Технология моделирования экономики и модель современной

М.Ю. АНДРЕЕВ, И.Г. ПОСПЕЛОВ, И.И. ПОСПЕЛОВА,
М.А. ХОХЛОВ
ТЕХНОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ И
МОДЕЛЬ СОВРЕМЕННОЙ ЭКОНОМИКИ РОССИИ
2006
3
Аннотация
Монография посвящена реализации новой информационной технологии моделирования экономики и описанию первой построенной с помощью этой технологии макромодели. В основу модели положено понятие
межвременного равновесия, т.е. согласования прогнозов экономических агентов относительно будущих изменений экономической конъюнктуры. Подход этот очень трудоемок и требует сложных аналитических
исследований. Эти исследования автоматизированы в рамках компьютерной системы поддержки моделирования – ЭКОМОД.
В первой части после краткого обзора опыта и современного состояния моделирования экономических систем проводится анализ классической модели конкурентного межвременного равновесия. Эта модель записывается как динамическая система, и в ней обнаруживаются аналоги многих понятий, используемых в бухгалтерской отчетности и экономической теории, а задачи всех агентов приводятся к единообразной стандартной форме.
Во второй части задача агента обобщается на случай, когда условия совершенной конкуренции не выполнены. Проводится анализ этой задачи и на его основе строится модель управления фирмой или банком с помощью финансовых потоков.
В третьей части дается определение канонической формы модели, описываются возможности и формализм
реализующей эту форму системы ЭКОМОД, и затем описывается новая информационная технология разработки макромоделей экономики в канонической форме.
В четвертой части подробно описывается построенная по изложенным во второй части принципам с помощью указанной в третьей части технологии модель современной экономики России, построенная по заказу
Федерального агентства по налогам и сборам для оценки размеров теневого оборота. Приводятся результаты ее исследования и численных экспериментов с моделью
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07-01-00563-а), Российского гуманитарного научного фонда (код проекта 07-02-00362).
4
Предисловие
Монография посвящена описанию новой математической модели экономики
современной России и результатов ее исследования. Модель создана в отделе
«Математическое моделирование экономических систем» Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН в 2004г. по заказу Главного научно-исследовательского вычислительного центра Федерального агентства по налогам и сборам.
Инициатором, организатором и во многом «идеологом» этого проекта выступил
работавший тогда главным специалистом ГНИВЦ ФАНС к.т.н. В.П. Селезнев, которому авторы выражают свою глубокую благодарность и уважение.
Книга состоит из четырех частей. В части I, после обзора состояния дел в
математическом моделировании экономики, предлагается новая формулировка
модели конкурентного межвременного равновесия. Она превращает эту модель
в динамическую и дает формализацию представлений об «идеальных деньгах» и
«идеальном капитале», а также иначе, чем классическая модель, описывает механизм распределения доходов и интересы экономических агентов. По содержанию эта часть повторяет результаты, изложенные в первой публикации на эту тему [71], поэтому большинство доказательств опущены.
В части II рассматривается общая схема описания рационального поведения
экономического агента, принимающего рыночные цены как данность (price taking agent). Такой агент – наиболее типичный «персонаж» и моделей экономики, и
всей экономической теории. Предлагаемая здесь схема описания его поведения
представляет собой индуктивное обобщение описания агента в модели конкурентного межвременного равновесия. Главный результат этой части – новое описание взаимоотношений собственников фирмы и самой фирмы как юридического
лица. Это описание позволяет разделить функции и согласовать интересы экономических агентов, открывает возможность описывать движение капитала между
секторами экономики и допускает очевидное обобщение на случай многоступенчатой структуры собственности (холдинга). Эта часть тоже во многом повторяет
то, что было написано в [71], но материал отобран, переработан и пополнен в соответствии с накопившимся после публикации [71] практическим опытом создания
и исследования моделей межвременного равновесия.
Часть III посвящена методике и технологии создания единой модели, включающей описания агентов, выполняющих различные функции в экономике. Естественной связующей основой модели выступает полная система материальных и
финансовых балансов. Чтобы выявить эту основу, предпринимается еще одно
индуктивное обобщение и вводится понятие канонической формы модели. Такая
структурная схема оказывается достаточно общей, что позволяет включить все
построенные нами ранее модели и все известные модели межвременного равновесия, но в то же время достаточно конкретной, чтобы допустить конструктивную и
практически полезную проверку правильности построения модели. Каноническая
форма модели заложена в основу новой технологии разработки модели, поддерживаемой оригинальной системой ЭКОМОД. Эта система реализована в среде
компьютерной алгебры Maple [8]. Мы надеемся, что содержащееся в третьей части книги описание системы ЭКОМОД вместе с примерами в Дополнениях может
стать руководством пользователя системой ЭКОМОД.
Наконец, в части IV дается описание новой макромодели экономики России,
существенно опирающееся на новую технологию ее создания. Почти все это описание составлено из рабочих файлов системы Maple, содержащих первоначальную запись, преобразования соотношений и расчет модели на компьютере. Ни в
целом, ни по частям модель никогда не записывалась ни в каком другом
5
виде, например, в виде формул на бумаге, в виде блок-схем или в виде программ.
Формально изложение материала книги не опирается на наши предыдущие
работы, но мы не считаем ее учебником. Вводным курсом может служить монография [72].
Авторы книги – это те, кто работал с моделью в течение всего времени выполнения проекта разработки и исследования модели. Кроме них, на разных этапах работы в обсуждении постановки задачи и конструкции модели, в исследовании отдельных вариантов и в представлении результатов участвовали: академик
РАН А.А. Петров, к.ф.-м.н. Н.Н. Оленев, к.ф.-м.н. Н.К. Обросова, магистр МФТИ
Г.Е. Шипулина. Авторы считают приятным долгом отметить вклад к.т.н.
Л.Я. Поспеловой в развитие технологии моделирования и плодотворные обсуждения с к.ф.-м.н. С.В. Чукановым моделей межвременного равновесия. Особую
благодарность авторы высказывают академику РАН А.А. Петрову, который взял
на себя труд внимательно прочитать и тщательно отредактировать текст.
К сожалению, в книге не удалось выдержать единую систему обозначений –
не хватило букв и выразительных возможностей применявшейся компьютерной
алгебры. Поэтому в начале каждой части заново описывается система принятых
обозначений.
Полужирным курсивом в тексте выделяются определения или первые упоминания важных для данной темы понятий. В тех местах, где это понятие по существу используется, оно выделяется курсивом. Курсивом также выделены понятия, важные сами по себе, но не для данной темы. За определениями таких понятий мы отсылаем к специальной литературе. Важные предположения, выводы и
случаи выделяются прямым полужирным шрифтом.
Нумерация глав в книге сквозная, самые мелкие подразделения не всегда
разбивают текст. Чаще они выделяют отдельные утверждения или примеры, поэтому эти подразделения заканчиваются знаком .
Формулы нумеруются по главам. Ссылка вида (6.37) - (6.39) имеет в виду все
вынесенные в отдельную строку формулы в отрывке текста между формулой
(6.37) и формулой (6.39), в том числе и не пронумерованные.
Рисунки и таблицы, чтобы их можно было легче найти, нумеруются заново
внутри каждого раздела. Если отбросить последнюю цифру в ссылке на рисунок
или таблицу, то получится номер наименьшего раздела, содержащего этот рисунок или таблицу.
6
ЧАСТЬ I.
Модель конкурентного межвременного равновесия с
капиталом
Глава 1. Проблема моделирования экономики как сложной
развивающейся системы
1.1. ОПЫТ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ
1.1.1. Осбенности моделирвоания сложных систем
Методы математического моделирования экономики развиваются уже почти
200 лет1. За это время созданы десятки тысяч моделей разной степени общности
и направленности. Тем не менее, в моделировании экономики еще далеко не достигнут решающий успех, подобный тому, который был достигнут в моделировании физических систем.
В области экономики наука столкнулась с феноменом сложных систем.
Сложные системы такие, как Вселенная в целом, биосфера, отдельный живой организм, человеческий индивидуум, естественный язык, экономика отличаются тем,
что, во-первых, действительно сложны в том смысле, что состоят из множества
сильно связанных между собой элементов, во-вторых, уникальны и, в-третьих,
самое главное, способны к необратимому качественному развитию. Эти обстоятельства не позволяют в полной мере использовать в исследовании таких систем
эмпирический метод – основу успеха естественных наук. Этот метод состоит в
последовательном усложнении теоретической модели на основе обобщения более простых моделей и данных экспериментов или массовых наблюдений.
Для сложных систем ни эксперимент, ни массовое наблюдение невозможны.
Поэтому ни для одной сложной системы до сих пор не создано универсальной
модели, из которой все остальные следовали бы как частные случаи, подобно тому как, скажем, модели радиотехнических устройств следуют из теоретической
модели электродинамики. Приходится иметь дело с множеством моделей одной и
той же системы, каждая из которых использует свой язык понятий и рассматривает систему в своем ракурсе, пренебрегая отнюдь не малыми величинами [69].
Статус таких моделей также отличается от моделей физических систем. Если модели физических систем должны объяснить результаты сделанных и предсказывать результаты планируемых экспериментов, то модели сложных систем призваны, в первую очередь, заменить невозможный в этих областях эксперимент.
Указанные методологические особенности применения моделей для описания сложных систем приводят к невозможности построить одну универсальную
модель для обработки всех имеющихся данных. Существует множество подходов
к моделированию экономики. Несколько условно их можно разделить на четыре
типа, которые кратко характеризуются ниже2.
1.1.2. Эконометрические модели.
Эконометрические модели воплощают попытку применить к изучению экономики классический эмпирический метод исследования. Эконометрические модели
отличает стремление опираться непосредственно на данные, а не какое-либо
Таким образом, если считать по первым работам, математическая экономика старше формализованной термодинамики.
2 Мы говорим только о макроэкономических моделях, т.е. моделях, описывающих в комплексе
национальную экономику или, по крайней мере, экономику достаточно большого региона. Многочисленные микроэкономические модели, описывающие поведение отдельной фирмы или рынка
остаются вне приводимой ниже классификации.
1
7
представление о системе причинных связей в экономике. При построении эконометрической модели выбирается определенный набор наблюдаемых статистикой
экономических показателей (объемы производства и потребления, индексы цен,
инвестиции, а также темпы роста этих величин и т. п.) и методами математической статистики изучаются корреляционные связи между временными рядами
этих показателей. Если оказывается, что ряд значений какой-то величины раскладывается по остальным с небольшой и независимой погрешностью, то считается,
что обнаружена некоторая закономерность в экономике: первая величина зависит
от остальных. Когда таких зависимостей наберется достаточно, чтобы определить все величины через их прошлые значения, получается система соотношений
формально способная предсказывать будущие значения показателей. Это и есть
эконометрическая модель.
Эконометрические модели иногда достигают огромных размеров: содержат
десятки и даже сотни тысяч переменных и соотношений. Для поддержания таких
моделей в работоспособном состоянии нужна непрерывная работа целых научных коллективов.
Большие эконометрические модели широко применялись в Западных странах в период сравнительно устойчивого роста их экономики в 50-70 гг. XX в. [3]. В
этот период они давали прогноз многих экономических показателей на год вперед,
который оправдывался с точностью 2-3%. Однако эконометрические модели оказались неспособны не только предсказать энергетический кризис 1975г., но и описать его последствия. Вследствие этого интерес к большим эконометрическим
моделям в последние годы несколько ослаб. В настоящее время интенсивно разрабатываются эконометрические методы оценки влияния качественных (структурных) факторов, но они используются пока в основном в чисто исследовательских
моделях для проверки тех или иных теоретических гипотез.
Эконометрическая модель, содержащая около 10 переменных, используется
в Минэкомразвития России при составлении прогноза роста и инфляции, обосновывающего проект бюджета. Кроме того, небольшие эконометрические модели
широко используются для предварительной обработки данных в моделях других
типов и в различных компьютерных системах обработки экономической информации.
Сильная сторона эконометрических моделей в их относительной независимости от общественно-политических взглядов автора модели и от использующихся статистическими органами методик сбора и обработки исходных данных. Слабая сторона в том, что эконометрические модели только констатируют существование связи величин, но не помогают ее объяснить. Кроме того, эконометрические
модели на этапе построения требуют огромных массивов данных, собранных по
единой методике за большой промежуток времени. Эконометрические модели
также мало пригодны для аналитических расчетов, т.е. ответов на вопрос «что
было бы, если бы применялась другая политика».
Методы обработки статистики, развитые в эконометрике, объединяются и
обобщаются современными системами анализа временных рядов, известными
под общим называнием Data Mining (см. обзор [93]).
1.1.3. Балансовые модели
Балансовые модели возникли как метод обеспечения процедур планирования экономики. Главная часть этих моделей – система материальных балансов
для некоторого набора продуктов, в совокупности охватывающего все хозяйство.
Крупномасштабное применение балансовых моделей для управления экономикой
и отдельными ее комплексами началось в 1950е, когда во всем мире большую популярность приобрели идеи долгосрочного планирования.
8
В то время не только социалистические страны, но и большинство западных
стран, а также крупные корпорации составляли планы развития производства минимум на 5 лет. Различие состояло в том, что в СССР и у корпораций планы были
директивными (обязательными к исполнению), а на уровне западных государств
планы были индикативными: государственные органы добивались их исполнения частным сектором косвенными методами – льготами, дотациями, и т. п3.
К этому времени (1950е) экономика усложнилась настолько, что управление
хозяйством страны «вручную», успешно практиковавшееся в 1930е годы в СССР,
Германии, отчасти в США после Великой депрессии и повсюду во время Второй
мировой войны, стало уже невозможным. С другой стороны, к этому времени как
раз появились первые ЭВМ, и плановые расчеты стали одной из первых основных
сфер их применения.
Процедуры планирования в 1950е-1970е во всем мире базировались практически исключительно на модели Леонтьева [46]. Лауреат Нобелевской премии
В.В. Леонтьев, продолжив в США свои исследования, начатые в 1920е в Госплане
СССР, на основе анализа экономической статистики установил, что отношения
текущих затрат сырья и материалов разных видов на выпуск данного вида продукции к объему производства этой продукции в стране (коэффициенты прямых
затрат) остаются практически постоянными, несмотря на существенные колебания выпусков. Если измерить коэффициенты прямых затрат, то получится большая по размеру, но простая и единообразная по структуре линейная система
уравнений, связывающая валовые выпуски отраслей с объемами конечного потребления их продукции. Это и есть модель Леонтьева. Модель Леонтьева не замкнута. Она позволяет рассчитать выпуски по заданным объемам конечного потребления, но само конечное потребление она не определяет.
Позднее был предложены динамические варианты модели Леонтьева, связывающие выпуски не только с текущими затратами, но и с предшествующими капитальными затратами с помощью коэффициентов приростной фондоемкости,
а также с затратами труда с помощью коэффициентов трудоемкости.
Динамическая модель Леонтьева позволяет ставить задачу об оптимальном
развитии экономики. Для этого нужно установить какой-то критерий, определяющий, какая из двух возможных траекторий изменения конечного потребления
продуктов предпочтительнее. После этого по модели можно рассчитать выпуски и
капиталовложения, обеспечивающие траекторию изменения конечного потребления продуктов, наиболее предпочтительную из всех возможных. Можно также
просто проводить массовые вариантные расчеты, проверяя, способна ли экономика обеспечить ту или иную конкретную траекторию роста конечного потребления.
Практически во всех странах, даже в тех, где как, например, в США, прямое
планирование всей экономике на национальном уровне никогда не применялось,
были все же созданы специальные статистические службы, которые собирали и
обрабатывали статистику в соответствии с потребностями моделей межотраслевого баланса в разрезе нескольких тысяч продуктов.
Когда в 70е годы корпорации, а в 80е и государства стали отказываться от
прямого перераспределения ресурсов в пользу рыночных механизмов, интерес к
балансовым моделям снизился. Тем не менее, статистика для них продолжает
собираться и публиковаться.
Надо иметь также в виду, что в Англии, Франции, Италии базовые отрасли были в то время национализированы, а в Германии и Японии эти отрасли управлялись несколькими крупными финансово-промышленными группами, традиционно тесно сотрудничавшими с правительством.
3
9
Прогнозы развития российской экономики по модели Леонтьева в настоящее
время составляют ( в основном по собственной инициативе) несколько исследовательских групп [94, 48, 34].
В последнее время балансовые модели часто дополняют системами финансовых балансов, но поскольку рыночные механизмы в балансовых моделях не
описываются, связь материальной и финансовой составляющих определяется
более или менее случайно выбранными нормативами, так что балансовая модель, дополненная финансами, обычно выглядит несколько эклектично.
Сильная сторона балансовых моделей в том, что они состоят практически
только из самых надежных в экономике балансовых соотношений, причем данные
для этих соотношений собираются специально «под модель». Слабая сторона в
том, что на языке балансов невозможно выразить отношения между экономическими агентами, поэтому балансовые модели часто не способны уловить фактические проблемы, с которыми сталкивается экономическое развитие. Следует
помнить, что в балансовой модели учитывается максимум несколько тысяч, а
обычно несколько десятков продуктов, в то время как реально в современной
экономике обращается несколько миллиардов различных благ. Поэтому «продукты» балансовой модели фактически суть агрегаты, индексы, построенные из реальных благ с помощью цен, курсов, потоков платежей и бухгалтерских оценок.
Первичной и самой точной информацией в экономике всегда остается информация о финансовых потоках (подробнее см. гл. 10).
1.1.4. Имитационные модели и синергетичский подход
Сильное усложнение экономической системы привело к отказу от планирования, к дерегулированию и децентрализации, как на уровне государств, так и
еще раньше на уровне корпораций. Рубежом стал энергетический кризис 1975г.
Ни балансовые, ни эконометрические модели не смогли не только предсказать
этот кризис, но и, что еще более важно, не смогли просчитать его последствия.
Реакцией на этот кризис стал огромный рост популярности, так называемых
моделей глобальной динамики [87,9,10], которые после энергетического кризиса 1975г. на некоторое время приобрели широкую известность во всем мире. Однако произвольность предпосылок и разрыв с экономической теорией вызвали серьезную критику этих моделей, а мрачные прогнозы моделей глобальной динамики не оправдались.
Сохранился, впрочем, метод системной динамики. Модели системной динамики, описывающие сложившуюся практику принятия корпоративных решений,
используются сейчас практически во всех крупных корпорациях (см. обзор [92]). О
практической пользе этих моделей судить трудно, поскольку в этих моделях всегда очень велик иллюстративно-рекламный компонент, и некоторые из них трудно
отличить от компьютерных игр4.
Модели системной динамики отностся к классу имитационных моделей. Имитационное моделирование родилось из попыток применить к описанию сложных
систем приемы, разработанные при моделировании технических систем. Основной прием моделирования имитационного моделирования – разделение системы
на блоки, отвечающие существенным процессам или объектам, и описание системы составляется из описаний отдельных блоков.
Имитационные модели обычно довольно сложны – содержат несколько сотен
соотношений. Это меньше, чем в больших эконометрических моделях, и примерно
столько же, сколько в балансовых. Однако в балансовых моделях большая часть
соотношений – это линейные однотипные уравнения балансов, а в имитационных
Сами авторы моделей системной динамики часто подчеркивают важность психологических и политических аспектов процесса моделирования.
4
10
– это нелинейные соотношения, описывающие причинные связи в экономике. Поэтому имитационные модели, как правило, описывают систему в менее подробной
номенклатуре продуктов и ресурсов, чем балансовые.
Трудность применения этого метода к моделированию экономики состоит в
том, что в отличие от технической системы, которая создается из отдельных частей, экономика возникает в процессе самоорганизации, и членение ее на части
отнюдь не однозначно. Поэтому созданию имитационной модели экономики
предшествует содержательное исследование конкретной ситуации, в результате
которого вырабатывается сценарий экономических отношений – перечень и качественная характеристика важнейших составляющих описываемой экономической
системы.
При моделировании, например, нового самолета можно использовать готовые описания старых частей, например, сервомеханизмов или насосов. При моделировании экономики все блоки модели должны естественно включаться в конкретный сценарий, поэтому готовыми описаниями блоков, созданных другими исследователями и даже теми же исследователями в рамках другого сценария, как
правило, воспользоваться не удается и все описания приходится разрабатывать
заново.
В последнее время значительный интерес привлекает в каком-то смысле
противоположная тенденция построения сравнительно простых моделей на основе аналогий с хорошо изученными физическими и биологическими процессами.
[52,89]. Основной аналогии служат качественные явления, присущие динамическим системам определенного математического типа. Эти модели называются синергетическими, а в последнее время – моделями эконофизики. Они, действительно, иногда открывают неожиданные эффекты и связи, но пока, по-нашему
мнению, недостаточно надежны и практичны.
1.1.5. Вычислимые модели общего равновесия
Особый класс моделей экономики образуют, так называемые, модели общего экономического равновесия, восходящие к работам экономиста XIXв. Л. Вальраса и принявшие современную форму благодаря исследованиям К. Эрроу и Дж.
Дебре [4:V.2,Chap.15, 17, 59]. Модель общего равновесия описывает экономику
как результат взаимодействия экономических агентов различных типов. Обычно
это производственные отрасли, домохозяйства, финансовые организации, государство и внешнеторговые организации фирмы. В модели каждый из агентов выбирает для себя наиболее выгодные действия в рамках своих технологических и
институциональных ограничений, исходя из величин информационных переменных (цен, курсов, процентов). Значения информационных переменных определяются так, чтобы обеспечить выполнение материальных и финансовых балансов во всей системе.
Модели общего равновесия сложны, поскольку представляют собой целую
связку нелинейных задач оптимизации поведения. Эти модели могут описывать и
экономическую динамику, хотя в этом случае модель оказывается еще гораздо
более сложной с математической и вычислительной точки зрения (подробнее см.
ниже гл. 2).
Долгое время практическое применение моделей равновесия сводилось к
изучению и сравнению стационараных состояний двух-четырех рынков, в совокупности схематически описывающих всю экономику. Эти «теоретические» модели
равновесия сыграли исключительно важную роль в становлении современной
экономической теории и подробно обсуждаются в любом учебнике по макроэкономике (см., например, [23,79]).
11
Однако, к 1990м выяснилось, что учета одних технологических ограничений
(балансовые модели Леонтьева), экстраполяции предыдущих тенденций (эконометрические модели) и прямолинейного наложения внешних ограничений (модели
системной динамики) недостаточно для адекватного описания современной экономики. С другой стороны децентрализация не отменила необходимость целенаправленной координации усилий общества на решении общих проблем, и тенденция к регулированию стала снова усиливаться. Особенно это заметно в современной России, где надежда на широкое частное инвестирование в насущные
сферы так и не оправдалась. В результате правительство должно было обратиться к национальны проектам и консолидации важнейших отраслей в рамках государственных корпораций. По общему мнению, необходимым шагом при реализации этих программ будет внедрение в какой-то форме индикативного планирования экономики.
В новых условиях, однако, необходимо учитывать упомянутые выше институциональные ограничения, прежде всего, финансовые, а также принимать в расчет, что в условиях децентрализации экономические агенты будут делать только
то, что сочтут выгодным для себя.
По этим причинам с 1990х основным инструментом, применяемом в мире
для экономического планирования и прогнозирования стали так называемые вычислимые модели общего равновесия (CGE).
В обзоре, подготовленном в Высшей школе экономики, указано около полусотни практически работающих в разных странах мира вычислимых моделей общего равновесия. По проблематике они распределяются следующим образом:
1) Проблемы экологии и долгосрочного развития (контроль выбросов в окружающую
среду, последствия истощения полезных ископаемых, переход на альтернативные
источники энергии и т.д.) – 13% от общего числа.
2) Анализ последствий глобализации и увеличения объемов внешней торговли (в
частности создание и расширение торговых блоков, последствия вступления в
ВТО, последствия либерализации внешней торговли) – 47% от общего числа.
3) Изменения внутри национальной экономики (последствия: налоговой реформы,
пенсионной реформы, регулирование естественных монополий, монетарной политике, структурные изменения, политика направленная на поддержку определенных отраслей) – 40% от общего числа.
По количеству моделей лидирует Китай, за ним идут США. Почти половина
моделей приходится на Азию далее идет Латинская Америка, Африка, Европа
Северная Америка и Австралия.
Примером может служить модель Австралийской экономики MONASH, созданная одноименным университетом совместно с правительством Австралии.
Описание модели дано в [1]. Также на сайте университета MONASH можно найти
серию работ, в которых описывается применение этой модели.
Модель описывает экономику Австралии, выделяя в ней 113 отраслей, объединенных в 21 производственный сектор. Результаты модельных расчетов преобразуются затем в прогнозы для 860 товаров, 341 вида занятости, 56 регионов и
нескольких типов домашних хозяйств. Основным предназначением модели являются детализированные прогнозы уровней занятости, однако, модель позволяет
также предсказывать и анализировать последствия изменения внутренней политики. В числе ее приложений были:
 Анализ последствий изменения пошлин на автомобильный транспорт
 Анализ последствий реформы угольной промышленности
 Анализ роли воды в австралийской экономике
 Прогноз последствий падения стоимости береговых территорий
12

Прогноз последствий финансирования крупного проекта, такого, как перевод линий электропередач в подземные коммуникации за счет различных
видов налогов
и другие.
Еще более масштабныым проектом явилась модель MIT EPPA (Emissions
Prediction and Policy Analysis), частично описанная в [5]. Она была разработана в
технологическом институте Массачусетса для целей исследования изменения
климата и влияния на него экологической политики и служит компонентом более
сложной системы MIT Integrated Global System Model. Модель EPPA определяет
выбросы в атмосферу на период до ста лет, при условиях отсутствия климатической политики. В модели учитываются влияния существующих технологий и технологического прогресса на рост выбросов, и, таким образом, на роль человеческого фактора в изменении климата.
Модель также служит инструментом для анализа стоимости предполагаемой
политики ограничения выбросов, как в краткосрочной перспективе на период порядка 10 лет, так и при прогнозировании борьбы с парниковым эффектом на
большой срок вперед. Влияние учета технологий и технологического прогресса на
результат здесь зависит от конкретного приложения модели. Представление текущей технологии, естественно, оказывается наиболее важным при анализе
определенных ограничительных мер на коротком периоде прогнозирования, таких, как ограничения выбросов типа киотского протокола. С другой стороны, прогресс играет значительно меньшую роль в краткосрочном анализе, поскольку разработка и внедрение новых технологий требует продолжительного времени.
Авторы отмечают сложность сравнения и измерения технологического прогресса в различных моделях. Помимо разницы в степени агрегированности производственных функций, вызывает трудности и выделение технологических явлений
из ряда других структурных сдвигов. К примеру, распространенной характеристикой экономики в технологическом отношении является интенсивность выброса
парниковых газов. К сожалению, попытки приписать наблюдаемые изменения интенсивности различным причинам – таким, как технологический прогресс, сдвиги в
структуре потребления, изменения относительных цен, – дают существенно различные результаты, зависящие от уровня детальности модели и других ее структурных характеристик [5].
Для России CGE модель недавно была разработана в ЦЭМИ РАН под руководством академика В.Л. Макарова [49].
Заметим также, что собственно система экономических отношений описывается в указанных моделях весьма схематично – как совершенно конкурентные отношения собственника-потребителя и фирмы-производителя на фоне государственного регулирования.
О практических результатах применения вычислимых моделей общего равновесия судить трудно, т. к. полное описание этих моделей и конкретные результаты расчетов, как правило, открыто не публикуются, отчасти по причине громоздкости модели, отчасти вследствие конфиденциальности использованных данных.
Однако создание такой модели дело довольно дорогостоящее и длительное, так
что вряд ли правительства и фонды продолжали десятилетиями финансировать
эти проекты, если бы не получали практической отдачи.
Модель описанная в этой книге гораздо менее подробна с точки зрения описания технологической структуры экономики, но она гораздо более последовательно и, как мы надеемся, гораздо более реалистично, чем упомянутые выше
модели, описывает взаимодействия и функции агентов, т. е. собственно экономические отношения. Результатом оказывается ее большая математическая сложность, так что ее можно отнести к «невычислимым моделям общего равновесия».
13
1.2. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ РАЗВИВАЮЩЕЙСЯ ЭКОНОМИКИ
В 1975 г. в Вычислительном центре АН СССР (потом РАН) под руководством
академика РАН А.А. Петрова мы открыли новое направление исследований: системный анализ развивающейся экономики [65], в котором методологию математического моделирования сложных систем, развитую в естественных науках
[78, 57, 41], синтезировали с достижениями современной экономической теории.
Мы поставили перед собой задачу научиться строить замкнутые математические
модели, которые описывали бы механизмы развития во времени макроэкономических структур и правильно воспроизводили совокупность основных качественных особенностей эволюции изучаемой экономической системы. Чтобы решить
эту задачу, мы сосредоточили внимание на разработке методов описания реальных экономических отношений в изучаемой системе. На их основе развивались
методы агрегирования исходных микроэкономических описаний в макроструктуры.
Модели системного анализа развивающейся экономики по смыслу близки к
вычислимым моделям общего равновесия, но больше обращают внимания на
специфику сдложившихся экономических отношений, да и начались наши исследования лет на 15 раньше появления первых CGE моделей.
Начали мы с моделей рыночной экономики [66, 67], которые, в частности,
позволили верно оценить краткосрочные последствия энергетического кризиса
1975г. [42], а в 1988 г. построили модель, которая воспроизводила основные качественные особенности эволюции плановой экономики [67, 44]. Поэтому, когда
началась перестройка, мы были готовы использовать наш подход для анализа тех
изменений, которые происходили в экономике СССР, а потом России. Каждая из
наших моделей была основана на системе гипотез относительно характера тех
экономических отношений, которые складывались на последовательных этапах
переходного периода.
С помощью этих моделей удалось понять внутреннюю логику развития экономических процессов, которая скрывалась за видимой, часто казалось бы парадоксальной картиной экономических явлений, не укладывавшейся в известные
теоретические схемы. Опыт применения моделей показал, что они служат надежным инструментом анализа макроэкономических закономерностей, а также прогноза последствий макроэкономических решений при условии сохранения сложившихся отношений. Если же экономические отношения существенно изменяются, систему гипотез приходится обновлять и строить новую модель.
Таким образом, в рамках единого подхода с помощью математических моделей мы могли проследить внутреннюю логику изменений, происходивших в нашей
экономике в период 1988-1998 гг. Получилась, можно сказать, целая «летопись»
экономических реформ, выраженная на языке математических моделей. Целиком
эти модели описаны в [66, 67], а обзор, более подробный, чем приводится ниже,
можно найти в [68].
1.3. МОДЕЛЬНАЯ «ЛЕТОПИСЬ» РОССИЙСКИХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РЕФОРМ
1.3.1. Плановая экономика
В 1986-88 гг. по заданию Госбанка СССР мы провели системный анализ экономических отношений, сложившихся к тому времени в СССР, и на его основе
разработали макроэкономическую модель плановой административно регулируемой экономики [66, стр. 96-118, 220-236], [67, стр. 116-130], [44]. Исследования, ко14
торые мы провели, показали, что главные особенности эволюции советской экономики в 70-80-х годах можно объяснить немногими характерными чертами экономических отношений, сложившихся в рамках планово-административной системы:
 С конца 50-х годов потребительский спрос населения и предложение рабочей
силы с учетом ее реальной производительности плохо поддавались административному регулированию. В этих условиях плановые органы в принципе не
могли гарантировать обеспечение плана ресурсами и соответствие плана
спросу по ассортименту продукции.
 Производители, получив несбалансированный по ресурсам план, выраженный
в агрегированных показателях, производили некачественный (некомплектный,
неходовой и просто фиктивный) продукт, валовая стоимость которого позволяла отчитаться за выполнение плана.
 Через систему материально-технического снабжения можно было сбыть весь
произведенный продукт, но значительная часть его омертвлялась в виде
сверхнормативных запасов и выходила из хозяйственного оборота.
 Выпуск некачественного, неходового продукта вызывал, с одной стороны, рост
материалоемкости и увеличение капитальных затрат, а с другой – рост вынужденных сбережений населения. Возникала материально-финансовая разбалансированность хозяйства. Однако по информации, которую получали директивные и плановые органы, народнохозяйственный план выполнялся по всем
показателям. Рост выпуска некачественного продукта по отчетам выглядел как
рост производительности труда.
Все эти явления были описаны моделью. В процессе ее разработки мы поняли внутреннюю логику экономических отношений, свойственных плановоадминистративной системе, и убедились, что они органически связаны со структурой производства и обращения. В частности, исследование модели показало, что
 в рассматриваемых условиях лучшее, что мог делать плановый орган
– это давать заведомо завышенный, «напряженный» план,
 в этой структуре привилегированное положение объективно занимала
система розничной торговли.
 Идентификация модели показала, что в СССР в 80-е годы избыточное производство составляло около 30%.
1.3.2. Возникновение кооперативного сектора
На рубеже 1987-88 гг. начался слом старых экономических отношений. Были
приняты закон о предприятии, сводивший планы к госзаказу, под который выделялись материальные фонды, и закон о кооперации, который позволял арендовать
мощности, не загруженные госзаказом, покупать сырье по коммерческим ценам у
предприятий государственного сектора, производить товары народного потребления и услуги и продавать их населению по свободным рыночным ценам.
Предполагалось, что производительность труда в кооперативном секторе
будет выше, чем в государственном. Поэтому, если в кооперативный сектор перейдет некоторая часть рабочей силы, потребуется взять в аренду относительно
небольшую часть мощностей государственного сектора, чтобы сбалансировать
рабочую силу с мощностями. Одновременно улучшится баланс рабочей силы и
мощностей в государственном секторе, и, следовательно, уменьшится выпуск некачественного продукта, даже если сохранится перенапряженный план по госзаказу.
Чтобы понять, так ли это будет, мы модифицировали модель плановой административно регулируемой экономики, введя в нее описание кооперативного
15
сектора, которое воспроизводило основные положения закона о кооперации [66,
стр. 236-269], [67, стр. 130-156], [43].
 Главная гипотеза, на которой была основана модель, заключалась в том, что
рабочая сила будет мигрировать в кооперативный сектор для того, чтобы производить потребительский продукт, а интенсивность миграции определится отношением оплат труда в кооперативном и государственном секторах.

Исследование модели показало, что расширение кооперативного сектора действительно могло бы смягчить отрицательные последствия перенапряженного плана и замедлить рост выпуска некачественного продукта.
Доля потребления в валовом продукте должна была вырасти, а вынужденные сбережения населения – сократиться. Но достигалось бы все это ценой
роста розничных цен и уменьшения реальной заработной платы в государственном секторе. Кооперативы могли бы только заполнить ограниченную
«экономическую нишу», образованную дисбалансом мощностей и реальной
рабочей силы.
1.3.3. Экономика СССР накануне развала
Перестройка М. С. Горбачева, последовательно разрушая механизмы административного регулирования, выбила советскую экономику из своеобразного состояния неэффективного равновесия, в котором она находилась, и запустила стихийные механизмы саморегулирования экономической активности.
В условиях хозрасчета и усиления самостоятельности трудовых коллективов
предприятия распродавали сверхнормативные фонды, а доходы тратили не на
развитие производства, а на заработную плату. Была подорвана государственная
монополия на внешнюю торговлю, теперь доходы от нее в значительной части
шли на счета экспортеров и импортеров, дополнительно увеличивая количество
денег в обращении и способствуя росту внутреннего курса доллара. Инфляционные ожидания отпугивали население от сбережений, и практически все доходы
население тратило на потребление.
От плановой административной системы осталась система госзаказов на основные виды продукции и фондирования госзаказов не только сырьем, но и потребительскими продуктами, особенно в отраслях ВПК. В этой системе действовали государственные оптовые и розничные цены. В плановой административной
системе государственные цены не были регуляторами хозяйственной деятельности предприятий. В условиях сильнейшей материально-финансовой несбалансированности система хозяйственных связей превратилась в систему бартерных
обменов между предприятиями.
Неконтролируемый рост доходов населения в условиях ограниченного предложения потребительских товаров по фиксированным розничным ценам разрушил
государственный сектор потребительского рынка. На месте его возникла система
снабжения трудовых коллективов потребительскими товарами по государственным розничным ценам из фондов, полученных предприятиями под госзаказ, при
этом не мог не расшириться черный рынок потребительских товаров.
Таким образом, в 1991 г. перестройка экономики СССР завершилась тем, что
возникли три уклада: государственный заказ и фондирование по фиксированным
государственным ценам, бартерные обмены и черный рынок потребительских товаров.
В 1991-92 гг. мы построили модель многоукладной экономики, в которой описали эти особенности экономических отношений [66, стр.336-367], [67, стр.157179].
 Производство в модели было представлено тремя секторами: производства
потребительских и инвестиционных продуктов (гражданский), производства
16
продукции государственного потребления (оборонный) и производства сырья
(добывающий). Население было разделено на группы, связанные с указанными
секторами.
 По официальной розничной цене потребительские продукты распределялись
по секторам как часть фондирования госзаказа. Но те же продукты можно было
купить значительно дороже на черном рынке. Разница уровня цен черного рынка и уровня государственных розничных цен характеризовала в модели степень несовершенства потребительского рынка. В модели учитывалось и то, что
на общее экономическое положение уже существенно влиял экспорт продукции
отраслей добывающего сектора.
 Было показано, что от экспорта зависел и уровень потребления населения,
и уровень производства в стране. При увеличении экспорта уровень потребления рос, но уровень производства наоборот снижался за счет существенного
спада в отраслях оборонного сектора. Эти явления усиливались по мере того,
как увеличивалась степень несовершенства потребительского рынка. Расчеты
показали, что при несовершенном потребительском рынке увеличением экспорта сырья можно было вызвать катастрофический спад отраслей ВПК.
 Результаты исследования модели сложились в противоречивую картину. Увеличение экспорта продукции отраслей добывающего сектора выгодно населению
в целом, хотя вызывает общий спад производства. Отношение работников разных
секторов к этому прямо противоположное. Увеличение экспорта выгодно работникам добывающего сектора, но невыгодно работникам оборонного. Уровень производства отраслей гражданского сектора почти не зависит от экспорта, поэтому его
работники должны относиться нейтрально к увеличению экспорта.
 Обнаружилось также, что, чем выше степень несовершенства рынка, т.е. выше
уровень спекулятивных доходов, тем слабее стимулы трудиться у населения в
целом. Тот же уровень потребления обеспечивается все меньшим уровнем производства. А вот рост экспорта сырья и энергоносителей существенно повышает
уровень потребления населения. В результате перестройки у населения в целом
уже возникли экономические стимулы к торгово-посреднической деятельности,
особенно связанной с экспортом и импортом, и ослабли стимулы к производительному труду.
 Либерализация цен в январе 1992 г., официально считающаяся началом реформы, по существу была уже неизбежным шагом в направлении срочного восстановления потребительского рынка.
1.3.4. Либерализация цен
Российские власти отважились восстанавливать потребительский рынок с
помощью резкой либерализации хозяйственной деятельности. Что «шоковая» либерализация цен неизбежно вызовет сильную инфляцию, мы поняли еще весной
1990 г., построив модель, которая описывала краткосрочные последствия будущей «шоковой терапии» советской экономики.
Все особенности структуры хозяйства и экономических отношений в СССР,
изложенные в разделе 1.3.1, мы приняли во внимание, когда в мае 1990 г. разработали математическую модель [67, стр. 276-309], [22], с помощью которой оценили последствия «шокового» освобождения цен и либерализации сферы обращения.
 В 1990 г. мало что было известно о характере переходных процессов после
начала реформы. Было ясно только, что перестройка структуры хозяйства
займет годы. Мы решили упростить задачу и построить модель процессов, которые будут существенны в краткосрочном плане, скажем, в первый год после
начала реформы. Поэтому мы предположили, что старая структура производ17
ства сохранится, и только уровень снизится на величину выпуска продукции,
которая не найдет спроса.
 В 1990 г. трудно было представить, как поведут себя экономические агенты в
резко изменившихся условиях. В модели мы описали в агрегированном виде
четырех экономических агентов: производство, население, Госбанк и государство, функция которого была представлена доходами и расходами государственного бюджета. Население было разделено на две группы по источникам
доходов: «хозрасчетников», получающих доходы от производства и коммерческой деятельности, и «бюджетников», получающим доходы из государственного бюджета. Доходы первых непосредственно зависят от цен, а доходы вторых
фиксированы. Государство может их индексировать, а может и воздержаться.
 В модели была также описана динамика сбережений и долгов агентов.
 Мы предположили, что сразу после начала реформы предприятия получат
право продавать продукцию по свободно складывающимся ценам на сразу же
возникшем конкурентном рынке. Были учтены параметры государственной
макроэкономической политики, главным из которых был уровень, до которого
снижаются государственные расходы.
Модель была идентифицирована по данным Госкомстата СССР о состоянии
народного хозяйства за 1988 г., и с ее помощью были рассчитаны временные ряды цен, сбережений, реальных доходов обеих групп населения и других показателей состояния экономики.

Расчеты показали, что, даже отказавшись от индексации доходов
«бюджетников», правительство могло бы добиться сравнительно умеренного
роста цен (всего в 5 раз) только совершенно нереальными мерами. Надо было
бы за полгода в четыре раза сократить госрасходы в постоянных ценах. А это
значит, что за полгода надо сократить в четыре раза закупки для вооруженных
сил, милиции, образования, медицины, науки и культуры.

Но даже при этих нереальных условиях разница доходов «хозрасчетников» и «бюджетников» достигла бы примерно 700%. Расчеты показали, что
индексация доходов «бюджетников» только усиливает инфляцию, которая
«съедает» прибавку доходов.
Мы представили результаты этих исследований и расчетов в подкомитет по
экономической реформе Верховного Совета СССР тогдашним идеологам и прорабам перестройки, ими заинтересовались службы КГБ. Однако во внимание и в
расчет наши результаты не были приняты. Уже после путча 1991 г. участники
представительного международного семинара в венском Международном институте системного анализа вежливо пожимали плечами, – не может быть такого
скачка цен.
1.3.5. Период высокой инфляции 1992-1995гг.
К весне 1993 г. неконтролируемые рыночные отношения проникли в сферу
обращения, в частности, государство утратило контроль над внешней торговлей.
Сложились влиятельные торгово-посреднические группы, которые занимались
экспортной и импортной деятельностью в основном спекулятивного характера.
Экспортеры и (в меньшей степени) импортеры создавали новую банковскую систему. Возникшие рынки были далеко не конкурентными, и рыночное равновесие
не обеспечивало эффективное распределение и использование ресурсов.
В сфере производства сохранялся прежний экономический уклад. Администрация предприятий еще оставалась под сильным влиянием трудовых коллективов и пыталась стабилизировать производство. Однако в новых условиях большинство предприятий быстро лишилось собственных оборотных фондов и потеряло рентабельность. Исключение составляли предприятия добывающих отрас18
лей, ориентированных на экспорт. Тем не менее, еще не возникала сильная отраслевая дифференциация оплаты труда. Перераспределение доходов от экспорта осуществлялось путем льготного кредитования производителей Центральным банком.
В 1993 г. мы создали модель, отражавшую экономические отношения, которые сложились в России на первом этапе реформы [66, стр. 367-479], [67, стр.
181-268].
 В этой модели мы описали экономическую систему как иерархию монополий,
на вершине которой находились экспортеры, а внизу – население и государство (в качестве потребителя). Промежуточные «этажи» занимали последовательно промышленные предприятия, импортеры и коммерческие банки.
Исследование модели дало возможность теоретически осмыслить, что же
произошло с нашей экономикой в период 1989-1993 гг. В результате выяснилось,
что

Экономика перешла из своеобразного неэффективного равновесия
(или застоя, как принято его называть), который определялся реальными
экономическими отношениями в рамках советской плановой административной системы, в другое, но опять неэффективное, равновесие. Мы назвали последнее «инфляционным равновесием», потому что «шоковая» либерализация цен неизбежно приводила к очень сильной инфляции.

Неконтролируемая инфляция лишила население сбережений, одновременно кредитно-денежная система лишилась классического кредитного
ресурса и вынуждена была заменить его бесплатными деньгами в обращении. Было показано [67, стр. 182-192], [28], что при сильной инфляции и задержках в обращении денег экономика может находиться в состоянии неэффективного равновесия.

Было показано, что эффективность инфляционного состояния равновесия зависит от величины льготных кредитов. Увеличение кредитов до
определенного уровня ведет к росту производства и реальных доходов
населения. Излишний рост кредитов только разгоняет инфляцию. Наоборот, недостаток кредитов подавляет производство и даже может загнать
экономику в дефляционный шок.

Комплекс экономических явлений, характерных для первого этапа
реформы, был объяснен с единых теоретических позиций. С помощью математической модели, основанной на этой теории, были получены количественные оценки эффективности (вернее, неэффективности) сложившейся
структуры российской экономики, оценены возможности государственной
макроэкономической политики в сложившихся экономических условиях.

Модель регулярно использовалась для количественных оценок последствий разных мер макроэкономической политики. Модель позволяет
оценивать и такие показатели, которые непосредственно не отражаются в
статистике. С помощью модели мы оценили, что в 1992-1994 гг. из внутреннего экономического оборота уходили 12-25 млрд. долларов в год.

Будучи использованными в интересах национальной экономики, а не
в частных интересах торгово-посреднических структур, эти деньги могли бы
стать ресурсом структурной перестройки и экономического роста. Однако
сложившиеся экономические отношения не позволили создать этот ресурс.
Потребительский рынок был восстановлен ценой невероятного расточения
национальных ресурсов.

Макроэкономическая политика государства имела весьма ограниченные возможности. Классическая денежная политика сокращения льготных
кредитов производителям или сокращения реальных расходов государ19
ственного бюджета, действительно, заметно влияет на денежные показатели, – сокращает дефицит государственного бюджета и уменьшает темпы
инфляции. Однако эти достижения даются ценой сокращения производства
и снижения реальных доходов населения. Таким образом, жесткая антиинфляционная политика государства сама по себе не обеспечивает экономического роста. В лучшем случае она создает благоприятные условия для
возобновления роста. Чтобы действительно начался рост, необходима
структурная политика государства, направленная на перестройку экономических отношений.
1.3.6. Период финансовой стабилизации
Важной вехой в развитии экономических отношений в России был 1995 г., когда после завершения бесплатной приватизации с помощью жесткой кредитной
политики, неэмиссионного финансирования дефицита бюджета и введения валютного коридора была подавлена инфляция и замедлен спад производства. Новая экономическая ситуация возникла не просто в результате перечисленных волевых действий правительства.
Относительный рост издержек экспорта и относительное снижение цен на
импортные товары привели к тому, что структура внутренних цен приблизилась к
структуре мировых. Рост предложения валюты экспортерами, вынужденными покрывать возросшие внутренние издержки, и сокращение спроса на нее импортеров были главными внутренними причинами замедления роста курса доллара.
Именно это естественное укрепление рубля дало возможность ЦБ установить валютный коридор. Стабилизация рубля лишила привлекательности валютный рынок, поэтому деньги начали перетекать с него на рынок государственных краткосрочных обязательств (ГКО). Связав их «пирамидой» ГКО, Минфин осуществил
неэмиссионное финансирование дефицита государственного бюджета, и инфляция была подавлена. Надо отметить, что специалисты ЦБ уловили и использовали произошедшие изменения, рассчитали реальную величину валютного коридора и подкрепили его другими мероприятиями (требованием резервировать валютные депозиты рублями, «чисткой» банковской системы и др.)
С развитием приватизации так изменились отношения собственности, что
администрация предприятий почувствовала себя реальным хозяином, независимым от трудового коллектива, и обнаружила, что можно не платить обещанную
зарплату. Прежние цели администрации сохранить трудовой коллектив и стабилизировать производство теперь сменились чисто рыночным стимулом увеличить
собственные доходы.
Изменение отношений администрации и трудового коллектива способствовало распространению в сферу производства различных форм нелегального и
полулегального оборота платежных средств. Качественные изменения отношений
собственности, так же, как и количественные изменения доходности экспортных и
импортных операций, вызвали сильную дифференциацию доходов населения.
Отраслевая дифференциация ставок заработной платы отсекла от дележа экспортной выручки трудящихся, не причастных к экспортным операциям, но увеличила реальные доходы занятых в экспортных отраслях и сфере рыночных услуг.
В результате, с одной стороны, сформировался достаточно многочисленный
слой зажиточного населения, склонного к сбережениям. По экспертным оценкам
около 25 млн. человек было занято в новой сфере рыночных отношений. С другой
стороны, еще более выросла численность населения за чертой бедности. В итоге
выросли сбережения, уменьшился платежеспособный спрос на потребительском
рынке, уменьшилась необходимость вторичного, нерыночного, перераспределения доходов, и увеличился платежеспособный спрос на нетрадиционные услуги,
20
недвижимость. Эти четыре фактора тоже способствовали снижению темпов инфляции.
На первом этапе реформы рыночные отношения охватывали сферу обращения, а в производстве господствовали внерыночные отношения, основанные на
старых связях смежников и государственной поддержке. С концом периода первоначального накопления капитала рыночные отношения стали проникать в производство, но не захватили его целиком, а расслоили на два уклада, сосуществовавшие на общей технологической базе, общих ресурсах труда и основных фондах.
Первый уклад – рыночный или коммерческий. Этот уклад гибко реагирует на
спрос, номенклатура производства в нем подвижна, серии малы, заказы не регулярны, а платежи делаются в основном наличными деньгами, бартером, переводами между заграничными счетами. Прибыльность здесь достаточно высока. Показателем роста рыночного уклада был существенный рост доли доходов, которые население получало помимо зарплаты и государственных пособий.
Второй уклад можно назвать традиционным. Серии здесь велики, а заказы
стабильны, показатели производства достаточно полно отражаются в отчетности
и, если есть деньги, выплачиваются налоги. Однако традиционный уклад в целом
убыточен и использует неплатежи как особую форму расчетов. Традиционный
уклад получает финансовую поддержку от рыночного в форме невозвратных кредитов и покупки акций предприятий.
С изменением отношений собственности естественным образом стала появляться новая форма организации производства, которая должна была обеспечить
сосуществование двух экономических укладов на общей производственной базе.
Предприятия обросли множеством торгово-посреднических фирм, которые занимались снабжением и сбытом по рыночным каналам. Высокие издержки реализации продукции по рыночным каналам, в значительной части криминализированным, стали характерной особенностью внутреннего российского рынка. С отменой
льготных кредитов Центрального банка предприятия были вынуждены обращаться за кредитами к коммерческим банкам, которые зачастую были созданы за счет
средств самих предприятий. В конечном счете администрация предприятий, директораты коммерческих фирм и правления коммерческих банков, часто состоявшие из одних и тех же лиц, стали единым хозяйственным органом, управляющим
деятельностью всей этой группы экономических агентов. Возник новый экономический агент, которого мы назвали финансово-промышленной группой (ФПГ).
Центральное место в группе занимал банк, который эффективно использовал остатки расчетных счетов и другие свободные средства участников группы.
Кроме того, банк имел прямой доступ на рынки валюты, ГКО и межбанковских
кредитов (МБК), облегчал обращение векселей, а иногда и «отмывание» нелегальных доходов. Известно и то, что банки на особых условиях предоставляли
"своим" предприятиям кредиты, которые в основном использовались для пополнения оборотного капитала.
Основные вложения банков были направлены в государственные ценные
бумаги (ГКО) и акции иностранных компаний, но банки давали кредиты и отечественным предприятиям. Кредиты предприятиям были инвестициями в оборотные
фонды (для оплаты сырья и заработной платы). Вложениям в основной капитал
производственных предприятий, по-видимому, препятствовали две главных причины. Во-первых, громоздкая и уже сильно состарившаяся инфраструктура российской промышленности требовала не миллионов, а сразу миллиардов долларов
инвестиций в отдельный проект. Во-вторых, новые собственники так распорядились колоссальным имуществом, доставшимся им в результате приватизации, что
21
внутри страны по-настоящему крупных ресурсов свободного капитала не образовалось.
Для рынка капитала важны прежде всего доходность, ликвидность и риск инвестиций. Поэтому вложения в государственные ценные бумаги надо рассматривать как одно из равноправных направлений инвестирования в высокодоходный,
но рискованный «проект» финансирования государства. Это – тоже инвестиции в
оборотные фонды, поскольку средства от ГКО шли на «латание дыр» в бюджете.
Вложения российских банков по остальным направлениям играли роль страховых.
В общем, на российском рынке капитала складывалась парадоксальная ситуация, в которой производство выступало не столько как объект вложений,
сколько как источник финансирования вложений в государственный долг5. Остатки
расчетных счетов и другие свободные средства предприятий банки использовали
для вложений в ГКО.
В 1996 г. мы разработали модель региональной экономики, в которой описаны качественные особенности экономических отношений, сформировавшихся на
втором этапе реформы [67, стр. 269-377], [14]. В модели описано:
 как функционирует предприятие при наличии традиционных и коммерческих
каналов сбыта и снабжения;
 как формируются транзакционные издержки в торговле;
 каковы функции банков в экономике, которая находится в застое при низкой
инфляции;
 как действует экономический агент «финансово-промышленная группа»;
 как ведет себя население при нестабильных доходах;
 что могут делать региональная администрация и Сбербанк.

С помощью модели регулярно проводились практические расчеты.
Каждый месяц составлялся прогноз на 2-3 месяца вперед по 50-60 основным показателям развития экономики и кредитно-денежной сферы региона.
При этом динамику этих показателей за предшествующий год модель воспроизводила со средним отклонением менее 10% и корреляцией более
80%.

Однако в июле 1998 г., имея данные на конец мая 1998 г., мы дали
прогноз: как ни меняй параметры модели, получается, что в августе 1998 г.
банковскую систему региона ожидает кризис. Подчеркнем, что мы наблюдали лишь региональную экономику.
Модель не только предсказала кризис августа 1998г., но и позволила проанализировать его причины. Крах финансовой стабилизации был вызван долгосрочной, среднесрочной и краткосрочной причинами, которые соответствуют
иерархии временных масштабов экономических процессов.
Долгосрочная причина заключалась в том, что темп преобразований экономических отношений не соответствовал достижимому темпу структурной перестройки экономики. В результате была приватизирована рента за природные ресурсы, которая присваивалась в виде сверхприбылей экспортеров природных ресурсов и импортеров потребительских товаров и почти вся вывозилась из страны.
Среднесрочная причина состояла в неадекватной политике увеличения доходов
государственного
бюджета,
которую
проводило
правительство
С.В. Кириенко. Напомним, что финансовая стабилизация и замедление спада
5Заметим, что в западных странах доходность государственных ценных бумаг ниже доходности
акций производственных предприятий. Поэтому в развитых странах государственные ценные бумаги рассматриваются как безрисковые, но малодоходные вложения. Они страхуют основные более рискованные, но более доходные вложения в производство. В России, наоборот, доходность
ГКО была выше темпа роста ВВП, поэтому рынок ГКО был неустойчивой "пирамидой".
22
производства, наметившиеся к середине 1997 г., к концу года сменились кризисными явлениями на внутренних финансовых рынках. Финансовый кризис обострил
бюджетный кризис. В результате спада производства уменьшился сбор налогов –
основной источник доходов бюджета. Кроме того, доходы бюджета уменьшились
вследствие сокращения активного сальдо внешней торговли по причине снижения
экспорта и увеличения импорта при резко упавших мировых ценах на нефть и
другие товары российского экспорта. В то же время, финансирование дефицита
бюджета с помощью ГКО привело к тому, что ежемесячные выплаты на погашение процентов вдвое превосходили налоговые поступления в бюджет. Дефицит
бюджета за первый квартал 1998 г. превысил 10% ВВП.
Правительство С.В. Кириенко в мае 1998 г. разработало стабилизационную
программу, направленную на получение дополнительных доходов в федеральный
бюджет. Главные надежды на пополнение доходов федерального бюджета оно
связывало с улучшением сбора налогов. Это же МВФ поставил условием предоставления стабилизационного кредита.
Проблема сбора налогов тесно связана с общей проблемой неплатежей в
экономике России. Например, большой долг по уплате налогов, который числился
за крупнейшей российской компанией РАО Газпром, был обусловлен неплатежами ему со стороны потребителей газа.
Однако неплатежи возникли не просто как результат «нерыночного поведения». Эта была адаптивная реакция экономики на очередные действия реформаторов, не адекватные тогдашней структуре реального сектора. Модель показала,
что рост неплатежей до определенного уровня повышает эффективность экономики. Слишком же большие неплатежи делают рынок неустойчивым [26]. Любопытно, что фактически сложившийся уровень неплатежей оказывается близким к
оптимальному.
Требования ужесточить дисциплину платежей за газ потребители считали
неприемлемыми из-за угрозы энергетического кризиса в промышленности. Исследование модели показало, что резкое административное сокращение неплатежей
за энергоносители расширяет и укрепляет рыночные отношения. Но в силу сложившихся экономических отношений реального сектора и кредитно-денежной системы это приводит к заметному сокращению объема производства в регионе и
увеличивает теневой оборот. Реальные денежные доходы населения увеличиваются, но лишь за счет роста их теневой составляющей. Одновременно сокращаются доходы регионального бюджета, и растет его задолженность по заработной
плате и пенсиям. Переключение производителей на коммерческие каналы реализации продукции вызывает кризис системы коммерческих банков, потому что, как
уже было сказано, она адаптировалась к страхованию нерентабельных традиционных каналов обращения. Таким образом, последствия резкого административного сокращения неплатежей за энергоносители противоречивы и в условиях
сложившихся экономических отношений не способствуют оздоровлению экономики.
Краткосрочными причинами, непосредственно вызвавшими крах финансовой
стабилизации, были бегство иностранных инвесторов с российских финансовых
рынков, вызвавшее обрушивание пирамиды ГКО, и неспособность российских
банков рассчитаться по своим краткосрочным обязательствам на внешнем финансовом рынке.
1.3.7. Перспективы роста российской экономики
Ключевой экономической проблемой в современной России является стимулирование производственных инвестиций. В западной экономике абсолютное
большинство эффективных инвестиционных проектов осуществляется частными
23
инвесторами, причем основным источником инвестиций служат сбережения домашних хозяйств. Однако вследствие инфляционного шока в 1992 г. сбережения
населения России были практически полностью уничтожены. В результате население утратило доверие к банковской системе и стало гораздо меньше сберегать.
Чтобы привлечь сбережения населения, коммерческие банки должны устанавливать высокие проценты по депозитам и, соответственно, предоставлять кредиты
под еще более высокие проценты. Но российские товаропроизводители не могут
выплачивать такие высокие проценты за кредиты.
Высокие проценты за кредит выплачивают торговые посредники, работающие как на внешнем, так и на внутреннем рынке. До кризиса 1998 г. высокие проценты могло выплачивать также и государство. Оно делало это за счет создания
пирамиды ГКО и за счет нарушения обязательств по оплате госзаказа, выплатам
заработной платы и социальных пособий. Торгово-посредническая деятельность
после реформы приносила и продолжает приносить высокую монопольную прибыль вследствие разницы внешних и внутренних цен, а также вследствие неразвитости нашей рыночной инфраструктуры и криминализации экономических отношений.
Денежные суррогаты могут быть средством платежа и обеспечивать обращение, но они не могут быть средствами накопления и обеспечить процесс инвестирования в больших масштабах. В самом деле, денежные суррогаты работают
до тех пор, пока они имеют товарное покрытие, а для инвестирования их нужно
выпустить больше, чем есть товаров. С другой стороны, оборот суррогатов воспринимается производителями как нехватка оборотных фондов, и у них не возникает желания вкладывать средства в основные фонды.
Денежные сбережения юридических и физических лиц в неэффективном
равновесии настолько дороги, что недоступны производителям и могут вкладываться только в высокодоходные торгово-посреднические операции. Торговые посредники до сих пор поддерживают высокую прибыльность за счет сниженного
внутреннего спроса и не нуждаются в накоплении производственного капитала.
Заемные средства они используют для непроизводительных расходов: на усиление охраны, на строительство офисов, приобретение другой недвижимости и на
вложения в ценные бумаги. Государство пока что использует заемные средства
для покрытия дефицита государственного бюджета. Поэтому до кризиса августа
1998 г. в России производственные инвестиции составляли всего 6% от ВВП.
Другими следствиями неэффективного равновесия можно считать наблюдающиеся в России чрезвычайно низкие показатели монетизации экономики и слишком большую скорость оборота денег. У нас выпущенные безналичные деньги
очень быстро превращаются в наличные. В России отношение объема безналичных денег (агрегат M2) к наличным (агрегат М0) упало с 6 в начале 1991 г. до 2.5 к
середине 1993 г. и с тех пор довольно устойчиво колеблется в пределах от 2.3 до
3, тогда как в странах с развитой рыночной экономикой оно не опускалось ниже 9.
Сложившиеся в России экономические отношения создают «институциональную ловушку», которая блокирует действие кейнсианских механизмов антикризисного регулирования. По Кейнсу, чтобы стимулировать рост производства,
надо увеличить инвестиционный спрос за счет внутренних и внешних займов.
Действительно, правительство России периодически прибегает к ним. Кредитная
эмиссия приводит к увеличению объема безналичных денег (M2). Однако при той
структуре денежной массы, которая определяется сложившимися на этапе «финансовой стабилизации» экономическими отношениями, увеличение агрегата M2
должно сопровождаться значительным увеличением агрегата M0. Если наличные
деньги попадают на потребительский рынок, то происходит рост цен, вследствие
которого растет и ВВП. В результате скорость обращения, определенная как от24
ношение ВВП к M2, не изменяется. Но даже если наличные деньги не попадают
на потребительский рынок, а обращаются только на рынке ценных бумаг (как было в России в 1997г.), то увеличивается отношение ликвидных активов (наличных
денег в обращении плюс остатков корреспондентских счетов коммерческих банков
в Центральном банке) к золотовалютным резервам, и возникает угроза девальвации рубля и неконтролируемой инфляции. Весь опыт 90-х годов показывает, что
при сложившихся в России экономических отношениях кредитная эмиссия не приводит к увеличению спроса на производственные инвестиции и уменьшению скорости обращения денег.
Кризис 1998г. был неизбежным, и он приоткрыл выход из институциональной
ловушки, потому что ослабил позиции финансовой олигархии и разрушил прежние
отношения реального сектора экономики и кредитно-денежного сектора. Вследствие роста курса доллара увеличились внутренние цены импорта, и повысилась
конкурентоспособность отечественных производителей на внутреннем рынке. В
результате начало расти производство, и улучшилось финансовое состояние производителей. Это выразилось в том, что объем промышленного производства в
марте 1999 г. вырос на 21 % по сравнению с июлем 1998 г. С февраля 1999 г. рост
цен производителей обгонял рост потребительских цен, а в марте 1999 г. доля
денежных платежей в оплате предметов производственного потребления составила 45 % по сравнению с 34 % в июле 1998 г. [82]. Создались необходимые, хотя
и недостаточные, предпосылки для возобновления роста экономики.
Важно было не упустить эти благоприятные возможности и сформировать
научно обоснованные программы стимулирования инвестиций в реальный сектор
экономики. Это значит, что наряду с обсуждением институциональных, юридических и политических аспектов программ восстановления производственных инвестиций, необходимо провести тщательный макроэкономический анализ эффективности этих программ.
С помощью специальной модели мы провели сравнительный анализ трех
программ, подразумевающих четыре разных способа организации кредитноденежной системы:
 Схема «валютного управления», пропагандировавшаяся Международным валютным фондом и фактически использовавшаяся в России в 1995-1998 гг.
 Кейнсианская схема, широко применявшаяся для преодоления кризисов перепроизводства в западных странах до 80-х годов XX в.
 Схема «производственных денег», предложенную в работе американского
экономиста М.С. Бернштама [20].
 Рассматривалась также возможность чистого самофинансирования производства, по существу предлагающаяся в известной программе Г. Грефа, неофициально принятой как стратегия развития экономики России.
В модели, которая использовалась для анализа этих программ [13], описано
поведение и экономические отношения пяти экономических агентов: населения
(домашних хозяйств), сберегательных и инвестиционных банков, производителей, государства.
 Для описания поведения экономических агентов используется гипотеза рациональных ожиданий, то есть считается, что агенты формируют свое поведение
на основании текущих значений ценовых переменных так, что их прогнозы
оправдываются.
 Предполагается, что каждый экономический агент (кроме государства) стремится максимизировать величину показателя, оценивающего степень удовлетворения его интересов, при заданных цене товара, курсе облигаций, ставках
процента по депозитам, и по инвестиционным займам.
25

Экономических агенты взаимодействуют на рынках товаров, сбережений, инвестиционных займов и на вторичном рынке облигаций. Взаимодействия их
описаны условиями равновесия на соответствующих рынках.
 Потенциальные возможности роста экономики оцениваются показателями режима сбалансированного экспоненциального инфляционного роста экономики,
в котором все экстенсивные переменные, (производство, потребление, накопления, заимствования) растут с постоянным темпом; уровень цен и курс облигаций растут с постоянными темпами, а относительные цены, так же как и ставки процентов остаются постоянными.
Ограничиваясь исследованием режима экспоненциального роста, мы игнорировали переходные процессы к режиму экспоненциального роста после восстановления сбережений, потому что сначала надо было убедиться в целесообразности программы в долгосрочном плане, а потом уже исследовать ее детально.
 Результаты исследования модели:

При существующей экономической эффективности реального сектора
потенциал роста экономики России весьма ограничен. В среднесрочном плане
не следует ожидать темпа роста реального ВВП более 10% в год и то при
условии, что будет существенно оздоровлена сфера обращения, в частности,
банковская система, так что равновесный процент по депозитам станет менее
10% годовых. При экономической ситуации, когда равновесный процент по
депозитам держится на уровне 30% годовых, трудно ожидать темпов роста
реального ВВП более 6% в год при темпе инфляции около 10% в год.

При оценках потенциала экономического роста России необходимо
учитывать ограничения, которые вносят конкретные механизмы регулирования производства и обращения (в частности, кредитно-денежная система), в
возможности инвестирования и экономического роста.

При современном состоянии российской экономики потенциал экономического роста можно реализовать как при схеме выпуска производственных
денег, так и при кейнсианской схеме. Схема валютного управления выпуском
денег обеспечивает экономический рост только в меру темпа роста реального
сальдо торгового баланса страны. К настоящему времени в стране исчерпаны
возможности роста экспорта, поэтому схема «валютного управления» допускает только застой или спад экономики.

Схема выпуска производственных денег больше соответствует условиям переходной экономики, чем кейнсианская схема.

Существенным среднесрочным резервом повышения темпа роста
реального ВВП является снижение доли налогов в ВВП.

Необходимым условием реализации потенциала роста экономики
России является снижение транзакционных издержек. Высокие транзакционные издержки блокируют механизмы экономического роста.

Долгосрочным резервом повышения темпа роста производства при
сниженном темпе инфляции является уменьшение фондоемкости производственных мощностей и материалоемкости производства.

Институциональные преобразования должны быть согласованы с
программой государственных расходов, ибо только она может быть стимулятором инвестиций в реальный сектор экономики. Это один из факторов роста.

Другим фактором роста является приведение системы денежного обращения в соответствие со структурой нашей экономики. Практически стоит
вопрос о создании механизмов легализации обращения денежных суррогатов
взамен их административного запрета.

Третьим фактором роста является расширение внутреннего рынка.
Если первые два фактора дают предпосылки к улучшению финансового со26
стояния предприятий, приводят их в работоспособное состояние, то третий
фактор создает необходимые условия для возобновления роста. У нас очень
низкие доходы большинства населения, и, не увеличив их, нельзя надеяться,
что можно поднять производительность труда, которая значительно упала за
годы перестройки и реформы.

Расширение внутреннего рынка требует проведения целенаправленной согласованной экономической политики. Экономика России находится в
чрезвычайно тяжелом состоянии, и только недобросовестным людям не ясно,
что требуется концентрация усилий и ресурсов в рамках программ развития и
структурной перестройки, направленных на создание внутреннего рынка при
тех чрезвычайно жестких ограничениях, которые накладывает необходимость
обслуживать наши огромные государственные долги.
1.4. ВОЗМОЖНОСТИ
МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ
Главная трудность моделирования советской и российской экономики в период 1986-2004 гг. была в том, что вследствие ее эволюции каждую следующую
модель приходилось создавать заново, начиная с системного анализа изменившихся экономических отношений. Создание новой модели – очень трудоемкое
дело, оно занимает примерно год работы коллектива квалифицированных специалистов. Но даже не в этом главное. Новые экономические отношения описываются новыми переменными, другими соотношениями, часто требуют использования новых математических методов. Поэтому нельзя сказать, что в итоге почти
тридцатилетних исследований эволюции советской и российской экономики мы
создали систему моделей. Перечисленные выше модели трудно сопоставить
друг с другом, так же как трудно сопоставлять модели, созданные разными исследовательскими группами.
Причина этого в том, что экономика не только сложна, но и способна к необратимому качественному развитию. Субъекты экономики постоянно пытаются
найти или позаимствовать новые средства достижения своих интересов – новые
технологии, новые торговые связи, новые финансовые инструменты, новые способы организации. Таким образом, несколько меняется характер роли, соответственно механизмы отбора изменяют интересы исполнителей ролей. В результате вся экономическая система непрерывно качественно изменяется. Заметим, что
такая картина эволюции соответствует представлению К. Маркса о взаимодействии «производительных сил» и «производственных отношений». Производственные отношения – это система ролей, а производительные силы – это люди,
исполняющие роли с присущими им индивидуальными особенностями и творческим потенциалом. Увы, пока мы не умеем моделировать такие процессы качественной эволюции, поэтому вынуждены периодически учитывать существенные
изменения экономических отношений и в соответствии с ними создавать новую
модель.
По той же причине не удается формализовать авторитетные экономические
теории, будь то теории К. Маркса, Дж. Кейнса, М. Фридмана или К. Гэлбрейта.
Внимательный анализ показывает, что в этих содержательно вполне убедительных построениях понятия слегка «текут», изменяясь от главы к главе и от темы к
теме. В результате при формализации получается не одна модель, отвечающая
теории, скажем Дж. Кейнса, а тысячи несопоставимых друг с другом кейнсианских моделей.
Как уже говорилось выше, исследование сложных систем выводит за пределы применимости эмпирического метода, который обеспечил триумф естественных наук в последние 400 лет. Нам кажется, что в значительной степени по этой
причине успехи в описании общественных и биологических процессов куда скром27
нее, чем успехи в описании неживой природы, несмотря на все усилия, затраченные в течение последних 70-и лет. В свою очередь, последнее стало одной из
причин падения престижа науки и отказа от рационального планирования общественного развития в конце XX в.
Тем не менее, наш опыт показывает, что с помощью моделей можно достаточно много сказать о сложной системе. Хорошая модель не только описывает
поведение системы при сложившейся структуре отношений, но содержит описание границ собственной применимости и границ стабильности описываемой
структуры. Только надо примириться с тем, что, во-первых, из разных моделей
сложной системы нельзя сложить полную адекватную модель, например, такую
как компьютерные имитаторы технических систем, в настоящее время в значительной степени заменяющие экспериментальные установки. Во-вторых, вряд ли
когда-нибудь мы сможем предсказать, какая структура возникнет в сложной системе, после того как предыдущая потеряет стабильность. Эволюция – это сотворение мира, то есть процесс сугубо творческий.
По нашему мнению, моделирование экономики должно развиваться по трем
общим направлениям:
i.
фундаментальному, т.е. по пути исследования основных механизмов самоорганизации, определяющих движущие силы и пути эволюции экономики
и сложных систем вообще, пусть даже на весьма условных и абстрактных
моделях;
прагматическому, т.е. по пути исследования формальной структуры и упорядочения, объединения с помощью компьютерных систем поддержки моделирования
успешно работающих моделей с целью создания на их основе новых моделей;
феноменологическому, т.е. по традиционному пути создания моделей, обобщающих хорошо работающие модели.
В нашей последней работе, изложенной в данной киге, нам, как кажется, удалось
добиться определенного продвижения в направлениях ii и iii. Наша новая модель
основана на новой теоретической базе, модели межвременного равновесия с
капиталом, и построена с помощью новой информационной технологии разработки математических моделей экономики.
Глава 2. Модель межвременного конкурентного равновесия
Эрроу-Дебре
2.1. ПРИНЦИП РАЦИОНАЛЬНЫХ ОЖИДАНИЙ И МЕЖВРЕМЕНОЕ РАВНОВЕСИЕ
2.1.1. Модели общего равновесия
Исходным пунктом наших рассуждений и одновременно простейшим примером модели интересующего нас типа будет модель общего конкурентного равновесия, восходящая к работам Л. Вальраса. Будем исходить из модели равновесия Эрроу-Дебре [4:V.2,Chap.15, 17, 59], которая считается наиболее фундаментальным и строгим, хотя и несколько абстрактным, описанием сущности рыночной экономики. В модели Эрроу-Дебре для описания экономики рассматривается взаимодействие двух групп агентов: потребителей-собственников и производителей (точные формулировки см. в разд. 2.2).
Потребители-собственники получают доходы от продажи ресурсов (прежде
всего труда и капитала) производителям, а также дивиденды (долю прибыли)
производителей. Каждый потребитель тратит свой доход на покупку потребительских благ, стараясь максимизировать полезность своего потребления.
28
Производители располагают технологиями, позволяющими преобразовывать
ресурсы и продукты в другие продукты. Каждый из производителей выбирает объем и ассортимент производства так, чтобы максимизировать свою прибыль, которую он потом без остатка распределяет между потребителями по праву их собственности.
Производители и потребители определяют планы продаж и покупок при заданных ценах (информационных переменных), исходя из решения задач максимизации прибыли и полезности соответственно. Поэтому решения оптимизационных задач агентов задают функции спроса и предложения на продукты и ресурсы
в зависимости от цен. Цены затем устанавливаются так, чтобы сбалансировать
совокупные спрос и предложение по каждому продукту и ресурсу.
2.1.2. Принцип рациональных ожиданий
Пока речь идет о статическом равновесии, модель Эрроу-Дебре, как модель
идеальной рыночной экономики, особых вопросов и возражений не вызывает.
Разве что кажется странным тот факт, что для описания идеального рынка не
требуется понятия денег (цены в модели Эрроу-Дебре – это относительные цены
или бартерные коэффициенты) и развитого описания прав собственности (продажа прав собственности в рамках этой модели просто бессмысленна).
Если же попытаться по схеме Эрроу-Дебре построить динамическую модель,
мы сразу же столкнемся с одной из главных проблем построения динамических
моделей вообще: если функция цели агента зависит от результатов его будущей
деятельности, то, чтобы планировать эту деятельность, он должен прогнозировать будущие значения информационных переменных. Казалось бы, мы попадаем в ловушку парадокса: с практической точки зрения модели нужны, чтобы помочь субъектам экономики прогнозировать будущие значения информационных
переменных, а оказывается, что для построения модели нужно знать, как эти
субъекты делают свои прогнозы.
Не вдаваясь в результаты длительной дискуссии, которая идет по этому поводу в мировой экономической науке [7, 77], мы используем здесь самый радикальный путь решения упомянутого парадокса. Именно, всюду ниже мы безоговорочно принимаем принцип рациональных ожиданий [7, 4:V.2,Chap.20] в самой
сильной форме, предполагая, что в рамках модели все агенты имеют точный
прогноз всех нужных им информационных переменных на тот период, на
который они планируют свои действия.
Дело в том, что это предположение является по существу единственной возможностью получить самосогласованную детерминированную модель. Всякая
альтернатива этому предположению в рамках детерминированной модели означает, что мы исследуем систематические ошибки в прогнозах агентов, что совершенно непродуктивно. Более эффектно, хотя и менее конкретно, принцип рациональных ожиданий можно сформулировать, как требование дать модельному
агенту возможность использовать для своих прогнозов ту самую модель экономики, которую мы строим!
В рамках стохастических моделей возможны более гибкие интерпретации
принципа рациональных ожиданий6, но стохастические модели представляются
пока слишком сложными для практического использования. Кроме того, мы хотим
строить макромодели экономики, а введение вероятностных соображений на макроэкономическом уровне представляет собой трудную и малоисследованную проблему.
Строго говоря, этот принцип формулируется именно для стохастических моделей и состоит в
предположении о знании агентами вычисляемых в модели условных распределений будущих значений информационных переменных при заданных текущих значениях.
6
29
Заметим, что при построении моделей системного анализа экономики мы,
разумеется, тоже сталкивались с проблемой описания прогноза и решали ее, по
существу, также на основе принципа рациональных ожиданий. Мы либо считали,
что горизонты планирования агентов малы, и тогда ошибка любого простого прогноза мала [66, 14], либо рассматривали режимы, на которых оправдываются простые прогнозы (например, режимы сбалансированного роста с постоянной инфляцией, [13]) .
2.1.3. Межвременное равновесие
Если мы принимаем принцип рациональных ожиданий, то формальное распространение модели Эрроу-Дебре на описание экономической динамики на конечном множестве последовательных периодов времени не представляет труда.
Надо просто рассматривать один и тот же продукт, произведенный или потребленный в разные периоды времени, как разные продукты, а хранение продуктов –
как производственный процесс, превращающий сегодняшний продукт в завтрашний. В результате получается так называемая модель межвременного равновесия [51, 50].
В гл. 2 мы переформулируем эту модель в части распределения доходов с
целью придать ей подлинно динамический характер. При этом окажется, что получившаяся динамическая модель идеального рынка допускает множество равноправных траекторий изменения финансовых величин, поскольку в условиях совершенной конкуренции доходности всех видов вложений выравниваются. При
наложении дополнительных институциональных ограничений это безразличие,
эта внутренняя симметрия модели разрушается, и то, что было безразличным
агенту в идеальных условиях, становится важнейшим его инструментом в условиях более реалистичных.
2.2. МОДЕЛЬ ЭРРОУ-ДЕБРЕ МЕЖВРЕМЕННОГО РАВНОВЕСИЯ БЕЗ РЕСУРСОВ
2.2.1. Описание структуры экономики в модели и основные
обозначения
Перейдем к строгим формулировкам. В рассматриваемой упрощенной версии модели Эрроу-Дебре межвременного равновесия предполагается, что экономика функционирует конечное множество дискретных моментов (периодов)
времени T  1,...,T .
В экономике действует конечное множество P производителей (производственных единиц) и конечное множество H потребителей (-собственников).
Эти агенты производят, распределяют и потребляют конечное множество M
продуктов. Продукты измеряются, вообще говоря, каждый в своих натуральных
единицах.
Функция производителей состоит в том, чтобы преобразовывать одни продукты в другие. Поэтому в каждый период t T каждый производитель mP какие-то продукты приобретает, а какие-то отдает другим агентам в обмен на приобретенные. Разница объемов отданных и полученных продуктов по каждой позиции из списка M образует вектор ytm пространства R M , который мы будем называть вектором чистых продаж. Положительные компоненты вектора y tm показывают количества отданных продуктов, а модули отрицательных компонент – количества приобретенных. Подчеркнем, что это именно покупки-продажи, а не выпуски-затраты.
30
Каждый потребитель n  H в каждый период t T приобретает и потребляет
некоторый набор продуктов ctn  R M
 , составляющий вектор конечного потребления. Потребленные продукты в дальнейшем в экономических процессах никак
не участвуют. Единственный смысл потребления – приносить удовольствие потребителю.
Последовательность наборов векторов
ytm
mP
tT
, ctn
nH
tT
образует траекто-
рию s развития экономики.
Здесь и всюду ниже в этой части книги векторы размерности M обозначаются латинскими буквами. Греческие буквы обозначают скаляры, а полужирные
латинские – векторы размерности, отличной от M . Произведение векторов – это
скалярное произведение в R M . Через R M обозначается неотрицательный ортант
пространства R M ,
M

 int
M

M
, RM
0  R  \ 0 . Набор векторов обозначается угло-
выми скобками a  x, y,..., z . Тот факт, что вектор x является компонентой набора a , отмечается квадратными скобками: x a . Наборы индексированных векторов и скаляров обозначаются той же буквой с обозначением множества в качестве
индекса, например, ctn
nH
tT
 cTH . В этих обозначениях
s  yTP , cTH .
(2.1)
2.2.2. Описание поведения производителя
Производитель mP характеризуется множеством Y m допустимых последовательностей чистых продаж
yTm  Y m  R M T .
(2.2)
Производитель mP действует в условиях свободной конкуренции. Это
означает, что он считает возможным продать или купить в период t T на рынке
любое количество продуктов по сложившимся в этот период ценам pt  R M
Со
гласно принципу рациональных ожиданий производитель знает или правильно
прогнозирует всю последовательность цен pT .
Производитель mP планирует чистые продажи так, чтобы добиться максимальной прибыли за весь период функционирования экономики. Прибыль m
образуется как разность стоимости проданных и купленных продуктов, т.е.
m   pt ytm ,
(2.3)
tT
а поведение производителя описывается локальным7 принципом оптимальности :


ytm  Argmax  pt yt  ,
m
yT Y
tT

mP .
(2.4)
Вопрос о корректности задачи оптимизации (2.4) будем обсуждать, когда будем доказывать существование равновесия в модели.
7
то есть относящимся к отдельному агенту, а не ко всей экономике.
31
2.2.3. Описание поведения потребителя
Потребитель nH характеризуется отношением предпочтения n на
множестве последовательностей наборов потребления ctn . Это отношение предпочтения представляет собой полный порядок в nH .
Определение полного порядка [59, 86] включает требование транзитивности
отношения n . Психологические опыты с реальными индивидуумами показывают,
что у человека отношение «это мне нравится больше, чем то» нетранзитивно на
достаточно длинных цепочках парных сравнений. Тем не менее, как показали эмпирические исследования [15], агрегированный в 100-200 наименований продуктов совокупный потребительский спрос обнаруживает свойство транзитивности.
Поэтому не следует думать, что чем подробнее мы опишем ассортимент продуктов и набор агентов, тем лучше будет соответствие модели реальности. Аналогичный эффект уменьшения адекватности модели при излишне подробном описании наблюдается и для леонтьевской модели производства [17]. Собственно экономические закономерности, по-видимому, начинают проявляться в коллективном
поведении людей, лишь начиная с определенного уровня агрегирования.
Другой характеристикой потребителя-собственника в модели являются его
доли участия  P ,n в прибылях производителей. Они определяют полный (в
сумме за все периоды) доход потребителя
n 

mn

m ,  P , H  0 ,
mP
nH
mn
 1   mn  1 ,
mP .
(2.5)
nH
Как и производитель, потребитель знает точный прогноз цен pT и считает,
что он может купить любое количество продуктов по этим ценам, лишь бы хватило
денег. Иными словами, он выбирает последовательность векторов потребления
cTn из бюджетного множества

B  pT ,  n   cT  R M


pc
tT
t t

T
.
  n  R M


(2.6)
Поведение потребителя описывается локальным принципом оптимальности:
cTn  B  pT ,  n 
и
cTn
n
cT
для всех
cT  B  pT ,  n  ,
nH .
(2.7)
Хотя всюду ниже мы будем использовать именно это традиционное описание
потребительского поведения, нельзя умолчать о том, что в принципе это описание
представляется нам самым слабым пунктом моделей экономики. Во-первых, значительная часть потребления приносит удовольствие индивидууму не сама по себе, а в зависимости от того, как его оценивают другие люди. Сюда в равной мере
относятся и кольцо в носу охотника за мамонтами, и галстук на шее охотника за
деньгами. Во-вторых, удовлетворение потребностей во власти, славе, богатстве,
обеспечении собственного будущего и будущего детей не требует выбора потребительских благ. Достаточно иметь деньги или права на собственность, которую в
глаза не видел. Наконец, в-третьих, манипуляция предпочтениями потребителей,
например, посредством рекламы, всегда была существенным элементом деятельности производителей, а сейчас, похоже, становится основной ее частью.
В идеале хотелось бы иметь модель объективного формирования потребительских предпочтений относительно благ и денег на уровне агрегированных
32
продуктов и достаточно крупных групп потребителей. Субъективное различие вкусов индивидуумов в такой модели должно было бы играть роль случайного возмущения. На принципиальную возможность существования такой модели указывают эмпирические результаты по агрегированию потребительского спроса, полученные в [74, 15]. Возможный подход к созданию такой модели открывают результаты исследования эволюционной модели взаимодействия потребителей и торговцев [70]. Подходящим аппаратом, возможно, окажется особая форма представления вариационного принципа (2.7), полученная ниже в разд. 4.2.2.
2.2.4. Определение равновесия
Мы пока рассматриваем замкнутую экономику, которая не может получать
продукты ни откуда, кроме собственного производства, поэтому реализуемыми
(физически) могут быть только траектории (2.1), которые удовлетворяют технологическим ограничениям (2.2) и балансовому соотношению
y
mP
m
t
  ctn ,
t T .
(2.8)
nH
Реализуемые траектории образуют множество

B   s  yTP , cTH yTm  Y m , m  P ; cTn  0, n  H ;

y
mP
n
t

c
nH
n
t

,t  T  .

