сравнение методов управления неопределенными объектами

ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ ТА АВТОМАТИЗАЦІЯ
УДК 519.25
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ УПРАВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ОБЪЕКТАМИ
Потапенко Е.М., Потапенко Е.Е., Казурова А.Е.
Запорожский национальный технический университет
Введение. На практике все системы управления
являются неопределенными. Неопределенности требуют применения робастных методов управления.
Среди таковых наиболее часто рассматриваются
адаптивные системы управления (АСУ) [1, 2], системы с переменной структурой (СПС) [3, 4] и ПИ–
регуляторы [5]. АСУ требуют выполнения условий
идентифицируемости, которые на практике не всегда и не в любой момент времени выполняются. Характерной особенностью СПС является наличие в
системе управления скользящих режимов, которые,
помимо обеспечения робастности, привносят и недостатки, такие как:
 наличие вибраций, снижающих надежность
механических частей привода;
 потеря работоспособности при наличии в системе управления паразитной динамики;
 плохая помехоустойчивость по отношению к
высокочастотным помехам.
ПИ–регуляторы просты и получили широкое
распространение. Представляют интерес робастные
комбинированные регуляторы (РКР) с наблюдателями
неопределенности,
предложенные
В.Д. Фурасовым [6]. Позднее Е.М. Потапенко был
предложен и исследован ряд систем данного класса,
как для линейных, так и для нелинейных нестационарных неопределенных объектов управления с неполной информацией о векторе состояния [7, 8].
Цель работы – сравнение ПИ-регуляторов и
РКР на примере управления неопределенным объектом.
Материал и резульаьты исследований.
Исследование процессов управления с помощью ПИ-регулятора. При регулировании скорости
моделировались следующие уравнения движения:
  mf ;
I
(1)
(2)
m  sat(m0 ) ,
t
m0  k1(  p )  k 2 (   p )  k3  (  p )dt ,
где  – перемещение; индекс “ p ” указывает на

