де Вриза пятого порядка

УДК 51(06) Проблемы современной математики
М.В. ДЕМИНА, Н.А. КУДРЯШОВ
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
СТЕПЕННЫЕ И НЕСТЕПЕННЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ МОДИФИЦИРОВАННОГО
УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА ПЯТОГО ПОРЯДКА
Найдены все степенные и нестепенные разложения автомодельных решений
модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза пятого порядка, а также некоторые экспоненциальные добавки к степенным разложениям решений. Вычисления производились в окрестности нулевого и бесконечного значений независимой переменной. Использовались методы степенной геометрии.
Более ста лет назад П. Пенлеве и его школа среди одного из классов
нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго
порядка нашли шесть уравнений, решения которых не имеют критических
подвижных особых точек и не выражаются через элементарные и специальные функции. В настоящее время эти уравнения хорошо известны как
уравнения Пенлеве, а решения этих уравнений называются трансцендентами Пенлеве.
Одним из важных применений трансцендентов Пенлеве является то,
что через них выражаются решения многих нелинейных уравнений в
частных производных. В этой связи естественно предположить, что частные решения точно решаемых уравнений более высокого порядка выражаются также через трансценденты, определяемые как решения нелинейных ОДУ.
В работе рассматривается модифицированное уравнение Кортевега де Вриза, которое встречается при описании волн на воде и имеет вид:
ut + uxxxxx – 10u2uxxx – 40 uxuxx – ux3 + 30u4ux = 0 , uu(x,t).
(1)
Будем искать автомодельные решения уравнения (1), используя замену
u(x,t)=w(z)/(5t)1/5,
z = x/(5t)1/5.
(2)
Тогда получим ОДУ четвертого порядка
f(z,w) = wzzzz –10w2wzz –10wwz2 + 6w5 – zw –  = 0, ww(z). (3)
Уравнение (3) обладает целым рядом свойств, характерных для уравнений Пенлеве, а именно, оно имеет преобразования Бэклунда, пару Лакса, рациональные и специальные решения при некоторых значениях параметра . Решение задачи Коши для уравнения (3) может быть найдено
методом аналогичным методу обратной задачи рассеяния. По-видимому,
это уравнение также как и уравнения Пенлеве определяет новые трансценденты, хотя строгое доказательство свойства неприводимости все еще
ISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 7
111
УДК 51(06) Проблемы современной математики
остается открытой проблемой. В этой связи очень важным этапом исследования свойств рассматриваемого уравнения является нахождение всех
асимптотик и разложений его решений, а также экспоненциальных добавок к полученным решениям. Именно это и явилось целью данной работы.
Следуя алгоритмам степенной геометрии, каждому слагаемому изучаемого уравнения была поставлена в соответствие точка на плоскости. В
результате замыкания выпуклой оболочки всех точек был построен многоугольник уравнения. В случае   0 многоугольник является четырехугольником, а при  = 0 – треугольником (см. рис. 1).
Анализируя укороченные уравнения, соответствующие каждой обобщенной грани, были найдены искомые асимптотики и разложения.
Необходимо отметить, что в результате изучения степенных разложений были получены некоторые рациональные частные решения рассматриваемого уравнения:
w(z) = – /z,
 = – 2, – 1, 1, 2.
(4)
Рис. 1. Многоугольник уравнения (3) при   0 и при  = 0, соответственно
Найденные степенные разложения отличаются от степенных разложений шести уравнений Пенлеве. Этот факт может быть интерпретирован,
как еще одно доказательство гипотезы о том, что уравнение (3) определяет новые трансцендентные функции, как и уравнения Пенлеве.
Список литературы
1. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений,
2004, Москва – Ижевск, Институт компьютерных исследований, 360 с.
2. Брюно А.Д. Асиптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального
уравнения, Успехи математических наук, 2004, т. 59, вып. 3(357), с 31-80.
112
ISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 7