(2.9)
При произвольных ценах pT задачи агентов (2.4), (2.7) могут оказаться неразрешимыми, а если они и будут разрешимы, их решения могут не составить в
совокупности реализуемую траекторию. Последовательность цен pT называется
равновесной, если
 задачи (2.4), (2.7) при этих ценах разрешимы;
 из решений задач (2.4), (2.7) можно составить8 реализуемую траекторию(2.9).
Набор из равновесных цен и соответствующей траектории называется конкурентным равновесием (по Эрроу-Дебре), мы будем обозначать его через a :
a  cTH , yTP , pT ,  H .
(2.10)
Для удобства ссылок в этот список включены и соответствующие значения полных доходов потребителей, определенных формулой (2.5).
Равновесие – это и есть то описание экономической динамики, которое
предлагает данная модель. В дальнейшем последовательность pT будет, как
правило, обозначать именно равновесные цены. Если нужно сравнить последовательность цен в равновесии a с другими последовательностями цен, первая, в
соответствии с общим соглашением, обозначается как pT a .
2.3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ МОДЕЛИ МЕЖВРЕМЕННОГО РАВНОВЕСИЯ
Разумеется, без каких-то специальных предположений о свойствах множеств
чистых продаж и потребительских предпочтений нельзя гарантировать существование равновесия, определенного в разд. 2.2.4. С другой стороны, еще из работ
В. Парето и Ф. Эджворта известно, что в «хороших» случаях равновесие не только
существует, но и обладает замечательным свойством эффективности (паретооптимальности): в множестве реализуемых траекторий B нет такой, которая была
Решения задач (2.4), (2.7) при равновесных ценах могут быть не единственными. Подразумевается, что мы можем выбирать подходящие решения, чтобы составить реализуемую траекторию.
8
33
бы не хуже равновесной для всех потребителей и лучше равновесной хотя бы для
одного потребителя [59, 16].
Ограничения на возможные параметры модели: множества чистых продаж,
предпочтения потребителей и т.д., которые обеспечивают хорошие свойства равновесия, мы здесь несколько вольно называем регуляризацией модели. Регуляризация, которую мы здесь рассмотрим, нам в литературе не встречалась9.
2.3.1. Регулярные множества чистых продаж
Относительно множеств чистых продаж производителей (2.2) мы принимаем
те же предположения, что и в исходной, классической, модели Эрроу-Дебре:
Y m  R M T – выпукло и замкнуто,
i.
(2.11)
mP .
Экономика в целом продуктивна, т.е. в совокупности производители могут выпустить все продукты из списка M :
0  int  Y m .
(2.12)
mP
Сумма подмножеств линейного пространства здесь и ниже обозначает алгебраическую сумму, а не объединение. Сумма конечных множеств, напротив,
ниже обозначает объединение непересекающихся множеств. К путанице это не
приводит, поскольку конечные множества фигурируют только в индексах.
В принципе, условие продуктивности (2.12) можно ослабить, но мы не будем
этим заниматься.
Выпуск любого продукта в экономике ограничен:
T
RM
 int  Y m – компактно.

(2.13)
mP
Условие (2.13), разумеется, эквивалентно ограниченности сверху каждого множества Y m , удовлетворяющего (2.11). Напомним, что речь идет о множестве чистых
продаж. Множество выпусков-затрат, которое описывает потенциальные, не зависящие от имеющихся запасов, возможности преобразовывать один продукт в
другой, может быть и неограниченным, как в моделях Леонтьева и Неймана-Гейла
[17]. Множество чистых продаж может быть не ограничено снизу, т.е. производитель может в принципе покупать продукт и не использовать его в дальнейшем.
Набор множеств чистых продаж, удовлетворяющий условиям (2.11)-(2.13)
будем называть регулярным. Всюду ниже считается, что множества Y m удовлетворяют условиям (2.11)-(2.13).
Фактически ограничения, которые мы наложили на множества чистых продаж, слабее тех, которые делаются обычно. Для модели Эрроу-Дебре существенно допустить возможность того, что производитель может «ничего не делать», т.е.
0  Ym .
(2.14)
Это условие гарантирует, что прибыль производителя (2.3) в равновесии будет неотрицательной (см. (2.4)), и, следовательно, собственник будет действительно получать доход от собственности (2.5), а не покрывать убытки. (Отказаться
от собственности он в рамках модели не может.)
Впрочем, литература, посвященная модели Эрроу-Дебре, столь обширна, что гарантировать новизну почти невозможно, и авторы будут благодарны, если им укажут, где встречался предлагаемый ниже подход и результаты.
9
34
Содержательно условие (2.14) означает, что у производителя в модели отсутствуют постоянные издержки. У реальных предприятий такие издержки есть.
Даже когда предприятие не выпускает продукцию, оно несет затраты на отопление, освещение, охрану, содержание администрации. У современных российских
предприятий такие издержки составляют до 30% уровня издержек при работе на
полную мощность. Тем не менее, в большинстве моделей экономики постоянные
издержки игнорируются.
В модели межвременного равновесия с капиталом, которую мы предложим в
гл. 2, условие (2.14) не потребуется. Наша модель формально допускает функционирование в равновесии убыточных предприятий, поэтому допускает и включение в затраты постоянных издержек.
2.3.2. Регулярные предпочтения потребителей
Конструктивная работа с моделью равновесия обычно начинается с того, что
предпочтения потребителей
задаются функциями полезности
nH
n
M T
1
 :R 
 R , такими, что
cTn
n
cTn  n (cTn )  n (cTn ) .
(2.15)
Если предпочтения заданы функцией полезности, то описание поведения потребителя (2.7) сводится к обычной задаче оптимизации:


ctn  Argmax n  cT  .

cT B pT , n

(2.16)
Одно и то же предпочтение можно задать разными функциями полезности.
Выбор конкретных функций полезности, задающих предпочтения, в дальнейшем
будем называть калибровкой предпочтений. Различные калибровки отличаются
друг от друга строго возрастающим преобразованием функции полезности.
Хотя фактически при доказательствах и вычислениях всегда используются
функции полезности, фундаментальным описанием поведения потребителя для
нас остается описание через отношения предпочтения. Это означает, что мы считаем экономически осмысленными лишь те результаты, которые не зависят от
калибровки данного предпочтения. Например, поведение, определенное формулой (2.16), очевидно инвариантно по отношению к калибровке.
Полезность в модели межвременного равновесия определена на последовательностях наборов потребления cT , а потому она должна описывать не только
отношения взаимной заменяемости и взаимного дополнения разных продуктов в
потреблении, но и отношение потребителя к возможностям получить данный продукт сейчас или потом. Типичный вид такой функции полезности
n (cT )     n  n  ct  ,
t
(2.17)
tT
где  n  1 – коэффициент предпочтения времени, в русской литературе чаще
1
не очень удачно называемый коэффициентом дисконтирования, а  n : R M
–
 R
монотонная и вогнутая (выпуклая вверх) функция полезности текущего потребления.
Для регуляризации моделей межвременного равновесия достаточно ограничиться классом функций полезности несколько более узким, чем монотонные вогнутые, и несколько более широким, чем монотонные вогнутые однородные.
Ограничение класса функций полезности – ключевой момент регуляризации мо-
35
дели межвременного равновесия. Назовем сильно ненасыщаемой вогнутую мо1
нотонную функцию  n : R M
  R , которая удовлетворяет условию:
q  RM

Например,

c  Argmax (c)  qc  qc  0 .
функция
(, )  max ,1  
(2.18)
–
сильно
ненасыщаема,
а
(, )  max ,1   таковой не является. Сильно ненасыщаемая функция не достигает максимума на R M и имеет бесконечную производную в точке 0. Если
предпочтения могут быть заданы однородной монотонной непрерывной на R M
функцией полезности, то их можно задать и сильно ненасыщаемой функцией полезности. Эти факты доказаны в [71].
2.3.3. Реальный сектор экономики и сильно эффективные траектории
Модель Эрроу-Дебре без ресурсов будем называть регулярной моделью
Эрроу-Дебре, если множества чистых продаж регулярны в смысле разд. 2.3.1, а
предпочтения потребителей регулярны в смысле разд. 2.3.2.
Набор
R  T , Y P , H
(2.19)
из последовательности моментов времени, регулярных множеств чистых продаж
и сильно ненасыщаемых функций полезности, представляющих предпочтения потребителей, будем называть регулярной моделью реального сектора. Модель
реального сектора не включает описание механизма формирования доходов и
дальше у нас будет всегда одна. Механизмы же образования доходов мы будем
рассматривать разные. В модели Эрроу-Дебре механизм образования доходов
задается коэффициентами участия (2.5). В гл. 2 мы для модели R рассмотрим
другой механизм.
Как уже говорилось, равновесные траектории тесно связаны с эффективными. Понятие эффективности траектории, так же, как и понятие реализуемости
(2.9), целиком относится к модели реального сектора. Чтобы связь равновесных и
эффективных траекторий стала простой и прозрачной, удобно несколько ограничить понятие эффективной траектории по сравнению с тем, которое используется
обычно.
Назовем траекторию e регулярной модели реального сектора R сильно
эффективной, если


e Argmax    n n (cT  s) 
sB  nH

при некоторых
H  0 ,
(2.20)
где B – множество реализуемых траекторий (2.9). Множество сильно эффективных траекторий модели R будем обозначать через E .
2.3.3.1. Утверждение о двойственных переменных сильно эффективной
траектории
i.
Множество E сильно эффективных траекторий в регулярной модели не пусто.
36
ii.
Каждой траектории e  yTP ( H ), cTH ( H )  E в регулярной модели отвечает,
T
по крайней мере, один набор множителей Лагранжа pT ( H )  R M
к огра
ничению материального баланса (2.8), таких что



(2.21)
yTP ( H ), cTH ( H )  Argmax    n n (cTn )   pt ( H )   ytm   ctn   ,
tT
nH
 mP

yTmYm ,cTH 0 nH
 p (
tT
iii.
t
H


)   ytm ( H )   ctn ( H )   0 ,
nH
 mP

y
mP
m
t
( H )   ctn ( H )  0 .
(2.22)
nH
T
В любом наборе pT ( H )  R M
, удовлетворяющем (2.21), каждая времен
ная компонента отлична от 0:
pt ( H )  R 0M .
(2.23)

Доказательство. Из (2.12) следует, что B   , а из (2.13) следует, что B
компактно. Поскольку функции H непрерывны, задача (2.20) разрешима при всех
наборах  H  0 .
В силу (2.12) для каждого mP найдется yTm  Y m такой, что  yTm  0 . Тогда
mP
траектория
y , c  0 будет допустимой для задачи (2.20), а ограничение матеP
T
H
T
риального баланса (2.8) на ней будет выполняться как строгое неравенство. Таким образом, это ограничение удовлетворяет условию Слейтера, и по необходиT
мым условиям Куна-Таккера искомый набор множителей Лагранжа pT ( H )  R M

существует.
Если pT ( H )  0 при некотором t T , то задача (2.21) не имеет решения относительно cTH , поскольку функции n (cTn ) не достигают максимума на R M по отдельным временным компонентам потребления.

Всякий набор
p( H )  yTP ( H ), cTH ( H ), pT ( H ) ,
(2.24)
удовлетворяющий условиям (2.21), (2.22), будем называть расширенной эффективной траекторией, а множество всех расширенных эффективных траекторий обозначать через Q .
По доказанному множество сильно эффективных траекторий E совпадает с
множеством, составленным из пар первых компонент всех расширенных эффективных траекторий, т.е. является проекцией множества расширенных эффективных траекторий. Подчеркнем, что понятие расширенной эффективной траектории
так же, как и понятие сильно эффективной траектории, определены в модели реального сектора независимо от описания поведения агентов.
Множество E , очевидно, включается в множество парето-оптимальных траекторий, но не обязательно исчерпывает его. Специфика сильно эффективных
траекторий в том, что на них каждый потребитель в каждый момент времени хоть
что-то получает. Это следует из того, что сильно ненасыщаемые функции имеют
бесконечную производную в 0.
37
Хотя в выражение (2.20) входит конкретная калибровка предпочтений, само
множество E не зависит от калибровки предпочтений.
Задача оптимизации (2.20) содержательно отвечает идеальному планированию экономики, когда совокупные производственные возможности точно и полностью известны единому центру, принимающему решения. Проблема, в сущности,
тогда состоит только в том, чтобы справедливо разделить имеющиеся ресурсы
между потребителями.
Если пуститься в вольные интерпретации, то можно сказать, что задача
(2.20) описывает экономику гипотетического «первобытного коммунизма». Члены
небольшого общества прекрасно знают, какими ресурсами располагает общество,
и статус (приоритет)  n каждого члена. Воспитанные в строгой традиции и уважении друг к другу члены общества сообщают свои интересы, не пытаясь манипулировать калибровкой предпочтений, т.е. не крича: «а я еще больше это хочу!».
Сильно эффективный дележ никого не лишает потребления полностью.
Возвращаясь же к макромоделям экономики, заметим, что в них действуют
макроагенты, представляющие крупные группы реальных субъектов. Такие группы
должны иметь устойчивое положение в системе и, в частности, ненулевое потребление (если они в нем нуждаются). Конечно, возможно, как это было в России
после реформы 1992г. и отчасти осталось до сих пор, что часть населения оказывается «отсеченной» от рынка. Однако описывать это явление как нулевое потребление агента представляется совершенно неадекватным. Здесь нужны более
тонкие подходы, например такие, как были предложены в [29].
2.4. РАВНОВЕСИЕ В РЕГУЛЯРНОЙ МОДЕЛИ ЭРРОУ-ДЕБРЕ БЕЗ РЕСУРСОВ
Прежде всего, отметим одно известное свойство равновесия, которое нам
понадобится в дальнейшем.
2.4.1.1. Утверждение о законе Вальраса в модели Эрроу-Дебре
В равновесии a (2.10) регулярной модели потребитель тратит все свои доходы:
 n a   pt a ctn a ,
(2.25)
tT
и выполняется закон Вальраса
 p a y a   p a c a .
mP
t
m
t
nH
n
t
t
(2.26)

T
Доказательство. Поскольку функции n не достигают максимума на R M
,

из разрешимости задач потребителей в равновесии следует, что бюджетные
ограничения на их решениях активны, т.е. выполнено (2.25). Складывая равенства
(2.25) по nH и учитывая (2.5), (2.3), получаем, что


 p a   y a   c a   0 .
tT
t
 mP
m
t
nH
n
t
(2.27)

Однако из условия баланса (2.8) вытекает, что все слагаемые в сумме (2.27)
неотрицательны, откуда и следует (2.26).

Другие свойства модели Эрроу-Дебре нам, по существу, не понадобятся. Эта
модель была нужна как некая исходная точка. В дальнейшем мы выйдем за ее
рамки и будем рассматривать иной механизм распределения доходов между соб38
ственниками. Из анализа модели Эрроу-Дебре, проведенном в [71], вытекает следующее утверждение.
2.4.1.2. Утверждение об инвариантности сильно эффективных траекторий
Множество E сильно эффективных траекторий не зависит от выбора сильно
ненасыщаемой калибровки отношений предпочтения.

Глава 3.
Модель межвременного равновесия с капиталом
3.1. ДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДОХОДОВ СОБСТВЕННИКОВ
3.1.1. Долги и сбережения агентов
Здесь мы выходим за рамки модели Эрроу-Дебре в части, касающейся описания распределения прибыли производителей между собственниками. Потребность в этом возникает потому, что описанная выше конструкция межвременного
равновесия не является вполне динамической. В динамической системе выделяется состояние, которое позволяет определить будущую траекторию независимо
от прошлого. В модели Эрроу-Дебре такого состояния ввести нельзя, поскольку не
описана динамика поступления доходов потребителей. Соответственно, конечный
отрезок равновесной траектории не описывается как равновесие в модели того же
типа. По существу, эта модель описывает эволюцию экономики, начиная с фиксированного момента времени, и в этом смысле остается статической.
Все это не случайно. Предположим, что положенная собственнику n  H
прибыль фирмы mP поступает частями – в виде дивидендов  Tmn . Тогда в рамках модели Эрроу-Дебре
 n     Tmn ,
tT mP
 mn m   tmn .
(3.1)
tT
Поскольку в совершенно конкурентном равновесии важна только их сумма,
дивиденды могут быть произвольными функциями цен. Эта неоднозначность образует поле безразличия, некоторую внутреннюю симметрию модели. Выделив
это безразличие в явном виде, мы сможем строить более реалистичные модели
как модели, в которых эта симметрия нарушена, и возникает нетривиальная динамика капитала.
В динамической модели полученные от всех фирм в период t дивиденды
mn
 t не обязаны покрывать полностью текущие расходы собственника pt ctn .
mP
Накопленная разность
tn  tn1   tmn  pt ctn ,
t T ,
nH ,
(3.2)
mP
при  tn  0 представляет сбережения собственника n  H , а при  tn  0 – его долги (  tn ). Поэтому величину  tn будем называть реальными чистыми сбережениями собственника (к концу периода t ).
Аналогично, распределенная производителем mP прибыль   tmn не обяnH
зана совпадать с его текущими доходами pt y , поэтому у производителя тоже появляются реальные чистые сбережения
m
t
39
tm  tm1   tmn  pt ytn ,
t T ,
mP .
(3.3)
nH
Набор величин  tH ,  tP
(знаконеопределенные запасы денег) мы и намере-
ны использовать как основной элемент описания состояния экономики в модели
межвременного равновесия.
3.1.2. Начальные долги и сбережения
Сложив соотношения (3.2) по t T , получим, что


Tn   0n      tmn  pt ctn  .
tT  mP

В равновесии Эрроу-Дебре сумма в правой части этого равенства обращается в 0
в силу (3.1), (2.25), Естественно считать, что обе несущественные для модели Эрроу-Дебре величины начальных и конечных чистых сбережений обращаются в 0:
Tn   0n  0 ,
nH .
(3.4)
Аналогичное соотношение получается из (3.3), (3.1), (2.3) и для граничных значений чистых сбережений производителей.
Таким образом, становится понятно, какой выделенный период времени описывает модель Эрроу-Дебре – это полный период от некоего момента «всеобщего
дефолта», когда долгов и сбережений еще нет, до отдаленного будущего, когда
все долги будут погашены, а сбережения потрачены.
Если же мы хотим построить динамическое описание, в котором конец равновесной траектории будет равновесным в том же смысле, что и вся траектория,
мы должны «уравнять в правах» начальное и текущее состояние.
Именно в этом и состоит основное отличие рассматриваемой ниже модели
от модели Эрроу-Дебре. Мы не считаем выполненным условие (3.4), хотя (2.25)
остается в силе. Вместо этого мы рассматриваем начальные значения чистых
сбережений агентов  0H  P как заданные параметры модели, аналогичные
начальным условиям обычных динамических систем.
Впрочем, эти начальные значения не могут быть вполне произвольны. Если
мы хотим интерпретировать их как долги и сбережения, то в замкнутой экономике
они должны быть сбалансированы. Иначе говоря, каждый должник обязан иметь
кредитора:

aH  P
 0a  0 ,
 0H  P  R H  P .
(3.5)
Это условие есть частный случай фундаментального свойства денег – свойства замкнутости финансовых потоков, которое мы еще будем обсуждать в
части III. Заметим, что без учета этого факта разумного описания равновесий при
наличии начальных долгов и сбережений просто не получается. Выполнение баланса долгов и сбережений при t T в равновесии будет, как мы увидим ниже,
следовать из (3.5) и материального баланса (2.8).
В заключение заметим, что даже если мы действительно захотим описывать
отрезок времени, только начиная с выделенной точки «всеобщего дефолта», будет не очень естественным считать начальные чистые сбережения нулевыми. На
примере истории экономики России мы видели, что всеобщий дефолт сопровождается образованием большого объема или ничьей, или не имеющей определен40
ной цены собственности, которая расхватывается как попало. В результате к моменту восстановления рынка происходит «спонтанное нарушение симметрии», так
что в регулярный рынок агенты входят уже с денежными долгами и сбережениями.
3.1.3. Терминальные долги и сбережения
Что касается терминальных (конечных) значений чистых сбережений TH  P ,
то на них соображения «равноправия состояний» не распространяются. Мы хотим, чтобы конец равновесной траектории был равновесной траекторией, но отнюдь не требуем, чтобы начало равновесной траектории обладало этим свойством.
Вопрос о терминальных значениях чистых сбережений – это традиционный
для моделей оптимального планирования вопрос о том, чего хотят агенты за горизонтом планирования. Применительно к задачам равновесия можно выделить
три варианта решения этого вопроса:
1) Задать конкретные нетривиальные пожелания агентов относительно конечного состояния. Их можно было бы, например, выводить, как в [90], из решения
упрощенных (например, стационарных) задач равновесия на актуально бесконечном горизонте планирования.
2) Рассматривать экономику как взаимодействие сменяющихся поколений
агентов, каждый из которых «живет» конечное время. Этот подход реализуется в
очень популярных в настоящее время моделях с перекрывающимися поколениями [51, 16].
3) Считать, что за горизонтом планирования агенты ничего не хотят, т.е. ставить простейшие естественные условия, а затем увеличивать горизонт планирования до бесконечности. При этом в качестве описания реального переходного
процесса в экономике рассматривается начальный участок предельной траектории (если таковая существует).
Мы здесь придерживаемся третьего пути. Модели с перекрывающимися поколениями, по нашему мнению, лучше всего подходят для описания установившихся режимов экономики на длинных промежутках времени, в то время как мы
интересуемся в первую очередь более короткими переходными процессами. Кроме того, в макромоделях экономики действуют макроагенты, и смена поколений
происходит «внутри» них.
Что же касается первого пути, то он лучше подходит для описания процессов
планирования на конкретном временном интервале. Когда же мы описываем типичное поведения агентов как планирование на неопределенном интервале, первый путь в «хороших» случаях должен давать те же результаты, что и третий.
Самые простые терминальные условия можно позаимствовать из модели
Эрроу-Дебре. Условие  Tn  0 (при  0n  0 ) в модели Эрроу-Дебре для потребителя n H выражает бюджетное ограничение (2.6), обращающееся в равенство для
ненасыщаемых функций полезности. Возвращаясь к этому неравенству, мы полагаем  Tn  0 при n  H .
Для производителя mP условие Tm  0 (при  0m  0 ) в модели ЭрроуДебре следует из нормировки долей участия (2.5), предопределяющей полное
распределение прибыли каждого производителя между потребителямисобственниками. Ниже мы откажемся от понятия долей участия, и останется только ограничение на дивиденды производителя mP : они не могут превосходить
полученной прибыли с учетом начальных чистых сбережений. Это ограничение
можно выразить неравенством Tm  0 .
41
Итак, будем считать, что
TH  P  0 .
.
(3.6)
Это единое для всех агентов ограничение имеет смысл требования кредитоспособности агента.
Проведенная незначительная на первый взгляд модификация модели ЭрроуДебре (3.2), (3.3), (3.5), (3.6) фактически сильно упрощает всю конструкцию и
структурно сближает модели межвременного равновесия с феноменологическими
динамическими моделями экономики.
3.2. ДИВИДЕНДЫ И КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯ
3.2.1. Дивиденды как доходы по акциям
Теперь мы откажемся от представления о том, что собственник получает
фиксированную долю общей прибыли (2.5). Тогда остается только ограничение на
сумму дивидендов, вытекающее из (3.6), (3.3):

tT nH
mn
t
  0m   pt ytm ,
mP .
(3.7)
tT
Мы даже не предполагаем, что все  tmn положительны. Отрицательные значения  tnm отвечают использованию собственником своих сбережений для покрытия временных убытков производителя (например, инвестиций).
Дополнительные ограничения на последовательности дивидендов  Tmn получаются, если рассмотреть возможность продаж собственниками друг другу своих
прав на получение будущих доходов производителей. Самый известный из способов таких продаж – это механизм рынка акций.
Предположим, что каждая фирма mP характеризуется постоянным количеством выпущенных акций  m  0 , а каждый собственник n  H – количеством
акций tmn фирмы mP , имеющихся в каждый период t T . В каждом периоде
t T все акции распределены между собственниками:
m 

mn
t
,
mP ,
t  0, T .
(3.8)
nH
Мы не собираемся здесь предлагать последовательную модель деятельности акционерного общества, а просто используем основные общеизвестные черты
акционерной формы собственности для того, чтобы выявить ограничения на потоки дивидендов, проистекающие из возможности торговать правами собственности.
Предположим, что начальное распределение акций  0mn  0 задано, а текущее распределение tmn определяется в результате покупок и продаж акций собственниками друг у друга на конкурентном фондовом рынке. Каждая акция фирмы
mP в период t имеет доходность (приносит дивиденды) tm и может быть
продана или куплена по курсу (цене) tm . Поэтому собственник n в период t T
получает от операции с акциями доход
m
nm
 tmn  tm tnm
 tnm
1  t  t
1  .
(3.9)
42
Курс мы считаем неотрицательным, а доходность может быть и отрицательной.
В принципе доходность определяется собранием акционеров фирмы, но, обсуждая действия отдельного собственника в рамках принципа рациональных ожиданий, следует считать будущие курсы и доходности заданными и известными.
Полезность потребления собственника при заданных ценах, курсах и доходностях будет тем больше (см. (3.2)), чем большую сумму дивидендов

tT mP
mn
t


m
nm
nm
   tm tnm
1  t  t 1   t  
tT mP


T 1


 1m  1m 0nm    tm1  tm1  tm tnm  Tm Tnm
mP t 1
он получит.
Ясно, что если tm1  tm1  tm  0 , то все собственники в момент t захотят купить бесконечно много акций, а если tm1  tm1  tm  0 , то все заходят продать все
свои акции. В обоих случаях (3.8) нарушается. Это соотношение выполняется
только если tm1  tm1  tm  0 при t  1,...,.T  1 . По аналогичным причинам Tm  0 .
Полагая по определению 0m  1m  1m , получаем, что
tm  tm  tm1  0 при t  0,..., T  1 ,
Tm  0 ;
(3.10)
фирма mP выплачивает дивиденды

nH
mn
t
 tm N m ,
(3.11)
а собственник nH получает от операций с акциями фирмы mP доход
m nm
tmn  tm1 tnm
1  t t .
(3.12)
Доходы отдельного собственника могут быть в какие-то периоды отрицательными,
но сумма будущих доходов в любой период оказывается неотрицательной:
T

t r
mn
t
 tm1tmn
1  0 .
rT
(3.13)
Это требование естественно вне зависимости от механизма распределения
доходов. Предвидящий все собственник должен был бы отказаться от владения
фирмой, приносящий отрицательный суммарный доход. Именно по этим соображениям мы ограничиваемся рассмотрением неотрицательных значений переменной tm , которую мы назвали курсом акций.
Как показывает следующее рассуждение, требование неотрицательности
остатка доходов любого собственника от операций с акциями любой фирмы полностью характеризует рассматриваемый механизм распределения доходов.
3.2.1.1. Утверждение о потоках дивидендов как доходах по акциям
При любых  P  0 распределение доходов  TP H по собственникам, фирмам и
времени можно представить в виде (3.9) при некоторых  TP H  0 , TP , TP  0 , удовлетворяющих соотношениям (3.8), (3.10), тогда и только тогда, когда
43
T

t r
mn
t
 0,
mP , n  H , t T .
(3.14)

Доказательство. Необходимость следует из (3.13). Пусть теперь заданы  TP H ,
удовлетворяющие (3.14). Положим
tm 
1
m
T

nH s t 1
mn
s
 0,
t  0,..., T
(3.15)
и
 H 1  m
при tm  0

T

m
nm

 mn

s
t   1 T mn
.
m
s t 1
при


0
 m  s 
t
T
 t s t 1
 mk


s

kH s t 1
Тогда выполнено (3.13), из которого с учетом (3.10) следует (3.9).
3.2.2. Дивиденды как доходы от накопленных капиталовложений
Описанный механизм дележа доходов через акции реалистичен, но подразумевает дополнительное описание рынка акций и договора, определяющего tm
так, чтобы выполнялось соотношение (3.7), которое в рассуждениях предыдущего
раздела никак не учитывалось.
Попробуем модифицировать предыдущее построение, отталкиваясь не от
номинальных величин TH P , а от их относительных денежных оценок
 tnm  tm tmn 0m ,
t  T , n  H, m  P .
Эти величины мы будем называть реальными капиталовложениями. Выражая
количества акций TH P через реальные капиталовложения  TH P и подставляя в
(3.12), получаем финансовые балансы потребителя (3.2) и производителя (3.3) в
виде
 tn   tn1 
  
mP
m
0
nm
t 1
  tnm   pt ctn ,
nm
m
 tm   tm1   0m   tnm
1   t   pt yt ,
t T ,
nH ,
(3.16)
t T ,
mP .
(3.17)
nH
Исходное предположение о максимизации прибыли (2.4) мы оставляем, но
трактуем его теперь как стремление фирмы максимизировать курс своих акций
0m   tm .
tT
44
Действительно, в силу (3.15) максимизация величины tm означает максимизацию
суммы выплаченных дивидендов
прибыли
 p
tT mP
t

tT mP
mn
t
, которая ограничена только величиной
ytn (см. (3.7)).
Неотрицательные реальные капиталовложения естественно считать управлениями собственников. Объем выпущенных акций, их текущие курсы tm и доходности tm при t T из рассмотрения исключаются, и в модели остается только
начальный курс 0m , который будем называть просто курсом фирмы.
3.3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ И НАПРАВЛЕНИЯ ЕГО
УТОЧНЕНИЯ
3.3.1. Описание равновесия в реальных показателях
Итак, получается следующее описание взаимодействия производителей, которых мы теперь, чтобы выделить новую задачу, будем называть также фирмами, и потребителей, которых теперь называем также собственниками:
 Собственник n  H
 имеет в начальный момент процесса
 0n  R 1 ,
 чистые сбережения

 вложения в капиталы фирм  0nP  0 ,
знает
 точный прогноз цен pT ,

 курсы фирм 0P ,
определяет (выбирает, планирует) на все протяжение процесса T
cTn  0 ,
 объемы потребления

 чистые сбережения
 Tn ,
 капиталовложения
 TnP  0 ,
в рамках ограничений
 финансового баланса
 tn   tn1 
 кредитоспособности

  
mP
m
0
nm
t 1
  tnm   pt ctn ,
 Tn  0 ,
так, чтобы максимизировать
 полезность своего потребления: n (cTn )  max .
 Фирма mP
 имеет в начале процесса
 чистые сбережения

(3.18)
 множество чистых продаж
знает
 точный прогноз цен pT ,
 0m  R 1 ,
Y m , удовлетворяющих (2.11) - (2.13),
45
(3.19)
(3.20)
(3.21)


 программу движения капиталовложений  TH m , определенную собственниками,
определяет (выбирает, планирует) на все протяжение процесса T
yTm  Y m ,
 объемы чистых продаж
 чистые сбережения
в рамках ограничений
 финансового баланса
 Tm ,
nm
m
 tm   tm1   0m   tnm
1   t   pt yt ,
(3.22)
Tm  0 ,
(3.23)
nH
 кредитоспособности

так чтобы максимизировать
 курс:
0m  max .
(3.24)
 Цены pT , как и во всех моделях равновесия, определяются из условия выполнения баланса
y
mP
n
t
  ctn ,
t T ,
(3.25)
nH
для определенных собственниками потреблений cTH и определенных фирмами чистых продаж yTP , зависящих от цен.
На языке теории управления то, что агент имеет, называется начальным
состоянием; то, что он знает, – возмущением; то, что определяет, – управлением; а то, что максимизирует, – функционалом (целевой функцией). Для описания межвременного равновесия как динамического процесса, в котором конец
равновесной траектории был бы равновесием, надо еще специально определить,
что считать начальным состоянием для конечного отрезка равновесной траектории.
Забегая вперед, укажем, что для собственника таким состоянием будет, разумеется, набор величин  tm ,  tnP . Для производителя придется особо определять, что представляет собой допустимое множество чистых продаж для концевого отрезка траектории (см. разд. 3.5.3). Может показаться, что динамической трактовке модели (3.18) - (3.25) помешает наличие постоянной вдоль траектории величины курса фирмы 0m . Однако в разд. 3.5.3 мы увидим, что курс, определенный
по всей траектории, совпадает с курсом, определенным по любому ее концевому
участку.
Заметим, что если положить  0P  H  0 и считать, что   0nm  0 , то с точки
nH
зрения описания реальных траекторий s  y , c
P
T
H
T
модель (3.18) - (3.25) будет эк-
вивалентна модели Эрроу-Дебре с коэффициентами участия
 0nm
.
 mn 
  0km
kH
46
Что же касается динамики финансовых величин  tH ,  tH P , то, как оказывается, задача собственника (3.18) - (3.21) определяет их весьма неоднозначно.
Действительно, исключая знаконеопределенные управления  tn с помощью
(3.19), из (3.20) получаем единственное ограничение задачи собственника
 0n   0m   0nm   Tnm    pt ctn ,
mP
(3.26)
tT
в которое не входят промежуточные значения финансовых величин. Полученный
результат означает, что в конкурентном равновесии собственнику безразлично как
хранить финансовые резервы: в форме сбережений  tn или в форме вложений в
фирмы  tnP . Особенно наглядным этот результат становится после преобразования модели, которое мы сделаем в разд. 3.3.3.
Цель проведенной в этом разделе модификации модели состояла в том,
чтобы описать в явном виде это внутренне присущее классической концепции
конкурентного равновесия безразличие. Именно явное описание делает модель
конкурентного равновесия базой для моделей, описывающих равновесия, отличные от классического. Такие модели можно получить, вводя дополнительные институциональные ограничения на движение финансовых активов. Выбор формы
вложений станет тогда для собственника нетривиальным, а результат этого выбора будет существенно влиять на реальную траекторию экономики.
3.3.2. Максимизация капитализации и регулярные решения вогнутой задачи оптимизации
В модели (3.18) - (3.25) есть, впрочем, один момент, который не имеет аналогии в модели Эрроу-Дебре. В рамках модели (3.18) - (3.25) мы можем, а при анализе концов траекторий и обязаны, рассматривать случай, когда вложения собственников в некоторую фирму mP нулевые, т.е.

nm
0
0.
(3.27)
nH
В этом случае задача фирмы (3.22) - (3.24) не имеет решения. Действительно, исключая знаконеопределенные управления  tm с помощью (3.22), из (3.23) получаем единственное ограничение задачи фирмы
  
nH
m
0
nm
0
  Tnm    pt ytm   0m .
(3.28)
tT
Как легко усмотреть из (3.26), собственники, исходя из своих задач, всегда устанавливают  Tnm  0 . Поэтому при условии (3.27) величина курса 0m ничем не ограничена, и решения у задачи (3.22) - (3.24) нет. Именно из-за этой трудности мы
назвали определение равновесия (3.18) - (3.25) предварительным.
Указанную трудность можно преодолеть, если ставить перед фирмой mP
не задачу на максимум курса (3.24), а задачу на максимум капитализации (совокупной рыночной стоимости акций):
0m   0nm  max .
(3.29)
nH
47
При положительных вложениях собственников

nm
0
 0 новая задача (3.22),
nH
(3.23), (3.29) эквивалентна задаче (3.22) - (3.24), а при условии (3.27) новая задача
оказывается разрешимой, хотя и вырожденной. Чтобы выделить межвременные
равновесия, на которых фирмы максимизируют прибыль, оказывается достаточным отобрать из множества решений этой вырожденной задачи те, которые удовлетворяют достаточным условиям Куна-Таккера с ненулевым множителем Лагранжа при ограничении кредитоспособности Tm  0 .
Итак, будем рассматривать в качестве решений задач агентов не любые точки максимума, а в определенном ниже смысле регулярные. Известно, что в моделях экономики двойственные переменные задач оптимизации (множители Лагранжа, векторы Куна-Таккера) обычно имеют содержательный смысл (цен, процентов, курсов). Поэтому случаи, когда решение у задачи оптимизации есть, а
двойственных переменных нет, обычно экономической интерпретации не имеют.
В связи с этим мы вводим следующее определение.
Регулярным решением вогнутой задачи оптимизации
(x)  max , Ax  f , g(x)  0 ,
xX
называется решение r , для которого выполнены достаточные условия КунаТаккера с положительными множителями Лагранжа при неравенствах, т.е.
r  Argmax (x)  h g (x)  q  Ax  f  ,
Ar  f ,
h g (r )  0
(3.30)
xX
при некоторых q, h  0 . Множество регулярных решений будем обозначать через
Regmax (x) Ax  f , g(x)  0  .
xX
Ограничения, для которых не требуется существование множителей Лагранжа,
включаются в описание множества X . Если выделенных ограничений Ax  f ,
g (x)  0 нет, то регулярный максимум совпадает с обычным:
Regmax (x)
xX
  Argmax (x) .
(3.31)
xX
Регулярные решения задачи фирмы (3.22), (3.23), (3.29) выражаются как
y , ,
m
m
T
m
m
T
m
0
nm


tmm  tmm1  pt ytm  0m    tnm
1   t  , t  T 
 m
nm
nH
 Regmax 0   0
 . (3.32)
mYm ,
m
m
yTm
n

H


T  0
m,


Tm
0m 0
Задача собственника «хорошая», так как множитель Лагранжа при ограничении кредитоспособности заведомо положительный в силу ненасыщаемости спроса, поэтому решение задачи (3.18) - (3.21) можно записать как
48
c , ,
m
n
T
n
T
nP
T
m
n
m
n
n
m
nm
nm


 n mn t   t 1  pt ct  0    t 1   t  , t  T 
mP
 Regmax  (cT )
.
m
n
cTn 0 , 



0
T

Tn n,
(3.33)
 TnP 0
3.3.3. Номинальные финансовые показатели
Прежде чем переходить к окончательным строгим формулировкам, сделаем
еще одно, на этот раз тождественное, преобразование модели. Цель этого преобразования – приблизить переменные, которыми оперирует модель, к величинам,
которые наблюдаются в экономике.
Если «примерить» модель (3.18) - (3.25) к обычному представлению о динамике рыночной экономики, то результат покажется разочаровывающим: в модели
есть кредиты и сбережения, но процентов по ним нет. В модели есть капиталовложения, но они не приносят дохода и фактически просто «проедаются». Расчет
простейших примеров показывает, что величины pT – аналоги цен – падают с течением времени, чего в реальной экономике не наблюдается. Все, однако, волшебным образом меняется, если перейти от величин pT к «реально наблюдаемым в экономике ценам».
Величины pT – это двойственные переменные (множители Лагранжа) к балансовому ограничению (2.8) в задаче отыскания эффективного состояния (2.20).
Со временем они обычно падают, но в то же время объемы потребления ctH на
равновесной траектории могут со временем расти (см. гл. 4). Падение двойственных оценок связано просто с тем, что все потребители ценят то же потребление
меньше, если оно получено позже.
Реально цены в экономике не падают, в первую очередь, по-видимому, потому, что они должны давать адекватную скалярную (стоимостную) оценку объемов производства и потребления. В модели межвременного равновесия, где «все
всё знают», такую функцию цен воспроизвести нельзя. Остается только волевым
порядком привести цены к более или менее постоянным значениям. В результате
мы перейдем от переменных «с волной», которые выражают различные финансовые показатели в двойственных оценках, к номинальным финансовым показателям, которые уже можно будет сопоставлять с измеряемыми в экономике величинами.
Выберем произвольную последовательность симплексов S T , S T  R M
 , и
определим номинальные цены pT :
pt  t pt ,
pT  S   St ,
pt  St ,
(3.34)
tT
и номинальный брутто-процент10 t  0 :
t 
t
,
t1
 t

 0  1, pt    s  pt ,
 s 1 
t T .
(3.35)
Отношение к исходной сумме долга всех платежей должника, включая возврат занятой суммы.
«Обычный» (нетто-) процент выражается через t как t  1 , так что при положительном брутто10
проценте обычный процент может быть и отрицательным.
49
Введем номинальные вложения  Tnm собственника nH в капитал фирмы
mP , номинальные дивиденды  tmn и чистые (номинальные) сбережения собственников и фирм  ta :
 tnm   t  tnm ,
 tmn  t  tmn ,
 ta  t  ta ,
n  H , mP , a  P  H , t T . (3.36)
В дальнейшем указание «номинальные» по большей части опускается, а курс
фирмы 0m обозначается просто  m .
В новых обозначениях ограничения финансового баланса (3.19), (3.22) и кредитоспособности агентов (3.20), (3.23) принимают вид:
 tn  t  tn1 
  
t
mP
m
m
nm
n
 tnm
1    t   pt ct ,
m
 tm  t  tm1  m    tnm  t  tnm
1   pt yt ,
t T ,
t T ,
nH
 Tn  0 ,
 Tm  0 ,
nH ,
(3.37)
mP .
(3.38)
Эти балансы уже больше похожи на обычные финансовые расчеты: на кредиты и
сбережения начисляется сложный процент t  1 , капиталовложения приносят доход с нормой, также составляющей t  1 .
3.4. МОДЕЛЬ МЕЖВРЕМЕННОГО РАВНОВЕСИЯ С КАПИТАЛОМ (МРК)
Используя номинальные величины (3.35), (3.36) в выражениях (3.32), (3.33),
приходим к следующим определениям.
Назовем моделью межвременного равновесия с капиталом (МРК) набор
M  T , Y P , H (),  0P  H ,  0H P , ST ,
(3.39)
состоящий из
 последовательности моментов времени T  1,...,T ;
 набора регулярных (удовлетворяющих (2.11) - (2.13)) множеств чистых продаж
фирм YP ;
 набора сильно ненасыщаемых (удовлетворяющих (2.18)) по каждой временной
компоненте потребления функций полезности собственников H () ;
 начальных значений чистых сбережений агентов  0P  H ,   0a  0 ; (3.40)
aP  H

начальных значений вложений собственников в капитал фирм  0H P  0 ;

последовательности симплексов S T , S T  R M
 , нормирующих цены.
Регулярным межвременным равновесием в модели M назовем набор
m = m(M )  yTP , cTH , P ,  TP  H ,  TH P , pT , T ,
состоящий из
 набора траекторий чистых продаж фирм yTP ;
 набора траекторий потребления собственников cTH ;
50
(3.41)
 набора курсов фирм P ;
 набора траекторий чистых сбережений агентов  TP  H ;
 набора траекторий вложений собственников в капитал фирм  TH P ;
 траектории цен pT ;
 траектории брутто-процента T ;
которые
 являются решением задачи собственника n  H :
n
n
m
nm
nm
n


 n mn  t  t  t 1     t  t 1   t   pt ct , t  T 
m
n
n
nP
mP
cT ,  T ,  T  Regmax  (cT )
 ; (3.42)
m
n
cTn 0, 

T  0

Tn n,
 TnP


0
являются решением задачи фирмы mP :

 tm  t  tm1  m   t  tnm1   tnm   pt ytm , 


nH


yTmm ,  Tmm , m  Regmax m   0nm t  T ;
;
mY m ,
yTm
nH


m
m
m,
T  0
Tm


m 0


(3.43)
удовлетворяют условиям равновесия:
pT  S   St ,
T  0 ,
(3.44)
y
t T .
(3.45)
tT
mP
n
t
  ctn ,
nH
Обратим внимание, что задача фирмы требует существования решения на
незамкнутом множестве m  0 , а условия равновесия требуют строгой положительности процента и ненулевых цен на каждом периоде времени.
Требование строгой положительности, а не просто неотрицательности, курсов представляет собой тоже некоторое условие регулярности равновесия. Можно
проверить, что все приводимые ниже построения фактически проходят и при допущении нулевых курсов, но требуют всегда рассматривать случай m  0 отдельно.
3.5. РЕЗУЛЬТАТЫ АНАЛИЗА МОДЕЛИ МРК
3.5.1. Закон Вальраса, максимизация дисконтированной прибыли и
другие свойства равновесных траекторий
iv.
Если m – межвременное равновесие (3.41) в модели M , то
Ограничения кредитоспособности активны:
Ta  m  0 ,
a H  P .
(3.46)
Капиталовложения в конце обнуляются:
Tnm  m  0 ,
nH ,
mP .
51
(3.47)
Каждая фирма максимизирует свою дисконтированную прибыль11:



p  m m 
yTm  m  Arg max  t t
yt  .
yTm Y m
 tT   s  m 


s 1
(3.48)
Выполнен закон Вальраса:


pt  m   ytm  m   ctn  m   0 ,
nH
 mP

t T .
(3.49)
Долги и сбережения сбалансированы в каждый момент времени:

aP  H
ta  m , t  0, T .
Несложные доказательства свойств i - v можно найти в [71].
Решение разностных уравнений (3.37), (3.38) с условиями (3.46), (3.47) показывает, что на равновесной траектории в каждый момент времени выполнены
«балансы в остатках» (см. [72]):
 m [m] tnm [m]  tnn [m] =
mP
t
 pt [m]ctn [m]  s [m] ,
t T
  m [ m] tnm [ m]   tm [ m] =
nH
1
nH ,
t  0, T .
(3.50)
t  0, T .
(3.51)
s 1
t
 pt [m] ytn [m] s [m] , mP ,
t T
1
s 1
Из строгой ненасыщаемости функции полезности (2.18) легко вывести, что на
равновесной траектории потребительские расходы собственника всегда положительны:
pt [ m]ctn [ m]  0 ,
nH ,
t T .
(3.52)
Закон Вальраса в форме (3.49) представляет собой утверждение о замкнутости финансовых потоков. Содержательно он означает, что в равновесии, которое
трактуется как фактически реализующаяся траектория развития экономики, доходы продавцов pt [ m]  ytm [ m] равны расходам покупателей pt [ m]  ctn [ m] . Можно
mP
nH
было бы вместо условия баланса начальных долгов и сбережений (3.40) потребовать выполнения (3.49) в равновесии. Тогда получилось бы, что условие баланса
(3.40) необходимо для существования равновесия.
В рамках модели справедливо, однако, и другое, в некотором смысле более
сильное, утверждение. Если даже взять неравновесные цены qT  pT [m] , то на
решениях задач агентов в силу (3.26), (3.28), (3.40) будет выполняться соотношение
11
Обычно в выражение дисконтированной прибыли первое слагаемое входит с единичным весом,
1
а у нас – с весом 1 . Это связано с тем, что мы рассчитываем финансовые показатели на конец
периода, а не на начало, как делается обычно. Выбранный здесь способ несколько упрощает индексацию в суммах по времени.
52


0   qt   ytm  qt    ctn  qt   ,
tT
nH
 mP

(3.53)
или, как говорят экономисты, стоимость избыточного предложения неотрицательна.
Подобное неравенство на функции предложения ytm  qt  и спроса ctn  qt  получается во всех известных нам моделях равновесия. Вопрос о том, имеет ли оно
какое-либо отношение к реальности, экономисты дискутируют уже около 150 лет
[59]. Этот вопрос интересен, например, потому, что, наложив некоторые условия
регулярности на функции спроса и предложения, из одного неравенства (3.53)
можно сделать заключение о существовании равновесных цен независимо от того, какие задачи решали агенты и решали ли они их вообще (см. лемму Гейла в
[17]).
Эмпирически проверить неравенство (3.53) не представляется возможным,
поскольку оно относится именно к совокупным спросу и предложению, а их пока
мы наблюдаем только, когда они реализовались12, т.е. при ценах, удовлетворяющих (3.49). Наша точка зрения состоит в том, что реально неравенство (3.53) может и не выполняться. Это неравенство выводится (за исключением модели чистого обмена [59]) только благодаря некоторой искусственной асимметрии описания взаимодействий агентов, которая сохраняется и в нашей модели. Cсобственник и фирма участвуют в двух взаимодействиях: рынке продуктов и передаче
дивидендов. Описание первого взаимодействия содержит параметры – цены, позволяющие анализировать случаи рассогласования ожиданий агентов. Описание
же передачи дивидендов такого параметра не содержит – ожидания в этом взаимодействии тождественно совпадают с фактическими потоками.
3.5.2. Существование и эффективность межвременного
равновесия
При анализе модели равновесия традиционно рассматриваются три вопроса.
 Теорема существования: при каких сочетаниях параметров модели можно
гарантировать существование равновесия?
 Первая теорема теории благосостояния: при каких сочетаниях параметров
равновесия оказываются эффективными (парето-оптимальными)?
 Вторая теорема теории благосостояния: какие из эффективных траекторий можно реализовать, изменяя параметры модели, определяющие распределение доходов или богатства между агентами.
Напомним, что первая теорема служит теоретической основой либеральной
доктрины, поскольку эта теорема утверждает, что при данных технологических
возможностях нельзя получить лучшего для всех потребителей распределения
благ, чем распределение, которое дает конкурентный рынок. Вторая же теорема
важна для социал-демократической доктрины, поскольку эта теорема утверждает, что эффективность рыночного механизма в принципе не должна нарушаться
никаким вторичным перераспределением благ: например, дотированием бедных
потребителей за счет налогов на богатых.
В модели межвременного равновесия с капиталом, которую мы здесь рассматриваем, на вопросы о существовании и эффективности равновесий удается
дать простые и исчерпывающие ответы, поскольку в этой модели множество траекторий регулярных равновесий точно совпадает с множеством сильно эффекВозможно, в будущем, с развитием информатизации рынков, положение изменится. На наиболее развитых финансовых рынках спрос и предложение можно оценить по поступающим заявкам.
12
53
тивных состояний. Более того, удается точно описать множество равновесий, траектории которых совпадают с данной сильно эффективной траекторией.
Простое соотношение между равновесием и эффективностью возникает в
нашей модели потому, что, во-первых, мы с самого начала ограничились регулярным описанием реального сектора (разд. 2.3.1, 2.3.2) и регулярными равновесиями (разд. 3.3.2), во-вторых, выделили среди парето-оптимальных траекторий
сильно эффективные (разд. 2.3.3) и, в-третьих, ввели в модель много параметров:
начальные значения капиталовложений и чистых сбережений (разд. 3.3.1).
Все время, пока будет обсуждаться эффективность равновесий, считаются
фиксированными последовательность моментов времени T , набор регулярных
множеств чистых продаж Y P , набор сильно ненасыщаемых функций полезности
H (регулярная модель реального сектора) и последовательность симплексов
S T , нормирующих цены. В этих условиях модели (3.39) отличаются друг от друга
только начальными значениями чистых задолженностей агентов и капиталовложений собственников. Чтобы подчеркнуть это, будем писать M  M   0P  H ,  0H P  .
Все такие модели имеют одно и то же множество сильно эффективных траекторий E , определяемых (2.20), и одно и то же множество расширенных эффективных траекторий Q , определяемых (2.24).
3.5.2.1. Первая теорема теории благосостояния для модели межвременного
равновесия с капиталом
Если в модели M  M   0P  H ,  0H P
 существует регулярное равновесие (3.41)
m = m(M )  yTP , cTH , P ,  TP  H ,  TH P , pT , T ,
то
t
pt  m  pt  m  t 1 –
q= yTP [ m], cTH [ m], pT [ m] ,
(3.54)
s 1
расширенная эффективная траектория qm  Q , определяемая (2.24), и существует набор величин P  0 такой, что
0mm  m   0mn  m (q) ,
0n  n (q) - m   0mn ,
mP ;
nH
nH ,
(3.55)
mP
где
m (q) =
 p [m] y
m
t
t
t T
t
[ m]  s [ m]   pt [ m] ytm [ m]
1
–
(3.56)
tT
s 1
дисконтированная прибыль производителя, а
 n (q) =
t
 p [m]c [m]   [m]
t T
t
n
t
s 1
s
1
  pt [ m] ctn [ m] –
tT
дисконтированные расходы потребителя, причем в силу условий дополняющей нежесткости (2.22)

mP
m
(q)   n (q) .
nH

Доказательство этого утверждения приведено в [71]. Оно очень просто и
опирается только на теорему Куна-Таккера: надо вести соответствующие двой54
ственные переменные и выписать в явном виде условия оптимальности задач
агентов (3.42), (3.43). Затем функционалы Лагранжа для задач потребителей надо
сложить с весами 1 n , где  n  0 – множители Лагранжа к ограничениям кредитоспособности собственников. После этого легко получается, что из условий оптимальности и равновесия вытекают соотношения (2.21), (2.22) для  n  1 n ,
nH . 
3.5.2.2. Теорема существования для модели межвременного равновесия с
капиталом
Пусть при некоторых P  0 и q  Q величины  0H P  0 и  0H  P удовлетворя-
ют соотношениям (3.55). Тогда M   0P  H ,  0H P

– регулярная модель, и ней суще-
ствует регулярное равновесие
m  yTP , cTH , P ,  TP  H ,  TH P , pT , T
(3.57)
такое, что
t
yTP [ m], cTH [ m], pT [ m] = q , ptt [ m] = pt [ m]   s [ m] , m [ m]  m .
1
s 1

За доказательством мы снова отсылаем к [71], но хотим отметить, что это
доказательство гораздо проще, чем обычное доказательство существования равновесия в модели Эрроу-Дебре, даже регулярной и с полным участием. При исследовании модели с капиталом нет нужды строить, а потом мучительно регуляризировать отображение подстройки цен – вполне достаточно оказывается все
той же теоремы Куна-Таккера. Нужно просто разложить функционал Лагранжа задачи (2.20) в сумму функционалов Лагранжа задач (3.42), (3.43). 
Если условия (3.55) выполнены, то в модели M   0P  H ,  0H P  существует много регулярных равновесий. Все они реализуют одну и ту же расширенную эффективную траекторию q  Q , но отличаются динамикой капиталовложений  TH P и чистых сбережений  TP  H .
3.5.2.3. Вторая теорема теории благосостояния для модели межвременного
равновесия с капиталом
Теорема существования 3.5.2.2 доказывает фактически нечто большее. Она
показывает возможность представить любую сильно эффективную траекторию как равновесную за счет подходящего выбора начальных условий на капиталовложения и чистые сбережения агентов. А это, по сути, указывает на справедливость второй теоремы теории благосостояния для регулярной модели равновесия с капиталом. Этот результат можно усилить – любую сильно эффективную траекторию можно реализовать, не трогая начальных капиталовложений, а
только перераспределяя начальные чистые сбережения.
Действительно, если в соотношении (3.55) мы зафиксируем  P и  0H P и заменим исходную номинальную эффективную траекторию q  Q траекторией
P H
такой, что
`q  Q , то из (3.55) мы получим новый набор чистых сбережений  0
при начальных значениях  0P  H ,  0H P
в равновесии реализуется траектория `q .
Поскольку и исходные, и новые чистые сбережения в сумме равны 0, переход от
одного набора сбережений к другому можно трактовать как перераспределение
55
чистых сбережений: либо одни агенты погасят долги других за счет своих сбережений, либо, напротив, какие-то агенты «залезут в долги», чтобы увеличить сбережения остальных.
Специфика таких перераспределений в рассматриваемой модели состоит в
том, что в этом процессе участвуют не только собственники, но и фирмы. В частности, оказывается, что все сильно эффективные траектории можно реализовать
при  0H P  0 . В этом случае  0P  0 , а   0m  0 . 
mP
3.5.2.4. О явных условиях существования равновесия
Условия (3.55), по сути, необходимы и достаточны для существования равновесия. Они позволяют определить все модели, в которых есть равновесие. Действительно, зафиксировав любую расширенную эффективную траекторию q  Q и
набор  P , мы получим из (3.55) конус в пространстве начальных значений, каждой
точке которого  0P  H ,  0H P отвечает модель M   0P  H ,  0H P  , в которой регулярное
равновесие существует. Обозначим такое множество моделей через K (q, P ) . Согласно 3.5.2.1, всякая модель, в которой есть равновесие, принадлежит одному из
K (q, P ) – множество всех моделей, в
множеств K (q, P ) . Значит, K 
P
qQ, P R 
которых есть равновесие.
Конечно, установить по найденному критерию факт существования равновесия для конкретных начальных условий  0P  H ,  0H P весьма затруднительно, поэтому было бы безусловно полезно и интересно получить какие-то эффективные
оценки множества K . Однако не следует и преувеличивать значение возможности
установить существование равновесия для данных  0P  H ,  0H P . При идентификации модели экономики мы обычно не знаем большинства начальных условий.
Например, если общая сумма задолженности публикуется в банковских отчетах,
то ее распределение по субъектам, даже укрупненным, составляет коммерческую
тайну. Поэтому фактически начальные условия подбираются наравне с параметрами, которые задают модель реального сектора.
Еще раз подчеркнем, что множественность равновесий при данных начальных условиях мы рассматриваем не как дефект модели, а как достоинство. Поле
безразличия в выборе собственников, возникающее в условиях идеального рынка,
с нашей точки зрения может служить «зародышем» описания реальных финансовых рынков. 
3.5.2.5. Инвариантность равновесий по отношению к калибровке
предпочтений
Останется ли равновесная в смысле основного определения (3.41) - (3.45)
траектория равновесной, если сменить калибровку функций полезности? В
разд. 2.3.2 мы уже говорили, что экономический смысл, с нашей точки зрения,
имеют только результаты, инвариантные к калибровке полезности. Для модели
Эрроу-Дебре независимость равновесия от калибровки полезности очевидна, поскольку оператор Argmax  f  x  инвариантен к калибровке. В нашей же модели
xX
межвременного равновесия используется оператор Regmax  f  x  ...  , а для него
xX
инвариантность к калибровке не очевидна. Хотя при монотонном преобразовании
функции f точки максимума сохранятся, но неясно, не пропадут ли множители
56
Лагранжа. Регулярной модели такая опасность не угрожает. В [71] показано, что
если в регулярной модели M , (3.39), существует регулярное равновесие m ,
(3.41), то m будет равновесием и в модели, M которая отличается от M только
тем, что сильно ненасыщаемые функции полезности собственников H () заменены другими сильно ненасыщаемыми по каждой временной компоненте функциями
 H () , задающими те же отношения предпочтения:
n (cT )  n (cT )   n (cT )   n (cT ) n  cT   n  cT   n  cT   n  cT  , n  H .

3.5.3. Преемственность равновесий
Наконец, мы можем показать, что определение межвременного равновесия с
капиталом позволяет дать подлинно динамическое описание экономики в том
смысле, что конец равновесной траектории оказывается равновесием в экономике, которая описывает возможности выбора, остающиеся у агентов после того, как
начало траектории зафиксировано. Это свойство мы назвали преемственностью равновесий. Заметим, что здесь изучается одно и то же равновесие в семействе моделей.
Чтобы обсуждать вопрос преемственности, надо описать возможности и критерии выбора, которые остаются у агентов после того, как они реализовали
начальный отрезок равновесной траектории на периоде t  1,..., s . Ниже используются следующие обозначения:
T s s 1,..., s , s Ts s  1,..., T ,
в которых для любого динамического ряда xT
xT s s  x1 ,..., xs , xs Ts  xs 1 ,..., xT .
Пусть заданы регулярная модель M 0  T , Y P , H (),  0P  H ,  0H P , S T
и регуляр-
ное равновесие m = m(M 0 )  yTP , cTH , P ,  TP  H ,  TH P , pT , T . Описывать возможности
агентов после реализации начального отрезка T s s равновесной траектории следует, разумеется, особой моделью
(3.58)
M s  s Ts, H Ps , Hs (),  Ps  H [ m],  HP
s [ m], S s Ts ,
элементы которой требуют своего определения.
В качестве начальных значений чистых сбережений и капиталовложений в
модели M s естественно взять те значения, которые реализовались на равновесной траектории к концу периода s : Ps H  Ps H  m ,  HP
  HP
s
s  m , а в качестве
s Ts
функций полезности ns : R M
 R1 , nH , – сужения исходных функций

H  0H : Hs (csn Ts)  H (cTn s s m , csnTs) .
Сложнее обстоит дело с допустимыми множествами чистых продаж для конца траектории H Ps . Исходное описание возможностей производителя mP с помощью множества Y m не определяет однозначно альтернативы, которые остаются у производителя после того, как он реализовал начальный отрезок последовательности чистых продаж yTm s s m . Естественно, что он может реализовать остав-
57
шуюся часть плана ysmTs m и не может реализовать ничего, выходящее за пределы сечения множества чистых продаж:


yTm s s  H ms  Ysm  m  ys Ts yTm s s m , ys Ts  Y m , mP .
(3.59)
Однако все это сечение не обязательно реализуемо. Типичными действиями производителя являются капиталовложения, изменяющие возможность будущего
производства. Как учесть капиталовложения в описании множества будет показано на примере в разд. 4.4. Но ясно, что решения о капиталовложениях, принятые
до момента s могут существенно повлиять на возможности чистых продаж после
этого момента. Более того, в равновесии эти решения не обязательно единственны, так что множества оставшихся альтернатив, вообще говоря, не обязательно
определяются однозначно началом равновесной траектории.
Подчеркнем, что относительно множеств H ms мы не предполагаем ничего,
кроме условия (3.59). Не требуется даже, чтобы они были выпуклы и замкнуты, и
тем более, чтобы они были продуктивны в совокупности. Если, скажем, свойство
продуктивности (2.12) в исходной модели M 0 обеспечивается наличием положительных начальных запасов продуктов, то множества H Ps не будут продуктивными
для тех начальных отрезков, на которых запасы были использованы.
Таким образом, для данных m и s T существует много моделей M s , и они,
вообще говоря, не регулярны. Тем не менее, верно следующее утверждение.
3.5.3.1. Теорема о преемственности равновесий
Пусть m  m  M 0   yTP , cTH , P ,  TP  H ,  TH P , pT , T
M 0  T , Y P , H (),  0P  H ,  0H P , S T .
Тогда
– регулярное равновесие в модели
ms =  Ps Ts H ,  HP
, csHTs, ysPTs, P , ps Ts, s Ts
s Ts
–
регулярное равновесие в любой модели M s вида (3.58), (3.59).

Доказательство этого утверждения приведено в [71]. Обратное утверждение о том, что равновесие в модели M s является концевым отрезком равновесия
в исходной модели M 0 , вообще говоря, неверно. Если собственники решили в
какой-то период s обнулить капитал фирмы mP , у которой начальный капитал
не был равен 0, т.е.

nH
nm
0
 0 ,   nm
s 0,
nH
то в модели M s равновесный курс  m может быть любым, в то время как в M 0
курс равен вполне определенной величине. Таким образом, система равновесий
необратима. В ней со временем появляются возможности, отсутствующие в исходном множестве равновесий. 
58
3.5.4. Особые начальные состояния фирм
3.5.4.1. Фирмы без капиталовложений
Мы выделили регулярные решения для того, чтобы на общих основаниях
рассматривать особый случай фирмы, в которую собственники не вложили капитал:   0nm  0 . Поставленная цель достигнута. Хотя при   0nm  0 решением заnH
nH
дачи (3.29) в равновесии служат любые допустимые значения yTm , m , регулярными
среди них будут только те, на которых достигается максимум дисконтированной
прибыли фирмы (3.48). Полагая t  0 в (3.51) и учитывая (3.56), получаем, что
m  m  0m  0 .
Таким образом, фирма без вложений имеет начальную задолженность
m
(  0 ), которую она в равновесии только-только гасит к концу процесса за счет
своей прибыли. Можно даже рассмотреть случай, когда ни в одну фирму нет вложений, причем не только в начальный, но и во все периоды:   0,nmT  0 . Из теорем
nH
разд. 3.5.2 можно вывести, что такие равновесия не только существуют, но и могут реализовать (при подходящих  0H  P ) любую наперед заданную сильно эффективную траекторию.
Эти равновесия вызывают ассоциацию с гипотетическим строем «рыночного
социализма». Каждое предприятие mP получает жесткий финансовый план в
форме начальных долгов  0m  0 . Все предприятия должны выполнить этот план
за счет продажи продукции на рынке. Граждане nH получают пособия13  0n  0
в форме вкладов под процент T , которыми они могут распоряжаться по своему
усмотрению. Планы предприятий и пособия граждан строго сбалансированы между собой в соответствии с (3.40). 
3.5.4.2. Фирмы без прибыли
Предыдущие рассуждения молчаливо предполагали, что максимальная дисконтированная прибыль фирм в равновесии положительна. Но фактически все эти
рассуждения остаются в силе, если m  m  0 . В отличие от модели Эрроу-Дебре
рассматриваемая модель межвременного равновесия с капиталом допускает существование убыточных фирм в равновесии. Впрочем, все фирмы в равновесии
не могут быть убыточными. Это противоречило бы условию продуктивности экономики (2.12).
Для убыточной фирмы из (3.51) и (3.56) получаем
0mm  m   0nm   ( m)  .
(3.60)
nH
Таким образом, убыточная фирма должна иметь начальные сбережения
  0 . Их можно трактовать как дотации, полученные этой фирмой за счет
уменьшения сбережений других агентов. Соотношение (3.60) означает, что первичная дотация с учетом начисляемых на нее процентов частично расходуется на
m
0
13
О зарплате речь не идет, поскольку труд в модели не рассматривается. Пособия должны быть
положительными, поскольку в отсутствии вложений капитала задача потребителя при  0  0 не
n
имеет решений.
59
покрытие убытков, а частично на выплату дивидендов собственников. Явление,
увы, нередкое при дотировании предприятий в рыночных условиях.
Разумеется, в рамках модели конкурентного равновесия невозможно описать
механизм дотаций. Важно, однако, что в модели появляются величины, позволяющие обсуждать это явление. Следует иметь в виду, что описание множества покупок и продаж фирмы Y m учитывает не только необходимость текущих затрат, но
и возможность капитальных затрат (см. ниже разд. 4.4). Поэтому убыточные фирмы можно трактовать как реализацию проектов, прибыль от которых не покрывает
капитальные затраты. Такие проекты, например, развития инфраструктуры, были
обычны в практике капиталистических государств в XX в.
В современных российских условиях убыточными фирмами могут оказаться
предприятия с большими постоянными издержками, построенные в советское
время в расчете на то, что они всегда будут работать с полной загрузкой. В рыночных условиях такие предприятия не следует строить, но раз уж они построены,
их может оказаться целесообразным использовать при условии дотирования [25].

3.5.4.3. Фирмы без выпуска
Наконец, интерес представляет случай, когда фирма вообще ничего не производит: Ym  0 . Для такой фирмы из (3.51) получаем, что
0mm  m   0nm .
nH
Фирму без производства можно интерпретировать как банк, в котором собственники за счет первоначальных вложений капитала  0H m создали денежный
фонд  0mm  0 . Эти деньги банк затем одалживает под проценты T  m и за счет
доходов выплачивает собственникам дивиденды.
В рассматриваемом идеальном равновесии роль банка несущественна. Все
активы имеют одну и ту же доходность T  m , и собственникам безразлично, куда
вкладывать капитал. В этих условиях теряет смысл основная функция банковской
системы – трансформация одних активов в другие. Важно опять-таки лишь то, что
модель содержит «зародыш» описания банка, из которого при отходе от классических условий совершенной конкуренции можно «вырастить» полноценную модель банковской системы.
В [71] обсуждается альтернативный подход к «выращиванию» торговых и
финансовых посредников в модели. Он основан на двойственном к (3.42), (3.43)
вариационном принципе, определяющем равновесные значения информационных
переменных t , pt . К сожалению, как показано в [71], этот красивый подход пока
наталкивается на непреодолимые трудности как содержательного, так и формального характера. 
Глава 4.
Капитал агентов
4.1. МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ЭКОНОМИКИ И ЕЕ МОДЕЛЕЙ
Всюду ниже в книге будут существенны предположения об однородности
или, иначе, масштабной инвариантности всей модели или отдельных ее частей.
Предположение об однородности присутствуют в подавляющем большинстве динамических моделей экономики. Его эмпирическим обоснованием можно
60
считать то обстоятельство, что в экономике пока не обнаружено ни «мировых постоянных», ни «естественных единиц измерения». Наглядным подтверждением
последнего служит тот факт, что изменения в физическом мире мы обычно характеризуем скоростями (производными по времени), а изменения экономических
показателей – темпами (логарифмическими производными по времени). Это
означает, что в первом случае абсолютные масштабы величин существенны, а во
втором – нет.
Применительно к модели МРК можно выделить три различных типа однородности.
Масштабная инвариантность финансовых показателей не вызывает
сомнений. Выбор денежной единицы, видимо, абсолютно произволен, поскольку
неоднократно проводившиеся в различных странах деноминации, т.е. увеличения
денежной единицы (в России в последний раз в 1996г. в 1000 раз) не вызывали
сильных изменений в развитии экономики. Легко проверить, что в равновесии модели МРК изменение денежной единицы, т.е. умножение K TP H ,  TP  H , pT и S на
один и тот же положительный множитель, не нарушает условий равновесия.
Подчеркнем, что деноминацию следует отличать от инфляции, т. е. пропорционального роста всех цен. Инфляция не изменяет финансовые запасы (остатки) пропорционально росту цен и потому может существенно повлиять на ход развития экономики. В моделях, однако, динамика финансовых остатков зачастую не
описывается, и инфляция оказывается эквивалентной деноминации. Возникающее несоответствие теории и практики известно как проблема нейтральности
денег [88, 27].
Масштабная инвариантность (положительная линейная однородность) описания производственных возможностей фирмы также очень часто постулируется в моделях. Применительно к модели МРК мы обсудим ее в
разд. 4.4.3. В общем плане однородность обосновывается возможностью интерпретировать экономический рост как появление точных копий существующих
фирм. Рациональное поведение таких «клонов» будет одинаковым и все экстенсивные величины, характеризующие их совокупную деятельность (выпуски, затраты, продажи, запасы и т.д.) будут расти пропорционально числу копий.
Экстраполяция этих рассуждений приводит к изящной теории факторов
производства, которая настаивает, что истинное описание производственных
возможностей должно быть линейно однородным, а наблюдаемые неоднородности нужно объяснять недоучетом существенных факторов производства. Например, рост урожая на данном участке не пропорционален посеву потому, что кроме
посевного фонда фактором производства служит еще посевная площадь.
Эти рассуждения представляются нам небезупречными. Например, неизбежно присутствующие в реальной экономике риски и издержки управления не изменяются аддитивно при слиянии и дроблении производств. Однако эмпирическое
подтверждение однородной модели Леонтьева, а также тот факт, что при анализе
деятельности фирм и отраслей чаще смотрят не на сами величины, а на их пропорции и темпы изменения, показывают, что однородное приближение при описании производственных возможностей, видимо, во многих случая вполне пригодно.
Масштабная инвариантность потребительских предпочтений определяется как следующее свойство отношения предпочтения n (см. разд. 2.2.3):
множества Pa ()  cT cT n  aT наборов благ cT , которые потребитель n H


предпочитает набору  aT , гомотетичны при всех   0 при любом фиксированном
наборе aT . Потребитель, обладающий однородными предпочтениями, при увели-
61
чении своего дохода и сохранении цен продуктов, будет покупать продукты в той
же пропорции, но просто в большем количестве (см. (2.7)).
Однородность предпочтений кажется странной, если «примерять» ее к реальному индивидууму и конкретным продуктам: любой конкретный продукт (хлеб,
ботинки данного фасона, автомобиль данной марки) имеет ограниченный спрос,
поэтому с ростом благосостояния потребителя ассортимент покупок меняется.
Оправдание предположения об однородности состоит в том, что в модели следует рассматривать достаточно агрегированные продукты. Спрос на хлеб ограничен,
но в составе агрегата «продукты питания» появляются все более и более дорогие
компоненты, так что расходы на питание могут расти пропорционально благосостоянию достаточно долго. Заметим, что замечательные и хорошо подтвержденные эмпирически результаты А.А. Шананина [63, 64] по агрегированию потребительского спроса были получены именно для однородных функций полезности.
Легко показать, что функция полезности n (cT ) , калибрующая однородные
предпочтения, может быть выбрана однородной любой степени. Чтобы получить
непрерывную сильно ненасыщаемую функцию полезности (см. разд. 2.3.2), нужно
потребовать, чтобы степень однородности 1  n лежала в интервале 0, 1 .
Обычно для простоты считают, что степень однородности можно подобрать так,
чтобы полезность оказалась еще и аддитивной по временным компонентам, как в
(2.17). Аддитивная однородная полезность имеет и определенное теоретическое
обоснование [86].
4.2. КАПИТАЛ СОБСТВЕННИКА
4.2.1. Определение капитала и его динамика
В этой главе мы рассмотрим свойства самой равновесной траектории. Соответственно считается без специальных оговорок, что все величины вычисляются
для некоторого регулярного равновесия (3.41).
Соотношения
баланса
собственника
(3.50)
можно,
полагая
n
n
n
t  t   t  , записать в виде


 tnm   tn    tn   tn , n  H , t  0, T ,


(4.1)

n
 ps cs

s t 1 
(4.2)
m
mP

где
tn 
T
s

j t 1
j

 , n  H , t  0, T .

Соотношение (4.1) можно трактовать как финансовый баланс в остатках
агента-собственника [72]. Все составляющие баланса, как и положено в бухгалтерском учете, неотрицательны. Слева стоят активы (вложения): денежные сбережения собственника tn  и его капиталовложения  tnm в фирмы mP , оце
ненные по текущим курсам этих фирм m . В правой части баланса стоят пассивы (ресурсы): привлеченные, например, в виде потребительского кредита, средства tn  и обязательные в каждом балансе собственные средства  tn .

62
Собственные средства агента мы ниже для краткости всюду называем капиталом14. Этот капитал собственник и вкладывает в дело в форме капиталовложений в составе активов.
Формула (4.2) показывает, что капитал собственника можно трактовать, как
его обязательство перед самим собой относительно будущих потребительских
расходов ps csn . Некоторая необычность с точки зрения бухгалтерского учета такой
трактовки собственных средств связана с тем, что баланс в остатках на практике
редко составляется для тех субъектов экономики, которые не создают добавленной стоимости: индивидуальных потребителей, государства и т. п. Однако если бы
мы составили баланс в остатках, скажем, для государства, то получили бы против
государственного долга в пассиве дисконтированную разницу ожидаемых налоговых поступлений и бюджетных расходов в активе. Перенося расходы в правую
часть, мы пришли бы к балансу вида (4.1). Аналогия станет еще ярче, если заметить, что оцененные по курсу капиталовложения равны дисконтированной сумме
ожидаемых дивидендов.
Действительно, из баланса (3.37) видно, что дивиденды, которые фирма
mP выплачивает собственнику n H в период t T , составляют
m
nm
 tmn  t m K tnm
1   K t .
(4.3)
Учитывая (3.47), получаем, что
 
m

    mn
s
s t 1 
T
nm
t
s

j t 1
j

, nH ,

mP ,
t  0, T .
.
(4.4)
4.2.1.1. Динамика капитала собственника
Из (3.52), (4.2) вытекает, что капитал на равновесной траектории остается
положительным и удовлетворяет разностному уравнению
tn  t tn1  pt ctn ,
tn  0 , t  0,..., T  1 ,
Tn  0 .
(4.5)
Ограничение на начальное условие 0n  0n   m  0nm  0 , n H , представляет
nH
собой необходимое условие существования равновесия.
Уравнение (4.5) означает, что капитал растет за счет доходности t и убывает за счет потребления. Хотя в конце капитал обращается в ноль, в начале он может расти, и этот рост может превратиться в неограниченный при неограниченном
увеличении горизонта планирования T .
Может показаться, что рост капитала фиктивный, поскольку он определяется
нормировкой цен (3.34). В «реальных» двойственных оценках (ценах) pt процесс
(4.5) выглядит как чистое «проедание» начального капитала. Надо, однако, заметить, что двойственные цены, отражающие сегодняшнюю полезность будущего
потребления, склонны падать со временем. Поэтому проедание капитала может
сопровождаться существенным ростом реальных объемов потребления ctn и производства к концу процесса. С точки зрения стороннего наблюдателя, например,
Термин «капитал» употребляется в экономической литературе в разных смыслах. Нашему понятию соответствует английское «own capital». Но термины «fixed capital» и «working capital» обозначают составляющие активов, а не пассивов. Ниже две последние величины мы называем балансовой стоимостью, соответственно, основных и оборотных фондов, слово же «капитал» у нас
всегда означает собственные средства в составе пассивов.
14
63
представителя следующего поколения, более адекватной будет оценка в более
или менее постоянных, т.е. нормированных ценах. Таким образом, переход к номинальным деньгам отчасти учитывает отсутствующую в модели смену поколений
потребителей. 
4.2.2. Максимизация капитализации собственником в случае
однородной полезности
Рассмотрим задачу собственника (3.42) в наиболее привычном случае, когда
n  cT    tn n  ct  ,
(4.6)
tT
где  tn  0 – предпочтения времени собственником, (например  tn   0n  , где
t
0n  1 – брутто-коэффициент дисконтирования, см. (2.17)), n 

– сильно нена-
сыщаемая, гладкая функция на M , однородная степени 1  n , где n – так
называемое «относительное отвращение к риску». Чтобы обеспечить сильную ненасыщаемость, достаточно предположить, что n  0, 1 (см. [71]).
Оказывается, что в однородном случае задачу собственника (3.42) можно
переформулировать так, что она становится очень похожей по форме на задачу
фирмы (3.43).
Будем решать задачу (3.42) в два этапа: сначала найдем максимум полезности по cTn при условии pt ctn  tn , а потом найдем максимум по  mT . Результат первого этапа выражается в следующем свойстве однородных функций.
4.2.2.1. Теорема об индексе цен собственника
Пусть n ( ) – сильно ненасыщаемая, гладкая функция на
степени 1  n , n  0, 1 и
C n  p,    Argmax n (c) pc  ,
p
c0
M
0
,
M

, однородная
0.
(4.7)
Тогда

 n ( p ) 
C n  p,    c    n ( p ) n ( c ), pc    c    n ( p )  n (c )  c c   n
, ,
 ( p) 

где

 

 pc n

 ( p )  infM  n
 ( c)  0  ,
c    ( c )

 (c)   (c)
n
n
n
(4.8)
1
1n
.
(4.9)
Величина  n : M  1 называется индексом цен, сопряженным к линейно однородной полезности n ( ) , и представляет собой вогнутую монотонную гладкую
ненасыщаемую функцию. Для равновесных цен
 n ( pt )  0 .
(4.10)

За строгими доказательствами отсылаем к [64], где свойства индекса цен подробно исследованы. Соотношение (4.10), очевидно, следует из (3.52), (4.8), поскольку ct  C n  pt , pt ct  . Второе выражение в (4.8), конечно, уточняет первое, но
64
оно, в отличие от первого, не является набором выпуклых ограничений на переменные c,  . 
Теперь перейдем к преобразованию задачи собственника. Из второго выражения (4.8) для множества (4.7) получаем, что в равновесии
n  ctn    n  ctn  
1n
 n 
 n t 
   pt  
1n
.
Подставляя это выражение в (3.42), приходим к следующей формулировке
задачи собственника:


 tn  t  tn1  tn 


m
nm
m
nm
1n
n






,





t
t

1
t




mP
cTmn ,  Tn ,  TnP , Tn  Regmax   tn  n t 
(4.11)
.
 ( p) 
ctnC n ( pt ,tn ),  tT


t T
Tn n,


nP
 T 0
Tmn  0
Tn 0


По сути, максимизацию по cTn из задачи (4.11) вообще можно удалить, заменив ее прямым выражением спроса через цены и расходы из последнего соотношения в (4.8). Мы этого делать не будем, чтобы не нарушать чистоты вариационного принципа: все переменные агента определяются из одной задачи оптимизации.
Задача (4.11) похожа на задачу фирмы тем, что собственник тоже максимизирует расходы tn при ограничениях
финансового баланса  tn  t  tn1 
кредитоспособности
  
t
mP
m
m
nm
n
 tnm
1    t   t ,
t T ,
Tmn  0
и
«технологических» ограничениях
(4.12)
(4.13)
ctn  C n ( pt , tn ) ,
t T .
(4.14)
Благодаря однородности функционала задачи (4.11), ее можно переформулировать так, чтобы она стала по форме почти полностью подобной задаче фирмы (3.43).
Функционал Лагранжа задачи (4.11) имеет вид
  n 1

n
n
n
n
m
mn
m
mn
n 
n
n
t






















t  n
t  t
t 1
t
t
t 1
t
t    T ,



(
p
)
tT
mP


t 
 
n
(4.15)
где  tn ,  n  0 – двойственные переменные к ограничениям (4.12) и (4.13) соответственно. Вариация (4.15) по tn дает соотношение для оптимального значения  tn :
 tn  tn 


 n  pt    n  pt  
n
 tn /  1  n  ,
(4.16)
а вариация (4.15) по  tn (или  tmn ) дает уравнение для  tn :
65
tn  t 1tn1 .
(4.17)
Из (4.16), (4.17) следует, что оптимальное соотношение сегодняшних и будущих потребительских расходов собственника в однородном случае не зависит
от состояния собственника, а определяется исключительно структурными параметрами и внешними факторами (информационными переменными):
 n n 1
t 1  t 1 
n
t 1  pT , T   

t 1

n

 tn1  pT , T  ,

n
t
n
t 1
где
tn1 
tn1 
 tn
tn1
1
 n
 0,


– коэффициент предпочтения времени собственника
(4.18)
n H ,
 n  pt 1 
– темп инфляции потребительских цен с точки зрения соб n  pt 
ственника n H . В силу (4.10) последняя величина определена при всех t T .
Таким образом, решение задачи (4.11) можно искать в виде
tn  n tn ,
где  n – новая неизвестная, которую и надо максимизировать, а tn  0 заданы.
Введем формально величину «сегодняшние обязательства собственника перед самим собой в будущем»
 n n 1
T
T  s
   s 
ns
n
1  s
t   s
    j 

s
s t 1
  j st 1  j t 1  
n
j t 1
1
 n
n
n
 , n   t 1 , n    pt  , t  0, T .
t
t

tn
 n  pt 1 


(4.19)
Тогда в полной аналогии с (4.3) потребительские расходы собственника выражаются в виде
tn  t n  tn1  n  tn
(4.20)
Теперь в задаче (4.11) можно перейти к максимизации по  n .
4.2.2.2. Утверждение об альтернативной форме однородной задачи
собственника
Если функция полезности собственника n H аддитивна и однородна в
смысле (4.6), то задача собственника (3.42) эквивалентна задаче

 tn  t  tn1   t n  tn1  n  tn   


 n n

n
nP
n
n
m
nm
m
nm
cT , K T ,  T ,   Regmax   0    t  K t 1   K t , t  T ;  ,
(4.21)
m
cTn C n  pt ,tn , 

KTnP 0 ,


 Tn  0
n n


T , 0
где  tn определено в (4.20), множество C n ( pt , tn ) определено в (4.7), а «обяза66
тельства собственника перед самим собой» заданы формулой (4.19). При этом в
равновесии
tn  n  tn .
(4.22)

После подстановки (4.20) в (4.11) остается только показать, что, не нарушая
 
требований регулярности решения, вогнутый функционал n
1n
можно заменить
линейным. Это доказано в [71].

Задача (4.21) полностью подобна задаче фирмы (3.43) с той только разницей, что для собственника курс  n входит в «технологические ограничения»
m
( ctn  C  pt , t n  tn1  n  tn  ), а у фирмы множество чистых продаж Y от финансовых показателей не зависит. Эта разница, впрочем, не очень существенна. С одной стороны, в рассматриваемом идеальном случае максимизация по cTn фактически уже произведена определением множества C n . С другой стороны, в неидеальных случаях, для которых мы ищем достаточно универсальную форму описания поведения агента, у фирмы могут возникнуть финансовые ограничения на
расходы, например, ограничения ликвидности.
Полученная форма задачи собственника привлекательна еще по одной причине. Для описания поведения крупных собственников задача максимизации потребления представляется довольно глупой. Может быть, задавая программы
расходов, отличные от (4.18), можно будет описать такие цели как «власть»,
«престиж», «сохранение лица» и т.д.
Подчеркнем, что и в задаче фирмы (3.43), и в задаче собственника с аддитивной однородной полезностью (4.21) временные пропорции «полезных расходов» агента (   nm
для фирмы и  nT для собственника) не являются управT
nH
лениями агента. Фирме эти пропорции задает собственник, а собственнику –
рынок. В неидеальных условиях в эту цепочку можно будет вставить промежуточные звенья, например холдинг, который получает пропорции от индивидуальных собственников и задает пропорции дочерним фирмам. Более конкретно реализация этой идеи описана в разд. 8.2 ниже.
4.3. КАПИТАЛ ФИРМЫ
Аналогично (4.1), (4.2) финансовый баланс (3.51) фирмы mP в равновесии
можно записать в виде
T

s
  p y 
s t 1

s
m
s
j t 1
j

m
m
m
nm
  t    t       t , mP ,
nH

t  0, T .
(4.23)
Слева, на стороне активов, кроме сбережений  tm  вы видим ожидаемую в бу
дущем дисконтированную прибыль, которую мы в данном контексте назовем ценой фирмы15:
Хотя, как говорилось в разделе 3.5.3, эта величина в рамках модели может быть отрицательной,
в типичном случае она положительна, и мы относим ее к активам без разделения на положительную и отрицательную части.
15
67
tm 

m
 ps ys

s t 1 
s
T

j t 1
j

.

