Нелинейные модели - Высшая школа экономики

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Нелинейные модели» для направления
231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и информатики
МИЭМ НИУ ВШЭ
Программа дисциплины «Нелинейные модели»
для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
Автор программы:
Данилов В.Г., д.ф.-м.н., профессор, [email protected]
Одобрена на заседании кафедры прикладной математики «28» января 2013 г
Зав. Кафедрой Карасев М.В.
Рекомендована секцией УМС «___» ____________ 20 г
Председатель
Утверждена УС факультета «___» _____________20 г.
Ученый секретарь ________________________
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Нелинейные модели» для направления
231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и
студентов направления подготовки 231300.62 «Прикладная математика» по специализации "Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач" изучающих дисциплину «Нелинейные модели».
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС 231300 Прикладная математика 62 бакалавр.
 Образовательной программой 231300.62 «Прикладная математика».
 Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 231300.62 «Прикладная математика», специализаций «Математическое и программное обеспечение систем управления» и «Применение математических методов к решению инженерных и
экономических задач», утвержденным в 2013 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Нелинейные модели» являются изучение математических
моделей нелинейных процессов и методов решения соответствующих моделям математических задач. В курсе излагаются конструктивные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Начало развития излагаемого в курсе подхода заложено в работах Дж. Уизема. В его работах предложен метод построения быстроосциллирующих асимптотических решений нелинейных
уравнений в частных производных. Этот метод является обобщением на нелинейный случай классического метода ВКБ, с успехом применяемого математиками и физиками для решения разнообразных линейных задач. Модификация метода Уизема, пригодная для построения решений с локализованным быстрым изменением была предложена В.П. Масловым. Решения с локализованным
быстрым изменением для нелинейных уравнений связаны с основными явлениями в макромире.
Это ударные волны, солитоны, решения, описывающие развитие биологических популяций и процессы тепломассопереноса. В первой части курса рассматривается метод Уизема на примере нелинейного волнового уравнения и разбираются основные этапы построения асимптотического решения. Затем мы переходим к решения с локализованным быстрым изменением и изучаем деформированные солитоны для уравнения типа КдФ, нелинейные модели популяционной динамики и модель фазового перехода (модель фазового поля).
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать математические модели нелинейных процессов тепломассопереноса, распространения нелинейных волн различной природы.
 Уметь применять конструктивные методы построения асимптотических быстроосциллирующих решений и решений с локализованным быстрым изменением для уравнений
математических моделей.
 Иметь навыки построения решения нелинейных уравнений с малым параметром и исследовать их свойства.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
А) общекультурные (ОК):
 владеть культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации
(ОК-1);
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Нелинейные модели» для направления
231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
 уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);
 готовностью к кооперации с коллегами (ОК-6);
 способностью оформлять, представлять и докладывать результаты выполненной работы
(ОК-14);
 уметь создавать и редактировать тексты профессионального назначения (ОК-15);
 способностью использовать для решения коммуникативных задач современные технические
средства и информационные технологии (ОК-16).





