Модуль неотрицательного числа. Решение уравнений и

Модуль. 8 класс.
Ноак Татьяна Алексеевна
Модуль неотрицательного числа. Решение уравнений и неравенств (8 класс)
Автор: Ноак Татьяна Алексеевна
Полное название образовательного учреждения: Муниципальное автономное
образовательное учреждение «Молчановская общеобразовательная средняя
школа №2» Томская область, с.Молчаново
Предмет математика
Класс (возрастная группа детей):8 класс, 13-15 лет
Тема занятия Модуль неотрицательного числа. Решение уравнений и
неравенств.
Конспект урока по теме: «Модуль неотрицательного числа. Решение
уравнений и неравенств» в восьмом классе по учебнику «Алгебра» А.Г.
Мордковича, параграф 16 «Модуль действительного числа». Продолжительность
занятия 90 минут (2 урока). Материалы могут быть использованы для проведения
факультативного, профильного или внеклассного занятия, так и при подготовке к
ГИА.
Цель занятия: формирование умения применять геометрическую интерпретацию
модуля при решении линейных уравнений и неравенств, осуществлять поиск
решения задач синтетическим методом.
Задачи занятия: Образовательные: К концу урока обучающиеся будут знать
понятия модуля неотрицательного числа, уметь решать уравнения и неравенства с
модулем.
Развивающие: В ходе урока способствовать развитию познавательного
интереса к математике, логического мышления, навыков самостоятельной
работы, умению анализировать информацию.
Воспитательные: В ходе урока содействовать воспитанию у обучающихся
аккуратности, внимательности, умению работать в группе и индивидуально
Учебно-методическое обеспечение «Алгебра-8» А.Г. Мордкович
Время реализации урока (занятия): 90 минут
Авторский медиапродукт:
1. Редактор Microsoft Power Point, текстовый редактор Microsoft Word.
2. вид медиапродукта: наглядная презентация учебного материала,
Необходимое оборудование и материалы для урока-занятия
1. Персональный компьютер.
2. Мульмедийный проектор.
1
Модуль. 8 класс.
Ноак Татьяна Алексеевна
План проведения занятия:
Этапы урока
1.
Организационная часть урока
2.
Повторение изученного материала
3.
Актуализация прежних знаний и способов
действия
4.
Мотивация учебной деятельности
5.
Постановка целей и учебных задач урока,
сообщение темы урока
6.
Формирование новых знаний и способов
решения
7.
Сопоставление целей и результатов урока
8.
Первичный контроль усвоения знаний
8.1. Контроль
результатов
первичного
запоминания. Взаимопроверка выполненных работ
9.
Постановка домашнего задания
10. Рефлексия. Подведение итогов занятия
Временная
реализация
3 мин
8 мин
15мин
4 мин
1 мин
20 мин
1 мин
15 мин
5 мин
4 мин
4 мин
І. Мотивационно-ориентировочный этап:
1.Повторение изученного материала;
2.Актуализация прежних знаний и способов действия;
3.Мотивация учебной деятельности;
4.Постановка целей и учебных задач урока, сообщение темы урока.
ІІ. Операционно-познавательный этап.
1. Ознакомление с новым материалом (формирование новых знаний и способов
решения)
ІІІ. Рефлексивно-оценочный этап.
1.
2.
3.
4.
Сопоставление целей и результатов урока;
Первичный контроль усвоения знаний;
Постановка домашнего задания;
Подведение итогов урока.
( к уроку прилагается презентация )
Ход урока:
2
Модуль. 8 класс.
Ноак Татьяна Алексеевна
І. Мотивационно-ориентировочный этап:
1.Повторение изученного материала; (СЛАЙД 1)
Сформулируйте определение модуля числа а. (СЛАЙД 2)
Модулем (абсолютной величиной) числа а называется неотрицательное число,
которое обозначается | а | и определяется по формуле:
| а |=
а, если а 0,
-а, если а <
0
Модулем неотрицательного числа является само число, модулем отрицательного
– число, ему противоположное. (СЛАЙД 3)
| 5,8| - это модуль (абсолютная величина) числа 5,8; | 5,8| = 5,8.
| -30,6 | - это модуль числа (абсолютная величина) числа -30,6; | -30,6 | = 30,6.