(4.24)
Справа, на стороне пассивов, кроме долгов  tm  , мы видим обязательства

фирмы перед собственниками. Для юридического лица, каким является фирма,
подобные обязательства и составляют собственные средства или, в нашей терминологии, капитал tm . Если еще учесть (4.4), то получится, что
tm  m

nH
nm
t

T

  
s  t 1
 nH
mn
s
 s 1
  j .
 j  t 1
(4.25)
Заметим, что это выражение вполне аналогично выражению (4.22), поэтому введем обозначение
 tm    tnm , mP .
(4.26)
nH
Капитал фирмы также удовлетворяет уравнению, аналогичному (4.5):
tm  t tm1   tmn ,
 tm  0 , t  1,..., T  1 , Tm  0 ,
mP .
(4.27)
nH
Только, в отличие от положительного капитала собственника, капитал фирмы в
модели может быть и нулевым (но ни в коем случае не отрицательным,
см. (3.18)).
Баланс фирмы (4.23) с учетом определений (4.24), (4.25) приобретет вид
tm  tm   tm   tm ,


mP .
(4.28)
Видно, что это не совсем то, что обычно называется отчетным финансовым
балансом, который фирма предъявляет акционерам, кредиторам, инвесторам, а
также налоговым и статистическим службам. В бухгалтерском учете финансовый
баланс фирмы получается суммированием по времени фактических денежных
расходов и поступлений. Как объяснено, например, в [72], в активах после этого,
кроме денежных сбережений, оказываются суммарные (по времени) расходы на
создание имеющихся основных и оборотных фондов. В пассивах же, кроме долгов, оказываются суммарные доходы от размещения акций и накопленная величина фактически полученной, но не распределенной в виде дивидендов прибыли.
Правда, перед тем, как предъявлять баланс контролерам и оценщикам, бухгалтеры по определенным правилам преобразуют его [72]. Цель этих преобразований – получить в активах не затраты на создание фондов, а оценку текущей
стоимости этих фондов. В результате преобразования баланса в состав нераспределенной прибыли включаются фиктивные члены, например, ни от кого не полученные доходы от переоценки запасов и ценных бумаг и никому не выплаченные расходы на амортизацию.
Наша гипотеза состоит в том, что эти манипуляции с балансом можно интерпретировать как стремление приблизить баланс к «идеальной» форме (4.28). Чтобы аргументировать эту гипотезу, нам понадобится описать множество чистых
продаж Y m mв терминах выпусков, затрат, запасов и фондов.
68
4.4. КОНКРЕТИЗАЦИЯ ОПИСАНИЯ МНОЖЕСТВА ЧИСТЫХ ПРОДАЖ
4.4.1. Балансовые и технологические ограничения
Будем исходить из упрощенного материального баланса фирмы [72] в дискретном времени
(4.29)
ktm  0
Qtm  Qtm1  ztm  ktm  ytm ,
где Qtm  0 – вектор запасов продуктов в конце периода t , а в правой части стоит
алгебраическая сумма потоков:
 чистых выпусков (производства продуктов за вычетом текущих затрат)
ztm  R M за период t ;

капитальных затрат ktm  R M
 ;

чистых продаж уtm  R M .
Вектор чистых выпусков ztm ограничен наличием основных и оборотных фон-
дов. Оборотные фонды естественно сопоставляются с текущими запасами Qtm , а
основные фонды образуются за счет предшествующих затрат ktm . Как именно они
образуются, конкретизировать не будем, а просто запишем ограничения на выпуск
в зависимости от предыстории затрат, в том числе затрат, сделанных до начала
равновесной траектории:
Gtm (kT , Qtm , ztm )  0 ,
kT  kt
t T
t 
T  ..., 1, 0, 1,...,T .
,
(4.30)
Будем считать, что в список технологических ограничений Gtm включено и
ограничение неотрицательности запаса. Предполагается, что
Gtm
( k , Q, z )  0
ks T
Gt (kT , Q, z) – гладкие, вогнутые;
m
Gtm
( k , Q, z )  0 ,
kT T
Gtm
(k , Q, z )  0 ,
Q T
при
st;
Gtm
( k , Q, z )  0 .
z T
(4.31)
(4.32)
Равенство в (4.31) означает, что будущие капитальные затраты не ограничивают
текущих выпусков, первые два неравенства в (4.32) – что увеличение основных и
оборотных фондов не уменьшает возможностей производства. Последнее неравенство в (4.32) означает, что производство ограничивается величиной фондов.
Итак, окончательно: yTm  Y m тогда и только тогда, когда найдутся последовательности kTm , QTm , zTm , удовлетворяющие вместе с yTm соотношениям (4.29), (4.30)
при t T , заданных начальных запасах Q0m и заданной предыстории капиталовложений ktm
t 0
t 
. Предполагается, что
Неравенства (4.30) на kTm , QTm , zTm удовлетворяют условию Слейтера. (4.33)
Как обеспечить продуктивность (2.12) системы множеств Y m , заданных условиями (4.29), (4.30), подробно обсуждается в [71].
69
4.4.2. Задача фирмы с учетом балансовых и технологических ограничений
Рассмотрим регулярное равновесие (3.41) в модели, в которой множества
Y , mP , заданы условиями (4.29), (4.30). Поскольку для этих ограничений выполнено условие Слейтера, по необходимым условиям теоремы Куна-Таккера,
ограничения (4.29), (4.30) можно учесть, введя двойственные переменные qTm к
ограничениям материального баланса (4.29), gTm  0 к технологическим ограничеm
ниям (4.30) и Tm ,  m к ограничениям финансового баланса и кредитоспособности
(3.38). Тогда задача (3.43) фирмы mP представляется в виде
yTm , QTm , kTm , zTm ,  Tm , m  Argmax
  ,
m
yTm ,QTm ,kTm ,
zTm ,Tm ,m 0
(4.34)


 m  m  0m   tm t  tm1  pt ytm   t m tm1  m  tm    tm   mTm 
tT
  qtm  Qtm1  Qtm  ytm  ktm  ztm    gtmGtm (kT , Qtm , ztm ) 
tT
tT
T 1
 m  0m     tm  m  tm  t 1tm1  tm     tm pt  qtm  ytm   qtm  ztm  ktm   , (4.35)
   
m
m
T
t 1

m
T
   
m
T
m
m
T
m
1

tT
 
m
0
m
0
tT

T 1
 q1mQ0m  qTmQTm     qtm  qtm1  Qtm   gtmGtm (kTm , Qtm , ztm )
t 1
tT
и выполняются условия дополняющей нежесткости
m  0 ,  Tm  0 , m Tm  0 ;
g  0 , G (k , Q , z )  0 ,
m
t
m
t
m
T
m
t
m
t
g G (k , Q , z )  0 .
m
t
m
t
m
T
m
t
m
t
(4.36)
(4.37)
Вследствие (4.31) функция  m является гладкой и вогнутой функцией от
управлений фирмы, поэтому (4.34) эквивалентно условиям
 m
 m
 m
 m
 m
 m
0,
0,
0,
0,
0.
0,

yT
QT
kT
zT
 T
(4.38)
Соотношения (4.36) - (4.38) вместе с уравнениями балансов
Qtm  Qtm1  ztm  kim  ytm ,
(4.39)
 tm  t  tm1  m  tm  t m  tm1  pt yt
(4.40)
представляют собой систему необходимых и достаточных условий для определения регулярного решения задачи фирмы mP , множество чистых продаж которой задано соотношениями (4.29), (4.30), удовлетворяющими (4.31) - (4.33).
70
4.4.2.1. Утверждение о положительности реального процента
Если множество чистых продаж хотя бы одной из фирм m описывается соотношениями (4.29) - (4.33), то в регулярном равновесии темп роста всех цен не
больше процента:
ptm1
m
(4.41)
pt 
0 .
t 1
Если сверх того хотя бы один из собственников n характеризуется однородной аддитивной полезностью (4.6), то равновесный процент выше темпа инфляции «с точки зрения» собственника  nT , определенного в (4.19):
t  tn .
(4.42)

 m
Доказательство. Условие оптимальности
 0 в силу (4.35) означает, что
QT
Gtm m m m
0   q  q   g
(kT , Qt , zt ) для всех t T , откуда 0  qtm  qtm1 в силу (4.32),
Q
 m
(4.37). Подставляя в это неравенство выражение для qtm из условия
 0 , коyT
m
t
m
t 1
m
t
торое имеет вид tm pt  qtm , получаем tm pt  tm1 pt 1 . Но tm  t 1tm1 для всех t T в
 m
 0 , откуда и получается неравенство (4.41). Неравенство (4.42)
 T
получается применением к обеим частям векторного неравенства (4.41) монотонной однородной функции (4.9).

Если перейти обратно от номинальных цен pT к двойственным оценкам pT
(3.34), то неравенство (4.41) будет выражать неоднократно упоминавшийся выше
факт падения двойственных оценок со временем.
Разница между процентом по кредитам или депозитам и темпом инфляции
принято называть реальным процентом. В рамках рассматриваемой модели
единый скалярный темп инфляции (средний темп роста всех цен) однозначно
определить нельзя, но соотношение (4.41) показывает, что при любом разумном
определении темпа инфляции реальный процент в идеальном равновесии оказывается неотрицательным. Поэтому западных экономистов, привыкших опираться
на свойства идеального равновесия, изумлял тот факт, что в России в 19921995гг. реальный процент был устойчиво и сильно отрицательным. В [67:стр. 367]
представлена модель (неидеального) межвременного равновесия с транзакционными издержками и показано, что в таком равновесии в отсутствие инвестиций
реальный процент должен быть отрицательным.
силу условия
4.4.3. Капитал и баланс фирмы в однородной модели
Посмотрим, что получится, если считать функции, задающие технологические множества, линейно однородными16 (см. разд. 4.1), т.е.
mm
Условие (4.24) не делает множество чистых продаж Y конусом (однородным множеством). Но
если изменить все факторы производства, т.е. начальные запасы и прошлые инвестиции в  раз,
16
то допостимую траекторию
yT при условии (4.24) можно будет изменить в  раз.
71
Gtm ( kTm ,  Qtm ,  ztm )   Gtm (kTm , Qtm , ztm ) .
(4.43)
Оказывается, что в этом случае цену фирмы (4.24) удается выразить не через будущие продажи, а через прошлые капиталовложения.
4.4.3.1. Утверждение об интеграле оптимальной траектории в однородной
задаче фирмы
Если технологические ограничения (4.29), (4.30) фирмы mP удовлетворяют условиям (4.31) - (4.33), (4.43), то вдоль равновесной оптимальной траектории
(4.36) - (4.40) выполняется равенство
m  tm1   tm1  pt Qtm1 
 T grm Grm

(kT , Qrm , zrm )  ksm .
 m

s   r t t 1 k s

t 1
(4.44)

Утверждение доказывается приведенными в [71] преобразованиями условий
(4.36) - (4.40) с учетом (4.31). Соотношение (4.44) имеет глубокий и универсальный смысл. Условие (4.43) означает, что задача фирмы обладает масштабной
симметрией. Как известно, симметриям оптимизационных задач отвечают определенные интегралы полей экстремалей, и соотношение (4.44) представляет собой аналог такого интеграла. Это будет хорошо видно в части II, где мы рассмотрим этот вопрос в случае непрерывного времени и приведем соответствующие
доказательства. 
4.4.4. Фонды и амортизация
Сопоставляя соотношение (4.44) с балансом (4.23), учитывая (4.26), приходим к выводу, что в однородном случае цена фирмы (4.24) выражается в виде
tm  pt 1Qtm  tm ,
(4.45)
где
tm 
t
 btrm krm ,
r 
T
btr  
s r
g ms G ms
(k , Qsm , zsm ) .
tm kr T
(4.46)
В (4.45) цена фирмы выражается уже не через будущие доходы, как в
(4.24), а через прошлые вложения km,t  и имеющиеся запасы. Именно, в выражение цены фирмы входят балансовая стоимость оборотных фондов
pt 1Qtm и балансовая стоимость основных фондов  tm .
m
Запасы Qt оцениваются по цене, по которой их можно продать в следующем периоде, несмотря на то, что запасы могут сложным образом влиять на производственные возможности. Это происходит потому, что запасы ликвидны – их
можно сколь угодно быстро изменять за счет неограниченных потоков y tm . Если
бы мы наложили на покупки-продажи ограничения, оценка запасов в балансе была бы иной.
Капиталовложения km,t  неликвидны – их вообще нельзя изменить. Соответственно в балансе они оцениваются зависящими от цен, но не равными им, коэффициентами btrm .
В [71] показано, что btm,t  pt при r  t . Это позволяет получить из (4.46) обычное уравнение для балансовой стоимости основных фондов:
72
tm  tm1  pt ktm  tm ,
где tm 
t 1
 b
r 
m
t 1, r
(4.47)
 btm,r  krm  0 – амортизационные отчисления. Как показано
опять-таки в [71], амортизационные отчисления для равновесных капиталовложений положительны и не связаны с выбытием фондов.
4.4.5. Отчетный баланс фирмы
Подставляя выражение (4.45) в (4.28), получаем баланс фирмы в виде
pt 1Qtm  tm  tm   tm   tm .


(4.48)
Если оборотные фонды малы, и фирма имеет долги (  tm  0 ), то условие неотрицательности капитала (4.27) требует, чтобы долги были обеспечены балансовой стоимостью основных фондов:
tm   tm –

условие, ради которого и была изобретена балансовая стоимость.
Выразим теперь из баланса (4.48) прирост капитала:
tm  tm1   tm   tm1  pt 1Qtm  pt Qtm1  Btm  Btm1 .
Подставим в это соотношение выражения для  tm , Qtm ,  tm из балансов (4.39),
(4.40), (4.47). Тогда получится, что
tm  tm1   t  tm1  m Ktm  t m Ktm1  pt ytm    tm1 
  pt 1  pt  Qtm  pt  Qtm1  ztm  ktm  ytm   pt Qtm1   Btm1  pt ktm  Atm   Btm1
Вспоминая теперь, что ( t m  tm1  m  tm ) – это выплаченные фирмой дивиденды

mn
t
, окончательно получаем выражение прироста капитала как нераспреде-
nH
ленной балансовой прибыли с обычной бухгалтерской раскладкой балансовой
прибыли:
tm  tm1 
pt ztm
произведенная
добавленная
стоимость
  t  1  tm1   pt 1  pt  Qtm 
прибыль от
финансовых
операций
прибыль от
переоценки
запасов
tm
амортизация


nH
mn
t
(4.49)
распределенная
прибыль
валовая прибыль
балансовая прибыль
Это совпадение представляется нам очень важным. Процедуру составления
общепринятого бухгалтерского баланса можно представить как последовательность двух операций [72]. Первая состоит в простом суммировании (сальдировании) доходов и расходов по отдельным статьям (выручка, текущие затраты, капитальные затраты и т. п.). Вторая операция состоит в переоценке по определенным
правилам сумм по некоторым статьям. В результате этой операции в статье балансовой прибыли возникают слагаемые ни от кого не полученной прибыли от переоценки запасов и никому не заплаченных амортизационных отчислений.
73
Приведенные выше рассуждения, как нам кажется, вскрывают истинный
смысл этих формальных переоценок. По крайней мере в однородном случае, правильная переоценка фондов позволяет привести не очень актуальный баланс
прошлых доходов и расходов к «идеальному» балансу (4.28) ожидаемых доходов,
который, разумеется, представляет наибольший интерес. Существенно, что
именно положительность капитала с учетом переоценок, а не просто положительность текущей прибыли, является необходимым условием оптимального поведения фирмы.
Глава 5. Пример: однопродуктовая линейная модель
экономического роста
5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ
Поскольку капиталы, т.е. чистые активы агентов, к периоду T обращаются в
0, возникает вопрос о том, как приложить результаты исследования модели МРК к
описанию реальной экономики, в которой чистые активы демонстрируют систематический рост. Ответ тот же, что и для классической задачи об оптимальных сбережениях [51]. Надо принимать в расчет только начальный участок равновесной
траектории для достаточно большого T , а еще лучше – перейти к пределу при
T   . Проиллюстрируем возникающие при переходе к пределу явления на простейшем примере однопродуктовой модели с двумя агентами и линейной
производственной функцией.
Пусть в экономике производится единственный продукт, используемый как
для потребления, так и для накопления. Производство осуществляет единственная фирма, P  f , у которой есть единственный собственник, он же – единственный конечный потребитель, H  o .
Потребитель-собственник характеризуется сильно ненасыщаемой аддитивно-однородной функцией полезности вида (4.6) с постоянным коэффициентом
предпочтения времени. В случае одного продукта такая функция имеет вид17
o (cT )   1    C1 ,
t
 0,
 (0,1) .
(5.1)
tT
При единственном продукте индекс цен совпадает с ценой o ( pt )  pt , поэтому из
(4.18) получаем следующее соотношение для объема потребления cto в равновесии:
1
cto  1   pt 1  

 ,
cto1  t 1 pt 
cto  0 .
(5.2)
Для однозначного определения равновесной траектории потребления через
начальные условия и информационные переменные удобно использовать уравнение (4.5) и граничные условия для капитала собственника:
17
Приводимые ниже результаты фактически верны и для любой функции полезности «с постоян-
ным относительным отвращением к риску» (CRRA):
1   C
t
tT
1

 1 / 1   ,   0 , но при-
веденные выше доказательства относились только к непрерывным однородным функциям полезности.
74
to  t to1  pt cto ,
To  0 ,
0o  0o  o  0fo  0 .
(5.3)
Начальное условие  0o задано, если известно равновесное значение курса  o .
Возможности производителя описываются соотношениями
Qt f  0 , b ztf 
Qt f  Qt f1  ztf  kt f  ytf ,
t 1
k
r 
f
r
.
(5.4)
Здесь и далее в этом разделе все буквы обозначают скалярные величины. Параt 1
метр b – это фондоемкость, а mtf  b 1  kf – производственная мощность.

Для простоты считаем, что начальная мощность и начальные капиталовложения
положительны, а начальные запасы отсутствуют18:
0
0  m1f  b 1  krf , Q0f  0 ,
 0fo  0 .
r 
(5.5)
Величина начальных чистых сбережений  0f тоже считается заданной. Она может
быть как положительной, так и отрицательной, но все-таки не произвольной (см.
(3.55)).
Мы не накладываем условия неотрицательности на капитальные затраты kt f , считая, таким образом, что производственная мощность может быть без
потерь превращена обратно в тот продукт, за счет затрат которого она была создана. Сама мощность, однако, должна оставаться положительной:
t
t
r 
r 1
0  mtf1  b 1  krf  m1f  b 1  krf , t  1,..., T .
(5.6)
Таким образом, список технологических ограничений Gto в данной задаче состоит из двух неравенств в (5.4) и неравенства (5.6). Описанное технологическое
множество
 выпукло и замкнуто (см. (2.11)), поскольку описывается нестрогими линейными неравенствами,
 продуктивно (см. (2.12)), поскольку можно ничего не инвестировать и использовать начальную мощность: kt f  0 , ytf  ztf  m1f  0 ,
 ограничено сверху в смысле (2.13): даже если инвестировать по максимуму,


т.е. kt f  mtf , то мощность mtf не превзойдет величины b1 1  b   1 m1f .
t
5.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРОИЗВОДИТЕЛЯ
Обозначая двойственные переменные к неравенствам (5.4), (5.5) и (5.6) через tf , tf и tf , соответственно, и записывая функционал Лагранжа  f согласно
Можно считать, что наоборот, начальная мощность нулевая, а запасы положительны. При этом
выражение решения будет более громоздким. Но если вначале нет ни запасов, ни мощности, то
18
система непродуктивна (см. (2.12)). Кроме того, при  0  0 неоднозначно определяется курс  .
fo
75
f
(4.35), получаем из (4.36) - (4.40) необходимые и достаточные условия регулярной
оптимальности для задачи производителя в рассматриваемой модели19:
Qt f  Qt f1  ztf  kt f  ytf
при
t  1,..., T ;
(5.7)
 tf  t  tf1   f  tfo  t  f  tfo1  pt ytf
при
t  1,..., T ;
(5.8)
 0,  0;
f
f
T
(5.9)
  0 , Qt  0 ,  Qt  0
f
t
tf  0 ,
 tf  0 ,
f
f
t
k
r 
t

r 

 b ztf  0 , tf   krf  b ztf
 r 
t 1
t 1
f
r
krf  0 , tf
t
k
r 
t  1,..., T ;
при
f
f
r

0

0
 f
 0  t 1 tf1  tf  0
tf
при
t  1,..., T ;
(5.11)
при
t  1,..., T ;
(5.12)
 f  Tf  0 ;
(5.13)
при t  1,..., T  1 ,
 f
 0 с учетом (5.13) дает  0fo  Tf  Tfo  1f  0fo ;
f

 f
при t  1,..., T  1 ,
 0  tf  qtf  qtf1  0
Qt f
 f
 0  tf pt  qtf  0
yt
(5.14)
Tf  qTf  0 ;
при t  1,..., T ;
 f
 0   b tf  qtf  0 при t  1,..., T ;
zt
 f
0 
kt
T
T
r t 1
r t
 rf  rf  qtf  0
(5.10)
(5.15)
(5.16)
(5.17)
при t  1,..., T .
(5.18)
Кроме того, по определению регулярного равновесия, доходность t и единственная цена pt должны быть положительны, а тогда из закона Вальраса (3.49)
следует, что баланс (3.45) выполняется как равенство:
t  0 ,
pt  0 ,
ytf  cto  0
при
t  1,..., T .
(5.19)
Проанализируем условия (5.7) – (5.19).
 Из (5.13), (5.9) и t  0 следует, что tf  0 ;

из tf  0 , pt  0 и (5.16) следует, что qtf  0 ;

из qtf  0 и (5.17) следует, что tf  0 ;

из tf  0 ,  tf  0 в силу (5.12) и (5.18) следует, что qtf  qtf1 ;

из qtf  qtf1 и (5.15) следует, что tf  0 ;
Из неравенства tf  0 и условия дополняющей нежесткости (5.11) следует,
что в равновесии выпуск ztf равен мощности mtf . Из неравенства tf  0 и (5.10)
следует, что в равновесии производитель не создает запасов Qt f  0 , а тогда из
балансов (5.7), (5.19) и выражения (5.6) получается, что
Условия Слейтера (4.33) в данном случае проверять не нужно, поскольку задача производителя
линейна.
19
76
mtf  kt f  cto  0 ,
mtf1  mtf  kt f / b .
(5.20)
Из первого соотношения следует, что если mtf  0 , то kt f  0 , но тогда из второго
соотношения получится недопустимое неравенство mtf1  0 . Поэтому mtf должно
оставаться положительным вплоть до последнего периода. Учитывая условие дополняющей нежесткости (5.12), получаем
mtf 
r  t 1
k
r 
 tf  0 при t  1,..., T  1 .
0,
f
r
(5.21)
Из (5.17), (5.18), учитывая (5.21), получаем выражение для tf  0 и уравнение для
qtf  0 :
tf  qtf b , b qtf 
T
q
r t 1
f
r
 b Tf при t  1,..., T .
Из последнего уравнения следует, что величина, стоящая в его правой части,
удовлетворяет линейному однородному разностному уравнению первого порядка.
Поэтому последовательность qtf является геометрической прогрессией. Подставляя этот вид решения в уравнение, находим, что
 b 
qt   

 b 1
f
t T
f
T
.
(5.22)
Поскольку qtf  0 , Tf  0 , то из (5.12) при t  T получается граничное условие
для мощности
mTf 1 
T
k
r 
f
r
0.
(5.23)
Теперь из (5.16), (5.22) получаем
tf 
Tf  b 


pt  b  1 
t T
.
(5.24)
Поскольку в равновесии  Tfo  0 согласно (3.47), а  0fo  0 согласно (5.5), то из
(5.14) получаем начальное условие 1f  1 , и тогда из (5.24), (5.13)
T 1
 b 
f
f
  p1 
 ,   T / pT .
 b 1
Таким образом, все двойственные переменные определились, но из (5.13), (5.24)
получается еще одно соотношение
f
T
t 
tf1
p b1
 t
.
f
pt 1 b
t
(5.25)
Это соотношение не определяет прямые или двойственные переменные задачи
фирмы, а связывает ее параметры (информационные переменные). Его надо рассматривать как условие разрешимости задачи фирмы. Ситуация эта довольно
типична для линейных задач. Задача разрешима не при всех сочетаниях параметров, а при тех сочетаниях, при которых она разрешима, ее решение не един77
ственно. В данном случае неединственность проявилась в том, что мы смогли
определить прямые переменные kt f соотношениями (5.20), только используя баланс (5.19), который относится к равновесию в целом, но не к задаче производителя.
Осталось еще определить курс  f . Соотношение, определяющее курс, получается из «интегрального баланса» вида (3.51), который в свою очередь следует
из (5.8). С учетом (5.19) этот баланс при t  0 принимает вид
 f  0fo   0f =
t T
t
t 1
s 1
 pt cto  s  .
1
(5.26)
5.3. ОПИСАНИЕ РАВНОВЕСИЯ И ЕГО АСИМПТОТИКА ПРИ T  
1
 11 b  o
Из (5.2), (5.25) следует, что cto1  
 ct . Это соотношение вместе с
 1  
(5.23), (5.20) однозначно определяет равновесную траекторию реальных показателей:
mt  m
производства
f
f
1
 t ( 1
 ( 1
kt  m
и накопления
f
f
1
(  t t 
( t 1 )

c m
потребления
o
t
( T1t )
f
1

( T )
( t 1 )
 ( 1

( T )
)
,
(5.27)
)
( 1 ) b
 ( 1
( T1t )
( T )
,
(5.28)
)
( Tt )

( t 1 )
)b
(5.29)
)
продукта в рассматриваемой модельной экономической системе. Здесь
1
 1 1 b 

 ,
 1  

1
1
11 b
1
 1     1  1 b   .

(5.30)
Поскольку равновесие эффективно, траектория (5.27) - (5.29) совпадает с известным решением в линейном случае задачи Рамсея – задачи об оптимальном
планировании производства в интересах потребителя [17].
Последовательность капиталовложений  tfo  0 при t  1,..., T  1 в равновесии
может быть задана произвольно, но  Tfo  0 согласно (3.47). Цены pt  0 тоже могут быть заданы произвольно, но начальные значения  0fo  0,  0f должны быть
согласованы с ценами так, чтобы при (5.28), (5.25) из (5.26) получалась положительная величина курса  f .
Характер равновесных траекторий (5.27) - (5.29) определяется двумя показателями (5.30), составленными из трех постоянных параметров модели, введенными в (5.1), (5.4):
78
 Фондоемкости b  0 , показывающей эффективность реальных инвестиций в
основные производственные фонды kt f – чем меньше b , тем эффективнее инвестиции.
 Предпочтения времени потребителя   0 , соизмеряющего текущее и будущее потребление – чем больше  , тем меньше потребитель думает о будущем.
 Отвращения к риску   0 , характеризующего отношение потребителя к колебаниям уровня потребления. При малых  потребителя заботит только среднее
по времени значение приведенного потока потребления cto  1    , а при  близt
ких к 1 важнее становится минимальное по времени значение величины
t
cto  1    .
Выясним асимптотику решения (5.27) - (5.29) на конечном интервале изменения t при росте горизонта планирования T .
При   1 получается сбалансированный рост (спад):
mtf  m1f
1 t
 ,

1
cto  m1f    1 t , kt f  m1f b(1  )  t ,

при
T .
(5.31)
При   1 получается рост с отложенным потреблением:
mtf  m1f 1  1/ b  ,
t
cto  0 ,
kt f  m1f 1  1/ b 
t 1
 mtf1 при T   ,   1 .
(5.32)
Если эффективность инвестиций невысокая, а потребитель не слишком беспокоится о будущем, т.е.  b  1 , то возможен только случай (5.31), причем с   1 .
В этом случае равновесная траектория описывает «проедание» начальных производственных фондов m1f , и ее вид качественно не меняется при T   . (Сходимость в (5.31) равномерная.) При всех t инвестиции kt f отрицательны и мощности
mtf падают.
Если же  b  1 , то при 1/ b    (1  1/ b)1  1 асимптотикой равновесной траектории будет (5.31) с   1 , а при еще меньших  реализуется асимптотика20 (5.32).
В этих случаях предельное поведение равновесной траектории не похоже на поведение при конечных значениях T (неравномерная сходимость). Как происходит
в этом случае предельный переход, показано на приводимых ниже графиках.
Рис. 5.3.1 – 5.3.3 относятся к случаю сбалансированного роста
( b  1,   .5,   .5 ). Тонкие линии изображают равновесные траектории, соответственно, мощности, потребления и инвестиций при T  3, 6 , 8 ; толстая прерывистая линия – асимптотику (5.31). Для наглядности траектории изображены при
всех, а не только при целых значениях времени t .
20
Напомним, что мы рассматриваем только случай
  0,1 . Для функции полезности CRRA с
  1 асимптотики с отложенным потреблением не бывает.
79
Рис. 5.3.1
Рис. 5.3.2
Рис. 5.3.3
Рис. 5.3.4 – 5.3.6 относятся к случаю роста с отложенным потреблением
( b  1,   .5,   .1 ). Тонкие линии изображают равновесные траектории, соответственно, мощности, потребления и инвестиций при T  3, 4, 6 ; толстая прерывистая линия – асимптотику (5.32).
Рис. 5.3.4
Рис. 5.3.5
Рис. 5.3.6
Рис. 5.3.5 хорошо показывает, что такое нулевое потребление в режиме роста с
отложенным потреблением (5.32). Это потребление растет очень быстро, но со
столь малой величины, что его доля в производстве становится заметной только
через очень большое время. Например, можно сравнить долю потребления в
объеме производства в точке t  2 (отношение c(2) m(2) ) на парах графиков 5.3.1,
5.3.2 и 5.3.4, 5.3.5.
Рис. 5.3.1 – 5.3.6 дают ответ на поставленный вначале вопрос о том, как
применять концепцию равновесия для описания экономического роста. В качестве
описания роста надо брать начальный участок равновесной траектории при достаточно большом T . Участок спада перед T смысла, видимо, не имеет – он возникает из-за того, что мы в модели равновесия искусственно устраиваем «конец
света» в определенный момент T . Эти соображения мы используем в конце части
III, чтобы модифицировать граничные условия в модели равновесия.
Резюме части I: Модель конкурентного межвременного
равновесия с капиталом
1. Построена динамическая модель конкурентного равновесия: модель
межвременного равновесия с капиталом (МРК) (разд. 3.4). Модель описывает развитие экономики на языке величин близких к тем, которые используются в статистике и в моделях системного анализа развивающейся экономики.
80
2.
3.
4.
5.
6.
1.1. В модельных условиях точного прогноза обращение обслуживается идеальными деньгами: взаимными обязательствами агентов, а доходы собственников
определяются
идеальными
капиталовложениями
(разд. 3.3.3).
1.2. Эта модель динамическая в том смысле, что конец равновесной траектории
является равновесием в модели, описывающей возможности агентов,
оставшиеся после реализации начала траектории (разд. 3.5.3).
1.3. Динамика эта необратимая – не все равновесия для конечных возможностей являются продолжением равновесий на всем интервале времени.
Равновесия в построенной модели существуют, эффективны и исчерпывают
все множество сильно эффективных траекторий (разд. 3.5.2). Равновесия допускают функционирование убыточных фирм, в частности фирм с постоянными издержками (разд. 3.5.4).
Равновесия в модели существенно не единственны. Поскольку в условиях совершенной конкуренции доходности всех активов у всех агентов одинаковы,
им безразлично, куда вкладывать средства (разд. 3.2.2). Мы рассматриваем
эту неединственность как прообраз, базу для описания механизма движения
капитала в моделях, где доходность активов может быть разной. Построенная
модель содержит также прообраз банков как фирм без производства
(разд. 3.5.3).
На равновесной траектории возникает естественный показатель состояния
агента – капитал (разд. 4.2.1, 4.3). Капитал агента неотрицателен и в конце
обращается в нуль, он растет за счет доходности и убывает за счет «полезных
расходов агента»: дивидендов для фирмы и потребительских расходов собственника. В финансовом балансе капитал занимает позицию собственных
средств агента. Хотя капитал в модели определяется как дисконтированная
сумма будущих полезных расходов, в однородном случае капитал фирмы
удается представить как нераспределенную прибыль, если правильно переоценивать основные и оборотные фонды.
В конкурентном равновесии совпадают между собой все три используемые
на практике оценки цены фирмы: стоимость чистых активов, капитализация и ожидаемая дисконтированная прибыль.
В однородном случае задачи всех агентов приводятся к одной форме: агент
максимизирует свою капитализацию при заданной извне временной пропорции полезных расходов. Для собственника эта пропорция определяется рынком с учетом индивидуальных различий в потребительских предпочтениях.
Для фирмы («собственности») эта пропорция в явном виде задается собственником.
81
ЧАСТЬ II.
Описание рационального поведения экономического
агента
Глава 6. Структура моделей равновесия: агенты и
взаимодействия
6.1. ИНДУКТИВНОЕ ОБОБЩЕНИЕ МОДЕЛИ КОНКУРЕНТНОГО РАВНОВЕСИЯ
Можно ли использовать результаты части I для моделирования существующих экономических систем? Непосредственно, конечно, нельзя. Хотя описание
реального сектора в модели МРК достаточно общее, чтобы включить все используемые на практике модели, но финансовый сектор оказывается описанным
слишком идеализировано. Финансовый инструмент один – чистые сбережения, а
все активы имеют одинаковую доходность и, самое главное, эти инструменты могут обслуживать движение благ множеством эквивалентных способов. Видится
два подхода к превращению модели МРК в более реалистичные описания.
Первый подход, традиционно применяемый к модели Эрроу-Дебре уже около
40 лет, состоит во введении в модель равновесия неких случайных факторов. В
этой ситуации агенты знают будущую траекторию информационных переменных
не точно, а только с некоторой вероятностью21. В задачах агентов возникает фактор риска, и у агентов, можно сказать, «появляется потребность» в различных финансовых инструментах, связанных с будущими потоками благ [4:V.2,Chap.20].
Однако, насколько нам известно, на этом пути пока не удалось создать реалистичные модели экономики. Удалось только построить модели для обсуждения
некоторых теоретических вопросов [1]. Представляется, что дело не только в технических трудностях (в стохастических динамических моделях рациональных
ожиданий математические конструкции бывают головоломно сложными [6]). Дело
в том, что в макромоделях мы имеем дело с макроагентами, а вопрос о том, как
проявляется риск на макроуровне, остается очень темным. Нам кажется, что во
многих случаях риск должен усредняться и проявляться на макроуровне в форме
неких детерминированных правил резервирования. Это дает второй подход развития моделей идеального рынка. Этот путь напоминает тот, по которому идет современная термодинамика, использующая немногие точные результаты статистической механики как феноменологические схемы, применяя их гораздо более широко [85].
Мы будем применять принцип рациональных ожиданий в простейшей детерминированной форме как феноменологический принцип описания формирования самосогласованных прогнозов рационально действующих (макро)
агентов. Условия неполного доверия и незнания, в которых в реальности действуют агенты, попробуем учесть разделением функций агентов, увеличением
числа финансовых инструментов и наложением ограничений, связывающих использование этих инструментов. Разделение функций и ограничения будем черпать просто из наблюдений экономической реальности.
Конечно, хотелось бы пройти этот путь последовательно, накладывая дополнительные ограничения одно за другим и получая, как хочется надеяться, все более реалистичные модели. Такая работа ведется, но она еще далека от завершения. Поэтому, разрабатывая модель, представленную в последней части книги,
мы просто пытались угадать, какие ограничения ввести, чтобы получить реалистичные модели. Основой для таких индуктивных обобщения служат результаты
анализа общей структуры модели конкурентного равновесия.
21
Для модели МРК мы тоже начали такую работу.
82
6.2. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ АГЕНТЫ И ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В МОДЕЛИ МРК
6.2.1. Функции спроса и предложения
В модели равновесия четко выделяются блоки, описывающие поведение
агентов (блоки ЭА): (3.42), (3.43) и менее отчетливо блоки, описывающие взаимодействие агентов (блоки ВД): (3.44), (3.45). Начнем с блоков ЭА.
Поведение агента описывается как решение оптимизационной задачи, определяющей планируемые переменные агентов ( yTm ,  Tm , m – для фирмы mP и
cTn ,  Tn , K Tnm – для собственника n H ) в зависимости от значений информацион-
ных переменных ( pT , T , K TH m – для фирмы mP и pT , T , P – для собственника
n H ). С экономической точки зрения эти решения представляют собой функции
спроса или предложения агентов, условные планы типа «Я продам или куплю
столько-то, если цены будут такими-то».
Например, в однопродуктовой модели, рассмотренной в гл. 4, для оптимальной величины потребления из (5.2), (5.3) получается выражение
T 1
 T
 
c  ct  pT , T ,       p j  s 
 j 1 s  j s 
o
t
1
o
t
f
1
 1   pc 1  
, s  
 .
 s 1 ps 
В той же модели функция предложения продукта производителем определяется соотношением (5.16). Действительно, если мы обратимся к задаче максимизации функционала Лагранжа производителя, то увидим, что условие (5.16) возникает как условие разрешимости задачи оптимизации

f
t
pt  qtf  yt  max ,
yt
которая должна определять величину чистых продаж продукта ytf . Формально
решение этой задачи можно записать вырожденной или, как говорят экономисты,
бесконечно эластичной функцией предложения
f
 ,
если pt  qtf t ,

f

ytf  yt ( pt )   любое, если pt  qtf t ,

f
если pt  qtf t .
 ,
(6.1)
Отрицательное предложение означает, что производитель при низких ценах захочет покупать, а не продавать продукт. Как мы видели в гл. 4, вырожденность этой
функции не мешает однозначно определить равновесную траекторию.
6.2.2. Описание взаимодействия агентов в МРК
Согласование решений (планов) агентов – главная концептуальная трудность описания экономики как системы принятия решений. Возьмем типичное
взаимодействие агентов в операции купли-продажи товара. Кто определяет объем покупки и величину платежа, т.е. чей план – покупателя или продавца – реализуется? Окончательное решение определяется в процессе торга, но как описать
его в модели принятия решения?
Казалось бы на эти вопросы должна отвечать теория игр, которая и создавалась Дж. фон Нейманом в расчете получить базовое микроописание экономических процессов [58]. В современной экономической теории широко применяются
83
язык и методы теории игр [51, 4:V1,Chap 7.], но при создании макромоделей экономики теория игр помогает мало.
Теория игр, если и дает определенный ответ об исходе конфликта, то обуславливает его весьма жесткими предположениями об информированности
участников [24]. Но в макромодели агент – это не субъект. Описание его выбора –
это модель результата конкуренции, кооперации и подражания множества субъектов, исполняющих сходные роли в экономике. Рассуждения о строгих условиях
информированности макроагента представляются сильным преувеличением. Более того, мы полагаем, что реальный субъект экономики сталкивается не только
и, может быть, не столько с недостатком, сколько с избытком потенциально полезной и доступной информации, но он просто не в силах ее переработать.
Нам кажется, именно поэтому экономисты предпочитают говорить о «невидимой руке», которая согласует спрос и предложение, одновременно формируя
где-то «между агентами» общедоступную информацию об агрегированных показателях экономической конъюнктуры: уровнях цен, доходностях и т. п., определяющих предложение и спрос на рынках.
Такого рода представления формализуется условиями равновесия (3.44).
Оказывается, что это описание в модели МРК можно детализировать. Показано
[71:стр. 73], что применив теорему о седловой точке для определения двойственных переменных расширенной эффективной траектории, из условия (3.44) можно
получить «явные» выражения для равновесного процента

t [ m]  Regmax    ta1 [ m]  ta [ m]   s  1  ta1 [ m]
t  0 aH  P





(6.2)
и равновесных цен
 
 
pt [ m]  Regmax  p   ctn [ m]   ytm [ m]   ,
pSt   nH
mP
 
(6.3)
причем последнее выражение не распадается на выражения для цен отдельных
продуктов только потому, что нормировка цен pt  St введена в модели МРК без
указания механизма ее реализации.
Так как задачи (6.2), (6.3) вырождены, то выражения для процента и цен
бесполезны для вычисления равновесия, но они важны для прояснения структуры
модели. Они показывают, что взаимодействия агентов можно «пометить» потоками продуктов и денег, которые агенты передают друг другу.
Соотношение (6.3) можно трактовать как блок взаимодействия  модели,
описывающий рынок продукта, на котором информационные переменные – цены продуктов pt – определяются в результате согласования планов
поставок
htm ,   ytm
и соответствующей выручки
H t ,m  pt ytm
(6.4)
H tn ,   pt ctn
(6.5)
производителей mP и планов
покупок
ht ,n  ctn
и сооответсующих платежей
потребителей n H .
84
Соотношение (6.2) естественно трактовать как блок ВД, описывающий рынок
кредитов  , где информационная переменная определяется в результате согласования планов
Sta ,   ta   ta1 ,
кредитования/заимствования
a P  H ,
(6.6)
и оплаты сопровождающих их финансовых услуг в форме
процентных платежей
Rta,   t  1 ta1 ,
a P  H .
(6.7)
Заметим теперь, что перечисленные выше потоки продуктов и денег не исчерпывают всех связей агентов в модели МРК. Остаются еще потоки дивидендов,
определяемые выражением (4.3), которое мы здесь повторим для удобства:
m
nm
 tmn  t m K tnm
1   K t ,
nP , mH .
(6.8)
Каждое их этих равенств можно интерпретировать как описание особого блока ВД,
который мы называем «управление капиталом фирмы m ».
Это взаимодействие описывает не отношения обмена, а отношения собственности, и устроено оно иначе, чем рынок. С ним связаны две информационные переменные: курс  m , который фирма сообщает собственнику, и программа
капиталовложений K Tnm , которую собственник сообщает фирме. Вероятно, опираясь на рассуждения в разд. 3.2.1, можно было бы эту передачу информации «материализовать» как перераспределение ценных бумаг, но мы этот вопрос не исследовали и соответствующее описание не используем.
6.2.3. Общая схема модели МРК
Проведенный анализ показывает, что модель МРК разбивается на
 P  H блоков ЭА, описывающих рациональное принятие решений фирмами
и собственниками относительно их планируемых переменных (в первую очередь,
потоков продуктов и денег);
 блока ВД «рынок продуктов», который определяет информационные переменные – цены продуктов pT – из условий баланса потоков продуктов и сопровождающих их платежей (6.4), (6.5);
 блока ВД «рынок кредитов», который определяет информационную переменные – брутто-процент T – из условий баланса кредитов и их процентных платежей (6.6), (6.7);
 P  H блоков ВД «управление капиталом», описывающих передачу дивидендов (6.8) и связанную с ней передачу информации о курсах и капиталовложениях.
Схема модели МРК, рассмотренной в гл. 4, изображена на рис. 6.2.3.1. Может показаться, что мы придумали слишком много блоков ВД, но в части III, выяснится, что чем больше блоков ВД, тем легче организовать надежный автоматический контроль содержательной корректности модели.
85
ВД
Рынок продуктов
цена pT
, f
выручка H T
ЭA
f
 ,o
платежи H T
f ,
 ,o
продажи hT (предложение)
покупки hT (спрос)
ВД
Рынок кредитов
, f
кредиты S T
ЭA
o
брутто-процент
 ,o
сбережения S T
T
f ,
 ,o
проценты RT
проценты RT
ВД
Управление капиталом
дивиденды  T
f ,o
курс 
f
fo
вложения K T
финансовые потоки
материальные потоки
информация
Рис. 6.2.3.1
Заметим, что описанная конструкция модели экономического равновесия как
совокупности локальных оптимизационных задач, решения которых согласовываются благодаря подходящему выбору информационных переменных, – главный и,
по существу, единственный вклад математической экономики в общую «копилку»
математических моделей. К рассмотрению этой конструкции в целом мы вернемся
в части III, а сейчас сосредоточимся на обобщении описания рационального поведения отдельного экономического агента.
Глава 7.
Общая задача агента
7.1. ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ АГЕНТА В ОДНОРОДНОЙ РЕГУЛЯРНОЙ МОДЕЛИ
МЕЖВРЕМЕННОГО РАВНОВЕСИЯ С КАПИТАЛОМ
7.1.1. Постановка вопроса
Как было показано в разд. 3.1.2, и задача фирмы, и задача собственника в
однородной регулярной модели межвременного равновесия с капиталом сводятся к отысканию регулярного решения следующей дискретной задачи оптимального управления:
 Максимизировать
 капитализацию (линейный функционал)
 по
 экстенсивным переменным (потокам и запасам продуктов и денег),
 постоянному курсу капитала
 при заданных
 информационных интенсивных переменных (ценах, процентах, курсах),
 начальных запасах,
 программе относительных изменений капитала во времени
 при ограничениях (выпуклых, линейно-однородных)
86



финансового баланса (динамическое),
кредитоспособности (терминальное),
технологии (могут включать динамические ограничения материального баланса (4.29) и статические бюджетные ограничения (4.8)).
Капитализация a  0a – это курс  a , умноженный на номинальные обяза-
тельства агента  0a . Ее оптимальное значение – это начальное значение капитала
агента  0a . Капитал (собственный, в составе пассивов агента) – это «хорошие»
обязательства агента, т.е. обязательства, выплаты по которым агент стремится
максимизировать. Остальные обязательства (например, долги  tm  ) – это «пло
хие» обязательства. Выплаты по ним мешают агенту достигать своей цели, так
что выплаты по «плохим» обязательствам агенту выгодно уменьшать. Капитал
фирмы – это ее обязательства обеспечить доходы собственникам.
Собственники и задают программу (временные пропорции) получения дохоnm
дов от фирмы tnm . Действительно, если ввести обозначение tm n   tnm
, то
1  t  t
для дивидендов, которые фирма mP выплачивает собственнику n H в период
t T из (4.3) получится выражение
 tnm   t .
(7.1)
Финансовый баланс фирмы mP (3.38) примет вид
tm  t tm1   m tm n  pt ytm ,
(7.2)
nH
а финансовый баланс собственника (3.37) распадется на уравнение динамики денежных сбережений
tn  t tn1   m tm n  pt ctn
mP
и уравнения динамики накопленных вложений собственника в капиталы фирм  tnm
mn
 tnm  t  tnm
1  t 1 ,
 tnm  0
(7.3)
В соотношениях (7.1) - (7.3) программы получения доходов tnm – это управления
собственников n H , а постоянные  m – управления фирм mP .
Капитал собственника – это его обязательства обеспечить себе или потомкам будущие расходы на потребление. Программа относительного изменения потребительских расходов со временем определяется ожидаемой конъюнктурой
рынка и индивидуальными вкусами собственника.
Капитал у агента должен быть неотрицательным на всем периоде планирования. В модели выплаты по капиталу собственника строго положительны, потому
что это его потребительские расходы. Выплаты по капиталу фирмы могут быть и
отрицательными, потому что фирма может привлекать капитал.
7.1.2. Направления обобщения задачи агента
Теперь хочется выделить класс задач оптимизации, который содержит задачи агентов в конкурентном равновесии и в то же время является достаточно широким, чтобы описывать специфические ситуации в реальной экономике. Разумеется, подобное обобщение – это чисто индуктивная процедура. Она отражает
87
компромисс между стремлением охватить широкий круг вопросов, исследовавшихся в рамках системного анализа развивающейся экономики, и стремлением
максимально стандартизировать задачу и сделать ее «решаемой». В результате
проб и ошибок мы пришли к следующим выводам относительно того, какие свойства задачи разд. 7.1.1 стоит сохранить, а какими можно и нужно пожертвовать
при обобщении.
 Имеет смысл перейти от дискретного к непрерывному времени. Оптимизационные задачи в дискретном времени корректны, но не упрощаются аналитически. К тому же модели САРЭ написаны в непрерывном времени.
Вопрос о том, в каком времени надо описывать экономику – в дискретном
или непрерывном – когда-то активно дискутировался, но сейчас уже не ставится.
Стало ясно, что оба варианта являются довольно грубыми приближениями к реальности. Дискретные описания легче сопоставлять со статистическими данными,
но они плохо отражают содержательный смысл экономических показателей: потоки легко спутать с запасами, постоянные времени с долями, а величины, точно
известные агенту в момент принятия решения, с прогнозами агента на конец рассматриваемого дискретного периода. Непрерывные описания четко отражают указанные выше различия формальными признаками модельных величин, но дают
агенту излишнюю свободу действий, из-за чего, например, в непрерывной модели
часто оказываются ненужными реально наблюдаемые запасы. Лучше всего, по
нашему мнению, описывать экономические процессы случайной последовательностью дискретных операций [70], но это описание в большинстве случаев слишком сложно.
 Можно обойтись конечномерными одномоментными ограничениями.
Мы считаем, что возможности агента можно описать конечным числом ограничений (равенств и неравенств) на управления агента и их производные, которые
должны выполняться почти всегда, и терминальным ограничением, которое обсудим далее. Грубо говоря, в общую задачу агента мы вводим непрерывные аналоги балансовых и технологических ограничений, рассмотренных в разд. 4.4.
Неодномоментные ограничения, например интегральные, в моделях САРЭ не
встречались. Встречались, правда, уравнения с переменным запаздыванием [66],
но в контексте межвременных равновесий мы их пока обсуждать не рискуем.
 Описание поведения агента задачей максимизации капитализации сохраняем только для агентов-фирм. Это позволяет описать их взаимодействие с
собственниками по той же схеме (7.2)-(7.3), что и в идеальном равновесии. Соответственно задачу максимизации капитализации фирмой мы ставим сразу как задачу максимизации потока дивидендов в заданной собственником временной
пропорции  .
Для агентов, не находящихся в чей-либо собственности, используется традиционное описание с помощью функционалов ожидаемой полезности. Это оказывается более удобным даже в тех случаях, когда, как в разд. 4.2.2, функционал
ожидаемой полезности можно свести к функционалу капитализации.
 Следует отбросить предположение об абсолютной ликвидности финансовых инструментов. В модели идеального равновесия все денежные операции проводятся с помощью одного финансового инструмента  ta с доходностью
t . Этот инструмент абсолютно ликвиден в том смысле, что никаких одномоментных ограничений на величину запаса  ta нет. При описании реальных ситуаций,
когда мы пытаемся описать технологию денежного обращения ограничениями
ликвидности, а риски – ограничениями резервирования, появляется много финансовых требований и обязательств, ликвидность которых оказывается ограниченной.
88
Чтобы сохранить аналогию с моделью идеального равновесия, предполагаем, что среди всех расходов агента есть единственный вид расходов, который он
стремится увеличить. Для фирм такими потоками полезных расходов, служат
упомянутые выше дивиденды, а для агентов-потребителей – потоки потребительских расходов. Тогда среди финансовых инструментов, которыми оперирует
агент, выделяются основные деньги. Это тот единственный инструмент, которым оплачиваются полезные расходы агента. Предполагается, что этот инструмент является финансовым активом, и его остаток должен оставаться неотрицательным.
 Необходимо обобщить терминальное ограничение кредитоспособности. При анализе равновесия в разд. 3.1.5 исходное бюджетное ограничение (2.6)
превратилось в одно терминальное ограничение кредитоспособности Tn  0 . А
что будет, если активов много? Ответ не очень ясен. Кроме того, надо помнить,
что в непрерывных задачах часто фазовое ограничение приходится учитывать и
как терминальное, чтобы двойственные переменные к фазовому ограничению
были функциями, а не мерами.
Мы поставили одно однородное ограничение на линейную комбинацию терминальных значений материальных активов и финансовых инструментов, включая основные деньги. Чтобы это ограничение напоминало ограничение кредитоспособности, положили единицей коэффициент при основных деньгах в этой линейной комбинации.
Заранее скажем, что мы не придавали большого значения выбору коэффициентов этой линейной комбинации и рассчитывали на то, что конкретные их значения либо будут несущественны при достаточно больших горизонтах планирования, либо они однозначно определятся через другие параметры требованием
разрешимости задачи агента и существования равновесия. Но надо признаться,
что до сих пор у нас нет полной ясности с терминальным условием. Разрабатывая
модель российской экономики, (она изложена в части IV) мы изменили его форму.
 Следует сохранить однородность задачи, но не полностью. В идеальном
межвременном равновесии при условии однородности задачи агентов становятся
единообразными. Кроме того, однородность гарантирует возможность сбалансированного роста, а если в модели нет сбалансированного роста, то нет и опорных
точек для исследования. Если модель в целом однородна, но в ней задачи агентов не однородны, потому что агенты ставят друг другу ограничения на экстенсивные переменные (квоты, лимиты и т. п.), то у модели сохраняется более слабое
свойство «аффинной» однородности (однородности с точностью до сдвига, см.
разд. 8.3).
 Полезно сохранить вогнутость задачи, потому что при этом упрощаются
расчеты и их можно автоматизировать. Заметим, что в вогнутой задаче ограничения-равенства, в том числе дифференциальные уравнения, могут быть
только линейными.
Выпуклая задача становится формально невыпуклой, если вместо исходных
экстенсивных управлений ввести их пропорции, т.е. уже интенсивные управления.
Что делать в этом случае, частично описано в [71, Дополнение к гл. 7]. В модели
экономики России, изложенной в части IV, нам придется допустить и не вогнутые
ограничения.
 Следует усилить регулярность решения, требуя существования «хороших» двойственных переменных ко всем ограничениям. В части I требование
регулярности решения было существенным элементом модели МРК. При обобщении мы усилили условие регулярности решения. Именно, в непрерывной задаче мы потребовали существования двойственных переменных – функций (а не
мер) ко всем ограничениям.
89
Мы не требовали положительности всех двойственных переменных к неравенствам (активности всех неравенств), иначе было бы невозможно описать различные режимы. Требование положительности двойственной переменной оказалось существенным только для терминального ограничения.
7.1.3. Система обозначений
Задача агента формулируется в непрерывном времени периода планирования t t0 , T  . Поскольку речь в этой части книги пойдет только об одном агенте,
используется иная, чем в части I, система обозначений:
 Простые греческие и латинские буквы обозначают скаляры.
 Полужирные латинские и греческие буквы обозначают векторы и матрицы
различных размерностей. Произведение последних – это матричное произведение. Согласование размерностей, в том числе векторов-строк и векторовстолбцов, обеспечивается порядком их вхождений в соотношения. Размерность
вектора v обозначается dim  v  .
 Нижний правый индекс обозначает компоненту вектора. Используются векторные индексы, выделяющие группу компонент вектора. Если, например, x и p
– векторы одной размерности, и в составе x выделена группа компонент y , т.е.
x  ..., y,... , то p y обозначает соответствующую группу компонент вектора p .
Аналогично обозначаются подматрицы, отвечающие группам компонент.
 Верхний индекс обозначает принадлежность агенту. В этой части рассматривается модель одного агента, и величины с индексом агента соответствуют его
планируемым переменным. При решении оптимизационных задач мы не отделяем управления от фазовых переменных, считая дифференциальные уравнения
ограничениями-равенствами. Двойственные переменные, соответствующие
ограничениям задачи, тоже помечаем индексом агента.
 Величины без индекса – это параметры или информационные переменные. Те
и другие считаются заданными при решении задачи.
 Величины с чертой сверху считаются постоянными по времени. Все остальные величины (управления, параметры, двойственные переменные), вообще говоря, являются функциями времени. Производная по времени обозначается
точкой.
7.1.4. Математическая постановка общей задачи агента
Обобщая задачу разд. 7.1.1 в направлениях, указанных в разд. 7.1.2, приходим к следующей постановке общей задачи агента:
 a K  max
при ограничениях
(7.4)
Aa  Aa  rx a  py a   a  ,
(7.5)
x  Rx  Py  A ,
g (t , x a , y a ,  a , Aa )  0 ,
(7.6)
(7.7)
Aa (T )  ax a (T )  0 ,
(7.8)
a
a
a
a
по  a  0 , абсолютно непрерывным Aa (t ), x a (t ) и измеримым y a (t ) и при заданных
начальных условиях A(t0 ), x(t0 ) . В выражениях (6.1)-(6.5) a ,   0 – заданные по-
стоянные, (t ) , α ( t ) , r (t ) , p(t ) , R(t ) , P (t ) ,   t   0 – заданные измеримые огра90
ниченные функции, g (t , , , , ) – заданная измеримая и ограниченная по t и при
каждом t  t0 , T  гладкая вогнутая по остальным аргументам функция.
В соответствии с требованиями разд. 7.1.2 из общего списка запасов агента
a
x выделены основные деньги, из запаса которых Aa выплачиваются полезные
расходы  a  (ср. с (7.2)). Программу   t  мы пока считаем положительной, а постоянная  введена пока чисто формально как множитель, обеспечивающий разумную размерность двойственных переменных. Аргументом функции g (t , , , , ) в
(7.7) мы считаем не курс  a , а поток  a  , поскольку ограничения содержат, как
правило, потоки (см. разд. 7.1.7). Заметим, что пока мы не требуем однородности
задачи агента.
Соотношения (7.5) - (7.7) представляют вогнутые одномоментные ограничения общего вида, в которых выделен скалярный поток полезных расходов. Формально для полной общности не хватает свободных членов в (7.5), (7.6) и членов,
пропорциональных  a  , в (7.6). В разд. 7.1.5 мы объясним, почему не имеет
смысла вводить их в модель, описывающую поведение агента.
Может вызвать удивление, что мы отбросили почти всю специфику задачи
агента в идеальном равновесии, но сохранили условие постоянства курса  a , хотя
естественный реальный аналог этой величины – курс акций фирмы – сильно колеблется во времени. Мы считаем, что в детерминированном межвременном равновесии, где «все всё точно знают», курс акций должен быть постоянным. С этим
согласовано и утверждение о преемственности равновесий 3.5.3.1. Представляется, что изменение курса можно описать только в стохастической модели, в которой текущий курс будет неким условным ожиданием, которое меняется в зависимости от реализации тех или иных сценариев развития случайного процесса.
Намек на такую возможность содержится в утверждении 3.5.3.1 о необратимости
равновесной динамики в детерминированном случае.
Подчеркнем, что функции r (t ) , p ( t ) , R(t ) , P ( t ) , (t ) , как и функция
g (t , , , , ) , могут быть разными у разных агентов a . Агенты отличаются один от
другого видом ограничений, но мы не отмечаем это различие обозначениями, поскольку пока рассматриваем одного агента. К тому же надо помнить, что часть заданных функций – это информационные переменные равновесия (цены, проценты), которые у всех агентов одинаковы.
7.1.5. Экономическая интерпретация общей задачи агента
Для приложений систему общего вида (7.5) - (7.8) надо конкретизировать,
придав определенный экономический смысл содержащимся в ней коэффициентам и переменным. Мы можем сделать это при следующих дополнительных предположениях относительно агента a .
I. Основные деньги Aa служат единственным средством платежей и расчетов агента a . Это предположение означает, что для данного агента в модели не
различаются наличные и безналичные деньги, исключаются бартер, платежи валютой и т.п.
II. Интересы агента a состоят в максимизации потока «полезных расходов», временная структура которого (t ) задана как информационная переменная. Это основное специфическое предположение данной работы. В части I
было показано, что к такому виду приводится задача о максимизации аддитивной
однородной полезности потребления (разд. 4.2.2) и задача о максимизации прибыли производителем (разд. 4.3).
91
III. Агент a представляет совокупность субъектов, производящих добавленную стоимость (производителей, торговых посредников, банков и т. п.). У агента
a , производящего добавленную стоимость, поток полезных расходов  a  – это
поток дивидендов (предпринимательской прибыли), извлекаемый из бизнеса, тогда как у агента, не производящего добавленную стоимость (домохозяйств, собственников, государства) – это поток потребительских расходов. Можно было бы
не делать этого предположения, но тогда наша интерпретация не была бы общепринятой, потому что у агентов, не создающих добавленной стоимости, не принято подсчитывать собственный капитал.
IV. Управлениями агента a служат экстенсивные переменные типа потоков
и запасов, а не интенсивные переменные типа цен. В экономической литературе такое описание агента a обозначается термином price taker, который, к сожалению, трудно перевести одним словом. Смысл его состоит в том, что агент не
считает возможным назначать цены (проценты, курсы и т. п.) на рынках или даже
влиять на их величину, а воспринимает рыночные цены как внешнюю данность.
Сразу заметим, что это необходимое, но еще не достаточное условие свободной
конкуренции на рынке. Остаются возможности описания транзакционных издержек, ограничений ликвидности, резервирования и неравновесных цен.
В современной экономической теории предположение о том, что субъекты
экономики принимают цены как данность, используется очень широко. Альтернативное предположение о возможности манипулировать ценами используется
только для локальных рассуждений о монопольных рынках. Даже в тех редких
случаях, когда экономическая система в целом описывается как иерархия монополий (например, российская экономика 1992-1993гг. в модели [67, стр. 181]), внизу этой иерархии оказывается большое число агентов, принимающих цены как
данность (см. разд. 13.3.2).
Пока, интерпретируя систему (7.5) - (7.8), будем опираться на примеры моделей, (в основном на модели МРК) и на методику бухгалтерского учета. Более
глубокое и систематическое обоснование нашей интерпретации вскроется в части
III.
Как показывает опыт, в моделях экономики дифференциальное уравнение
возникает в трех случаях:
1) как описание динамики запаса материального блага, например как непрерывный аналог материального баланса (4.29);
2) как описание динамики запаса финансового инструмента (денег, долгов, ценных бумаг и т. п.), например, как непрерывный аналог финансовых балансов
(3.37), (3.38);
3) как описание динамики инерционных факторов производства, простейшим
примером которого служит непрерывный аналог разностного уравнения (5.20)
для производственных мощностей mt ;
которые мы подробно рассмотрим по очереди.
7.1.5.1. Динамика материальных запасов и цены
Рассмотрим подмножество дифференциальных уравнений (7.6), описывающих динамику запасов материальных благ. В их левых частях стоят производные
(скорости изменения) запасов q a , которые составляют часть общего списка фазовых переменных: x a  q a ,... . В правой части дискретного аналога (4.29) такого
уравнения мы видим в алгебраическую сумму потоков, величина которых определяется агентом. В системе (7.5) - (7.8) такие управления агента включаются в список y a . Поэтому балансы, аналогичные (4.29), запишутся в виде
92
qa  Zq,y y a ,
(7.9)
где Zq, y – матрица, элементами которой могут быть только 0, 1 или -1, а векторные индексы указывают размерность этой матрицы.
При сделанных предположениях уравнения (7.9) можно считать общим видом уравнений динамики запасов. Потоки благ – это управления агента. По определению, запас равен накопленной алгебраической сумме потоков, поэтому в
правой части коэффициентами могут быть только 0, 1 или -1.
Вообще говоря, агент может управлять не всеми потоками данного блага.
Например, запас может портиться, что в линейном приближении описывается
слагаемыми вида M q a , где M – диагональная матрица коэффициентов выбытия. Однако естественно предположить, что если запас может исчезать, то его
можно выбрасывать и сознательно. Тогда в список y a можно ввести дополнительный набор управлений – «потоки выбытия» – v a , заменить ими члены M q a в
уравнениях для запасов, а в список ограничений (7.7) добавить неравенства
v a  M q a . Так же можно сделать управляемыми потоки поступлений ресурсов из
окружающей среды. Например, если у агента есть природный источник нефти,
можно считать, что он волен брать или не брать поступающую нефть. В части III
мы выясним, что такое упрощение уравнений за счет расширения набора управлений имеет глубокий смысл и оказывается полезным на практике. В конечном
счете, мы уберем нетривиальные коэффициенты даже из уравнения баланса денег (7.5).
Можно считать, что разные запасы списка q a отвечают разным материальным благам. Дело в том, что уравнения (7.9) должны отражать не только физическое движение продуктов и ресурсов, но и их учет. Если два запаса физически одного и того же продукта по-разному входят в ограничения, то для агента они будут
представлять разные материальные блага (например, картошка в городе и картошка в деревне для торговца овощами), и перенесение продукта из одного запаса в другой надо рассматривать как производственный процесс, возможно, требующий затрат. Раз все запасы относятся к разным благам, то каждый поток может
входить только в одно из уравнений (7.9). Иначе говоря, строки матицы Zq, y
дизъюнктны.
Интуитивно кажется очевидным, что произведенный продукт не может быть
одновременно и продан, и положен в запас, а проданный продукт не может быть
использован в производстве. Такое представление отражает свойство аддитивности благ. Если вдуматься, оно не всегда верно, тем не менее, на нем основан
учет благ (подробнее см. разд. 9.3.2). Поэтому можно считать, что после необходимой смены знаков список содержащихся в уравнениях (7.9) потоков распадается на непересекающиеся списки чистых выпусков z a , капитальных затрат k a и чистых продаж u a . Тогда окончательно
qa  Iq,z z a  Iq,k k a  I q,u ua .
(7.10)
Здесь и ниже I x, y при различных x, y – матрицы, состоящие из нулей и единиц
с дизъюнктными строками и размерностью, указанной индексами.
В отличие от баланса модели МРК (4.29) в общем случае (7.10) в уравнение
одного запаса может входить несколько потоков одного типа. Например, часто в
модели бывает нужно учесть, что агент может покупать продукт на одном рынке, а
продавать – на другом (по другой цене). Тогда в списке u a надо различать поток
93
продаж u ia и взятый с противоположным знаком поток покупок u aj , а ограничения
uia  0 , u aj  0 включать в список неравенств (7.7).
Продажи и покупки оплачиваются, поэтому потокам u a (и только им в списке
z a , k a , u a ) отвечают встречные потоки платежей (см. (6.4), (6.5)). Поскольку платежным средством служат исключительно деньги Aa , все эти платежи должны
включаться в уравнение (7.5). Таким образом, приходим к выводу что коэффициенты pu , отвечающие управлениям списка u a в (7.5), имеют смысл цен: цен
продажи, если uia  0 и цен покупки, если u aj  0 , а pz , pk  0 . Еще раз подчеркнем,
что в модели могут быть описаны несколько каналов получения и реализации
продукта. Этим каналам отвечают разные потоки из списка u a и, вообще говоря,
разные цены. 
7.1.5.2. Динамика финансовых инструментов: проценты, курсы, трансферты
Запасы или, как говорят финансисты, остатки финансовых инструментов
a
s образуют еще одну группу в списке фазовых переменных x a  q a , s a ... системы (7.5) - (7.8). К финансовым остаткам относится и остаток ликвидных активов
Aa . Уравнения изменения финансовых остатков s a записывать в простом виде,
подобном (7.9), даже более естественно, чем уравнения изменения материальных
запасов.
Реально остатки на каждый момент времени фиксируются в строках таблицы
бухгалтерского баланса агента – всего около 600 статей или счетов (accounts).
Счета подразделяются на активные (вложения, требования, assets) и пассивные
(ресурсы, обязательства, liabilities). Особую группу образуют пассивные счета
собственных средств (иначе, – счета прибылей и убытков или счета капитала), которые мы не относим к финансовым инструментам, но будем обсуждать в
разд. 8.1.2. Счета собственных средств замыкают балансовую таблицу так, что
сумма активов (валюта баланса) всегда оказывается равной сумме пассивов.
Это тождество сохраняется благодаря тому, что согласно общепринятым
правилам, установленным еще ломбардскими банкирами в XV в., все финансовые
операции, изменяющие остатки финансовых инструментов, оформляются операциями двойной проводки. Двойная проводка состоит из проводки по дебиту
(приходу) – увеличения какого-либо актива или уменьшения какого-либо пассива –
и проводки по кредиту (расходу) – уменьшения какого-то другого актива или
увеличения какого-то другого пассива на ту же самую величину.
Если проводка не затрагивает счета собственных средств, то ее, очевидно,
можно интерпретировать как обмен одного финансового инструмента на другой
Чаще всего обмен можно рассматривать как покупку (продажу), а один из обмениваемых инструментов – как платежное средство. Поскольку в наших предположениях Aa – единственное платежное средство, одна из частей двойной проводки
должна отражаться в изменении Aa , т.е. в уравнении (7.5), а вторая часть – в
уравнении для sia – остатка какого-то из инструментов i . Например, если sia –
объем выданных агентом a ссуд, то выдача новых кредитов будет уменьшать
остаток денег Aa и на ту же сумму увеличивать остаток sia , который, таким образом, можно трактовать как накопленную сумму принятых долговых расписок.
Может показаться, что это правило нарушается при получении кредитов.
Действительно, если s aj – объем полученных агентом a ссуд (выданных долговых
расписок), то при получении новых кредитов одновременно увеличиваются и Aa
94
s aj . Дело здесь в том, что выданные ссуды – это требования агента (актив), а полученные ссуды – это обязательства (пассив). Заметим, что требования агента a
являются обязательствами других агентов. В частности, ликвидный актив Aa – это
обязательства эмитента денег (см. 9.3.3).
В этой части книги будем считать, что все финансовые инструменты
представлены как активы, но те, которые соответствуют обязательствам
агента, принимают отрицательные значения. Тогда трактовка заимствования
как продажи укладывается в общую схему. Поскольку знаки потоков для нас несущественны, будем считать, что все финансовые операции описаны в терминах
чистых заимствований
s a   I s,w w a .
(7.11)
Потоки w a – это управления из списка y a , различные для разных инструментов и
отличные от материальных потоков z a , k a , ua , а строки матрицы I s,w дизъюнктны и
состоят из нулей и единиц. Правила финансовых операций, связанные, например,
со сроками кредита, считаем описанными как неравенства (7.7). В записи (7.11)
положительный поток w aj  0 описывает заимствование или изъятие сбережений,
а отрицательный – прирост сбережений или возврат ссуд. Такое описание аналогично описанию динамики материальных активов (7.10) и позволит нам объединить все активы в одну группу переменных.
В описанной выше операции кредитования обязательство приобретается по
своей номинальной стоимости, т.е. из остатка Aa вычитается та же величина w ia ,
которая прибавляется к sia , и следовательно, коэффициент при w ia в сумме p y a
из (7.5) оказывается равным 1. Реально обязательства других агентов часто приобретаются по курсу, отличному от номинальной стоимости22 (суммы долга). Поэтому в общем случае коэффициенты pw , отвечающие управлениям списка
w a в (7.5), имеют смысл курсов покупки чужих обязательств или курсов
размещения своих обязательств. Как и для материальных активов, одному инструменту может отвечать несколько потоков с разными курсами, например, облигацию часто размещают по курсу, а погашают по номиналу.
Всюду в этой книге мы считаем, что финансовые инструменты учитываются в балансах (7.11) по номиналу. В этом случае разница между курсовой и
номинальной стоимостью проводится отдельно по дебиту счета Aa как прибыль.
Проводка этой прибыли по кредиту изменяет пассивный счет собственных
средств (см. разд. 8.1.2 ниже).
Остатки финансовых инструментов отличаются от материальных запасов
тем, что сам факт наличия остатка может приносить доход или убыток в виде
процентных платежей. Естественно интерпретировать величины коэффициентов rs в (7.5) как нормы процентов. Эти коэффициенты должны быть неотрицательными, чтобы приносить доход по активам и расход по пассивам. Коэффициент  в (7.5) задает номинальную доходность (положительную или отрицательную) основных денег агента. Хотя базовое платежное средство в экономике обычно имеет нулевую номинальную доходность, и тому есть глубокие причины [27],
отдельный агент может вести расчеты доходным активом, например дебитной
Как именно учитывать финансовый инструмент – по номиналу или по текущей стоимости – опеделяется инструкциями Центрального банка. Учет по текущей стоимости подразумевает периодическую переоценку: остаток изменяется в соответствии с изменением курса, а разница записывается на счет собственных средств как прибыль/убыток от переоценки запасов (см. разд. 8.1.2).
22
95
картой. Член r x a   Aa в (7.5) отражает проводку прибыли по дебиту. Соответствующая проводка по кредиту снова относится на счет собственных средств.
В балансе основных денег (7.5) содержится и поток дивидендов  a  . В отличие от обсуждавшихся выше слагаемых, он связан не с отношениями обмена
(включая кредитование), а с отношениями собственности. Экономисты классифицируют поток  a  как трансферт, т.е. платеж или поступление, в обмен на который агент не передает и не получает никаких учитываемых ценностей. В модели
МРК иных трансфертов, кроме дивидендов (6.8), нет, но при более реалистичном
описании агента такие трансферты появляются. В первую очередь, это – налоги
и субсидии. На практике эти трансферты не являются планируемыми переменными агента. Размер субсидий агенту обычно просто сообщается, а сумма налогов выражается по определенным, чаще всего линейным, формулам через другие
планируемые переменные: потоки, запасы и остатки.
Однако в этой части книги нам удобнее рассматривать однородную по планируемым переменным систему уравнений (7.5), (7.6), а возможные неоднородности задачи агента собрать в неравенствах (7.7). В части III станет ясно, что в (7.5)
нежелательно подставлять даже линейные однородные выражения налогов, поскольку платежи и трансферты связаны с разными взаимодействиями агентов.
Кроме того, интерпретация коэффициентов как цен, курсов и процентов станет
неверной после подстановки в систему уравнений выражений для налогов.
По этим причинам мы будем считать, что агент может не брать субсидии и
платить налоги больше, чем следует. Снова расширим набор управлений y a ,
введя планируемые переменные для всех трансфертов t a , отличные от z a , k a , ua ,
и будем считать, что правила исчисления налогов и ограничения на величину субсидий записаны как неравенства в (7.7). Например, уплату налогов на дивиденды
по ставке n опишем трансфертом t n , удовлетворяющим неравенству
t na  n  a  .
(7.12)
Поскольку юридическое лицо чаще платит, нежели получает трансферты, а
знак потоков мы нигде не фиксируем, будем записывать все трансферты как выплаты, полагая в (7.5)
pt t a   t na .
n
7.1.5.3. Динамика инерционных факторов производства: внебалансовые
активы и внутренние потоки
Инерционные факторы производства m a мы будем называть внебалансовыми активами. Как уже говорилось, типичные внебалансовые активы m a – это
производственные мощности и другие конечномерные свертки предыстории капитальных затрат (см. (5.23)). Вообще говоря, любые операции агента, как производственные, так и финансовые, требуют затрат. Например, коэффициенты
Rm,s , αm могут выражать материальные издержки на хранение финансовых инструментов и денег (например, износ чемодана, в котором носят деньги), а
Pm,w , Pm,t – издержки на обмены и платежи (например, затраты труда на пересчет
денег). Как правило, в макромоделях экономики такие издержки не учитываются.
При необходимости их можно учесть в неравенствах, вводя новые потоки капитальных затрат, подобно тому, как были учтены в неравенствах трансферты
(см. (7.12)). Как будет видно ниже, требование малости, по крайней мере из96
держек αm , существенно для того, чтобы задача агента имела экономически
осмысленное решение.
Описание динамики внебалансовых активов может содержать управления
типа потоков, отличные от перечисленных выше. Мы включим эти внутренние
потоки в список капитальных затрат k a . 
7.1.6. Классификация планируемых переменных
Поскольку в разд. 7.1.5.2 мы описали финансовые операции как торговлю активами, интерпретация решения задачи агента будет проще, если объединить запасы и остатки в один список балансовых активов. Напомним, что мы условились записывать пассивы как отрицательные активы. Тогда в рассматриваемом
типичном случае список фазовых переменных x a в (7.5) - (7.8) распадается на
список балансовых активов b a  q a , s a и список внебалансовых активов m a :
x a  ba , m a .
(7.13)
Соответственно, список управлений y a в (7.5) - (7.8) можно разбить на списки
 чистых продаж
ha  u a , w a ,
материальных
благ
или
финансовых
инструментов
 потоков выпусков-затрат материальных благ z a ,
 потоков капитальных затрат k a ,
 потоков трансфертов t a :
y a  ha , z a , k a , t a .
(7.14)
После такого разбиения система уравнений (7.5)
матричной форме:
 ha 
a
 Aa   


A
rb
0 
 ph 0 0 it   a 
 a  
z
 a  

0
0  b     I bh I bz  I bk 0   a  
b    0
 m a   0  0 R   a    0  0 P  0   k 
mm   m 
mk

 a
  
 t 
Здесь it – вектор из единиц, а
I α,β
- (7.6) представляется в
  a 


0  .
0 


– матрицы из нулей и единиц с дизъюнктными строками.
(7.15)
(7.16)
Как мы уже выяснили выше, для агента, принимающего цены как данность,
коэффициенты первой строки (7.15) имеют следующий смысл:
pu – цены материальных благ или курсы ценных бумаг,
(7.17)
(продажные или покупные в зависимости от знака потока)
, rs –
доходности финансовых инструментов (проценты).
(7.18)
Напомним, что в соответствии с принципом рациональных ожиданий мы
считаем цены и проценты заданными функциями времени. Покупки описываем как отрицательные продажи.
97
7.1.7. Типичный вид смешанных ограничений
Рассмотрим типичные составляющие списка ограничений g в (7.7).
 Ограничения неотрицательности запасов. Обязательно Aa  0 и, возможно, xia  0 или  x aj  0 , если переменная x aj представляет пассив, взятый с
противоположным знаком.
 Ограничения ликвидности
Aa  pΤ  y   A a  ,
xia  τ i  y a  ,

(7.19)
где Τ – неотрицательная диагональная матрица. В непрерывных моделях такого
типа ограничениями учитывают тот факт, что платежи и поставки продукта осуществляются конечными порциями, поэтому чтобы обеспечить средний по времени расход yia актива i , надо иметь в среднем достаточный его запас.
 Ограничения издержек хранения, выбытия запасов или налогов на имущество
Aa  μ x a ,
y a  Μx a ;
(7.20)
 Ограничения резервирования
Aa  ξ x a ,
x a  Ξx a .
(7.21)
Обычно этими ограничениями описывается страхование рисков, которое в детерминированных моделях, а часто и в законодательстве, задается нормативно.
 Связи потоков. Кроме перечисленных выше ограничений, выражающих
связь потоков и запасов, в списке g , как правило, присутствуют ограничения, выражающие связи потоков y a ,  a  , например (7.12).
 Технологические ограничения G(q a , m a , z a , k a )  0 , подобные (4.30). Как
правило, технологические ограничения не зависят явно от времени. Напротив, в
ограничениях (7.19) - (7.21) коэффициенты, как правило, зависят от цен и процентов, которые считаем заданными функциями времени в описании агента.
Следует отметить наблюдаемое важное свойство денег как платежного
средства: лишние деньги не мешают в том смысле, что запас денег не требует
ни технологического, ни финансового обеспечения. Формально это означает, что
правые части ограничений типа (7.20), (7.21) не должны содержать запас денег.
Это соображение можно выразить неравенством
g
0.
A
(7.22)
g
. Статические ограничения

на  задаются чаще всего как ограничение ликвидности (7.19) или как выражение
g
 0 . Из общих соображеналога на прибыль (7.12). Оба эти ограничения дают

ний едва ли надо ограничивать снизу постоянную вдоль траектории величину  a ,
которую агент хочет увеличить – такое ограничение вряд ли будет активным на
решении. По этим причинам, когда это будет важно, будем считать, что
Для нас дальше будет важен знак величины
98
g
0.

(7.23)
7.2. РЕГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ АГЕНТА
7.2.1. Определение и описание регулярного решения задачи агента
Обратимся к решению задачи (7.4) при ограничениях (7.5)-(7.8). Существенно
то, что мы ищем не любое решение задачи (7.4), а только регулярное, т.е. решение, которому соответствуют достаточно регулярные двойственные переменные.
Чтобы дать точное определение, введем следующие обозначения:
dim f 
 S f – множество измеримых ограниченных вектор-функций f : t0 , T  
;

S f  S f – множество неотрицательных вектор-функций из S f ;
 A f – множество абсолютно непрерывных ограниченных вектор-функций
dim f 
, т.е. множество первообразных от функций из S f .
a : t0 , T  
Функционал Лагранжа задачи (7.4) - (7.8) – это функционал, заданный на
пространстве управлений

  R 1 , A()  A A , x ()  A x , y()  S y 


U   , A(), x (), y()

a
a
A(t0 )  A (t0 ), x(t0 )  x (t0 )




a
(7.24)
для каждого набора двойственных переменных v  , ( ), ψ ( ), φ( )
из про-
странства

V  , (), ψ (), φ()  R 1 , ()  A A , ψ ()  A x , φ()  S g

формулой
T


L v ( u)      A(T )  a x (T )     rx  py    A  A dt 
t0
T
T
t0
t0
(7.25)
  ψ  Rx + Py  αA  x  dt   φg (t , x, y, , A)dt
.
Интегрированием по частям функционал Лагранжа (7.25) приводится к более
удобному виду:
L v  u 
   (t0 ) A(t0 )  ψ (t0 ) x (t0 )     (T )  A(T )    a  ψ (T )  x (T ) 
(7.26)
  r  ψR  ψ  x   p  ψP  y       ψα    A  φg (t , x, y, , A)  dt .
Выражение (7.26) не содержит производных от управлений, поэтому при работе с
ним надо помнить, что управления x и y принадлежат разным классам гладкости
(см. (7.24).
Регулярным решением задачи (7.4) - (7.8) называется пара ua , va :
99
ua   a , Aa ( ), x a ( ), ya ( )  Ua ,
va = a , a ( ), ψ a ( ), φa ( )  V ,
(7.27)
удовлетворяющая условиям


ua  Argmax L va ( u)
uUa
(7.28)
п.в. на t0 , T  ,
Aa  Aa  rx a  py a   a 
(7.29)
п.в. на t0 , T  ,
x a  Rx a  Py a  Aa
п.в. на t0 , T  ,
g (t , x a , y a ,  a , Aa )  0, a g (t , x a , y a ,  a , Aa )  0
Aa (T )  ax a (T )  0,a  0 .
(7.30)
7.2.1.1. Теорема о максимуме функционала Лагранжа
Если ua , va
– регулярное решение задачи (7.4) - (7.8), то u a – решение этой
задачи в обычном смысле:
ua  Argmax   ,
(7.31)
uF
где F – допустимое множеством задачи (7.4) - (7.8), состоящее из наборов
u   a , Aa (), x a () , y a ()  Ua , удовлетворяющих условиям (7.5) - (7.8).

Доказательство. Пусть ua , va
– регулярное решение (7.27). Тогда в силу (7.29) -
(7.30) ua  F , и, кроме того, из выражения (7.25) следует, что
L va (ua )  a [ua ]  .
(7.32)
Пусть u  F . Из (7.5) - (7.8) и (7.25) следует, что L va (u)  a [u]  . Но из (7.28)
L va (ua )  L va (u) . Отсюда, учитывая (7.32), получаем, что  a [ ua ]    a [ u]  .

Заметим, что в приведенном рассуждении не использовалась вогнутость
функционала Лагранжа.
Стандартными средствами доказывается [71], что для гладкого и вогнутого
функционала Лагранжа (7.26) необходимым и достаточным условием максимума
является обращение в нуль его первой вариации по текущим значениям прямых
переменных:
L va
x
( ua )  0 ,
L va
y
( ua )  0 ,
L va

( ua )  0
(7.33)
и по их терминальным значениям
a  (T )  0 ,
a a  ψ(T )  0 .
100
(7.34)
7.2.2. Необходимые и достаточные условия регулярной
оптимальности
Предложенный в разд. 7.1.7 принцип «лишние деньги не мешают» можно
трактовать и шире, чем просто выполнение неравенства (7.22). Как известно,
двойственная переменная к балансу денег  a с точностью до знака показывает
приращение оптимального значения функционала (функции Беллмана) при виртуальном приращении запаса денег [47]. Знак зависит от того, в какую сторону
дифференциального уравнения перенесли его члены при включении их в функционал Лагранжа. Выше мы перенесли их «правильно» – вправо, и наше  a – это
именно производная функции Беллмана агента по запасу денег. Тогда принцип
«лишние деньги не мешают» можно трактовать как требование
a  0 на оптимальной траектории.
(7.35)
Заметим, что в силу условий трансверсальности (7.34) и дополняющей нежесткости (7.30) условие (7.35) всегда выполнено на конце траектории.
L va a
Легко проверить, что условие
( u )  0 представляет собой линейное
A
дифференциальное уравнение для  a , решение которого с учетом условия трансверсальности имеет вид
T
a  a e
t ( v )dv
u
T
 e
t ( v )dv 
a
a g 
ψ α  φ
 du .
A  t u

t
(7.36)
g
неотрицаA
тельна согласно (7.22). Поэтому (7.35) будет выполнено, если знаконеопределенный член ψ a α достаточно мал. Как уже говорилось выше, коэффициенты α выражают некоторые операционные издержки. Можно считать, что принцип «лишние
деньги не мешают» допускает использование в качестве денег лишь таких активов, для которых α пренебрежимо малы.
Ниже мы просто полагаем, как и в (7.15), что
Первое слагаемое здесь положительно в силу (7.30), а величина φ a
α (t )  0 .
(7.37)
Теперь из (7.22), (7.36), (7.37) получаем
T
a   a e
t ( v )dv
u
T
 e
t (v )dv
t
φ a (u )
g
(u, x a (u ) , ya (u ), a (u), Aa (u))du  0 .
A
(7.38)
Удобно нормировать все двойственные переменные на положительную величину  a :
a  
a
,
a
φa 
φa
,
a
ψa 
ψa
.
a
Тогда
101
(7.39)
T
  e
a
a

a
φa
φ  a  a φa ,

( u )du
a
,
t
ψa
ψ  a  a ψ a

a
(7.40)
и условия (7.29) – (7.30), (7.33), (7.34) с учетом (7.37) превращаются в следующую
систему необходимых и достаточных условий23 регулярной оптимальности:
g
(t , x a , y a ,  a , Aa )
A
Aa  rx a  pya  a   Aa
a    φa
x a  Rx a + Pya
A (T )  a x (T )  0,   0 ,
g
ψ a  a ψ a  r  ψ a R  φa
(t , x a , y a ,  a , Aa )
x
g
p + ψ a P  φa
(t , x a , ya , a , Aa )  0
y
a
a  ψ (T )  0 .
a
t0 , T  ,
п.в. на
t0 , T  ,
t0 , T  ,
t0 , T  ,
п.в. на
g (t, x a , ya , a , Aa )  0, φa (t )  0, φa g  0
a
п.в. на
п.в. на
a
(7.42)
(7.43)
(7.44)
(7.45)
п.в. на
t0 , T  ,
(7.46)
п.в. на
t0 , T  ,
(7.47)
(7.48)
T

g


    φa (u )
(u, x a (u ), y a (u ),  a (u ), Aa (u )) (u )  (u )   a e u


t0 
T
(7.41)
a ( w)dw
du  0 , (7.49)
a  0 .
(7.50)
Глава 8. Капитал агента и взаимодействие управления
капиталом
8.1. КАПИТАЛ В ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧЕ: ДОХОДНОСТЬ, ВНУТРЕННИЕ ЦЕНЫ И
НАЛОГИ
8.1.1. Интеграл капитала
В этом разделе предполагается, что смешанные ограничения (7.7) в задаче (7.4) - (7.8) линейно однородны:
xa
g
g
g
g
 y a a  Aa a   a  a  g .
a
x
y
A
 
(8.1)
8.1.1.1. Теорема об интеграле капитала
Если задача агента однородна в смысле (8.1), то
i.
На оптимальной траектории
Если не требовать регулярности решения вогнутой задачи оптимального управления (7.31), то
эти условия станут достаточными, и далее для краткости мы часто так и будем их называть.
23
102
a  Aa  ψ a x a ,
(8.2)
t

g


a (t )    1  φa (u )
(u, x a (u ), y a (u),  a (u), Aa (u ))   a (u) eu


t 
T
a ( w)dw
du .
(8.3)
Величину a (t ) будем называть капиталом.
Капитал  a определяется и как решение задачи Коши

g 
 a  a  a   a   1   a a  ,
  

a (T )  0 .
(8.4)
t t0 , T  .
(8.5)
При выполнении условия (7.23)
a (t )  0
при

Доказательство. Очевидно, что величина  a , определенная выражением (8.3),
однозначно определяется и соотношениями (8.4), а при условии (7.23) удовлетворяет (8.5), поскольку  a  0 , (t )  0 , φa (t )  0 .
Покажем, что величина Aa  ψ a x a тоже удовлетворяет соотношениям (8.4). Из
(7.42), (7.43), (7.46) следует, что
d a
 A  ψ a x a   rx a  pya  a   Aa  ψ a  Rx a + Pya  
dt
 a a

a
a g
(t , x a , y a ,  a , Aa )  x a 
 ψ  r  ψ R  φ
x


g
 py a   a   Aa  ψ a Py a   a ψ a x a  φ a
(t , x a , y a ,  a , Aa ) x a .
x
Подставляя выражения для  из (7.41) и p из (7.47), получаем
d a
A  ψ a x a   a  Aa  ψ a x a    a  

dt
g
g
g
 φa
(t , x a , y a ,  a , Aa ) y a  φa
(t, x a , y a ,  a , Aa ) Aa  φa
(t, x a , y a ,  a , Aa ) x a .
y
A
x
Наконец, используя условие однородности (8.1), умноженное на φ a , получаем
d
g
Aa  ψ a x a   a  Aa  ψ a x a    a   φa g (t , x a , y a ,  a , Aa )   a φa
(t , x a , y a ,  a , Aa ) .

dt

В силу условий дополняющей нежесткости (7.44) на решении
φa g (t, x a , ya , a , Aa )  0 , поэтому из полученного соотношения следует, что величи-
на Aa  ψ a x a как и  a удовлетворяет дифференциальному уравнению вида (8.4).
В силу терминального условия (7.45) и условий трансверсальности (7.48) величина Aa  ψ a x a удовлетворяет и тому же самому краевому условию, что и  a .