4
Б) профессиональные (ПК):
готовность к самостоятельной работе (ПК-1);
способность использовать современные прикладные программные средства и осваивать современные технологии программирования (ПК-2);
знать основные положения, законы и методы естественных наук (ПК-11);
готовность применять математический аппарат для решения поставленных задач
(ПК-12);
способность самостоятельно изучать новые разделы фундаментальных наук (ПК-14).
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к математическому и естественнонаучному циклу дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.
Для специализаций «Математическое и программное обеспечение систем управления» и
«Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач» настоящая
дисциплина является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
1. Математический анализ.
2. Физика.
3. Дифференциальные уравнения.
4. Теоретическая механика.
5. Уравнения математической физики.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
дисциплины «Математическое моделирование».
Изучение курса «Нелинейные системы» требует предварительных знаний по курсам обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнениям математической физики.
5
№
1
2
3
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Метод Уизема построения быстроосциллирующих решений.
Метод Маслова на примере уравнений
Кортевега-де Фриза и Бюргерса.
Задачи динамики популяций.
Нелинейные задачи тепломассопереноса.
Итого
Всего
часов
Аудиторные часы
Самостоятельная работа
Лекции
Семинары
20
10
10
25
16
8
8
20
20
16
72
10
8
36
10
8
36
25
20
90
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Нелинейные модели» для направления
231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
1 год
1
Текущий
(неделя)
Контрольная работа
Домашнее задание
Домашнее задание
Итоговый
Зачет
Параметры **
2
3 неделя
Контрольная работа по теме
«Построение
быстроосциллирующих
решений» Содержит 4 задачи.
Выполненняется на
семинарском занятии.
9-10 неделя Письменное домашнее задание
по теме
«Солитоны для уравнений типа
КдВ с переменными
коэффициентами и малой
дисперсией». Домашнее задание
включает 4 задачи. Задание
выдается на 9-ой неделе курса.
Выполненное задание в
письменном виде сдается
студентами через неделю после
выдачи задания. Устная защита
проходит в течение недели
после сдачи письменной работы
в часы дополнительных
консультаций.
14-15 неделя Письменное домашнее задание
по теме
«Параболические
квазилинейные вырождающиеся
уравнения уравнения с малым
параметром». Домашнее
задание включает 3 задачи.
Задание выдается на 14-ой
неделе курса. Выполненное
задание в письменном виде
сдается студентами через
неделю после выдачи задания.
Устная защита проходит в
течение недели после сдачи
письменной работы в часы
дополнительных консультаций.
Письменная работа на 120
минут по всем темам курса.
Включает от 4 до 6 задач
разного уровня сложности.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Нелинейные модели» для направления
231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
6.1
Критерии оценки знаний, навыков
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Итоговая оценка К по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма:
K = 0,2С +0,2D+0,2Е+0,4Z
10-балльных оценок за контрольную работу С, домашние задания D и E и зачет Z с округлением
до целого числа баллов. Оценка округляется вверх. Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по
правилу:
 0 ≤ К ≤ 3 - неудовлетворительно,
4 ≤ К ≤ 5 - удовлетворительно,
6 ≤ К ≤ 7 - хорошо,
 8 ≤ К ≤10 -отлично.