Задание 1. Найдите устно значения выражений: (СЛАЙД 4)
1. |3 – |(5 - 7)||; (1)
2. -2 + |1 - |-6 + |-2|||; (1)
3. |-(7 - |-3| + |-9|)|; (13)
4. 10 - (1 - |-6 + 5| - 1).(11)
2.Актуализация прежних знаний и способов действия;
Повторим некоторые свойства модуля. (СЛАЙД 5-6)
Модуль числа есть число неотрицательное: |а|  0.
Модуль числа а равен большему из двух чисел: a или -a.
Модули противоположных чисел равны: |а| = |-а|.
Модуль числа не меньше как самого числа, так и ему противоположного:
|а|  а и |а|  -а.
5. Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения: |а|2 = а2.
6. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел:
|а b|= |а|  |b|.
1.
2.
3.
4.
a
7. Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел: а  .
b
b
8. Модуль суммы двух чисел не больше суммы модулей этих чисел:
|а + b|  |а| + |b|.
9. |а - b|=|b - а|.
10. Если а 0 и b 0, то а + b = |а + b| = |а| + |b|.
11.Если аb  0, то |а| + |b| = |а + b|.
12.Если аb  0, то |а| + |b| = |а - b|.
3
Модуль. 8 класс.
Ноак Татьяна Алексеевна
Задание 2. Числа а и b удовлетворяют неравенствам 0 < a < 1 и -1 < b < 0.
Определите выражение, имеющее наименьшее значение: (СЛАЙД 7)
1. а + |b|;
2. b - |а|;
3. |а + b|;
4. |а - b|;
5. b2 + а.
Ответ: Выражение b - |а| (для любых а и b значения выражений 1, 4 и 5 – всегда
положительны, значение выражения 3 – всегда неотрицательно, значение
выражения 2 – всегда отрицательно).
Задание 3. Истинны или ложны следующие утверждения: (СЛАЙД 8-9)
1. Число неотрицательно тогда и только тогда, когда оно равно своему
модулю (И).
2. Число равно нулю тогда и только тогда, когда его модуль равен нулю (И).
3. Числа неотрицательны тогда и только тогда, когда их сумма равна сумме
модулей этих чисел (И).
4. Сумма модулей двух чисел не меньше модуля их суммы (И).
5. Если сумма модулей двух чисел равна модулю их суммы, то эти числа
неотрицательны (ложно, так как сумма модулей двух отрицательных чисел
равна модулю их суммы).
6. Сумма модулей двух чисел противоположна сумме этих чисел тогда и
только тогда, когда числа отрицательны (ложно, например, для чисел -5 и
0).
7. Для любых двух чисел модуль их разности равен разности их модулей
(ложно, например, для чисел 5 и -2).
Задание 4. Ответьте на вопросы, не решая уравнения и неравенства. (СЛАЙД
10-11)
1. Сколько целых чисел можно подставить вместо буквы m, чтобы равенство
|6- х| = 2 было верным?
Ответ: два числа (4 и 8).
2. Сколько целых чисел можно подставить вместо буквы х, чтобы неравенство
| х - 8,5|  4 было верным?
Ответ: 8 целых чисел: 5, 6, 7, 8 , 9 , 10, 11, 12.
3. Сколько натуральных чисел можно подставить вместо буквы х, чтобы
неравенство
| 6,5 - х| < 0,1 было верным?
Ответ: Таких натуральных чисел нет.
4. Сколько целых чисел можно подставить вместо буквы х, чтобы неравенство
| 1- х |  10 было верным?
Ответ: Таких чисел бесконечное множество: все целые числа, большие,
чем 10, и все целые числа, меньшие числа (-8).
4
Модуль. 8 класс.
Ноак Татьяна Алексеевна
В чём заключается геометрический смысл модуля?