По существу доказанное утверждение есть частный случай теоремы Нетер. Величина  a – это аналог интеграла движения, соответствующего масштабной симметрии (однородности) задачи. Точного закона сохранения для
103
 a не получается, во-первых, потому, что масштабная симметрия нарушена заданным извне потоком  a  , а, во-вторых, потому, что мы используем не «натуральные», а нормированные двойственные переменные (7.39). Если бы вместо
 a мы рассмотрели величину a a , то члена с  a в уравнении для a a , аналогичном (8.4), не было бы.
Обсудим содержательный смысл баланса (8.2), считая, как и в разд. 7.1.5,
агента a фирмой, торговцем или банком (но не потребителем). Правая (пассивная) сторона баланса, согласно (8.3), представляет собой дисконтированную сумg
му будущих дивидендов  a  , увеличенную в 1   a a  1 раз (см. (7.23)). Без
 
этой поправки величина  a была бы в точности непрерывным аналогом величины
(4.25). Как уже говорилось в разд. 7.1.7, обычно ограничения на дивиденды  a 
выражают некие обложения распределяемой прибыли: формальные (7.12) или
«технические» (7.19), возникающие в связи с необходимостью накапливать деньги
g
на выплату дивидендов. Поэтому величины  a  0 можно рассматривать как
 
фактические нормы обложения прибыли. Двойственные переменные  a показывают, насколько эти обложения мешают фирме увеличить выплату дивидендов.
Поэтому величину
 a  1   a
g
0
 a 
(8.6)
следует интерпретировать как «истинный», «эффективный», внутренний налог
на прибыль, а выражение (8.3) приобретает смысл дисконтированных эффективных расходов на выплату максимально возможных дивидендов.
Если рассмотреть потребителя, для которого полезный поток  a  – это расходы на потребление, то точно так же получится, что капитал потребителя – это
ожидаемые дисконтированные эффективные расходы с учетом налогов, необходимости поддерживать запас наличности и т.п.
Уравнение (8.4) показывает, что величина  a – это доходность капитала.
В идеальном равновесии, рассмотренном в гл. 3, доходность капитала всегда
совпадала с одинаковым для всех агентов процентом, здесь доходность капитала у разных агентов, вообще говоря, разная (см. (7.41)).
Заметим, что в силу (7.41) номинальная доходность денег  автоматически
прибавляется к доходности капитала агентов. Если деньги не имеют доходности,
а на запас денег наложено только ограничение ликвидности или неотрицательности запаса (это – ограничение снизу на объем денег), то согласно (7.22) и (7.41)
доходность капитала задается неотрицательной нормированной двойственной
переменной к этому ограничению.
Рассмотрим теперь левую сторону баланса (8.2). Она представляет собой
суммарную стоимость запасов, но исчисленную не в рыночных ценах p , (7.17),
которые могут в данном случае быть разными при покупках и продажах, а в двойственных переменных ψ a , которые оценивают запасы их влиянием на максимальную величину целевого функционала агента. После нормировки (7.39) двойственные переменные ψ a приобретают размерность цен и по смыслу становятся «истинными», «эффективными», внутренними ценами активов. Напомним, что мы
описываем пассивы как отрицательные запасы, поэтому в левой части (8.2) стоит
оценка чистых активов.
104
Таким образом, и в общей задаче агента для получения баланса, отражающего будущие возможности агента, надо определенным образом модифицировать баланс поступлений и расходов, переоценивая активы.
8.1.2. Балансовая прибыль
Как и в идеальном случае (см. (4.49)), капитал (собственные средства), агента  можно выразить не только как ожидаемые в будущем дивиденды, но и как
нераспределенную балансовую прибыль. Это выражение и покажет переоценки,
которые нужно произвести, чтобы перейти от баланса фактических поступлений и расходов в прошлом к идеальному балансу будущих возможностей.
Дифференцируя (8.2) и используя выражения для производных (7.42), (7.43)
получаем уравнение изменения счета капитала (собственных средств), который
упоминался в разд. 7.1.5.2,
a
a  Aa  ψ a x a  ψ a x a  rx a  pya  a   Aa  ψ a x a  ψ a Rx a + ψ a Pya .
Если переменные x, y допускают классификацию (7.13), (7.14), то использовав (7.15), получаем
 a  rs b a  Aa   ph  ψb I bh  ha ψb I bz z a ψba ba  ψma ma 
ψ ma Rmm m a   ψba I bk  ψ ma Pmk  k a  it t a   a  .
(8.7)
С экономической точки зрения прирост собственного капитала  a – это нераспределенная балансовая прибыль агента [72]. У фирмы величина it t a   a 
описывает распределение прибыли в форме дивидендов собственников  a  и
налогов t a . Другие слагаемые в правой части (8.7) образуют поток балансовой
прибыли
rs b a  Aa   ph  ψb I bh  ha ψb I bz z a ψba ba  ψma ma  ψ ma Rmm m a   ψba I bk  ψ ma Pmk  k a .
(8.8)
Экономический смысл слагаемых этого выражения становится ясным, если
принять во внимание, что ψb , ψm – внутренние цены активов, т.е. истинные оценки
благ данным агентом:
 rs q a  Aa – прибыль от финансовых операций. Если i – финансовый актив, то bia  0 , ri  0 и ri bia  0 – полученные проценты, (7.18). Если i – финансовый пассив, то bia  0 , ri  0 и ri bia  0 – уплаченные проценты. Если i – материальный актив, то ri  0 .

p
h
 ψb I bh  ha – прибыль от торговли материальными благами или финан-
совыми инструментами. В силу (7.16) потоку hma соответствует единственный актив i ( m) , в балансовое уравнение которого он входит. Поэтому в сумме
p
h
 ψb I bh  ha потоку hma соответствует слагаемое  pm  ψia( m )  hma . Если hma  0 , то это
– разница выручки от продажи (см. (7.17)) и «себестоимости» потока. Если hma  0 ,
то разница себестоимости и затрат на покупку.
 ψq I sz z a – прибыль от производства материальных благ. Положительные
компоненты вектора z a соответствуют выпускам, а отрицательные – затратам.
 ψba ba  ψma m a – прибыль от переоценки запасов.
105
 Член ψ ma Rmm m a следует трактовать как амортизационные отчисления.
 Член  ψba I bk  ψ ma Pmk  k a показывает выигрыш или проигрыш от использования
материальных благ в качестве капитальных затрат по сравнению с хранением их
в виде запасов. По-видимому, этот член не имеет аналогов в бухгалтерском учете,
и тому есть причина. Если поток капитальных затрат ki не ограничен неравенствами, кроме, возможно, требования неотрицательности, то, как следует из (7.44)
, (7.47), вклад этого потока в член  ψba I bk  ψ ma Pmk  k a будет нулевым.
Таким образом, выведенное из решения оптимизационной задачи выражение балансовой прибыли (8.8) имеет прямые аналогии с бухгалтерской балансовой прибылью. Поскольку выражение (8.8) имеет объективный характер, эта аналогия обосновывает использование в бухгалтерском учете фиктивных денежных
потоков: ни от кого не полученной прибыли от переоценки и никому не заплаченных амортизационных отчислений. Правда, в (8.8) учет ведется по идеализированным внутренним ценам ψb , ψm , а в бухгалтерии учет ведется по рыночным ценам24. Если активы ликвидны, то эти цены совпадают.
8.1.3. Ликвидные активы
В идеальном равновесии, рассмотренном в части I, агенты покупали и продавали продукты в любых количествах по одним и тем же ценам. В неидеальном
равновесии, вообще говоря, это не так. Реализация или приобретение hma одного
и того же актива может совершаться по разным каналам, и на каждом из них может установиться своя цена pm . Потоки реализации по разным каналам могут
быть связаны технологическими ограничениями (7.7). В результате внутренняя
оценка актива ψia агентом, вообще говоря, отличается от цен pm . Однако можно
выделить важный частный случай, когда внутренняя оценка актива совпадает с
его рыночной ценой.
Ликвидным активом естественно назвать тот, который можно продавать и
покупать без ограничений. Актив ликвиден, если соответствующий поток hma не
входит явно в ограничения (7.5) - (7.8), т.е.
g
0.
(8.9)
hma
Тогда из (7.47) получаем, что
ψia  pm .
(8.10)
Если в уравнения (7.15) входит еще один неограниченный поток hna , то из (8.10),
следует, что задача агента разрешима, только если
pm  pn .
(8.11)
Смысл этого условия абсолютно прозрачен. Если равенство (8.11) нарушается, агент может неограниченно спекулировать, покупая продукт по «дешевому»
каналу и продавая по «дорогому». За счет прибыли от спекуляции он сможет неограниченно увеличивать свою капитализацию (7.4). На современном экономическом языке возможность спекуляции на разнице цен называется арбитражем.
Если на рынке цены покупки и цены продажи различаются, прибыль от торговых операций оказывается ненулевой.
24
106
Требование отсутствия арбитража (8.11) в безрисковых операциях широко используется в теории финансовых рынков [53].
Соотношение (8.11) показывает, что для ликвидного актива i определена
цена
pi  ψia  pm ,
(8.12)
которая задается рынком и не зависит от текущего состояния агента. Именно по
этой цене оцениваются запасы ликвидных активов в левой части баланса (8.2).
В теории оптимального управления соотношение (8.12) означает, что для не
неограниченного управления агента hma реализуется особый режим [47]: условие
(7.47) максимума функционала Лагранжа по hma вырождается в (8.12) и определяет не hma , как можно было бы ожидать, а двойственную переменную ψia . В результате одно из дифференциальных уравнений (7.46) становится условием на параметры задачи (при этом hma остается неопределенным, как было в примере гл. 4),
либо (7.46) задает дополнительную связь между прямыми переменными, которая
косвенно определяет hma . Поскольку особый режим в данном случае реализуется
на всем протяжении процесса, условие трансверсальности (7.48) для ψia оказывается лишним.
8.1.3.1. Терминальное условие для ликвидного актива
Если для агента a актив i ликвиден, то его цену pi (t ) можно считать абсолютно непрерывной функцией времени. Тогда задача (7.4) - (7.8) агента a разрешима, только если коэффициент ai в терминального условия (7.8) удовлетворяет
условию
ai  pi (T ) .
(8.13)

Доказательство. Строго говоря, для ликвидного актива равенство (8.12) верно не
при всех, а только при почти всех t  t0 , T  (см. (7.47)). Функция ψia (t ) абсолютно
непрерывна по определению. Если pi (t ) тоже абсолютно непрерывна, то из равенства почти всюду следует равенство всюду, и тогда (8.13) очевидно следует из
(8.12), (7.48). Тем самым, вторая часть утверждения доказана.
Доказательство первой части не столь формально, поскольку нам придется
выйти за пределы задачи одного агента. Рассмотрим общую модель равновесия:
имеется много агентов, и цена pi (t ) входит параметром в задачи нескольких из
них. Пусть эта цена равновесная в том смысле, что при данной pi (t ) задачи всех
агентов как минимум разрешимы.
По крайней мере, для одного из агентов a актив i – ликвидный, поэтому
pi (t ) почти всюду совпадает с абсолютно непрерывной функцией ψia (t ) . Если мы
переопределим pi (t ) на множестве меры 0 так, чтобы равенство (8.12) было выполнено всюду и, тем самым, сделаем функцию pi (t ) абсолютно непрерывной,
условия оптимальности других агентов не нарушатся (см. (7.47)). Это и имеется в
виду в первой части доказываемого утверждения.

Таким образом, по крайней мере, для ликвидных активов из x вопрос о том,
как задавать коэффициенты в терминальном условии (7.8) не возникает. Если
107
все активы ликвидны, вид линейного терминального условия однозначно
определяется требованием разрешимости задачи.
Заметим, что если нет ограничений на потоки, то технически удобно исключить неограниченный поток hma из «своего» балансового уравнения (единственного уравнения для bia в системе (7.15), содержащего hma ) и подставить его в (7.5). В
силу (8.11) при этом исключатся сразу все неограниченные потоки актива i , но в
правой части баланса основных денег (7.5) появятся производные запасов. Это не
мешает применять технику вариации функционала Лагранжа для решения задачи
агента.
8.1.4. Абсолютно ликвидные активы
Итак, ликвидные активы – это активы, на скорость изменения запаса которых у агента нет ограничений. Таковы запасы продуктов Qtm в модели МРК (см.
разд. 4.4.1). В этой модели чистые сбережения  ta обладают более сильным
свойством: не ограничены не только скорости их изменения, но и их величины
(разд. 3.3.3). Посмотрим, к чему приведет появление таких активов в общей задаче агента.
Абсолютно ликвидным назовем ликвидный актив i b , на запас которого в
задаче агента не наложено ограничений, т.е.
g
0 .
xi
(8.14)
Если пренебречь малыми членами в последней строке (7.15), из (8.12), (7.46),
(8.14) для абсолютно ликвидного актива получится соотношение
a 
pi ri
 ,
pi pi
(8.15)
которое означает, что если хотя бы один актив абсолютно ликвиден, то
 доходность капитала агента  a определяется рынком и не зависит от состояния агента;
 задача агента разрешима, только если для всех таких активов показатели
pi ri

совпадают.
pi pi
Соотношение (8.15) представляет собой известную формулу расчета цены
бумаги, котирующейся на бирже25 [53]:
темп роста курса + номинальная доходность, отнесенная к курсу.
Соотношение (8.15) верно и для просто ликвидного актива в те периоды времени,
когда на оптимальной траектории запас актива не «сидит» на ограничении.
8.1.5. Номинальный капитал и условия регулярной оптимальности
Из (7.49), (8.3) получаем выражение для капитала в виде
На бирже все активы абсолютно ликвидны, поскольку маклер может продавать бумаги, которых
у него фактически нет (находиться в «короткой позиции»).
25
108
T
 
 a (t0 )  a e

a

t a ( w) dw
0
.
(8.16)
Хотелось бы выбрать  так, чтобы
T

a  e
t a ( w)dw
0
.
(8.17)
Тогда  можно было бы интерпретировать как начальные вложения собственника в капитал агента. В модели МРК это получалось автоматически, поскольку
структура расходов  определялась через капиталовложения собственника. В
свою очередь, это можно было сделать потому, что доходность всех активов была
одинакова и равна доходности капитала всех агентов. В рассматриваемой модели
агента доходность определяется только после решения задачи и зависит от вида
ограничений задачи данного агента.
Таким образом, желание корректно определить начальные капиталовложения приводит к кажущейся некорректной задаче: максимизировать функционал
 a  , где  зависит от двойственных переменных этой же задачи максимизации.
Благодаря однородности, однако, эта задача оказывается разрешимой.
8.1.5.1. Необходимые и достаточные условия регулярной оптимальности в
однородной задаче агента
Пусть выполнено условие (7.23) и
(t )  0 п.в. на
t0 , T 
и (t )  0 на множестве положительной меры. (8.18)
Тогда
i.
Регулярное решение задачи агента ua , va
при любом   0 существует то-
гда и только тогда, когда существует постоянная a  0 , абсолютно непрерывные функции ψ a (t ) , x a (t ) , Aa (t ) и измеримые функции φa (t ) , y a (t ) ,
a (t ) , удовлетворяющие уравнениям (7.41) - (7.48) из системы необходимых
и достаточных условий (7.41) - (7.50).
На регулярном решении ua   a , Aa ( ), x a ( ), ya ( ) и не зависит от  .
Существует значение    (t0 ) , при котором на регулярном решении
 a (t0 )   a  (t0 ) .
(8.19)

Доказательство. Пусть система (7.41) - (7.48) разрешима. Тогда в силу (8.18),
(7.23) при любом   0 из (7.49) определяется a  0 , и все условия (7.41) - (7.50)
оказываются выполненными. Тем самым доказаны утверждения i, ii.
Поскольку решение системы (7.41) - (7.48) не зависит от   0 , можно взять
любое решение системы и по нему определить a  0 соотношением (8.17) и затем уже найти из уравнения (8.16) значение коэффициента в функционале
   (t0 ) , при котором выполнено (8.19).

Если система (7.41) - (7.48) имеет единственное решение, то  (t0 ) определяется однозначно. Будет ли оно одним и тем же для разных решений (7.41) (7.48) мы не исследовали.
109
8.2. УПРАВЛЕНИЕ КАПИТАЛОМ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧЕ
Формально, капитал агента – это просто некая величина, вычисленная вдоль
оптимальной траектории. Она соответствует величине собственных средств в бухгалтерских расчетах, но чем этот показатель может помочь в разработке модели?
Пришло время ответить на этот вопрос. Мы используем эту величину для описания взаимодействия агента-собственника (потребителя или фирмы-холдинга) и
агента-«собственности» (торговой или промышленной фирмы или банка).
В идеальном равновесии доходность всех фирм a одинакова и равна доходности абсолютно ликвидных денег, а в уравнении для капитала нет члена, аналогичного (8.6). Поэтому собственнику безразлично, как вкладывать капитал. В неидеальном равновесии описание управления капиталом можно обобщить.
Если определить начальные вложения  (t0 ) так, чтобы выполнялось равенство (8.19), то естественно считать, что при всех t  t0 , T  накопленные вложения  (t ) в капитал фирмы a определяются уравнением (ср. (7.3))
  a    a  ,
(8.20)
где ( a  1) – эффективный налог (8.6). Тогда, согласно 8.1.5.1,
a (t )   a  (t ) .
Это соотношение в точности совпадает с соотношением (7.3) в идеальном равновесии. Придадим ему тот же смысл.
Взаимодействие фирмы и собственника26 будем описывать следующим образом:
 Фирма сообщает собственнику точный прогноз на весь период t0 , T  своего
курса  a , доходности a (t ) и эффективный налога a (t ) .
 Собственник определяет программу изменения капиталовложений ( t ) .
Начальное значение вложений  (t0 ) задано.
Естественными ограничениями на программу ( t ) собственника будет условие
 (t )  0
(8.21)
и уравнение (8.20). Тогда в задаче фирмы требование (t )  0 перестает быть существенным. Все, что из него следовало, будет обеспечено условием (8.21). В
общем случае на изменение накопленных капиталовложений собственника можно
наложить не только ограничения (8.20), (8.21), но и другие институциональные
ограничения.
Обратим внимание на то, что здесь мы вышли за пределы задачи одного
агента. Величины  (t ) , ( t ) – это управления не фирмы, а собственника. Для
фирмы – это информационные переменные. Для собственника, напротив, определяемые решением задачи фирмы величины  a , a (t ) , a (t ) – это информационные переменные, а накопленные капиталовложения  (t ) – актив, с которым
связан поток дохода  a  .
Скажем несколько слов об описании поведения собственника o , который
может вкладывать средства в несколько фирм, скажем в две: a и b . Обозначим
Можно рассмотреть и многих собственников, но в части IV ниже все собственники фирмы объединены в одного агента, и мы для простоты сразу будем рассматривать одного собственника.
26
110
вложения собственника в эти фирмы через  oa (t ) и  bo (t ) , соответственно. Предположим для простоты, что фирмы не должны платить налоги, так что в (8.6)
 a  b  1 .
(8.22)
Тогда изменение накопленных капиталовложений определяется соотношениями
 oa  a  oa  oa ,  oa  0 ,  bo  b  bo  bo ,  bo  0 ,
(8.23)
где a (t ) , b (t ) – доходности фирм a и b , а oa (t ) , bo (t ) – программы выплаты дивидендов, которые собственник задает фирмам a и b .
Предположим, что мы описываем поведение собственника стандартной задачей вида (7.4) - (7.8) при a  o . Тогда уравнения в (8.23) – это два из уравнений
списка (7.6), а в уравнение (7.5) входят слагаемые, соответствующие полученным
от фирм дивидендам
Ao  ...   a oa  b bo  ...
(8.24)
Предположим, что кроме (8.23), иных ограничений на управления  oa (t ) ,
 bo (t ) , oa (t ) , bo (t ) в задаче собственника нет. Составив функционал Лагранжа задачи собственника27, легко убедиться, что условия оптимальности неограниченных управлений oa (t ) , bo (t ) требует равенства темпов роста трех двойственных
переменных к уравнениям из (8.23), (8.24). Условие оптимальности положительных значений  oa (t ) и  bo (t ) состоит в том, что двойственные переменные к урав-
нениям из (8.23) должны падать с темпами a (t ) , и b (t ) , соответственно. Таким образом, оказывается, что если собственнику действительно выгодно вкладывать средства в обе фирмы (  oa (t )  0 и  bo (t )  0 ), доходности этих фирм должны быть одинаковыми:
o  a  b .
В идеальном равновесии равенство доходностей всех фирм было тождеством. В неидеальном равновесии оно может стать неявным уравнением на распределение капиталовложений собственника между фирмами.
8.3. КАПИТАЛ И УПРАВЛЕНИЕ ИМ В АФФИННО-ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧЕ
С нашей точки зрения результаты разд. 8.1 убеждают, что описание поведения агента соотношениями (7.41) - (7.48) вполне удовлетворительно. Но оно было
получено в предположении однородности задачи (8.1). Настало время обсудить,
насколько ограничительным является предположение об однородности, и что
можно предложить взамен (7.41) - (7.48), когда однородности нет.
В разд. 4.1 были приведены аргументы в пользу того, что модель экономики
в целом должна обладать свойством однородности. Из этого, однако, не следует,
что однородными должны быть и описания отдельных агентов. В однородной модели экономики неоднородность описания агента, принимающего цены как дан27
Рассматриваемая задача собственника не имеет вид (7.15), поскольку доходности
a (t ) , b (t )
активов  a (t ) и  b (t ) собственника не выражены в деньгах. По этой причине полученными в
o
o
предыдущих разделах формулами непосредственно пользоваться нельзя.
111
ность, возникает тогда, когда некоторые запасы или потоки в балансах агента
определяет не он, а другие агенты. Например, размер субсидий или вмененных
налогов для производителя определяет государство; величину остатков расчетных счетов, которые представляют собой пассивы банка, определяет не банк, а
его клиенты. Подобные запасы или потоки, которые определяются не агентом, а
задаются извне, мы называем навязанными.
Однако более внимательный анализ показывает, что в ограниченииравенстве, содержащем навязанный поток или запас, последние можно заменить
новой планируемой переменной агента и добавить одностороннее ограничениенеравенство, связывающее новую переменную и навязанный поток или запас. Это
выражает то, что, например, производитель, вообще говоря, может не брать субсидию, может переплачивать налог, а банк может отказаться вести расчетные
счета части клиентов. Подобные рассуждения мы уже использовали в
разд. 7.1.5.2. Если проводить их последовательно, то навязанные потоки и запасы
окажутся слагаемыми в левых частях ограничений неравенств (7.7), а сами эти
неравенства примут вид
g (t, x a , ya , a , Aa )  g (t, x a , ya , a , Aa )  f (t )  0 ,
f ( t )   g ( t , 0 , 0, 0, 0 )
(8.25)
где g (, , , , ) – уже гладкая линейно-однородная функция, а компоненты вектора
f описывают навязанные потоки и запасы. Эти компоненты могут иметь любой
знак. Положительные компоненты fi ограничивают планируемые переменные
снизу, а отрицательные – сверху. На основе многолетнего опыта системного анализа развивающейся экономики мы пришли к выводу, что в тех случаях, когда
можно использовать представление об агенте, принимающем цены как данность,
более сложные неоднородности чем (8.25) не встречаются.
Задачу с ограничениями вида (8.25) естественно назвать аффиннооднородной. Тождество Эйлера (8.1) в аффинно-однородном случае заменяется
соотношением
g a g a  g a
g a
x 
y 
 
A  g f .
x
y
 
A
(8.26)
Легко видеть, что все соотношения, полученные в однородном случае (8.1),
сохраняют силу и в аффинно-однородном случае (8.26), если сделать всюду, кроме (7.49), формальную замену

g a
g a
  на 
  f .


Тогда, в частности, вместо (8.2), (8.3) получится соотношение
t
T
A ψ x  
a
a
a
a
e
t
a
  ( v )dv
u
t
T
(u) (u)du   e
a
u 
a ( v )dv
φa (u) f (u)du ,
(8.27)
t
где  a по-прежнему определяется соотношением (8.6).
Условие оптимальности по  a и в аффинно-однородном случае сохраняет
вид (7.49). С учетом обозначения (8.6) его можно записать в виде
112
t

 
 a  e u
a

t0
a
T
a ( v )dv
(u )a (u )du .
(8.28)
Таким образом, условие оптимальности не содержит f .
Пока мы решаем задачу одного агента, аффинная однородность не доставляет дополнительных хлопот по сравнению с линейной однородностью. Трудности начинаются, когда мы интерпретируем решение и конструируем всю модель.
Возникают два вопроса: во-первых, как интерпретировать последний член выражения (8.27) в терминах бухгалтерского баланса, и, во-вторых, как описать управление капиталом в аффинно-однородном случае? Начнем со второго вопроса, поскольку он относится к методам моделирования.
В аффинно-однородном случае (8.27), (8.28) нет простой связи между запасами и накопленными капиталовложениями, которая имеет место в линейно однородном случае (см. 8.1.5.1). Поэтому в аффинно-однородном случае накопленные капиталовложения следует определять особо.
Содержательно вопрос заключается в том, что знает собственник о «доходах» или «расходах» φa (t ) f (t ) ? Это ведь не потоки, а двойственные оценки ограничений на потоки. По существу, слагаемые суммы φa (t ) f (t ) являются точными
определениями28 туманных и спорных экономических понятий упущенной выгоды (при fi  0 ) и косвенных доходов (при fi  0 ), на основе которых можно
предложить два пути модификации описания управления капиталом:
A Собственник знает об упущенных выгодах и косвенных доходах. Тогда предлагается следующее описание управления капиталом:
i Фирма сообщает собственнику точный прогноз на весь период t0 , T  не
только курса  a , доходности a (t ) и эффективного налога a (t ) , но и поток
упущенной выгоды a (t )  φa (t ) f (t ) .
ii Уравнение для накопленных капиталовложений (8.20) заменяется уравнением29
a
(8.29)
 a  a  a  a   a ,

но доходы собственника по-прежнему равны  a  .
iii Условие  a  0 теперь ни откуда не следует, и его, видимо, надо добавить
«насильственно».
iv Баланс запасов и накопленных капиталовложений сохраняет вид
Aa  ψ a x a  a  .
B Собственник не знает об упущенных выгодах и косвенных доходах. Тогда
уравнение для накопленных капиталовложений сохраняет вид (8.20), и фирма
по-прежнему сообщает собственнику только курс  a , доходность a (t ) и эффективный налог a (t ) , а доходы собственника равны  a  .
i В балансе фирмы накопленные капиталовложения выделяются из состава
капитала
Точное определение можно дать только потому, что мы работаем в рамках четко очерченных
ограничений и однозначно определенной цели агента.
29 Уравнение (8.29) неоднородно, поэтому принимая вариант A, мы в описании собственника формально выходим за рамки задачи (7.4) - (7.8). Это, впрочем, не вызывает особых трудностей, за
исключением той, что уравнения перестают сохранять знак капитала и капиталовложений.
28
113
Aa  ψ a x a  a    a .
ii Новая составляющая баланса  a определяется соотношениями
 a (T )  0 .
 a  a  a  φa f ,
(8.30)
iii Капиталовложения  (t ) , естественно, неотрицательны, а знак  a может
быть любым.
Обе модификации, видимо, имеют право на существование. Вариант A
больше соответствует взаимодействию собственников и фирмы в рамках «товарищества на паях» (company), где собственники напрямую управляют производством, а фирма как субъект почти не проявляется.
Вариант B. соответствует взаимодействию собственников и фирмы в рамках
«товарищества с ограниченной ответственностью» (corporation), где решения о
производстве принимает фирма как субъект, а собственники манипулируют только
своими вложениями в нее.
Пробные расчеты показали, что модели экономии современной России
надо использовать вариант A.
Что касается первого вопроса, поставленного в начале раздела: как согласовать баланс (8.27) с правилами бухгалтерского учета, то приходится констатировать, что между «идеальным» балансом (8.27) и реальными бухгалтерскими балансами имеется существенное расхождение. В бухгалтерских балансах не учитываются упущенные выгоды или косвенные доходы, хотя анализ модели поведения агента показывает, что это надо делать.
Таким образом, в рамках предлагаемой модели удалось построить оригинальное описание взаимодействия собственника и юридического лица, находящегося в его собственности. Это описание превращает собственника из пассивного
получателя дивидендов, каким он представлен в модели Эрроу-Дебре, в активного инвестора, определяющего движение капитала между секторами экономики.
Резюме части II: Описание рационального поведения
экономического агента
1. В разд. 7.1 мы предложили общую схему описания поведения агента в модели
неидеального межвременного равновесия. Поведение агента описывается как
решение оптимизационной задачи, общий вид которой для всех агентов, описывающих совокупности юридических лиц, одинаков, независимо от их роли.
2. Поскольку в моделях экономики, как правило, двойственные переменные
имеют определенный смысл, мы предлагаем в качестве экономически осмысленных решений задачи агента рассматривать не все, а только регулярные
решения, на которых двойственные переменные являются функциями, а не
мерами (разд. 7.2.1). Вообще говоря, существование регулярных решений
требует согласования параметров задачи агента. Например, определяется коэффициент в терминальном условии (7.8) при ликвидном активе (см. 8.1.3.1).
3. В линейно однородном случае регулярное решение описывается в терминах
капитала и накопленных капиталовложений, хорошо согласующихся с практикой бухгалтерского учета (разд. 8.1).
4. Описание оптимального решения с помощью капитала позволяет смоделировать взаимодействие фирмы и ее собственников как управление капиталом
фирмы (разд. 8.2).
114
5. Линейно однородные задачи не описывают некоторых экономических отношений. Однако нам представляется, что аффинно-однородными задачами можно
описать поведение агента во всех моделях равновесия. С определенными
оговорками описание управления капиталом также распространяется на аффинно-однородный случай (разд. 8.3).
115
ЧАСТЬ III.
Общая схема и технология создания моделей
экономики
Глава 9. Каноническая форма моделей системного анализа
развивающейся экономики
9.1. НАЗНАЧЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
При создании модели экономики возникает не только содержательная проблема адекватного описания взаимодействий агентов, но и технологическая проблема работы с моделью. Полная модель получается в результате соединения
описаний нескольких агентов, поведение каждого из которых описывается условиями оптимальности (7.41) - (7.48). Все вместе они становятся громоздкой системой разнородных нелинейных соотношений, которую трудно даже записать без
ошибок формулами на бумаге или на универсальном языке программирования.
Если же учесть, что новые модели приходится создавать часто и в короткие сроки,
а при создании каждой из них проверять много исходных гипотез, то ясно, что
нужны средства контроля правильности создаваемой модели и корректности использования в ней соотношений, взятых из других моделей.
Потребность в таком инструментарии выявилась давно, поэтому к началу
работ над моделью экономики России из части IV, мы уже имели опытный образец системы поддержки моделирования экономики ЭКОМОД и могли использовать ее в работе над моделью. Принципиальной основой системы ЭКОМОД,
представленной в гл. 10, служит обсуждаемая в данной главе общая схема модели.
Соотношения модели имеют экономический смысл и образуют естественные
блочные структуры. Эту информацию можно было бы использовать для инструментального контроля правильности модели, но система математических соотношений не содержит этой информации [40].
В применяющихся на практике системах поддержки моделирования технических объектов смысл соотношений моделей выражается в их названиях. Мы в
свое время предприняли попытку построить систему поддержки моделирования
экономики на основе терминологии, но быстро выяснили, что в разных моделях,
даже построенных одним коллективом исследователей, экономические термины
ассоциируются с различными модельными конструкциями. Представляется, что
это вообще свойственно всем моделям сложных систем. В предисловии уже говорилось, что модели сложной системы отражают ее в разных ракурсах. Соответственно, понятия и термины теории не выделяют стандартизированные части моделей, а указывают на содержательные аналогии между частями разных моделей,
которые могут быть по форме очень непохожими друг на друга и отнюдь не взаимозаменяемыми30. Поэтому при разработке системы поддержки моделирования
экономики вместо классификации понятий необходимо было выявить формальную структуру моделей САРЭ.
Оказалось, что во всех случаях модель можно представить как набор описаний поведения экономических агентов и набор описаний взаимодействий этих
агентов. Эти описания (блоки модели) объединяются в целое системой материальных и финансовых балансов. В результате кропотливого анализа структуры
моделей САРЭ была разработана особая форма записи соотношений модели –
В связи с этим кажется плодотворным изложенный в [91] взгляд на систему моделей сложных
систем, как на математическую категорию. Понятия теории выступают в этом случае не как собрания частных случаев, а как морфизмы, отображающие одну частную модель в другие.
30
116
каноническая форма [40, 33, 31, 32], допускающая инструментальную проверку
корректности модели. Каноническую форму мы предлагаем в качестве представления общей структуры модели. Сразу же заметим, что запись модели МРК в гл. 5
и описание поведения агента в гл. 6 не имеют канонической формы, но могут быть
приведены к ней.
Здесь мы представляем каноническую форму как набор словесных правил,
примеров и рекомендаций, но на самом деле каноническая форма – строго определенный объект [33].
Каноническая форма модели представляет собой систему дифференциальных и конечных уравнений и конечных31 неравенств, содержащих определенный
набор переменных величин и постоянных параметров, в которой как соотношения, так и переменные имеют классифицирующие признаки. Эти признаки фиксируются по ходу записи модели и хранятся в специальной базе данных. Признаки несут информацию, необходимую для проверки корректности модели.
Допустимый синтаксис соотношений, их групп и блоков описан в нотации
Бэкуса-Наура, а возможные способы размещения групп соотношений и наименования переменных задаются системой аксиом [33]. Доказана в некотором смысле
единственность представления модели в канонической форме [31].
В этой части книги и далее мы прекращаем использовать векторные
обозначения, и для записи однотипных величин используем индексированные имена. Величины, не помеченные чертой сверху, в этой части, как и в
предыдущей, считаются функциями времени t .
9.2. ОБЩИЙ ВИД КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
9.2.1.
Агенты и взаимодействия
Содержательно модель в канонической форме описывает движение экономики как результат взаимодействия экономических макроагентов. Каждый макроагент представляется лицом, принимающим решение. Поведение агента описывается как выбор значений переменных модели, которые можно интерпретировать как управления агента. Такие переменные мы называем планируемыми переменными агента. Например, это – материальные и финансовые потоки, отражающие обмены между макроструктурами сферы производства и сферы потребления. Выбор агента зависит от внешних условий, которые описываются особыми
информационными переменными такими, как цены, курсы, ставки налогов и
т. д. Описание поведения каждого агента в канонической форме модели образует особый блок соотношений – блок ЭА.
Выбор агента, описанный в блоке ЭА, рассматривается не как его окончательное решение, а как условный план типа «я произведу, заплачу, займу и т. п.
столько-то, если значения информационных переменных будут такими-то»32. В
экономической теории такие условные планы называются функциями предложения или спроса (см. разд. 6.2.1).
Процедуры согласования условных планов разных агентов относительно выбора одной и той же величины также описываются в особых блоках модели – блоках взаимодействия ВД. В этих же блоках из условий согласования
планов
определяются
значения
информационных
переменных
(см. разд. 6.2.2).
За единственным исключением условия неубывания запасов.
В [40] мы даже предлагали строго различать планы агентов и реализацию этих планов. Однако
эта теоретическая конструкция на практике оказалась слишком громоздкой, чтобы всегда ее применять. При желании ее, конечно, можно реализовать в канонической форме в специальных случаях.
31
32
117
Нечеткое определение «процедуры согласования планов» оставляет достаточно свободы, чтобы включить в каноническую форму все известные в математической экономике способы описания функционирования рынков. Заметим, что
модель в канонической форме не относится к классу моделей конфликта и компромисса, рассматриваемых в теории игр, потому что в ней значения информационных переменных не определяются ни одним из лиц, принимающих решение.
9.2.2. Связь переменных с блоками
Блокам ЭА и блокам ВД присваиваются краткие условные имена. Принятая
блочная структура канонической формы позволяет разделить «сферы компетенции» агентов по простому правилу: в соотношения блока ЭА могут входить
только планируемые переменные этого агента и информационные переменные, следовательно, не могут входить планируемые переменные других агентов.
Блоки ВД могут содержать планируемые переменные разных агентов и информационные переменные, связанные только с этим блоком.
Грубо говоря, с блоком связаны те переменные, которые в нем определяются. В первых описаниях канонической формы [40, 33, 31] и в первой версии системы ЭКОМОД [31] блоки и переменные были связаны именно по такому формальному признаку. Потом выяснилось, что в сложных моделях нельзя заранее указать, каким соотношением определяется переменная, поэтому в качестве структурных признаков остались только связи имен блоков и переменных.
Описания согласования условных планов агентов посредством информационных переменных отражают, в основном, характер отношений обменов в конкурентной среде. В экономике не менее важны отношения собственности, власти,
социальной солидарности. В этих отношениях характерно то, что один из взаимодействующих агентов передает другим информацию о своем внутреннем состоянии. Например, управляющий фирмой отчитывается перед акционерами о состоянии фирмы (см. разд. 8.3 ), налогоплательщик информирует налоговый орган о
своей налоговой базе, получатель пособия, как правило, заранее знает величину
пособия и условия его получения. В канонической форме модели требуется явно
описать правила обменов информацией между агентами33. Для этого индексированием информационной переменной именем соответствующего блока ВД
список информационных переменных модели разбивается на классы, ассоциированные с блоками ВД, а в блоках ЭА указывается, в каких взаимодействиях
участвует агент. В блоках ЭА можно использовать информационные переменные только тех блоков ВД, в которых данный агент участвует, а в блоках ВД можно использовать только информационные переменные данного блока ВД и планируемые переменные участников этого ВД.
В тех моделях, которые мы разработали для практических применений, блоков ЭА было немного, но устроены они были довольно сложно. Блоков ВД было
много, но каждый из них содержал не более десяти простых соотношений. Формально можно было бы объединить несколько блоков ВД или даже всех их в один
блок. Однако практичнее, наоборот, делить взаимодействия на элементарные.
9.2.2.1. Правила разбиения модели на блоки
I. Модель в канонической форме – это система соотношений для определенного
набора переменных, разделенная на именованные блоки двух типов
i. описания поведения экономических агентов – ЭА,
ii. описания взаимодействий экономических агентов – ВД.
Првда, пока эти средства используются не столько для того, чтобы описывать ограничения информированности, сколько для того, чтобы уменьшить вероятность ошибочных записей.
33
118
II. В блоках ЭА средствами, описанными в разд. 11.2, указано, в каких взаимодействиях (блоках ВД) участвует данный агент.
III. Набор переменных разбивается на списки, ассоциированные с отдельными
блоками:
i. переменные, ассоциированные с блоками ЭА, – это планируемые переменные данного агента. Далее в тексте их обозначения содержат в качестве одного из индексов имя соответствующего ЭА;
ii. переменные, ассоциированные с блоками ВД, – это информационные
переменные данного взаимодействия. Далее в тексте они индексируются именем этого ВД, но не имеют среди индексов имен ЭА.
IV. Соотношения блока ЭА могут содержать только планируемые переменные
данного агента и информационные переменные тех взаимодействий, в которых
данный агент участвует.
V. Соотношения блока ВД могут содержать только информационные переменные данного взаимодействия и планируемые переменные тех агентов, которые в
этом взаимодействии участвуют.
VI. Совокупность соотношений каждого блока разбивается на группы следующих типов: Role, Tech, Other, Choice (только в блоках ЭА), Balance, Con
(в любых блоках), Ia (только в блоках ВД). Группа каждого типа характеризуется
значениями специфических для этого типа признаков. 
Начнем с групп типа Balance, которые оформляют балансовые соотношения модели.
9.3. СИСТЕМА БАЛАНСОВ
9.3.1. Общий вид балансового уравнения: запасы и потоки
Состояние агента задается запасами (количествами) материальных благ
и финансовых инструментов, находящимися в его распоряжении. К материальным благам относятся потребительские продукты и услуги, непроизводственные фонды и средства производства, к финансовым инструментам – деньги, ссуды, депозиты, ценные бумаги и т.п. Запасы материальных благ изменяются
вследствие производства, потребления благ и обменов агентами одних благ на
другие [72], запасы финансовых инструментов изменяются вследствие финансовых операций агентов. Уравнения, описывающие изменение запасов данного блага или финансового инструмента у агентов, образуют систему балансов.
Вся бухгалтерия и вся экономическая статистика основаны на составлении
балансов. Их важность объясняется, видимо, тем, что распределение запасов
между агентами образует аддитивную характеристику экономической системы
[72], а аддитивные величины (меры): длина, угол, площадь, вероятность, масса и
заряды, импульс и спин, все формы и виды энергии, энтропия, массовые концентрации веществ и биомассы животных видов, численность возрастных групп
населения и пр., играют важнейшую роль во всех количественных описаниях процессов окружающего мира.
Модели САРЭ основаны на полной системе материальных и финансовых
балансов всех агентов. В канонической форме модели балансы выделены в отдельный класс соотношений модели. Уравнения балансов содержатся как в блоках ЭА, так и в блоках ВД и всегда имеют вид:
Скорость изменения запаса
=
алгебраическая сумма потоков.
119
(9.1)
Очень часто, разрабатывая макромодели экономики, пренебрегают изменением
запаса блага, предполагая, что алгебраическая сумма потоков равна нулю, и такая запись баланса тоже допускается канонической формой.
Аддитивность запасов выражается требованием: каждая переменная, описывающая поток, содержится не более чем в двух уравнениях баланса, в которые эта переменная входит с противоположными знаками. Это и есть
формальное выражение интуитивного представления (см. разд. 7.1.5.1) о том, что
поток можно направить «только по одному адресу». Чаще всего балансы, содержащие один и тот же поток, располагаются в разных блоках модели.
9.3.2. Материальные балансы
Уравнение материального баланса блага g агента a , которое содержится
в блоке ЭА, в непрерывном времени имеет общий вид (ср. (7.9), (4.29)):
d a
qg 
xg,a   cga ,    hg ,a  hga ,  .

dt
источники
стоки
 ВД
(9.2)
В левой части (9.2) стоит скорость изменения запаса q ga блага g у агента a . В
правой части стоит (9.2) алгебраическая сумма потоков:
 поступления xg,a блага g от источников – производства или из окружающей среды;
 расходования cga , блага g в результате его конечного или промежуточного
(производственного) потребления, включая капитальные затраты (ср. (7.10), см.
[72]), т.е. передача блага «стокам»;
 передач hga ,  блага g другим агентам и получения hg ,a блага g от других
агентов в результате взаимодействия  .
Никаких априорных ограничений на знаки потоков каноническая форма не
накладывает. Вообще говоря, можно было бы, как и в разд. 7.1.6, обойтись величинами чистых продаж yga,  hga,  hg ,a , но при создании модели удобнее оперировать направленными потоками.
Производство, потребление и обмены нескладируемых благ типа электроэнергии или услуг также может быть описано уравнением вида (9.2) (см. [72]). Балансами нельзя описать производство, потребление и обмены общественных и
информационных благ. Общественные блага, например, безопасность, не разделяются между агентами, а информационные блага, например, знания, не исчезают у агента после их передачи. Проблема рыночного регулирования обращения
таких неаддитивных благ пока остается не решенной ни в теории, ни на практике. Экономическая статистика формально относит эти блага к услугам, которые
обладают свойством аддитивности, поэтому в моделях, ориентированных на приложения, неаддитивные блага пока описываются тоже как род услуг.
Каноническая форма модели допускает наличие в блоке ЭА нескольких балансов одного и того же блага, тогда перетоки блага внутри блока ЭА из одного
запаса в другой образуют особую группу потоков. Мы здесь эту группу не показываем, поскольку, как уже говорилось в разд. 7.1.5.1, обычно можно считать разные
материальные балансы одного агента балансами различных благ.
В канонической форме модели переменные, описывающие поступление и
расходование материального блага, связываются с одной из групп соотношений
типа Tech. Эта группа может содержать технологические ограничения на преобразования одних благ в другие и получения благ извне (см. разд. 9.4.2), а может
120
быть пустой. Пустые группы соотношений просто отмечают тот факт, что соответствующий поток является началом или концом цепочки материальных балансов
некого блага.
Согласно правилам 9.2.2.1, будучи планируемой переменной агента a , передача hga ,  адресуется не другому агенту, а блоку  типа ВД, из которого истинный
адресат – агент b – и получит поток hg ,b (см. в качестве примера (6.4), (6.5)). Соответственно в блоках ВД появляются буферные уравнения балансов, связывающие балансы благ у разных агентов. Как правило, обмены разными благами между агентами описываются в разных блоках ВД, представляющих в модели рынки
каждого из благ, хотя каноническая форма модели этого и не требует. Кроме того,
обычно можно считать, что при обменах блага не накапливаются, и записывать
материальные балансы в ВД  в виде
0
 h
a ЭА
a,
g
 hg ,a  .
(9.3)
Каноническая форма модели допускает и в блоках ЭА уравнения баланса с
нулем в левой части. Но в таких балансах нельзя менять знаки у всех слагаемых
на противоположные, поскольку в уравнении баланса левая часть всегда имеет
смысл скорости изменения запаса. На этом примере хорошо видно, чем соотношения канонической формы модели отличаются от формальных уравнений модели.
С другой стороны, каноническая форма допускает наличие неких «буферных» запасов q g материальных благ, ассоциированных с блоками ВД и не принадлежащих ни одному из агентов. В этом случае баланс (9.3) принимает вид
d 
qg    hga,  hg ,a  .
dt
a ЭА
(9.4)
d 
q g  0 , т. е. допуdt
стить возможность потери благ при передаче, то получится непрерывный аналог
условия равновесия (3.45) в модели МРК.
Если дополнить этот баланс в блоке ВД неравенством34
9.3.3. Финансовые балансы
Каноническая форма допускает возможность использовать для платежей
различные финансовые инструменты и обменивать эти инструменты друг на друга. Поэтому уравнения баланса финансовых инструментов, которые содержатся в блоках ЭА, имеют общий вид
d a
si     H i, g,a  H ia, g,     Ti ,  Ti ,a,   
dt
g  ВД
  ВД

 K
  ВД
 ,a
i ,
K
a ,
i ,
    R
 
  ВД
 ,a
i ,
a ,
i ,
R

.
(9.5)
В левой части уравнения стоит скорость изменения остатка i -го финансового инструмента sia у агента a , а в правой части – алгебраическая сумма потоков i -го
Неравенство, определяющее знак производной запаса, характерное для описания нескладируемых благ [72] – это единственный тип дифференциального неравенства, которое допускается в
канонической форме.
34
121
финансового инструмента. Верхние индексы обозначают, откуда и куда идут платежи и переводы инструмента i , первый нижний индекс обозначает вид инструмента, а второй нижний индекс указывает тип операции с инструментом – за что
агент платит (получает) или почему переводит (получает перевод). В уравнении
(9.5) учтены результаты следующих операций35:
 потоки платежей H ia, g, агента a инструментом i за поставки ему hg ,a блага g
и платежей H i, g,a агенту a инструментом i за поставки им hia ,  блага g в отношениях обмена по ВД  .
 Потоки трансфертов Ti , , Ti ,a, типа  , осуществляемых инструментом i в
рамках взаимодействия  . Трансфертами называются финансовые потоки, обусловленные отношениями собственности (дивиденды и предпринимательская
прибыль), власти (налоги, поборы, взятки, субсидии), социальной ответственности и солидарности (пенсии, стипендии, пособия). Объем подлежащих получению трансфертов Ti , чаще всего сообщается агенту, а не планируется им, поэтому мы его здесь обозначили как информационную переменную. (В канонической форме мы не требуем, как в разд. 7.1.5.2, однородности уравнений баланса
по планируемым переменным.)
 Потоки Ki, ,a , Kia, , , описывающие поступления и передачи финансовых инструментов в связи с операцией  обмена одних инструментов на другие во взаимодействии  . К таким операциям относятся, в частности, кредитование и заимствование (см. разд. 7.1.5.2).
 Связанные с кредитными отношениями потоки процентных платежей:
полученных Ri, ,a , и уплаченных Ria, , .
В моделях частей I и II балансы (7.11) имеют вид (9.5), а балансы (7.5), (3.37),
(3.38) – нет, поскольку в них платежи и трансферты выражены через цены, курсы
и проценты в силу (6.4) - (6.7). В канонической форме мы требуем записывать
все балансы в «чистом» виде (9.5), а выражения потоков записывать явно
как отдельные соотношения модели (институциональные ограничения). Иначе
невозможно инструментально проверить корректность записи системы балансов.
Таким образом, чтобы привести к канонической форме уравнение, соответствующее первой строке системы (7.15) в описании агента a , приходится заменять его системой уравнений
dAa
   RA ,,a    H A ,,ag    TAa,,  TAa ,d ,
dt
  ВД
g  ВД
, d  ВД
(9.6)
H A ,,ag  pg hga, ,
(9.7)
RA ,,a  r xa ,
(9.8)
TAa ,d   a d ,
(9.9)
где H A ,,ag – потоки чистой выручки от чистых продаж продукта или финансового инструмента g по каналу реализации  (ср. (6.4), (6.5)), RA ,,a – процентные платежи,
начисляемые на чистый финансовый актив x a в рамках кредитного соглашения  ,
TAa,, – отданные трансферты, классифицированные по типам и адресам, включая
Приведенная ниже содержательная классификация финансовых потоков в канонической форме
не требуется и не фиксируется.
35
122
выделенный трансферт дивидендов TAa ,d . (Для фирмы, к описанию которой отноне характерно, а потоки,
Ti ,
связанные с обменом финансовых инструментов, мы выше включили в состав
H A ,,ag ).
В канонической форме модели финансовые потоки от одного экономического
агента к другому описаны избыточно (как потоки через буферный запас денег в
блоке ВД), точно так же, как описания потоков материальных благ. Так как согласно правилам учета все остатки финансовых инструментов кому-то принадлежат,
то уравнения баланса в блоке ВД обязаны иметь вид (9.3). В тех моделях, которые рассмотрены в книге, уравнения финансовых балансов блока ВД  имеют
вид
(9.10)
0    H ia, g,  H i, g,a  ,
сится уравнение (7.15), получение трансфертов
a ЭА
0  Ti , 
0

a ЭА
 K
a ЭА
a ,
i ,
Ti ,a, ,
 Ki,,a  ,
(9.11)
0
 R
a ЭА
a,
i ,
 Ri,,a  .
(9.12)
В модели, как правило, взаимодействие отражает одну - две реальные финансовые операции, поэтому блок ВД содержит одно - два из уравнений (9.10) - (9.12).
По причинам, изложенным в 9.4.3, баланс платежей (9.10) должен содержаться в
том же блоке ВД, что и соответствующий ему материальный баланс (9.3). Баланс
трансфертов (9.11) в блоке ВД определяет перевод Ti , тому (единственному, в
силу правила записи балансов) агенту, в баланс которого входит поток Ti , .
9.3.3.1. Замкнутость финансовых балансов
Система финансовых балансов, в отличие от системы материальных балансов, замкнута. После суммирования всех балансов (9.2), (9.3) материального актива g в правой части останется сумма источников и стоков. После суммирования всех балансов (9.5) , (9.10) - (9.12) инструмента i в правой части останется
ноль:
d
sia  0 .

dt aЭА
(9.13)
Сумма запасов инструмента не растет, и кажется, что это противоречит наблюдаемому росту массы денег, особенно в периоды высокой инфляции. На самом деле
противоречия нет.
Дело в том, что любой из финансовых инструментов является обязательством экономического агента-эмитента этого инструмента [72]. Остатки этого
инструмента у остальных агентов составляют их требования к эмитенту, которые в сумме равны обязательству, выпущенному эмитентом. Равенство (9.13) выполняется, но запас эмитента надо считать отрицательным. Однако в канонической форме мы НЕ требуем, как в разд. 7.1.5.2, представлять пассивы (обязательства) как отрицательные запасы, а разрешаем в уравнении финансового баланса эмитента инструмента i заменять отрицательный остаток siA противоположной величиной wiA   siA суммы финансовых инструментов, выпущенных в обращение. Об этом просто делается специальная пометка в записи финансового
123
баланса. С математической точки зрения тождественное равенство суммы обязательств, выпущенной в обращение эмитентом, сумме требований представляет
собой первый интеграл системы дифференциальных уравнений финансовых балансов данного инструмента. Это свойство мы используем для автоматического
понижения порядка системы дифференциальных уравнений модели, записанной
в канонической форме.
Возникает вопрос, можно ли описать в канонической форме «натуральные»
деньги, например, золотые монеты, количество которых увеличивается чеканкой
из вновь добытого золота? Да, можно. Во-первых, в канонической форме модели
нет требования, чтобы платеж обязательно осуществлялся деньгами – можно
описать обмен товаров на золото; во-вторых, золотое обращение можно описать
условием резервирования (см. 7.1.7) как обращение денег, которые свободно
обмениваются на золото, накопленное эмитентом. Из истории известно, что золотое обращение становилось именно таким, когда экономика достигала достаточной степени развития.
В канонической форме модели содержание термина «финансовый инструмент» не всегда совпадает с тем содержанием, которое вкладывают в этот термин на практике. Например, рассмотрим каноническую форму модели открытой
национальной экономики, в которой, кроме национальной, обращается и иностранная валюта. Иностранная валюта имеет источником экспортную выручку
и стоком – расходы на импорт. Эмитент иностранной валюты находится вне рассматриваемой экономики, поэтому в модели не описан. Следовательно, иностранная валюта классифицируется как материальный актив. В такой формальной классификации есть содержательный смысл, потому что иностранная валюта
свободно обращается, как правило, в стране со слабой валютой и выполняет
функцию золотого резерва. В стране с твердой валютой иностранная валюта не
имеет свободного обращения. 
9.3.4. Правила записи балансов
I. В канонической форме модели уравнение баланса обязано иметь вид (9.1). В
частности, запись уравнения баланса не может содержать выражений потоков через другие переменные.
II. В канонической форме модели каждый поток входит либо в одно уравнение
баланса, либо в два, но тогда с разными знаками36. Это требование выражает
свойство аддитивности благ и финансовых инструментов. Поток, входящий в одно
уравнение баланса, требуется специфицировать как источник или сток в одной из
групп типа Tech.
III. В канонической форме модели требуется включить уравнение баланса в
группу типа Balance, свою для каждого баланса, и описать его признаки, к которым относятся:
i. вид актива – имя, заменяющее индексы i, g ;
ii. размерность актива (стоимость, вес и т.д.);
iii. тип запаса – материальный актив, финансовый актив, финансовый пассив.
Эта информация нужна, чтобы выделить уравнения баланса среди других
уравнений модели, сохранить содержательный смысл и размерность переменных.
36
С учетом изменения знака потоков при записи запаса как пассива.
124
9.4. ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ АГЕНТА
9.4.1. Способы описания поведения агента
Как уже говорилось в предисловии, парадокс экономики в том, что рационально в ней ведут себя макроагенты – массы однотипных субъектов. Поведение
же индивидуальных агентов, таких как государство или крупные монополии, выглядит скорее иррационально. Чтобы иметь возможность описывать поведение
таких индивидуальных агентов в рамках канонической формы, мы допускаем как
явное описание выбора агента в блоке ЭА – выражениями планируемых переменных через информационные, так и неявное – с помощью принципа оптимальности.
Для применения принципа оптимальности в блоке ЭА следует определить:
 Набор планируемых переменных (например, чистые выпуски, капитальные
затраты и чистые продажи для агента-производителя или объемы потребления
для агента-потребителя).
 Функционал, зависящий от планируемых переменных, например (7.4). В более общем случае функционал может зависеть от информационных переменных,
как от параметров. Таков, например, функционал ожидаемой прибыли в модели
Эрроу-Дебре (2.3), который параметрически зависит от цен.
 Набор ограничений на допустимые значения планируемых переменных.
Ограничения также могут параметрически зависеть от информационных переменных (например, бюджетное ограничение потребителя (2.6)). Содержательно ограничения описывают технологические возможности агента и сложившиеся институты, в рамках которых должен действовать агент.
Описанием поведения с помощью принципа оптимальности служит решение
задачи максимизации функционала по планируемым переменным при заданных
ограничениях. Это решение будет функцией информационных переменных, если
ограничения и/или функционал зависят от этих переменных как от параметров.
Если говорить об отдельно взятой модели, то принципиальной разницы между явным и оптимизационным описаниями поведения нет. Чтобы провести расчеты, нужно решить оптимизационную задачу и получить явные выражения планируемых переменных. Однако если иметь в виду все многочисленные варианты
описаний, которые приходится перебирать прежде, чем получится адекватная модель, между двумя упомянутыми способами описания поведения возникает существенная разница.
Допустим, мы решили усложнить модель, расширив список учитываемых в
ней видов налогов. Если выбор агента задан явно, то придется пересматривать
все выражения для планируемых переменных, каждый раз соображая, как дополнительные налоги повлияют на разные аспекты поведения агента. Если же применяется принцип оптимальности, то новое описание поведения получится автоматически как решение того же типа задачи оптимизации, в ограничения которой добавлены правила исчисления дополнительных налогов.
В книге мы будем иметь дело в основном с оптимизационным описанием поведения. Задача оптимизации будет ставиться как динамическая задача оптимального планирования будущих действий агента, поэтому соотношения блока ЭА, как равенства, так и неравенства, мы часто будем называть ограничениями. Тем не менее, в список соотношений блока ЭА выражение функционала агента НЕ включается. Общий вид системы соотношений блока ЭА можно представлять себе следующим образом:
x  arg max F (x, p) , f (x, p)  0 ,
x
125
где x – список планируемых переменных, p – набор информационных переменных, f – список ограничений. Выражение функционала F не является отдельным
соотношением этой системы.
В первую очередь, к ограничениям относятся балансы (9.2), (9.5). С уравнением баланса естественно ассоциируются простые ограничения на его переменные, например, требования неотрицательности запасов или потоков. Такие ограничения в канонической форме можно присоединять непосредственно к балансовому уравнению, образуя балансовую группу ограничений Balance. Дополнительные ограничения в группах Balance обычны в блоках агентов, но могут присутствовать и в балансах ВД. В последнем случае эти ограничения не влияют на
решения агентов и служат только для контроля осмысленности получаемой траектории модели.
Другие ограничения связывают потоки и запасы из разных уравнений балансов или планируемые переменные, которые не являются ни потоками, ни запасами. Такие ограничения подразделяются на внутренние и внешние.
9.4.2. Технологические ограничения
Внутренние ограничения связывают между собой только планируемые переменные агента. Часто это – технологические ограничения. В общем виде мы записывали их в (4.30). Типичный частный случай технологического ограничения –
ограничение выпуска xga продукта g агентом a
xga  F (caj ,V a ) ,
(9.14)
задаваемое производственной функцией F , которая зависит от затрат caj
(например, труда), и производственных фондов V a , находящихся в распоряжении
агента. Производственные фонды растут за счет капитальных затрат cka фондообразующего продукта k , имеющих эффективность 1 b (ср. (5.20)), и уменьшается
вследствие выбытия с темпом  :
dV A
 ckA b  V A .
dt
(9.15)
В канонической форме модели соотношения (9.14), (9.15) объединяются в
одну группу типа Tech. В признаках группы указывается, что в системе балансов
эта группа «порождает» источник продукта xiA и «поглощает» стоки ресурса c Aj и
продукта ckA . Поэтому группу технологических ограничений (пустую) следует вводить, даже если в модели нет ограничений на эти потоки.
В части II мы отнесли соотношения типа (9.15) к описанию динамики внебалансовых активов (см. разд. 7.1.5.3). И в канонической форме модели уравнения
этого типа не относятся к балансовым. Балансовое уравнение для основных фондов надо было бы выписывать, если бы мы захотели описать в модели перераспределение накопленных фондов между агентами. Известная экономическая
практика включения основных фондов в балансы предприятий отражается в модели не в балансах, а в общем понятии капитала агента (см. разд. 8.1.2).
9.4.3. Институциональные ограничения: роли агентов в ВД
Среди внешних ограничений выделяются те, которые связаны с каким-то
одним взаимодействием. Признаком этого служит присутствие в ограничении не
126
только планируемых, но и информационных переменных, и только одного из ВД.
Группу таких ограничений мы называем ролью агента в ВД и относим к типу
Role. В признаках этой группы указывается, в каком ВД исполняется роль. Только
наличие роли в некотором ВД устанавливает факт участия данного агента в этом
ВД и, тем самым, дает разрешение на использование в блоке ЭА информационных переменных этого ВД37.
Группа ограничений роли описывает некий институт – сложившиеся «правила игры» участника ВД. Типичным простым примером служит описание роли продавца, которое в канонической форме модели агента из части II задается уравнением (9.7). Это уравнение описывает представление агента, принимающего цены
как данность, на какой поток выручки H A ,,ag он может рассчитывать при продаже
hga ,  единиц товара в единицу времени. Вообще говоря, рынок не запрещает отказываться от денег, так что институт конкурентного рынка нужно было бы описывать даже не уравнением (9.7), а неравенством H A ,,ag  pg hga ,  . Однако в любом
разумном с экономической точки зрения описании интересов агента отказ от возможности получить деньги был бы агенту невыгоден. Поэтому, чтобы каждый раз
не выводить это из принципа оптимальности, мы сразу описываем подобные
условия деятельности агента ограничениями-равенствами38.
9.4.3.1. Конкурентные и монопольные рынки
Приведенное обсуждение показывает содержательный смысл разделения
линейного уравнения общего вида (7.5) на баланс (9.6) и институциональные
ограничения (9.7) - (9.9). Естественность такого разделения становится особенно
наглядной, когда приходится менять исходные гипотезы. Например, каноническая
форма модели не требует, чтобы агент принимал цены как данность. Можно описать агента a как продавца-монополиста. Для этого нужно считать, что для агента
a цена продукта g не информационная, а планируемая переменная – pga . После
этого можно заменить уравнение (9.7), например, соотношениями
H A ,,ag  pga hga, , hga,  A  pga B .
Последнее из них задает линейную аппроксимацию функции спроса. Часто предполагают, что монополист пользуется именно такой аппроксимацией, устанавливая наиболее выгодную ему цену. Параметры этой функции A , B  – суть информационные переменные, их монополист узнает в процессе мониторинга рынка.
Например, их можно смоделировать линеаризацией функции спроса, вычисленной из решения задач агентов-покупателей. Описание процедуры формирования
этих величин39 должно быть включено в блок ВД  . Туда же следует включить со-
По этой причине иногда приходится вводить пустую группу Role («роль наблюдателя взаимодействия»).
38 Анализ опыта моделирования экономики позволяет заключить, что строгими равенствами в экономике являются только балансы. Все остальные условия деятельности агентов можно и, строго
говоря, нужно описывать неравенствами (возможно дифференциальными). Например, замена равенства неравенством (9.14) делает задачу агента выпуклой.
39 Процедура должна обеспечить соответствие потоков продукта и выручки монополиста ожидаемым, иначе система балансов (9.2), (9.3), (9.5), (9.10) станет противоречивой. Если моделировать
ошибки монополиста в оценке рынка, то в балансах (9.2), (9.5) следует считать потоки выручки и
37
продаж не планируемыми, а, подобно трансферту
определяемыми балансами (9.3), (9.10).
127
Ti , в (9.11), информационными переменными,
отношение, показывающие, что остальные участники рынка принимают цену,
назначенную монополистом
pg  pga .
Этот пример показывает, что агрегированное представление множества продавцов одним экономическим агентом как лицом, принимающим решения, годится
и в том случае, когда в сообществе продавцов преобладают отношения конкуренции, и в том случае, когда это сообщество ведет себя как единый монополист.
Существенно не количество блоков ЭА, представляющих совокупность реальных субъектов в модели, а то, какие переменные относятся к планируемым, а какие – к информационным. 
9.4.3.2. Блок ВД «управление капиталом»
Роли не обязательно связаны с отношениями обмена. Соотношение (9.9)
описывает роль плательщика дивидендов в ВД d – «управление капиталом» a .
Это взаимодействие рассмотрено в разд. 8.2. Теперь покажем, как оно представляется в канонической форме модели.
Обозначим агента – собственника фирмы a – индексом « o », задачу фирмы
a будем считать однородной, а платежным средством будем считать инструмент
A . В рамках управления капиталом происходит передача потока дивидендов, что
описывается финансовым балансом блока ВД d :
0  TАa ,d  TАd ,o .
(9.16)
В данном случае собственник o планирует получение трансферта TАd ,o . Для
этого он должен знать курс  a , доходность  a и внутренний налог  a (см.
разд. 8.2). Однако в канонической форме записи блока ЭА o нельзя использовать
планируемые переменные агента a – передача информации от фирмы ее собственнику должна быть описана явно. Поэтому мы вводим в блок ВД d соотношения, которые превращают планируемые переменные агента a в информационные
переменные – сообщения об этих величинах:
 d   a , d   a ,  d   a .
(9.17)
Величины  d , d ,  d уже можно использовать в блоке o , в частности, в описании
роли получателя дивидендов
TАd ,o   d  o .
(9.18)
Собственник определяет программу выплаты дивидендов  o из решения
своей задачи и через блок ВД d сообщает ее фирме a . Передача этой информации выражается соотношением ВД d
 d  o .
(9.19)
Итак, блок ВД d состоит из соотношений (9.16), (9.17), (9.19). В этом взаимодействии участвуют два агента: фирма a , в список ограничений которой входит
описание (9.9) роли плательщика дивидендов, и хозяин o , в список ограничений
которого входит описание (9.18) роли получателя дивидендов.
Соотношения (9.17), (9.19) могут показаться излишним формализмом, но мы
усматриваем в них определенный содержательный смысл. В экономике сплошь и
рядом наблюдается сознательное искажение передаваемой информации. В кано128
нической форме можно описывать искажения информации, заменяя выражения
типа (9.17), (9.19) более сложными соотношениями между истинными значениями
планируемых переменных агентов и сообщениями о них. В этом случае балансы и
роли надо, конечно, описывать несколько иначе.

Агент обычно участвует (имеет роли) в нескольких ВД. Так, домашнее хозяйство выступает покупателем на рынке продуктов, продавцом на рынке труда и
кредитором на рынке депозитов. Более того, агент может выступать в нескольких
ролях в одном и том же ВД. Например, производитель – это продавец выпущенных продуктов и покупатель затраченных. Но когда мы строим однопродуктовую
модель, эти продажи и покупки происходят на одном и том же рынке единственного в модели агрегированного продукта.
9.4.3.3. Связь набора ролей и набора взаимодействий
Разбивка институциональных ограничений на роли – это неформальная операция содержательного структурирования модели. Необходимый набор и состав
блоков ВД, по существу, определяется набором ролей агентов.
В самом деле, роль продавца на конкурентном рынке (9.7) включает два
планируемых потока: H A ,,ag и hga ,  . Именно поэтому мы относим эти потоки к одному
и тому же ВД  . Но тогда и балансы (9.3), (9.10), включающие эти потоки, нужно
включить в состав ВД  . Допустим для простоты, что единственным покупателем
продукта g , который продает фирма a на рынке  , является хозяин o этой фирмы. Тогда балансы (9.3), (9.10) примут вид:
0  hga,  hg ,o ,
0H
o, 
A, g
H
 ,a
A, g
(9.20)
.
(9.21)
Если добавить еще в блок o описание роли покупателя для хозяина
H Ao,,g  pg hA ,,og ,
(9.22)
то получится фрагмент модели, описывающий в канонической форме конкурентный рынок: соотношения (9.20), (9.21) составляют блок ВД  , а соотношения (9.7),
(9.22) описывают роли участников этого рынка – продавца и покупателя.
Соотношение (9.8) относится к роли заемщика – участника ВД, в описание
которого входят балансы (9.12).
Приведенные выше неформальные соображения о соответствии состава
блоков ВД набору ролей можно сделать вполне строгими. Именно, в [31] показано,
что блоки ВД можно, не нарушая правил канонической формы, единственным
образом разбить на неделимые далее «простейшие» блоки того же типа. На
практике мы не применяем алгоритм разбиения, а просто стараемся писать блоки
ВД как можно более дробными, поскольку это повышает эффективность инструментальной проверки модели.

Еще более сложные ограничения, которые по формальным признакам не попадают ни в одну из перечисленных выше категорий в канонической форме, «сваливаются» в неструктурированные группы типа Other блока ЭА. Аналогично в отдельные группы Ia блока ВД объединяются все соотношения блоков ВД, не
входящие в балансовые группы.
129
9.4.4. Правила записи ограничений
I. Описания действующих институтов и имеющихся технологий в канонической
форме задаются как ограничения (равенства или неравенства) на планируемые
переменные агентов.
II. Список ограничений разбивается на группы типа Balance, Role, Tech,
Other, Choice, Ia. Группы первых трех типов, кроме соотношений, содержат
дополнительные записи о своих структурных свойствах и имеют определенные
ограничения на вид включаемых в них соотношений.
III. Простые по смыслу и форме ограничения на потоки и запасы одного баланса
добавляются к этому балансу, образуя группу ограничений Balance.
IV. Ограничения, не содержащие информационных переменных, обычно касаются технологий производства и потребления. Они оформляются как группы Tech,
(возможно пустые) с которыми связываются источники и стоки материальных балансов.
V. Ограничения, содержащие информационные переменные только одного блока
ВД обычно описывают «правила игры» участника ВД. Они образуют группу Role,
связанную с этим ВД. Наличие роли (возможно пустой) устанавливает факт участия агента в соответствующем ВД.
VI. Ограничения, которые по формальным признакам не могут быть записаны в
группы Tech и Role, записываются в группы Other или Choice (см. разд. 9.5).
VII. Группы Tech, Role, Other и Choice могут присутствовать только в блоках
ЭА. В блоках ВД соотношения, не включенные в балансовые группы, оформляются как группы Ia.
Все, о чем говорилось выше, относилось к переменным модели, но в ее соотношения входят еще и постоянные параметры. Эти параметры считаются неотрицательными, а дополнительные условия на них можно записать в особые
группы Con. Неравенства на параметры не используются при проверке корректности модели и различных ее автоматических преобразованиях, описываемых ниже.
Но эти неравенства остаются в составе списков соотношений модели для облегчения ее аналитического исследования и корректной идентификации. Вообще, потребность систематически хранить и учитывать многочисленные неравенства,
вытекающие из содержательного смысла переменных и параметров, было одной
из прагматических целей создания системы поддержки математического моделирования ЭКОМОД.
9.5.
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КАК ЯВНОЕ ОПИСАНИЕ ВЫБОРА АГЕНТА
Как уже говорилось, иногда имеет смысл описывать поведение агента явными правилами. Для этого используется специальная группа Choice, которая может присутствовать только в блоках ЭА. Эта группа содержит только уравнения,
которые задают зависимость планируемых переменных агента от информационных.
Оптимизационное описание поведения определяет все планируемые переменные из решения одной оптимизационной задачи, включающей все ограничения. Иногда в процессе построения модели возникает потребность сузить возможности выбора агента в рамках технологических и институциональных ограничений. Дополнительные явные связи между планируемыми и информационными
переменными всегда можно ввести в блок ЭА, записав их в группы Choice. Система ЭКОМОД будет учитывать эти соотношения как дополнительные ограничения-равенства в оптимизационном описании поведения агента.
130
Отличительной чертой нашего направления в моделировании экономики
всегда было то, что мы не спешили просто считать первый пришедший в голову
вариант модели, а старались подвергнуть модель предварительному исследованию путем аналитических преобразований и изучения отдельных ее фрагментов и
частных случаев. На основании результатов этих исследований модель зачастую
подвергается многочисленным модификациям еще задолго до начала расчетов.
Поэтому, разрабатывая новую технологию моделирования, мы хотели бы оставить место и обеспечить поддержку этапу аналитического исследования модели.
Но для регулярного аналитического исследования оптимизационная задача, заданная набором ограничений и функционалом, представляет собой совершенно
неподходящий объект, а решить аналитически до конца такую задачу можно только в очень простых, не представляющих прикладного интереса случаях.
Указанная трудность усугубляется еще одним обстоятельством. Чтобы обеспечить структурную четкость модели и, тем самым, дать возможность эффективной проверки ее корректности, в канонической форме модели вводится много переменных и соотношений типа (9.10) - (9.12), которые оказываются совершенно
лишними с точки зрения удобства аналитического исследования и удобства решения оптимизационной задачи.
Мы преодолели эти трудности следующим образом.
I. Были разработаны специальные алгоритмы аналитического упрощения системы ограничений блока ЭА, а также и всей системы соотношений модели. Эти
алгоритмы существенно используют классификационные характеристики канонической формы. В результате автоматического преобразования выделяется ядро
существенных соотношений40, которое имеет вид, подобный (7.15). «Лишние»
соотношения превращаются в выражения для «лишних» переменных и отщепляются от ядра. Опыт применения таких алгоритмов позволяет сказать, что они приводят систему к «человеческому виду».
II. Опираясь на аргументы, изложенные выше в частях I и II, мы заменяем исходную оптимизационную задачу, описывающую поведение агента, системой простых достаточных условий оптимальности, подобных (7.41) - (7.50).
III. Систему достаточных условий оптимальности можно построить автоматически в аналитическом виде. В результате оптимизационное описание поведения
формально превращается в явное. Для упрощения этого описания достаточные
условия оптимальности записываются только для ядра существенных ограничений.
IV. Запись достаточных условий оптимальности требует введения двойственных
переменных. Эти переменные также вводятся автоматически и в канонической
форме рассматриваются как планируемые переменные агента. Сами условия оптимальности автоматически объединяются в искусственно создаваемую группу
Choice.
V. После такой обработки исходной записи блок ЭА включается в модель уже
просто как набор соотношений на планируемые переменные.
9.6. СВОЙСТВА КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
Каноническая форма содержит не только все математические соотношения,
которые образуют модель экономики, но и дополнительную информацию о разбиении соотношений модели на блоки, описывающие поведение агентов и их взаимодействия, о разделении переменных модели на планируемые и информационные, о выделении в блоках балансовых групп и групп технологических ограничеПри выделении ядра мы дополнительно выражаем потоки ликвидных активов через производные запасов (см. 8.1.3), так что ядро существенных соотношений может содержать уравнения, связывающие производные нескольких переменных.
40
131
ний, связанных с балансами, ролей связанных с определенными взаимодействиям.
В канонической форме можно представить все детерминированные модели
общего равновесия [4:V.2,Chap.19] и все модели САРЭ, включая модель плановой
экономики [44, 67]. Только в последней модели информационными переменными
являются планы (а не цены) и уровни дефицитности и качества продукции.
Тем не менее, предложенная каноническая форма записи модели не универсальна. Например, в эконометрических моделях, используются эмпирические корреляции между экономическими показателями, которые невозможно интерпретировать как результат взаимодействия экономических агентов. Формально описание эконометрической модели в системе ЭКОМОД будет состоять из одного блока
ЭА. Кроме того, каноническая форма плохо подходит для записи микроэкономических моделей.
Это означает, что каноническая форма отражает некоторые содержательные
свойства моделей, что и позволяет контролировать внутреннюю семантическую
согласованность модели. Подчеркнем, что свойства модели, отраженные в канонической форме, являются чисто структурными. Они не связаны с интерпретацией переменных и соотношений, выраженной их названиями.
Методы использования канонической формы представления моделей для
инструментального контроля правильности хода разработки новой модели обсуждаются в гл. 10. Здесь приведем один пример, когда аккуратный анализ соответствия соотношений канонической форме позволяет выявить структурный дефект
модели.
9.6.1.1. Пример модели нащупывания равновесной цены
Во фрагменте (9.7), (9.20) - (9.22), описывающем конкурентный рынок, замеd 
qg  hga ,  hg ,o (см. (9.4)),
ним уравнение баланса (9.20) более общим уравнением
dt
не требуя неотрицательности производной запаса. Добавим в описание блока ВД
 уравнение для цены pg :
d 
pg  k  hga ,  hg ,o  ,
dt
(9.23)
отражающее распространенное представление о том, что цена растет при дефиците и падает при избытке продукта на рынке. Это уравнение представляет известную модель «нащупывания» равновесной цены [35]. Сопоставление уравнения (9.23) с (9.7), (9.21), (9.22) сразу показывает, что в модели нащупывания
нарушается финансовый баланс (9.21) – деньги будут либо утекать из системы,
либо возникать ниоткуда. Этот дефект показывает, что модель нащупывания нуждается в явном описании агента-посредника, который брал бы на свой счет компенсацию возникающих дисбалансов.