7
Содержание дисциплины
Содержание дисциплины разбито на разделы, количество лекций и семинаров указано после
названия темы.
Раздел 1. Метод Уизема.
Тема 1. Общая схема метода Уизема на примере уравнения Шредингера. Исследование
эталонного уравнения Ньютона. Условие постоянства периода. (2 лекции, 2 семинара)
Тема 2.Разрешимость уравнения для поправки (два способа исследования). (1 лекция,
1
семинар)
Тема 3. Метод Уизема в случае линейного уравнения. Уравнения с малой нелинейностью.
(2 лекции, 2 семинара)
Раздел 2. Метод Маслова.
Тема 1. Определение стабилизирующихся функций. Разложения в окрестности быстрого изменения для солитонов и кинков. Вывод и исследование эталонного уравнения в солитонном случае. (2 лекции, 2 семинара)
Тема 2. Исследование уравнения для поправки в случае солитонного решения. Исследование
уравнения для поправки в случае уравнения Бюргерса. (2 лекция, 2 семинар)
Раздел 3. Задачи динамики популяций.
Тема 1.
Основные виды математических моделей (модель Колмогорова-ПетровскогоПискунова, популяции типа Олли). Исследование решений типа бегущих волн. Асимптотики в
окрестности особых точек. (2 лекции, 2 семинара)
Темя 2. Динамика популяций в неоднородной среде (модели с переменными коэффициентами).
(3 лекции, 3 семинара)
Тема 3. Описание взаимодействия солитонов в интегрируемых и неинтегрируемых уравнениях
типа КдВ с малой дисперсией в рамках метода слабых асимптотик. (2 лекции, 2 семинара)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Нелинейные модели» для направления
231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
Раздел 4. Нелинейные задачи тепломассопереноса.
Тема 1. Модели с конечной и бесконечной скоростью распространения тепла. Вырождающиеся
уравнения-исследование решений типа бегущих волн. Ускорение фронта волны горения в неоднородной среде. (3 лекции, 3 семинара)
Тема 2. Модель фазового поля. Частные случаи задача Стефана, задача Хеле-Шоу.
Асимптотическое решение системы фазового поля в одномерном и многомерном случаях. (3
лекции, 3 семинара).
Образовательные технологии
8
Рекомендуемые образовательные технологии:
– чтение лекций,
– проведение практических занятий,
– обсуждение и защита домашних заданий,
 проведение контрольной работы,
– проведение зачета.
Аудиторные занятия проводятся в форме лекций (40 % аудиторных часов, отведенных на
данную дисциплину) и практических занятий (60 % аудиторных часов, отведенных на данную
дисциплину). Во время проведения практических занятий широко используются активные и интерактивные формы (выбор вариантов домашних заданий; обсуждение отдельных разделов дисциплины и методов решения задач, предложенных преподавателем; изложение результатов выполненных домашних заданий).
Для обеспечения интерактивного и непрерывного учебного процесса, в качестве образовательных технологий широко используются коммуникационные средства, предоставляемые сетью «Интернет», в частности, студентам обеспечивается доступ к современной научной литературе в рамках изучаемого курса, осуществляется информационный обмен посредством электронной почты.
Самостоятельной работой студентов является выполнение домашних заданий с последующей
защитой полученных результатов.
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Тематика заданий по различным формам текущего контроля:
 Необходимость условия постоянства периода в методе Уизема.
 Эталонное уравнение для уравнения типа КдФ для различных типов нелинейности.
 Осциллирующие решения уравнения КдФ.
 Условие существования солитонного решения с переменным фоном.
 Модель горения с порогом.
 Локализованные асимптотические решения полулинейных уравнений.
 Влияет ли поверхностное натяжение на фазовый переход в одномерном случае?
 Описывает ли модель фазового поля рождение фазы?
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Нелинейные модели» для направления
231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
9.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
 Раздел 1, тема 1. Эталонное уравнение для волнового уравнения с кубической
нелинейностью. Существование осциллирующих решений

Раздел 1, тема 2. Асимптотическое осциллирующее решение уравнения Sin-Gordon.

Раздел 2, тема 1,2. Асимптотическое решение типа кинка для уравнения Sin-Gordon.

Раздел 3, тема 1. Фазовый портрет уравнения бегущих волн для уравнения КПП.

Раздел 3, тема 2. Влияние переменных ресурсов на скорость распространения
популяционных волн.

Раздел 4, тема 1. Асимптотическое решение задачи Хеле-Шоу.

Раздел 4, тема 2. Решение системы фазового поля в случае сферической симметрии.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Maslov V. P., Omelʹyanov G. A. Geometric asymptotics for nonlinear PDE. I. // Translated from the
Russian original by Dmitrii Chibisov. Translations of Mathematical Monographs, 202. American
Mathematical Society, Providence, RI, 2001, 285 pp.
10.2 Основная литература
1. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М., Мир, 1980.
2. Дж. Лэм. Введение в теорию солитонов. М., Мир, 1983.
3. Danilov V.G., Maslov V.P., Volosov K.A. Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer
Processes. Hardcover, 332 Pages, Published 1995 by Springer
4. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии.
М., Наука. 1987, 367 с.
10.3 Дополнительная литература
Danilov V. G., Omelʹyanov G. A., Radkevich E. V. Asymptotic behavior of the solution of a phase
field system, and a modified Stefan problem. // (Russian) Differentsialʹnye Uravneniya 31 (1995),
no. 3, 483-491, 551; translation in Differential Equations
Вся указанная выше литература имеется на кафедре. Студенты получат ридер, составленный
по перечисленным источникам
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Специализированный компьютерный класс.