Геометрически |а| - это расстояние от точки, соответствующей числу а на
числовой прямой, до точки О. (СЛАЙД 12)
Чтобы найти длину любого отрезка координатной прямой, надо из координаты
его правого конца вычесть координату левого конца. Например, длина отрезка
А
-2
В
0
1
4
Х
АВ, то есть расстояние между точками А и В, равна 4 – (– 2 ) = 6. (СЛАЙД 13)
Пусть А(а) и В(b) – две точки на координатной прямой и неизвестно, какая из
них находится правее другой. Если точка В (b) правее точки А (а), то расстояние d
между точками А и В равно b– a = |b – a|. Если точка А (а) правее точки В (b), то d
= a – b = |b – a|, так как |b – a| = |a – b|. Если же точки А (а) и В (b) совпадают, то d
= |b – a| = 0. (СЛАЙД 14)
Таким образом, |a – b| - расстояние между точками (числами) a и b на числовой
прямой.
3.Мотивация учебной деятельности;
На доске записаны уравнения:
а) |х|=5;
Сколько корней имеет данное уравнение?
Чем мы пользуемся при решении данного уравнения?
б)|х-4|=5.
уравнения?
Какие способы вы можете предложить для решения данного
После устного ответа двое учеников решают уравнение графическим и
аналитическим способами на доске.
аналитический способ
|х-4|=5
х-4=5
х-4=5
х=9
х=-1
Ответ: х=9,х=-1.
графический способ
|х-4|=5
у=|х-4|, сдвиг графика
у=|х| на 4 ед. вправо
У=5 –прямая || оси абсцисс
Ответ: х=9,х=-1
4.Постановка целей и учебных задач урока, сообщение темы урока.
5
Модуль. 8 класс.
Ноак Татьяна Алексеевна
Вопрос: как можно найти корни уравнения, используя координатную прямую?
Прочитайте данное уравнение с помощью геометрического смысла модуля
|х+8|=2, найдите его корни, используя координатную прямую.
Рассмотрим теперь разные способы решения уравнений и неравенств,
содержащих модуль.
ІІ. Операционно-познавательный этап.
1. Ознакомление с новым материалом (формирование новых знаний и способов
решения)
Задание 4. Решите уравнение |x – 5| = 3.
Решение. 1-й способ. (СЛАЙД 15)
Из определения модуля следует, что x – 5 = 3 или x – 5 = - 3. Решая полученные
уравнения, находим: x = 8 или x = 2.
2-й способ. (СЛАЙД 16)
Уравнение |x – 5| = 3 обозначает, что расстояние между точкой А(5) и точкой с
координатой x
3
В1
1
2
А
5
3
В2
8
равно 3. Точек, находящихся на расстоянии 3 от точки А, две: В1(2) и В2(8).
Значит, уравнение
имеет два корня: x = 8 или x = 2.
Ответ: х1 = 8; х2 = 2.
Задание 5. Решите уравнение (ученики по краткой записи в тетрадях
проговаривают полное словесное решение по первому способу, а где возможно – и
по второму способу) (СЛАЙД 17)
а) |x + 4| = 6;
(х1 = - 10; х2 = 2)
б) |x – 3| = -2;
(нет корней);
в) |2x – 5| = 13;
(х1 = -4; х2 = 9)
2
г) |x – 2| = 2.
(х1 = -2; х2 = 2; х3 = 0))
Задание 6. Решите неравенство |x – 3| < 5. (СЛАЙД 18)
Решение 1-й способ.
Данное неравенство равносильно двум системам:
х - 3  0, или
х-3 <5
х - 3 < 0,
3 - х < 5;
6
Модуль. 8 класс.
Ноак Татьяна Алексеевна
х  3,
х <8
х < 3,
х > -2;
Или
-2
1
0
3
8
Х
Ответ: (-2;8).
2-й способ. (СЛАЙД 19)Требуется найти все числа, находящиеся от числа 3 на
расстоянии, меньшем 5. Отметим на числовой оси все числа, расстояние от
5
-2
0
5
1
3
8
Х
которых до числа 3 равно 5. Это числа (-2) и 8. Все числа, находящиеся от числа 3
на расстоянии, меньшем 5, образуют интервал (-2;8).