В качестве резюме приведем фрагмент блок-схемы (ср. со схемой рис. 6.2.3.1) гипотетической модели в канонической форме, содержащей
 материальный (9.2) и финансовый (9.6) балансы агента a ;
 технологические ограничения (9.14), (9.15) агента a ;
 описания ролей агента a : продавец (9.7) в ВД  , плательщик дивидендов (9.9)
в ВД d ;
 соотношения блока ВД «рынок продукта»  (9.20), (9.21);
 соотношения блока ВД «управление капиталом» d (9.16), (9.17), (9.19) ;
132
 описания ролей агента o : покупатель (9.22) в ВД  , получатель дивидендов
(9.18) в ВД d .
ЭA a
hga , 
ВД 
Balance(9.2)
hg ,o
мат. балансы
Balance(9.3)
m
Role(9.7)
цена p g
Error!
Reference
source
not
found.
a
выпуск x g
Balance(9.10)
Role(9.22)
Error! Reference source not fou
H A ,,ag
Balance(9.6)
Tech((9.14), (9.15))
TAa,,dd
ВД d
ЭA o
H Ao,,g
TAd,d,o
фин. балансы
Balance(9.16)
a, a, a
Role(9.9)
Error!A Reference
source not found.
A
затраты c j , ck
d
Ia(9.17)
Ia(9.19)
d, d, d
Role(9.9)
Error! Reference source not fou
o
материальные потоки
финансовые потоки
информация
Прочие мат.
балансы
Рис. 9.6.1
Глава 10. Каноническая форма представления статистических
данных и результатов расчетов
10.1. СИММЕТРИЧНАЯ ТАБЛИЦА СИСТЕМЫ НАЦИОНАЛЬНЫХ СЧЕТОВ
Проведенное исследование показало что, каноническая форма помогает не
только разрабатывать модель, но и структурировать исходные статистические
данные о показателях развития экономики и модельные аналоги этих показателей.
В настоящее время самый полный и надежный свод регулярной экономической статистики представляют таблицы системы национальных счетов
(СНС)41 [55]. Мы сосредоточимся на симметричной таблице выпусков-затрат в ценах потребителей, которая используется наиболее часто. Полный ее вид, публикуемый Росстатом [83], на странице книги показать трудно, но если
 удалить строки и столбцы с промежуточными итогами,
 заменить список из 10 учтенных в таблице отраслей производства, обслуживания, торговли, финансов и косвенно измеряемых услуг финансового посредничества условным списком секторов: «отрасли производства», «торговля»,
«транспорт», «отрасли финансового сектора»,
 объединить столбцы «вложения в основной капитал» и «вложения в прирост
запасов» в один столбец «валовое накопление»,
Теперь все чаще используют более общие матрицы интегрированных финансовых потоков,
(Social Accounting Matrices, SAM), но в России их составляют пока в порядке эксперимента [18].
41
133

I.
Отрасли производства
Оплата текущих материальных затрат
Торговля
Транспорт
Финансовый сектор
III.
Оплата труда
наемных работников
Платежи домашним хозяйствам и государству
Другие налоги на
производство
Другие субсидии
на производство
Транспортная
наценка
Торговая наценка
Импорт
Налоги на продукты
Экспорт
Валовое накопление
Государственные учреждения
Домашние
хозяйства
Финансовый сектор
Транспорт
Торговля
Отрасли производства
объединить расходы государственных учреждений на индивидуальные и на
коллективные услуги,
то получится вполне обозримая табл. 10.1.1.
Таблица 10.1.1
II.
Оплата конечного
потребления и
накопления
IV.
Валовая прибыль
Валовой смешанный доход
Доходы
Методика составления табл. 10.1.1 описана в [55]. Из нее следует, что
 Таблица составляется в разрезе чистых отраслей. Это означает, что в квадранте I в каждую строку (столбец) заносятся данные об одном агрегированном
продукте или финансовой услуге, а разные строки (столбцы) – данные о разных
продуктах. Поскольку заносятся данные о затратах продуктов на производство
продуктов, а не о предприятиях, то таблица называется симметричной.
 В белые клетки табл. 10.1.1 заносятся совершенные агентом за год платежи
по статье, названной в строке. При этом капитальные затраты всех агентов и их
затраты на создание запасов отделяются от текущих затрат и складываются в
«валовое накопление». Можно считать, что, кроме чистых отраслей, домашних
хозяйств и государства, искусственно выделяется еще агент «инвестор», который
и осуществляет все накопление. Столбец «экспорт» можно рассматривать как запись расходов агента «Экспортер».
 Назначение серых клеток обсуждается ниже. Там же объясняется, почему в
строках отражается только часть налогов.
 В столбце «торговля» учитываются только ее расходы на собственные нужды
и не учитываются расходы на покупку продуктов, предназначенных для продажи.
 Доходы42 секторов тоже представляют собой платежи, поскольку они распределяются между валовым накоплением (инвестициями) и дивидендами (чистым
предпринимательским доходом). Субсидии включаются в таблицу со знаком «-».
 В квадрант IV, который в российской статистике не заполняется, надо было бы
заносить распределение доходов. В его клетки должны быть внесены со знаком
«-» доходы домашних хозяйств (заработная плата и предпринимательская прибыль), доходы бюджета (налоги) и инвестиционные расходы производителей.
Смешанный доход – это доход индивидуального предпринимателя, который невозможно разделить на прибыль и заработную плату.
42
134
 Табл. 10.1.1 можно агрегировать, складывая строки и/или столбцы и присваивая суммам некие обобщающие названия. Таким способом из исходной таблицы
Росстата был получен, например, столбец «валовое накопление» в табл. 10.1.1.
Чтобы сохранить исходную симметрию таблицы, отвечающую понятию чистых отраслей, следует складывать и столбцы, и строки, соответствующие агрегированным отраслям. Если сагрегировать все отрасли в одну (учитывая серые столбцы),
то получится основной макроэкономический баланс [72].
Табл. 10.1.1 содержит расходы покупателей – данные, которые регистрируются проще и надежнее, чем другие. Это отражено в ее официальном названии:
«Симметричная таблица «выпуски-затраты» в ценах покупателей». Но покупатели
обычно платят не производителям, а посредникам, поэтому оплачивают не только
продукт, но и его перевозку (транспортную наценку) и услуги торговли (торговую
наценку). Кроме того, посредники продают импортные продукты, взаимозаменяемые с продуктами отечественных чистых отраслей. Сверх того, в продажную цену
включаются налоги на продукты (акцизы, НДС, налог с продаж), которые продавцы сразу перечисляют в бюджет.
По этим причинам табл. 10.1.1, правильно отражая расходы агентов, не показывает объемы производства (выручку производителей). Сумма расходов потребителей по белым клеткам строки квадрантов I и II оказывается больше объема производства соответствующего продукта на величину импорта, наценок и
налогов на продукты. Именно поэтому прочие налоги (на прибыль, на имущество,
на доходы и пр.) в строке названы «другие», а финансовые потоки, показанные в
табл. 10.1.1, оказываются фактически не сбалансированными.
Трудности возникают вследствие естественной потребности вести учет в чистых отраслях, т.е. относить платежи не к субъектам, а к продуктам и операциям.
При учете в разрезе чистых отраслей, сегодняшняя картошка на складе сельского
производителя и завтрашняя картошка на столе у городского потребителя не различаются, но в современной экономике реальное превращение одной картошки в
другую совершается с затратами продуктов, ресурсов и денег на транспортировку
и реализацию, которые сравнимы с затратами на производство. При этом потребные деньги тоже можно покупать в форме кредита.
Экономическая теория преодолевает это противоречие, рассматривая торговлю, транспорт и финансовый сектор (банки, биржи, страховые компании и пр.)
как производителей соответствующего вида услуг, которые потребляются наряду
с обычными продуктам, но эта принципиальная позиция не устраняет специфических трудностей в учете деятельности посредников.
Невозможно разделить конечное и промежуточное потребление финансовых
услуг, поэтому в состав операций вводится «косвенная оценка услуг финансового
посредничества». Торговые и транспортные услуги не имеют особых цен – их стоимость учитывается разницей цен продуктов в разных географических и организационных пунктах экономической системы43.
Чтобы восстановить баланс расходов потребителей и доходов чистых отраслей, в столбцах, выделенных серым в табл. 10.1.1, отдельно приводятся данные
по импорту, наценкам и налогам на продукты. Эти данные заносятся в столбцы со
знаком «-», поэтому сумма по всей строке равна выручке производителя. Правда,
в клетке на пересечении столбца «торговая наценка» и строки «торговля» знак
снова меняется, потому что эта клетка содержит доход торговли от наценок. В
итоге сумма по столбцу «торговая наценка» равна нулю. Точно так же устроен и
столбец «транспортная наценка».
Правда, в табл. 10.1.1 есть ненулевые платежи отраслей за услуги транспорта и торговли, но
они отражают затраты на транспорт и общественное питание в процессе производства – до реализации продукции.
43
135
Теоретически столбцы корректировок позволяют пересчитать таблицу в цены
производителей, выделить в строках всю сумму налоговых платежей и, по сути,
превратить таблицу СНС в таблицу межотраслевого баланса в текущих ценах.
Однако практически для этого надо принять определенные предположения о взаимозаменяемости импортного и отечественного продуктов. Поэтому до последнего времени таблицу оставляли в виде 10.1.1, а ответственность за приведение к
ценам производителей ложилась на те группы экспертов, которые пытаются это
сделать [39]. Росстат в ценах производителей (основных ценах) публиковал только основной макроэкономический баланс.
10.2. ТАБЛИЦА БАЛАНСОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
Оказалось, что каноническая форма модели порождает свой формат представления статистических данных и их модельных аналогов. Потоки денег между
агентами описываются финансовыми балансами в блоках ВД (9.10) - (9.12). По
виду этих уравнений можно установить, от какого агента к какому направлены потоки платежей в данном взаимодействии и каким инструментом осуществляют
платежи. После того, как с помощью модели будут вычислены значения потоков,
можно получить модельные аналоги статистических данных. Для этого надо вычислить суммарные потоки на характерном промежутке времени, скажем, в квартал или год.
Эти данные можно свести в таблицу, отражающую результаты расчетов по
модели в разрезе главных категорий канонической формы: «агент», «взаимодействие», «аддитивная величина». Поскольку этих категорий три, таблицу естественно строить трехмерной, т.е. составлять из отдельных листов. Листы соответствуют финансовым инструментам и описывают их оборот. Лист представляет собой таблицу, столбцы которой соответствуют агентам (блокам ЭА), а строки –
взаимодействиям (блокам ВД). В клетку листа записываются потоки платежей,
полученных или заплаченных данным агентом в данном взаимодействии данным
финансовым инструментом.
Чтобы таблица полно отражала экономическую информацию, содержащуюся
в балансовых уравнениях ВД, каждую строку следует разрезать вдоль на две части (полустроки). В верхнюю полустроку помещаются доходы агента в данном ВД,
а нижнюю – его расходы. Величина доходов определяется как сумма потоков со
знаком «-» в балансовых уравнениях (9.10) - (9.12) данного ВД, относящихся к
данному агенту и данному финансовому инструменту (сумма по уравнениям и индексам g , ,  ). Расходы определяются как аналогичная сумма потоков со знаком
«+».
Приведем вид такой таблицы (см. табл. 9.2.2) для модели, набор агентов в
которой соответствует набору агентов в табл. 10.1.1, а набор взаимодействий –
представлению о наборе операций, который надо было бы охватить, чтобы полно
исследовать проблему теневого оборота. Предполагается, что в такой модели
платежи осуществляются тремя инструментами: рублями легально («белые»),
рублями нелегально («черные») и иностранной валютой. Следующая таблица
представляет один из листов (любой, поскольку листы классифицируют платежи
по инструментам, которыми они осуществляются). Штриховая линия показывает
разбиение строк на полустроки.
Таблица 10.2.2
136
Рынки продуктов
Рынки финансовых услуг
Распределение прибыли
Кредитование, сбережения,
страхование
Рынок валюты и ценных бумаг,
отмывание денег
ИТОГО
Заграница
Государственные учреждения
Проценты, погашения облигаций и страховые
премии
зарплата
Рынки природных ресурсов
Поборы и взятки
Домашние
хозяйства
Платежи за продукты и услуги (кроме финансовых)
Рынок труда
Уплата налогов сборов,
субсидии
Инвесторы
Отрасли
финансового
сектора
ВД
Отрасли
реального
сектора
ЭА
рента
Трансферты: Платежи, связанные с
отношениями собственности, власти и
социальной солидарности,
не сопровождающиеся встречными
передачами благ или обязательств
Выдача и погашение кредитов,
прием и изъятие депозитов
Продажа и покупка ценных бумаг и конвертация платежных средств
Изменение денежных остатков каждого платежного средства у каждого агента
 В клетках табл. 10.2.2 записываются платежи и доходы агента за год. Строки
классифицируют эти платежи, во-первых, по типу процесса (ВД): купля-продажа
продуктов, выплата-получение зарплаты и т.п. Расходы и доходы разделяются
разбиением каждой строки на полустроки. Суммы двух полустрок в каждой строке
совпадают в силу (9.10) - (9.12).
 В столбце «заграница» полустроки отвечают экспорту и импорту из
табл. 10.1.1.
 Табл. 10.2.2, как и табл. 10.1.1, можно агрегировать. Во-первых, можно складывать столбцы, объединяя нескольких агентов в одного. Во-вторых, можно объединять взаимодействия, складывая их строки, отвечающие одинаковым платежным средствам. Это – точное агрегирование.
 Можно провести приближенное агрегирование по инструментам, складывая в каждом взаимодействии строки листов, отвечающих разным платежным
средствам, с весами, отражающими курсы этих средств. Такое агрегирование
фактически выполняется при составлении стандартной таблицы СНС 10.1.1 на
основании отчетов о реальных платежах.
10.3. СОПОСТАВЛЕНИЕ
Если экономических агентов производителей моделировать чистыми отраслями, то каждый продукт будет предлагать только один агент. Тогда рынки
продуктов можно отождествить с отраслями, производящими эти продукты, и левый верхний квадрант табл. 10.2.2 будет иметь такую же симметричную
форму, как I квадрант табл. 10.1.1.
137
При этом остается та же трудность с выделением продукта отраслей «торговля» и «транспорт», которая обсуждалась в разд. 10.1. Если описывать отрасль
«торговля» блоком ЭА и использовать, как рекомендовалось в разд. 9.6 выше,
«минимальные» блоки ВД, то описание рынка каждого продукта разделится на
описания оптового и розничного рынков, а «торговля» не будет чистой отраслью.
Чтобы представить «торговлю» чистой отраслью придется объединить блоки ВД в
один, усложнив описание рынка.
В системе национальных счетов процентные платежи рассматриваются как
оплата финансовых услуг и учитываются так же, как и платежи за продукты (9.10).
В моделях неудобно и неестественно вводить продукт «финансовые услуги», потому что он не связан с описанием технологии. По этой причине выплаты процентов выделяются в особые группы взаимодействий (9.12). Чтобы при этом не возникла ошибка, сопоставляя результаты расчетов со статистикой, надо учитывать,
что рассчитанная по модели добавленная стоимость, созданная агентом, меньше
статистической добавленной стоимости на величину прибыли, возникшей за счет
разности полученных и уплаченных процентов.
По сравнению с табл. СНС 10.1.1 в табл. 10.2.2 содержится больше информации, так как
I. показано, какими инструментами осуществляются операции;
II. показаны источники доходов агентов и их перераспределение между агентами;
III. показаны не только сальдо операций, но и обороты по операциям:
IV. по оборотам можно исчислить объемы кредитования и обменов платежных
средств. В обычной таблице СНС учитывается только прибыль от этих операций;
V. сумма по столбцу равна не нулю, а величине изменения остатков инструментов у агента. Величины оборотов и изменения остатков можно сопоставить с данными о денежном обращении, которые собирает ЦБ, и таким образом привлечь
для анализа еще один источник статистической информации.
Представим себе, что табл. 9.2.2 рассчитана с помощью модели. Сравнение
ее с таблицей СНС дает возможность проанализировать состояние экономики.
Лист табл. 9.2.2, относящийся к «белым» деньгам, должен отражать официальные
данные. Нестыковки данных различных ведомств (например, таможни и ЦБ по импорту), если таковые обнаружатся, должны объясняться или «черным» листом
табл. 9.2.2 или разницей в ведомственных методиках. Если табл. 9.2.2 по «белым» деньгам правильно отражает официальные данные, то по всем деньгам
(«белым» и «черным») можно оценить скрытый от статистики показатель – налоговый потенциал [60].
Заметим, что табл. 9.2.2 можно отобразить и «серые» схемы, которые основаны на том, что ставка налога зависит от вида дохода, т.е. источника полученных
агентом денег. Поэтому, представив заведомо ложную информацию об источнике
полученных денег, агент может недоплатить налоги. Например, можно представить экспорт нефти в свой оффшор по низкой цене как продажу на внутреннем
рынке и недоплатить экспортную пошлину. Наоборот, можно представить внутренние продажи фиктивным экспортом, чтобы получить возврат НДС.
Глава 11. Система поддержки математического моделирования
экономики ЭКОМОД
11.1. ЗАДАЧИ И ВОЗМОЖНОСТИ СИСТЕМЫ ЭКОМОД
Для работы с моделями в канонической форме была создана инструментальная система ЭКОМОД [32]. Система ЭКОМОД надежно поддерживает все
этапы работы с моделью: от написания соотношений до расчетов и анализа ре138
зультатов. Структурно-классификационные характеристики канонической формы
задаются в системе ЭКОМОД либо специальным способом обозначения переменных, либо признаками групп соотношений.
Система ЭКОМОД содержит 5 уровней контроля правильности записи модели в канонической форме. Контроль первых четырех уровней проводится строго
формализовано путем проверки выполнения аксиом канонической формы.
I. Синтаксический контроль. Проверка выполнения обычных правил написания математических выражений: соответствия скобок, наличия операндов у бинарных операций и отношений и т. п. Проверяются также специфический синтаксис балансовых уравнений (9.1) (правило I в разд. 9.3.4), отсутствие русских букв
в именах, постоянство числа аргументов у функций и некоторые другие особенности синтаксиса соотношений канонической формы.
II. Контроль балансов. Проверяется, удовлетворяет ли совокупность балансовых уравнений модели правилу II в разд. 9.3.4.
Движение каждого актива описывается подсистемой балансовых уравнений,
связанных потоками передач. Графический образ этой подсистемы уравнений образует обычную потоковую схему, которой традиционно сопровождается описание
моделей экономики. Благодаря выделению балансовых уравнений система
ЭКОМОД строит такие потоковые схемы автоматически.
Следует отметить, что несмотря на свою простоту, контроль балансов оказался очень эффективным. Безошибочно выписать вручную балансы, скажем, пяти активов для трех агентов практически невозможно. А проявляются такие ошибки, к сожалению, только на этапе вычислительных экспериментов с моделью.
III. Контроль размерности. Он основан на простом соображении, что бессмысленно складывать или сравнивать величины разных размерностей, (например,
вес и стоимость), поскольку результат существенно зависит от произвольно выбранных единиц измерения (граммы или тонны, рубли или копейки). Правильная
размерность системы соотношений математически означает ее инвариантность
относительно некоторой группы преобразований подобия [33].
По не вполне понятным нам причинам в прикладных системах контроль размерности применяется довольно редко, а если и применяется, то сводится к требованию задавать для всех величин единицы измерения в некоторой фиксированной системе основных единиц. Мы пошли по другому пути при построении канонической формы модели. Во-первых, задавать для каждой величины размерность очень утомительно. Во-вторых, в отличие от физики, в экономике нет общепринятых основных независимых единиц измерения, кроме единиц измерения
времени. Валовой внутренний продукт России может измеряться и в долларах, и в
рублях 1990г., и в рублях 2000г., а коэффициенты пересчета этих единиц друг в
друга могут вызывать большие споры. Наконец, в разных моделях социальноэкономических систем используются существенно различные наборы переменных, иногда довольно необычные. Поэтому мы допускаем, что в каждой модели
может быть свой набор независимых базовых размерностей.
В канонической форме модели наиболее естественно задавать независимые
размерности для активов, движение которых описывается балансовыми уравнениями, поскольку эти балансовые уравнения составляют «костяк» самых надежных соотношений модели. В канонической форме мы требуем указать название и
размерность каждого актива. Разные запасы одного и того же актива обязаны
иметь одинаковую размерность, но и разные активы (например, ссуды и наличные
деньги) могут иметь одинаковую размерность. Размерность, как и название актива, указывается в числе признаков каждого балансового уравнения.
Потоки активов имеют размерность актива, деленную на время. Размерности
активов и времени образуют базовую систему размерностей модели. Размерности
139
остальных переменных и коэффициентов могут быть вычислены через базовые
размерности по простым правилам в силу соотношений модели. Список этих
правил приведен в Дополнении 1.
Если в процессе вычисления размерностей возникает противоречие – сложение или сравнение величин разных размерностей – система сигнализирует об
ошибке. Обычно ошибка размерности означает, что в каком-то соотношении был
пропущен множитель. На практике контроль размерности оказался весьма мощным и эффективным методом поиска ошибок в уравнениях модели, и мы настоятельно рекомендуем использовать его в прикладных системах. Контроль балансов, грубо говоря, отыскивает в соотношениях пропущенные (или лишние) слагаемые, а контроль размерности – пропущенные множители. Вместе они позволяют
исключить подавляющее большинство ошибок, обычно возникающих при записи
уравнений.
IV. Контроль информационных связей. Проверка правил использования переменных в блоках, сформулированных в разд. 9.2.2.1.
V. Семантический контроль. Проводя по команде пользователя перечисленные
выше проверки, система ЭКОМОД одновременно формирует оперативную базу
данных о параметрах, переменных, функциях, балансах, активах и блоках модели.
В эту базу заносятся исходные соотношения вместе с их классификаторами и
по желанию пользователя – названия переменных, отражающие их содержательный смысл. По собранной информации система строит блок-схему модели, на
которой отображаются агенты и взаимодействия, связанные ролями, а также потоковые схемы движения активов.
Семантический контроль опирается не на формальную структуру модели, а
на конкретную содержательную интерпретацию ее переменных и блоков.
Поддержка этапа аналитических преобразований и аналитического исследования модели. Как уже говорилось, мы всегда предварительно исследуем
модель, подвергая ее аналитическим преобразованиям. Это дает качественные
результаты, опираясь на которые можно точнее интерпретировать результаты численных экспериментов с моделью и целенаправленно их планировать.
По нашему мнению только исследование качественных свойств модели придает ей объяснительную силу, присущую настоящей научной теории. Поспешный
переход к численным экспериментам, который рекомендуют многие современные
методики имитационного моделирования, чреват превращением модели в обычную компьютерную игру, которая не столько объясняет мир, сколько психологически замещает его.
Модели экономики, ориентированные на приложения, чрезвычайно разнообразны по виду, потому что неповторимы внутренние механизмы эволюции конкретной экономики в определенный период времени, потому что разнообразны
проблемы, на решение которых ориентированы модели. Кроме того, модели экономики, ориентированные на получение состоятельных количественных аналитических и прогнозных оценок, представляют собой весьма сложные нелинейные
системы уравнений и неравенств. Безошибочно преобразовывать и исследовать
их вручную настолько трудоемко, что практически, можно считать, невозможно.
Тем более что по ходу разработки первоначальная версия модели несколько раз
модифицируется, и все приходится повторять сначала. Поэтому возникает соблазн менять модель по ходу исследования, а это обычно нарушает системность
исходных гипотез.
Эти трудности удается преодолеть с помощью современных систем компьютерной алгебры, которые дают возможность автоматически повторить длинный
цикл выкладок после модификации модели. При этом очень полезной оказывает140
ся собранная содержательная информация о соотношениях и переменных, поскольку она позволяет помнить происхождение преобразованного соотношения.
Это настолько мощное и удобное средство, что встает вопрос о развитии особой
алгебры «комментированных соотношений».
Конечно, сама компьютерная система ЭКОМОД не может построить модель.
Но в ней можно хранить много «заготовок» и старых версий. С помощью системы
можно проверить, подходят ли старые блоки к новой модели. В разных моделях
разные блоки могут получить одно и то же название, которое до известной степени будет отражать категориальную структуру системы моделей сложной системы
(см. сноску 30 на стр. 116).
11.2. РЕАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ЭКОМОД В СРЕДЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
MAPLE
Система ЭКОМОД организована в виде набора функций и процедур, обеспечивающих запись и последующую работу с моделями в канонической форме. Последняя версия системы ЭКОМОД реализована в среде компьютерной алгебры
Maple [8]. Функции и процедуры ЭКОМОД определяются в двух библиотечных
файлах44: varlist.mws и ecomob.mws. Первая из этих библиотек содержит
функции, обеспечивающие сбор информации о модели и контроль корректности
модели. Вторая библиотека содержит несколько десятков функций общего назначения, которые по нашему опыту упрощают процесс анализа модели. Кроме библиотек, в состав системы ЭКОМОД входят макросы – последовательности команд, которые оформлены как отдельный mws-файл.
Проект в системе ЭКОМОД состоит из последовательности рабочих mwsфайлов. Выполнение большинства рабочих файлов начинается со считывания из
информационного m-файла данных о результатах предшествующих этапов создания и исследования модели и заканчивается сохранением результатов своей работы в другом m -файле.
Блоки ЭА канонической формы записываются в отдельных файлах – рабочих файлах агентов. Создание этих файлов – первый этап разработки модели.
В Дополнении 3 приведен подробно прокомментированный конкретный пример такого файла. Здесь только отметим, что соотношения модели вводятся в
обычной математической нотации как аргументы функций, соответствующих перечисленным в разд. 9.4.4 группам. Необходимые признаки групп (размерность,
название актива, список источников и стоков и пр.) тоже вводятся как аргументы
этих функций.
Функции ввода групп также собирают и сохраняют информацию об отдельных соотношениях и входящих в них переменных. В частности, сохраняется исходный вид соотношения, который можно будет увидеть после всех преобразований модели (см. Дополнение 2). Размерность переменных и параметров определяется и сохраняется автоматически, пользователь может дать им содержательные названия.
Порядок ввода групп ограничений произволен, а их описание может перемежаться текстовыми комментариями и вспомогательными выкладками. Если скрыть
строки ввода, то описание блока ЭА станет обычным текстом статьи или отчета.
Таким способом получен, например, весь текст разд. 15.1.2.
Поскольку в системах компьютерной алгебры не всегда можно и всегда неудобно работать с многоиндексными обозначениями, в записи системой
ЭКОМОД уравнений (9.2) - (9.12) из четырех индексов потока и двух индексов заРабочие области (файлы) Maple, в которых ведет всю работу пользователь этой системы компьютерной алгебры.
44
141
паса сохраняется только один – индекс агента или взаимодействия, причем
по техническим причинам он переносится вниз. Часть информации, которую
несут остальные три индекса, фиксируется в базе данных, которые собираются в
процессе ввода групп. Для себя автор модели может отразить эту информацию в
многобуквенных индивидуальных именах переменных, на которые каноническая
форма модели не накладывает никаких ограничений.
При создании блока ЭА не надо приписывать индекс каждой планируемой
переменной, он будет присвоен автоматически при сборке модели. В системе
предусмотрена возможность контролируемого переименования величин. Старое
имя остается в истории переименований. При очередном переименовании
предыстория проверяется, так что контаминация имен исключается.
В рабочем файле сборки все описания агентов собираются в общую систему уравнений. В нем же вводятся все соотношения, относящиеся к блокам ВД, которые и замыкают модель. Комментированный фрагмент описания приведен
в Дополнении 4. Следующие за файлом сборки рабочие файлы содержат последовательные преобразования модели, исследование ее упрощенных вариантов, а
также разные варианты расчетов и представления их результатов. Система файлов проекта схематически изображена на рис. 11.2.1.
Тупик
Представление
результатов
Excel
Частный случай
Блоки
ЭА
Блоки ВД,
сборка,
проверка
преобразования
Расчеты –
идентификация,
верификация
Расчеты –
численные
эксперименты
Рис. 11.2.1
Обычно в процессе преобразований модель представляется в виде двух
списков соотношений. Первый, по традиции именуемый RES, содержит явные
выражения исключенных переменных, а второй – ядро нетривиальных соотношений на оставшиеся переменные. В процессе преобразований последний список
приобретает разные имена, но в конце этапа преобразований для передачи в
следующий файл ему обычно присваивается имя ALL. Эти правила не обязательны – иногда бывает удобно вводить временные обозначения и дополнительные
списки, а иногда – смотреть на все соотношения вместе.
Проект в системе ЭКОМОД оформляется как отдельный каталог, число и
набор файлов в нем не регламентируется. По сложившейся практике проект
представляет собой версию модели, которая отличается от других версий описаниями блоков ЭА или ВД. Например, модель, описанная в части IV, представляет
собой тридцать пятую версию. Каждая предыдущая версия-проект содержала от
10 до 30 рабочих файлов.
Преобразования модели не всегда сводятся к исключению переменных или
выделению частных случаев. Это могут быть и нетривиальные модификации системы соотношений, например, переход от непрерывного времени к дискретному
или аппроксимация условий дополнительности (см. гл. 15). Однако, в отличие от
модификации исходных блоков, которые отражают изменение содержательных
предположений, модификации в процессе преобразований носят более формальный и унифицированный характер. Это – преобразования соотношений определенного типа, более или менее независимые от их содержательного смысла. Если
142
не требуется изменения порядка преобразований, то преобразования модифицированной системы соотношений повторяются автоматически за несколько минут.
По требованию заказчика выполнение файлов Maple при численных экспериментах с моделью может быть организовано под управлением популярной программы Microsoft Excel. Тогда исходные данные вводятся средствами Excel, а результаты выводятся в виде таблиц и графиков Excel.
Основные структуры данных системы ЭКОМОД, необходимые для понимания Дополнений 3, 4, описаны в Дополнении 2.
Глава 12. Как построить прикладную модель межвременного
равновесия?
12.1. СТРУКТУРА МОДЕЛИ
Типичная макромодель экономики, ориентированная на приложения, содержит примерно 10-20 блоков ВД и 5-10 блоков ЭА. Исследование модели и прикладные расчеты сводятся к решению краевой задачи для нелинейной системы
дифференциальных или конечно-разностных уравнений с ограничениями, среди
которых есть условия дополняющей нежесткости типа (7.44).
Такую модель можно рассматривать как модель конкурентного межвременного равновесия из части II, «испорченную» институциональными ограничениями
на движение финансовых инструментов. Дополнительные ограничения, вообще
говоря, уменьшают неоднозначность в определении равновесных траекторий финансовых показателей, характерную для модели МРК.
Попытавшись на практике построить модель экономики страны по общей
схеме моделей МРК, мы обнаружили, что в схему приходится вводить коррективы.
Пока мы не можем предложить модифицированную общую схему с учетом необходимых коррективов. Они остаются эвристическими приемами, и мы считаем,
что их необходимо обсудить.
12.2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
Институциональные ограничения вводятся в модель из содержательных соображений, чтобы отразить существенные особенности экономических отношений, которые не учтены в исходной, классической модели общего равновесия экономики. Совсем не очевидно, что после введения дополнительных ограничений
задача о равновесной траектории будет иметь единственное решение.
Снова повторим, что надо было бы добавлять ограничения одно за другим в
модель и изучать, как при этом сужаются пучки равновесных траекторий. Неоднократно высказывалась мысль, что от модели сложной системы надо требовать
не столько предсказания того, что будет, сколько исключения того, чего не
может быть при определенных условиях. Однако это проще сказать, чем сделать. Как правило, попытки отсечь невозможное сводятся к описанию чисто технологических возможностей, например, множества допустимых траекторий в модели Эрроу-Дебре гл. 1.
Но существуют и собственно экономические ограничения, проистекающие из
необходимости координировать деятельность людей и коллективов в условиях
разделений труда и обязанностей. Это – скорее, информационные, а не технологические ограничения. В экономике значительную часть информации несут финансовые показатели, но в модели равновесия Эрроу-Дебре нет никаких ограничений на движение финансовых инструментов. Поэтому и модификация ее в модель МРК допускает множество способов финансового сопровождения данной
эффективной траектории реальных величин выпусков, запасов, потребления, а
траектории финансовых показателей фактически не связаны с ними.
143
Ограничения ликвидности финансовых инструментов часто можно трактовать, как недоверие к финансовым показателям, как требование чем-то подкрепить, обеспечить достоверность передаваемой ими информации. Грубо говоря,
ограничение ликвидности – денежная оценка неопределенности. Вообще говоря,
при тех же технологических ограничениях и дополнительных ограничениях ликвидности множество равновесных траекторий реальных показателей сократится,
и они, будут «хуже» по критерию полезности потребления. Таким образом, вводя
ограничения ликвидности, мы отсекаем технологически допустимые, но экономически нереализуемые траектории.
Пока еще нет общей теории ограничений ликвидности, потому что нет исчерпывающего описания экономической природы и функций финансовых институтов.
Они возникают и исчезают в ответ на специфические проблемы эволюции экономики. Соответственно, и в моделях ограничения ликвидности, как и экономические
агенты, вводятся в зависимости от проблемы, для решения которой разрабатывается модель. Кроме того, еще нет эффективных методов исследования пучков
траекторий сильно нелинейных систем, содержащих условия дополняющей нежесткости (УДН). Поэтому программа исследований зависимости множества равновесных траекторий от дополнительных ограничений откладывается на будущее.
Чтобы использовать на практике предложенную методику и технологию разработки моделей экономики, мы эвристически дополняем разработанную по общей
схеме модель, чтобы соотношений было столько же, сколько неизвестных.
Иногда вводятся дополнительные ограничения, а иногда группы неоднозначно
определенных переменных агрегируются в однозначно определяемые показатели.
Конечно речь идет не о строгом доказательстве существования и единственности решения. Как ни странно, но в практике моделирования отсутствие решения
– не самый важный повод для внесения в модель изменений. В процессе работы
над моделью система соотношений перекраивается десятки раз, когда выясняется, что рассматриваемый вариант не может описать то, что наблюдается, или
предсказывает то, чего никогда не было. Если же вдруг окажется, что решение нас
качественно устраивает, но нарушает какое-то ограничение в конце процесса, который мы и не собирались рассматривать, как нечто реальное, то уж, наверное,
мы сможем объяснить, почему нарушение условия можно игнорировать.
Замыкая систему соотношений модели МРК, надо помнить, что есть, по
меньшей мере, три причины получения тождеств вместо уравнений на неизвестные.
 Первая – это повторение знаменитой «ошибки Вальраса», состоящей в том,
что в силу замкнутости финансовых потоков, система балансов любого инструмента содержит, по меньшей мере, одно зависимое уравнение. Именно по этой
причине балансы (3.45) не определяют цены однозначно, и требуется дополнительное условие нормировки (3.44). Исключить возникающие тождества помогает
система автоматизированного интегрирования уравнений финансовых балансов,
реализованная в системе ЭКОМОД. Подробнее о ней написано в разд. 16.1 .
 Вторая причина – совпадение уравнений для капиталовложений собственника и для капитала фирмы, предполагаемое схемой описания взаимодействия этих
агентов, предложенной в разд. 8.3. Эти тождества тоже можно исключить систематической процедурой преобразования модели.
 Третья причина – формальное объединение в одной системе условий дополняющей нежесткости (УДН) из задач разных агентов. Этот вопрос заслуживает
отдельного обсуждения.
144
12.3. ТРАКТОВКА УСЛОВИЙ ДОПОЛНЯЮЩЕЙ НЕЖЕСТКОСТИ
В задаче оптимального управления УДН типа (5.10) «работает» как уравнение, определяющее в одном режиме прямую переменную Q , а в другом режиме –
двойственную переменную  . Однако при объединении в одной модели УДН из
различных блоков ЭА могут получаться вырожденные системы. Допустим, что в
другом блоке ЭА имеется УДН аналогичное (7.44), связывающее прямую переменную Q  и двойственную переменную   , а в блоке ВД условие равновесия
требует равенства Q  Q  . Если бы УДН задавали многообразия общего положения F (, Q )  0 , F (, Q)  0 , то из последних трех соотношений можно было бы
выразить, три величины, скажем, Q , Q  и   как функции от четвертой –  . Однако многообразия, задаваемые УДН вырождены. Если изобразить на плоскости
(, Q) множество точек, удовлетворяющих УДН (5.10), получится «угол». Легко
видеть, что совмещение двух углов при условии Q  Q  не дает нетривиальной
связи межу четырьмя величинами: либо получится что     0 , а Q  Q  остается неопределенным, либо Q  Q  0 , а  и   – неопределенны.
Чтобы преодолеть эту трудность, мы предлагаем проводить регуляризирующую аппроксимацию УДН, исходя из их содержательного экономического
смысла. Мы считаем межвременное равновесие ожиданий не точным описанием
«того, что есть на самом деле», а феноменологическим принципом построения
самосогласованных моделей. Если обнаруживаются типичные ситуации, в которых применение этого принципа приводит к неоднозначному описанию, мы вносим в модель феноменологические поправки. Подробно конкретные примеры регуляризирующей аппроксимации УДН разбираются ниже в разд. 16.2, а здесь
лишь наметим общий подход на примере сходного с вырождением УДН вырождения решения линейной задачи, разобранной в гл. 4. Напомним, что в этой модели
функция предложения продукта производителем имеет вырожденную форму (6.1),
схематически изображенную на рис. 12.3.1 кривой y ( p ) .
Мы не считаем вырожденность функции предложения большим недостатком
модели. Конкурирующие экономические теории не спорят о форме функций предложения, которую они считают возможным определить на основании измерений.
Предметом спора служат аргументы функций предложения и спроса. Например,
кейнсианцы отличаются от неоклассиков, прежде всего, тем, что первые считают
предложение сбережений зависящим от уровня потребления, а вторые – от процента по вкладам. И после того, как сделано предположение об основном аргументе функции предложения или спроса, спор не кончается. В любом серьезном
учебнике экономики определение функции предложения сопровождается долгими
и запутанными рассуждениями о том, как сдвигается эта функция, когда меняются
другие, не входящие в этот аргумент, параметры конъюнктуры (цены, ставки зарплаты,
налоги и т.д.).
Решение задачи о поведении агента дает на все эти вопросы определенный и нетривиальный ответ. Даже в простейшей задаче
гл. 4 аргумент функции предложения tf pt  qtf
представляет собой комбинацию ожидаемых
t
в будущем значений информационных переменных (см. (5.22) и более содержательный
пример в разд. 15.1.5). На наш взгляд, то обстоятельство, что мы находим такие аргумен-
y( p)
y( p)
p
y( p)
145
Рис. 12.3.1
ты функций предложения и спроса, которые невозможно угадать, не проведя достаточно сложных аналитических выкладок, вполне искупает тот «грех», что в результате принятых идеализаций мы получаем бесконечно эластичные функции
спроса и предложения. Мы относимся к этому так же, как относятся в экономической теории: главное – аргумент функции – мы нашли, а форму функции подберем эмпирически. После сборки модели мы заменим вырожденные функции
предложения и спроса приближенными кривыми вроде yt ( p) на рис. 12.3.1.
К тому же последнее надо делать не всегда. Если функция спроса на продукт, полученная из задачи о поведении другого агента будет иметь конечную
эластичность (кривая y ( p ) на рис. 12.3.1), то пересечение вырожденной кривой
предложения и невырожденной кривой спроса однозначно определит и цену, и
объем, так же, как в традиционной модели рыночного равновесия. Именно этот
случай имеет место в примере, рассмотренном в гл. 4. Неоднозначность возникнет тогда, когда и кривая спроса тоже имеет бесконечную эластичность. Именно в
таких случаях мы далее (в гл. 15) ниже прибегаем к регуляризирующей аппроксимации УДН.
12.4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ РОСТА КАПИТАЛА
В общей задаче о поведении агента мы ставили терминальное условие (7.8)
как прямое индуктивное обобщение условия кредитоспособности (3.6) в модели
идеального межвременного равновесия. Однако пример из гл. 4 показывает, что
рост экономических показателей на эффективной траектории должен смениться
падением, чтобы обеспечить выполнение терминального ограничения (7.8) в совершенно условный момент «конца света» T (см. рис. 5.3.1 - 5.3.6). Из общих соображений понятно, что достаточно увеличив период планирования T , можно
уменьшить влияние терминального условия на начальный, переходный участок
траектории, а не имеющий экономического смысла конец траектории отбросить.
Но считать придется всю траекторию.
С практической точки зрения этого хотелось бы избежать. Численное решение краевой задачи для нелинейной системы очень усложняется с ростом горизонта планирования. Кроме того, модель, ориентированная на приложения, обычно неавтономна – она содержит не только постоянные параметры, но и прогнозы
внешних для экономики факторов, например, динамики численности населения
или мировых цен. Расчет на «лишний» отрезок времени потребует лишних независимых от модели прогнозов этих величин.
По этой причине в модели экономики России (часть IV), мы попробовали
наложить на терминальное значение некой линейной формы фазовых переменных агента условие роста, а не условие положительности, т.е. вместо
(7.8) мы использовали терминальное условие
Aa (T )  a(T ) x(T )  e
 T t0 
 A (t0)  a(t0) x(t0)  ,
a
(12.1)
где темп роста  и коэффициенты a (T ) и a (t0) должны быть заданы. Считать
a (T ) и a (t0) одинаковыми нет резона, поскольку задача отдельного агента неавтономна.
Поскольку мы хотим ставить условие (12.1) как единственное граничное
условие в задаче агента, из условия трансверсальности, аналогичного (7.48), и из
определения капитала (8.2), вытекает, что на решении задачи агента должно выполняться равенство  a  Aa (T )  a (T ) x (T )    a (T ) , где  a – двойственная оценка
неравенства (12.1). Возникает соблазн считать и коэффициенты 1, a(t0) в усло146
вии (12.1) равными коэффициентам формы капитала 1, ψ(T ) , т.е. вместо (12.1)
задавать граничное условие как условие роста капитала:
 T t0 
a (T )  e
a (t0) .
(12.2)
Конечно, задача оптимизации с условием (12.2) выглядит странно, поскольку
в граничное условие входят заранее неизвестные значения двойственных переменных той же задачи. Впрочем, с подобным мы уже встречались в разд. 8.1.5, и
все обошлось благополучно (см. (8.19)).
Формально задачу агента с условием роста капитала следует трактовать как
задачу о неподвижной точке: мы решаем задачу при заданных a (T ) и a (t0) , находим двойственные переменные ψ() a(t0), a(T ) как функции a (T ) и a (t0) и затем
находим a (t0) , как решение уравнения ψ(t0) a(t0), a(T )  a(t0) . При этом на a (T )
получатся условия разрешимости вида (8.13), так что для ликвидного актива i выполнены равенства:
ai (t0)  pi (t0)  ψi (t0) ,
ai (T )  pi (T )  ψi (T ) .
(12.3)
Именно так мы и действуем при описании агентов в части IV. Изначально задача ставится с ограничением (12.1), а потом из условий трансверсальности и равенств ψ (t0)  a (t0) исключаются коэффициенты a (T ) и a (t0) .
В модели экономики России (часть IV) условие роста капитала (12.2) работает хорошо, но в общем случае все не так просто. Это показывают другие рассмотренные модели. Общая же теория задач с ограничением роста капитала пока не
развита. Именно по этой причине в части II мы использовали математически более ясное условие «ликвидации капитала к моменту конца света» (7.8).
12.5. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ И ТЕРМИНАЛЬНЫЕ
УСЛОВИЯ
Терминальные значения двойственных переменных, не определившиеся из
условий разрешимости типа (12.3), рассматриваются как настроечные параметры
модели. Когда речь заходит об увеличении горизонта планирования, мы предполагаем, что
ψ (T )
равномерно ограничены при
T .
(12.4)
Это требование является индуктивным обобщением опыта получения естественных условий трансверсальности в задачах планирования экономических процессов на полубесконечном интервале [84, 4:V.2,Chap.19].
Условие равномерной ограниченности заменяет условие трансверсальности
потому, что для задач экономического содержания характерна неустойчивость
уравнений для двойственных переменных. Здесь не место обсуждать этот вопрос подробно45. Приведем только простой иллюстративный пример.
Допустим, подсистема уравнений для двойственных переменных ψ (t ) свелась к линейной системе с постоянными коэффициентами
Он имеет прямое отношение к так называемым магистральным теоремам [4:V.2,Chap.26], которые обосновывают неожиданно слабую зависимость оптимальных решений динамических задач
экономического происхождения от терминальных условий, возмущений и даже функционала.
Краткое, но очень содержательное обсуждение этого вопроса представлено в [90], а пример, относящийся к межвременному равновесию, рассмотрен в [71: стр. 176].
45
147
ψ  Aψ  p ,
(12.5)
где p(t ) – набор информационных переменных, а собственные значения матрицы
A имеют положительные действительные части, бóльшие, чем характерный темп
роста p(t ) .
Легко проверить, что единственным ограниченным по сравнению с p решением системы (12.5) будет решение

ψo (t )   e
 A u t 
p(u )du .
(12.6)
t
Это решение определяется только прогнозом информационных переменных, причем чем больше собственные значения A , тем менее важны будущие значения
p . Действительно, асимптотика Лапласа по большим собственным значениям A
дает выражение
ψo (t )  A1 p(t )  A2 p(t )  ... .
Таким образом, оказывается, что если говорить о естественном классе ограниченных решений, то чем менее устойчива система в обычном смысле, тем более устойчива она к ошибкам прогноза и тем менее ее решение зависит от конкретного выбора терминальных условий.
12.6. ЦЕЛЕВЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ АГЕНТОВ
Конечно, очень привлекательным в предложенной схеме описания поведения агентов представляется единое выражение интересов агентов как стремления
к максимизации своей капитализации (7.4). Но, увы, жизнь заставила несколько
отойти от этой схемы. Дело в том, что стандартная задача максимизации ожидаемой дисконтированной полезности потребления (5.1) и ее непрерывный
аналог, рассмотренный в [71], неадекватна поведению российских домашних
хозяйств. Это мы заметили еще при моделировании экономики периода финансовой стабилизации [14].
По этой причине решением задачи максимизации капитализации мы описываем только поведение агентов, представляющих совокупности юридических лиц. Эта задача соответствует самому принципу описания взаимодействия собственника и собственности (см. разд. 8.2). При описании поведения
агента, представляющего совокупность физических лиц, которые ни в чьей собственности не находятся, мы отказываемся от критерия (7.4). Впрочем, задачи и
для этих агентов остаются аффинно-однородными, так что выражение для капитала, нужное для записи условия (12.2) вывести можно.
Заметим еще следующее. И в тех задачах агентов, которые мы рассматривали в частях I, II, и в задачах части IV функционал связан с остальной системой
довольно сложных ограничений только величиной потока полезных расходов, аддитивно входящей в единственное балансовое уравнение. Поэтому все условия
оптимальности, кроме одного, можно вывести, не варьируя полезный поток, т.е.
независимо от функционала. Если еще принять во внимание, что для задач агентов весьма характерны особые режимы (см. разд. 8.1.3), которые определяют
двойственные переменные через информационные независимо от функционала,
то становится понятным, что если не количественно, то структурно система условий оптимальности агента зависит не столько от вида функционала, сколько от
148
набора описанных в модели институтов. Как ни удивительно, но условия оптимальности удается упрощать, выделять в них режимы и объединять в модель во
многом независимо от конкретного вида целевых функционалов агентов.
Резюме части III: Технология создания и исследования модели
средствами системы ЭКОМОД в среде компьютерной
алгебры Maple
Соединение средств контроля и хранения данных в системы ЭКОМОД [33],
возможностей среды Maple [8] и унификации описаний агентов на основании новой формализации понятия капитала [71] открыло путь новой технологии моделирования экономики. Технология объединяет и автоматизирует следующие этапы
разработки модели.
1.
Определяется наборы экономических агентов и аддитивных величин, образующих полную систему балансов. Соответствующие блоки ЭА записываются в среде Maple, фактически в обычной математической нотации (см. Дополнения 3, 4) только с соблюдением специальных требований выделения
балансовых уравнений, институциональных и технологических ограничений.
2.
Соотношения блока ЭА автоматически упрощаются, но вся семантика исходной записи сохраняется.
3.
Если в модели поведение агента описывается унифицированной задачей
максимизации капитализации (см. часть II), то для этой задачи автоматически записываются достаточные условия оптимальности, которые затем можно упрощать с использованием специально приспособленных для этого случая процедур исключения переменных.
4.
Блоки, описывающие агентов, собираются в общую систему, причем специальными процедурами автоматического переобозначения исключается
возможность контаминации имен и обеспечивается правильная индексация
планируемых переменных.
5.
Описания поведения агентов в блоках ЭА дополняются описанием их взаимодействий – блоками ВД.
6.
Проводится автоматический контроль системы балансов, причем автоматически выводятся вытекающие из финансовых балансов первые интегралы
системы уравнений модели.
7.
Система соотношений модели автоматически и вручную упрощается, исследуется аналитическими методами и отчасти модифицируется. Оставшиеся
неоднозначности следует устранить регуляризирующей аппроксимацией
условий дополняющей нежесткости. Цель всех этих упрощений – получить
системы, в которой независимых уравнений будет столько же, сколько неизвестных.
8.
В той же системе можно проводить численные эксперименты с моделью.
Существенно, что расчет производится прямо по уравнениям без предварительного переписывания их на язык программирования. Последний
процесс не только очень трудоемок, но и чреват многочисленными трудно
контролируемыми ошибками.
I.
Опыт показал, что в среде Maple при наличии специальных функций просмотра системы и исключения переменных можно эффективно работать с
нерегулярными системами из 100-150 уравнений и неравенств.
149
II.
III.
IV.
Система помнит исходный вид соотношений, так что после всех преобразований можно легко установить происхождение результирующих неравенств и при необходимости модифицировать модель.
Преобразования на этапе 7 не сводятся к тождественным или к выделению
частных случаев, но в большинстве случаев после модификации исходных
описаний можно повторить выкладки автоматически.
Вычисленные размерности переменных позволяют автоматизировать поиск
автомодельных решений.
На этом обсуждение новой методики и новой технологии моделирования
экономики заканчивается, и мы переходим к описанию самой модели современной российской экономики.
150
ЧАСТЬ IV. Модель экономики России, учитывающая теневой
оборот
Глава 13. Общая характеристика модели
13.1. ЦЕЛИ И ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ МОДЕЛИ
Модель разрабатывалась по заказу Главного научно-исследовательского
вычислительного центра (ГНИВЦ) Федерального агентства по налогам и сборам
(ФАНС). С осени 2003г. по осень 2004г. ГНИВЦ финансировал проведение работ
группой сотрудников ВЦ РАН под руководством И.Г. Поспелова.
При выполнении проекта разработка самой модели заняла значительно
меньше времени и усилий, чем создание достаточного эффективного алгоритма
решения краевых задач, к решению которых сводятся прикладные расчеты по модели межвременного равновесия. До сих пор нам не приходилось решать подобных задач, готовых средств в арсенале вычислительной математики тоже не
нашлось, поэтому потребовалось разрабатывать новые алгоритмы. Источником
статистической информации служили общедоступные данные Росстата и ЦБ РФ
[83]. Информационные ресурсы ФАНС оказались отчасти недоступными, отчасти
неподходящими, и мы ими не пользовались.
В ноябре 2004г. модель, оснащенная несложной диалоговой оболочкой, реализованной в Microsoft Excel, с полным описанием, руководством по проведению
численных экспериментов и набором примеров таких экспериментов была успешно сдана заказчику. Кроме модели, описанной ниже, заказчику был также передан
отчет, содержащий подробный проект более детализированной модели экономики
России.
Прагматической целью проекта было создание инструмента системного использования информации из внешних по отношению к налоговой службе источников для оценки размеров теневого оборота и налогового потенциала России
[60, 36]. В рамках решения этой задачи сам ГНИВЦ выступал исполнителем, поэтому дальнейшая судьба работы зависела от отношения к ней заинтересованных
департаментов ФАНС.
Демонстрации модели и обсуждения с руководством и специалистами этих
департаментов выявили следующие обстоятельства. С одной стороны, точность
данной модели недостаточна для практической работы ФАНС – фактически нужен
более короткий, но более точный прогноз по очень специфическим и системно не
связанным показателям. С другой стороны, специалисты ФАНС явно не могли поверить, что демонстрируемые результаты действительно получены на столь небольшой, по сути, информационной базе и при столь малом числе (20-30) настроечных параметров. Со своей стороны, мы не очень настаивали на продолжении
работ по имевшемуся плану в связи с существенными кадровыми изменениями в
ГНИВЦ, последовавшими за административной реформой 2004г. Так или иначе,
проект не был продолжен. Такая же судьба постигла и все предыдущие наши проекты, независимо от их объективного успеха и отношения к ним непосредственных заказчиков.
С научной точки зрения целью проекта была проверка пригодности концепции межвременного равновесия для описания реальных макроэкономических
процессов, а также отработка и развитие технологии моделирования, реализованной в рамках системы ЭКОМОД. В этом отношении проект оказался гораздо
более успешным, чем мы сами ожидали.
151
13.2. ОБЩАЯ СХЕМА МОДЕЛИ
Модель описывает развитие во времени полного цикла общественного воспроизводства в предельно агрегированном виде. Вся совокупность производимых
в стране и импортируемых благ представлена в модели одним показателем – реальным ВВП [72]. Как и во всех однопродуктовых моделях, предполагается, что
этот агрегированный продукт в равной мере может использоваться для личного и
государственного (общественного) потребления, для накопления и для экспорта.
Измеряется продукт своей стоимостью в постоянных ценах (рублях 2000г.).
Из ресурсов, используемых в производстве, в модели учтены только затраты
труда.
Напомним, что в настоящее время номинальный ВВП России составляет
примерно 4000 долларов на человека в год по текущему курсу, а занятость – несколько меньше половины населения. В последние годы примерно 40% ВВП России создается производством товаров (включая строительство); примерно 25% –
торговлей (за счет торговых наценок); около 5% – финансовым сектором (за счет
разницы полученных и уплаченных процентов), и оставшиеся примерно 30% –
производством услуг (включая транспорт, связь, ЖКХ и бюджетные организации,
обслуживающие население). Произведенный ВВП расходуется на личное потребление граждан (~ 50%), на потребление государственных организаций (~ 15%), на
накопление (~ 20%) и на чистый экспорт (~ 15%). Точные цифры по кварталам
приведены в гл. 16.
В модели производство продуктов, производство услуг и торговля объединяются в одни сектор, а финансовый сектор рассматривается отдельно.
Сопровождающие производство, распределение и потребление продукта финансовые потоки описываются как оборот пяти финансовых инструментов:
1. наличных денег,
2. остатков расчетных счетов,
3. остатков корреспондентских счетов в ЦБ,
4. банковских ссуд,
5. банковских депозитов,
а также
6. иностранной валюты.
Продукт, труд, перечисленные финансовые инструменты и валюта образуют
набор аддитивных величин, для которых в модели выписывается полная система
балансов, причем потоки финансовых инструментов разделяются на легальные и
теневые.
Развитие экономики, выраженное движением макроэкономических показателей, описывается в модели как результат деятельности семи экономических агентов:
1. Инвестора (производителя) J , представляющего совокупность нефинансовых коммерческих организаций.
2. Банка B , представляющего совокупность финансовых коммерческих организаций.
3. Населения H , представляющего физических лиц, выступающих в качестве
потребителей и наемных работников.
4. Собственника C , представляющего физических и юридических лиц, осуществляющих управление движением капитала между секторами национальной
экономики и за пределы страны.
5. Государства G , деятельность которого представлена в модели явно агрегированным описанием деятельности функций планирования и исполнения государственного бюджета и неявно – установлением различных параметров экономической политики (ставок налогов, норм резервов и др.).
152
6. Центрального банка CB , представленного в модели своими функциями
эмитента национальной валюты, держателя валютных резервов и расчетного
центра.
7. Внешней торговли F .
В модели агенты представлены блоком ЭА, имеющими, соответственно, индексы J , B, H , C , G, CB, F . Первые четыре агента – массовые. Каждый из них
описывает в агрегированном виде результат деятельности большого количества
реальных субъектов, выполняющих сходные функции в экономике. Поведение
каждого из массовых агентов описывается принципом оптимальности.
Государство и ЦБ – индивидуальные агенты, которые представляют реальных субъектов экономики, поэтому их поведение описывается сценариями государственной экономической политики. Формально внешняя торговля тоже описывается как индивидуальный агент, но фактически этот блок ЭА в модели фиктивный (см. разд. 14.3).
Как уже неоднократно говорилось, блоки ЭА описывают только формирование планов агентов. Эти планы превращаются в фактическое движение экономических показателей в результате взаимодействий агентов, которые представлены
десятью блоками ВД:
1. рынок кредитов l ,
2. рынок депозитов s ,
3. рынок продукта y ,
4. рынок труда r ,
5. рынок валюты w ,
6. кредитование государства g ,
7. уплата налогов и получение субсидий x ,
8. ведение расчетов n ,
9. управление банковским капиталом b ,
10. управление капиталом производителя p .
Описания этих блоков отражают отношения обмена, включая кредитование и заимствование, отношения собственности, которые определяют распределение прибыли и движение капитала, и отношения власти, которые в
экономике отражаются в механизмах формирования потоков вторичного перераспределения доходов (налоги, субсидии и т. п.), а также в установлении обязательных нормативов, таких как ставки налогов, нормы резервирования и др.
На рис. 13.2.1 приведена схема модели. Как и на рис. 6.2.3.1, 9.6.1 округленными прямоугольниками показаны блоки ЭА, эллипсами – блоки ВД, помеченные
своими индексами в соответствии с предыдущим списком, а линиями – потоки материальных благ и финансовых инструментов.
153
Налоги
Кредиты,
проценты
Вклады, проценты
l
s
Банки
Капиталовложения
Чистая прибыль
b+p
Собственники
Вывоз
капитала
Зарплата
Выпуск
r
Личное
потребление
y
Инвестиции
Домохозяйства
Производитель
Гос.
потребление
Трансферты и
зарплата
бюджетников
Покупка
валюты
в резерв
Государство
(Минфин+ЦБ)
Чистый экспорт
Продажа валюты
n
Внешняя торговля
Легальные
платежи
Валюта
Нелегальные
платежи
Труд
Продукт
Вклады
населения
Кредиты
производителям
Рис. 13.2.1.
13.3. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ОТЛИЧИТЕЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
МОДЕЛИ
13.3.1. Межвременное равновесие ожиданий агентов
Главное основание модели – это предположение о том, что движение важнейших экономических показателей развития российской экономики можно описать как траекторию детерминированного межвременного равновесия.
Модели межвременного равновесия обычно используются для обсуждения
общих концептуальных проблем экономической теории [4:V.3,Chap.26, 6], но иногда применяются и для обсуждения более конкретных вопросов оценки экономической политики (см., например, [1] и другие работы S. Turnovsky). Наша модель
существенно отличается от них в следующих аспектах:
154
 В известных моделях межвременного равновесия (рациональных ожиданий)
набор агентов такой же, как в модели Эрроу-Дебре, а набор институтов состоит из
конкурентных рынков продуктов и ресурсов, дополненных заданием государственного потребления и довольно схематичными описаниями заимствований,
страхования и взимания просто устроенных налогов. В нашей модели набор институтов, насколько это возможно на выбранном уровне агрегирования, приближен к наблюдаемому (например, рассматривается обращение разных платежных средств, в том числе теневое), а набор агентов соответствует набору институтов (например, выделен финансовый сектор).
 Обычно в моделях межвременного равновесия собственность ассоциируется
с собственностью на факторы производства – труд и основные производственные
фонды. Последние отождествляются и с капиталом, и со сбережениями. В соответствии со схемой, предложенной в части I, мы считаем, что основные фонды
находятся в собственности фирм-производителей, а сбережения домохозяйств отличаются от капитала собственников. Капитал определяется как
приведенная величина будущих доходов, которые собственники ожидают получить от принадлежащих им фирм.
 Обычно модели рациональных ожиданий строятся как стохастические, но
рассматриваются только их стационарные состояния. Наша модель детерминированная, но мы рассматриваем переходные процессы.
Еще раз подчеркнем, что мы здесь рассматриваем принцип рациональных
ожиданий как чисто феноменологический, позволяющий получить самосогласованную динамику цен и других информационных переменных.
13.3.2. Отношения конкуренции экономических агентов и состав
секторов экономики в модели
Конструкция межвременного равновесия тесно связана с представлением об
агентах, принимающих цены как данность (см. разд. 7.1.5). Хотя существуют модели, описывающие олигополистическую конкуренцию в межвременном аспекте
[4:V.2,Chap.11], они очень условны и очень специфичны, поэтому в первой попытке применить конструкцию межвременного равновесия к описанию реальной российской экономики надо было предполагать конкурентность рынков.
Правда, возникает вопрос, насколько это предположение может быть оправдано с содержательной точки зрения. Нам представляется, что в последние годы
влияние монополистических эффектов, по крайней мере на макроуровне, постепенно уменьшается. В модели периода высокой инфляции 1992-1994гг.
([67:стр. 181]) мы описывали всю экономику как иерархию монополий. В модели
периода финансовой стабилизации 1995-1998гг. ([67:стр. 269]) мы ограничились
описанием локальных финансово-промышленных групп (ФПГ), объединявших
местные производственные и торговые предприятия под эгидой банка. После кризиса 1998г., как и следовало по логике модели, эти ФПГ исчезли без следа, и для
оценки потенциала роста российской экономики в 1999г. мы сочли возможным использовать, по сути, модель совершенной конкуренции [13].
В настоящее время крупные корпорации, которые могли бы демонстрировать
монопольное поведение, либо находятся под сильным, хотя и не всегда честным
и разумным, государственным регулированием (Сбербанк, РАО ЕС, Газпром), либо работают в сильной связи с внешним рынком, т. е. в конкурентной среде глобальной экономики (нефтяные и металлургические компании) [54]. Правда, сохраняется, еще одна специфическая для России монополия – монополия торговли.
Хотя торговля представлена в России огромным количеством непрерывно
возникающих и исчезающих фирм, прибыль торговли остается ненормально
большой, особенно в оптовом сегменте рынка [60]. Например, в сентябре 1998г.,
155
непосредственно после дефолта, потребительские цены выросли на 13%, а цены
производителей упали на 2%. Это означает, что торговля в целом действовала
как один монополист, который, стремясь сохранить прибыль при падении оборота,
давал потребителям ценовой сигнал о дефиците, а производителям – о перепроизводстве.
Представляется, что монопольное положение торговли обеспечивается криминально-коррупционной средой, которая забирает себе торговую сверхприбыль,
и в то же время подавляет эффективную конкуренцию в контролируемой ей торговле. В связи с этим поначалу мы планировали выделить в модели межвременного равновесия экономики России торговлю в отдельный сектор и придумали для
него специальное описание, которое позволяло совместить представление о монополии торговли с общей конструкцией межвременного равновесия агентов,
принимающих цены как данность. Однако в процессе анализа статистических
данных неожиданно обнаружилась очень простая и устойчивая связь между реальным ВВП, реальными инвестициями и затратами труда. Эта связь подробно
обсуждается в разд. 14.1. Наличие такой связи заставляет считать, что влияние
монополии торговли на макроэкономические процессы в последние годы все-таки
ослабло.
По этой причине в окончательном варианте модели мы остановились на простом предположении о том, что все агенты, участвующие в отношениях обмена принимают цены, проценты и курсы как данность.
Упомянутая выше простая связь производства и затрат идентифицируется
независимо от модели и в настоящей книге обсуждается отдельно от описания
блоков в разд. 14.1.
13.3.3. Учет теневого оборота
Описание существенной теневой составляющей в экономике России был одной из главных целей разработки данной модели. Специалисты выделяют три вида скрытой от учета экономической активности [60, 45]:
 Криминальный бизнес – деятельность нелегальная по существу, например,
продажа наркотиков без врачебного предписания.
 Теневой оборот – деятельность по существу легальная, но проводимая нелегально, т.е. без надлежащей отчетности и уплаты соответствующих налогов.
 «Серые схемы» – по существу легальная деятельность, оформленная с сознательными (часто формально законными) искажениями экономической сути
операций (см. разд. 10.3).
Мы будем говорить только о втором виде – собственно теневом обороте. Это
явление постоянно привлекает внимание экономистов, и ему посвящено множество работ. Однако, как показывают обзоры [45, 2], исследования в основном концентрируется на проблеме измерения теневого оборота, а его экономические последствия обсуждаются на чисто словесном уровне. В лучшем случае для оценки
эффективности предлагаемых методов контроля теневого оборота используются
микроэкономические модели, описывающие реакцию отдельного предприятия на
изменения в налоговой политике и практике. Заметим, что специалисты, в том
числе работающие в налоговых органах, не исключают, что при плохой налоговой
политике теневой оборот в определенных пределах может играть позитивную
роль в экономике.
Практическим следствием обсуждений экономистами проблемы теневого
оборота стало включение оценок этой величины в официальную статистику. Данные о ВВП и заработной плате, приводимые Росстатом [83], содержат оценки
теневого оборота [55]. По ВВП эти оценки получаются на основе измерений [56]
156
и приводятся в отраслевой разбивке, а по заработной плате дается только общая
по всей экономике экспертная оценка.
В макроэкономических моделях теневой оборот учитывается редко, а если и
учитывается, то нормативно – считается, что этот оборот составляет постоянную
долю определенных выпусков или доходов. Именно так мы учитывали теневой
оборот в модели региональной экономики для периода финансовой стабилизации
[67:стр. 269]. В более широком масштабе, но тоже нормативно, теневой оборот
описывается в модели, созданной недавно под руководством академика РАН
В.Л. Макарова [49]. Однако в этой модели основное внимание уделяется детальным материальным балансам, а финансовые балансы описаны не вполне последовательно. В результате легальные и нелегальные деньги, по существу, разделились. Между тем реально и легальный, и нелегальный оборот обслуживаются
одними и теми же деньгами.
Вытекающие из этого факта ограничения на возможные масштабы теневого
оборота были изучены исследованием сравнительной статики автомодельных
решений упрощенной модели межвременного равновесия, специально разработанной для этого [30]. Эти исследования, в частности, показали, что теневой оборот представляет собой институциональную ловушку: субъекту выгодно
«уходить в тень», но невыгодно, когда в тень уходят другие. Аналогичный результат дали и численные эксперименты с моделью региональной экономики периода
финансовой стабилизации [14].
В рассматриваемой модели поведение и взаимодействия агентов описаны
так, что агенты-производители выбирают наиболее выгодный для себя объем теневого оборота, соизмеряя риск штрафов и экономию на налогах при
сложившейся конъюнктуре и налоговой политике.
В модели налоговая политика описана ставками четырех видов налогов:
 налога на добавленную стоимость (НДС),
 налога на прибыль юридических лиц (НП),
 налога на доходы физических лиц (НД),
 единого социального налога на фонд зарплаты (ЕСН),
а также механизмом санкций за налоговые нарушения (см. разд. 14.2.1).
Мы предполагаем, что теневой оборот концентрируется вокруг операций кули-продажи продукта и труда. Теневой оборот в финансовом секторе мы не
учитываем, поскольку представляется, что махинации банков больше связаны с
серыми схемами, переделом собственности и вывозом каптала. Но серые схемы в
модели не учитываются, передел собственности не существенен, поскольку собственник в модели единый, а вывоз капитала описывается другими средствами.
Мы также предполагаем, в соответствии со сложившееся практикой, что попадая в руки собственников или домашних хозяйств, теневые доходы автоматически «отмываются». Таким образом, в нашей модели теневой оборот
обслуживается легально выпущенными в обращение платежными средствами (см. потоки нелегальных платежей на рис. 13.2.1).
13.3.4. Описание производства в двух масштабах времени
Чтобы учесть риск теневого оборота, оставаясь в рамках детерминированной
модели, мы предполагаем, что принятие решений производителями реализуется
иерархически, в двух масштабах времени. Нам представляется, что реальности
соответствует представление производителя агентом – инвестором и подчиненных ему административно или как дочерние предприятия многих менеджеров
проектов.
Инвестор принимает решения в «медленном» времени (это – масштаб
времени прогнозирования по модели). Инвестор создает условия для производ157
ства и реализации: формирует основные фонды, нанимает занятых, договаривается о ссудах в банке и формирует ликвидные резервы для авансирования и покрытия возможных убытков множества однотипных проектов, в рамках которых
осуществляется производство и реализация продукции. Инвестор определяет
критерии успеха менеджеров проектов. Кроме того, инвестор передает легальные
и нелегальные доходы собственникам, выплачивает налог на прибыль и налог на
легальные доходы собственников. Для простоты мы считаем, что подоходный
налог выплачивается при выдаче дивидендов, а не после их передачи собственникам.
Менеджер принимает решения в «быстром» времени. Он реализует проект и, в частности, решает, какие доли выпусков и затрат проводить легально, а
какие – по теневым каналам. Менеджер выплачивает социальный налог и налог
на прибыль, и, возможно, штрафы за обнаруженные нарушения налогового законодательства.
При реализации проекта менеджер сталкивается с риском. В данной версии
модели учитывается только риск санкций за нарушение налогового законодательства, но разработана и более сложная модель, учитывающая риски реализации и производства.
Если проект заканчивается с прибылью, то вся она, как легальная, так и теневая, передается инвестору. Если проект заканчивается с убытками, то их покрывает инвестор из своих резервов. Считая, что у инвестора много сравнительно
коротких и не связанных друг с другом проектов, полагаем, что инвестор может
рассчитывать на среднюю прибыль проекта. Учет рисков сводится к требованию держать определенный уровень ликвидных резервов.
«Микромодель» деятельности менеджера рассматривается отдельно от
остальных описаний в разд. 14.2. В каноническую форму модели вставляется уже
окончательный результат ее исследования – выражения объемов теневого производства и заработной платы. (Именно поэтому блок модели описывающий, производство выше был назван «Инвестором»).
13.3.5. Незамкнутость модели и проблема «сезонных колебаний»
Модели САРЭ мы всегда старались делать замкнутыми, т.е. определять
все переменные46 из соотношений модели, дополненных сценарием государственной экономической политики. Теперь мы поступились этим принципом. В
данной модели чистый экспорт и численность занятых задаются экзогенно.
Несмотря на многие попытки, мы не смогли найти замкнутых описаний рынка
труда и внешней торговли, которые воспроизводили бы наблюдавшиеся ряды
остальных показателей с той точностью, которая достигается при экзогенном задании двух указанных величин. Однако необходимо подчеркнуть, что речь идет о
воспроизведении несглаженных рядов статистических показателей.
Дело в том, что большинство макроэкономических показателей российской
экономики в течение года испытывают интенсивные синхронные колебания.
Например, это можно видеть на рис. 14.1.1. Обычно аналитики называют их «сезонными» и просто сглаживают47, но внимательные наблюдатели признают, что
природа этих колебаний довольно загадочна [21]. Например, эконометрические
оценки их периода часто оказываются не кратными году!
Мы уже сталкивались с этой проблемой, когда строили модель региональной
экономики периода финансовой стабилизации [14]. По условиям того проекта мокроме величин заведомо независимых от национальной экономики, например, мировых цен или
величин, обладающих собственной большой инерцией, например, численности населения
47 и в результате бывает, что разные группы аналитиков получают тренды противоположного
направления
46
158
дель должна была воспроизводить именно несглаженные ряды примерно 60 статистических показателей, и, чтобы добиться этого, мы вынуждены были к расчетным рядам просто добавлять внешнюю синусоидальную составляющую [14]. Период синусоиды не менялся и не был кратен году, а фаза в начале каждого года
оценивалась заново.
Возможно и в данном проекте можно было бы применить такой прием и получить приемлемый результат с одним из опробованных вариантов описания
рынка труда и внешней торговли. Но во время пробных расчетов мы обратили
внимание, что при заданной занятости и чистом экспорте, модель очень хорошо
воспроизводит прихотливые колебания несглаженных статистических рядов. По
это причине мы решили оставить в модели чистый экспорт и занятость как «генераторы колебаний». Мы надеемся в будущем найти объяснение этим колебаниям
и замкнуть модель. В данном случае такая надежда технически обеспечивается
тем, что система ЭКОМОД позволят переделывать модель быстро и корректно.
13.4. СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ
В этой части книги формулы в основном взяты непосредственно из рабочих
файлов модели системы ЭКОМОД. По этой причине используется иная система
обозначений, нежели в частях I, II.
 Буквы – латинские и греческие, большие и малые, с нижним индексом и без,
обозначают скаляры. Часто используются многобуквенные обозначения величин. Например, начальный момент обозначается через t0 . Хотя знак умножения,
как это принято в обычной нотации, опускается, он всегда ясно виден как небольшой пробел.
 Аргумент времени у переменных указывается явно, величина без такого аргумента – это постоянная.
 Нижний индекс обозначает блок ЭА или ВД, в котором определяется величина. Однако пока рассматривается один блок ЭА, индекс этого агента опускается. Он восстанавливается, когда блоки агентов «собираются» в модель равновесия (см. разд. 11.2). Таким образом, в противоположность обозначениям частей II
и III, здесь величины без индексов относятся к рассматриваемому агенту (подразумевается индекс, указанный в заголовке раздела), а величины с индексами обозначают информационные переменные.
 Индекс « t » относится к статистическим данным
 По причинам, разъясненным в Дополнении 2, неравенства часто заключаются в фигурные скобки.
 Специфическими составляющими системы соотношений модели являются
условия дополняющей нежесткости (см. разд. 12.3). Для работы с ними были
написаны особые функции Maple, поэтому для этих условий используется специальная форма записи: стоящая отдельно в системе соотношений формула вида
a  b без знаков равенства или неравенства, в которой a и b могут быть произвольными выражениями, обозначает УДН:
a  b
 a b  0  a  0  b  0.
159
(13.1)
Глава 14. Вспомогательные описания
14.1. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНЦКИЯ
14.1.1. Особенности функционирования реального сектора
экономики России
В однопродуктовой модели мы описываем реальный сектор экономики в
терминах
 ВВП (в реальном выражении), Y( t ) ;
 затрат труда (в рабочем времени), R( t ) ;
 валового накопления (инвестиций в реальном выражении), J( t ) ;
 основных фондов (в реальном выражении), M( t ) .
Мы строим модель в непрерывном времени, а статистика приводится в дискретном времени. Статистика Росстата, которой мы пользовались [83], имеет периодичность 1 квартал, поэтому квартал служит единицей времени в модели. Для
величин типа запасов статистика фиксирует значения на конец квартала или
средние за квартал, а для величин типа потоков – накопленные суммы за квартал.
Соответственно статистическими аналогами модельных величин Y( t ) , J( t ) и
R( t ) служат величины
t
Yt
 Y(  ) d ,
t1

произведенного за квартал реального ВВП

сделанных за квартал реальных инвестиций Jt
 J(  ) d ,
t1

среднеквартальной численности занятых Rt
 R(  ) d  ,
t1
(14.1)
t
t
(14.2)
где t – сквозные номера кварталов, начиная с первого квартала 2000г.
Вообще говоря, кварталы имеют разную длительность  t , поэтому в правых
частях (14.1) - (14.2), следовало бы написать выражения
t1 
t
t t

t
t t
Y ( ) d  ,

t
t t
J ( ) d  и
R() d  , соответственно. Однако связь показателей, которую мы обнаружи-
ли и использовали, касается именно числа занятых Rt , а не затрат труда  t Rt ,
поэтому разницу длительности рабочих кварталов мы при сопоставлении модели
со статистикой игнорировали и использовали соотношения (14.1) - (14.2). Содержательно это можно оправдать тем, что при характерной для современной экономики работе по коротким контрактам круглые календарные даты могут быть важнее установленной законом формальной длительности рабочего времени.
Статистические данные по основным фондам мы не использовали. По
нашему мнению, совпадающему с мнением многих экспертов, эти данные не отражают фактического состояния реального сектора. В его работе до сих пор играют значительную роль фонды, созданные в советское время, а они, вследствие
специфики процесса приватизации в России, никогда не продавались и не покупались по рыночной цене и поэтому их формальные оценки по балансовой стоимости не отражают их фактической производительности.
На рис. 14.1.1 показаны графики изменения величин Yt , Jt , R t относительно их значений в первом квартале 2000г., построенные по несглаженным данным
Росстата за период 2000-2003 гг.
160
Рис. 14.1.1.
Видно, что в среднем инвестиции растут быстрее, чем ВВП, а занятость –
существенно медленнее. На графиках хорошо видны упомянутые выше колебания всех трех величин. Синхронно с ними колеблются и все финансовые показатели. Фактические колебания занятости R( t ) наверняка гораздо сильнее. Приведенная здесь величина R( t ) включает весьма стабильную составляющую занятости в бюджетной сфере, которая не имеет прямого отношения к созданию ВПП,
и, в то же время, не полностью учитывает весьма подвижную занятость «гастарбайтеров».
По-видимому, величина накопления J( t ) соответствует реальности, поскольку у предприятий нет особых причин скрывать инвестиции. Что же касается
статистической величины ВВП Y( t ) , то надо иметь в виду, что Росстат включает
в нее свои отраслевые оценки теневого оборота.
14.1.2. Производственные функции
Неоклассическая экономическая теория предписывает задавать зависимость
агрегированного выпуска продуктов от агрегированных затрат факторов производства вогнутой производственной функцией
Y( t )F( M( t ), R( t ) ) .
В нашем случае агрегированный выпуск Y( t ) – ВВП в реальном выражении, агрегированные затраты M( t ) – основные фонды в реальном выражении, R( t ) –
численность занятых. Вследствие резкого ускорения обновления основных фондов в последнее время выпуск зависит, скорее, от последних вложений в производственный капитал, а не от накопленного капитала. Поэтому в литературе появились работы, в которых предлагается описывать производство ВВП зависимостью
Y( t )F( J( t ), R( t ) ) .
Широко распространен эконометрический подход к построению производственной
функции. Вид производственной функции F задается из общих соображений, а
ее параметры оцениваются по наблюдаемым выпускам и затратам регрессион-
161
ными методами. Обычно вид производственной функции задается формулой Кобба-Дугласа F ( x, y)  A x y1 или ее обобщениями:
 функцией с постоянной эластичностью замещения (CES)
F ( x, y)  A   x  (1  ) y


1
 

,
транслогарифмической функцией
F ( x, y )  A exp  ln x  (1  ) ln y  a ln 2 x  b ln 2 y  c ln x ln y ,
Многократные попытки, в том числе и предпринятые нашей исследовательской группой, оценить параметры одной из этих функций по данным о развитии
российской экономики не дали хороших результатов, хотя по американским данным все получалось прекрасно.
В общем, это не вызовет удивления, если вспомнить, что в российской экономике значительная часть выпусков и затрат скрывается от учета в теневом
обороте или заведомо неправильно классифицируется по серым схемам. Согласно нашему подходу производственную функцию надо строить, учитывая специфику механизмов регулирования и учета, и идентифицировать ее, верифицируя
полную модель экономики России. Так мы и собирались делать. Однако уже в
процессе выполнения данного проекта неожиданно обнаружилось, что приведенные выше квартальные данные Росстата удивительно хорошо аппроксимируются
соотношением


Yt0.915 Jt0.216 Jt121.7 Rt e
( 0.00774t )
.
(14.3)
На рис. 14.1.2 сплошная линяя изображает левую, а пунктирная – правую часть
этого приближенного равенства, рассчитанные по данным за 15 кварталов 20002003 гг.
Рис. 14.1.2.
Относительная разность левой и правой частей соотношения (14.3) по модулю не больше 3.0%, среднеквадратичная относительная ошибка – 1.4%, коэффициент детерминации R 2  0.93 , а коэффициент Тэйла «непохожести» временных рядов xt и yt ,
162
 x
t
 yt 
t
2



 x 
t
t
2

 y 
t
t
2

,

(14.4)
который учитывает и отклонение, и корреляцию для рядов в правой и левой частях (14.3) составляет всего 0.7%.
Удивительная точность аппроксимации (14.3) и устойчивость ее относительно наблюдавшихся за эти четыре года структурных сдвигов, которые отражались в
изменении соотношения фаз роста цен и выпусков, в опережающем росте сбережений и кредитных вложений по сравнению с ВВП в текущих ценах, в различии
темпов роста разного вида налоговых поступлений, убедила нас в том, что соотношение (14.3) можно положить основу производственной функции в модели. Для того чтобы это сделать, соотношение (14.3) надо, прежде всего, проинтерпретировать в терминах непрерывных потоков и запасов.
14.1.3. Интерпретация линейной производственной функции:
эффективные фонды и технический прогресс
Пока мы не понимаем экономического смысла обсуждаемой зависимости, мы
не можем сформулировать исходные гипотезы, из которых можно было бы ее вывести. Для этого надо хотя бы проанализировать, какими факторами определяется производство в отраслях экономики. Пока что можно предложить следующую
интерпретацию обнаруженной зависимости. Разобьем правую часть (14.3) на два
слагаемых
PRFJ := 0.9151 Jt0.2164 Jt 1 , PRFR := 21.74 Rt e
( 0.007741t )
.
(14.5)
и обсудим каждое из этих слагаемых отдельно.
14.1.3.1. Эффективные фонды
Реальные производственные фонды M( t ) увеличиваются за счет накоплеJ
ний ( t ) и уменьшаются за счет физического и морального старения, темп которого  в моделях обычно считают постоянным. Поэтому изменение производd
M( t )J( t ) M( t ) . Решение уравственных фондов подчиняется уравнению
dt
t
нения можно приближенно выразить через статистический аналог Jt
 J(  ) d
t1
инвестиций в основные фонды J (t ) :
t
t 1
t
(  )
(  ( t ) )
 J(  ) 1 d + ... =
d ~ 
M( t ) = 

 J(  ) 1 de

 J(  ) e

t2

t 1
Jte
(  )
Jt1e
( 2  )
Jt2 + ... .
Можно подобрать значение параметра  так, что все члены последней суммы,
кроме первых двух, будут ничтожно малы, а сумма первых двух будет пропорциональна PRFJ с коэффициентом A , слабо зависящим от времени и ряда J t , лишь
бы ряд был примерно похож на реальный временной ряд J t , показанный на
рис. 14.1.1.
Таким образом, величину PRFJ := 0.9151 Jt0.2164 Jt 1 , (14.5) можно интерпретировать как вклад A M (t ) в выпуск основных фондов M (t ) , подчиняющихся уравнению
163
d
M( t )J( t ) M( t )
dt
при 1.5 , A1.87180744 .
Удивляет здесь только большое значение  – получается, что введенные фонды
полностью устаревают менее чем за год. Этот факт можно попытаться объяснить
так.
В России до сих пор производство в значительной степени базируется на не
возобновляемых (и неожиданно медленно стареющих) основных фондах, созданных в советское время: зданиях, коммуникациях, электрических сетях и станциях
и т.п. При организации более или менее современного производства пассивные
фонды и инфраструктура дополняются современным узко специализированным
оборудованием с коротким сроком службы. На него затрачиваются инвестиции
последних лет. Короткий срок службы современного оборудования согласуется с
предложениями рассматривать в качестве фактора производства не фонды, а инвестиции. Короткий срок влияния инвестиций в российской экономике отмечался и
другими исследователями [21].
По этим соображениям мы называем величину M( t ) эффективными фондами и не соотносим ее с отчетными данными об основных фондах. 
14.1.3.2. Технический прогресс и эластичность выпуска по труду
( 0.007741 t )
В выражении PRFR из (14.5) множитель e
показывает, что производительность труда растет со временем. Он соответствует классическому экзогенному описанию технического прогресса по Харроду [35]. Удивительно то, что, несмотря на очень небольшие колебания занятости (рис. 14.1.1), попытка заменить
R t постоянной величиной резко ухудшает соответствие. Видимо, как отмечалось
выше, небольшие колебания наблюдаемой величины R t отражают существенные
колебания ее ненаблюдаемой составляющей.

14.1.4. Производственная функция современной российской
экономики
Обнаруженная устойчивая связь статистических показателей (14.3) позволяет описывать производство ВВП в современной России линейной производственной функцией
Y( t )A M( t )B e
( b ( t  t0 ) )
R( t ) ,
(14.6)
где M( t ) – эффективные фонды, динамика которых описывается уравнением
d
M( t )J( t ) M( t ) ,
dt
(14.7)
а параметры имеют значения
1
млрд. руб. 2000 г.
, B = 21.744967
,
квартал
млн. чел.
1
1
b =.007740822325
,  =1.5
.
квартал
квартал
t0  0, A=1.87180744
164
(14.8)
14.2. КРАТКОСРОЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОБЪЕМОВ ТЕНЕВОГО ОБОРОТА
14.2.1. Постановка задачи менеджера
Здесь мы рассмотрим задачу менеджера, описанную в разд. 13.3.4. Менеджер определяет величину теневого производства и зарплаты при заданных инвестором величинах затрат труда R и эффективных фондов M . Мы считаем, что
проект выпуска продукта, которым руководит менеджер, реализуется мгновенно,
поэтому ставим задачу менеджера как статическую. Тем не менее, мы сохраняем в обозначениях зависимость от времени t , но в особом смысле: в данном
разделе (и только в нем) функции времени обозначают управления менеджера, а постоянные величины обозначают заданные параметры задачи
менеджера.
Величина выпуска Y задана производственной функцией (14.6), а менеджер
только решает, какую его часть yw ( t ) показать, а какую yb ( t ) скрыть.
0  yw(t ), 0  yb(t ), yw(t )  yb(t )  Y
(14.9)
Проект, как и все действия агентов в модели, реализуется в условиях заданных
рыночных цен. Покупатели не различают продукты yw ( t ) и yb ( t ) , поэтому для
них цена этих продуктов должна быть одинаковой. Поскольку в модели мы объединяем производство, торговлю и транспорт, а из налогов на продукты учитываем только НДС, цена покупателя и легальная цена производителя в модели будут
отличаться на величину ставки НДС.
Если обозначить легальную цену производителя в момент t через pw , а
ставку НДС через   1 , то реализация продукции yw ( t ) даст легальный доход pw yw(t ) , а реализация yb ( t ) даст теневой доход  pw yb(t ) .
Менеджер также решает, какую часть зарплаты ww( t ) выдавать легально,
«по ведомости», а какую wb( t ) – нелегально, «в конверте». Ставка заработной
платы s считается заданной, а занятым все равно, как получать зарплату s R , поскольку для них все доходы предполагаются легальными:
0ww( t ), 0wb( t ), ww( t )wb( t )s R .
(14.10)
При легальной выдаче зарплаты нужно заплатить социальный и подходный
налоги. Поэтому если обозначить через  1 сумму ставок НД и ЕСН, то фактичеww( t )
wb( t )
ские
выплаты
работникам
и
обернутся
легальными расходами  ww(t ) и теневыми расходами wb(t ) . В конечном итоге экономия на налогах за счет теневых операций составит
BTN  ( 1 ) pw yb ( t )( 1 ) wb( t ) .
Норма легальной рентабельности48  pw  yw(t )  ww(t )  pw  yw(t ) меняется
от 1, когда вся зарплата в тени, до  , когда в тени весь выпуск. Наше основное
предположение состоит в том, что вероятность обнаружения нарушений налогового законодательства зависит от отклонения q( t ) показанной нормы
Норма считается по чистому доходу после уплаты НДС, но до уплаты ЕСН, потому что в счетах
предприятий НДС идет отдельной строкой, а ЕСН – нет.
48
165
прибыли от некоторого принятого налоговой инспекцией стандарта qn и
определяется из соотношения
( q( t )qn ) pw yw( t )pw yw( t )ww( t ) .
(14.11)
Именно по принципу поиска отклонений от сложившихся норм работают автоматические фильтры баз данных налоговых инспекций, определяющие предварительный круг объектов налоговых проверок.
Поскольку нарушения могут приводить как к положительным, так и к отрицательным отклонениям q( t ) , мы предполагаем, что вероятность обнаружения
2
нарушений пропорциональна q( t ) с постоянным коэффициентом пропорциональности. Если нарушения обнаружены, производитель платит штраф, пропорциональный неуплаченным налогам BTN . Тогда средние санкции составят
q( t ) 2 ( ( 1 ) pw yb ( t )( 1 ) wb( t ) )
.
SN

(14.12)
В коэффициент  включены коэффициенты пропорциональности вероятности
2
обнаружения величине q( t ) и величины штрафов. Чем меньше  , тем больше
ожидаемое наказание за нарушение. Величина  – это настроечный параметр,
эффективно учитывающий результат взаимодействия налогоплательщика с налоговым органом.
Ожидаемый полный доход производителя с учетом санкций составит
q( t ) 2 ( ( 1 ) pw yb ( t )( 1 ) wb( t ) )

 pw yb ( t )wb( t )
pw yw ( t )ww( t ) 
(14.13)
Таким образом, для определения теневых составляющих получаем задачу
Максимизации величины (14.13)
yw( t ), yb ( t ), ww( t ), wb( t ), q( t )
По переменным
при ограничениях (14.9), (14.10), (14.11)
(14.14)
При постановке этой задачи мы не беспокоились о том, что используемое
неявно выражение для вероятности обнаружения нарушений может принимать
значения больше 1 и не согласовывали выражение для штрафных санкций с законодательными нормами. Дело в том, что хотя теневые составляющие производства и зарплаты yb(t ), wb(t ) в российской экономике по всем оценкам значительны, наблюдаемый поток поступлений от санкций и штрафов за налоговые нарушения пренебрежимо мал не только по сравнению с доходами производителей,
но и по сравнению с каждой из учтенных в модели статей налоговых поступлений.
Если мы подберем параметры задачи (14.14) так, что на ее решении поток
штрафных платежей (14.12) будет достаточно малым, а составляющие теневого
оборота yb(t ), wb(t ) – достаточно большими, то конкретное выражение для
штрафных санкций окажется несущественным, а вероятность обнаружения нарушений будет малой величиной, заведомо меньшей 1.
166
14.2.2. Решение задачи менеджера
Поставленная задача решается аналитически стандартными средствами
Maple. После преобразований она сводится к кубическому уравнению на q( t ) .
Считая параметр  малым (т.е. санкции достаточно жесткими), можно найти приближенные, сравнительно простые выражения для корней этого уравнения. Решение с положительными yb ( t ) и yw ( t ) существует, только если норматив qn
близок к фактической величине нормы прибыли (1  ) :
sR
1    qn ~  ,  
.
pwY
(14.15)
Это решение отвечает наименьшему корню уравнения для q(t ) ~  . При этом
средний поток уплаченных штрафных санкций получается сравнительно
малым ( ~  2 ), и мы в дальнейшем этот поток в доходах бюджета и расходах
производителя не учитываем. Как отмечалось выше, малость совокупного потока уплаченных штрфов соответствует наблюдаемому положению дел.
В первом приближении по  для доли теневой зарплаты и доли теневого
выпуска получаются выражения
wb( t )
nv Bb ns ( 1nv ) 

,
ww( t )wb( t ) 2 nv ns  ( nsnv nsnv )
(14.16)
yb ( t )
 ( nsnv nsnvBb nsBb nv ns ) ns

,
yw ( t )yb ( t )
2 ( nsnv nsnv ) nv nv ns
(14.17)
где nv, ns – ставки НДС и ЕСН, показатель затратности  в (14.15), а остающаяся
конечной при малом  величина Bb     qn   рассматривается, наряду с  , как
настроечный параметр модели.
14.3. ЭКЗОГЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
В модель входят шесть переменных, которые не определяются из ее уравнений:
 GG ( t ) – государственное потребление,
 SubG( t ) – субсидии населению,



ww (t ) – курс доллара,
LdWG (t ) – выплаты по внешнему государственному долгу,
ExpF( t ) – чистый экспорт,
Rr( t ) – занятость.

