стохастическая модель многоэтапного управления

-1СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОЭТАПНОГО УПРАВЛЕНИЯ
МНОГОПРОДУКТОВЫМИ ЗАПАСАМИ
Кузнецов Д.Н., Толстых С.С.
Тамбовский государственный технический университет, Тамбов, Россия
В статье представлена математическая модель управления запасами торгового предприятия
со стохастическим характером спроса. Указанная модель является многопродуктовой. Один и тот
же товар может быть заказан у нескольких поставщиков, имеющих различные цены и условия доставки. Результатом применения представленной модели управления запасами является получение
оперативного плана закупок, позволяющего минимизировать издержки.
In paper the mathematical model of inventory control of trade enterprise with stochastic character of
demand is presented. The specified model operates with multigrocery stocks. Accommodation of the order is
carried out at several suppliers. The same goods can order the enterprise in several suppliers who have various conditions of delivery. Result of application of the presented model of storekeeping is reception of an
operating plan of purchases which allows to minimize expenses.
При функционировании большинства торговых предприятий существуют проблемы управления запасами. Основной причиной, по которой
предприятие вынуждено хранить запасы, является необходимость удовлетворения спроса. С одной стороны, излишки запасов могут быть причиной
убытков предприятия, а, с другой стороны, недостаточный уровень запасов ведет к потере прибыли. Ставится следующая задача управления запасами: максимизировать прибыль торгового предприятия путем уменьшения издержек и увеличения оперативности принятия решения.
В условиях рыночной экономики существует множество производителей и предлагается многообразие товаров. Каждый конкретный поставщик может иметь свои условия выполнения заказов на поставку товаров,
такие как минимальный размер партии, стоимость размещения заказа,
срок выполнения заявок. Один и тот же товар может предлагаться несколькими поставщиками (тип отношения «товар-поставщик» классифицируется как «многие ко многим» [2]).
В данной статье представлена модель управления запасами совокупности товаров. Эта совокупность может быть получена из группы А, выявленной в ходе ABC/XYZ-анализа торгового предприятия, или по частоте продаж в ходе частотного анализа [9, 10]. Указанная совокупность яв-
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-2-
ляется наиболее важной в деятельности торгового предприятия, т.к. она
постоянно фигурирует в продажах и приносит основную прибыль.
Традиционно решают две отдельные, самостоятельные задачи:
1) определение момента пополнения запаса и объема этого пополнения;
2) выбор поставщика и осуществление выполнения заказа.
Эти задачи являются, соответственно, прерогативами логистики запасов и логистики закупок. Целью логистики запасов является минимизация
издержек и сокращение запасов, целью логистики закупок – сокращение
удельной стоимости заказа, которое сопряжено с увеличением объема заказа. В одном случае имеется тенденция к снижению объема запасов, в
другом – к увеличению. В данной статье указанные задачи логистики объединяются в единое целое.
Сущность управления запасами состоит в периодическом размещении
и получении заказов заданного объема. Оптимальная стратегия управления запасами должна ответить на кардинальные вопросы: сколько запасов
надо заказывать и когда это делать с наибольшей выгодой для предприятия и потребителя?
Все существующие модели управления запасами условно можно разделить на одноэтапные и многоэтапные модели. Одноэтапные модели
управления запасами могут применяться в основном для торговых предприятий, функционирующих сезонно, когда закупка товара осуществляется один единственный раз у конкретного поставщика с его индивидуальными условиями поставки. Другая закупка осуществляется у другого поставщика с другими условиями поставки. Похожая ситуация может иметь
место при единичных закупках «модных» товаров, имеющих большую
скорость устаревания. Противоположная ситуация, когда в каждом периоде закупки фигурирует один и тот же товар, но с разными условиями покупки, описывается многоэтапными моделями управления запасами.
В многоэтапных моделях управления запасами решение о размещении очередного заказа принимается на каждом этапе. В отличие от одноэтапных моделей, в которых на каждом периоде условия поставки, заказываемые ресурсы и характер спроса могут быть разными, в многоэтапных моделях управления запасами перечисленные особенности принимаются, как допущение, постоянными. Промежуток времени длительностью
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-3-
 , на котором происходит поиск решения, разбивается на K равных периодов (этапов) и представляется вектором Т  (tk ) K :
 0  tk   , tk   0 
k
,
K
(1)
где  0 – начало промежутка времени  ,  – окончание промежутка
времени  .
В многоэтапных моделях учитывается приведенная стоимость денег.
Если α – коэффициент дисконтирования (процент скидки, α <1) для одного этапа, то сумма S , после k -го этапа будет эквивалентна сумме αk S
в настоящий момент времени [3]. Кроме того, в рассматриваемой модели
управления запасами предусматривается возможность задолженности
спроса. Предполагается также, что спрос D на каждом периоде описывается стационарной (не зависящей от времени  ) плотностью распределения вероятности f ( D) .
В классических моделях управления запасами предусматривается
размещение заказов на один ресурс у одного поставщика. В современных
условиях один и тот же ресурс предлагается не единолично, а, как правило, множеством поставщиков.
Пусть число поставщиков, предлагающих N товаров, равно M .
Представим эту информацию в виде матрицы G  ( gij ) N M
1, если i -й товар предлагается j -ым поставщиком;
gij  
0, если i -й товар не предлагается j -ым поставщиком.
(2
)
Структуру затрат, связанных с понятием «запасы», можно представить в виде функции, аргументом которой является объем запаса, состоящей из:

затрат на приобретение запасов;

затрат на размещение заказа;

затрат на хранения запасов;

потери от дефицита запасов.
Все стоимости, приведенные в этом списке, должны определяться, в
свою очередь, как функции искомого объема заказа и интервала времени
между заказами.
Если стоимость размещения заказа становится соизмеримой со стоимостью самого заказа, то не учитывать эту стоимость в затратах на пополУправление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-4-
нение запасов нельзя. Это дополнение может оказаться весьма существенным, если учесть, что удельная сумма затрат возрастает при уменьшении
объема заказа [7].
Введем следующие обозначения: стоимость размещения заказа представлена матрицей A  (aij ) N M , стоимость хранения запаса H  (hi ) N ,
P  ( pi ) N – штраф за дефицит ресурса. Каждый поставщик имеет опреде-
ленный срок выполнения заказа L  (lij ) N M .
Одинаковые товары могут быть закуплены по разным ценам у различных поставщиков. Для учета этого обстоятельства потребуется матрица C  (cij ) N M цен закупки i -го товара у j -го поставщика.
Введем в рассмотрение матрицу Y*  ( yij* ) NM оптимальных объемов
закупки i -го товара у j -го поставщика. Усложнение многоэтапной однопродуктовой модели управления запасами, представленной в [3], приводит к одномерному уравнению относительно yij*
yij*

fi ( D)dD 
0
pi  cij
pi  hi
, i  1, N , j :  j  xik , xik  0  ,
(3
)
где xik – номер поставщика, у которого размещается заказ i -го товара
за период tk (пояснения см. ниже).
Функция затрат z за период tk по товару i имеет следующий вид



zik ( s )  aixik 1 ( xik )  rik cixik  hi s  pi  ( D  s ) f i ( D )dD ,
s
(4
)
где s – остаток товара на начало периода tk ; hi s – стоимость хранения
s единиц товара i (спрос за период tk удовлетворяется не мгновенно, а в
течение всего периода); aix 1 ( xik )  rik cix – стоимость заказа товара i за пеik
ik

риод tk по цене cxik объемом rik ; p  ( D  s) f ( D)dD – ожидаемая сумма
s
штрафа за дефицит; D – спрос на товар.
В выражении (4) используется функция 1 ( xik ) и величина rik , которые
определяют затраты на пополнение запаса в случае размещения нового заказа. Функция 1 (λ) ( λ – формальный аргумент функции) определяется
следующим образом
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-51, λ  0;
0, λ  0.
1 (λ)  
(5
)
Значение функции 1 ( xik )  1 указывает на размещение заказа товара
у поставщика xik за период tk . Объем заказа rik вычисляется следующим
образом ( R  (rik ) N K – матрица заказов)
 yij* , j  0;
rik   2 ( j , y )  
j  xik ,
0,
j

0,

где  2 (λ,μ) – функция двух переменных
*
ij
μ, λ  0;
0, λ  0.
 2 (λ,μ)  
Можно заметить, что формулы (5) и (7) связаны равенством
1 (λ)   2 (λ,1) .
Итак aix
ik
(6
)
(7
)
(8
)
– это стоимость подачи заказа по товару i поставщика xik .
В модели (2)-(8) элементы матрицы X  ( xik ) N K определяют поставщика,
у которого размещается заказ i -го товара объемом rik за период tk . Если
xik  0 , то заказ не размещается.
Ограничением для возможного применения модели управления запасами (2)-(8) является невозможность размещения заказа на поставку конкретного товара у нескольких поставщиков одновременно на одном этапе.
Таким образом, в целях получения дополнительной прибыли от оптимального размещения заказов торговому предприятию предлагается
находить решение следующей задачи оптимизации
K N
(9
zik ( s)  min .

