7 класс - Никифорова Наталья Сергеевна

Команда____________________
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)
1.1
Используя все цифры по одному разу, запишите
а) наибольшее десятизначное число;
б) наименьшее десятизначное число.
Команда____________________
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)
1.2
В математической регате участвовало 8 команд. Каждая команда решила
ровно 2 задачи. Могли ли все команды набрать в результате различное
число баллов, если за задачу первого тура давалось 6 баллов, за задачу
второго тура – 7, третьего тура – 8, четвертого тура – 9 баллов?
Команда____________________
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)
1.3
В квадрате 4×4 покрасьте несколько клеток так, чтобы каждая
окрашенная клетка имела ровно 3 соседних неокрашенных клетки, а
каждая неокрашенная клетка имела ровно одну соседнюю окрашенную
клетку. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).
Команда____________________
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.1 В треугольнике АВС проведена биссектриса АД. Затем в треугольнике
АДС проведена биссектриса ДЕ. Найдите угол СДЕ, если известно, что угол
АЕД равен углу АВД.
Команда____________________
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.2 Учительница Наталья Сергеевна задумала двузначное число. При этом она
сообщила трем своим ученикам Кристине, Элине и Мише Гаглоеву
следующее:
«это число то ли оканчивается на 5, то ли делится на 7»;
«это число то ли больше 20, то ли оканчивается на 9»;
«это число то ли делится на 12, то ли меньше 21».
Все сказанное Натальей Сергеевной – правда. Помогите Кристине, Элине и
Мише найти задуманное число.
Команда____________________
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.3 Гарри Поттер отмечает свой день рождения в тот день, когда число 2002
делится на произведение номера дня и номера месяца. Сколько раз Гарри
Поттер сможет отметить свой день рождения в ноябре?
Команда____________________
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.1 Табло электронных часов Тагира Малыбаева может показывать время от
00:00 до 23:59. Назовем палиндромом такое показание табло, которое
одинаково читается как слева направо, так и справа налево. Пусть в данный
момент времени табло показывает некоторый палиндром. Через какой
промежуток времени Тагир снова может увидеть на табло палиндром?
Команда____________________
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.2 Вместо знаков ® вставьте такие числа, чтобы равенство
(х2 + ®·х + 2)·(х + 3) = (х + ®)·(х2 + ®·х + 6)
стало тождеством.
Команда____________________
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.3 Решите ребус
Р×Е×ГА×ТА=2002.
(Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные)
Команда____________________
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)
4.1 Сто сумасшедших последовательно красят доску 100×100 в сто цветов,
соблюдая единственное правило: в одной строке и в одном столбце не может
оказаться двух клеток, раскрашенных одинаково. Всегда ли 99 сумасшедших
смогут правильно докрасить доску, если первый сумасшедший уже раскрасил
«свои» 100 клеток?
Команда____________________
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)
4.2 Докажите, что если число b является средним арифметическим чисел a и
c, причем a>c, то выражение
ab+bc-ac-b2
принимает только положительные значения.
Команда____________________
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)
4.3 Школьники Саша Куц и Дима Коваленков увидели весы и взвесили на них
свои портфели. Весы показали, что массы портфелей – 2кг и 3кг. Когда они
поставили на весы оба портфеля, то весы показали 6 кг. Не заметив ничего
странного, Саша и Дима пошли домой. На самом же деле у весов была
сдвинута стрелка. Каков истинный вес портфелей?