Первые четыре величины входят в сценарий государственной экономической политики (см. разд. 15.5.2). Две последние появляются вследствие незамкнутости
модели.
Чтобы с помощью модели рассчитать временные ряды макроэкономических
показателей, необходимо задать эти экзогенные величины на всем отрезке планирования. Поэтому при использовании модели для получения прогнозов возникает проблема, как продолжить квартальные временные ряды экзогенных величин, взятые из статистики. Анализ модели и вычислительные эксперименты с ней
показали, что поскольку
167
 государственное потребление и чистый экспорт в преобразованную систему
уравнений модели входят только в сумме, которую можно в данном контексте
назвать внешней нагрузкой на экономику:
V_s(t )  GG ( t )  ExpF( t ) ;
(14.18)
 при заданном чистом экспорте наблюдавшиеся изменения курса доллара не
оказывают значимого влияния на динамику макроэкономических показателей, и
при расчетах можно считать курс валюты постоянным:
ww (t )  const ;
 Выплаты внешнего долга влияют только на объем валютных резервов,
то, в первую очередь, надо прогнозировать только три ряда: V_s(t ) , SubG( t ) и
Rr( t ) .
Проще всего сохранить характер колебаний этих статистических временных
рядов в пределах года периодическим повторением известного отрезка ряда, если
необходимо, с некоторым трендом. Именно таким способом мы продолжали на
будущие периоды отчетные статистические данные.
SubG(t), млрд.руб. в квартал
Рис.14.3.1
V(t), млрд.руб. 2000г.
в квартал
Рис. 14.3.2
R(t), млн. чел.
Рис. 14.3.3
На 14.3.1-14.3.3 приведены графики существенных экзогенных переменных
модели. Жирной линией отображены статистические данные, тонкой – их продолжения. Величина SubG( t ) – финансовый поток, который измеряется в номинальных деньгах, величина V_s(t ) – поток продукта, который измеряется стоимостью в
неизменных ценах.
Глава 15. Описание модели по блокам
15.1. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АГЕНТ «БАНК» (B)
15.1.1. Функции банка в модели
Мы начинаем с описания банка, поскольку оно, с одной стороны, типично –
полностью отвечает шаблону, приведенному в части II, а с другой стороны – относительно просто. Содержательно данный блок модели описывает в агрегированном виде деятельность коммерческих финансовых организаций как чистой
отрасли (см. разд. 10.1), т.е. отражает только финансовые операции. Материальные затраты на их осуществление считаются несущественными. Поэтому в модели отражены лишь следующие аспекты деятельности реальных банков:
 выдача ссуд производителям,
168
 прием депозитов населения,
 проведение безналичных расчетов через расчетные счета производителей и
корреспондентские счета в ЦБ,
 уплата налогов государству,
 выплата доходов собственникам.
Напомним, что мы пренебрегаем участием банков в теневом обороте.
15.1.2. Ограничения деятельности Банка
В модели система ограничений выражает все предположения об условиях
деятельности и возможностях банка. Если требуется уточнить или изменить описание деятельности банка, надо соответствующим образом изменить набор ограничений. Напомним, что при описании агента планируемые переменные обозначаются как переменные величины без индексов, например, L( t ) , а информационные переменные – как переменные с индексами, например, rl( t ) . Величины, не
зависящие от времени, – это постоянные параметры модели. Индексы у параметров носят чисто мнемонический характер и к разбиению модели на блоки отношения не имеют. Все параметры считаются положительными.
15.1.2.1. Выдача ссуд
Предполагается, что банк предоставляет кредит только инвесторам. Кредит
выдается на срок  k 1 под сложный процент rl( t ) . В модели мы не различаем
кредиты по срокам и другим условиям, поэтому модельные величины процента и
срока трудно сопоставить с какими-то наблюдаемыми величинами. В конечном
счете, величина rl( t ) определится из расчетов, а величина  k останется настроечным параметром.
Общий объем подлежащих возврату ссуд, который банк планирует иметь в
момент времени t , обозначаем через L( t ) . Эта величина возрастает за счет неотрицательного потока новых кредитов и убывает за счет потока погашений долгов. Если кредит выдается на срок  k 1 , то поток погашений составит примерно
 k L( t ) . Обозначая через LdL ( t ) разность новых кредитов и погашений (неттокредиты), получаем дифференциальное уравнение изменения L( t ) и неравенство на LdL ( t ) , выражающее неотрицательность вновь выданных кредитов:
d
L( t )LdL ( t ) ,
dt
 k L( t )LdL ( t ) .
(15.1)
Эти два соотношения мы вводим в модель как балансовое уравнение и сопровождающее его институциональное ограничение. Конечно, величина L( t )
должна быть неотрицательной, но в данном случае это ограничение будет лишним, поскольку, как легко видеть, неравенство 0L( t ) следует из (15.1) при
условии, что начальный объем ссуд неотрицателен.
Выдачу ссуд мы описываем как обмен «расписок» LdL ( t ) на деньги (см.
разд. 7.1.5.2). Правила этого обмена записываются в роли кредитора:
KdL( t )LdL ( t ) ,
rL ( t )r l( t ) L( t ) .
(15.2)
Второе из равенств (15.2) выражает предположение о том, что банк не является монополистом на рынке кредитов, а ориентируется на сложившийся на
этом рынке процент rl( t ) . В тоже время банк считает возможным выдать под этот
169
процент столько ссуд, сколько захочет, и поток процентных платежей rL(t ) будет
пропорционален величине ссуд. 
15.1.2.2. Привлечение депозитов
Эта операция симметрична выдаче ссуд. Считаем, что банк планирует привлечь депозиты в размере S( t ) на срок  s 1 под складывающийся на рынке сложный процент r s( t ) . Обозначая через SdS( t ) чистый приток вкладов, получаем, как
и выше, балансовое уравнение с ограничением:
d
S( t )SdS( t ) ,
 s S( t )SdS( t ) .
dt
(15.3)
Расписки банка (например, записи в сберкнижке) SdS( t ) обмениваются на равную
сумму денег клиента KdS( t ) . Кроме этого, клиенту надо выплачивать процентные
платежи rS( t ) , пропорциональные сумме вклада:
KdS( t )SdS( t ) ,
rS( t )r s( t ) S( t ) .
(15.4)
Здесь снова принято предположение о совершенной конкуренции банков на рынке
депозитов. В условиях российской экономики это предположение, конечно, не
вполне согласуется с особым положением Сбербанка. При дальнейшем развитии
модели, вероятно, придется выделить Сбербанк как особого агента.
Депозиты – это привлеченные средства банка, поэтому они должны резервироваться в ЦБ. Это требование мы учтем ниже в особом ограничении. 
15.1.2.3. Проведение безналичных расчетов
Кроме депозитов населения, банк привлекает средства в виде остатков расчетных счетов производителей N( t ) . В отличие от депозитов, это бессрочные и
беспроцентные сбережения – клиенты делают их отчасти ради удобства расчетов,
отчасти по требованию закона. Поскольку для этих сбережений нет регулирующей
переменной типа процента, банк, планируя свои операции, должен полагаться на
прогноз размера средств, которые клиенты готовы оставить на счетах NJn( t ) .
Все, что банк может в этих условиях сделать49 – отказаться держать остатки в
размере NJn( t ) . Поэтому для планируемых банком остатков расчетных счетов
N( t ) получаем балансовые соотношения
d
N( t )NdN( t ) ,
N( t )NJn( t ) ,
(15.5)
dt
где NdN( t ) – изменение суммарного остатка расчетных счетов.
Надо, казалось бы, добавить еще ограничение 0N( t ) , но нас интересуют
только решения N( t )NJn( t ) , которые описывают условия, когда банку выгодно
держать остатки, которые предлагают клиенты.
Приращение расчетного счета одного из клиентов отдельного банка – это
проводка по кредиту. В дебите ей отвечает либо инкассация наличных денег, либо
безналичный перевод от другого агента. При агрегировании всех держателей расчетных счетов в одного макроагента «Инвестор» и всех банков в одного макроагента «Банк» их финансовые балансы складываются. При этом расчеты отдельных
производителей и банков между собой взаимно уничтожаются. В результате в соНефинансовыми манипуляциями банков: рекламой, совершенствованием техники обслуживания, обусловливанием кредитов требованием вести все расчеты через данный банк и т.п., мы в
модели пренебрегаем.
49
170
вокупном балансе банков против величины NdN( t ) остается величина сальдо
KdN( t ) операций инкассации, обналичивания и безналичных переводов от производителей другим агентам (например, налоговых платежей государству):
KdN( t )NdN( t ) .
Сальдо KdN(t ) изменяет сумму резервов банка.

15.1.2.4. Динамика резервов банка и резервные требования
Мы уже несколько раз упоминали «деньги», которыми пользуются агенты.
Пришло время уточнить, что мы понимаем под деньгами в модели. В соответствии со сложившейся в России практикой мы предполагаем, что банки пользуются для расчетов сверхнормативными резервами (остатками корреспондентских
счетов в ЦБ), население – наличностью, а производители – остатками расчетных
счетов для легальных расчетов и наличностью – для теневых (последнее предположение нуждается в уточнении). Предполагается также, что операции инкассации и обналичивания производятся мгновенно и бесплатно. Поэтому в модели
деньгами, т.е. наиболее ликвидным платежным средством, фактически оказывается агрегат, называемый денежной базой. Он определяется как сумма наличных денег и банковских резервов в ЦБ.
Таким образом, в модели платежным средством банка служат остатки корреспондентских счетов в ЦБ. Сумму резервов обозначаем через K( t ) . Именно из
этой суммы делаются платежи и начисляются поступления, описываемые введенными выше величинами KdN( t ), KdS( t ), rS( t ), KdL( t ), rL( t ) . Кроме этого, из той
же суммы вычитаются налоговые платежи банков Tax( t ) и доходы (дивиденды)
собственников банка Z( t ) .
Банк обязан выполнять резервные требования: резервы K( t ) должны
превосходить определенную, установленную нормативно, долю  s привлеченных
средств (фонд обязательного резервирования). В рамках модели рассматриваются два вида привлеченных средств банка: депозиты S( t ) и остатки расчетных счетов N( t ) . Нормативные резервные требования на обе величины можно
считать одинаковыми, но надо учесть, что ведение расчетных счетов связано с
безналичными переводами. Чтобы перевести некоторую сумму денег по требованию клиента, банк должен иметь эту сумму в резерве сверх норматива. Чтобы
учесть это обстоятельство, введем эффективную норму резервирования расчетных счетов  n большую, чем  s на величину, которая служит настроечным параметром модели. Тогда фактические резервные требования запишутся в виде
 n N( t ) s S( t )K( t ) ,
{  n1 } , {  s1 } , {  s n } {  s n } ,
(15.6)
а динамика резервов K( t ) определится балансовым уравнением
d
K( t )KdS( t )rS( t )KdL( t )rL ( t )KdN( t )Z( t )Tax ( t ) .
dt
(15.7)

15.1.2.5. Уплата налогов
Мы пренебрегаем материальными затратами банка, поэтому у банка прибыль и добавленная стоимость совпадают и равны разности полученных и уплаченных процентов rL( t )rS( t ) , а социальный налог отсутствует.
171
Поскольку мы предполагаем всю деятельность банка легальной, выплаченные им дивиденды Z( t ) подпадают под обложение подоходным налогом. Чтобы
несколько упростить запись всей модели, будем считать, что подоходный налог
уплачивается банком одновременно с выплатой дивидендов (как социальный
налог на зарплату).
Итак, налоговые платежи банка Tax( t ) складываются из выплат налога на
добавленную стоимость Tva ( t ) , налога на прибыль Tpr( t ) и подоходного налога
Tin ( t ) . Для единообразия добавляем к ним нулевой социальный налог Tes( t ) :
Tva ( t )nv ( rL( t )rS( t ) ) ,
Tpr( t )np ( rL( t )rS( t ) ) , Tin ( t )nd Z( t ) , Tes( t )0 ,
Tax( t )Tva ( t )Tpr( t )Tin ( t )Tes( t ) .
Параметры nv, np, nd задают ставки соответствующих налогов. 
15.1.2.6. Выплата дивидендов
В соответствии с описанной в разд. 8.3 принципиальной схемой мы предполагаем, что собственники задают пропорцию поступления дивидендов во
времени, ее мы обозначаем как Ubb( t ) . Эту величину банк узнает в процессе
взаимодействия b (см. разд. 9.4.3.2 и 15.6.10). Если временная пропорция поступления дивидендов задана, то
Z( t )Ubb( t )  ,
(15.8)
где  – курс капитала банка.

Этим завершается описание ограничений банка, среди которых выделяются
четыре балансовых группы: (15.1), (15.3), (15.5), (15.7). Все балансы – финансовые: в них L(t ), K (t ) – активы, а S (t ), N (t ) – пассивы банка. Первое из неравенств
(15.6) включено в балансовую группу уравнения (15.7), а остальные являются
условиями на параметры. Все ограничения-равенства, кроме балансов, представляют описание ролей банка. Мы считаем банк частной коммерческой организацией, действующей в интересах своих хозяев, поэтому дивиденды Z( t ) образуют
поток полезных расходов банка, а следовательно, основными деньгами (они
обозначались как Aa в части II) для банка служат резервы K( t ) .
15.1.3. Целевой функционал и терминальные условия
15.1.3.1. Максимизация капитализации
В соответствии с теоретической схемой, изложенной в части II, целью деятельности банка считаем максимизацию капитализации  ( t0 ) . Мы не будем сопоставлять ( t0 ) и  с какими-либо наблюдаемыми величинами, а просто после
решения задачи банка выберем величину ( t0 ) так, чтобы максимальное значение курса капитала банка  оказалось равным 1.
Технически удобно представить целевой функционал интегралом по времени
в пределах отрезка планирования [ t0, T ] . Поэтому выражение  ( t0 ) мы переT
   ( t0 )

dt и получим выражение интересов агента:
пишем в виде   ( t0 )

 Tt0
t0
172
T
   ( t0 )

dt .


 Tt0
t0
максимизировать величину
(15.9)

15.1.3.2. Упрощение ограничений
Вообще говоря, максимум функционала (15.9) надо искать по постоянной 
и всем неиндексированным переменным, входящим в ограничения (15.1) - (15.8).
Но систему ограничений можно автоматически упростить (см. разд. 9.5), исключив
«лишние» переменные из ограничений-равенств. В данном случае применение
этой процедуры дает ядро из десяти существенных ограничений:
d
(15.10)
0LdL ( t ) L( t )  , { 0LdL ( t ) k L( t ) } ,
d
 t

d
0SdS( t ) S( t )  , { 0SdS( t ) s S( t ) } ,
 dt

{ 0NJn( t )N( t ) } , { 0K( t ) n N( t ) s S( t ) } ,
d
0SdS( t )r s( t ) S( t )LdL ( t )r l( t ) L( t ) N( t ) Z( t )
 dt

nv ( r l( t ) L( t )r s( t ) S( t ) )np ( r l( t ) L( t )r s( t ) S( t ) )nd Z( t )
d
 K( t ) 
 dt

{ 0NJn( t )N( t ) } , { 0K( t ) n N( t ) s S( t ) } ,
d
0SdS( t )r s( t ) S( t )LdL ( t )r l( t ) L( t ) N( t ) Z( t )
 dt

nv ( r l( t ) L( t )r s( t ) S( t ) )np ( r l( t ) L( t )r s( t ) S( t ) )nd Z( t )
d
 K( t ) 
 dt

(15.11)
на существенные планируемые переменные
LdL ( t ), L( t ), S( t ), SdS( t ), N( t ), K( t ) ,
(15.12)
среди которых переменные L( t ), S( t ), N( t ), K( t ) являются фазовыми. Выражения
для исключенных переменных понадобятся только при сборке модели, поэтому
мы приведем их в конце раздела. 
Итак, теперь задача состоит в том, чтобы максимизировать (15.9) по переменным (15.12) при ограничениях (15.10) - (15.11). Заметим, что в списке (15.12)
нет потока полезных расходов Z( t ) , поскольку он связан не учтенным пока в
ограничениях соотношением (15.8).
15.1.3.3. Граничные условия роста капитала
По причинам, описанным в разд. 12.4, мы дополняем ограничения (15.10) (15.11) условием роста капитала. Однако мы пока не знаем выражения капитала
для данного конкретного агента, поэтому поставим просто условие роста линейной формы от фазовых переменных с единичным коэффициентом при основных
деньгах K( t ) :
173
( aL ( t0 ) L( t0 )aS( t0 ) S( t0 )aN( t0 ) N( t0 )K( t0 ) ) e
aL ( T ) L( T )aS( T ) S( T )aN( T ) N( T )K( T )
(  ( T t0 ) )

(15.13)
Величину  (не обязательно положительную) мы будем считать одинаковой
для всех агентов, несмотря на то, что выражения капитала для разных агентов
различны хотя бы потому, что различны наборы фазовых переменных агентов.

Итак, теперь задача состоит в том, чтобы максимизировать (15.9) по переменным (15.12) при ограничениях (15.10) - (15.11), (15.13). Заметим, что эта задача линейна.
15.1.4. Решение задачи банка
15.1.4.1. Условия оптимальности
Система (15.10) - (15.11) – это система (7.5)-(7.8) в частном случае, когда
экономический агент – это «Банк», а неограниченные потоки выражены через
производные запасов (см. разд. 8.1.3.). Как уже говорилось, система ЭКОМОД
позволяет автоматически провести преобразования этой системы, приведенные в
разд. 7.2: ввести набор двойственных переменных, составить УДН для неравенств, выписать функционал Лагранжа (7.25):
T
   ( t0 )
d

( t )  LdL ( t ) L( t )  ( t ) ( LdL ( t ) k L( t ) )



 dt

 Tt0
t0
d
( t )  SdS( t ) S( t )  ( t ) ( SdS( t ) s S( t ) )
d

 t

( t ) ( NJn( t )N( t ) )( t )  SdS( t )rs( t ) S( t )LdL ( t )

d
r l( t ) L( t ) N( t ) Z( t )nv ( r l( t ) L( t )r s( t ) S( t ) )
 dt

d
np ( r l( t ) L( t )r s( t ) S( t ) )nd Z( t ) K( t )  
 dt

( t ) ( K( t ) n N( t ) s S( t ) ) dt ( aL ( T ) L( T )
aS( T ) S( T )aN( T ) N( T )K( T )
( aL ( t0 ) L( t0 )aS( t0 ) S( t0 )aN( t0 ) N( t0 )K( t0 ) ) e
(  ( T t0 ) )
),
исключить производные фазовых переменных интегрированием функционала по
частям аналогично (7.26) и, наконец, приравняв нулю вариацию функционала Лагранжа, составить систему необходимых и достаточных условий регулярной оптимальности, аналогичную (7.29)-(7.30), (7.33), (7.34) (пока без нормировки (7.39)). В
случае «Банка» эта система состоит из:
 пяти УДН, отвечающих терминальному ограничению и неравенствам на текущие значения планируемых переменных:
[  ] [ aL ( T ) L( T )aS( T ) S( T )aN( T ) N( T )K( T )
( aL ( t0 ) L( t0 )aS( t0 ) S( t0 )aN( t0 ) N( t0 )K( t0 ) ) e
174
(  ( T t0 ) )
],
(15.14)
[ ( t ) ] [ K( t ) n N( t ) s S( t ) ] ,
[ ( t ) ] [ NJn( t )N( t ) ] ,
[ ( t ) ] [ SdS( t ) s S( t ) ] , [ ( t ) ] [ LdL ( t ) k L( t ) ] ;

трех динамических уравнений исходной системы:
d
d
0LdL ( t ) L( t )  , 0SdS( t ) S( t )  ,
d
t
d


 t

d
0SdS( t )r s( t ) S( t )LdL ( t )r l( t ) L( t ) N( t ) Z( t )
 dt

nv ( r l( t ) L( t )r s( t ) S( t ) )np ( r l( t ) L( t )r s( t ) S( t ) )nd Z( t )
;
d
 K( t ) 
 dt

 шести условий оптимальности, полученных вариацией текущих значений планируемых переменных:
d
0  ( t ) ( t )  dK ,
(15.15)
  dt


d
0( ( t )( t )( t ) ) dSdS , 0  ( t ) ( t )( t )  n  dN
  dt


0 ( t )  srs( t ) ( t )( t )  s( t ) nv rs( t )( t ) np rs( t )

d
 ( t )   dS
 dt

0( ( t )( t )( t ) ) dLdL ,
d
0   ( t ) rl( t )( t ) nv rl( t ) ( t ) ( t ) np rl( t )( t ) k  d dL;

 dt


 четырех условий оптимальности, полученных вариацией терминальных значений фазовых переменных:
0( ( T ) aL( T ) ) dL(T) ,
0( ( T ) aS( T ) ) dS(T) ,
0( ( T ) aN( T ) ) dN(T) , 0( ( T )) dK(T) .
(15.16)
(15.17)
Для наглядности в условия оптимальности автоматически добавляются
формальные множители типа dK , dL(T) и т.п., показывающие, вариацией какой
величины получено то или иное условие.
Если считать УДН уравнением, то в системе (15.14)-(15.17) окажется ровно
столько уравнений, содержащих функции времени, сколько есть неизвестных
прямых и двойственных переменных, а уравнений и УДН, содержащих значения
функций в момент T , как раз столько, сколько нужно, чтобы определить множитель Лагранжа  и терминальные условия для тех двойственных переменных,
которые входят в условия оптимальности со своими производными. При этом коэффициенты формы терминального условия aL( T ), aS( T ), aN( T ) следует считать
заданными. К сожалению, система условий оптимальности часто содержит закономерные вырождения, поэтому простой подсчет уравнений здесь почти ничего
не дает.
В задаче еще остается неизвестная постоянная  . Чтобы ее найти, надо
подставить в (15.14)-(15.17) и функционал Лагранжа выражение для дивидендов
(15.8) и добавить к (15.14)-(15.17) условие равенства нулю производной функционала Лагранжа по  (7.49). Однако удается обойтись без этого громоздкого условия. Именно поэтому мы не используем пока выражение Z( t )Ubb( t )  . 
175
15.1.4.2. Капитала банка и регулярное решение задачи банка
Преобразовав систему (15.14)-(15.17) как описано в разд. 8.1.1, получаем
выражение для капитала банка:
( t )
( t ) S( t )
( t ) L( t )
N( t )
K( t )
( t )
( t )
(15.18)
и уравнение
d
( t )nd Z( t )
dt
( t ) NJn( t )
( t )
d
( t )  ( t ) 
 dt
 .
Z( t )
( t )
(15.19)
По определению регулярного решения из разд. 7.2.1 множитель Лагранжа
 при терминальном условии должен быть положительным. Из УДН (15.16)(15.17) при условии 1  0 легко получить, что коэффициенты терминального
условия aL(T ),aN(T ),aS(T ) совпадают с соответствующими коэффициентами линейной формы капитала (15.18). Поскольку на регулярном решении терминальное
ограничение активно (см. разд. 12.4), вместо (15.14) запишем условие
0( T )( t0 ) e
(  ( T t0 ) )
.

15.1.4.3. Нормировка двойственных переменных
Из условий 1  0 , (15.15) и второго соотношения (15.17) следует, что двойственная переменная ( t ) к балансу основных денег банка строго положительна, как и должно быть согласно изложенной в разд. 7.2.2 общей теории. Полагая
6(t )  (t ) ,
(t )  
1 d
(t )
(t ) dt
(15.20)
и нормируя остальные двойственные переменные на (t ) , обнаруживаем, что соотношения, содержащие (t ) и  , отщепляются. Поскольку сами по себе двойственные переменные нам не нужны, эти соотношения можно отбросить. Это, как
оказывается, позволяет не выписывать сложное условие оптимальности по  .
Сохраняя для нормированных переменных прежние обозначения и подставляя в (15.14)-(15.18) выражение (15.8) для Z (t ) , приходим к более простой системе условий оптимальности:
(  ( T t0 ) )
aL( t )( t ) , aS( t )( t ) , aN( t )-1 , 0( T )( t0 ) e
, (15.21)
[ ( t ) ] [ K( t ) n N( t ) s S( t ) ] ,
[ ( t ) (  n1 ) ] [ NJn( t )N( t ) ] ,
(15.22)
[ ( t ) ] [ K( t ) n N( t ) s S( t ) ] ,
[ ( t ) (  n1 ) ] [ NJn( t )N( t ) ] ,
(15.23)
[ 1( t ) ] [ SdS( t ) s S( t ) ] , [ ( t )1 ] [ LdL ( t ) k L( t ) ] ,
d
d
L( t )LdL ( t ) ,
S( t )SdS( t ) ,
dt
dt
d
d
N( t ) K( t ) SdS( t )LdL ( t )Ubb( t ) nd Ubb( t ) 
dt
 dt

,
rs( t ) ( nv1np ) S( t )rl( t ) ( nv1np ) L( t )
d
( t )(  s( t ) ) ( t )( t )  srs( t ) srs( t ) nvnp rs( t ) ,
dt
176
d
( t )(  k ( t ) ) ( t )rl( t )np rl( t ) k rl( t ) nv ,
dt
( t )( t ) S( t )( t ) L( t )N( t )K( t ) ,
( t )nd1 ,
PP ( t )Ubb( t )  ,
f( t )NJn( t ) ( t ) (  n1 ) .
(15.24)
Соотношения (15.24) являются выражением полезного потока PP(t ) и коэффициентов уравнения (15.19) для капитала, которые банк должен будет сообщить
собственнику. Величина (t ) в соответствии с (15.20), (15.19) выражает доходность капитала банка. 
15.1.4.4. Режимы
Первое из УДН (15.23) говорит о том, что либо доходность ( t ) капитала
банка нулевая, либо резервы находятся на минимальном уровне. Считая, что реализуется только второй режим со строго положительной доходностью, мы разрешаем это УДН и получаем вместо него неравенство на доходность и уравнение
на резервы.
Неравенство 0( t ) позволяет разрешить второе из УДН (15.23). Это доказывает, что, по крайней мере, в режиме с минимальными резервами банку выгодно привлекать как можно больше расчетных счетов – факт, на который мы уже
ссылались при формулировке системы ограничений. 
15.1.5. Описание поведения банка
На последнем шаге работы с описанием банка система ЭКОМОД приписывает всем планируемым переменным банка, а также постоянной  индекс B .
Окончательно поведение банка описывается в модели системой соотношений,
состоящей из двух частей. Первая – это выражения «лишних» переменных, исключенных при упрощении системы ограничений:
d
ZB( t )Ubb( t ) B , NdNB( t ) NB( t ) ,
dt
TaxB( t )nv ( rl( t ) LB( t )rs( t ) SB( t ) )np ( rl( t ) LB( t )rs( t ) SB( t ) )
(15.25)
nd ZB( t )
TesB( t )0
TinB( t )nd ZB( t )
TprB( t )np ( r l( t ) LB( t )rs( t ) SB( t ) )
TvaB( t )nv ( r l( t ) LB( t )rs( t ) SB( t ) )
KdNB( t )NdNB( t )
rS B( t )r s( t ) SB( t )
KdSB( t )SdSB( t )
,
KdLB( t )LdLB( t ) .
Вторая часть – это системы условий (15.22) – (15.24) с учетом частичного разрешения УДН:
{ 0B( t ) } , 0 ( T ) ( t0 ) e
B
B
(  ( Tt0 ) )
,
[ B( t )1 ] [ SdSB( t ) s SB( t ) ] ,
[ B( t )1 ] [ LdLB( t ) k LB( t ) ] ,
0KB( t ) n NB( t ) s SB( t ) , 0NJn( t )NB( t )
d
d
LB( t )LdLB( t ) ,
S ( t )SdSB( t )
dt
dt B
d
d
K ( t )SdSB( t )Ubb( t ) BLdLB( t ) NB( t ) nd Ubb( t ) B
dt B
d
 t

rs( t ) ( nv1np ) SB( t )rl( t ) ( nv1np ) LB( t )
177
(15.26)
d
B( t )
dt
( B( t ) s ) B( t )rs( t )B( t )  snv rs( t ) srs( t ) np
d
B( t )(  k B( t ) ) B( t ) k rl( t ) nprl( t ) nvrl( t )
dt
B( t )B( t ) SB( t )NB( t )B( t ) LB( t )KB( t )
PPB( t )Ubb( t ) B ,
B( t )nd1 ,
Здесь
Имя плнируемой пе- Размерность
ременной
LB( t )
деньги
LdLB( t )
деньги/время
KdLB( t )
деньги/время
rL B( t )
деньги/время
f B( t )NJn( t ) B( t ) (  n1 ) .
срочный кредит
нетто-кредиты
деньги
деньги/время
деньги/время
поток вкладов
поток вкладов
деньги/время
деньги
процентные платежи по депозитам
остатки расчетных счетов инвестора
деньги/время
деньги/время
деньги/время
поток расчетных счетов
поток расчетных счетов
дивиденды
деньги
деньги/время
остатки корреспондентских счетов в ЦБ
уплата налогов
Tin B( t )
деньги/время
деньги/время
деньги/время
НДС
налог на прибыль
подоходный налог
TesB( t )
деньги/время
социальный налог
двойственные переменные
SdSB( t )
KdSB( t )
rS B( t )
NB( t )
NdNB( t )
KdNB( t )
ZB( t )
KB( t )
TaxB( t )
TvaB( t )
Tpr B( t )
B( t ) , B( t )
(15.28)
(15.29)
Смысл
нетто-кредиты
процентные платежи по кредитам
Депозиты
SB( t )
(15.27)
15.1.5.1. Оценка активов и пассивов банка
Обсудим экономический смысл выражения капитала банка (15.28). УДН
(15.26) показывают, что 1B (t )  1, и равенство достигается, когда положительны
новые кредиты LdL B (t )  s L B (t ) . Аналогично 3B (t )  1 , и равенство достигается,
когда положительны новые вклады SdSB (t )  s SB (t ) . Значит, если экономика находится в нормальном состоянии, когда банковская система выдает новые кредиты
и стремится привлечь новые вклады, т.е. 1B (t )  1 , а 3B (t )  1 , то величина
 B (t ) будет в точности равна чистым активам, т.е. тому значению капитала, которое получается из бухгалтерского баланса. Если же состояние экономики «ненормально» в том смысле, что банковской системе невыгодно давать ссуды под сложившийся процент, то ссуды как актив банку не нужны, и он готов продать их «по
178
дешевке». Это обстоятельство и учитывается множителем 1B (t )  1 в выражении
(15.28). Такую же роль играет и множитель 3B (t ) , когда банку невыгодно привлекать депозиты. Таким образом, полученная формальной процедурой из условий
оптимальности величина  B (t ) дает обычную величину капитала в нормальном состоянии экономики и модифицирует величину капитала в естественном направлении, когда состояние экономики ненормально. Фактически
 B (t ) всегда выражает рыночную стоимость чистых активов и в этом смысле является «истинным» выражением капитала, которое бухгалтерия всегда стремится
получить, но которое точно считается только в моделях. 
15.1.5.2. Функция спроса на кредиты
Обсудим теперь экономический смысл УДН (15.26). Например, второе из них
надо интерпретировать как описание бесконечно эластичной функции предложения K B () нетто-кредитов, LdLB (t )  k LdLB (t )  K B ( g B (t )) , банком (ср. (6.1):
 , если g B  0

K B ( g B )   любое, если g B  0 ,
 0
если g B  0

g B (t )  1  1B (t ) .
(15.30)
Как мы объясняли в разд. 12.3, главное в функции предложения – это ее аргумент. В данном случае в силу (15.27) аргумент g B (t ) определяется уравнением
d
g B (t )  (1  nv  np) rl (t )   B (t )  (k   B (t )) g B (t ) .
(15.31)
dt
У этого уравнения, так же, как у (12.5), существует единственное решение,
которое может быть ограниченным на правой полуоси:




g B (t )  
 ( B( u )( 1npnv ) rl( u ) ) e



t
 u

 

    ( z ) dz 
  k

B
 



 t

du .
(15.32)
Согласно (12.4) величина g B (t ) должна оставаться равномерно ограниченной
с ростом горизонта планирования T . Поэтому в равновесии при большом T величина g B (t ) вдали от момента T должна быть близка к (15.32). Таким образом,
g B (t ) представляет собой усредненную по будущим значениям времени u  t с


убывающим весовым коэффициентом exp   k  B ( z )  dz разность доходности
u
t
банка B (t ) и сложившегося на рынке процента rl (t ) , «подправленного» множителем 1npnv , учитывающим ставки налогообложения. Иначе говоря, аргументом функции предложения кредитов оказывается ожидаемая разница внутренней доходности банка и фактически получаемого банком процента по ссудам. Чем больше эта величина, тем меньше предложение кредитов. 
179
15.2. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АГЕНТ «ИНВЕСТОР» (J)
15.2.1. Функции инвестора в модели
Данный блок модели описывает в агрегированном виде деятельность коммерческих нефинансовых организаций (производителей) в масштабе времени, отвечающем времени прогнозирования по модели. Описание поведения инвестора существенно опирается на предложенное в разд. 14.2 описание
деятельности менеджера. В данном блоке описаны следующие аспекты деятельности инвестора:
 наем рабочей силы, как за легальную, так и за теневую заработную плату у
агента «Население»,
 целиком легальное инвестирование в восстановление и расширение основных фондов,
 производство и реализация продукции по легальным и теневым каналам,
 получение и возврат срочных банковских ссуд,
 уплата налогов государству,
 выплата легальных и нелегальных доходов собственнику.
15.2.2. Ограничения деятельности инвестора
15.2.2.1. Производство
Приведенные в разд. 14.1 результаты анализа статистических данных позволяют описать производственную деятельность инвестора соотношениями (14.6) (14.8). Хотя в модели занятость задается экзогенно, инвестор об этом не знает.
Он планирует численность занятых R (t ) , исходя из цены продукта, ставки зарплаты и других информационных переменных, среди которых нет экзогенно заданной
величины занятости.
К соотношениям (14.6), (14.7) мы добавляем определение балансовой стоимости основных фондов FC( t ) :
d
FC( t )pJ( t ) a FC( t ) ,
dt
(15.33)
где pJ( t ) – валовые инвестиции в текущих ценах. Величина FC( t ) вводится
для того, чтобы учесть амортизацию при определении налоговой базы. Ввиду
специфики описания основных фондов в модели норма амортизации  a рассматривается как настроечный параметр.
15.2.2.2. Получение ссуд
Считаем, что инвестор может брать срочные ссуды только у банка. Изменение задолженности инвестора описывается аналогично привлечению депозитов
банком (15.3), (15.4):
d
(15.34)
L( t )LdL ( t ) ,  k L( t )LdL ( t ) ,
dt
LdL ( t )KdL( t ) , rL ( t )r l( t ) L( t ) .
Здесь L( t ) – величина задолженности, LdL ( t ) – нетто-кредиты, rL( t ) – процентные платежи, rl( t ) – норма процента,  k – величина, обратная сроку ссуд.

Планируемые переменные инвестора L( t ) , LdL ( t ) , rL( t ) обозначены здесь
так же, как и родственные им планируемые переменные банка в разд. 15.1.2.1,
имеют другой смысл и в модели выступают как другие переменные. Переменные
180
L( t ) , LdL ( t ) , rL( t ) банка описывали предложение ссуд и после индексации
получили в модели обозначения LB( t ) , LdLB( t ) , rL B( t ) (см. (15.25) - (15.29)). Введенные здесь величины L( t ) , LdL ( t ) , rL( t ) описывают спрос инвестора на те
же ссуды и после индексации получат в модели обозначения LJ( t ) , LdLJ( t ) ,
rL J( t ) .
Что же касается индексированных информационных переменных, например,
rl( t ) и параметров, например,  k , то они имеют одинаковый смысл и значение для всех агентов.
15.2.2.3. Легальные расчеты производителя и ограничения ликвидности
Предполагается, что для легальных расчетов инвестор использует исключительно остатками расчетных счетов N( t ) . Имея средства на расчетном счете, инвестор может дать указание банку о переводе средств тому или иному контрагенту или обналичить определенную сумму. Расчетный счет инвестора пополняется
вследствие инкассации и переводов от других агентов. Результирующее изменение остатка расчетного счета обозначаем через NdN( t ) .
В модели платежи описываются непрерывными потоками, но в реальности
субъекты экономики осуществляют платежи дискретными порциями, и чтобы выплатить такую порцию, ее надо иметь в запасе на расчетном счете. В результате
появляется потребность иметь определенную величину среднего запаса денег
для обеспечения заданной средней интенсивности платежа. Она зависит от типичного размера и частоты платежей. При суммировании финансовых потоков по
субъектам эта связь должна проявиться как связь суммарного запаса и суммарных затрат. Ее мы и вводим в модель. На этом соображении основана «количественная теория денег» [88], а сама связь между потоками и запасами называется
ограничением ликвидности.
Мы учтем ограничение ликвидности, связанное с инвестиционными расходами pJ( t ) и легальной зарплатой sRW( t ) , записывая его как дополнительное
ограничение к балансу остатков расчетных счетов:
d
y pJ( t )s sRW ( t )N( t ) .
N( t )NdN( t ) ,
(15.35)
dt
Ограничение ликвидности выражено последним неравенством. Постоянные времени y и s задают характерные времена оборота денег в соответствующих
сегментах системы денежного обращения. Мы относим их к настроечным параметрам модели.
В левую часть ограничения ликвидности стоило бы добавить аналогичные
слагаемые, отвечающие налоговым платежам и выплате дивидендов, но не хотелось перегружать модель дополнительными параметрами. Подобные компромиссы между стремлением к точности и стремлением к простоте неизбежны на нынешнем уровне развития моделирования экономики.
Для финансовой системы в целом остатки расчетных счетов являются сбережениями. Банк производит реальные операции с деньгами (наличностью и
остатками корреспондентских счетов) KdN( t ) по распоряжению инвестора:
NdN( t )KdN( t ) .
Поток денег KdN( t ) – это сальдо поступлений от легальной выручки
pYW( t ) и нетто-кредитов KdL( t ) , а также расходов на легальную зарплату
181
sRW( t ) , процентные платежи rL( t ) , налоговые платежи Tax( t ) , инвестиционные
расходы pJ( t ) и легальные дивиденды ZW( t ) . Поскольку сам производитель
остатков корсчетов не имеет, мы записываем указанное равенство как баланс с
нулевым запасом в системе балансов актива «корсчет»:
0  pYW( t )sRW( t )rL( t )KdL( t )ZW( t )Tax( t )pJ( t )KdN( t ) .
Мы предполагаем, что процентные платежи, нетто-кредиты и инвестиционные
расходы относятся к легальному обороту денег. 
15.2.2.4. Теневые расчеты производителя
Предполагается, что в теневом обороте находятся только наличные деньги.
Запас нелегальной наличности у производителя Nal( t ) увеличивается за счет теневой выручки pYB( t ) и уменьшается за счет выплаты теневой зарплаты sRB( t )
и теневых доходов собственников ZB( t ) . Предполагается, что остаток наличности должен быть достаточным, чтобы обеспечить выплату зарплаты (ограничение
ликвидности):
d
(15.36)
bl sRB ( t )Nal( t ) .
Nal( t )pYB( t )sRB ( t )ZB( t ) ,
dt
Здесь bl – постоянная времени обращения нелегальных наличных денег. Поскольку деньгами мы считаем сумму наличности и остатков корреспондентских
счетов, в системе балансов наличность Nal( t ) относится к активу «корсчет».
Выше мы считали величины bl , y и s независимыми настроечными параметрами модели. Эксперименты с моделью показали, что лучше было бы считать
их зависящими, по крайней мере, от величины налоговых ставок. Подходящая зависимость была выведена из динамической модели менеджера, но пока мы не
рискнули включать эти результаты в модель и ограничились использованием более простой статической модели краткосрочных операций, изложенной в
разд. 14.2. 
15.2.2.5. Теневые составляющие выручки и зарплаты
Мы предполагаем, что покупатель продукта не разбирается, получает ли он
легальный или «левый» товар, поэтому цена покупателя py( t ) в теневом и легальном обороте одна и та же и определяется соотношением совокупного спроса
и предложения. При оплате фондообразующего продукта J( t ) инвестор играет
роль покупателя, поэтому связь потока платежей pJ( t ) и встречного потока товара J( t ) определяется той же ценой:
pJ( t )py( t ) J( t ) .
Рассматривая цену как информационную переменную инвестора, мы тем самым предполагаем, что в среде производителей и торговцев, представленных
в модели агентом «Инвестор», доминируют отношения конкуренции, а не сговора о ценах.
Когда инвестор продает товар Y( t ) , он получает выручку py( t ) Y( t ) и может
ее регистрировать, а может укрыть ее от учета. В последнем случае он выигрывает на налоговых платежах, но рискует подпасть под санкции за нарушение налогового законодательства. Компромисс между риском и выгодой ищется как решение задачи менеджера в разд. 14.2. В общем виде результат решения этой задачи
182
(14.16), (14.17) можно записать в виде двух функций y(  ( t ) ) и r(  ( t ) ) , задающих оптимальные с точки зрения менеджера доли теневых составляющих выручки и зарплаты, соответственно. Обе функции зависят от одной и той же переменной – фактической нормы затрат
sr( t ) R( t )
 ( t )
(15.37)
Y( t ) p ( t ) ( 1nv ) ,
y
где sr( t ) – ставка заработной платы, а nv – ставка НДС. Явные выражения
(14.16), (14.17) будут использованы в модели только на этапе расчетов.
Оптимальная доля теневой выручки y(  ( t ) ) определяет потоки теневой
pYB( t ) и легальной выручки pYW( t ) :
pYB(t )  p y (t )  y  (t )  Y (t ) ,
pYB(t )  p y (t ) 1   y  (t )   Y (t ) .
(15.38)
На рынке труда ситуация симметрична ситуации на рынке продукта. Продавцы труда – наемные работники – требуют фонд зарплаты sr( t ) R( t ) , безразлично
«белый» он или «черный». Покупатель труда – менеджер – выбирает оптимальные с его точки зрения размеры теневой sRB( t ) и легальной sRW( t ) зарплаты, в
сумме составляющие sr( t ) R( t ) :

p (t ) 1  nv   r  (t )  Y (t ) 
sRW(t )  1  y
 sr (t ) R(t ) ,


s
(
t
)
R
(
t
)
r


sRB(t )  p y (t ) 1  nv  r  (t ) Y (t ) .
(15.39)

15.2.2.6. Уплата налогов
Как и в случае банка, рассматриваем четыре налога: Tva ( t ) – НДС, Tpr( t ) –
НП, Tin ( t ) – НД и Tes( t ) – ЕСН. Поскольку в модели мы оперируем чистой продукцией, основой налоговой базы НДС и НП служит легальная выручка pYW( t )
за вычетом оплаты финансовых услуг rL( t ) и амортизации  a FC( t ) :
Tva ( t )nv ( pYW ( t )rL ( t ) a FC( t ) ) ,
Tpr(t )  np ( ( 1nv ) ( pYW ( t )rL ( t ) a FC( t ) )( 1nsnd ) sRW ( t ) ) ,
Tin ( t )nd ( ZW( t )sRW( t ) ) , Tes( t )ns sRW( t ) ,
Tax( t )Tva ( t )Tpr( t )Tes( t )Tin ( t ) .

15.2.2.7. Выплата дивидендов
Так же как и в задаче банка разд. 14.1, полагаем, что инвестор выплачивает
собственнику дивиденды Z (t ) в заданной собственником временной пропорции
Ub p (t ) , которую инвестор узнает в процессе взаимодействия p :
Z (t )  Ubp (t )  ,
где  – курс капитала инвестора.
Разница с банком только в том, что поток полезных расходов инвестора Z (t )
складывается из легальных и нелегальных дивидендов:
183
ZW( t )Z( t )ZB( t ) ,
(15.40)
а основными деньгами служат остатки расчетных счетов N(t ) . 
15.2.3. Целевой функционал и решение задачи инвестора
Соотношения (14.6) - (14.7), (15.33) - (15.40) образуют систему ограничений
действий инвестора в модели. У инвестора два финансовых актива – остатки расчетных счетов N(t ) и «черный нал» Nal(t ) и один пассив – ссуды L (t ) . Величины
M(t ) , FC(t ) – это внебалансовые активы (см. разд. 7.1.6). Группа технологических ограничений (14.6), (14.7), (15.33) порождает поток Y(t ) актива «продукт», а
поглощает затраты J (t ) актива «продукт» и затраты R (t ) актива «труд» (см. разд.
9.4.2). Соотношения (15.37) - (15.39) в рамках канонической формы являются частичным явным описанием поведения инвестора (см. разд. 9.4.1).
Так же, как и задача банка (15.9), задача инвестора ставится так же, как задача максимизации капитализации
T
   ( t0 )

dt .


 Tt0
t0
(15.41)
Решается эта задача точно по тому же плану, что и задача банка, только выкладки более громоздкие, поэтому мы их здесь опускаем. Отметим только, что в
отличие от задачи банка, задача инвестора однородная, но не вогнутая из-за соотношений (15.37) - (15.39). Поэтому в данном случае мы получаем только необходимые условия регулярной оптимальности.
После исключения «лишних» переменных и нормировки двойственных переменных на положительную двойственную переменную (t ) к балансу (15.35) основных денег N(t ) условия дополняющей нежесткости к ограничениям ликвидности (неравенства в (15.35), (15.36)) принимают вид:
(t ) [ y py (t )J(t )  (s (t)(nv 1)  s (nv 1) r ((t))) py (t)Y(t)  N(t)] ,
(15.42)
[ ( nd1 ) ( t ) ] [ bl ( nv1 ) r(  ( t ) ) py( t ) Y( t )Nal( t ) ] ,
(15.43)
1 d
(t ) – доходность капитала инвестора. По нашему
(t ) dt
мнению режимы с нулевой доходностью не имеют содержательного смысла. Поэтому далее рассматриваем только режимы, на которых в УДН (15.42), (15.43)
первые сомножители положительны, т.е. (t )  0 , а вторые множители обращаются в 0, т.е. ограничения ликвидности активны.
После вывода условий оптимальности и получения уравнения для капитала
мы линеаризуем функции r, y , входящие в (15.38), (15.39). Выражения для
r, y довольно сложные, а их аргумент  (t ) , как показали пробные расчеты, ме-
где, как и выше, (t )  
няется мало на траектории. Поэтому можно линеаризовать функции r, y около
типичного значения  (t ) . Это значение мы выясним, когда перед расчетом будем
искать сбалансированный рост в модели, но каким бы ни было это значение, после линеаризации функции примут вид
184
r := xkr xar ,
y := xky xay ,
(15.44)
который мы и будем использовать в условиях оптимальности.
15.2.4. Описание поведения инвестора
После исключения, по возможности, нормированных двойственных переменных и других упрощений условий оптимальности и после присвоения планируемым переменным инвестора и постоянной  индекса J , получаем систему соотношений, описывающих поведение инвестора в модели. Эта система состоит из
 выражений «лишних» переменных:
d
pJJ( t )py( t ) JJ( t ) , KdNJ( t ) NJ( t ) ,
rL J( t )r l( t ) LJ( t ) ,
(15.45)
dt
d
LdLJ( t )KdLJ( t ) , NdNJ( t ) NJ( t ) , ZWJ( t )ZJ( t )ZBJ( t ) ,
dt
d
ZBJ (t )  ( ( nv1 ) aray( ( nv1 ) krky ) J( t ) ) YJ( t ) py( t ) NalJ( t )  ,
 dt

TaxJ (t )  TvaJ (t )  TprJ (t )  TesJ (t )  TinJ (t ) ,
TvaJ (t )  nv rLJ( t )( nv ky J( t )nv aynv ) YJ( t ) py( t )nv  a FCJ( t ) ,
TprJ( t )np ( nv1 ) rLJ( t )np sr( t ) ( 1nsnd ) RJ( t )( np nvnp
np ( nv1 ) ( 1nsnd ) ar np ( nv1 ) ay
( np ( nv1 ) kynp ( nv1 ) ( 1nsnd ) kr ) J( t ) ) YJ( t ) py( t )
np  a ( nv1 ) FCJ( t )
,
ns
s
(
t
)
R
(
t
)

(
ns
(
nv

1
)
ar

ns
kr
(
nv

1
)

(
t
)
)
Y
(
t
)
p
(
t
),
TesJ (t ) 
r
J
J
J
y
TinJ (t )  nd ZWJ (t )  nd sr( t ) RJ( t )( nd ( nv1 ) ar kr nd ( nv1 )  J( t ) ) YJ( t ) py( t ) ,
pYW J( t )( 1ky  J( t )ay ) YJ( t ) py( t ) . pYB J( t )py( t ) ( ky J( t )ay ) YJ( t ) ,
sRB J( t )( ( 1nv ) ar ( 1nv ) kr  J( t ) ) YJ( t ) py( t ) ,
sRW J( t )sr( t ) RJ( t )( ( nv1 ) ar kr ( nv1 )  J( t ) ) YJ( t ) py( t ) ,
ZJ( t )Ubp( t ) J ;
 оставшихся УДН и соотношений, получившихся разрешением части исходных
УДН:

0NalJ( t )( bl nv ar bl ar bl kr ( nv1 )  J( t ) ) YJ( t ) py( t ) ,
(15.46)
0   y p y (t ) J J (t )  (s  J (t )(nv  1)  s ( nv  1)  r ( J (t ))) p y (t ) YJ (t )  N J (t ) ,
{ 0J( t ) } ,
[ J( t )1 ] [ KdLJ( t ) k LJ( t ) ] ;
(15.47)
определений средней нормы затрат  J (t ) :
sr( t )
( 1nv )  J( t ) YJ( t ) py( t )
RJ( t )
(15.48)
и темпа инфляции (t ) :
185
d
p ( t )( t ) py( t ) ;
dt y
(15.49)
 преобразованных оставшихся после автоматического исключения ограничений-равенств:
YJ( t )A MJ( t )RJ( t ) B e
( b t b t0 )
,
d


0JJ( t ) MJ( t ) MJ( t )  ,
 dt

d
0py( t ) JJ( t ) a FCJ( t ) FCJ( t )  ,
 dt

d
0KdLJ( t ) LJ( t )  ,
 dt

0KdLJ( t )J ( nd1 ) Ubp( t )rl( t ) nn LJ( t )
( JJ( t )( ankn J( t ) ) YJ( t ) ) py( t )( 1nn )  a FCJ( t )
d
d
 NJ( t ) ( nd1 )  NalJ( t ) 
 dt

 dt


,
оставшихся условий обращения в ноль вариации функционала Лагранжа:
0anar ( sblnd bl ) ( nv1 ) J( t )
( kn( s nvs( sblnd bl ) ( nv1 ) kr ) J( t ) ) J( t )



( anar ( sblnd bl ) ( nv1 ) J( t ) ) A MJ( t )
YJ( t )
d
J( t )rl( t ) nn k (  k J( t ) ) J( t )
(15.50)
dt
d
J( t )( J( t ) ) J( t )
dt
( anar ( sblnd bl ) ( nv1 ) J( t ) ) A py( t )
nn  a
2
d
1
J( t )
J( t )   a  J( t )
 ( t )  a 


dt
y


 y

  J( t )


y 
y


 an ar ( sblnd bl ) ( nv1 ) J( t ) 

A
 

p
(
t
)

y
y
 y



граничного условия роста капитала
(  ( Tt0 ) )
0J( t0 ) e
J( T ) ;
определения величины капитала инвестора
J( t )( nd1 ) NalJ( t )J( t ) LJ( t )J( t ) MJ( t )NJ( t )
 J( t )

 
J( t ) y1  FCJ( t )
 py( t )



(15.51)
 определений коэффициентов уравнения, которому удовлетворяет капитал инвестора.
186
PPJ( t )Ubp( t ) J , J( t )nd1 , f J( t )0 .
Здесь
Имя планируемой переменной
R J( t )
(15.52)
Размерность
Смысл
труд/время
продукт/время
поток труда
инвестиции
продукт/время
деньги
деньги/время
выпуск
балансовая стоимость основных фондов
затраты на инвестиции
продукт
деньги/время
основные фонды
поток кредитов
rL J( t )
деньги/время
деньги
деньги/время
поток кредитов
объем кредитов
процентные платежи по кредитам
N J( t )
J J( t )
YJ( t )
FC J( t )
pJJ( t )
M J( t )
LdLJ( t )
KdLJ( t )
LJ( t )
деньги
остатки расчетных счетов инвестора
NdNJ( t )
деньги/время
поток расчетных счетов
KdNJ( t )
деньги/время
деньги/время
поток расчетных счетов
белая зарплата
деньги/время
деньги/время
деньги/время
белые дивиденды
белая выручка от продаж
черная зарплата
деньги/время
деньги/время
черные дивиденды
черная выручка от продаж
деньги
деньги/время
деньги/время
объем наличных денег
уплата налогов
НДС
деньги/время
деньги/время
налог на прибыль
подоходный налог
деньги/время
J( t )
социальный налог
двойственные переменные
sRW J( t )
ZWJ( t )
pYW J( t )
sRB J( t )
ZBJ( t )
pYB J( t )
NalJ( t )
TaxJ( t )
TvaJ( t )
TprJ( t )
Tin J( t )
TesJ( t )
J( t )
Величины an, kn, nn в соотношениях (15.46) - (15.52) представляют квадратичные формы от ставок налогов и коэффициентов линеаризации (15.44), их явный вид здесь не приводим по причине их громоздкости, но формально они включаются в описание агента.
15.2.4.1. Оценка активов инвестора
Выражение для капитала инвестора (15.51), как всегда, представляет собой
оценку чистых активов во внутренних ценах. «Черный нал» NalJ (t ) входит в капитал с оценкой 1  nd , превосходящей оценку основных денег N J (t ) на величину
ставки подоходного налога nd , который не платится с теневых доходов. Ссуды
LJ (t ) – это пассив инвестора, но из УДН (15.47) следует, что 4 J (t )  1 , причем
187
4 J (t )  1, когда инвестор берет новые кредиты. Оставшиеся слагаемые в правой части (15.51) описывают вклад в капитал внебалансового актива эффективных производственных фондов M J (t ) . Вклад вносит как сама величина этих фондов, так и ее формальная денежная оценка FCJ (t ) , которая существенна при исчислении налогов.
УДН (15.26) вместе с уравнением (15.50) задают бесконечно эластичную
функцию спроса на кредит в зависимости от ожидаемого процента. Эта функция
подобна (15.30), только убывает с ростом процента. 
15.3. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АГЕНТ «СОБСТВЕННИК» (C)
15.3.1. Функции собственника в модели
Функция экономического агента «Собственник» качественно отличается от
функций других экономических агентов. В агрегированном виде блок модели
«Собственник» описывает деятельность совокупности физических и юридических
лиц, управляющих движением капитала между секторами и за пределы страны. В
известных нам макромоделях, в том числе и в моделях САРЭ 50, такого экономического агента не было.
Система ограничений блока «Собственник» описывает три функции собственника:
 определение объема вложений в капитал банка, которые определяют темп
выплаты дивидендов банком;
 определение объема вложений в капитал инвестора, которые определяют
темп выплаты дивидендов инвестором;
 определение величины чистых иностранных активов.
Мы предполагаем, что в настоящее время механизмы, определяющие перемещение капитала в масштабе секторов национальной экономики, в значительной
степени транснациональны и индифферентны к обществу данной страны. Если
рассматривать эти механизмы со стороны экономики России, то в теперешнем состоянии экономики они проявятся как увеличение иностранных активов собственников за счет доходов от капиталовложений внутри страны. В другом состоянии
экономики, возможно, они проявились бы как увеличение вложений внутри страны
за счет уменьшения иностранных активов. Короче говоря, это – механизмы вывоза или ввоза капитала.
В модели мы характеризуем иностранные активы суммой валюты, купленной
за счет доходов от капитала, включая невозвращенную экспортную выручку.
Начальное значение запаса валюты собственников для модели несущественно. В
принципе мы допускаем уменьшение этого запаса, и даже отрицательные его значения. Содержательно это соответствует притоку иностранных инвестиций в Россию.
Уплату подоходного налога собственниками здесь не рассматриваем, поскольку она уже была учтена при описании налоговых платежей банка и производителя.
15.3.2. Ограничения деятельности собственника
15.3.2.1. Управление капиталом банка
В модели банк принадлежит собственнику. Капитал банка B( t ) образуется
за счет прибыли, не распределенной в виде дивидендов PPB( t ) и налогов TaxB (t ) .
50
исключая пробную модель, описанную в [71].
188
Предполагается, что собственник определяет величину капитала банка и дивидендов, но не управляет конкретными операциями банка. Принимая решения, он
 (t)
использует только информацию о доходности B капитала, эффективном налоге  B( t )1 и косвенных доходах f B( t ) .
Следуя схеме описания взаимодействия собственника и фирмы, изложенной
в разд. 8.2, мы вводим величину накопленных вложений в капитал банка
B( t )
Kb( t )
. Можно считать, что Kb( t ) – это количество «паев» или «акций»
B
банка, а B – цена одной акции. Впрочем, особого значения величина Kb( t ) в
модели не имеет. Единственное содержательное требование, которое мы накладываем, исходя из смысла Kb( t ) , состоит в том, что эта величина должна оставаться неотрицательной.
Поскольку B – постоянная, величина Kb( t ) должна удовлетворять уравнению
f b( t )
d
0Kb( t ) .
Kb( t )b( t ) Kb( t )zb ( t ) b( t )
dt
b ,
(15.53)
В модели нет рынка актива Kb( t ) так как собственники сагрегированы в одного
экономического агента. Поэтому мы не рассматриваем величину Kb( t ) как финансовый инструмент, и уравнение для этой величины относим не к балансовым,
а к технологическим ограничениям.
В уравнении (15.53) вместо B( t ) ,  B( t ) , f B( t ) мы используем сообщения о
них: b( t ) , b( t ) , f b( t ) , которые собственник получает в процессе взаимодействия с банком, описанного в блоке ВД «Управление банковским капиталом» (см.
разд. 9.4.3.2 выше). В том же процессе взаимодействия собственника и банка,
планируемая переменная собственника zb( t ) становится информационной переменной Ubb( t ) , задающей временную пропорцию выплаты дивидендов банком
(см. (15.8)). Поэтому дивиденды банка, полученные собственником, определяются
выражением
Zb ( t ) b zb ( t ) .

На фоне повышенного интереса к фондовому рынку может показаться
странным, что мы описываем движение капитала, не описывая этого рынка. На
это следует заметить, что даже в развитых странах фондовый рынок служит, в основном, «барометром», оценивающим курсы акций. Курсы влияют на масштабное
движение капитала, но оно происходит помимо фондового рынка, путем прямых
инвестиций, слияний и выделений крупных корпораций. В российской экономике
фондовый рынок пока не играет даже роли барометра, в то же время периодически случаются массированные и быстрые перемещения капитала. Например, в
1995г. за полгода торговый капитал превратился в банковский, а в 1998 г. за квартал остатки банковского капитала перетекли в реальный сектор, причем сначала
распределились по нему довольно широко, а к 2001г. в основном сконцентрировались в отраслях ТЭК и в металлургии [54]. Эти движения капитала не сопровождались массированными продажами акций на бирже и осуществлялись путем
прямой покупки предприятий, злостных банкротств и просто самофинансирования
доходных отраслей.
189
15.3.2.2. Управление капиталом производителя
Описывается так же, как управление капиталом банка, с точностью до очевидной замены обозначений:
f p( t )
d
Kp( t )p( t ) Kp( t )zp ( t ) p( t )
dt
p
, 0Kp( t ) ,
Zp ( t ) p zp ( t ) .

15.3.2.3. Балансы денег и валюты (иностранных активов)
Собственник расходует дивиденды на покупку валюты V( t ) по курсу ww ( t ) :
wV( t )ww( t ) V( t ) ,
а купленную валюту запасет, образуя чистые иностранные активы Q(t ) :
d
Q( t )V( t ) .
dt
(15.54)
Мы не накладываем на этот запас условия неотрицательности. Содержательно отрицательные иностранные активы будут отвечать долгосрочным иностранным инвестициям в экономику России.
Формально считаем, что дивиденды поступают на счет собственника A( t ) и
оттуда расходуются:
d
A( t )Zp( t )Zb( t )wV( t ) ,
dt
0A( t ) .
(15.55)
В выписанных балансах нет потребительских расходов собственника. По
нашему мнению, эти расходы слабо влияют на поведение собственника и на возможности вложения капитала. Как мы уже говорили, механизмы движения капитала не замыкаются в границах страны: извлеченную в разных странах прибыль используют не на потребительские расходы, если судить по огромным суммам,
мгновенно перемещающимся по мировым финансовым рынкам.
Потребительские расходы собственников, однако, могут повлиять на внутренний рынок. В России потребительские расходы богатых, в основном, направлены на импортные товары, поэтому могут быть отнесены тоже к покупке валюты.
Но остаются еще расходы на услуги внутри страны. Их мы действительно не учитываем. 
15.3.3. Целевой функционал собственника
После нескольких проб в качестве целевого функционала собственника была
выбрана величина
T
 Q( t ) e (  ( tt0 ) )


dt

.
Q0

t0
(15.56)
Здесь Q0 – нормировочная постоянная, введенная из соображений размерности.
Ее численное значение не влияет на решение задачи собственника и траектории
модели.
190
Более существенное значение имеет параметр  , который обычно (и не
очень удачно) называется коэффициентом дисконтирования. Традиционная
трактовка коэффициента дисконтирования, как доходности альтернативных вложений, естественна, когда дисконтируется поток доходов или расходов (см. (5.1)).
Здесь мы дисконтируем запас, и естественной трактовкой величины  будет мера риска. При большом горизонте планирования Tt0 величину (15.56) можно
рассматривать как ожидаемое значение запаса валюты Eu Q(u) в случайный
момент времени u  t0 , имеющий плотность распределения вероятности
 e u t 0 du . Задачу собственника можно, таким образом, рассматривать, как задачу об оптимизации рискованных капиталовложений Kb(t ) , Kp(t ) , которые имеют
достаточно высокую доходность, но могут пропасть в случайный момент u . Форма
распределения показывает, что u – это пуассоновский момент, а  1 – среднее
время ожидания момента u . (В пуассоновском процессе оно не зависит от t0 .)
Таким образом, чем больше  , тем больше риск и тем раньше, при прочих равных условиях, собственник захочет получить запас Q .
Заметим, что задача собственника, как и задача производителя, оказывается
однородной (масштабно инвариантной).
Чтобы использовать при решении задачи собственника ту же последовательность рассуждений, которые использованы при решении задач банка и производителя, выразим функционал собственника через поток полезных расходов.
d
Проинтегрировав (15.56) по частям, выразим производную dt Q( t ) и терминальное значение Q(T ) из баланса (15.54). Тогда вместо (15.56) получится выражение
T
 ( e (  T t0 )e (  t t0 ) ) V( t )
.


dt

 Q0

t0
(15.57)
Теперь по аналогии с задачами банка и производителя приток валюты V (t )
можно считать потоком полезных расходов собственника, а остаток счета A(t )
определяемый (15.55), – основными деньгами собственника.
Задача собственника линейна, поэтому может быть сведена к задаче максимизации капитализации, но проще использовать технику решения стандартной
задачи оптимизации, непосредственно с функционалом (14.56).
15.3.4. Решение задачи собственника
Автоматическое упрощение системы (15.53) - (15.55) приводит ее к системе
ограничений:
{ 0Kb( t ) } ,
d
0V( t ) Q( t )  ,
 dt

{ 0Kp( t ) } ,
0b( t ) Kb( t )zb ( t )  b( t )
0p( t ) Kp( t )zp ( t )  p( t )
{ 0A( t ) } ,
(15.58)
(15.59)
f b( t )
b
f p( t )
p
d
 Kb( t )  ,
 dt

d
 Kp( t )  ,
 dt

191
d
0p zp ( t )b zb ( t )ww( t ) V( t ) A( t ) 
 dt

(15.60)
на прямые переменные Kp( t ), zp( t ), zb( t ), Kb( t ), Q( t ), A( t ), V( t ) , по которым надо
максимизировать функционал (15.57). К этим ограничениям добавляется терминальное:
(  ( T t0 ) )
( aKp( t0 ) Kp( t0 )aKb( t0 ) Kb( t0 )aQ( t0 ) Q( t0 )A( t0 ) ) e
aKp( T ) Kp( T )aKb( T ) Kb( T )aQ( T ) Q( T )A( T )
.
Выражение для капитала получается из внеинтегрального члена проинтегрированного по частям функционала Лагранжа. Дифференциальное уравнение для
капитала собственника в модели не используется, потому что собственник не
должен передавать информацию о своей доходности. Как обычно, необходимые и
достаточные условия регулярной оптимальности составляются из исходных уравнений, УДН к исходным неравенствам и условий максимума функционала Лагранжа. После исключения коэффициентов терминального условия и нормировки
двойственных переменных они приобретают следующий вид:
(  T t0 )

e
0 AQ
 Q0

[ ( t ) ] [ A( t ) ] ,
0  (T ) ,

e
(  t0 )
(  t )

( t )  dV ,

[ ( t ) ] [ Kp( t ) ] ,
e
 Q0
0( T )( t0 ) e
(  ( T t0 ) )
( t )ww( t ) ( t ) Kp( t )A( t )
(15.61)
[ ( t ) ] [ Kb( t ) ] ,
(15.62)
, уравнения (15.59) - (15.60),
ww( t ) AQ Q( t )
ww( t ) ( t ) Kb( t )
( t )
 p

( t ) 
0
( t )  p( t )  dzp
0 ( t )
 dA
(15.63)

ww( t ) 
 ww( t )





,
,
d



ww( t ) 



 d
 ( t )


d
t




0  ( t ) ( t )  

ww( t )( t ) p( t )
( t )  dKp

2
  dt
 ww( t )


ww( t ) 







b
0
( t )  b( t )  dzb
 ww( t )



d



ww( t ) 







d

(
t
)
d
t
 w ( t )  dKb
0 ( t )( t ) b( t ) ( t ) 
( t )  



2
w

 ww( t )

 dt

ww( t ) 




d




( t )  ww( t )  

 ( t ) ( t )
d
 dt
  w ( t )
( t ) 

.
(15.64)
 w
2
dt
ww( t )


ww( t )


В данном случае нормировка двойственных переменных имеет особенности.
Во-первых, в ограничения (15.58)-(15.60) входит только производная переменной
Q( t ) , поэтому двойственная переменная к (15.59) не меняется со временем. Она
обозначается как AQ еще до нормировки. Во вторых, уравнения упрощаются, ес-
192
ли двойственную переменную к балансу денег (15.60) обозначить не через ( t ) ,
( t )
как в предыдущих блоках, а через
.
ww( t )
Система условий оптимальности здесь позволяет исключить все двойственные переменные, включая доходность капитала собственника (t ) . Для этого достаточно выразить ( t ) из (15.61) и подставить в (15.64). В результате получается, что
d
(  ( Tt0 ) )
w (t)
 ( e
 aa )
dt w
( t )E( t )
, E( t ) (  ( tt0 ) )
, aa  AQQ0 .
(  ( Tt0 ) )
ww( t )
e
e
 aa
Поскольку в настоящее время курс доллара ww (t ) меняется незначительно,
величина (t ) оказывается заданной функцией времени с точностью до постоянной aa . С другой стороны, из первого уравнении в (15.63) и первого УДН в (15.62)
следует, что (t )  0 . Тогда в случае общего положения должно выполняться строгое неравенство (t )  0 , и первое УДН в (15.62) разрешается, превращаясь в равенство A(t )  0 .
15.3.5. Описание поведения собственника
Исключая из системы (15.61) - (15.64) двойственные переменные, добавляя
выражения «лишних» переменных и помечая (автоматически) планируемые переменные собственника индексом C , приходим к следующим соотношениям, описывающим поведение собственника в модели:
wVC( t )ww( t ) VC( t ) , ZpC( t )p zpC( t ) , ZbC( t )b zbC( t ) ,
d

ww( t ) 

(  T  t0 )


d
t

{ 0e
 aa } , 
 0E( t ) w ( t ) 
w


d
d


ww( t )
 p( t ) 



d
t
d
t
 E( t )
 [ Kp ( t ) ] ,
p( t )

C
ww( t )
p( t ) 


d
d

ww( t )
b( t ) 



d
t
d
t
 E( t )
 [ Kb ( t ) ] ,
b( t )

C
ww( t )
b( t ) 


(  ( Tt0 ) )
 ( e
 aa )
E( t ) (  ( tt0 ) )
,
(  ( Tt0 ) )
e
e
 aa
0C( T )C( t0 ) e
C( t )
(  T  t0 )
(15.66)
(15.67)
(  ( Tt0 ) )
ww( t ) aa QC( t ) E( t )
e
(15.65)
 aa
,

b KbC( t )
 b( t )

p KpC( t )
 p( t )
d
d

ww( t )
b( t ) 



d
t
d
t
 E( t )
 [ Kb ( t ) ] ,
b( t )

C
ww( t )
b( t ) 


(  ( Tt0 ) )
 ( e
 aa )
E( t ) (  ( tt0 ) )
,
(  ( Tt0 ) )
e
e
 aa
193
(15.68)
(15.69)
(15.70)
f b( t )
d
KbC( t )b( t ) KbC( t )zbC( t ) b( t )
dt
b ,
f p( t )
d
KpC( t )p( t ) KpC( t )zpC( t ) p( t )
,
dt
p
0p zpC( t )b zbC( t )ww( t ) VC( t ) ,
Здесь
Имя планируемой
пе- Размерность
ременнной
KpC( t )
деньги
KbC( t )
деньги
zpC ( t )
деньги/время
ZpC( t )
деньги/время
Смысл
капиталовложения в производство
капиталовложения в банк
программа выплаты дивидендов инвестора
zbC ( t )
деньги/время
ZbC( t )
деньги/время
деньги/время
дивиденды от банка
расходы на покупку валюты
деньги
валюта
валюта/время
остатки корреспондентских счетов
запас валюты
покупка валюты
AC( t )
QC ( t )
VC( t )
(15.72)
d
Q ( t )VC( t ) , AC( t )0 .
dt C
дивиденды от инвестора
программа выплаты дивидендов банка
wVC ( t )
(15.71)
Капитал собственника (15.70) – это оценка его активов QC (t ) , KbC (t ) , KpC (t ) .
УДН (15.68), (15.69) задают бесконечно эластичные «функции предложения»
BC () , PC () капиталовложений KbC (t )  BC (2C (t )) , KpC (t )  PC (4C (t )) в финансовый и реальный секторы экономики в зависимости от доходностей p( t ) , b( t ) и
эффективных налогов p( t )1 , b( t )1 в секторах:
d
d
d
d
ww( t )
 b( t )
ww( t )
 (t)
dt
dt
dt
dt p
b( t )
p( t )
, 4C (t )  E( t )
.
2C (t )  E( t )
ww( t )
 b( t )
ww( t )
 p( t )
1. Если 2C (t )  0 , 4C (t )  0 , то доходности p( t ) и b( t ) достаточно велики и
сбалансированы так, что собственнику безразлично распределение капитала
между секторами. Заметим, что безразличие собственника еще не означает
неопределенности распределения капиталов в модели. Условие сбалансированности доходностей в силу полной системы соотношений модели может
потребовать вполне определенных пропорций распределения капитала по
отраслям.
2. Если 2C (t )  0 , 4C (t )  0 , то доходность производителя мала, и капитал сосредоточен в финансовом секторе.
3. Если 2C (t )  0 , 4C (t )  0 , то, наоборот, доходность банка мала, и капитал
сосредоточен в реальном секторе.
4. Если 2C (t )  0 и 4C (t )  0 , то доходности обоих секторов слишком малы по
сравнению с риском  , и капитал вывозится из страны. (Вывоз капитала с
меньшей интенсивностью может происходить и в предыдущих случаях.)
194
Результаты расчетов, описанные в разд. 16.2.2 показывают, что динамика
макроэкономических показателей России в последние годы воспроизводится моделью только в предположении, что реализуется вариант 2, когда капитал сосредоточен только в финансовом секторе.
15.4. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АГЕНТ «НАСЕЛЕНИЕ» (H)
15.4.1. Функции населения и особенности их представления в модели
Данный блок модели, описывает в агрегированном виде деятельность домашних хозяйств. В модели описаны следующие функции домашних хозяйств:
 потребление части произведенного ВВП,
 сбережение в виде банковских депозитов,
 получение доходов в виде заработной платы, государственных пособий и
процента по депозитам,
 предоставление труда производству.
Здесь мы кратко представим схему и особенности описания населения в модели, поскольку в Дополнении 3 приведен полный комментированный текст
файла системы ЭКОМОД, содержащий описание этого блока ЭА.
Население получает доходы в виде заработной платы sr (t ) Rr (t ) , трансфертов от государства (пособий и заработной платы госслужащих) SBx (t ) и процентов
rs (t ) SH (t ) по депозитам в банке S H (t ) . Доходы пополняют запас денег AH (t ) , которые расходуется на оплату p y (t ) CH (t ) покупок потребительских продуктов CH (t ) и
на прирост депозитов NdS H (t ) .
В блоке «Население» занятость Rr (t ) задается как информационная, а не как
планируемая переменная. Такое описание одинаково подходит к двум различным
моделям взаимодействия производителей и домашних хозяйств на рынке труда.
Можно считать, что имеется безработица, но домашние хозяйства не пытаются
уменьшить ее, предлагая труд по меньшей цене, чем сложившаяся ставка зарплаты. Население заполняет рабочие места, ориентируясь на информацию Rr (t ) с
рынка труда о спросе на труд. Напротив, можно считать, что все имеющиеся трудовые ресурсы заняты, а ставка заработной платы балансирует величину наличных трудовых ресурсов и спрос на труд со стороны инвестора. В этом случае
Rr (t ) – это экзогенная переменная, описывающая независимую от других переменных модели динамику трудовых ресурсов. Ниже используется вторая схема
описания рынка труда.
В отличие от классических моделей оптимизации сбережений (разд. 4.2, 5.1),
модель населения НЕ описывает ожидаемую полезность потребителя аддитивнооднородным функционалом, зависящим от потока покупок продукта CH (t ) . Причина этого в том, что использование формулы (4.18) (или ее непрерывного аналога),
которая следует из зависимости аддитивно-однородной полезности от потока, при
верификации модели экономики России дает соотношение фаз колебаний потребления и инфляции, противоположному тому, которое наблюдается.
Оказалось, что этот дефект модели можно устранить, если предположить,
что купленный продукт накапливается в виде запаса QH (t ) , а потребляется в количестве VH (t ) , пропорциональном этому запасу с коэффициентом  :
d
QC (t )  CH (t )  VH (t ) , VH (t )   QH (t ) .
dt
195
Полезность потребления VH (t ) оценивается аддитивно-однородным функционалом. В результате получается задача максимизации ожидаемой полезности
запаса
T

1
 QH (t ) 


 Q0H 
e t
dt .
1 
t0
В отличие от (15.56), зтот нелинейный функционал от запаса, поэтому задача
его максимизации не сводится к задаче максимизации функционала от какого бы
то ни было потока полезных расходов. Тем не менее, задача, описывающая поведение населения остается однородной, поэтому, как показано в Дополнении 3,
для нее можно определить интеграл капитала и поставить граничное условие его
роста. Капитал  H (t ) удовлетворяет уже привычному уравнению вида
d
 H (t )   H (t )  H (t )   H (t ) PPH (t )  f H (t ) , в котором полезным потоком служит стоdt
имость потребления PPH (t )  p y (t )  QH (t ) , внутренний налог выражается в виде
 H (t )  H (t )  (t )     1   , а «косвенные доходы» оказываются просто доходами, не зависящими от состояния агента f H (t )  sr (t ) Rr (t )  SBx (t ) . Впрочем, как и
в случае собственника, эти показатели в модель включать не нужно. Напомним,
что в приведенных формулах (t ) – общий для всех агентов темп инфляции
(15.49).
15.4.2. Описание поведения населения
В Дополнении 3 показано, как из сделанных предположений получается следующая система соотношений, описывающая поведение населения
d
phH( t ) AH( t ) NdSH( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) SH( t )SBx ( t )
(15.73)
d
 t

RH( t )Rr( t ) , rs H( t )sr( t ) RH( t ) , NrS H( t )r s( t ) SH( t ) , SdSH( t )NdSH( t )
phH( t )
d
CH( t )
, VH( t ) QH( t ) ,
S ( t )NdSH( t )
p y( t )
dt H
 1 ( t )  [ A ( t ) ] , [ 1 ( t ) ] [ NdS ( t ) S ( t ) ]

 H
H
H
s H
 qH( t )



(  ( Tt0 ) )
0H( T )H( t0 ) e
d
d
AH( t )py( t ) QH( t )  QH( t )  py( t )NdSH( t )sr( t ) Rr( t )
dt
 dt

rs( t ) SH( t )SBx ( t )
d
1
H( t )
( t )s  H( t )rs( t )s
 qH( t )

dt


   d Q (t)

 


  dt H 

d

qH( t )1
  qH( t )
dt
QH( t )




H( t )AH( t )py( t ) QH( t )H( t ) SH( t ) .
Здесь
Имя планируемой пе-
Размерность
Смысл
196
(15.74)
ременной
CH( t )
phH( t )
продукт/время
покупки продукта
деньги/время
продукт/время
потребительские расходы
потребление
продукт
труд/время
запас продукта
поток труда
деньги/время
деньги/время
деньги/время
прирост депозитов
прирост депозитов
процентные платежи по депозитам
rs H( t )
деньги
деньги/время
депозиты
заработная плата
Tin H( t )
деньги/время
подоходный налог
деньги
H( t )
корсчет
Двойственные переменные
V H( t )
QH( t )
R H( t )
NdSH( t )
SdSH( t )
NrS H( t )
S H( t )
AH( t )
q H( t )
15.5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ АГЕНТЫ
15.5.1. Особенности описания индивидуальных агентов
Государство, как и рассмотренные выше агенты, описывается в модели как
лицо, принимающее решение относительно своих планируемых переменных.
Реально государство тоже представляет собой совокупность субъектов – служащих. Между ними тоже есть отношения конкуренции и подражания, но доминируют все отношения административного подчинения. Если бизнесмен готов
взяться за проект, который упустил его конкурент, то чиновник не будет исправлять упущение своего коллеги – он просто не имеет на это права. Доминирующие
в государственных органах отношения соподчинения вынуждают рассматривать
государство как субъект экономики, наделенный волей и инициативой.
Модельных экономических агентов, представляющих отдельных особо влиятельных субъектов экономики, мы называем индивидуальными агентами. В данной модели их два – государство и Центральный банк. Мы не считаем возможным формализовать цели индивидуального агента как задачу оптимизации
определенного критерия и предлагаем описывать деятельность такого агента сценариями его политики. При сценарном описании поведения агента несколько размывается различие между информационными и планируемыми переменными. Однако важно, чтобы переменные, задаваемые сценарием, соответствовали реальным рычагам государственного управления. Иначе сценарий невозможно сравнить с реально проводившейся политикой.
15.5.2. Экономический агент «Государство» (G)
15.5.2.1. Функции государства и сценарий государственной экономической
политики
В сильно агрегированной макромодели экономики, описание деятельности
государства, по существу, сводится к балансу так называемого широкого бюджета. Этот баланс объединяет балансы консолидированного бюджета и внебюджетных фондов – в первую очередь пенсионного фонда, в доходы которого
поступает единый социальный налог. Баланс консолидированного бюджета объединяет балансы региональных и местных бюджетов.
197
Сценарий государственной экономической политики включает в себя
описания:
 программы закупки продуктов государственного потребления GG (t ) ;
 программы трансфертов населению – выплат пособий населению и зарплаты бюджетникам за вычетом подоходного налога с этих выплат SubG (t ) ;
 программы выплат внешнего долга (или поступлений от внешних займов)
LdWG (t ) .
 По смыслу сценарий включает и задание величин налоговых ставок, но пока
мы считаем их постоянными, поэтому формально они рассматриваются как параметры, а не планируемые переменные.
По сути, этот традиционный набор управлений государства описывает его
как «лишнего потребителя». В таком описании положительное воздействие государственного потребления GG (t ) на уровень жизни и рост экономики может быть
только косвенным, через эффект мультипликатора [79]. Однако по существу в
экономике государство играет роль не потребителя, а производителя общественных благ, таких как порядок, справедливость, безопасность, гарантированный уровень жизни и т. п., а расходы на государственное потребление и зарплата
государственных служащих являются оплатой факторов этого производства. В
современной системе национальных счетов это отражается введением особой
отрасли «Управление», выпускающей некий обобщенный общественный продукт.
В некоторых моделях, например, в популярной модели Сидравского [81], GG (t )
включается как дополнительный к личному потреблению VH (t ) аргумент в функцию полезности потребителя.
Такое описание мы считаем в принципе правильным, но оно необходимо для
сравнения разных программ производства общественных благ. Мы разрабатывали модель с другой целью. Нам надо было дать оценку реальной налоговой базы
при существующей политике и затем сравнивать варианты налоговой политики с точки зрения ее влияния на теневой оборот. Производство общественных
благ при этом можно считать неизменным, особенно если принять во внимание,
что в настоящее время бюджет сводится с большим профицитом, и, следовательно, доходы не лимитируют расходы. По эти причинам мы не будем описывать
явно в модели результат производственной деятельности государства, а
учтем только его расходы на эту деятельность.
Что же касается косвенного влияния государственных расходов на состояние
экономики, то оно существенно зависит от того, расходуются ли бюджетные деньги на оплату продукта или передается гражданам и организациям в денежной
форме. Поэтому мы складываем зарплату и пособия, а расходы на закупки учитываем отдельно. В бюджетной статистике классификация расходов по виду (материальные затраты, зарплата, трансферты) называется экономической классификацией. К сожалению, в общедоступной статистике экономическая классификация расходов федерального бюджета приводилась только в 2000-2002гг. До и
после этого периода доступна только гораздо менее полезная для макроэкономического анализа отраслевая классификация: расходы на оборону, управление,
образование и т.п. без разделения по видам. 
15.5.2.2. Описание деятельности государства
Этот блок модели устроен очень просто, поэтому мы опустим его каноническую форму и просто прокомментируем упрощенную проиндексированную систему соотношений.
198
Доход широкого бюджета формируется за счет поступлений налогов. Государство назначает ставки налогов, а поступления оно прогнозирует, поэтому величина налоговых поступлений является информационной переменной Taxx ( t ) .
Она определяется в соответствующем блоке ВД (разд. 15.6.8) как сумма налоговых платежей всех агентов.
Расходы широкого бюджета состоят из выплат населению SubG (t ) , расходов pyG (t ) на покупку продукта GG (t ) и расходов (в рублях) на внешние выплаты
NdWrG (t ) . Продукт GG (t ) покупается на по рыночной цене, поэтому
pyG( t )py( t ) GG( t ) .
Валюта для внешних выплат должна быть куплена на бирже по курсу ww (t ) , поскольку бюджет получает доход в рублях:
NdWr G( t )ww( t ) LdWG( t ) .
Величины LdW ( t ) и NdWr( t ) могут быть отрицательными, что отвечает поступлениям в бюджет потока денег NdWr( t ) за счет внешних заимствований с последующей продажей полученной валюты на бирже. Купленная валюта LdW ( t )
уходит за пределы страны, что в системе балансов описывается пустой группой
технологических ограничений, потому что в канонической форме модели национальной экономики иностранная валюта рассматривается не как финансовый инструмент, а как материальный актив.
Положительная разница между доходами и расходами бюджета NdBG (t ) , так
или иначе, покрывается внутренними заимствованиями:
NdBG( t )LdBG( t ) ,
накопление которых образует внутренний государственный долг BG (t ) :
d
B ( t )LdBG( t ) , { 0BG( t ) } .
dt G
Последние годы бюджет сводится с большим профицитом, и вопрос о заимствованиях не актуален. Мы вводим величину внутреннего долга B( t ) , только
чтобы сделать формально независимым выбор переменных сценария SubG (t ) ,
GG (t ) , LdWG (t ) . Мы предполагаем, что кредитором выступает только Центральный
банк, поэтому кредиты можно считать беспроцентными (подробнее см.
разд. 14.5.3).
Перечисленные выше статьи доходов, расходов и заимствований изменяют
остаток счетов государства AG (t ) :
d
A ( t )Taxx ( t )LdBG( t )py( t ) GG( t )ww( t ) LdWG( t )SubG( t ) , { 0AG( t ) } .
dt G
Эти счета ведет ЦБ, и их можно отнести к активу, который в модели называется «корсчет».
Здесь
Имя планируемой пеРазмерность
Смысл
ременной
NdBG( t )
деньги/время
поток кредитов ЦБ
LdBG ( t )
деньги/время
поток кредитов ЦБ
BG( t )
деньги
кредиты ЦБ
199
NdWr G( t )
деньги/время
затраты на покупку валюты
LdWG( t )
валюта/время
покупка валюты
WG( t )
валюта
запас валюты
py G ( t )
деньги/время
продукт/время
деньги/время
затраты на покупку продукта
покупка продукта
поток налогов
деньги/время
деньги
субсидии населению
корсчет
GG ( t )
TaxG( t )
SubG( t )
AG ( t )

15.5.3. Экономический агент «!Центральный банк» (CB)
15.5.3.1. Задачи и возможности Центрального Банка
В России и, как и в большинстве стран мира, ЦБ – это государственный орган, отвечающий за работу кредитно-денежной системы. ЦБ должен обеспечить:
 возможность проводить расчеты в национальной валюте при одновременном
удержании инфляции в границах, заданных при составлении бюджета;
 поддержание валютного курса в границах, заданных при составлении бюджета;
 устойчивость банковской системы и доступность кредитов.
Особенность ЦБ в том, что, кроме административных рычагов, таких, как лицензирование банков и привлечение в обязательном порядке банковских резервов, ЦБ располагает экономическими рычагами управления:
 держит валютные резервы и расчетные счета государства;
 может выдавать кредиты банкам и государству;
 выпускает собственные обязательства – эмитирует деньги.
Как коммерческая организация, ЦБ обязан обеспечивать собственную безубыточность и по закону обладает большой самостоятельностью маневрирования
валютными резервами и кредитами, причем эмиссия – это следствие решений о
выдаче кредитов и покупке валюты. Конечно, коммерческая деятельность ЦБ
строится по особым правилам. ЦБ часто выступает как монополист – назначает
ставки процентов по своим кредитам (учетные ставки), причем для разных категорий агентов эти ставки могут быть различны. Обязательства ЦБ – наличные деньги – обязательны к приему всеми субъектами как единственное законное средство
платежа. На ЦБ не распространяются нормативы ликвидности, собственных
средств и резервирования, которые обязательны для коммерческих банков. В то
же время ЦБ не преследует коммерческой выгоды – не копит капитал, а прибыль
перечисляет в бюджет.
Следует подробнее обсудить кредитование государства. Вообще говоря,
государство платит процент по этим кредитам и должно было бы учитывать это
при составлении бюджета. Однако процентные платежи образуют прибыль ЦБ,
которая перечисляется обратно в бюджет. Именно поэтому мы считали кредиты
ЦБ государству беспроцентными.
В реальности этот эффект сводит на нет идею «разделения финансовой
власти», выраженную в выделении ЦБ как частично коммерческой организации.
Через беспроцентные заимствования у ЦБ министерство финансов, исполняющее
бюджет, получает фактическое право неограниченной эмиссии, оставляя на ЦБ
200
формальную ответственность за стабильность системы денежного обращения51.
По этой причине систематическое кредитование бюджета Центральным банком в
России запрещено законом. В модели мы формально ввели его, имея в виду, что
при нынешней экономической политике государства потребность в кредитах не
возникает (а при острой нужде, закон у нас все равно обходится – см. ниже). 
15.5.3.2. Особенности политики ЦБ РФ
В России после реформы 1992г. ЦБ унаследовал функции Госбанка – фактически единственного банка СССР. В период высокой инфляции 1992-1995гг., когда
еще не сложилась система частных банков и, самое главное, не оформилось разделение трудовых коллективов предприятий на хозяев и наемников, не отвечающих друг за друга, ЦБ России кредитовал всех – и банки, и государство, и даже
непосредственно предприятия (льготные кредиты).
После приватизации в период «финансовой стабилизации» 1995-1998гг. ЦБ
не давал кредитов никому. Эмиссия происходила исключительно при покупке валюты на бирже в резервы, а вновь выпущенные деньги распространялись через
межбанковские кредиты. Фактически это была широко рекламировавшаяся в свое
время Международным валютным фондом система «валютного управления», которая привела к финансовому краху сначала Аргентину, а в 1998г. и Россию (подробнее см. [67:стр. 360]).
Из сопоставления динамики денежной массы и валютных резервов видно,
что уже в начале 1998г. закон о запрете кредитования бюджета Центральным
банком был обойден. После кризиса 1998г. в этом законе были сделаны некоторые исключения, а затем бюджет стал профицитным, и проблема кредитования
бюджета потеряла актуальность. В настоящее время коммерческие банки тоже
могут брать кредиты в ЦБ под учетную ставку, но, как выяснилось, они в этих кредитах не нуждаются.
Таким образом, несмотря на отмену системы валютного управления, единственным экономическим рычагом управления ЦБ России остаются операции на валютной бирже, в результате которых определяется курс рубля
ww ( t ) и золотовалютные резервы. 
15.5.3.3. Модель деятельности ЦБ
В модели ЦБ – это индивидуальный агент. Его поведение описывается сценарием
 изменения обменного курса рубля ww ( t ) .
Динамика остальных операций определяется сценарием и спросом государства
на кредиты.
ЦБ покупает валюту в объеме V( t ) по заданному сценарием курсу ww ( t ) ,
что требует расходов
wV( t )ww( t ) V( t ) .
При V( t )0 это соотношение описывает продажу валюты (валютную интервенцию) на бирже. Купленная валюта накапливается в золотовалютных резервах
R( t ) :
d
R( t )V( t ) .
dt
Заметим, что такой проблемы, видимо, не возникает в США и Великобритании, где функции центральных банков исполняют частные банки с особым статусом – Федеральная резервная система США и Национальный банк Англии, которые не перечисляют свою прибыль в бюджет.
51
201
Считаем, что ЦБ дает государству беспроцентный кредит по его запросу. Эту
величину ЦБ узнает во взаимодействии «Кредитование государства»,
(разд. 15.6.7), поэтому величина кредита KGLg( t ) – это информационная переменная ЦБ. Кредит выдается деньгами KG( t ) :
KG( t )KGLg( t ) .
Сумма выданных кредитов накапливается в виде внутреннего долга L( t ) :
d
L( t )KGLg( t )
.
dt
Еще раз подчеркнем, что в последние годы государство не нуждается в кредитах,
так что это описание имеет достаточно формальный характер.
Расходы ЦБ на покупку валюты и кредитование государства покрываются
эмиссией E( t ) , что описывается формальным балансом «расчетного счета ЦБ в
себе самом», остаток которого по определению равен 0:
0E( t )KG( t )wV( t ) .
Правильность этого соотношения для эмиссии будет доказана после сборки модели, когда окажется, что E( t ) равна суммарному приросту денег у всех остальных агентов. Это и означает, что ЦБ является единственным эмитентом денег в
экономике.
В качестве денег мы рассматриваем денежную базу (сумму наличности и
банковских резервов). Ее величина MB( t ) равна накопленной эмиссии:
d
MB( t )E( t )
.
dt
Величина эмиссии E( t ) может быть и отрицательной, если деньги изымаются из
обращения и денежная база сокращается. 
15.5.3.4. Упрощение модели и баланс ЦБ в остатках
Проделаем некоторые упрощения, чтобы выделить интересные соотношения. После исключения «лишних» переменных остаются три уравнения
d
d
d
R( t )V( t ) ,
L( t )KGLg( t ) ,
MB( t )KGLg( t )ww( t ) V( t ) , (15.75)
dt
dt
dt
которые определяют объем золотовалютных резервов R( t ) , внутреннего долга
L( t ) и выпущенной ЦБ в обращение денежной базы MB( t ) , по заданным
начальным условиям – заданному спросу государства на кредиты KGLg( t ) и заданному курсу валюты ww ( t ) . Формально неопределенной остается величина
V( t ) , но фактически она определяется предложением валюты на бирже со стороны экспортеров (см. разд. 15.5.4).
Если исключить из (15.75) величину V( t ) и проинтегрировать последнее соотношение, то получится баланс ЦБ:
KGL ( t ) dt
w ( t )  d R( t )  dtMB( t ) ,

 w 
g



 dt




в котором слева стоят активы: внутренний долг и золотовалютные резервы, оцененные в рублях по затратам на их создание, а справа – пассив: деньги, выпущенные в обращение. Чтобы привести этот баланс к стандартному виду [4], надо
перейти от оценки резервов по затратам к их оценке по текущему курсу, что мож202
но сделать, проинтегрировав по частям второе слагаемое в левой части. В результате баланс ЦБ примет вид
KGL ( t ) dtw ( t ) R( t )MB( t )
 d w ( t )  R( t ) dt


g
w
w


.


 dt


Теперь на стороне активов мы видим оценку резервов по текущему курсу
ww( t ) R( t ) , а на стороне пассивов появляется составляющая капитала – нерас d

пределенная прибыль от переоценки резервов 
 ww( t )  R( t ) dt .


 dt

Если бы мы ставили задачу детально описать деятельность ЦБ, то надо было бы учесть на стороне пассивов резервы банков и счета бюджета, а также прибыль от кредитования государства и расходование этой прибыли на собственные
нужды ЦБ как юридического лица и на перечисления в бюджет. Но поскольку детальное описание ЦБ и вообще государственных финансов не входит в наши цели, мы ограничиваемся приведенным упрощенным балансом. 
15.5.3.5. Описание деятельности ЦБ
После индексации получается следующая система соотношений, описывающая деятельность ЦБ в модели:
ECB( t )KGLg( t )ww( t ) VCB( t ) , KGCB( t )KGLg( t ) , wVCB( t )ww( t ) VCB( t ) ,
d
d
d
RCB( t )VCB( t ) ,
LCB( t )KGLg( t ) ,
MB CB( t )KGLg( t )ww( t ) VCB( t ) .
dt
dt
dt
Здесь
Имя планируемой
пе- Размерность
Смысл
ременнной
V CB( t )
валюта/время
покупка валюты
wVCB( t )
деньги/время
затраты на покупку валюты
R CB( t )
валюта
запас валюты
LCB( t )
деньги
деньги/время
кредиты государству
поток кредитов государству
деньги/время
деньги/время
деньги
поток кредитов государству
эмиссия
объем денежной массы
KGLCB( t )
KGCB( t )
E CB( t )
M1 CB( t )

15.5.4. Экономический агент! «Внешняя торговля» (F)
Этот блок модели описывает связи экономики России с внешними рынками.
Поскольку модель незамкнута, блок фактически, как «заглушка», замыкает балансы продукта и валюты
 экзогенно заданной величиной чистого экспорта ExpF (t ) (см. разд. 13.3.5) .
Формально можно представлять себе индивидуального агента «Экспортер»,
который реализует заданную сценарием программу чистого экспорта и продает на
валютной бирже вырученную валюту.
Мы приняли существенное предположение, что валюты ввозится ровно
столько, сколько нужно, чтобы оплатить экспортный продукт на внутреннем
рынке. Подразумевается, что стоимость чистого экспорта по текущему внутрен203
нему курсу валюты больше затрат на внутреннем рынке, это соответствует фактическому положению дел во все годы после реформы 1992г. Варианты модели, в
которых прибыль от внешнеторговой деятельности подсчитывалась, исходя из
мировых цен, и передавалась собственнику в виде дополнительного дохода,
оказались неудовлетворительными.
15.5.4.1. Описание внешнеэкономической деятельности
Приводим сразу окончательное описание. Экспортер покупает экспортный
продукт в количестве ExpF (t ) на внутреннем рынке py( t ) . Это требует затрат
pExpF( t )py( t ) ExpF( t ) .
Продукт в объеме Exp ( t ) продается на внешнем рынке за валюту. Часть валютной выручки, ввозимой в страну, VF (t ) продается на валютной бирже по курсу
ww ( t ) , что приносит экспортеру доход в рублях:
wVF( t )ww( t ) VF( t ) .
Возвращенная в страну выручка VF (t ) меньше стоимости вывезенного продукта
на мировом рынке. Ее величина определяется потребностью оплатить экспортный
продукт на внутреннем рынке:
0ww( t ) VF( t )py( t ) ExpF( t ) .