программное значение. Предполагается, что  и 
известны.
Спрогнозируем поведение системы с учетом разброса момента инерции I и ограничения управляющего момента. Составим характеристическое
уравнение, соответствующее уравнениям (1), (3):
(7)
Ip 2  k 1p  k 2  0.
Необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости системы второго порядка
будут положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (7). Как видно из уравнения (7), изменение момента инерции ( I  0 всегда)
при управлении скоростью не приводит к потере
устойчивости. Ограничение момента можно учесть
уменьшением коэффициентов k1 и k 2 при сохранении их знака. Поэтому, ограничение момента при
управлении скоростью также не приведет к потере
устойчивости.
Рассмотрим управление положением. Характеристическое уравнение, соответствующее уравнениям (4), (6), имеет вид:
(8)
Ip 3  k 2 p 2  k1p  k 3  0.
Необходимыми и достаточными условиями
асимптотической устойчивости системы третьего
порядка будут положительность коэффициентов характеристического уравнения (8) и соотношение
(9)
k 1 k 2  I k 3  0.
Как видно из соотношения (9), при увеличении момента инерции I система может потерять устойчивость. Ограничение момента эквивалентно уменьшению коэффициентов k1, k 2 , k 3 , что, как видно из
соотношения (9), также может привести к потере
устойчивости.
При
моделировании
полагалось
I  (0,5;1,0;2,0)I0 , где I 0 – номинальное значение
момента инерции.
Расчет коэффициентов законов управления и
наблюдателей осуществлялся по стандартным полиномам Баттерворта [9].
На рис. 1 показаны переходные процессы регулирования скорости, полученные по уравнениям (1)(3), возникающие при подаче ступенчатого входного
воздействия (заданная программная скорость) с
ограничением на управляющий момент. Нагрузка
была включена между второй и третьей секундами.
t
m 0  k 1 (   p )  k 2  (   p )dt,
(6)
0
(3)
0
где  – скорость (угловая или линейная); I – момент инерции; f – момент (сила нагрузки);
m – управляющее воздействие; p – программное
значение скорости. Предполагается, что  известно.
При регулировании перемещения использовались следующие уравнения:
  m  f ;
(4)
I
(5)
m  sat(m0 ) ;
Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1
42
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ ТА АВТОМАТИЗАЦІЯ
менте и уменьшенном быстродействии системы. В
этом случае переходный процесс затягивается и
ухудшается реакция на подачу и снятие нагрузки.
При отклонении момента инерции от номинального
значения система становится неустойчивой.
Рисунок 1 – Графики переходных процессов:
1 – угловая скорость объекта при I  2I 0 ;
2 – при I  I 0 , 3 – при I  0,5I 0
Рисунок 3 – График переходного процесса при
I  I 0 и при ограничении момента
Анализ графиков показывает, что использование
ПИ-регулятора имеет ряд недостатков: переходные
процессы протекают с большим перерегулированием, и при изменении момента инерции наблюдается
разброс времени переходного процесса. При реверсе
указанные недостатки усиливаются. Наличие ограничения управляющего воздействия ухудшает качество регулирования.
На рис. 2 показан переходный процесс при
управлении перемещением, возникающий при подаче ступенчатого входного воздействия (заданное
программное перемещение) при номинальном моменте инерции и без ограничения управляющего
момента.
Исследование процессов управления с помощью РКР. Объект управления описывается, как и
ранее, уравнением (1). Параметры системы запишем
в виде
(10)
I  I0  I , m  m0  m ,
Здесь I 0 , m 0 – детерминированные части (номинальные значения), I  , m  – кусочно-дифференцируемые неизвестные погрешности. С учетом (10)
уравнение (1) примет вид
  m0  f ,
(11)
I0
  m .
где f   f  I 
Уравнения компенсатора, синтезированного в
[10], можно преобразовать к виду
z  l m 00 , f̂   z  lI 0 , m 0  m 00  f̂  , (12)
где первые два уравнения представляют наблюдатель неопределенности, третье уравнение – регулятор, а символом “^” обозначены оценки соответствующих переменных.
Рассмотрим случай, когда m  m0 и существует
ограничение на управляющий момент. При этом
объект управления описывается уравнением
  sat(m 0 )  f  ,
I0
(13)
наблюдатель неопределенности представлен системой
(14)
z  l(f̂   sat(m 0 )), f̂   z  l I 0 ,
а регулятор формируется так:
Рисунок 2 – График переходного процесса при I  I 0
и при отсутствии ограничения момента
Как видно из рис. 2, переходный процесс соответствует заданному. Однако, при увеличении момента инерции и (или) при ограничении управляющего момента система становится неустойчивой.
Избавиться от данного недостатка можно лишь путем уменьшения быстродействия системы. На рис. 3
представлен переходный процесс при номинальном
моменте инерции, ограниченном управляющем мо-
(15)
m 0  m 00  f̂  .
Пусть требуется отслеживать заданную (программную) траекторию скорости p , при этом
часть закона управления запишется в виде
 p.
m 00  k 0 (  p )  I 0 
Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1
43
(16)
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ ТА АВТОМАТИЗАЦІЯ
Пусть теперь требуется отслеживать траекторию
перемещения p . Для этого случая вводятся обо-
ность системы к изменению момента инерции и подаче ступенчатой нагрузки. Переходные процессы
соответствуют заданным.
значения
, 
,   
 ,

 

(17)
p
p  p  p ,
с учетом которых уравнение движения объекта
управления принимает вид:
  m .
(18)
I0
00
На основании (19) часть закона управления,
формирующая вид переходного процесса, задается в
виде:
 
 )I 

m 00  k 1 (   p )  k 2 (
(19)
p
0 p.
Результаты моделирования. При моделировании принимались следующие параметры:
I0  1,17 êã  ì 2 , I  (0,5; 1,0; 2,0)I0 , f  0... 262 Í  ì .
При регулировании скорости моделировались
следующие уравнения движения:
  sat(m 0 )  f , 
  (sat(m 0 )  f )I 1 ,
(20)
I
I  I 0  I   const, I 0  const, f  const,
  sat(m0 )  f  ,
I 0
 , m0  m 00  f̂  ,
f   f  I
 p,
m00  k 0 (  p )  I0
а)
(21)
(22)
(23), (24)
(25)
f̂   z  l I 0, z  l(f̂   sat(m 0 )). (26), (27)
При регулировании перемещения использовались следующие уравнения:
  sat(m )  f , 
  (sat(m )  f )I 1 , (28)
I
0
0
I  I 0  I   const, I 0  const, f  const, (29)
  sat(m )  f ,
(30)
I0
0

, m  m  f̂ , (31), (32)
f   f  I
0
00



 , (33)
m 00  k 1 (   p )  k 2 (   p )  I 0 
p
б)
Рисунок 4 – Графики переходных процессов:
1 – угловая скорость объекта при I  2I 0 ;
 , z  l(f̂  sat(m )). (34), (35)
f̂  z  l I0