Ответ: (-2;8).
3-й способ.
|x – 3| < 5; (СЛАЙД 20)
-5 < x – 3 < 5;
-2 < x < 8.
Ответ: (-2; 8).
Задание 7. Решите неравенство: |- x -5| > 1. (СЛАЙД 21)
Решение.
Воспользуемся правилом: Модули противоположных чисел равны: |а| = |-а|.
|- x -5| = |x +5|.
Перепишем и решим неравенство: | x +5| > 1.
Требуется найти все числа, находящиеся от числа (-5) на расстоянии, большем 1.
Отметим на числовой оси все числа, расстояние от которых до числа (-5) равно 1.
1
-6
1
-5
-4
Х
Это числа (-4) и (-6). Множество всех чисел, расположенных от числа (-5) на
расстоянии, большем 1, является объединением двух бесконечных интервалов: (; -6)  (-4; +).
Ответ: (-; -6)  (-4; +).
Задание 8. (СЛАЙД 22) Решите неравенство(ученики по краткой записи в
тетрадях проговаривают полное словесное решение)
а) |x + 1| < 8;
(-9; 7)
б) |x + 2| > 11;
(-; -13)  (9; +).
7
Модуль. 8 класс.
Ноак Татьяна Алексеевна
в)
2
3
| -3x + 4| < 7;
(-1; 3 )
(-; -3  1,8; +).
г) |5x + 3|  12;
д)
3; 7.
9 |x – 5| ≤18;
Задание 9. (СЛАЙД 23)Решите уравнение |x – 4| + |x| = 6.
Решение. Для решения такого уравнения необходимо освободиться от модулей.
Учтём все возможные сочетания знаков выражений, стоящих под знаком модуля.
Получаем четыре системы:
1.
2.
3.
4. х - 4 < 0,
х - 4 < 0,
х - 4  0,
х - 4  0,
х  0,
х
<
0,
х < 0,
х  0,
(х - 4) + х = 6.
(х
4)
х
=
6.
х
4
х
=
6.
х – 4 + х = 6.
Решим каждую систему.
1.
х - 4  0,
х  0,
х – 4 + х = 6;
х = 5.
х  4,
х  4,
2х = 6 + 4;
х = 5.
х – 4 + х = 6;
2.
х - 4  0,
х < 0,
х - 4 - х = 6;
х  4,
х < 0,
- 4 = 6;
Решений нет.
3.
х - 4 < 0,
х < 0,
-(х - 4) - х = 6;
х < 0,
х = -1.
х = -1.
4.
х - 4 < 0,
х  0,
-(х - 4) + х = 6;
х < 4,
х  0,
4 = 6.
Решений нет.
Ответ: х1 = 5; х2 = -1.
Задание 10. (СЛАЙД 24)Решить уравнение |x - 1| + |x - 2| = 1.
Решение.
8
Модуль. 8 класс.
Ноак Татьяна Алексеевна
Расставим на числовой оси точки, в которых подмодульные выражения
обращаются в нуль. Это точки с координатами 1 и 2, они разбивают числовую
1
2
Х
ось на три промежутка. Определим знаки подмодульных выражений на каждом из
промежутков.
(СЛАЙД 25)1. При х  1, х – 1  0 и х - 2  0 (чтобы найти знак подмодульного
выражения, достаточно взять любую точку из указанного промежутка, например,
х = 0 в нашем случае, и подставить в выражения х - 1 и х - 2). Далее, так как
подмодульные выражения неположительны, то по определению модуля имеем: |
x-1| = - x + 1 и |x-2| = - x + 2.
Получаем уравнение: -х + 1 - х + 2 = 1, откуда х = 1. Точка х = 1 принадлежит
промежутку х  1, значит, х = 1 является корнем уравнения.
(СЛАЙД 26)2.При 1 < х  2, х – 1 > 0 и х - 2  0.
Получаем уравнение: х – 1 – х + 2 = 1 или 1 = 1. Данное уравнение имеет
бесконечное множество решений. В данном случае решением уравнения
являются все х, удовлетворяющие неравенству 1< х  2.