15.6. ОПИСАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АГЕНТОВ
15.6.1. Сборка модели
Приведенные выше индексированные описания поведения агентов собираются в один список и дополняются описаниями взаимодействий. Фактически потребный набор блоков ВД предопределен набором индексов имен информационных переменных, встречавшихся в описаниях агентов. Впрочем, окончательная
«утряска» структуры модели на практике обычно требует нескольких итераций.
Описывая взаимодействия, мы будем иногда вводить упрощенные безындексные обозначения для самых важных величин. В системе ЭКОМОД эти обозначения вводятся специальной функцией Renote, которая следит за корректностью переобозначений. Для процедур автоматического упрощения отсутствие индекса у имени переменной служит признаком того, что эту переменную нельзя исключать из системы. Пример ввода описаний блоков ВД и сборки модели приведен в Дополнении 4.
15.6.2. Рынок кредитов (l)
Инвестор хочет выдать расписки на сумму LdLJ( t ) , а банк согласен взять
расписки на сумму LdLB( t ) . Реализуемы только ситуации, когда эти планы совпадают, что и записывается балансом
0LdLB( t )LdLJ( t ) .
Напомним, что в блоках агентов J и B величины LdLJ( t ) и LdLB( t ) определялись в зависимости от складывающегося на рынке кредитов процента (см.
разд. 15.1.5.2). Приведенное равенство играет роль условия равновесия на рынке
кредитов, из которого, вообще говоря, должна определяться величина процента
по кредитам rl( t )
204
Когда кредитное соглашение достигнуто, инвестор получает деньги KdLJ( t )
и платит проценты rL J( t ) , а банк платит и получает те же суммы, но в его расчетах они обозначаются через KdLB( t ) и rL B( t ) , соответственно. Согласование этих
величин выражается балансами
0KdLJ( t )KdLB( t ) , 0rL B( t )rL J( t ) .
В конечном счете, должны выравниваться сами объемы ссуд LB( t ) и LJ( t ) , пла-
нируемые банком и инвестором. Для величины фактического объема ссуд вводим
безындексное обозначение L( t ) , для процента по кредитам – безындексное обозначение r( t ) :
LB( t )L( t ), r l( t )r( t ) .
15.6.3. Рынок депозитов (s)
Рынок депозитов описывается так же, как рынок кредитов:
0SdSB( t )SdSH( t ) , 0KdSB( t )NdSH( t ) , 0rS B( t )NrS H( t ) .
Первый баланс, вообще говоря, должен определять процент r s( t ) . Для фактического объема сбережений вводим безындексное обозначение S( t ) :
S B (t )  S (t ) .
15.6.4. Рынок продукта (y)
На рынке продукта балансируется предложение продукта инвестором YJ( t )
и спрос со стороны того же инвестора JJ( t ) , государства GG ( t ) , населения CH( t )
и экспортера ExpF( t ) :
0YJ( t )JJ( t )GG( t )ExpF( t )CH( t ) .
Этот баланс, вообще говоря, должен определять цену продукта py( t ) . Платежи
покупателей pJJ( t )pyG( t )phH( t )pExpF( t ) балансируются с выручкой инвестора. При этом инвестор распределяет эту выручку по легальному pYW J( t ) и теневому pYB J( t ) каналам:
0pJJ( t )pyG( t )phH( t )pExpF( t )pYW J( t )pYB J( t )
Здесь вводятся следующие упрощенные безындексные обозначения:
YJ( t )Y( t ), JJ( t )J( t ), GG( t )G_s( t ), py( t )p( t ),
ExpF( t )Exp_s ( t ), CH( t )C( t ), MJ( t )M( t )
.
В окончательной системе уравнений данной модели переменные, имена которых кончаются на "_s", например, G_s( t ), Exp_s ( t ) , относятся к величинами,
задаваемым сценарием.
15.6.5. Рынок труда (r)
Поток затрат труда R J( t ) , на который рассчитывает инвестор, должен совпадать с тем, который предлагает население R H( t ) :
0RJ( t )RH( t ) .
205
Оплата труда производится по двум каналам: легальному sRW J( t ) и теневому
sRB J( t ) . Населению безразлично, по какому каналу получена заработная плата,
поэтому оно фактически «отмывает» теневые доходы, объединяя их с легальными в общую величину rs H( t ) :
0rs H( t )sRW J( t )sRB J( t ) .
Предложение труда населением задается экзогенно:
RH( t )Rr( t ) ,
что подчеркивается переобозначением
Rr (t )  R_s(t ) .
В общем случае баланс труда должен быть уравнением, определяющим величину
ставки заработной платы sr( t ) . Важную роль в модели играет величина средней
нормы издержек  J (t ) (15.48). Для нее тоже вводится безындексное обозначение.
 J (t )  (t )
Мы пытались описать рынок труда всеми известными моделями: неоклассической моделью, введя в функцию полезности «отвращение к труду», кейнсианской моделью, считая заработную плату неравновесной, монопольной моделью, в
которой заработная плата не равна предельной производительности труда. Однако, идентифицируя и верифицируя модель экономики России, мы обнаружили, что
ни одна из перечисленных моделей рынка труда не воспроизводит адекватно статистические данные о занятости, производительности труда и заработной плате.
15.6.6. Рынок валюты (w)
Валюту, которую экспортер хочет продать на бирже, V F( t ) должны купить
собственник, V C ( t ) , государство для выплаты внешних обязательств, LdWG( t ) , и
Центральный банк, V CB( t ) , для пополнения валютных резервов:
0VC( t )VCB( t )VF( t )LdWG( t ) .
(15.76)
В очевидных обозначениях баланс рублевых платежей и выручки за валюту имеет
вид
0wVC( t )wVCB( t )wVF( t )NdWr G( t ) .
Мы считаем, что курс валюты ww ( t ) задан сценарием, поэтому из баланса валюты определяет чистые покупки валюты Центральным банком V CB( t ) . Иначе говоря, из баланса находим, сколько должен купить или продать валюты ЦБ, чтобы
поддержать заданный курс.
Блоки взаимодействий 15.6.2 - 15.6.5 описывали классические равновесные
конкурентные рынки: из условия равенства спроса и предложения на кредиты,
депозиты, продукт и труд «невидимой рукой» определяется соответствующая
информационная переменная: процент по кредитам r( t ) , процент по депозитам
r s( t ) , цена продукта p( t ) и ставка заработной платы sr( t ) . Рынок валюты был
описан как равновесный монопольный рынок: цена определяется экзогенно, а
206
один из участников (ЦБ) получает поток, равный избыточному предложению
остальных участников при данной цене.
Остальные взаимодействия описывают не рынки, а передачи. В них нет информационных переменных типа цен, но появляются экстенсивные информационные переменные типа «уведомления о предстоящих перечислениях».
15.6.7. Кредитование государства (g)
Простейшая из передач – кредитование Центральным Банком государства
по его требованию
0KGLg( t )LdBG( t ) .
Этот баланс определяет упомянутую в разд. 15.5.3.4 экстенсивную информационную переменную KGLg( t ) – требования на кредиты. С балансом кредитов связан
баланс денег KGCB  t 
0NdBG( t )KGCB( t ) .
15.6.8. Налоги и субсидии (x)
Описание этого взаимодействия аналогично предыдущему: из балансов
0Taxx ( t )TaxJ( t )TaxB( t ) , 0SubG( t )SBx ( t )
определяются экстенсивные информационные переменные: налоговые поступления для государства Taxx ( t ) и трансферты населению SBx (t ) – сумма пособий и
заработной платы бюджетников. Этим величинам даются безындексные имена,
причем субсидии считаются заданными сценарием:
Taxx ( t )Tax ( t ), SubG( t )Sub_s( t ) .
15.6.9. Ведение расчетных счетов (n)
По существу это тоже передача: банк принимает на расчетные счета средства, которые решает положить на эти счета инвестор. Однако, описывая поведение банка, мы допускаем возможность того, что банк может отказаться вести расчетные счета (см. разд. 15.1.2.3 выше). Поэтому описание данного взаимодействия получается несколько более сложное, чем описание предыдущих двух взаимодействий.
Балансы пишутся так же, как они были написаны для рынка депозитов, только без процентных платежей:
0NdNJ( t )NdNB( t ) , 0KdNB( t )KdNJ( t ) .
Но прогноз остатков расчетных счетов NJn( t ) , которым руководствуется банк,
определяется как предложение со стороны инвестора:
NJn( t )NJ( t ) .
15.6.10. Управление банковским капиталом (b)
Балансовые уравнения в этом и следующем взаимодействиях описывают
передачу дивидендов. Но кроме того, в этих взаимодействиях передается информация, которая определяет величину дивидендов. Описаниями таких взаимодействий данная модель отличается от других моделей межвременного равновесия
(см. разд. 8.3).
Собственник получает от банка дивиденды, которые ему начислил банк:
207
0ZbC( t )ZB( t ) .
Но для того, чтобы начисление дивидендов соответствовало интересам собственника, он должен обменяться информацией с банком. Собственнику надо получить информацию о доходности B( t ) , эффективном налоге  B( t )1 , косвенных доходах f B( t ) и курсе B банка, чтобы передать банку рациональное указание о временной структуре выплат дивидендов zbC ( t ) (см. разд. 9.4.3.2):
bB , b( t )B( t ) , b( t )B( t ) , f b( t )f B( t ) , Ubb( t )zbC( t ) .
15.6.11. Управление капиталом инвестора (p)
Взаимодействие описывается как предыдущее с точностью до обозначений.
Разница только в том, что при передаче суммируются легальные ZWJ( t ) и нелегальные ZBJ( t ) дивиденды, выплачиваемые инвестором, и, таким образом, нелегальные доходы «отмываются»:
0ZpC( t )ZWJ( t )ZBJ( t ) ,
 p J ,  p( t ) J( t ) , p( t )J( t ) ,
15.6.12.
Имя
rl( t )
r s( t )
NJn( t )
f p( t )f J( t ) ,
Ubp( t )zpC( t ) .
Список переменных блоков ВД
Размерность
1/время
Смысл
процент по кредитам
1/время
процент по депозитам
деньги
деньги/валюта
остатки расчетных счетов инвестора
курс валюты
деньги/продукт
труд/время
цена продукта
поток труда
SB x ( t )
деньги/труд
деньги/время
ставка заработной платы
субсидии населению
Taxx ( t )
деньги/время
налоги
ww ( t )
p y( t )
Rr( t )
sr( t )
(15.77)
Глава 16. Окончательный вид модели и алгоритм расчетов
16.1. СИСТЕМА СООТНОШЕНИЙ МОДЕЛИ И ЕЕ УПРОЩЕНИЕ
Модель получается объединением 118 соотношений, входящих в описанные
выше блоки. После объединения производится окончательная проверка размерностей (см. разд. 11.1 и Дополнение 1), в результате которой определяются
размерности всех параметров и переменных, в том числе и экзогенных.
Среди этих соотношений много «лишних», введенных ради структурной четкости, и, прежде всего, этой четкостью следует воспользоваться.
 Собрав все соотношения, мы начинаем с того, что проводим автоматическую проверку балансов функцией системы ЭКОМОД CheckBal() (см. Дополнение 4). Практика показала, что даже опытному исследователю нужно не меньше
полудня работы, чтобы балансы нового варианта модели прошли проверку
CheckBal().По опыту работы мы знаем, что ошибки в балансах возникают посто208
янно, и, как правило, обнаруживаются они на поздней стадии работы. Дисциплина
записи канонической формы может показаться неудобной, зато она гарантирует
возможность исключить ошибки в записи балансов.
 Следующий этап состоит в автоматическом интегрировании систем
балансов каждого финансового инструмента (см. разд. 9.3.3.1). Пяти учтенным в модели финансовым инструментам соответствуют пять не пересекающихся
между собой подсистем финансовых балансов. С помощью функции системы
ЭКОМОД FinBal() для каждой подсистемы определяется ее первый интеграл –
конечное соотношение между остатками соответствующего финансового инструмента. Затем по выбору пользователя этим конечным соотношением заменяется
один из исходных балансов в каждой подсистеме (обычно самый громоздкий).
В рассматриваемой модели пять интегралов подсистем финансовых балансов имеют вид.
SH( t )S( t ) ,
L( t )LJ( t ) ,
B_s ( t )BG( t ) ,
NJ( t )NB( t ) ,
NalJ( t )KB( t )AC( t )AH( t )AG_s ( t )MB CB( t ) .
(16.1)
(16.2)
Если рассматривать подсистемы балансов как абстрактные системы дифференциальных и конечных уравнений, то в правую часть каждого из равенств (16.1),
(16.2) следовало бы добавить свою произвольную постоянную. Однако с содержательной точки зрения в левых частях равенств (16.1), (16.2) стоят активные, а в
правых – пассивные остатки данного инструмента. По правилам бухгалтерского
учета сумма пассивов должна совпадать с суммой активов каждого инструмента,
поэтому мы полагаем постоянные интегрирования нулями. Таким образом, интегрирование финансовых балансов не только понижает дифференциальный порядок системы соотношений модели, но и сокращает набор требуемых начальных
условий. (О начальных условиях подробнее см. разд. 16.4)
 После проверки и интегрирования балансов можно исключить переменные,
которые больше не нужны. На первом этапе автоматического упрощения
мы подставляем выражения «лишних» переменных, полученные в блоках ЭА, в
соотношения блоков ВД, а потом исключаем из системы переменные с индексами
ВД, такие как  p (t ),  p (t ) в (15.77). Важные информационные переменные, такие,
как цена или проценты, не исключаются, поскольку им были присвоены безындексные обозначения.
 Второй этап упрощения происходит не автоматически, но по стандартной
схеме. Он определяется спецификой описания взаимодействия собственника и
фирмы. Как было показано в разд. 8.1.5, нормировочные постоянные  (t0) в задачах банка (15.9) и инвестора (15.41) можно выбрать так, чтобы выполнялись соотношения
B (t )  B KbC (t ) ,  J (t )  J KpC (t ) .
Будем считать, что такой выбор сделан. Мы не сопоставляем величины
накопленных капиталовложений KbC (t ) и KpC (t ) со статистическими данными, поэтому их начальные значения можно выбрать произвольно. По виду уравнений
(15.71), (15.72) легко заключить, что выбором начальных значений KbC (t0) ,
KpC (t0) можно добиться того, чтобы B   J  1. После этого дифференциальные
уравнения (15.71), (15.72) совпадут с уравнениями для B (t ),  J (t ) , которые следуют из условий оптимальности.
209
Поэтому на втором этапе упрощения мы полагаем B   J  1 и, на всякий
случай, проверяем, что при подстановке KbC (t )  B (t ) , KpC (t )   J (t ) уравнения
(15.71), (15.72) следуют из остальных. Вручную такую проверку для системы из
многих десятков уравнений провести затруднительно, в Maple это сделать довольно легко, если, не глядя на систему целиком, извлекать из нее последовательно уравнения, содержащие нужные переменные.
На этом же этапе мы вставляем выражения коэффициентов ( PPJ (t ),  B (t ) и
т.п.) в уравнения для капиталов. После этого этапа упрощения неизвестными в
системе остаются только функции времени.
 На третьем этапе упрощений процедурой системы ЭКОМОД IskInd() из
системы последовательно исключаются все индексированные переменные, которые входят в какое-либо конечное уравнение модели линейно с коэффициентами
1 или 1 . Выражения этих переменных, как и всех переменных, исключенных на
предыдущих этапах, собираются в специальный список RES, и он сохраняется до
конца работы с моделью. Если переменную не желательно исключать, ее надо
указать как аргумент IskInd(). В модели экономики России мы не исключили
процент по депозитам rs (t ) .
 На заключительном этапе автоматизированных упрощений макрос
системы ЭКОМОД E_Sort производит сортировку соотношений по типам и, по
возможности, разрешает дифференциальные уравнения относительно производных.
После автоматических преобразований модели экономики России получилась система из 54 соотношений, в числе которых 8 неравенств, 7 УДН, 4 терминальных условия, 11 конечных уравнений и 24 дифференциальных уравнения,
причем некоторые из последних содержат несколько производных неизвестных
функций.
После выполнения всех автоматизированных упрощений модель упрощается
и исследуется вручную. Относительно модели экономики России выяснилось следующее.
1. Уравнения, описывающие динамику внутреннего долга и валютных резервов
(см. разд. 15.5), отделяются от остальной системы.
2. В оставшиеся соотношения государственное потребление и чистый экспорт
входят только в сумме (14.18).
3. Прибыли секторов выражаются через производные капиталовложений и
ссудной задолженности, поэтому могут быть исключены из системы. Накопленные капиталовложения KbC (t ) и KpC (t ) исключаются с помощью выражений для капитала секторов.
16.2. РАЗРЕШЕНИЕ И АППРОКСИМАЦИЯ УДН
После всех упрощений и переобозначений в системе соотношений модели
остались четыре УДН:
[ gJ( t ) ] [ LdLB( t ) k L( t ) ] ,
(16.3)
[ g( t ) ] [ LdLB( t ) k L( t ) ] ,
(16.4)
[ B( t )E( t )Dw_s ( t ) ]
[ (  n1 ) N( t )( 1 s ) S( t )( g( t )1 ) L( t ) ] ,
210
(16.5)
[ ( t )E( t )Dw_s ( t ) ]  N( t )( gJ( t )1 ) L( t )

( t ) 

( nd1 ) Ab( t ) 1nl( t ) y
 FK( t ) ( t ) M( t )  .
p
(
t
)



(16.6)
Здесь Dw_s(t )  d ww (t ) / dt – экзогенно заданная величина, см. разд. 14.3.
16.2.1. Аппроксимация УДН для кредитов
УДН (16.3) описывает предложение кредитов банком (см. разд. 15.1.5.2), а
(16.4) – спрос инвестора на кредиты. Нас интересуют решения, которые описывают выдачу кредитов, т.е. случай LdLB (t )  L(t )  0 . В этом режиме соотношения
(16.3), (16.4) сводятся к равенствам g J (t )  0 , g (t )  0 , которые определяют52 процент по кредитам и соотношение доходностей реального и финансового секторов,
но не определяют величину кредитов LdLB (t )  L(t ) . Действительно, из условий
g J (t )  0 , g (t )  0 следует, что совмещаются вертикальные участки бесконечно
эластичной функции предложения кредита (15.30) и бесконечно эластичной функции спроса инвестора на кредит. В разд. 12.3 именно в такой ситуации мы предложили аппроксимировать УДН.
Обычно УДН  a(t )  b(t ) , которое на плоскости переменных  a(t ), b(t )  изображается объединением положительных полуосей координат, предлагают аппроксимировать гиперболой a(t )  b(t )   , как на рис. 16.2.1.
Однако для вычислений такая аппроксимация оказалась
крайне неудобной. Вместо нее мы использовали экспоненциальную
аппроксимацию:
b(t )  k (t )exp   a(t )  ,
изображенную на рис. 16.2.2. Эта аппроксимация асимРис. 16.2.1
метрична – она гарантирует положительность b(t ) , но
допускает отрицательные значения a(t ) . Здесь мы
апеллируем к экономическому смыслу сомножителей
УДН. Анализ показывает, что в УДН (16.3) - (16.6) первые сомножители выражают разность доходностей альтернативных вложений агента. Таким образом, отрицательные значения b(t ) запрещены ограничениями, а при
отрицательных значениях a(t ) спрос или предложение
агента становится формально бесконечно большим.
При аппроксимации УДН мы просто считаем этот спрос
или предложение большим, но конечным.
Параметры  , нормирующие разности доходноРис. 16.2.2
стей в разных УДН, рассматриваются как настроечные
параметры модели. Определяя нормировки масштаба k (t ) , мы использовали дополнительные внемодельные предположения о связи спроса или предложения с
другими переменными.
Именно, мы предположили, что и спрос, и предложение кредитов
LdLB (t )  L(t ) пропорциональны номинальному ВВП p(t ) Y(t ) с одним и тем же по52
из уравнения (15.31) при
блоке инвестора
g B (t )  g (t ) и аналогичного уравнения для g J (t ) , получающегося в
J
211
стоянным коэффициентом  . Поэтому соотношения (16.3), (16.4) мы заменили
выражениями.
LdLB( t )k L( t ) Y( t ) p( t ) e
( g ( t )  )
J
, LdLB( t )k L( t ) Y( t ) p( t ) e
( g( t )  )
.

16.2.2. Разрешение и аппроксимация УДН для капиталовложений
УДН (16.5), (16.6) – это преобразованные53 УДН (15.66), (15.65), которые
можно охарактеризовать как функции предложения капиталовложений финансовому KbC (t ) и реальному KpC (t ) секторам. Распределение капиталовложений –
это решение собственника, и «спроса» на капиталовложения со стороны секторов
нет. Однако капиталовложения KbC (t ) и KpC (t ) конкурируют между собой и с вывозом капитала в задаче собственника, поэтому с математической точки зрения
режим, в котором обе величины капиталовложений положительны, порождает
неоднозначность, аналогичную обсуждавшейся выше неоднозначности потока
кредитов. Поэтому в модели УДН (16.5), (16.6) мы тоже решили аппроксимировать.
Здесь, однако, выявился неожиданный результат. Расчеты в различных вариантах модели, как с точными, так и с аппроксимированными УДН для капиталовложений, недвусмысленно показали, что правдоподобные траектории получаются только в предположении, что капиталовложения в реальный сектор
KpC (t ) нулевые.
Таким образом, из исследования модели приходится сделать вывод, что вопреки исходным представлениям авторов, в современной России сохраняется типичное для 90-х годов положение, когда реальный сектор служит источником вложений в финансовый сектор и зарубежные активы, а собственные активы реального сектора оказываются фактически «заложенными».
Принимая это представление и имея в виду, что второй сомножитель в УДН
(16.6) – это просто KpC (t ) , заменяем это УДН равенством 0 второго сомножителя:
0N( t )L( t ) g( t )L( t )Ab( t ) ndAb( t ) ( t ) M( t )
p( t )nl p( t ) ( t )
 
( t ) y  FK( t )
p
(
t
)


и условием неотрицательности первого. Поскольку E(t ) – заданная монотонная
функция времени (15.67), а наблюдавшиеся значения темпа роста курса доллара
Dw_s(t ) малы, условие неотрицательности первого сомножителя (16.6) сводится к
неравенству { ( T ) } .
УДН (16.5) мы аппроксимируем экспоненциальным выражением. При этом
считаем, что нормировочный множитель меняется со временем так, чтобы скомпенсировать систематическое изменение E( t ) и малое изменение Dw_s( t ) , так
что в конечном счете капиталовложения в финансовый сектор оказываются пропорциональными объему безналичных денег N (t ) с экспоненциальным множителем, зависящем от отклонения доходности банка  B (t ) от некоторого фиксированного уровня rb , который считается настроечным параметром:
При работе в системе ЭКОМОД это легко узнать, поскольку в признаках соотношений сохраняется их исходный вид, см. Дополнение 2.
53
212
( g( t )1 ) L( t )S( t ) s S( t )(  n1 ) N( t )N( t ) e
 ep1 ( B( t )rb ) 







.
16.3. ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА СООТНОШЕНИЙ МОДЕЛИ
После описанной выше аппроксимации УДН и некоторых преобразований, в
результате которых дифференциальные уравнения приводятся к нормальной
форме, мы получаем систему соотношений S , которую формально и следует считать предлагаемой нами моделью российской экономики. Система S включает 10
дифференциальных уравнений:
d
d
d
p( t )( t ) p( t )
M( t )J( t ) M( t ) , FK( t )p( t ) J( t ) a FK( t ) , (16.7)
dt
dt
, dt
( g( t )  )
d
d
L( t ) Y( t ) p( t ) e
 k L( t ) ,
Q( t ) Q( t )J( t )V_s( t )Y( t ) ,
dt
dt
d
S( t )( V_s( t )N_s( t ) ) p( t )( 1( 1nv ) ( t ) ) p( t ) Y( t )
dt
1
p( t ) J( t )
( t )  S( t )
q
(
t
)


  a ( t ) 


      ( t )
 a nlnn  aA an
d
y
y 
(t ) 
( t ) 2  


p( t )
dt
y
( A ar bl nvA ar nv sA ar sA ar bl ndA ar bl nd nvA ar bl
1nl a y ) ( t )
y
d
 (t )  ( ( t ) )  ( t )( A anA ar ( nv1 ) ( blsbl nd ) ( t ) ) p( t )
dt
d
( g( t )1 ) ( nv1np ) ( t ) nn ( 1g( t ) ) B( t )
g( t )k g( t )

dt
npnnnv1
npnnnv1
d
 q( t ) V_s( t ) q( t ) J( t )q( t ) Y( t ) 
q(t )  (   ) q( t )1 
Q( t )
dt
и 7 конечных уравнений:
0Ab( t )( bl ar bl nv arbl kr ( nv1 )  ( t ) ) p( t ) Y( t )
0  N(t )  p(t )  y J(t )  ( s nv ars ars ( kr1 ) ( nv1 ) ( t ) ) p( t ) Y( t )
0  ( kn( s krbl krsbl nd kr ) ( nv1 ) ( t ) ) ( t ) 
( anar ( blsbl nd ) ( nv1 ) ( t ) ) B ds e
( t )
( 1 s ) B( t )
nv1np
( b t  b t0 )
R_s ( t )
Y( t )

( b t  b t0 )
1
Y( t ) ,
, 0A M( t )B R_s ( t ) e
q( t )
(  n1 ) N( t )( 1 s ) S( t )( g( t )1 ) L( t )  N( t ) e
213
 ep1 B( t ) ep1 rb 






 

(16.8)
0A M( t )B R_s ( t ) e
( b t  b t0 )
Y( t )
( t ) 

0  N( t )( g( t )1 ) L( t )( nd1 ) Ab( t )   1nl( t ) y p( t )  FK( t ) ( t ) M( t )


(16.9)
(16.10)
на 17 неизвестных
S( t ), L( t ), Q( t ), Ab( t ), p( t ), ( t ), Y( t ), J( t ), ( t ), q( t ), g( t ), B( t ) , N( t ), ( t ), ( t ), FK( t ), M( t ) .
 Три функции задаются экзогенно:
 внешняя нагрузка на экономику V_s(t ) определенную равенством (14.18);
 занятость R_s(t )  Rr (t ) (см. разд. 15.4.1);

субсидии населению в реальном выражении N_s(t )  SubG (t ) / p(t ) (см.
разд. 14.3).
 Темп роста курса доллара Dw_s(t ) на основе оценок и пробных расчетов сочли
возможным считать пренебрежимо малой54.
 В уравнения (16.8), (16.9) входит также явно заданная экзогенная переменная
bt t0 
(t )  e
,
(16.11)
характеризующая технический прогресс (см. разд. 14.1.3.2).
Итак, система уравнений модели приняла форму, рекомендованную в
разд. 12.2 – число неизвестных совпадает с числом уравнений. Из десяти фазовых переменных системы S шесть – FK( t ), M( t ), S( t ), L( t ), Q( t ), p( t ) – это прямые
переменные агентов или информационные переменные ВД. Вопрос об их начальных значениях при t  t0 обсудим отдельно в конце раздела. Для остальных четырех фазовых переменных q( t ), g( t ), ( t ), ( t ) , которые являются комбинациями
двойственных переменных агентов, в системе S имеются 3 граничных условия:
( T ) 

N( T )( g( T )1 ) L( T )( nd1 ) Ab( T )   1nl( T ) y p( T )  FK( T ) ( T ) M( T ) 


( ( nd1 ) Ab( t0 )N( t0 ) ( t0 ) M( t0 ) ) e
(  T  t0 )

  nl1( t0 )    ( t0 )  FK( t0 )( g( t0 )1 ) L( t0 )  e (  T t0 )
 


y
p( t0 ) 


(16.12)
(  n1 ) N( T )( 1 s ) S( T )( g( T )1 ) L( T ) 
( (  n1 ) N( t0 )( 1 s ) S( t0 )( g( t0 )1 ) L( t0 ) ) e
0( S( t0 )p( t0 ) Q( t0 ) ) e
(  T  t0 )
(  T t0 )
S( T )p( T ) Q( T ) .
(16.13)
Остающееся неопределенным терминальное значение двойственной переменной,
будем рассматривать как настроечный параметр.
Кроме перечисленных выше уравнений и граничных условий, в систему S
входят еще 6 неравенств:
1
( t ) } , { 0( t ) } , { 0 ( t ) } , { 0p( t ) }
{ ( T ) } , { 0
B
q( t )
Наблюдавшееся медленное укрепление рубля существенно влияло на импорт, но в модели импорт фактически задается экзогенно (см. раздел 15.5.4).
54
214
{ 0( V_s( t )N_s( t ) ) p( t )( 1( 1nv ) ( t ) ) p( t ) Y( t )p( t ) J( t )
1 
 ( t ) s
 S( t ) }
q( t ) 

(16.14)
которым должны удовлетворять экономически осмысленные решения.
Обсудим теперь вопрос о начальных условиях на фазовые переменные
FK(t ) , M(t0 ) , S(t0) , L(t0 ) , p(t0) , Q(t0 ) . При построении модели эти величины считаются заданными в том смысле, что они не варьируются при решении задач
агентов. Но точно так же при решении задач агентов не варьируются и параметры
модели. Есть ли принципиальное различие между параметрами и начальными
значениями фазовых переменных?
При моделировании технических и физических систем различие определенно есть. Параметры модели в этих областях приложений идентифицируются по
результатам наблюдений и экспериментов над системой при разных условиях, в
том числе начальных. При использовании модели проводятся расчеты и при тех
начальных условиях, которые не устанавливались в натурных экспериментах. Однако чем больше и сложнее система, тем реже меняются начальные условия ее
функционирования.
У социально-экономических систем мы наблюдаем единственную траекторию, которою только и можем использовать для идентификации параметров модели. Результатом идентификации является набор параметров, при котором модель достаточно точно воспроизводит динамику наблюдаемых величин на некотором отрезке времени в прошлом (ретропрогноз), а практическим результатом
моделирования служит прогноз, полученный как продолжение этой траектории на
будущее. Начальные условия для этого единственного расчета задаются в тот
момент времени в прошлом, при котором начинается ретропрогноз.
В этих условиях кажется странным требовать точного совпадения значений
наблюдаемых фазовых переменных со статистикой в произвольно выбранный
момент начала ретропрогноза, в то время как в более поздние моменты модель
воспроизводит эти значения с погрешностью. Более естественно требовать равномерного приближения наблюдаемых значений на всем отрезке ретропрогноза.
Это означает, что начальные условия на фазовые переменные следует рассматривать как настоечные параметры модели.
16.4. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ И ВЫБОР ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ
16.4.1. Автомодельные решения и сбалансированный рост
Традиционным и очень плодотворным методом исследования динамических
моделей служит изучение автомодельных решений, отвечающих той или иной
группе симметрии, допускаемой соотношениями модели. Автомодельным (т. е.
самоподобным) называется решение, для которого изменение значений переменных при сдвиге по траектории эквивалентно одному из преобразований данной
группы симметрии. Например, прямолинейные движения в механике являются автомодельными для группы трансляций. Автомодельные решения представляют
собой типичные и простейшие решения системы уравнений модели и, что важно,
их набор не зависит от граничных условий.
Изучение динамических моделей экономики, для соотношений которых типична масштабная инвариантность (см. разд. 4.1), тоже естественно начинать с
исследования решений автомодельных относительно группы растяжений. Примером таких решений служат хорошо известные решения сбалансированного роста
[17, 35], на которых все аддитивные (экстенсивные) величины растут с одинако215
вым постоянным темпом. Большинство известных выводов экономической теории
получено сравнением различных режимов сбалансированного роста в некоторых
простых абстрактных моделях экономики.
Но модель может допускать и более богатую группу симметрий растяжения,
которой соответствует автомодельное решение с различными темпами роста разных величин. Например, разница между темпами роста финансовых и материальных потоков представляет собой темп инфляции, а разница темпов роста производства и затрат ресурсов – темп технического прогресса. Хотелось бы выявлять
такие решения, поскольку в данном случае они представляют не только теоретический интерес. Автомодельные решения служат исходной точкой для расчета
модели и базой для идентификации ее параметров.
16.4.2. Автомодельные решения и размерности активов
Систему соотношений модели (16.7) - (16.14) можно представить в векторной
форме:
d
x (t )  F  x (t ), y (t ), s(t ), p  ,
(16.15)
0  G  x(t ), y(t ), s(t ), p  ,
dt
T t0  
(16.16)
0  B  x(t0), y(t0), s(t0), x(T ), y(T ), s(T ) p, e
,


(16.17)
0  S  x(t ), y(t ), x(T ), y(T ), p  ,
где x (t ), y (t ) – списки неизвестных, s (t ) – список экзогенных переменных, включающий (16.11), а p – список постоянных параметров. Чтобы найти автомодельные
решения системы (16.15) - (16.17), отвечающие группе растяжений, надо сделать
подстановку
xi (t )  xi e
ξj
t t0 ,
y j (t )  y j e
ηj
t t0 ,
sk (t )  sk e
ζk
t t0 ,
(16.18)
и искать постоянные x , y , s , ξ , η, ζ , при которых система (16.15) - (16.17) будет удовлетворяться тождественно по t .
Решать «в лоб» такую систему уравнений с целью отыскать темпы роста
двух десятков переменных – задача почти безнадежная даже для системы компьютерной алгебры. Кроме того, в нашем случае такой подход сталкивается не
только с технической, но и с принципиальной трудностью.
То, что говорилось выше о симметриях и автомодельных решениях, относится к замкнутым (автономным) системам, а наша модель не замкнута (см.
разд. 14.3). В ней можно найти аналоги автомодельных решений, только если аппроксимировать экзогенные переменные s (t ) экспонентами. Но не понятно, какими должны быть темпы роста экзогенных переменных. Мы считаем, что удалось
найти разумный путь преодоления указанных трудностей. Подробно он обсуждается в [75], а здесь приводится только окончательный «рецепт».
Предлагается искать автомодельные решения, на которых величины одной
размерности растут с одинаковыми темпами. В процессе проверки размерностей каждой из величин xi (t ) , y j (t ) , sk (t ) была сопоставлена ее размерность,
выраженная как произведение степеней базовых размерностей (см. Дополнение 1). Если в это выражение подставить вместо размерности время единицу, а

t t0 
вместо базовой размерности  выражение e
, где   – неопределенный коэффициент («темп роста размерности»), то выражение размерности переменной
216
превратится в экспоненту, темп роста которой и будет темпом роста соответствующей переменной при условии, что величины одной размерности растут с одинаковыми темпами. Получив, таким образом, из выражений для размерностей выражения для темпов роста величин x (t ) , y (t ) , s (t )
ξ  ξ ( λ) , η  η( λ) ,
ζ  ζ ( λ) ,
(16.19)
где λ – пока неизвестный вектор темпов роста базовых размерностей, будем
снова искать решение в виде (16.18).
Указанный подход обладает следующими преимуществами:
 Базовых размерностей гораздо меньше, чем переменных, поэтому система
уравнений для параметров автомодельного решения будет относительно простой.
 Базовые размерности у нас присвоены аддитивным величинам – запасам активов, поэтому автомодельные решения будут прямым содержательным аналогом традиционного сбалансированного роста.
 Размерность экзогенных переменных определена (см. разд. 16.1), поэтому
темпы их роста определятся согласовано с темпами роста остальных величин.
 Разрешимость системы относительно темпов λ и получение алгебраической
системы для амплитуд x, y , s гарантировано тем, что система уравнений для λ –
это подсистема уравнений для генераторов групп растяжений, допускаемых моделью, а разрешимость системы для генераторов – это критерий правильности
системы размерности (см. [75, 33]) 55.
 Поскольку размерности всех переменных и параметров выражены через базовые, составление системы для поиска автомодельных решений можно автоматизировать, что и было сделано в последней версии системы ЭКОМОД.
Вообще говоря, предложенный метод не позволяет найти все решения вида
(16.18). Однако, мы сознательно ограничиваемся поиском только тех решений, на
которых переменные с одинаковой размерностью растут с одним и тем же темпом, поскольку такие решения соответствуют нашим представлениям об экономическом росте. Таким образом, мы накладываем на уравнения модели еще одно
требование, не содержащееся в уравнениях, но отражающее их содержательный
смысл – требование существования темпов роста, отвечающих введенной из содержательных соображений системе размерностей активов.
16.4.3. Определение параметров модели на автомодельных
решениях
Описанная процедура поиска автомодельных решений, согласованных с базовыми размерностями аддитивных величин, примененная к системе соотношений модели (16.7) - (16.14), дает соотношения вида
0  Φ  λ, , p  ,
0  Γ  x, y, s , λ, , p  , 0  Σ  x, y, s , p  ,
0  Η ( p)
(16.20)
для амплитуд x , y , s автомодельного решения (16.18) - (16.19) и трех темпов роста λ   продукт ,  деньги ,  труд
трех базовых размерностей модели56. Первое уравне-
ние в (16.20) получается из требования, чтобы при подстановке (16.18) в (16.15) (16.17), экспоненты сократились, второе – из равенств (16.15) - (16.16) после сокращения экспонент. Первое неравенство получается из (16.17) после сокраще55
Обратите внимание, что в модели все размерные постоянные, кроме эмпирического коэффици1
ента B в производственной функции (14.6), имеют размерность либо время , либо время .
56 В модели есть еще размерность валюта , но по указанным выше причинам в окончательной
системе соотношений модели величины такой размерности не встречаются.
217
ния экспонент, а неравенство 0  Η ( p) – это накладываемые по умолчанию условия положительности параметров и дополнительные условия, собранные в группах Con (см. разд. 9.4.4), например, неравенства в (15.6).
Система (16.20) имеет решающее значение для расчета модели. Она используется для идентификации параметров и для исключения краевых
условий. Именно, мы рассматриваем систему (16.20) как недоопределенную систему соотношений на весь набор переменных и параметров x , y, s, λ, , p . Выбрав
допустимую для этой системы точку x  , y  , s  , λ ,  , p , мы используем автомодельное решение
x (t )  xi e
t t0  ,
ξ j ( λ )
y j (t )  y j e

η j ( λ ) t t0
,
sk (t )  sk e
t t0 
ζ k ( λ )
(16.21)
как начальное приближение для решения системы уравнений (16.7) - (16.10) при
значениях параметров   , p .
В предложенном методе решения системы S выбор допустимой точки


x , y , s  , λ ,  , p соответствует «подгонке» значений параметров. Эта мучительная задача возникает всегда, когда математическая модель используется для
практических расчетов. Когда модель сводятся к динамической системе, решение,
грубо говоря, существует при любых значениях параметров или, если не существует, то это сразу видно. У нас исследование модели свелось к решению краевой задачи, установить существование решения которой очень сложно, и мы
ищем параметры вместе с начальным приближением.
Всего в модели 26 параметров57, не считая пяти начальных условий на фазовые переменные (см. замечание в конце разд. 16.3). Следующие 10 из параметров не варьируются:
 Параметры производственной функции A, B, , b , найденные в процессе ее
идентификации (см. разд. 14.1).
 Ставки налогов: ns – единого социального, nd – подоходного, np – на прибыль
и nv – на добавленную стоимость. В модели им придаются значения, установленные законодательством.
 Нормы резервирования расчетных счетов производителя  s , и вкладов населения n . Они также задаются нормативно.
Остальные 16 параметров – настроечные. Их значения выбираются вместе с амплитудами и темпами автомодельного решения. К настроечным параметрам относятся:
 Bb, _ ns _ , параметризующие решение краткосрочной задачи производителя
(см. разд. 14.2).
  s ,  y , bl , характеризующие скорость обращения денег;

s , k , характеризующие сроки депозитов и кредитов соответственно;



 a , характеризующий амортизацию балансовой стоимости основных фондов;
 ,  ,  , характеризующие поведение потребителя (см. разд. 15.4.1):
, , ep1, rb,  – параметры аппроксимации УДН (см. разд. 16.2)
Следует иметь в виду, что выбор допустимых значений x  , y  , s  , λ ,  , p одновременно определяет экспоненциальную аппроксимацию экзогенных перемен-
В этот список не включены комбинации параметров модели, обозначенные для удобства одним
символом, а также несколько «устаревших» параметров, оставшихся от неудачных версий модели.
57
218
t t0 
ζ k ( λ )
ных sk (t )  sk e
. Поэтому в процессе выбора x  , y  , s  , λ ,  , p надо следить за тем, чтобы эта аппроксимация экзогенных переменных не слишком отклонялась от статистических данных.
Совсем не просто выбрать допустимую точку в пространстве параметров, которое после исключения части неизвестных с помощью равенств имеет 5-10 измерений. Здесь очень помогает разработанная в ВЦ РАН система FGNL, которая
позволяет визуализировать множества, заданные системами нелинейных неравенств и выбирать нужные значения параметров из этих множеств [37, 19]. Система FGNL была встроена в ЭКОМОД так, чтобы можно было использовать в качестве описания допустимого множества непосредственно формульную запись
системы (16.20) в Maple.
16.5. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ СИСТЕМЫ СООТНОШЕНИЙ МОДЕЛИ
16.5.1. Нормировка и отбрасывание краевых условий
Автомодельное решение (16.21) удовлетворяет условиям (16.15) - (16.17),
ζ
( λ )t t0 
k
если экзогенные переменные меняются по закону sk (t )  sk e
. Фактически
экзогенные переменные изменяются во времени не экспоненциально, а значительно сложнее (см. рис. 14.3.1 - 14.3.3), поэтому надо уметь решать задачу в общем случае. Идея предлагаемого ниже метода состоит в том, чтобы искать нужное решение как ограниченную поправку к автомодельному решению.
Чтобы реализовать эту идею, перенормируем переменные на выбранное автомодельное решение, сделав замену переменных
x(t )  xi (t ) e
t t0  ,
ξ j ( λ )
y j (t )  y j (t ) e

η j ( λ ) t t0
,
sk (t )  sk (t ) e
t t0  .
ζ k ( λ )
После этого уравнения (16.15) примут вид
d
x (t )  F   x (t ), y (t ), s (t )  ,
dt
0  G  x(t ), y(t ), s(t )  ,
(16.22)
где функции s (t ) заданы экзогенно. Индекс «*» означает, что в этой системе параметры и темпы роста автомодельных решений взяты из допустимого набора
x  , y  , s  , λ ,  , p .
Преобразованные неравенства (16.17) оставляем просто для контроля. Если
найденное решение не удовлетворяет им, то радо либо искать другой набор
x  , y  , s  , λ ,  , p , либо объяснять, почему имеет смысл остановиться на решении,
не удовлетворяющем некоторым неравенствам.
Главная трудность краевой задачи в том, что система (16.22) крайне неустойчива58 относительно возмущений краевых условий. Эта особенность задач
оптимального экономического роста обсуждалась в разд. 12.5. Чтобы задача
оставалась корректной, надо научиться строить ограниченные решения системы
S . В рассмотренном простом примере (12.6) ограниченное решение было единственным. В общем случае ограниченное решение не единственно. Можно было
бы воспользоваться этой свободой, чтобы пытаться удовлетворить граничным
условиям при t  T . Но мы уже достаточно подробно объяснили, что граничные
условия на конце планового периода искусственны. Поэтому мы предлагаем рас58
Период планирования [t0 , T ] составляет 25 кварталов, а действительные части нескольких кор-
ней линеаризованной системы оказываются в диапазоне
219
10  50 квартал1 .
порядиться произволом в выборе ограниченного решения, чтобы верифицировать
модель по отчетным данным о статистических аналогах переменных и параметров модели.
Итак, мы предлагаем следующую постановку задачи: найти ограниченные
решения системы (16.22) наиболее близкие к статистическим данным по
определенному критерию. Заметим, что такая постановка не совсем игнорирует
исходные граничные условия. Ограниченность мы определяем относительно автомодельного решения, которое удовлетворяет краевой задаче при экспоненциальной аппроксимации экзогенных переменных.
16.5.2. Переход к дискретному времени и гомотопия экзогенных
переменных
Статистические данные представляются в дискретном времени обычно с периодичностью месяц, квартал и год. Чтобы использовать их для определения экзогенных переменных модели и для оценки адекватности модели, надо либо интерполировать ряды этих данных, либо дискретизировать модель. Пробные расчеты показали, что второй путь и проще, и продуктивнее.
Дискретизацию надо проводить с шагом, равным периодичности статистических данных, а он оказывается очень большим – 1 квартал. Такова периодичность
представления данных о ВВП и валовом накоплении. Большинство других данных
поступают ежемесячно, поэтому в будущем мы собираемся перейти к дискретному времени с шагом 1 месяц. Но тогда в модели придется описывать выпуск продукта не величиной ВВП, а величиной «объем производства» и вводить в рассмотрение текущие производственные затраты продукта.
Если шаг дискретизации велик, то большое значение имеет выбор разностной схемы. В численных экспериментах с моделью испытывались разные схемы
разностной аппроксимации производных:
d
x (t )  x (t  1)  x (t ) ;
 явная –
dt
d
x (t )  x (t )  x (t  1) ;
 неявная –
dt
 смешанная, в которой в зависимости от собственных значений линеаризованной системы для разных переменных и даже на разных шагах по времени применяются то явная, то неявная схемы;
 интегральная, основанная на интегральном представлении ограниченных решений линеаризованной системы.
Экспериментально обнаружено что система, которая имеет решение, хорошо
и устойчиво воспроизводящее наблюдаемую динамику, получается только при
применении интегральной или неявной схем. Обе схемы приводят к сходным результатам, но неявная схема намного проще интегральной, поэтому мы остановились на дискретизации по неявной схеме. Тому, что неявная схема дискретизации лучше явной, можно дать такое объяснение. В модели фазовые переменные
планируются экономическими агентами вперед по информации о текущем состоянии. В дискретном времени процедура планирования агентов соответствует
именно неявной схеме.
После дискретизации по неявной схеме система (16.22) приобретает вид
x(t )  x(t  1)  F   x(t ), y(t ), s(t )  ,
0  G  x(t ), y(t ), s(t )  ,
t  1, 2,..., T .
(16.23)
Задача состоит в том, чтобы найти решения системы (16.23), которые отличаются
от x  , y  не больше, чем на порядок. Предложенный нами метод гарантирует по220
лучение ограниченных в этом смысле решений и одновременно идентифицирует
параметры модели.
По построению пара x(t )  x , y(t )  y является решением системы (16.23)
при s (t )  s  . Однако чаще всего не удается вычислить решение системы (16.23)
при заданной экзогенной переменной s (t ) , приняв x(t )  x , y(t )  y в качестве
начального приближения. Поэтому мы использовали метод погружения. Нужные
значения s (t ) были соединены с «удобными» s  кривой в пространстве последовательностей (гомотопией):
su (t )  (1  u ) s  u s (t ) .
Подставляя su (t ) в систему (16.23) вместо s (t ) , получаем
xu (t )  xu (t  1)  F   xu (t ), yu (t ), su (t )  , 0  G  xu (t ), yu (t ), su (t )  , t  t0,..., T . (16.24)
Очевидно, что x0 (t )  x  , y0 (t )  y  – решение системы при u  0 , а при u  1 величины x (t )  x1 (t ) , y (t )  y1 (t ) удовлетворяют (16.23). Метод решения состоит в последовательном увеличении параметра u по следующей индуктивной схеме.
 Вначале полагаем u0  0 . При этом значении параметра гомотопии u решение
xu0 (t )  x , yu0 (t )  y известно.

Пусть на шаге n  0 для un  1 известно решение xun (t ) , yun (t ) . Используя это
решение как начальное приближение, пытаемся решить уравнение при u  1 .
Если это удается сделать, то задача решена. Если нет, – пытемся найти ре1 u 1 3u
шение при u   n ,  n ,... приближающихся к un , каждый раз используя в
2 2 4
4
качестве начального приближения xun (t ) , yun (t ) . Первое значение в ряду проб-
ных u , при котором удается получить решение принимается за un1
Обычно для решения задачи требовалось от 1 до 10-15 шагов по u , что занимало от 5 до 30 минут (на компьютере с тактовой частотой 1.5Ггц и оперативной
памятью 512 Мб). Если решение не находится за один шаг, то обычно обнаруживается одно критическое значениие параметра гомотопии u , около которого происходит значительная перестройка структуры решения и шаг по u сильно дробится.
16.5.3. Поиск решения с одновременной идентификацией
Главная процедура предложенного алгоритма – решение системы (16.24)
при фиксированном u . Она сочетает итерации метода Ньютона и метода минимизации невязки. Пусть мы нашли приближение xu (t ), yu (t ) решения системы (16.24).
Из точки xu (t ), yu (t ) делаем один шаг по методу Ньютона, и получаем новое приближение xu (t ), yu (t ) как решение линейной системы
221
xu (t )  xu (t  1)  F   zu (t )  
0  G   zu (t )  
F 
F 
 zu (t )    xu (t )  xu (t )  
 zu (t )    yu (t )  yu (t )  ,
x
y
G 
G 
 zu (t )    xu (t )  xu (t )  
 zu (t )    yu (t )  yu (t )  ,
x
y
zu (t )  xu (t ), yu (t ), su (t )
t  t0  1, t0  2 .. T .
Эту систему можно написать заранее и аналитически исключить yu (t ) с помощью
второго уравнения. Тогда для определения xu (t ), yu (t ) получится система
xu (t  1)  A( zu (t ))  xu (t )  f ( zu (t )) , yu (t )  B( zu (t ))  xu (t )  g( zu (t )) t  t0, .. T .
(16.25)
Системе (16.25) не хватает dim( xu )  10 краевых условий. Эту степень свободы мы используем, чтобы уменьшить невязки равенств (16.24) на решении
xu (t ), yu (t ) и одновременно приблизить это решение к статистическим показателям. Именно, мы находим граничные условия для xu (t ) , при которых достигается
минимум взвешенной суммы невязок системы (16.24) и коэффициентов Тэйла
(14.4) близости выбранных компонент xu (t ), yu (t ) их статистическим аналогам.
Минимум ищется методом сопряженных направлений в варианте, изложенном в
[38:стр. 190]. Неудачей поиска решения считается сильное увеличение невязки
xu (t ), yu (t ) по сравнению с невязкой приближения xu (t ), yu (t ) . При неудаче уменьшается параметр гомотопии u . Удачным окончанием процесса поиска решения
считается достаточная малость невязки и достаточно быстрое ее уменьшение за
счет ньютоновского шага при фиксированных граничных условиях.
В реализации описанный процедуры есть существенная особенность. Система разностных уравнений в (16.25) сильно неустойчива. В выражение xu (t0)
через xu (T ) входят коэффициенты порядка 1050  1070 , которые получаются в результате сложений и умножений величин порядка единицы. Чтобы достаточно
надежно определить большие величины через малые, расчеты пришлось вести с
высокой точностью. Фактически мы вели расчеты с точностью 50-100 знаков после
запятой и периодически проверяли их контрольными расчетами с еще большим
числом знаков59.
Полученные выражения, однако, нельзя было использовать для минимизации невязок – слишком большими получались градиенты. Поэтому перед минимизацией решения регуляризировалось – из 20 начальных и конечных значений
xu (t ) выбирались 10 таких, через которые остальные значения выражались60 с коэффициентами порядка 1. Выражение через такие параметры означает, что мы
просматриваем именно ограниченные решения системы (16.25).
В системе Maple нет фиксированных форматов чисел с плавающей точкой типа float, double и
т. п. Расчет ведется либо в рациональных числах с абсолютной точностью, либо в числах с плавающей точкой с произвольно заданным числом знаков.
60 Это всегда можно сделать, если определяемое системой (16.25) линейное многообразие проходит не слишком далеко от нуля.
59
222
Глава 17. Результаты численных экспериментов с моделью
17.1. КАЧЕСТВЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
По отдельности качественные результаты, полученные в численных экспериментах с различными вариантами модели, уже обсуждались выше – там, где
мы ссылались на результаты пробных расчетов. Здесь приведем сводку этих результатов.
 Предложенная модель межвременного равновесия хорошо воспроизводит
сложную картину несглаженных квартальных статистических рядов основных макроэкономических показателей экономики России в период 2000 – 2005гг. При этом
использование всех обсуждавшихся и еще многих опробованных, но не упомянутых выше вариантов описания дает качественно худшее соответствие. Говоря
о вариантах, мы имеем в ввиду альтернативные версии как основных элементов
описания: ограничений, функционалов и взаимодействий агентов, так и вспомогательных элементов: вида терминальных условий, способов регуляризации УДН и
способов дискретизации дифференциальных уравнений.
 Среди опробованных альтернатив следует особо выделить альтернативы
регуляризации УДН для накопленных капиталовложений (см. разд. 16.2.2). Эти
альтернативы отвечают реализации четырех возможных оптимальных режимов
распределения капиталовложений между финансовым и реальным секторами. В
одном режиме вложения делаются в оба сектора, в двух других – только в один из
секторов, а в последнем режиме вложения не делаются вообще (см. разд. 15.3.5).
Как уже говорилось, эволюция российской экономики описывается только режимом, в котором собственники вкладывают капитал лишь в финансовый сектор, а у
реального сектора нет собственного капитала. Конечно, это не означает, что у реального сектора нет активов. Просто активы создаются не за счет финансирования из прибыли, а за счет привлечения средств в виде кредитов.
Таким образом, расчеты по модели показали, что несмотря на видимое
улучшение финансового положения предприятий реального сектора после кризиса 1998г, до сих пор фактически сохранилось характерная для докризисной экономики концентрация средств в финансовом секторе. Заметим, что, не имея модели, практически невозможно изучать распределение капитала из-за крайней запутанности отношений собственности в России [54], а также из-за несоответствия
балансовой стоимости основных фондов реальной ценности этих фондов (см.
разд. 14.1.1).
 Полностью оправдало себя введение в модель экономического агента «Собственник», поведение которого описывается распределением капиталовложений с
целью максимизировать простой линейный функционал ожидаемой величины чистых иностранных активов (15.56). Такое описание позволило не только выделить
распределение капиталовложений между секторами, но и получить количественно
верную оценку вывоза капитала (см. ниже).
 При изучении вывоза капитала были использованы несколько вариантов модели. В принятом варианте описания внешней торговли (разд. 15.5.4) экспортер
ввозит валюту на сумму необходимую для того, чтобы оплатить по курсу внутреннюю стоимость экспортного продукта. Сверх этого у экспортера остается значительная прибыль в валюте, которая в модели не отражается. В другом варианте
описания внешней торговли экспортер конвертирует эту прибыль в рубли и предает ее как заданный экзогенно поток в доходы собственника. Этот вариант дал
неудовлетворительные результаты. Их можно интерпретировать, как подтверждение гипотезы о том, что фактическая прибыль от внешнеторговой деятельности не
попадает в Россию, а сразу оседает за границей. Впрочем, надо иметь в виду, что
223
описание механизмов внешнеторговой деятельности в модели нуждается в значительном усовершенствовании.
 Модель отражает характерное для современной российской экономики различие средних темпов роста макроэкономических показателей. Например, в основном расчетном прогнозе (см. ниже) реальный ВВП растет со средним темпом
2.09% в кв., валовые накопления – со средним темпом 4.98% в кв., кредиты – со
средним темпом 6.44% в кв., депозиты – со средним темпом 8.21% в кв. Заметим,
что реальный ВВП и валовые накопления – величины одной размерности (так же
как кредиты и депозиты), а в начальном приближении к решению (автомодельном
решении) темпы роста величин одинаковой размерности одинаковы. К тому же экзогенный прогноз чистого экспорта и мировых цен на экспортный продукт, по существу, был стационарным61 (см. рис. 14.3.2).
 К сожалению, из результатов анализа модели приходится сделать вывод, что
рост российской экономики обусловлен не столько внутренними стимулами,
сколько хорошей конъюнктурой внешнего рынка. К этому выводу приводит сравнение следующих двух версий модели: в первой – основной – чистый экспорт прогнозировался в абсолютных величинах, во второй – пробной – прогнозировалась
как экзогенная величина доля чистого экспорта в ВВП. Расчеты по второй версии
приводят к совершенно неудовлетворительным результатам.
 Модель дала не очень оптимистический прогноз развития российской экономики: замедление темпов роста ВВП (см. рис. 17.3.1) и стабилизацию инфляции
на достаточно высоком уровне при сохранении стабильной внешнеэкономической
конъюнктуры. Правда, этот прогноз не учитывал перемен последних лет: удвоения мировых цен на нефть, увеличения государственных расходов в рамках национальных программ и компенсаций последствий непродуманных реформ, бурного
развития потребительского кредита.
 Описание механизма формирования теневого оборота можно считать качественно верным, поскольку оно отражает характерное для Российской экономики
положение, когда санкции за нарушение налогового законодательства, хотя и не
возмещают потерь налоговых поступлений, но служат достаточной угрозой, сдерживающей теневой оборот в определенных рамках. Напомним, что полный «уход
в тень» невозможен, поскольку весь оборот обслуживается легальными деньгами
[30], но отдельные субъекты этого общего ограничения «не чувствуют», поэтому
от полного «ухода в тень» их может отвратить только угроза санкций. Количественное описание механизмов теневого оборота нуждается в усовершенствовании.
17.2. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
17.2.1. Идентификация по периоду 2000-2005гг.
Результат идентификации модели зависит от того, на каком отрезке времени
производится сопоставление результатов расчетов и их статистических аналогов,
а также от того, какие из показателей «подгоняются».
Как указывалось выше, подбор настроечных параметров производился в два
этапа: значения постоянных параметров выбирались при вычислении исходного
автомодельного решения, а свободные граничные условия – в процессе нахождения решения отвечающего фактической динамике экзогенных переменных. Для
автоматизированной идентификации по граничным условиям использовался критерий близости (коэффициенты Тэйла (14.4)) только по двум показателям – темпу
инфляции и валовому накоплению. При выборе параметров автомодельного реИспользуемые данные и расчеты относятся к периоду предшествующему удвоению мировых
цен на нефть в конце 2005г.
61
224
жима использовался обычный метод проб и ошибок, причем главное внимание
уделялось аппроксимации темпа инфляции, реального ВВП, валового накопления
и налоговых поступлений. Всего за счет выбора около 20 значений параметров и
граничных условий аппроксимировалось около 200 значений статистических аналогов модельных величин62.
Если модель хорошо воспроизводит динамику статистических показателей
на большом интервале времени, то доверие к ней возрастает, но точность с ростом интервала ретропрогноза, естественно, падает. Кроме того, возрастает вероятность того, что на интервале ретропрогноза в экономике происходили некие
структурные изменения, которые невозможно учесть в модели, во всяком случае
при постоянных значениях параметров. Поэтому к выбору интервала идентификации (ретропрогноза) следует подходить с осторожностью.
Мы рассматривали два варианта выбора интервала ретропрогноза: длинный
– 16 кварталов 2000-2005гг. и короткий – 8 кварталов 2002–2005гг. Результаты
для длинного интервала представлены на рис. 16.2.1.1 - 16.2.1.8. Черная линия на
графиках соответствует решению модели, серая – статистическим данным.
Реальный ВВП, млрд.руб.
2000 г. в квартал
Рис. 16.2.1.1
Золотовалютные резервы,
млрд.долл.
Рис. 16.2.1.4
Темп инфляции
Реальные инвестиции,
млрд.руб. 2000 г. в квартал
Рис. 16.2.1.2
Вклады населения,
млрд.руб.
Рис. 16.2.1.5
Объем ссуд производителям, млрд.руб.
Рис. 16.2.1.3
Подоходный налог,
млрд.руб. в квартал
Рис. 16.2.1.6
Доли теневого оборота
в заработной плате
в ВВП
Довольно длительное время мы по оплошности работали с неверным выраженим для поступлений налога на прибыль. В этом «варианте» динамику налогов не удавалось подогнать даже за
счет учета дополнительных механизмов, типа налоговых льгот. Этот пример, как и сравнение числа параметров и числа подлежащих аппроксимации значений показывает, что модель отнюдь не
способна воспроизвести «все, что угодно» за счет подбора значений параметров.
62
225
Рис. 16.2.1.7
Рис. 16.2.1.8
Можно отметить следующее:
 Ряды статистических данных, на которые мы обращали первоочередное
внимание: реальный ВВП (рис. 16.2.1.1), реальные инвестиции63 (рис. 16.2.1.2),
темп инфляции (рис. 16.2.1.7) воспроизводятся вполне удовлетворительно.
 На рис. 16.2.1.7 заметно изменение характера колебаний темпа инфляции:
начиная с 2003г., период колебаний увеличивается вдвое и становится равным
году. При этом модельное решение воспроизводит точно такое же изменение, хотя и приблизительно на 4 квартала раньше. Можно предположить, что модель
верно отражает некоторый сдвиг в экономике России, вызвавший указанное явление, но вследствие идеализации описываемых экономических отношений, «торопится» с его предсказанием.
 Столь хорошее соответствие динамики собираемости подоходного налога
статистическим значениям, заметное на рис. 16.2.1.6, возникает только после
сдвига решения модели на 2 квартала назад. Поскольку шаг дискретизации решения был выбран нами во многом произвольно, то мы считаем возможным при очевидном совпадении смещенного решения со статистикой совершать такие преобразования уже готового решения.
 Как уже отмечалось, ВВП, ссуды производителям, сбережения населения,
подоходный налог имеют и в реальности и на решении разные средние темпы
роста (не заданные в модели изначально). В частности, поступления подоходного
налога растут быстрее поступлений остальных налогов, и это явление модель тоже воспроизводит (см. ниже рис. 16.2.2.6, 16.2.2.8).
 В некоторых случаях, например, для кредитов (рис. 16.2.1.3), модель, верно
воспроизводя темп роста, находит неверные значения. Этого недостатка лишены
расчеты по более короткому интервалу идентификации (см. ниже). Можно предположить, что в 2000-2001 гг. произошли какие-то события, повлиявшие на выдачу
кредитов, которые, естественно, не учтены в модели.
 Прогноз золотовалютных резервов не входил в число задач, поставленных
перед моделью, поэтому решение на рис. 16.2.1.4 приведено только на том интервале, на котором известны статистические данные. Соответствие здесь тоже
хорошее, а это, в силу баланса валюты (15.76), означает, что модель правильно
оценивает ненаблюдаемую величину вывоза капитала V C ( t ) .
 На рис. 16.2.1.8 показаны доли теневого оборота в ВВП (сплошная линия) и в
зарплате (пунктир). Обычные оценки, приводимые в литературе, склоняются к более высоким цифрам: около 25% в ВВП и 40-50% в фонде заработной платы.
17.2.2. Идентификация по периоду 2002-2005гг.
На рис. 16.2.2.1 - 16.2.2.9 приведены результаты расчетов при идентификации модели по данным за 8 кварталов 2002-2005гг.
63
валовое накопление
226
Реальный ВВП, млрд.руб.
2000 г. в квартал
Рис. 16.2.2.1
Золотовалютные резервы,
млрд.долл.
Рис. 16.2.2.4
Темп инфляции
Реальные инвестиции,
млрд.руб. 2000 г. в квартал
Рис. 16.2.2.2
Вклады населения,
млрд.руб.
Рис. 16.2.2.5
Налог на прибыль,
млрд.руб. в кв.
Объем ссуд производителям, млрд.руб.
Рис. 16.2.2.3
Подоходный налог,
млрд.руб. в квартал
Рис. 16.2.2.6
Доли теневого оборота
в заработной плате
в ВВП
Рис. 16.2.2.7
Рис. 16.2.2.8
Рис. 16.2.2.9
В этой версии, как и в предыдущей, отрезок планирования составлял 24
квартала: с 2002г. по 2007г. График собираемости подоходного налога (рис.
16.2.2.6) также сдвинут на 2 квартала влево. Пунктиром на рис. 16.2.2.9, как и ранее, обозначена доля теневой зарплаты, а сплошной линией – доля теневого выпуска. Можно отметить следующее.
 Для большинства статистических аналогов, особенно для кредитов
(рис. 16.2.2.3) и депозитов (рис. 16.2.2.5), точность идентификации существенно
повышается.
 Динамика темпа инфляции (рис. 16.2.2.7) воспроизводится хуже, чем на
рис. 16.2.1.7. Видимо, структурная перестройка динамики инфляции в 2002г. требует учета более длительных факторов, чем просто начальные значения этого года.
 Результаты по теневому обороту (рис. 16.2.2.9 и 16.2.1.8) сильно различаются для разных интервалов идентификации. Это, а также, видимо заниженные
оценки этих величин, которые дает модель, показывают, что описание механизмов теневого оборота нуждается в усовершенствовании.
В связи с лучшим соответствием статистике (пожалуй, по всем переменным,
кроме темпа инфляции), именно расчет по короткому периоду ретропрогноза был
взят как основной.
227
17.3. ПРОГНОЗНЫЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
Прагматической целью вычислительных экспериментов с моделью служат
прогнозные и аналитические расчеты. Прогнозный расчет показывает, как будет
развиваться экономика при сохранении идентифицированных параметров и параметров принятого сценария изменения экзогенных переменных, а аналитические расчеты показывают, как развивалась бы экономика, если бы указанные параметры изменились. Прогноз развития российской экономики, который дает модель, уже получен выше на рис. 16.2.2.1 - 16.2.2.9 – это участки черных линий за
концами серых. Заметим, что прогнозы, использующие более длинную (рис. 16.1 16.8) и использующие более короткую базу идентификации (рис. 16.2.2.1 16.2.2.9), в целом близки друг к другу.
20%
15%
10%
5%
0%
-5%
1
6
11
16
21
26
-10%
-15%
Рис. 17.3.1
31
Основная качественная особенность этих прогнозов:
предсказание стабилизации
инфляции на уровне ~ 8% в
год и замедления темпа роста ВВП. Последнее иллюстрирует рис. 17.3.1, на котором показаны темпы роста
ВПП: статистические (тонкая
линия с маркерами) и расчетные по короткому интервалу ретропрогноза (тонкая
линия без маркеров). На том
же рисунке толстой серой и
жирной черной линиями показаны линейные тренды
статистического и расчетного
темпов роста соответственно64. Видно, что тренды идут
вниз, причем практически одинаково.
Детали прогноза сейчас не представляют особого интереса, поскольку расчеты, результаты которых приведены на рис. 16.2.2.1 - 16.2.2.9, не учитывают последних существенных изменений внешней конъюнктуры и экономической политики.
Что касается аналитических расчетов, то надо честно признать, что мы их в
больших масштабах не проводили. Мы ограничились чисто демонстрационными
примерами, необходимыми для сдачи модели заказчику. Основные усилия после
этого направлены на исследование альтернативных режимов распределения капитала (см. разд. 16.2.2, 15.3.5) и на не слишком удачные попытки построить замкнутое описание импорта.
Тем не менее, мы обсудим результат аналитических расчетов, чтобы прояснить специфику их проведения в модели межвременного равновесия. Следует
учитывать, что экономический агент так, как он описан в модели, «знает» о всех
изменениях наперед и «готовится» к ним. Поэтому вместе с изменениями будущих по отношению к моменту изменения значений переменных происходит и корректировка прошлых значений. Чтобы избежать этого эффекта, был применен
метод скользящего расчета равновесия.
Вычисление трендов только по общему участку расчета и статистики (10-18 кварталы) неустойчиво.
64
228
Он состоит в том, что для каждого момента времени решается задача на более коротком отрезке планирования (например, 8 кварталов) с фиксированными
начальными значениями фазовых переменных и при текущих значениях параметров. Из всего найденного таким образом решения нас интересует только его вторая точка: она задает начальные значения для задачи в следующий момент времени.
Составленная из таких «вторых точек» последовательность до момента времени, когда параметры меняются, совпадает с решением задачи с постоянными
параметрами. После этого момента она отличается от решения, отражая изменения в поведении агентов, планирующих свое поведение уже при новых значениях
параметров модели. Результаты применения этого метода приведены на рис.
17.3.1 - 17.3.3.
Инфляция
8
6
4
2
0
1
4
7
ЕСН
Инвестиции
10 13 16 19 22
250
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
200
150
100
50
0
1
Рис. 17.3.1
4
7 10 13 16 19 22
Рис. 17.3.2
1
4
7 10 13 16 19 22
Рис. 17.3.3
На приведенных графиках серой линией обозначено решение, полученное
при постоянной ставке единого социального налога (ЕСН), равной 30%. Черная
линия – решение скольжением, при котором в момент времени 12 ставка изменяется до 25%. Видно, что уменьшение налоговых изъятий приводит к росту инвестиций и, что более интересно, к уменьшению инфляции.
Более ясно это видно на следующих рисунках, отображающих зависимость
изменения средних по времени значений показателей в зависимости от ставок
налогов
Изменение
инфляции
120%
115%
Изменение
ВВП
110%
110%
Изменение поступлений
социального налога
108%
Изменение доли
теневой зарплаты
106%
104%
105%
Изменение
поступлений
налога на прибыль
102%
100%
Изменение инвестиций
95%
0.09
0.14
ставка подоходного налога
Рис. 17.3.4
100%
98%
0.23
0.28
0.33
ставка социального налога
Рис. 17.3.5
Видна нелинейная и даже не всегда монотонная зависимость изменения
макроэкономических показателей от параметров экономической политики (ставок
налогов). Рис. 17.3.5 показывает способность модели эффективно оценивать такие ненаблюдаемые показатели как размеры теневой экономики.
229
Заключительные замечания
Концепция межвременного равновесия при первом знакомстве вызывает
глубокий и вполне законный скепсис. Как можно строить модель на предположении о полном предвидении экономических агентов, когда даже лучшие экспертыэкономисты дают разные прогнозы и нередко все эти прогнозы оказываются ошибочными, когда множество людей страдает из-за неверной оценки последствий
своего экономического поведения? Эти вопросы, конечно, встают и у авторов, а
попытка использовать межвременное равновесие для описания реальной экономической динамики с самого начала представлялась нам очень рискованной. Но
факт остается фактом: модель межвременного равновесия работает и удивительно хорошо описывает прихотливую динамику макроэкономических показателей
российской экономики! Представляется, что объяснить успех модели, основанной
на столь странной предпосылке, как полное предвидение экономических агентов
можно следующим образом:
Во-первых, модель описывает поведение не реально делающих выбор субъектов экономики, а макроагентов. Рациональность и эффективность поведения
макроагентов достигается ценой проб и ошибок, горестных неудач и неожиданных
успехов отдельных субъектов, составляющих макроагента []. Макроагент, в отличие от субъекта, лишен воли и рефлексии. Его «интересы» – это просто вариационный принцип, выделяющий одну траекторию из многих, допускаемых технологическими, балансовыми и институциональными ограничениями.
Во-вторых, рассмотренные выше макроагенты демонстрируют свое предвидение не в реальной экономике, а в ее сильно агрегированном описании. Но сами
макропоказатели агрегированного описания существуют только при достаточно
регулярном поведении макроагентов []. Поэтому при агрегированном описании
экономики особенно опасно включать в модель систематические ошибки в прогнозах. Это соображение не противоречит предыдущему: как указывалось в [] институты жизнеспособной экономики должны быть устроены так, чтобы допускать существование информативных макропоказателей.
Третье обоснование допустимости гипотезы о полном предвидении более
формально и основывается на результатах анализа самой модели. Как уже указывалось обнаруженная сильная неустойчивостью полученной системы уравнений модели означает, что горизонт предвидения агентов может быть не слишком
большим (см. разд. 12.5).
Представляется, что еще лучше модель межвременного равновесия должна
работать на месячной статистике, на которой проявляется не только факт колебаний, но и их форма. Во всяком случае, упорные, но не слишком результативные
исследования последнего года показали, что на принятом уровне агрегирования
большего из модели получить нельзя.
Слабым местом, которое необходимо исправить, остается незамкнутость
модели. Она не позволяет, в частности, исследовать с помощью модели наиболее
животрепещущие вопросы об использовании стабилизационного фонда, роли
конъюнктуры нефтяного рынка и др. Один такой вопрос, впрочем, фактически был
исследован, когда мы решали, как задавать чистый экспорт: в абсолютном выражении или как долю ВВП. Пробные расчеты безоговорочно показали предпочтительность первого, принятого выше пути. Это можно трактовать в том смысле,
что, увы, пока экспорт определяет развитие экономики, а не наоборот. Однако замкнуть модель будет не просто, поскольку простые гипотезы мы уже пробовали, и
они не сработали.
230
Модель описанного выше типа нельзя было создать и использовать без новой технологии. Следует особо отметить, что варианты модели отвечали смене
исходных гипотез в самом начале – в описании ограничений агентов, а не как
обычно, в промежуточных выкладках или программах. У того из авторов, кто имеет наибольший опыт моделирования, даже осталось ощущение, что он в первый
раз в жизни считал ту модель, которую писал.
Надо также заметить, что представленная конструкция представляется очень
богатой. Многое в ней все еще остается не исследованным (граничные условия
роста капитала, неединственность траекторий), так что работы, пожалуй, хватит,
по крайней мере, еще на одну книгу.
231
Дополнение 1: Правила проверки размерностей
Проверке правильности размерностей подлежит система соотношений (равенств и неравенств) S , удовлетворяющая следующим условиям:
1 Соотношения системы связывают величины, которыми могут быть
1.1
числа,
1.2
постоянные параметры,
1.3
переменные (функции времени t ),
1.4
само время t , как независимая переменная.
2
Правая и левая части соотношений системы S суть выражения от величин,
образованные с помощью
2.1
арифметических операций,
2.2
элементарных функций ( max, min,ln,exp и т.п.),
2.3
функциональных символов (выражений вида f ( x(t ), y (t )) ),
d
x(t ) или по перемен2.4
операции дифференцирования (по времени
dt
ным D1 ( f )( x(t ), y(t )) ).
3 Некоторым переменным системы S приписаны базовые размерности, которые задаются просто как символы. Если система S есть каноническая форма
модели, то
3.1
независимая переменная t имеет базовую размерность время ,
3.2
запас имеет базовую размерность, указанную в заголовке балансовой группы,
3.3
поток имеет размерность65, равную базовой размерности запаса,
деленной на время .
Задача вычисления и проверки размерности состоит в том, чтобы приписать
 каждой величине, не имеющей базовой размерности,
 каждому функциональному символу,
 каждому аргументу функционального символа (формальному параметру
функции),
 каждому выражению, составленному с помощью операций 2.1-2.4,
свою размерность, равную 1 (безразмерная величина) или произведению степеней базовых размерностей так, чтобы соблюдались правила:
i. Числовые константы (кроме нуля) безразмерны.
ii. Нулевая константа может иметь любую размерность (однако вполне определенную для каждого конкретного вхождения).
iii. Размерность суммы равна размерности каждого из слагаемых, которые должны
иметь одинаковую размерность
iv. Размерность произведения равна произведению размерностей множителей.
v. Размерность степени с числовым показателем равна степени размерности аргумента.
vi. Степень с символьным показателем безразмерна. Основание и показатель такой степени тоже должны быть безразмерны.
vii. Размерность функций max, min равна размерности их аргументов, которые
должны иметь одинаковую размерность.
viii. Остальные элементарные функции безразмерны. Их аргументы также должны
быть безразмерными.
ix. Размерности обеих частей равенства или неравенства одинаковы.
65
Даже если в левой части балансового уравнения стоит нуль.
232
x. Размерность производной равна отношению размерностей дифференцируемого
выражения и переменной дифференцирования.
Эти правила привычны и естественны, однако их происхождение обсуждается редко. С математической точки зрения речь идет об инвариантности системы
S относительно группы растяжений, отвечающей независимому изменению
единиц измерения базовых размерностей. Развитие этой идеи позволяет превратить правила i – x в правила составления линейной неоднородной системы уравнений для генераторов группы. Разрешимость этой системы означает существование непротиворечивой системы размерностей [33, 75].
Пользуясь тем, что Maple различает обыкновенные и десятичные дроби, мы
предлагаем применять правило v только к показателям, выраженным обыкновенной дробью, а в экзотических случаях, когда в показателе оказывается десятичная
дробь (число типа float), применять правило vi. Тогда система для генераторов
имеет рациональные коэффициенты, и ее численное решение находится с абсолютной точностью.
Проверка размерности может проводиться на любой стадии разработки модели.
Дополнение 2: Основные структуры данных системы ЭКОМОД
1. Стандартные имена – это глобальные переменные, которые подобно библиотечным функциям имеют в системе ЭКОМОД вполне определенный
смысл. Этих имен довольно много, но, как показывает опыт, их случайное использование маловероятно. Укажем некоторые из них
1.1. INDEX – внутрисистемное имя типа symbol рабочего файла, которое определяется пользователем в начале исполнения этого файла и определяет
его положение на схеме проекта, изображенной на рис 11.2.1.
i. INDEX.mws используется как имя файла в операционной системе.
ii. Индексы файлов ЭА совпадают с индексами агентов.
iii. Блок сборки может иметь произвольный индекс.
iv. Индекс любого из остальных блоков проекта состоит из индекса его непосредственного предка и еще двух произвольных символов. Этот индекс
определят имя m-файла, из которого данный файл считывает исходные
данные L_Glob и имя m-файла, в который он записывает результат.
1.2. peri, veri, neri – определяемые пользователем обозначения текущего
времени, начального и конечного моментов. Задание peri, veri, neri
существенно для корректной работы некоторых функций ЭКОМОД. В данной модели peri := t; veri := T; neri := t0;
1.3. Списки типа list соотношений и переменных модели, составляемые
функциями ЭКОМОД. Эти списки создаются в файлах ЭА, сливаются при
сборке и потом передаются без изменений, за исключением списка
L_Variables, в который добавляются новые переменные, введенные
пользователем, и списка L_Glob, который может пополняться вручную.
i. L_Relations – список соотношений канонической формы модели,
ii. L_Variables – список имен переменных/параметров модели,
iii. L_Con – список ограничений на параметры,
iv. L_Assets – список имен активов,
v. L_Renotations – список, содержащий историю переименований переменных,
233
vi. L_Glob – список идентификаторов (в виде строк) списков, которые надо
передавать в следующий рабочий файл проекта (см. рис. 11.2.1) в виде исходных данных.
2. Признаки соотношений и переменных/параметров (не видимые на экране)
определяются при вводе некоторого соотношения одной из функций системы
ЭКОМОД. Наличие признаков не влияет на обычную работу с соотношениями66.
2.1. Признак соотношения в ЭКОМОД – это таблица, записанная как атрибут
Maple для равенства, неравенства67 или для каждого из сомножителей
УДН вида (13.1). Признак сохраняется за соотношением при всех его преобразованиях. Вывести признаки соотношений на экран можно стандартной функцией attribute или в более наглядной форме функциями
ЭКОМОД Desc или desc. Таблица признаков соотношения может содержать поля:
i. ID = уникальное имя соотношения,
ii. Origin = исходный вид соотношения,
iii. Block = индекс агента, при описании которого введено соотношение,
iv. Group = тип группы, к которой принадлежит соотношение (разд. 9.4.4),
v. Asset = название актива (только для баланса),
vi. Assettype = тип актива (только для баланса),
vii. Dim = размерность актива (только для баланса),
viii. Stock = имя запаса актива (только для баланса).
2.2. Признаки переменной/параметра тоже организованы в таблицу. Список
этих таблиц хранится как атрибут списка L_Variables. Вывести атрибуты
отдельных переменных можно функциями Desc или desc. В таблицу признаков переменной/параметра могут входить поля:
i. Type = переменная ЭА | переменная ВД | параметр,
ii. Dim = размерность переменной,
iii. Index = индекс ЭА (для переменных ЭА),
iv. Description = название, если оно задано функцией _( , ).
v. Atype = поток | запас (только для переменной, входящей в баланс),
vi. Asset = актив, к которому она относится, поток/запас (только для переменной, входящей в баланс),
vii. Tech = источник | сток (только для переменной, указанной в списке потоков группы Tech).
3. Макрос – служебный mws-файл, используемый как процедура без параметров
для стандартной, достаточно сложной обработки объектов определенного
формата, имеющих определенные имена. Обычно запускается функцией
MacroExec и ничего не выводит на экран, но при необходимости макрос может быть открыт как обычный файл и исполнен построчно, возможно, с необходимыми для конкретного случая изменениями, выполняемыми вручную. В
этом состоит его преимущество перед функцией Maple при исполнении сложной, но в общем стандартной линейной последовательности команд. Для корВ теории. Фактически наличие атрибутов может исказить работу функций map, subs, solve и др.
В частности, вместо map лучше использовать функцию ЭКОМОДа Map. Кроме того, наличие атрибутов замедляет работу, поэтому когда остается только этап численного решения, нужно стереть
атрибуты всех соотношений командой map(setat, <список соотношений>)
67 Поскольку неравенства в Maple по непонятным причинам не могут быть атрибутированы непосредственно, они хранятся в списках системы в виде множеств из одного элемента (заключены в
фигурные скобки). Атрибут такого множества и считается функциями ЭКОМОД атрибутом самого
неравенства.
66
234
ректной работы функции MacroExec при написании макроса необходимо соблюдать следующие требования:
3.1. Первой командой макроса должна быть команда MK_ERROR = false;. В
дальнейшем, если в процессе исполнения идентификатор MK_ERROR получит значение true, MacroExec прекратит выполнение макроса и выведет
на экран значение идентификатора MK_N_B.
3.2. Макрос не должен содержать команд, оканчивающихся на двоеточие. Все
команды должны завершаться точкой с запятой.
3.3. Макрос не должен содержать явно заданных строк (string). Строки следует задавать неявным образом, применяя функцию convert к выражению
типа symbol.
Дополнение 3: Пример описания блока ЭА в системе ЭКОМОД
Начало блока ЭА «Население».
> restart:
библиотеки и макросы
> with(student):
> read cat(libname[1 .. -5],`/vars.m`);
> read cat(libname[1 .. -5],`/ecomob.m`);
> macro(ify = infinity, pc = piecewise, plota = plots[animate], plota3 =
plots[animate3d], app = applyop, sop = subsop, cnv = convert, ats = attributes,ep=epsilon):
> unprotect(pi,gamma,Psi); N_B();
Это стандартное начало всех рабочих файлов Maple системы ЭКОМОД.
Maple исполняет команды в хронологической, а не текстовой последовательности,
поэтому в случае ошибки надежнее исполнить все с начала, очистив рабочую область. Это и делает первая команда.
Вторая строка – заголовок рубрики. При работе в Maple рубрики можно закрывать, чтобы убрать с экрана неактуальную в данный момент информацию. Команды рубрики «библиотеки и макросы» загружают библиотеки ЭКОМОД, вводят
несколько сокращенных обозначений, (например, «ep» вместо стандартного в
Maple обозначения «epsilon» для буквы  ) и лишают специального смысла некоторые резервированные символы Maple (например,  дальше в файле будет
просто буквой, а не 3.14159…).
peri := t; neri := t0; veri := T;
peri := t
neri := t0
veri := T
Команда задала обозначения текущего времени, начального и конечного моментов времени. Эти обозначения должны быть одинаковыми во всех файлах, относящихся к одной модели.
НАСЕЛЕНИЕ:
блок модели, описывающий в агрегированном виде деятельность
совокупности домашних хозяйств в качестве потребителей, сберегателей и источника трудовых ресурсов
> INDEX := H; NAZV := cnv(cat(INDEX,".m"),string);
235
INDEX := H
NAZV := "H.m"
Строка команд после текста заголовка специфична для блока. Она задает
имя ЭА «H» и формирует из него название рабочего файла «H.m», который передает окончательный вид соотношений блока процедурам сборки модели. Имена
INDEX, NAZV стандартные (см. Дополнение 2).
В данном блоке система ограничений описывает четыре вида деятельности населения :
Потребление
Сбережение в виде банковских депозитов
Получение доходов в виде заработной платы, государственных пособий и процента по депозитам
Предложение труда
Система ограничений
Потребление
Считаем, что купленный потребительский продукт C( t ) накапливается в запасе Q( t ) >
Balance(BAQ,`продукт`,`продукт`,m,diff(Q(t),t)=C(t)-_(`потребление`,V(t))):
d
Q( t )C( t )V( t )
dt
Здесь уже начинается ввод соотношений блока. Единственная в приведенном фрагменте команда вводит балансовую группу, состоящую в данном случае
из одного баланса запаса. Группа водится функцией Balance, аргументами которой служат:
1. внутрисистемное имя балансового уравнения – BAQ;
2. имя актива или инструмента, баланс которого вводится в модель – `продукт`;
3. размерность запаса – `продукт`;
4. тип запаса m (можно м) – материальный актив (финансовый актив обозначается ф или f, а финансовый пассив – п или p);
5. само балансовое уравнение;
6. список любого числа равенств или неравенств, связывающих запас и потоки данного балансового уравнения (в данном случае их нет).
и расходуется на потребление V( t ) пропорционально запасу.
> Tech(CON,[-V(t)],V(t)=mu*Q(t)):
V( t ) Q( t )
Функция Tech() вводит группу соотношений, описывающих технологические
ограничения на деятельность агента. Первый аргумент функции Tech() задает
мнемоническое название этой группы. В рамках системы балансов такая группа
"поглощает" потоки затрат и "порождает" потоки выпусков. Список этих потоков
(возможно, пустой), в котором потоки затрат стоят со знаком "–" , образует второй
аргумент функции Tech(). При проверке системы балансов этот список рассматривается как формальный пассив в системе оборота материального актива.
Остальные (необязательные) аргументы – это равенства или неравенства,
образующие данную группу технологических ограничений.
Покупки продукта C( t ) оплачиваются по цене py( t ) , и в результате определяется поток потребительских
расходов pC( t )
> Role(`покупатель`,y,_(`покупки продукта`,C(t)) = _(`цена продукта`,p[y](t))^(-1)*pC(t)):
236
C( t )
pC( t )
py( t )
Функция Role() вводит институциональное ограничение-равенство на действия населения в качестве покупателя. Аргументами функции Role() служат
1. название роли – `покупатель`, которое служит мнемоническим указателем, поскольку одноименные роли разных агентов описываются однотипными системами ограничений,
2. индекс блока ВД – s, в котором осуществляется данная роль,
3. список (возможно пустой) ограничений роли. Эти ограничения могут содержать только планируемые переменные агента и информационные переменные
блока ВД – s.
Можно заметить, что в приведенном отрывке в командах ввода иногда вместо простого имени переменной, скажем, С(t), стоит выражение вроде
_(`покупки продукта`,C(t)). Таким способом в системе ЭКОМОД вводятся
содержательные названия переменных и параметров. Изолированное подчеркивание «_» – это имя функции системы ЭКОМОД. Ее первым аргументом служит символ, выражающий название величины, а вторым – сама эта величина. Результатом функции служит просто ее второй аргумент, а побочным действием –
занесение названия в базу данных о величинах и соотношениях.
Сбережение
С точки зрения финансовой системы процесс сбережения представляет собой кредитование банка населением и описывается он, с точностью до обозначений, так же, как кредитование производителя банком: депози1
ты S( t ) помещаются в банк на срок
под процент rs( t ) . Депозиты растут за счет нетто-вкладов SdS( t ) .
s
> Balance(BAS,`депозиты`,`деньги`,f,diff(S(t),t) = SdS(t),-_(`(срок депозитов)^(-1)`,beta[s])*S(t) <= SdS(t)):
d
S( t )SdS( t )
dt
s S( t )SdS( t )
Депозиты S( t ) - это записи в сберкнижке или дебитной карте. Чтобы увеличить их на SdS( t ) надо внести
деньги NdS( t ) . Имея депозит, можно получить процентные платежи NrS( t )
> Role(`Кредитор`,s,SdS(t) = NdS(t),NrS(t) = r[s](t)*S(t)):
SdS( t )NdS( t )
NrS( t )rs( t ) S( t )
Видно, что по существу описание достаточно компактно. Основное место занимают комментарии, которые мы оставили, чтобы показать, наглядность и содержательность компьютерной записи модели в системе ЭКОМОД. Записывать
роль именно после баланса не обязательно. Группы можно вводить в произвольном порядке.
Баланс доходов и расходов
Считаем, что население пользуется наличностью A( t ) , которая, напомним, не отличается в модели от
остатков корреспондентских счетов в ЦБ. Запас наличности убывает за счет потребительских расходов
pC( t ) и нетто-вкладов SdS( t ) , а растет - за счет доходов. Кроме упомянутых выше процентных платежей
NrS( t ) , в модели учитываются доходы за счет зарплаты sR( t ) и трансфертов от государства SBx( t )
> Balance(FIN,`корсчет`,`деньги`,f,
diff(A(t),t) = -NdS(t)-pC(t)+sR(t)+NrS(t)+_(`субсидии населению`,SB[x](t)),0
<= A(t)):
d
A( t )NdS( t )pC( t )sR( t )NrS( t )SBx( t )
dt
237
0A( t )
Трансферты SBx( t ) не планируются населениям, а задаются государством. Содержательно этой модельной
величине отвечает сумма государственных: субсидии населению (пенсии, пособия, стипендии) и зарплаты
государственных служащих (бюджетников)
Предложение труда
Население служит источником трудовых ресурсов R( t ) . Продавая их на рынке труда по ставке заработной
платы sr( t ) , оно получает поток доходов rs( t ) (фонд заработной платы)
> Role(`продавец`,r,sR(t) = s[r](t)*R(t)):
sR( t )sr( t ) R( t )
> Tech(LAB,[R(t)],R(t)=R[r](t)):
R( t )Rr( t )
Цель деятельности потребителя => Functional,CASH
> Functional := Int((Q(t)/Q0)^(1-eta)*exp(-Delta*t)/(1-eta),t = t0 .. T): Vale(Functional);
T
( 1  )
(  t )
  Q( t ) 
e
 