0
Расчет коэффициентов законов управления и
наблюдателей осуществлялся по стандартным полиномам Баттерворта.
На рис. 4, 5 показаны переходные процессы, возникающие при подаче ступенчатого входного воздействия (заданная программная скорость) с ограничением на управляющий момент при управлении
скоростью. Анализ графиков показывает, что синтезированный компенсатор обеспечивает апериодический переходный процесс при отработке начальных
условий. Время переходного процесса соответствует
расчетному. Особо следует отметить, что данный
компенсатор обеспечивает робастность системы к
изменению момента инерции и подаче ступенчатой
нагрузки.
На рис. 6, 7 показаны переходные процессы, возникающие при подаче ступенчатого входного воздействия (заданное программное перемещение) с
ограничением на управляющий момент при управлении перемещением. В данном случае синтезированный компенсатор также обеспечивает робаст-
2 – при I  I 0 ; 3 – при I  0,5I 0
Рисунок 5 – Графики управляющих воздействий при
регулировании скорости и при ограничении
момента:
f – нагрузка; m 01 – управляющий сигнал при
I  2I 0 ; m 02 – при I  I 0 ; m 03 – при I  0,5I 0
Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1
44
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ СИСТЕМИ ТА АВТОМАТИЗАЦІЯ
Синтезированные алгоритмы управления без перенастройки одинаково эффективно работают при
различных видах нагрузки и помех (постоянные,
линейно, квадратично и т. д., зависящие от времени), при наличии ограничения управляющего момента.
Численное моделирование точно воспроизвело
теоретически заданные переходные процессы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в
сложных системах: беспоисковые методы. – М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 296с.
2. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для
пользователя. – М.: Наука, 1991. – 432с.
3. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы
обратной связи: Управление при неопределенности.
– М.: Наука, 1997.
4. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах
управления и оптимизации. – М.: Наука, 1981. –
368с.
5. K. J. Aström and T. Hägglund. PID Controllers:
Theory, Design, and Tuning. – Instrument Society of
America, Research Triangle Park, North Carolina, 1995.
6. Фурасов В. Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. – М: Наука, 1977. – 248 с.
7. Потапенко Е. М. Сравнительная оценка робастных систем управления с различными типами
наблюдателей // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 1995. – № 1. С. 109–117.
8. Потапенко Е. М. Робастные комбинированные системы управления с наблюдателями // Проблемы управления и информатики. – 1995. – № 2.
С. 36–44.
9. Кузовков Н.Т. Модальное управление и
наблюдающие устройства. – М.: Машиностроение,
1976. – 184с.
10. Потапенко Е.Е., Потапенко Е.М. Синтез экстремального робастного управления асинхронным
приводом // Технічна електродинаміка. Тематичний
випуск “Проблеми сучасної електротехніки”. 2000. –
Част.6. С. 34–37.
Рисунок 6 – Графики переходных процессов:
p – заданное перемещение; 1 – перемещение
объекта при I  2I 0 ;  2 – при I  I 0 ;  3 – при
I  0,5I 0
Рисунок 7 – Графики управляющих воздействий при
регулировании перемещения и при ограничении
момента:
f – нагрузка; m 01 – управляющий сигнал при
I  2I 0 ; m 02 – при I  I 0 ; m 03 – при I  0,5I 0
Выводы. Синтезированы два компенсатора для
управления скоростью и положением, состоящие из
наблюдателей неопределенности и регуляторов.
Компенсаторы обеспечивают практически инвариантные заданные переходные процессы при неизвестных моментах инерции, лежащих в пределах
0,5…2 номинального момента инерции, неизвестных нагрузках при ограничениях управляющих моментов.
В отличие от классического ПИ–регулятора, при
выборе параметров синтезированного компенсатора
для управления скоростью исследуются два независимых уравнения первого порядка, а не одно уравнение второго порядка. Для управления перемещением исследуются два уравнения: второго и первого
порядков вместо одного уравнения третьего порядка
при использовании ПИ-регулятора. Это позволяет
независимо формировать характеры переходных
процессов при отработке начальных условий и подаче ступенчатой нагрузки, с одной стороны, и компенсацию неопределенностей, с другой стороны.
Стаття надійшла 25.04.2006р.
Рекомендована до друку
д.т.н., проф. Родькіним Д.Й.
Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1
45