X
)
k 1 i 1
Варьируемыми переменными в задаче (9) являются элементы матрицы X . Каждый элемент xik , k  1, K могут принимать значения 0 или 1.
В результате получается задача (0,1)-целочисленного программирования
[4]. Общее количество вариантов при полном их переборе составляет
((M  1) N ) K . Уже при небольшом значении числа этапов K  4 , числа торговых позиций N  5 и числа поставщиков M  3 , получается больше
триллиона комбинаций ( ((3  1)5 )4  (45 )4  10244  1.11012 ). Также следует
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-6-
учесть, что стоимость вычисления каждой комбинации может оказаться
очень высокой. Вычисление каждого варианта связано с расчетом затрат и
предполагаемых продаж для всех периодов за исследуемый промежуток
времени. Стратегия управления запасами предполагает многократный запуск процедуры поиска эффективного решения для повышения оперативности принятия решения. Учитывая вышесказанное, важно отбросить заведомо неперспективные варианты, уменьшив тем самым объем перебора.
В данном случае объем перебора может быть уменьшен, если учесть, что
во время выполнения заказа очередной заказ не размещается
(1
xk  0, если ek 1  1 ,
0)
где ek – оставшееся время (количество этапов) выполнения заказа:
lxk ,
rk  0;

ek  ek 1  1, rk  0, ek 1  0;
0,
rk  0, ek 1  0.

(1
1)
Отметим, что величина ek определяется рекуррентно.
Введем функцию
μ1 , λ  0;
μ 2 , λ  0.
(1
 3 (λ,μ1 ,μ 2 )  
2)
С учетом (12) выражение (11) можно переписать следующим образом
(1
ek   3 (rk , lx , 2 (ek 1, ek 1  1)) .
3)
Между функциями 1 ,  2 и  3 действуют следующие соотношения
k
1 (λ)   2 (λ,1),  2 (λ,μ)   3 (λ,μ,0) .
(1
4)
Уменьшение числа рассматриваемых вариантов при решении задачи (9) возможно для случая, когда срок выполнения заказа lx меньше
k
времени расходования полученного ресурса. В противном случае заказ
размещается каждый раз, как только уровень запаса уменьшается до некоторого критического уровня, который приблизительно можно рассчитать
как разность оптимального запаса и среднего расхода ресурса за «эффективный» срок [3]. В дальнейшем мы будем рассматривать случай, когда
срок выполнения заказа не превышает времени расхода ресурса.
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-7-
Отметим также следующую особенность:
xik  0, k  1, K
если gij  0, i  1, N , j  1, M .
(1
5)
Задачу (9) вполне реально решать методом «ветвей и границ», который можно назвать «усовершенствованным перебором» [6].
Представленная в статье модель управления запасами позволяет оптимизировать издержки, увеличивая тем самым прибыль. Учет в постановке задачи условий поставок (стоимость размещения заказа и срок выполнения) различных товаров несколькими поставщиками позволяет сократить число этапов принятия решения и увеличить оперативность процесса принятия решений.
_____________________________
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Кэмпбелл Р. Макконнелл Экономикс. 13-е изд. М.: ИНФРА-М, 2001.
Мейер М. Теория реляционных баз данных. М.: Мир, 1987. 608 с.
Таха Хемди А. Введение в исследование операций, 7-е изд.: пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. 912 с.
Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования операций: пер. с франц.
Т. 1. М.: Мир, 1966. 524 с.
Вагнер Г. Основы исследования операций. В 3-х томах. М.: Мир, 1972.
Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972. 552 с.
Сергеев В.И. Корпоративная логистика. 300 вопросов профессионалов. М.: ИНФРА-М,
2004.
Бауэрсокс Д. ДЖ. Логистика: интегрированная цепь поставок. М.: Олимп-бизнес, 2001.
Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М.: Мир, 1982. 428 с.
Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989. 540 с.
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1