  Q0 

dt

1



t0
Здесь мы не выделяем и не фиксируем поток полезных расходов. Основные деньги, тем не менее, указать
можно и нужно
> CASH := A(t);
CASH := A( t )
Функционал задачи населения не сводится к функционалу от потока полезных расходов, но задача все же
"однородна с точностью до сдвига", поэтому постановка граничных условий и вычисление капитала возможны, хотя и несколько модифицируются.
Решение задачи населения => условия оптимальности
URA,VSP;
Система ограничений имеет стандартный идентификатор L_Relations в файле любого агента. Для населения эта система имеет вид
> op(L_Relations);
d
pC( t ) d
Q( t )C( t )V( t ), V( t ) Q( t ), C( t )
, S( t )SdS( t ), { s S( t )SdS( t ) }, SdS( t )NdS( t ),
dt
py( t ) dt
NrS( t )rs( t ) S( t ),
d
A( t )NdS( t )pC( t )sR( t )NrS( t )SBx( t ), { 0A( t ) }, sR( t )sr( t ) R( t ),
dt
R( t )Rr( t )
Посмотрим, какую информацию собрала система ЭКОМОД в процессе записи ограничений.
Система L_Relations содержит Count(L_Relations);
Равенств: 9
Неравенств: 2
УДН: 0
Переменных: 16
Параметров: 2
Признаки (см. Дополнение 2) каждого уравнения сохранены в виде его атрибутов
и могут быть прочитаны функцией Desc . Например, первое уравнение имеет признаки
> op(Desc(L_Relations[1]));
238
Assettype = `м`, Group = "Баланс", Stock = Q(t), Asset = `продукт`, Origin =
`diff(Q(t),t) = C(t)-V(t)`, Dim = `продукт`, ID = BAQ
Из 16 входящих в систему L_Relations переменных VRS := sper(L_Relations): op(%);
py( t ), pC( t ), sr( t ), A( t ), sR( t ), SBx( t ), Rr( t ), NdS( t ), NrS( t ), rs( t ), S( t ), SdS( t ), R( t ), V( t ), C( t ), Q( t )
переменные с индексированными именами (5 штук) являются информационными
IVARS := select(proc (x) options operator, arrow; type(op(0,x),indexed) end
proc,VRS): op(IVARS);
py( t ), sr( t ), SBx( t ), Rr( t ), rs( t )
а остальные 11 op(rev(VRS,IVARS));
pC( t ), A( t ), sR( t ), NdS( t ), NrS( t ), S( t ), SdS( t ), R( t ), V( t ), C( t ), Q( t )
планируемыми переменными населения
Для планируемых переменных, входящих в ограничения с производными (фазовых переменных)
op(map(po,lef(L_Relations,diff),1));
A( t ), S( t ), Q( t )
строго говоря, надо задать из статистики начальные условия в момент tt0 . Однако поскольку модель воспроизводит статистические данные не совсем точно, мы считаем значения фазовых переменных в момент
t0 настроечными параметрами модели.
размерности переменных и параметров
Введенные третьими аргументами функции Balance() размерности активов позволяют вычислить размерности всех величин, входящих в систему ограничений, если эта система записана корректно. Это делается командой
Dimension(L_Relations);
Отсутствие ошибки при выполнении этой команды говорит о корректности построенной системы ограничений. Размерности переменных записываются в комментарии к ним и могут быть выведены op(map(proc
(x) options operator, arrow; bus(op(sel(Desc(x),Dim)),Dim = [x]) end
proc,VRS));
[p[y](t)] = `деньги`/`продукт`, [pC(t)] = `деньги`/`время`, Dim = [s[r](t)],
[A(t)] = `деньги`, [sR(t)] = `деньги`/`время`, [SB[x](t)] = `деньги`/`время`,
Dim = [R[r](t)], [NdS(t)] = `деньги`/`время`, [NrS(t)] = `деньги`/`время`,
[r[s](t)] = 1/`время`, [S(t)] = `деньги`, [SdS(t)] = `деньги`/`время`, Dim =
[R(t)], [V(t)] = `продукт`/`время`, [C(t)] = `продукт`/`время`, [Q(t)] =
`продукт`
Кроме размерности, в комментарии к переменным, появившимся в соотношениях, введенных с помощью функций ЭКОМОД, содержится ее название (если
оно было введено функцией _(,) ) и некоторые другие характеристики. Полностью комментарий может быть выведен функцией Desc(). Например,
> Desc(SdS(t));
[Index = H, Asset = `депозиты`, Type = "переменная агента", Dim = `деньги`/`время`, Atype = "поток"]
> Desc(mu);
[Type = "параметр модели", Dim = 1/`время`]
Список учтенных системой ЭКОМОД переменных и параметров имеет системное имя L_Variables;
[ V( t ), C( t ), Q( t ), t,  , py( t ), pC( t ), s, SdS( t ), S( t ), NdS( t ), NrS( t ), rs( t ), SBx( t ), sR( t ), A( t ), sr( t ), R( t ),
Rr( t ) ]
Этот этап просмотра, конечно, не обязателен. После задания функционала
система ограничений автоматически упрощается (см. разд. 9.5).
Упрощение ограничений => URA,VSP,Stocks,Variables;
> MacroExec(EC_Iscluch);
"Done"
> op(VSP);
239
d
pC( t ) A( t ) NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t ), R( t )Rr( t ), sR( t )sr( t ) R( t ),
 dt

pC( t )
NrS( t )rs( t ) S( t ), SdS( t )NdS( t ), C( t )
, V( t ) Q( t )
py( t )
> URA := VarCons: op(%);
d
 A( t ) NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t )
dt
d
d


0
 Q( t ) Q( t ) , 0NdS( t ) S( t ) ,
py( t )
d
t
d


 t

{ 0NdS( t )s S( t ) }, { 0A( t ) }
В результате работы макроса EC_Iscluch система ограничений
L_Relations тождественно преобразуется в две системы: список выражений исключенных лишних переменных, имеющий стандартное имя VSP, и список существенных ограничений, имеющий стандартное имя URA. Процедура исключения
лишних переменных допускает появление среди существенных ограничений равенств, содержащих производные нескольких переменных, но не допускает появления дифференциальных неравенств.
Одновременно с выделением существенных ограничений определяется и
список существенных планируемых переменных, который получает стандартное
имя Variables.
op( Variables)
Q( t ), S( t ), NdS( t ), A( t )
Среди них выделяется список фазовых переменных Stocks.
Stocks:= cL( Stocks) op( Stocks)
Q( t ), S( t ), A( t )
Итак, теперь задача состоит в том, чтобы максимизировать Functional по
переменным Variables при ограничениях URA. К этим ограничениям надо добавить терминальное условие (см. разд. 12.4).
Граничные условия роста капитала => KOT,OOM,TerCons;
> KOT := [seq(cat(a,op(0,x))(t),x = rev(Stocks,CASH))]:
> OOM := Choice(DOMEGA,Omega(t) =
cnv(zip(`*`,KOT,rev(Stocks,CASH)),`+`)+CASH):
> TerCons := [bus(Rhs(OOM),peri = neri)*exp(gamma*(veri-neri)) <=
bus(Rhs(OOM),peri = veri)];
(  ( T t0 ) )
TerCons:= [ ( aS( t0 ) S( t0 )aQ( t0 ) Q( t0 )A( t0 ) ) e
aS( T ) S( T )aQ( T ) Q( T )A( T ) ]
Команда FLAG системы ЭКОМОД, исходя из выражения функционала, списка
переменных и списков динамических и терминальных ограничений, автоматически
вводит нужный набор двойственных переменных ( 1(t ),  2(t ) ,... для равенств,
3(t ), 4(t ) ,... для неравенств и  ,.. для терминальных неравенств); выписывает
УДН и составляет функционал Лагранжа LAG.
Достаточные условия оптимальности => USOP;
> FLAG(Functional, Variables, URA, TerCons);
варьируемые перменные Variables
[ A( t ), NdS( t ), S( t ), Q( t ) ]
динамические ограничения VarCons
240
d

 A( t ) NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t )


dt
d
d


 0
 Q( t ) Q( t ) , 0NdS( t ) S( t ) ,

p
(
t
)
d
t
d


 t

y




{ 0NdS( t )s S( t ) }, { 0A( t ) } 


краевые ограничения TerCons
[ 0aS( T ) S( T )aQ( T ) Q( T )A( T )( aS( t0 ) S( t0 )aQ( t0 ) Q( t0 )A( t0 ) ) e
(  ( T t0 ) )
]
нормировка двойственных переменных ndw
1
условия доп. нежесткости
[ [  ] [ aS( T ) S( T )aQ( T ) Q( T )A( T )( aS( t0 ) S( t0 )aQ( t0 ) Q( t0 )A( t0 ) ) e
(  ( T t0 ) )
],
[  ( t ) ] [ A( t ) ], [  ( t ) ] [ NdS( t )s S( t ) ] ]
Функционал Лагранжа
T
(  )
Q( t ) 
(  t )

 Q( t ) 
e


Q0




Q0 ( 1 )



t0
  d A( t ) NdS( t )s ( t ) R ( t )r ( t ) S( t )SB ( t )

 


r
r
s
x
  dt

d

 ( t ) 
 Q( t ) Q( t )  

p
(
t
)
d
t

 
y

d
 ( t )  NdS( t ) S( t )   ( t ) ( NdS( t )s S( t ) ) ( t ) A( t ) dt
d

 t

(  ( T t0 ) )
 ( aS( T ) S( T )aQ( T ) Q( T )A( T )( aS( t0 ) S( t0 )aQ( t0 ) Q( t0 )A( t0 ) ) e
)
Команда PLAG использует формулу интегрирования по частям, чтобы избавиться от производных прямых переменных в функционале Лагранжа. Двоеточие
в конце команды означает, что ее вывод будет скрыт от глаз пользователя. Это
сделано для экономии места и удобства чтения рабочего листа.
> PLAG(LAG):
Дальнейшие преобразования заключаются в записи вариаций по переменным модели. Это делает функция VLAG. Для наглядности в условия оптимальности добавляются формальные дифференциалы тех переменных, вариацией которых получено то или иное равенство.
Не варьируем начальные значения фазовых переменных
> LAP := bus(LAP,map(`=`,bus(Stocks,peri = neri),0)):
Задача населения вогнута, поэтому необходимые условия максимальности функционала Лагранжа являются
и достаточными.
> VLAG(Variables);



(  ( T t0 ) )

],
 [  ] [ aS( T ) S( T )aQ( T ) Q( T )A( T )( aS( t0 ) S( t0 )aQ( t0 ) Q( t0 )A( t0 ) ) e


[  ( t ) ] [ A( t ) ], [  ( t ) ] [ NdS( t )s S( t ) ],
241
d
 A( t ) NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t )
dt
d
d


0
 Q( t ) Q( t ) , 0NdS( t ) S( t ) ,
py( t )
d
t
d


 t

(  )
(  )
  Q( t ) 

(  t )
(  t )
 Q( t ) 


e
e


  Q0 

Q0
d







0

 ( t )    ( t )   dQ,
Q0 ( 1 )
 Q0 ( 1 )
 dt

 ( t )
  ( t ) rs( t )  d

0
  ( t )  ( t ) s  dS, 0 
 ( t ) ( t )  dNdS,




p
(
t
)
d
t


y


 py( t )

d
d
  ( t )  p ( t ) 

 ( t )






dt y  dt
 ( T )

 dA, 0 
0 



(
t
)
  dA(T),
2



p
(
t
)
p
(
T
)


py( t )
y
y








0(  ( T ) aS( T ) ) dS(T), 0(  ( T ) aQ( T ) ) dQ(T) 


Для каждого агента мы выводим из условий оптимальности уравнение изменения собственного капитала (см. разд. 8.3). Вид нужной билинейной формы
MK( t ) определяется видом верхней подстановки, получающейся при интегрировании по частям функционала Лагранжа.
Капитал и граничные условия => USOK2
> OMK := MK(t) = -bus(rev(rev(LAP,Int),Phi1),veri=peri);
 ( t ) A( t )
OMK := MK( t )
 ( t ) Q( t ) ( t ) S( t )
py( t )
> UMK1
> SUM1
> SUM2
> UMK2
:=
:=
:=
:=
diff(OMK,peri):
sel(op(1, sel(LAG+xXxX, Int)), clis(SPS, SPH)):
sel(op(1, sel(LAP, Int)), Variables):
expand(ich(UMK1 + (0=-SUM2)+ (0=SUM1), diff(MK(t),t)));
 ( t ) sr( t ) Rr( t )  ( t ) SBx( t )
d
Q( t )
UMK2 := MK( t )



dt
py( t )
py( t )
Q( t )  (  t )

Q0 
( 1 )
 e
 Q0 
В процессе преобразований используются вспомогательные функции системы ЭКОМОД:
 ich исключает переменную из списка соотношений,
 bus совершает подстановки из списка,
 sel выделяет из списка соотношения определенного типа или содержащие
определенный элемент,
 rev удаляет из списка соотношения определенного типа или содержащие
определенный элемент.
> QMK := ich(expand(sel(USOP, dQ)), exp(Delta*t));
1
(  t)

QMK :=  e 




Q
(
t
)
d








Q0 

   ( t )    ( t )   
Q0
d
t


 

 
> UMK3 := bus(UMK2, QMK);
d
UMK3 := MK( t )
dt
d
Q( t )   ( t )    ( t )    ( t ) s ( t ) R ( t )  ( t ) SB ( t )
r
r
x

 dt
  

1
py( t )
py( t )
> OMEGA1 := Omega(t) = MK(t)/(1/p[y](t)*psi1(t));
MK( t ) py( t )
OMEGA1 := ( t )
 ( t )
242
> OMEGA2 := diff(OMEGA1, t);
 d MK( t )  p ( t ) MK( t )  d p ( t )  MK( t ) p ( t )  d  ( t ) 

 y




y
y
d
dt

 dt
 
 dt

OMEGA2 := ( t ) 

2
dt
 ( t )
 ( t )
 ( t )
> OMEGA3 := bus(OMEGA2, UMK3, ich(OMEGA1, MK(t)), NULL):
> OMEGA4 := expand(OMEGA3);
d
OMEGA4 := ( t )
dt
d
d
d

( t )  py( t )  ( t )   ( t ) 
py( t ) Q( t )  py( t ) Q( t )  dt  ( t ) 
dt
dt






sr( t ) Rr( t )SBx( t )

1
 ( t ) ( 1 )
py( t )
 ( t )
Полезным потоком следует считать стоимость фактического потребления
> OPP := PP(t) = p[y](t)*Q(t)/1*mu;
OPP := PP( t )py( t ) Q( t ) 
> OPP := PP(t) = p[y](t)*Q(t)*mu;
OPP := PP( t )py( t ) Q( t ) 
Функция MAC рекурсивно разлагает свой первый аргумент по степеням переменных, указанных остальными аргументами. Она является удобным инструментом приведения уравнений к обозримому виду:
> OMEGA := MAC(bus(OMEGA4,ich(OPP,Q(t))),Omega(t),PP(t));
d
OMEGA := ( t )
dt
  d  ( t )  ( t )   PP ( t )   d p ( t )   ( t ) d  ( t )  p ( t )  ( t )
 


 


 y 
dt
dt y 


 dt


sr( t ) Rr( t )SBx( t )  
  
 ( t )  ( 1 )
py( t )  ( t )
> MUK := [
_(`полезный поток`,PP(t)) = Rhs(OPP),
_(`внутренняя доходность`,rho(t)) = de(rhs(OMEGA),Omega(t)),
_(`1+эффективный налог`,nu(t)) = -de(rhs(OMEGA),PP(t)),
_(`косвенный доход`,f(t)) = bus(rhs(OMEGA),PP(t) = 0,Omega(t) = 0)
];
D( py )( t )  ( t )D(  )( t ) py( t )
D(  )( t ) ( t ) 

MUK :=  PP ( t )py( t ) Q( t )  , ( t )
,  ( t )
,

py( t )  ( t )
 ( t )  ( 1 )


f( t )sr( t ) Rr( t )SBx( t ) 


> VOM := expand(bus(OMEGA1,OMK));
VOM := ( t )A( t )py( t ) Q( t )
py( t )  ( t ) S( t )
 ( t )
> USOK1 := (cd@clis)(USOP, VOM,MUK):
> OOM1 := ich(OOM,CASH);
OOM1 := A( t )( t )aS( t ) S( t )aQ( t ) Q( t )
> USOK2 := subs(bus(OOM1,peri = veri),bus(OOM1,peri = neri),USOK1);
243



(  ( T t0 ) )

USOK2 :=  [  ] [ ( T )( t0 ) e
], [  ( t ) ] [ A( t ) ], [  ( t ) ] [ NdS( t )s S( t ) ],


d

 A( t ) NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t )
d
t
d
d

0 
 Q( t ) Q( t ) , 0NdS( t ) S( t ) ,
py( t )
 dt

 dt

(  )
(  )
  Q( t ) 

(  t )
(  t )
 Q( t ) 


e
e


  Q0 

Q0 
d



0 
 
 ( t )    ( t )   dQ,
Q0
(
1


)
Q0
(
1


)
d
t



 ( t )
  ( t ) rs( t )  d



0
  ( t )  ( t ) s  dS, 0 
 ( t ) ( t )  dNdS,


 py( t )

p
(
t
)
d
t


y




d
d
  ( t )  p ( t ) 

 ( t )






dt y  dt
 ( T )


 dA, 0 
0 



(
t
)
  dA(T),
2



p
(
t
)
py( T )


p
(
t
)
y


y


0(  ( T ) aS( T ) ) dS(T), 0(  ( T ) aQ( T ) ) dQ(T),
( t )A( t )py( t ) Q( t )
py( t )  ( t ) S( t )
 ( t )
, PP ( t )py( t ) Q( t )  ,
 d p ( t )   ( t ) d  ( t )  p ( t )



 y
dt y 
 dt

( t ) 
,  ( t )
py( t )  ( t )

d

  ( t )  ( t ) 


 dt

, f( t )sr( t ) Rr( t )SBx( t ) 

 ( t )  ( 1 )

> KOG := rev([seq(de(Rhs(OOM),x) = de(Rhs(VOM),x),x = Stocks)],1 = 1);
py( t )  ( t )


KOG :=  aS( t )
, aQ( t )py( t ) 
 ( t )


В разд. 7.2 было показано, что в качестве описания поведения агента имеет
смысл рассматривать лишь те решения системы условий оптимальности, для которых множитель Лагранжа  при терминальном ограничении строго положителен, т.е. терминальное ограничение активно.
коэффициенты терминального условия => USOK;
> USOK3 := bus(USOK2,bus(KOG,peri = veri),bus(KOG,peri = neri)):
> GRA1 := sel(USOK3,veri);
 ( T )
(  ( T t0 ) )

GRA1 :=  [  ] [ ( T )( t0 ) e
], 0 
  dA(T),

 py( T )





p
(
T
)

(
T
)



y
 dS(T), 0(  ( T ) py( T ) ) dQ(T) 
0  ( T )



(
T
)



Регулярное решение = терминальное условие активно
> GRA2 := app(strog,1,udg2(GRA1,1)):
> GRA3 := ifur(GRA2,Phi1,"");
из 0  (-1(T )  1p y (T ))dQ(T )
получилось 0  0
из 0  (- 2(T )  1p y (T ) / 1(T )2(T ))dS (T )
получилось 0  0
 ( T )
(  ( T t0 ) ) 
GRA3 :=  { 0
}, 0( T )( t0 ) e



p
(
T
)
y


> USOK := clis(KOG,GRA3,rev(USOK3,GRA1));
244



py( t )  ( t )
 ( T )
(  ( T t0 ) )

USOK :=  aS( t )
, aQ( t )py( t ), { 0
}, 0( T )( t0 ) e
, [  ( t ) ] [ A( t ) ],

 ( t )
py( T )

[  ( t ) ] [ NdS( t )s S( t ) ],
d
 A( t ) NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t )
dt
d
d

0 
 Q( t ) Q( t ) , 0NdS( t ) S( t ) ,
py( t )
 dt

 dt

(  )
(  )
  Q( t ) 

(  t )
(  t )
 Q( t ) 


e
e


  Q0 

Q0
d







0

 ( t )    ( t )   dQ,
Q0
(
1


)
Q0
(
1


)
d
t



 ( t )
  ( t ) rs( t )  d



0
  ( t )  ( t ) s  dS, 0 
 ( t ) ( t )  dNdS,




p
(
t
)
d
t
p
(
t
)


y
y




d
d
  ( t )  p ( t ) 

 ( t )




p ( t )  ( t ) S( t )


dt y  dt

 dA, ( t )A( t )p ( t ) Q( t ) y
0 



(
t
)
,
2
y

py( t )
 ( t )


p
(
t
)
y


d
 d p ( t )   ( t ) d  ( t )  p ( t )
  ( t )  ( t ) 



 y
y
d
t
d
t
d
t




PP ( t )py( t ) Q( t )  , ( t ) 
,  ( t ) 
,
py( t )  ( t )
 ( t )  ( 1 )




f( t )sr( t ) Rr( t )SBx( t ) 


Полученные выражения для капитала и коэффициентов терминального
условия ясно показывают, что все двойственные переменные естественно поде ( t )
лить на положительную величину
, отвечающую балансу основных денег.
py( t )
Для перенормированных двойственных переменных мы сохраняем исходные обо ( t )
значения, а саму выделенную величину
переименуем в ( t ) . Первые мноpy( t )
жители УДН можно также поделить на эту положительную величину.
Нормировка двойственных => USOP2;
> hav(USOK,cat(d,op(0,CASH)));
  ( t )  d p ( t )  d  ( t )







dt y  dt

 dA
0 



(
t
)
2

py( t )


p
(
t
)
y


> 1/p[y](t)*psi1(t);
 ( t )
py( t )
> SPF := []:
> SP := rev(clis(SPS, SPH), psi1):
> PSP1 := zip(`=`, SP, zip(`*`, SP, [xi(t)$nops(SP)])):
> PSP2 := clis(PSP1,ich(1/p[y](t)*psi1(t) = xi(t),psi1(t))):
> PSP := clis(PSP2, bus(PSP2, peri=neri), bus(PSP2, peri=veri)):
> USOP1 := ich(Vale(bus(USOK,PSP,NULL)),-3,diff(xi(t),t)):
> USOP2 := bus(USOP1,zip(`=`,sed(USOP1),bus(sed(USOP1),xi(t) = 1)));
245






(  ( T t0 ) )
USOP2 :=  aS( t ) ( t ), aQ( t )py( t ), { 0( T ) }, 0( T )( t0 ) e
, [  ( t ) ] [ A( t ) ],


[  ( t ) ] [ NdS( t )s S( t ) ],
d
 A( t ) NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t )
dt
d
d

0 
 Q( t ) Q( t ) , 0NdS( t ) S( t ) ,
py( t )
 dt

 dt

(  )
(  )
  Q( t ) 

d
(  t )
(  t )
2
 Q( t ) 

e
e
( t ) py( t ) ( t ) py( t )  ( t ) py( t ) 


  Q0 
Q0
d
t






0 
 
( t ) py( t )  
 dQ,
 Q0 ( 1 )

Q0
(
1


)
p
(
t
)
y



 ( t ) p ( t )2 ( t ) d p ( t )  ( t ) p ( t )






y
y



dt y 
d







(
t
)



(
t
)
p
(
t
)


y





p
(
t
)
d
t

d


y


0 ( t ) rs( t )  ( t )  ( t )

py( t )
 dt








 ( t ) ( t ) s  dS, 0( ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ) dNdS,


d
 ( t )  p ( t )  ( t ) p ( t )2 ( t ) d p ( t )  ( t ) p ( t )







y
y


dt y 
dt y 


 dA,
0 



(
t
)

(
t
)
2

py( t )


p
(
t
)
y


( t )A( t )py( t ) Q( t ) ( t ) S( t ), PP ( t )py( t ) Q( t )  ,
d
2
( t ) py( t ) ( t ) py( t )  ( t ) py( t )
d
d
 t


( t )  py( t ) 
py( t )
d
 dt

( t )
,
dt
py( t )
d
2

( t ) py( t ) ( t ) py( t )  ( t ) py( t )


d
t



( t ) py( t ) 

py( t )

 ( t )
, f( t )sr( t ) Rr( t )SBx( t ) 
( t ) py( t )  ( 1 )


Двойственные переменные сами по себе нам в модели не нужны, поэтому
мы их, по возможности, исключаем. Исключение двойственных переменных можно проводить с помощью специализированной функции idw, также как и с помощью обычных функций исключения переменных ich, ifur.
Исключение двойственных => USOP4;
> INF := diff(p[y](t),t) = _(`темп инфляции`,iota(t))*p[y](t);
d
INF := py( t )( t ) py( t )
dt
> DWOY := MAC(clis(INF,bus(USOP2,INF)),op(SPS));


d
(  ( T t0 ) )

DWOY :=  py( t )( t ) py( t ), aS( t ) ( t ), aQ( t )py( t ), { 0( T ) }, 0( T )( t0 ) e
,
 dt

[  ( t ) ] [ A( t ) ], [  ( t ) ] [ NdS( t )s S( t ) ],
 d A( t ) NdS( t )s ( t ) R ( t )r ( t ) S( t )SB ( t )p ( t ) Q( t )   d Q( t )  p ( t )



 y
r
r
s
x
y
dt

 dt

0 
,
py( t )
d
0NdS( t ) S( t ) ,
d
 t

246
(  )
Q( t ) 
dQ 

 Q0 
0dQ ( t )  ( t ) py( t )dQ ( t ) py( t )  dQ py( t ) ( t ) ( t )
Q0
e
(  t )
,
d
0dS ( t ) rs( t )dS   ( t )  ( t )dS  ( t ) ( t ) ( t )dS  ( t ) ( t ) s,
 dt

0dNdS ( t )dNdS  ( t ) ( t )dNdS  ( t ) ( t ), 0( t ) dA ( ( t ) ( t ) ),
d
( t )A( t )py( t ) Q( t ) ( t ) S( t ), PP ( t )py( t ) Q( t )  , ( t )( t ) ( t ),
dt



( t ) ( t )

 ( t )
, f( t )sr( t ) Rr( t )SBx( t ) 

 ( 1 )

> idw(dA,phi4(t)):
 ( t )( t )
> idw(dNdS, phi3(t)):
 ( t )
dNdS ( t )dNdS  ( t ) ( t )
dNdS ( t )
> USOP4 := MAC(DWOY,p[y](t));


d
(  ( T t0 ) )

USOP4 :=  py( t )( t ) py( t ), aS( t ) ( t ), aQ( t )py( t ), { 0( T ) }, 0( T )( t0 ) e
,
 dt

[ ( t ) ] [ A( t ) ], [ 1 ( t ) ] [ NdS( t )s S( t ) ],
d
 A( t ) NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t )
dt
d
d

0 
 Q( t ) Q( t ) , 0NdS( t ) S( t ) ,
py( t )
 dt

 dt

(  )
Q( t ) 
(  t )
dQ 
e

Q0


0
( t ) dQ ( ( t )( t ) ) py( t ),
Q0
d
0( t ) dS  rs( t )  ( t )  ( t ) ( t )ss  ( t ) , ( t )A( t )py( t ) Q( t ) ( t ) S( t ),
d

 t





d
( t ) ( t )

PP ( t )py( t ) Q( t )  , ( t )( t ) ( t ),  ( t )
, f( t )sr( t ) Rr( t )SBx( t ) 

dt
 ( 1 )

Q( t )
Вместо дифференциального уравнения для ( t ) и конечного выражения для
удобнее получить дифференциальное уравнение для запаса Q( t ) :
> UQ1 := hav(USOP4, dQ);
(  )
Q( t ) 
dQ 

 Q0 
UQ1 := 0
Q0
e
(  t )
( t ) dQ ( ( t ) ( t ) ) py( t )
> UQ2 := div(ich(UQ1, sel(Rhs(UQ1), exp(-Delta*t))),dQ):
> UQ3 := bus(diff(UQ2, t), INF):
> UQ4 := MAC(div(UQ3, UQ2), diff(Q(t),t), diff(xi(t),t));
d
d
d
d
  Q( t ) 
 ( t ) ( t ) ( t )( t )2 ( t ) ( t ) 
( t )
dt
dt
   dt

 dt

UQ4 :=  

Q( t )
( t )( t )
( t )
> USOP5 := bus(USOP4, UQ1=UQ4);
247


d
(  ( T t0 ) )
USOP5 :=  py( t ) ( t ) py( t ), aS( t ) ( t ), aQ( t )py( t ), { 0( T ) }, 0( T )( t0 ) e
,
 dt

[ ( t ) ] [ A( t ) ], [ 1 ( t ) ] [ NdS( t )s S( t ) ],
d
 A( t ) NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t )
d
t
d
d

0 
 Q( t ) Q( t ) , 0NdS( t ) S( t ) ,
py( t )
d
t
d


 t

d
d
d
d
  Q( t ) 
  ( t )  ( t ) ( t ) ( t )2 ( t )  ( t ) 
( t )
d
t
d
t
d
t
d
t
  



 

,
Q( t )
( t ) ( t )
( t )
d
0( t ) dS  rs( t )  ( t )  ( t ) ( t )ss  ( t ) , ( t )A( t )py( t ) Q( t ) ( t ) S( t ),

 dt





d
( t ) ( t )
PP ( t )py( t ) Q( t )  , ( t )( t ) ( t ),  ( t )
, f( t )sr( t ) Rr( t )SBx( t ) 

dt
 ( 1 )

1
Введем новую переменную q( t ) вместо ( t ) : ( t ) q( t ) ( t )
> USOP6 := ich(USOP5,-3,diff(xi(t),t)):
> USOP7 := Vale(ich(clis(mu+rho(t)-iota(t) = 1/q(t),USOP6),rho(t)));



1
d
USOP7 :=  ( t )
 ( t ) , py( t ) ( t ) py( t ), aS( t ) ( t ), aQ( t )py( t ), { 0( T ) },

q
(
t
)
d
t

0( T )( t0 ) e
1
, 
 ( t )  [ A( t ) ], [ 1 ( t ) ] [ NdS( t )s S( t ) ],
 q( t )

(  ( T t0 ) )
d
 A( t ) NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t )
dt
d
d


0
 Q( t ) Q( t ) , 0NdS( t ) S( t ) ,
py( t )
d
t
d


 t

d
d


  Q( t ) 
q( t )




d
t
1
d
t
1




2
 q( t )

  ( t ) 
 ( t )  ( t ) 


(
t
)

 ( t ),
2

Q( t )
q( t )
q( t )
 q( t )



d
1
0( t ) dS  rs( t )  ( t )  ( t ) 
 ( t ) ss  ( t ) ,
d
t
q
(
t
)






( t )A( t )py( t ) Q( t ) ( t ) S( t ), PP ( t )py( t ) Q( t )  ,
d
1
( t )
 ( t )  ( t ),
dt
 q( t )




1
 ( t )
, f( t )sr( t ) Rr( t )SBx( t ) 

q( t )  ( 1 )

Теперь ( t ) больше не нужно.
> USOP8 :=
MAC(Ich(USOP7,diff(A(t),t),diff(psi2(t),t),diff(q(t),t),diff(S(t),t)),psi2(t)
,q(t),Q(t),xi(t));
248



1
d
USOP8 :=  ( t )
 ( t ) , py( t ) ( t ) py( t ), aS( t ) ( t ), aQ( t )py( t ), { 0( T ) },
q
(
t
)
d
t

(  ( T t0 ) )  1
0( T )( t0 ) e
, 
 ( t )  [ A( t ) ], [ 1 ( t ) ] [ NdS( t )s S( t ) ],
 q( t )

d
d
d


A( t )py( t ) Q( t )   Q( t )  py( t )NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t ), S( t )NdS( t ),
dt
d
t
d
t


   d Q( t ) 

 


  dt

d
d
1

q( t )1
  q( t ),  ( t )
 ( t ) s   ( t )rs( t )s,
dt
Q
(
t
)
d
t
q
(
t
)




d
( t )
( t )A( t )py( t ) Q( t ) ( t ) S( t ), PP ( t )py( t ) Q( t )  , ( t )(  ( t ) ) ( t )
,
dt
q( t )



1
 ( t )
, f( t )sr( t ) Rr( t )SBx( t ) 
q( t )  ( 1 )

> sel(USOP8,xi);
 { 0( T ) }, d ( t )( ( t ) ) ( t ) ( t ) 


dt
q( t ) 

> USOP9 := rev(USOP8,xi):
Выделяем ядро системы соотношений.
> VKOT, USOP10 := selectremove(has,USOP9,KOT):
> VSP := Clis(VKOT,VSP):
> MUK:
> VMUK, USOP11 := selectremove(has,USOP10,LHS(MUK)):
> VSP := Clis(VMUK,VSP);
1
1
VSP :=  ( t )
 ( t ) , PP ( t )py( t ) Q( t )  ,  ( t )
, f( t )sr( t ) Rr( t )SBx( t ),

q
(
t
)
q
(
t
)

(
1 )

d
aQ( t )py( t ), aS( t ) ( t ), pC( t ) A( t ) NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t ), R( t )Rr( t ),
d
 t

pC( t )
sR( t )sr( t ) R( t ), NrS( t )rs( t ) S( t ), SdS( t )NdS( t ), C( t )
, V( t ) Q( t ) 

py( t )

> URA := USOP11;


d
(  ( T t0 ) )  1
URA :=  py( t ) ( t ) py( t ), 0( T )( t0 ) e
, 
 ( t )  [ A( t ) ],
d
t
q
(
t
)



[ 1 ( t ) ] [ NdS( t )s S( t ) ],
d
d
d
A( t )py( t ) Q( t )   Q( t )  py( t )NdS( t )sr( t ) Rr( t )rs( t ) S( t )SBx( t ), S( t )NdS( t ),
dt
d
t
d
t


d
   Q( t ) 

 


  dt

d
1
d




 ( t )
 ( t ) s   ( t )rs( t )s, q( t )1
  q( t ),
dt
q
(
t
)
d
t
Q
(
t
)







( t )A( t )py( t ) Q( t ) ( t ) S( t ) 

В результате решения задачи оптимального управления мы получаем систему соотношений, описывающую поведение населения. Она для экономии места
опущена. На последнем шаге работы с моделью населения мы делаем единственную операцию – приписываем всем планируемым и дополнительным переменным населения индекс H , который служит кратким именем агента «Население» в модели (он был задан в начале файла).
> Indexation([iota(t)],[]);
Равенств: 19
249
Неравенств: 0
УДН: 2
Переменных агента: 21
информационных переменных: 5
параметров модели: 6
Итого переменных и равенств: 21 = 21
0.120
1.061
Warning, новая переменная (или функция) gamma с размерностью 1/время
Функция, производящая индексацию, одновременно проверяет размерность
и выводит краткую информацию о системе, описывающей поведение населения.
В данном случае при индексации мы указываем, что величину ( t ) – темп инфляции – индексировать не надо, поскольку она одинакова для всех агентов.
В конечном итоге получается система соотношений (15.73) - (15.74).
Дополнение 4: Пример описания блоков ВД в системе ЭКОМОД
Описания отдельных агентов объединяются в замкнутую модель в специальном рабочем листе сборки модели.
Применяемая ниже функция SborA() считывает файл с именем ее аргумента, созданный при исполнении файла с описанием поведения соответствующего
агента. Она присоединяет индексированное описание агента к общему списку соотношений ALL, одновременно объединяя комментарии к переменным и создавая
полный список индексов агентов EA и список индексов взаимодействий IA, упоминавшихся в ролях агентов. Процедура выдает на печать списки существенных соотношений URA (в данном случае вывод соотношений был скрыт), но включает в
общую систему, в том числе, и выражения лишних переменных VSP.
Описания поведения агентов могут добавляться в общий список в произвольном порядке.
Производитель
> SborA(J):
Банк
> SborA(B):
Собственник
> SborA(C):
Население
> SborA(H):
Государство
> SborA(G):
ЦБ
> SborA(CB):
Внешняя торговля
> SborA(F):
После сборки описаний агентов система ЭКОМОД позволяет вывести список
всех взаимодействий, которые упоминались в этих описаниях. Это делает функция Inters(), вызванная без параметров.
> IA := Inters();
У переменных встречаются следующие индексы взаимодействий: [l, y, r, p, s, n,
b, w, x, g]
В заголовках ролей встречаются следующие индексы взаимодействий: [l, n, y, x,
p, s, b, w, r, g]
IA := [ l, y, r, p, s, n, b, w, x, g ]
Приведем описание только одного из блоков ВД. В файле сборки такие описания следуют подряд в произвольном порядке. Они используют либо уже знако250
мую функцию Balance(), либо специальную функцию Ia(), которая просто регистрирует соотношения, проверяя только общематематический синтаксис.
Рынок депозитов s
> Inters(s);
список соотношений роли s
KdSB( t )SdSB( t )
rSB( t )rs( t ) SB( t )
SdSH( t )NdSH( t )
NrSH( t )rs( t ) SH( t )
список переменных роли s
rs( t )
Функция Inters() с индексом взаимодействия в качестве параметра выдает
все ранее записанные соотношения, в которых фигурирует этот индекс. Выдача
эта делается просто для справки, чтобы напомнить разработчику использованные
выше обозначения. (Надо иметь в виду, что работа со сложным блоком агента
может продолжаться долгое время, и за это время забываются все обозначения в
других блоках).
> Balance(BALs,`депозиты`,`деньги`,f, 0=SdS[B](t)-SdS[H](t)):
0SdSB( t )SdSH( t )
> Balance(BAKs,`корсчет`,`деньги`,f, 0=-KdS[B](t)+NdS[H](t)):
0KdSB( t )NdSH( t )
> Balance(BAKrs,`корсчет`,`деньги`,f, 0=rS[B](t)-NrS[H](t)):
0rSB( t )NrSH( t )
Это балансы взаимодействий вида (9.12).
> Renote(S[B](t) = S(t)):
Для величины объема депозитов S[B](t) вводим безындексное обозначение S(t)с помощью функции Renote(). Эта функция заменяет обозначения во
всей модели в соответствии с равенствами, записанными в качестве аргументов
функции. Функция Renote() запоминает все сделанные ею когда-либо замены и
не дает обозначать разные переменные одинаково и одинаковые по-разному.
Мы обычно используем эту функцию, чтобы ввести простые безындексные
обозначения для наиболее важных величин модели.
Кроме простого удобства чтения и записи, такие обозначения имеют и особый смысл в системе ЭКОМОД: безындексные величины никогда не будут исключены из системы применяемыми ниже процедурами автоматического упрощения
системы уравнений модели.
По окончании описания всех блоков ВД функция CheckBal() системы
ЭКОМОД проверяет балансы активов, упомянутых в вызовах функций Balance()
во всех блоках модели. Она может быть вызвана без аргументов для проверки
всех активов, описанных в модели, либо с названием одного конкретного актива в
качестве аргумента.
Проверяется, что каждый поток, появившийся в правой части какого-либо
балансового уравнения или в списке потоков группы ограничений Tech(), должен
появиться еще ровно один раз, причем с противоположным знаком. (В балансах
пассивов и списках Tech() знаки у потоков при проверке надо изменять на противоположные).
251
Проверяется также, что система балансов финансового инструмента не имеет источников и стоков (потоки не встречаются в списках Tech())
В процессе проверки выводятся все балансовые уравнения: со знаком "+"
для активов финансового инструмента, со знаком минус – для пассивов, без знака
– для запасов материального актива.
Если обнаружится несбалансированный поток, информация о нем будет выведена вместо сообщения "OK".
Проверка балансов
> CheckBal(`продукт`);
актив : продукт
 d Q ( t )C( t )V ( t ), 0Y( t )J( t )G_s ( t )Exp_s ( t )C( t ) 


H
H
 dt

OK
> CheckBal(`срочные ссуды`);
актив : срочные ссуды
d
"+",  L( t )LdLB( t ), 0LdLB( t )LdLJ( t ) 
d
 t

d
"-",  LJ( t )LdLJ( t ) 
d
 t

OK
252
Литература
1. Dixon P.B., Rimmer M.T. Forecasting and Policy Analysis with a Dynamic CGE
Model of Australia. Monash University Center of Policy Studies Working Paper No.
OP-90, June 1998 http://www.monash.edu.au/policy/
2. Enste D.H., Schneider F. Shadow Economies: Size, Causes, and Consequences. /
Journal of Economic Literature, Vol. XXXVIII, March 2000, pp. 77-114.
3. Greene W. H. Econometric Analysis (5th edition). Prentice Hall, 2003. 1026p.
4. Handbook of Mathematical Economics. North-Holland, 1991.
5. Jacoby H.D., Reilly J.M., McFarland J.R. Paltsev S. Technology and technical
change in the MIT EPPA model // Energy Economics, In Press, Corrected Proof,
Available online 23 June 2006,
6. Kurz M., Motolese M. Endogenous uncertainty and market volatility. // Economic
Theory, 2001. V.17. Pp. 497-544.
7. Lucas R.E., Sargent T.J. Rational Expectations and Econometric Practice. Allen \&
Unwin, London, 1981.
8. Maple 9 Learning Guide, Maplesoft, Waterloo Maple Inc., Canada, 2003, лицензия
№ 920523203.
9. Meadows D. The Limits to Growth. N.-Y.: Universe Books, 1972. 205p.
10. Mesarovic M., Pestel E. Mankind at the turning point. N.-Y.:Lutton and Reader's Digest Press, 1974. 210p.
11. The Analysis of Macroeconomic Policies in Perfect Foresight Equilibrium. // International Economic Review, 1981. V.22, #1. Pp.179-209.
12. Tumovsky S.J. Methods of Macroeconomic Dynamics.(2d edition). MIT Press, 2000.
632p.
13. Автухович Э.В., Бурова Н.К., Дорин Б.Л. Панов С.С., Петров А.А., Поспелов И.Г., Поспелова И.И., Ташлицкая Я.М., Чуканов С.В., Шананин А.А., Шапошник Д.В. Оценка потенциала роста экономики России с помощью математической модели. М.: ВЦ РАН, 2000.
14. Автухович Э.В., Гуриев С.М., Оленев Н.Н., Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А., Чуканов С.В. Математическая модель региональной экономики. М.:
ВЦ РАН, 1998.
15. Агаханов А.Н., Поспелова Л.Я., Шананин А.А. ИНДЕКС – система анализа
структуры потребительского спроса с помощью непараметрического метода.
М.: ВЦ РАН, 2002.
16. Алипрантис К., Браун Д., Бёркеншо О. Существование и оптимальность конкурентного равновесия. М.: Мир, 1995.
17. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М. : Наука, 1984.
18. Белоусов А.Р. Абрамова Е.А. Экспериментальная разработка интегрированных
матриц финансовых потоков.
http://www.forecast.ru/Metodology/MSAM/Metodology.asp
19. Березкин В.Е. Анализ и реализация методов аппроксимации паретовской границы для нелинейных систем. М.: ВЦ РАН, 2002.
20. Бернштам М.С. «Производительные» деньги – «сберегательные» деньги (теория и механизм неинфляционного запуска экономического роста в России).
//Российский экономический журнал, 1994, № 10
21. Бессонов В.А. О процессах самоорганизации на российском финансовом рынке в условиях переходного периода // Исследование операций (модели, системы, решения). М.: Вычислительный центр РАН, 1997. С. 14-47.
253
22. Бузин А.Ю., Крутов А.П., Петров А.А., Поспелов И.Г. Оценки последствий
экономической реформы и крупных технических проектов для экономики
СССР. М.:ВЦ АН СССР, 1990.
23. Бурда М., Виплош Ч. Макроэкономика. Европейский текст. СП-б.: Судостроение, 1998.
24. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.
25. Гуриев С.М., Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. О роли неплатежей в
интеграции предприятий. // Экономика и математические методы, 1999. Т.35,
№1.
26. Гуриев С.М., Поспелов И.Г., Шапошник Д.В. Модель общего экономического
равновесия при наличии транзакционных издержек, бартера и неплатежей.
Ч. I,II. // Экономика и математические методы. 2000. № 1, № 2.
27. Гуриев С.М. Модель формирования сбережений и спроса на деньги: I. // Математическое моделирование, 1994. Т.6, №7. С.25–40.
28. Гуриев С.М., Поспелов И.Г. Модель общего равновесия экономики переходного
периода. // Математическое моделирование. 1994. Т. 6, № 2.
29. Данилов В.И., Сотсков А.И. Чистый обмен при меновых стоимостях. // Проблема равновесия и принятие экономических решений. М: ЦЭМИ АН СССР,
1985.
30. Девятов А.Н., Поспелов И.Г. Модельный подход к оценке стратегической
опасности развития теневой экономики. // Формирование национальной финансовой стратегии России: Путь к подъему благосостояния / Под ред. В.К.
Сенчагова. М.: Дело, 2004. С.302-332.
31. Завриев Н.К., Поспелов И.Г. Исследование математических моделей средствами инструментальной системы ЭКОМОД. // Математическое моделирование. 2003. Т.15, №8. С. 57-74.
32. Завриев Н.К., Поспелов И.Г., Поспелова Л.Я., Хохлов М.А. Уроки эксплуатации
системы ЭКОМОД и новые перспективы. М.: ВЦ РАН, 2004. 72с.
33. Завриев. Н.К., Поспелов И.Г., Поспелова Л.Я., Чуканов С.В. Развитие системы
поддержки математического моделирования экономики ЭКОМОД. М.: ВЦ РАН,
1999.
34. Ивантер В.В., Говтвань О.Д., Ксенофонтов М.Ю. и др. Экономика роста (Концепция развития России в среднесрочной перспективе) // Проблемы прогнозирования, 2000.
35. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая
теория. М.: Прогресс, 1975.
36. Калинин Ю.П., Поспелов И.Г., Селезнев В.П. О методике оценки собираемости
налогов и теневого оборота в экономике // Налоговая политика и практика,
2003, №11. C. 45-48.
37. Каменев Г.К., Кондратьев Д.Л. Об одном методе исследования незамкнутых
нелинейных моделей // Математической моделирование, 1992, №3. С. 105-118.
38. Карманов В.Г. Математическое программирование. М:. Наука, 1980.
39. Ким И.А. Построение межотраслевых балансов Российской Федерации в базовых основных ценах: методика и результаты // Экономический журнал Высшей
школы экономики, том 10, №1 2006.
40. Комаров С.И., Петров А.А., Поспелов И.Г., Поспелова Л.Я. Представление
знаний, содержащихся в математических моделях экономики. // Теория и системы управления, 1995, № 5.
41. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: МГУ,
1983., М.: Фазис, 2000.
254
42. Кришталь В.В., Петров А.А., Поспелов И.Г. Системный анализ развивающейся экономики: исследование влияния энергетики на экономику: I,II //Изв.
АН СССР. Сер. техн. кибернетика, 1983. №4. С. 17-24; 1984. №2. С. 3-12.
43. Крутов А.П., Петров А.А., Поспелов И.Г. Математическая модель воспроизводства в централизованной плановой экономике с товарно-денежными отношениями. М.:ВЦ АН СССР, 1989.
44. Крутов А.П., Петров А.А., Поспелов И.Г. Системный анализ экономики: модель общественного воспроизводства в плановой экономике. // Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем. М:.
Наука, 1989. С. 200-232.
45. Латов Ю.В. Эволюция исследований неформального сектора экономики за
рубежом. Научно-аналитический обзор. // Теневая экономика: экономически и
социальный аспекты: Пробл.-темат. сб., М.: ИНИОН, 1999. С. 30-66
46. Леонтьев В.В. Экономические эссе. Теории, исследования, факты и политика.
М.: Политическая литература, 1990. 415с.
47. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М. : Наука, 1972.
48. Макаров А.А., Вигдорчик А.Г., Мелентьев Л.А. Топливно-энергетический комплекс: Методы исследования оптимальных направлений развития
М.: Наука, 1979.
49. Макаров В.Л. Вычислимая модель российской экономики (RUSEC) // Препринт
#WP/99/069/ М.: ЦЭМИ РАН, 1999.
50. Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математическая теория экономической динамики и
равновесия. М.: Наука, 1973.
51. Малинво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. М.:Наука,1973.
52. Маслов В. П. Квантовая экономика. М.: Наука, 2006. 91с.
53. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг. М.: Финансы и статистика,
1998.
54. Меньшиков С.М. Анатомия российского капитализма, М.: Международные отношения, 2004.
55. Методические положения по статистике. Вып. 1. М.: Государственный комитет
Российской Федерации по статистике, 1996.
56. Методические положения по статистике. Вып. 2. М.: Государственный комитет
Российской Федерации по статистике, 1998.
57. Моисеев Н.Н. Математик ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.
58. Нейман Дж., Моргеншгерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.:
Наука, 1971.
59. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Наука, 1972.
60. Паскачев А.Б., Садыгов Ф.К., Мишин В.И., Саакян Р.А. и др. Анализ и планирование налоговых поступлений: теория и практика. /Под ред. Ф.К. Садыгова. М.:
Издательство экономико-правовой литературы, 2004.
61. Петров А.А. Анализ перестройки и реформы российской экономики методами
математического моделирования // Экономическая наука современной России,
1999, № 4.
62. Петров А.А. Об экономике языком математики. М.: ФАЗИС, 2003.
63. Петров А.А., Шананин А.А. Системный анализ экономики: проблема агрегированного описания экономических отношений // Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем / Под ред.
А.А. Самарского, Н.Н. Моисеева, А.А. Петрова. М.: Наука, 1989. С. 121-156.
64. Петров А.А., Шананин А.А. Экономические механизмы и задача агрегирования
модели межотраслевого баланса // Математическое моделирование. 1993. Т.5,
№9.
255
65. Петров А.А., Поспелов И.Г. Системный анализ развивающейся экономики: к
теория производственных функций. Ч. I-IV. // Изв. АН СССР, Техническая. кибернетика, 1979. № 2 - № 5.
66. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат. 1996.
67. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. От Госплана к неэффективному
рынку: Математический анализ эволюции российских экономических структур.
The Edvin Mellen Press. Lewiston, NY, USA. 1999.
68. Петров А.А., Поспелов И.Г.. Модельная «летопись» российских экономических
реформ http://isir.ras.ru/win/db/show_ref.asp?P=.id-23268.ln-ru.
69. Полтерович В.М. Кризис экономической теории.
http://www.cemi.rssi.ru/rus/publicat/e-pubs/d9702t/d9702t.htm.
70. Поспелов И.Г. Вариационный принцип в описании экономического поведения.
Математическое моделирование. Процессы в сложных экономических и экологических системах. / Под. ред Н.Н. Моисеева, А.А. Самарского. М:, Наука, 1986.
С. 148-163.
71. Поспелов И.Г. Модели экономической динамики, основанные на равновесии
прогнозов экономических агентов М.:ВЦ РАН,2002.
http://www.ccas.ru/mmes/mmest/ecodyn03.htm
72. Поспелов И.Г. Моделирование экономических структур. М.:ФАЗИС,2003.
73. Поспелов И.Г. Модель отбора поведения в социально-экономических системах
/ Сб. тр. конф. «Моделирование социального поведения», М.: Изд-во МГУ.
2001, http://www.ccas.ru/mmes/mmest/pospelov.html.
74. Поспелов И.Г., Поспелова Л.Я. ИНДЕКС – система исчисления агрегированных
показателей потребительского спроса. М.: ВЦ РАН, 1995.
75. Поспелов И.Г., Хохлов М.А. Методы проверки правильности и поиска автомодельных решений в моделях экономической динамики, основанные на процедуре проверки размерности // Математической моделирование (в печати).
76. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. М.: Мир, 1974.
77. Саймон Г.А. Рациональность как процесс и продукт мышления. // Теория и история социальных институтов и систем, М.: THESIS, 1993. Т.1. Вып. 3.
78. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР, 1979. № 5.
79. Самуэльсон П. Экономика: Пер. с англ. / Под ред. А. В. Аникина, А. И. Шапиро,
Р. М. Энтова. М. : Прогресс, 1964.
80. Система национальных счетов – инструмент макроэкономического анализа.
Учебное пособие / Под ред. Иванова Ю.Н. М.: Финстатинформ, 1996.
81. Сотсков А.И. Об оптимальном соотношении между налогами, денежной эмиссией и займами в модели Сидравского с внешними заимствованиями // Экономика и математические методы. 2002. Т. 38. Вып. 2. С. 37-43.
82. Социально-экономическое положение России. М.: Государственный комитет
Российской Федерации по статистике. 1999.
83. Социально-экономическое положение России. М.: Государственный комитет
Российской Федерации по статистике. 1999.
84. Тер-Крикоров А.М. Оптимальное управление и математическая экономика. М.:
Наука, 1977.
85. Термодинамика необратимых процессов. / Под ред. А. И. Лопушанской, М.:
Наука, 1987.
86. Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.
87. Форрестер Дж. Мировая динамика. - М.: Наука,. 1959. - 167с
88. Харрис Л. Денежная теория. М.: Прогресс, 1990.
256
89. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики (Обзоры актуальных проблем). // УФН, 2002,№ 9. С.1045-1066.
90. Чуканов С.В. Переходные процессы в экономике и нестационарные модели
экономической динамики. М.: ВЦ РАН, 2006.
91. Шаров А.А., Шрейдер Ю.А. Системы и модели. М.: Радио и связь, 1982.
92. Шебеко Ю.А. Имитационное моделирование и ситуационный анализ бизнеспроцессов принятия управленческих решений М.: Изд-во МАИ, 1990.
93. Щербина А.А., Современное состояние технологии data mining.
http://synthesis.ipi.ac.ru/sigmod/seminar/s20031022
94. Яковец Ю.В. Прогнозирование циклов и кризисов. М.: МФК, 2000
257
Содержание
М.Ю. АНДРЕЕВ, И.Г. ПОСПЕЛОВ, И.И. ПОСПЕЛОВА, ............................................ 3
М.А. ХОХЛОВ ................................................................................................................ 3
ПРЕДИСЛОВИЕ ............................................................................................................ 5
ЧАСТЬ I.
МОДЕЛЬ КОНКУРЕНТНОГО МЕЖВРЕМЕННОГО РАВНОВЕСИЯ С
КАПИТАЛОМ ................................................................................................................. 7
ГЛАВА 1.
СИСТЕМЫ
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5.
1.2.
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
1.3.5.
1.3.6.
1.3.7.
ПРОБЛЕМА МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ КАК СЛОЖНОЙ РАЗВИВАЮЩЕЙСЯ
7
Опыт моделирования экономики ................................................................ 7
Осбенности моделирвоания сложных систем ..................................................7
Эконометрические модели.................................................................................7
Балансовые модели ...........................................................................................8
Имитационные модели и синергетичский подход .......................................... 10
Вычислимые модели общего равновесия ....................................................... 11
Системный анализ развивающейся экономики ....................................... 14
Модельная «летопись» российских экономических реформ ................. 14
Плановая экономика......................................................................................... 14
Возникновение кооперативного сектора ......................................................... 15
Экономика СССР накануне развала................................................................ 16
Либерализация цен .......................................................................................... 17
Период высокой инфляции 1992-1995гг. ......................................................... 18
Период финансовой стабилизации ................................................................. 20
Перспективы роста российской экономики ..................................................... 23
1.4.
Возможности моделирования экономики ............................................... 27
ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ МЕЖВРЕМЕННОГО КОНКУРЕНТНОГО РАВНОВЕСИЯ ЭРРОУ-ДЕБРЕ ..... 28
2.1.
Принцип рациональных ожиданий и межвременое равновесие ............ 28
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
Модели общего равновесия ............................................................................. 28
Принцип рациональных ожиданий .................................................................. 29
Межвременное равновесие ............................................................................. 30
Модель Эрроу-Дебре межвременного равновесия без ресурсов .......... 30
Описание структуры экономики в модели и основные обозначения ............. 30
Описание поведения производителя .............................................................. 31
Описание поведения потребителя .................................................................. 32
Определение равновесия ................................................................................ 33
Регуляризация модели межвременного равновесия .............................. 33
Регулярные множества чистых продаж........................................................... 34
Регулярные предпочтения потребителей ....................................................... 35
Реальный сектор экономики и сильно эффективные траектории ................. 36
2.4.
Равновесие в регулярной модели Эрроу-Дебре без ресурсов .............. 38
ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ МЕЖВРЕМЕННОГО РАВНОВЕСИЯ С КАПИТАЛОМ ............................... 39
3.1.
Динамическое описание доходов собственников ................................... 39
3.1.1.
3.1.2.
3.1.3.
3.2.
3.2.1.
3.2.2.
Долги и сбережения агентов ............................................................................ 39
Начальные долги и сбережения ...................................................................... 40
Терминальные долги и сбережения ................................................................ 41
Дивиденды и капиталовложения .............................................................. 42
Дивиденды как доходы по акциям ................................................................... 42
Дивиденды как доходы от накопленных капиталовложений.......................... 44
3.3.
Предварительное определение равновесия и направления его
уточнения ............................................................................................................... 45
3.3.1.
Описание равновесия в реальных показателях ............................................. 45
258
3.3.2. Максимизация капитализации и регулярные решения вогнутой задачи
оптимизации .................................................................................................................. 47
3.3.3. Номинальные финансовые показатели .......................................................... 49
3.4.
3.5.
Модель межвременного равновесия с капиталом (МРК) ....................... 50
Результаты анализа модели МРК ............................................................ 51
3.5.1. Закон Вальраса, максимизация дисконтированной прибыли и другие
свойства равновесных траекторий ............................................................................... 51
3.5.2. Существование и эффективность межвременного равновесия .................... 53
3.5.3. Преемственность равновесий ......................................................................... 57
3.5.4. Особые начальные состояния фирм ............................................................... 59
ГЛАВА 4. КАПИТАЛ АГЕНТОВ ..................................................................................... 60
4.1.
Масштабная инвариантность экономики и ее моделей .......................... 60
4.2.
Капитал собственника ............................................................................... 62
4.2.1. Определение капитала и его динамика .......................................................... 62
4.2.2. Максимизация капитализации собственником в случае однородной
полезности ..................................................................................................................... 64
4.3.
4.4.
4.4.1.
4.4.2.
4.4.3.
4.4.4.
4.4.5.
Капитал фирмы .......................................................................................... 67
Конкретизация описания множества чистых продаж .............................. 69
Балансовые и технологические ограничения ................................................. 69
Задача фирмы с учетом балансовых и технологических ограничений ......... 70
Капитал и баланс фирмы в однородной модели ............................................ 71
Фонды и амортизация ...................................................................................... 72
Отчетный баланс фирмы ................................................................................. 73
ГЛАВА 5. ПРИМЕР: ОДНОПРОДУКТОВАЯ ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА . 74
5.1.
Постановка задачи и описание поведения потребителя ........................ 74
5.2.
Решение задачи производителя .............................................................. 75
5.3.
Описание равновесия и его асимптотика при T   ........................... 78
РЕЗЮМЕ ЧАСТИ I: МОДЕЛЬ КОНКУРЕНТНОГО МЕЖВРЕМЕННОГО РАВНОВЕСИЯ С КАПИТАЛОМ
................................................................................................................................... 80
ЧАСТЬ II.
АГЕНТА
ОПИСАНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО
82
ГЛАВА 6. СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ РАВНОВЕСИЯ: АГЕНТЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ................ 82
6.1.
Индуктивное обобщение модели конкурентного равновесия ................ 82
6.2.
Экономические агенты и их взаимодействие в модели МРК ................. 83
6.2.1.
6.2.2.
6.2.3.
Функции спроса и предложения ....................................................................... 83
Описание взаимодействия агентов в МРК ...................................................... 83
Общая схема модели МРК ............................................................................... 85
ГЛАВА 7. ОБЩАЯ ЗАДАЧА АГЕНТА .............................................................................. 86
7.1.
Обобщение задачи агента в однородной регулярной модели
межвременного равновесия с капиталом ............................................................ 86
7.1.1.
7.1.2.
7.1.3.
7.1.4.
7.1.5.
7.1.6.
7.1.7.
7.2.
7.2.1.
7.2.2.
Постановка вопроса ......................................................................................... 86
Направления обобщения задачи агента ......................................................... 87
Система обозначений ...................................................................................... 90
Математическая постановка общей задачи агента ........................................ 90
Экономическая интерпретация общей задачи агента .................................... 91
Классификация планируемых переменных .................................................... 97
Типичный вид смешанных ограничений .......................................................... 98
Регулярные решения общей задачи агента ............................................ 99
Определение и описание регулярного решения задачи агента .................... 99
Необходимые и достаточные условия регулярной оптимальности............ 101
ГЛАВА 8. КАПИТАЛ АГЕНТА И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УПРАВЛЕНИЯ КАПИТАЛОМ................. 102
8.1.
Капитал в однородной задаче: доходность, внутренние цены и налоги
102
8.1.1.
Интеграл капитала.......................................................................................... 102
259
8.1.2.
8.1.3.
8.1.4.
8.1.5.
Балансовая прибыль ...................................................................................... 105
Ликвидные активы .......................................................................................... 106
Абсолютно ликвидные активы ....................................................................... 108
Номинальный капитал и условия регулярной оптимальности ..................... 108
Управление капиталом однородной задаче .......................................... 110
Капитал и управление им в аффинно-однородной задаче .................. 111
РЕЗЮМЕ ЧАСТИ II: ОПИСАНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО АГЕНТА
................................................................................................................................. 114
8.2.
8.3.
ЧАСТЬ III.
ОБЩАЯ СХЕМА И ТЕХНОЛОГИЯ СОЗДАНИЯ МОДЕЛЕЙ
ЭКОНОМИКИ 116
ГЛАВА 9.
КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА МОДЕЛЕЙ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА РАЗВИВАЮЩЕЙСЯ
ЭКОНОМИКИ ............................................................................................................... 116
9.1.
9.2.
9.2.1.
9.2.2.
9.3.
9.3.1.
9.3.2.
9.3.3.
9.3.4.
9.4.
9.4.1.
9.4.2.
9.4.3.
9.4.4.
Назначение канонической формы .......................................................... 116
Общий вид канонической формы ........................................................... 117
Агенты и взаимодействия .............................................................................. 117
Связь переменных с блоками ........................................................................ 118
Система балансов ................................................................................... 119
Общий вид балансового уравнения: запасы и потоки .................................. 119
Материальные балансы ................................................................................. 120
Финансовые балансы ..................................................................................... 121
Правила записи балансов .............................................................................. 124
Описание поведения агента ................................................................... 125
Способы описания поведения агента............................................................ 125
Технологические ограничения ....................................................................... 126
Институциональные ограничения: роли агентов в ВД .................................. 126
Правила записи ограничений......................................................................... 130
Условия оптимальности как явное описание выбора агента ............... 130
Свойства канонической формы .............................................................. 131
ГЛАВА 10.
КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ И
РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ ............................................................................................. 133
10.1. Симметричная таблица системы национальных счетов ...................... 133
10.2. Таблица балансов взаимодействий ....................................................... 136
10.3. Сопоставление......................................................................................... 137
ГЛАВА 11.
СИСТЕМА ПОДДЕРЖКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ
ЭКОМОД 138
11.1. Задачи и возможности системы ЭКОМОД ............................................. 138
11.2. Реализация системы ЭКОМОД в среде компьютерной алгебры Maple
141
ГЛАВА 12.
КАК ПОСТРОИТЬ ПРИКЛАДНУЮ МОДЕЛЬ МЕЖВРЕМЕННОГО РАВНОВЕСИЯ?. 143
12.1. Структура модели .................................................................................... 143
12.2. Существование и единственность решений.......................................... 143
12.3. Трактовка условий дополняющей нежесткости ..................................... 145
12.4. Граничные условия роста капитала ....................................................... 146
12.5. Ограниченность и неустойчивость решений и терминальные условия
147
12.6. Целевые функционалы агентов.............................................................. 148
РЕЗЮМЕ ЧАСТИ III: ТЕХНОЛОГИЯ СОЗДАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛИ СРЕДСТВАМИ
СИСТЕМЫ ЭКОМОД В СРЕДЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ MAPLE................................... 149
9.5.
9.6.
ЧАСТЬ IV. МОДЕЛЬ ЭКОНОМИКИ РОССИИ, УЧИТЫВАЮЩАЯ ТЕНЕВОЙ
ОБОРОТ ..................................................................................................................... 151
ГЛАВА 13.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МОДЕЛИ ......................................................... 151
13.1. Цели и история создания модели .......................................................... 151
260
13.2.
13.3.
Общая схема модели .............................................................................. 152
Основные предположения и отличительные особенности модели ..... 154
13.3.1. Межвременное равновесие ожиданий агентов ......................................... 154
13.3.2. Отношения конкуренции экономических агентов и состав секторов
экономики в модели .................................................................................................... 155
13.3.3. Учет теневого оборота ................................................................................ 156
13.3.4. Описание производства в двух масштабах времени ................................ 157
13.3.5. Незамкнутость модели и проблема «сезонных колебаний» ..................... 158
13.4. Система обозначений ............................................................................. 159
ГЛАВА 14.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОПИСАНИЯ ............................................................. 160
14.1. Эконометрическая производственная фунцкия .................................... 160
14.1.1. Особенности функционирования реального сектора экономики России . 160
14.1.2. Производственные функции ....................................................................... 161
14.1.3. Интерпретация линейной производственной функции: эффективные
фонды и технический прогресс .................................................................................. 163
14.1.4. Производственная функция современной российской экономики ........... 164
14.2. Краткосрочное поведение производителей и определение объемов
теневого оборота ................................................................................................. 165
14.2.1.
14.2.2.
Постановка задачи менеджера................................................................... 165
Решение задачи менеджера ....................................................................... 167
14.3. Экзогенные переменные ......................................................................... 167
ГЛАВА 15.
ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ПО БЛОКАМ ............................................................. 168
15.1. Экономический агент «Банк» (B) ............................................................ 168
15.1.1.
15.1.2.
15.1.3.
15.1.4.
15.1.5.
15.2.
Экономический агент «Инвестор» (J) ..................................................... 180
15.2.1.
15.2.2.
15.2.3.
15.2.4.
15.3.
Функции населения и особенности их представления в модели.............. 195
Описание поведения населения ................................................................ 196
Индивидуальные экономические агенты ............................................... 197
15.5.1.
15.5.2.
15.5.3.
15.5.4.
15.6.
Функции собственника в модели ................................................................ 188
Ограничения деятельности собственника ................................................. 188
Целевой функционал собственника ........................................................... 190
Решение задачи собственника ................................................................... 191
Описание поведения собственника............................................................ 193
Экономический агент «Население» (H) ................................................. 195
15.4.1.
15.4.2.
15.5.
Функции инвестора в модели ..................................................................... 180
Ограничения деятельности инвестора ...................................................... 180
Целевой функционал и решение задачи инвестора ................................. 184
Описание поведения инвестора ................................................................. 185
Экономический агент «Собственник» (C) .............................................. 188
15.3.1.
15.3.2.
15.3.3.
15.3.4.
15.3.5.
15.4.
Функции банка в модели ............................................................................. 168
Ограничения деятельности Банка .............................................................. 169
Целевой функционал и терминальные условия ........................................ 172
Решение задачи банка ................................................................................ 174
Описание поведения банка ........................................................................ 177
Особенности описания индивидуальных агентов ..................................... 197
Экономический агент «Государство» (G) ................................................... 197
Экономический агент «!Центральный банк» (CB)...................................... 200
Экономический агент! «Внешняя торговля» (F) ......................................... 203
Описание взаимодействия агентов ........................................................ 204
15.6.1.
15.6.2.
15.6.3.
15.6.4.
15.6.5.
15.6.6.
15.6.7.
15.6.8.
Сборка модели ............................................................................................ 204
Рынок кредитов (l) ....................................................................................... 204
Рынок депозитов (s) .................................................................................... 205
Рынок продукта (y) ...................................................................................... 205
Рынок труда (r) ............................................................................................ 205
Рынок валюты (w) ........................................................................................ 206
Кредитование государства (g) .................................................................... 207
Налоги и субсидии (x).................................................................................. 207
261
15.6.9. Ведение расчетных счетов (n) .................................................................... 207
15.6.10. Управление банковским капиталом (b)...................................................... 207
15.6.11. Управление капиталом инвестора (p)........................................................ 208
15.6.12. Список переменных блоков ВД .................................................................. 208
ГЛАВА 16.
ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ВИД МОДЕЛИ И АЛГОРИТМ РАСЧЕТОВ ........................... 208
16.1. Система соотношений модели и ее упрощение .................................... 208
16.2. Разрешение и аппроксимация УДН ........................................................ 210
16.2.1.
16.2.2.
16.3.
16.4.
Окончательная система соотношений модели ..................................... 213
Автомодельные решения и выбор значений параметров модели ...... 215
16.4.1.
16.4.2.
16.4.3.
16.5.
Аппроксимация УДН для кредитов ............................................................. 211
Разрешение и аппроксимация УДН для капиталовложений ..................... 212
Автомодельные решения и сбалансированный рост ................................ 215
Автомодельные решения и размерности активов ..................................... 216
Определение параметров модели на автомодельных решениях ............ 217
Алгоритм решения системы системы соотношений модели ................ 219
16.5.1.
16.5.2.
16.5.3.
Нормировка и отбрасывание краевых условий ......................................... 219
Переход к дискретному времени и гомотопия экзогенных переменных .. 220
Поиск решения с одновременной идентификацией .................................. 221
ГЛАВА 17.
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С МОДЕЛЬЮ ......................... 223
17.1. Качественные результаты ...................................................................... 223
17.2. Количественные результаты .................................................................. 224
17.2.1.
17.2.2.
17.3.
Идентификация по периоду 2000-2005гг. .................................................. 224
Идентификация по периоду 2002-2005гг. .................................................. 226
Прогнозные и аналитические расчеты ................................................... 228
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ........................................................................ 230
ДОПОЛНЕНИЕ 1: ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ РАЗМЕРНОСТЕЙ ................................ 232
ДОПОЛНЕНИЕ 2: ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ ДАННЫХ СИСТЕМЫ ЭКОМОД ... 233
ДОПОЛНЕНИЕ 3: ПРИМЕР ОПИСАНИЯ БЛОКА ЭА В СИСТЕМЕ ЭКОМОД...... 235
ДОПОЛНЕНИЕ 4: ПРИМЕР ОПИСАНИЯ БЛОКОВ ВД В СИСТЕМЕ ЭКОМОД ... 250
ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................ 253
СОДЕРЖАНИЕ .......................................................................................................... 258
262