3х + 1 = 0 2) 3х3 – 7х2 -7х + 3 = 0 3) х4 +х3 – 4х2 +х + 1 = 0 4) 6х4 + 5х3 – 38х2 + 5х + 6 = 0 5) 5х4 - 12х3 + 14х2 -12х + 5 = 0 3. Симметрические и возвратные уравнения (8 ч) Биквадратное уравнение. Возвратное уравнение. Метод неопределенных коэффициентов. Решение дробно-рациональных уравнений. Возвратные уравнения решаются посредством введения нового неизвестного 1) Известно, что а 2). а 1 1 1,2 . Найдите а 2 2 . а а 1 t а Возведём обе стороны в квадрат: 1 а 2 2 t 2 2. а 1 t а Возведём обе стороны в квадрат: 3) а а2 1 t2 2 . 2 а 4) 1 2 1 х 2 7 х 10 0 х х 1 Пусть : х t х 1 х2 2 t 2 2 х Ответ: 3 13 2 2 5 х1, 2 х3, 4 t2 + 2 +7t +10 =0 t2 + 7t + 12 =0 … 5) х4 - 7х3 + 14х2 - 7х + 1 = 0 Ответ: х1, 2 2 3 Делим на х2: 6) х4 - 5х3 + 10х2 - 10х + 4 = 0 Ответ: х1 = 1 х2 = 4 7) х4 +2х3 – 18х2 -10х + 25 = 0 Объединим первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и разделим обе части уравнения на х2. х4 + 25 +2х3 -10х – 18х2 = 0 10 2 25 х 2 х 18 0 х х2 5 2 25 х 2 х 18 0 х х2 5 Пусть : х t х 25 х2 t 2 10 2 х То : t 2 10 2t 18 0 t 2 2t 8 0 x1 5 Ответ: x2 1 x3, 4 1 6 Использование монотонности при решении уравнений. Решить уравнение: 1) 2х + 3х = 2 * 5х 2) Ответ: х = 0 3х 2 х 2 14 х 4 4 Ответ: х = 2 1 3) 4 х 1 32 х 1 Ответ: х = 1 4. Способы решения уравнений(8 ч) Дидактические материалы по разделу: Решение иррациональных уравнений Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. А сейчас самостоятельно изучаем теорию, решения иррациональных уравнений используя различную литературу и учебник. Для большей заинтересованности учащихся при наличии компьютерного класса можно использовать электронный учебник. Метод решения: При решении иррациональных уравнений почти всегда необходимо избавиться от радикалов. Один из возможных методов состоит в том, что корень из выражения с переменой переносится в одну из частей равенства, а все остальные выражения в другую (уединение радикала). После уединения выполняется возведение в квадрат, в куб или в другую степень. Иррациональные уравнения-следствия. Метод: При решении уравнения переходим к уравнению-следствию, проверка должна входить в решение. как обязательная часть. Проверка может осуществляться различными способами: Каждый из найденных корней уравнения-следствия подставить в исходное уравнение и проверить, является ли он корнем исходного уравнения. “Вспомнить” все неравенства, которые надо было включать в систему, чтобы переходы были равносильными, и проверить выполняются ли для найденных “корней” эти неравенства. (Проверить выполнение неравенства иногда бывает значительно проще, чем выполнение точного равенства). Решить уравнения: Остальные самостоятельно решают уравнение (на доске и в тетрадях объясняет решение учитель): Уравнения: 8) Решить уравнение: = 10, | х - 6 | = 10, х – 6 = 10, или х – 6 = - 10, х = 16. х = - 4. Ответ: 16; - 4. III. Устная работа. 1. Решите уравнения: 2. Какие из данных уравнений не имеют корней: Обобщить: 5.. Решение неравенств (6 ч) Решение целых неравенств с одной переменной. Метод интервалов. Решение дробнорациональных неравенств с одной переменной. Обобщённый метод интервалов Дидактические материалы по разделу в учебном пособии: В.В.Сильвестров «Обобщённый метод интервалов», г. Чебоксары. 6. Решение заданий с параметром (9 ч) Определение уравнения с параметром. Решение уравнения с параметром. Целое уравнение с параметрами. Дробно- рациональные уравнения с параметрами. Понятие параметра. Что значит - решить уравнение или неравенство с параметрами. Что значит - исследовать уравнение (определить количество решений, найти положительные решения и т.д.), содержащее параметры. Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения уравнения вида ах= в, решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в. Линейные уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия (корень равен данному числу, прямая проходит через точку с заданными координатами, уравнение имеет отрицательное решение и т.д.). Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в. Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным. Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Исследование квадратного трехчлена. Дидактические материалы по разделу: 7. Показательная и логарифмическая функции (16 ч) Нахождение абсцисс и ординат общих точек графика, нахождение нулей функции типа x 1 x 1 y 0.5 * 2 2 . Решение показательных уравнений типа log1 (1x ) log 2 x 2 log 2 x x 0.2 5 4 Нахождение расстояний между точками графиков функций. Уравнения и неравенства с параметром типа: найдите все значения параметра а, для которых 2 при каждом х из промежутка 4;8 значение выражения log 2 x 8 не равно значению 2 выражения (2a 1) log 2 x . Решение уравнений типа 1 3 log 2 x 1 3 log 2 x 8. Различные приёмы при решении уравнений ( 7 ч) Дидактические материалы: Результаты на выходе В результате изучения курса учащиеся должны -научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, -овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования. Литература Для преподавателя: 1. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2005. 2. Щербинская Т.Б.. Элективные курсы. – Канаш : Учитель,2008 3. Журнал. Математика в школе. ( Ежегодные выпуски) Газета «Математика» (приложение к 1 сентября) 4. Единый государственный экзамен: Математика: 2005-2010.Контр. измерит. матер./ Л.О.Денищева, и др.;. М-во образования и науки РФ. Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки. М.: Интеллект-центр 5. А.П.Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. Разноуровневые дидактические материалы. – М.: Илекса, 2007г. 6. Ф.Ф. Лысенко «Математика. ЕГЭ,2008.2009,2010. Учебно-тренировочные тесты». Ростов-наДону, издательство «Легион-М» 2010г. 7. Электронный учебник. Сдаем Единый экзамен 2008. Серия «1С: Репетитор.» Центр тестирования. Образовательные ресурсы сети Интернет http://ege.edu.ru http://eqworld.ipmnet.ru http://graphfunk.narod.ru http://www.uztest.ru http://www.it-n.ru http://www.ed.vseved.ru http://mat.1september.ru Для обучающихся: 1. А.Г. Клово и др. «Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике», Москва, Центр тестирования, 2006 г. 2. Ф.Ф. Лысенко «Математика. ЕГЭ 2010. Тематические тесты» (В1-В12, С1-С6). Ростов-наДону, 2009г. 3. В.В.Мочалов, В.В. Сильвестров. Уравнения и неравенства с параметрами. Учебное пособие. Чебоксары. 2004 г. 4. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. Под редакцией М.И. Сканави, 9-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2005г. 5. Современный учебно-методический комплекс. Алгебра 10-11. Версия для школьника. Просвещение –МЕДИА.(все задачи школьной математики). Образовательные ресурсы сети Интернет http://ege.edu.ru http://eqworld.ipmnet.ru http://graphfunk.narod.ru http://www.uztest.ru