(СЛАЙД 27)3. При х > 2, х – 1 > 0 и х - 2 > 0.
Получаем уравнение х – 1 + х - 2 = 1, откуда х = 2. Точка х = 2 не принадлежит
указанному промежутку, поэтому в этом случае решений нет.
(СЛАЙД 28)Найдем общее решение, объединив решения, полученные в каждом
случае:
х = 1 и 1 < х  2. В итоге получаем отрезок 1; 2.
Ответ: 1; 2.
Задание 11. Решить уравнение | х + 2|+|х - 4| = 10. (СЛАЙД 29)
Решение.
Выражение |х+2| означает расстояние между точками с координатами х и -2.
Выражение |х- 4| означает расстояние между точками с координатами х и 4.Тогда
из уравнения следует, что нужно найти такую точку Х(х), сумма расстояний от
которой до точек с координатами -2 и 4 равна 10.
Расстояние между точками с координатами -2 и 4 равно 6. Если точка лежит
между точками -2 и 4, то сумма расстояний от них до этой точки, будет равно 6.
-2
4
b
х
а
9
Модуль. 8 класс.
Ноак Татьяна Алексеевна
Это меньше 10, следовательно, точка с координатой х находиться вне отрезка [2;4]. Понятно, что искомая точка может лежать справа (как на схеме) или слева от
отрезка. И тогда заданное расстояние – это длина отрезка и удвоенное расстояние
до одного из концов отрезка, на нашей схеме видно, что
10  6
= 2. Значит,
2
искомые точки удалены от концов отрезка на 2 единицы масштаба вправо и
влево. Т.е. х1 = -4; х2 = 6.
Ответ: х1 = -4; х2 = 6.
Вопрос: (СЛАЙД 30) Как изменилось бы решение данного уравнения, если бы
вместо 10 было бы 3, 6, 20? Сколько было бы тогда корней?
При равенстве суммы модулей 3 – нет решений, так как 3 <6, таких точек нет.
При равенстве суммы модулей 6 – множество решений, так как 6 = 6, любая точка
отрезка [-2,4] удовлетворяют условию уравнения.
При равенстве суммы модулей 20 найдётся две точки, уравнение имеет два
решения.
Далее, с целью закрепления материала, учащиеся решают вместе с учениками,
вызванными к доске задания, и еще раз проговаривают схему решения данных
уравнений и неравенств
1.
2.
3.
4.
|х-9|=3
|х-6|=|х+2|
|х-9|+|х-3|  6
|х-9|-|х-3|<7
ІІІ. Рефлексивно-оценочный этап.
1.Сопоставление целей и результатов урока
Ребята, какая тема нашего урока? Цель урока?
Что нового вы узнали сегодня на уроке?
Какую цель каждый ставил перед собой? Достигли ли цели?
2.Первичный контроль усвоения знаний;
Задание 12. Решить уравнение. Самостоятельная работа. (СЛАЙД 31)
а) |x + 5| + |x - 3| = 2;
(нет корней);
б) |x + 5| + |3 - x | = 10;
(х1 = - 6; х2 = 4)
10
Модуль. 8 класс.
Ноак Татьяна Алексеевна
в) |2x - 13| - |x - 1| = 17;
(х1 = - 5; х2 = 29)
г) |x + 1| + |2 + x | - |x + 3| + |x - 4| = 8;
(х1 = - 2,5; х2 = 6)
3.Постановка домашнего задания; (СЛАЙД 32)
§16 (п1,2) № 16.29, 16.32
4.Подведение итогов урока.
В листах самоконтроля поставьте оценку за этапы урока.
Над чем надо поработать еще?
Оцените свою работу за урок! Поднимают «смайлики»:«желтый» - 5; «зеленый» 4 (усвоил, но есть ошибки); «синий» - не понял.
Список использованной литературы:
1. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. Учебник для общеобразовательных
учреждений. М., «Мнемозина», 2012.
2. Мордкович А.Г., Мишустина Т.Н. Тульчинская Е.Е. Алгебра. 8 класс.
Задачник для общеобразовательных учреждений. М., «Мнемозина», 2012.
11