факультете информатики ТГУ. - Томский государственный

Федеральное агентство по образованию РФ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет информатики
Кафедра прикладной информатики
УДК 681.03
ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ В ГАК
Зав. кафедрой, проф., д.т.н.
________________ С.П. Сущенко
«___» ___________ 2008 г.
Полбин Александр Сергеевич
Математическое моделирование и исследование рынка как
самоуправляемой системы
Дипломная работа
Научный руководитель,
профессор, доктор тех. наук
В.В.Поддубный
Исполнитель,
студ. гр. 1432
А.С. Полбин
Электронная версия дипломной работы помещена
в электронную библиотеку. Файл
Администратор
Томск – 2008
Реферат
Дипломная работа 47 с., 6 источников, 2 прил.
Оптимальная рыночная цена, оптимальное управление идентификация
линии спроса, математическая модель рынка, спрос, задержки,
самоуправляемая система
Объект исследования –.математическая модель рынка
Цели работы – построение самоуправляемой модели рынка с запаздываниями,
исследование построенной модели.
Методы исследования – теоретический и экспериментальный (на ЭВМ).
Основные результаты – построены и исследованы 2 модели рынка.
Экономическая эффективность или значимость работы – алгоритмы и модели можно
использовать для прогнозирования рынка, оптимального изменения цены товара и
оптимальной закупки товара.
2
Содержание
Введение……………………………………………………………………………….4
1. Классическая модель рынка Вальраса-Маршалла……………………………….5
1.1 Понятие спроса…………………………………………………………………...5
1.2 Понятие предложения……………………………………………………………8
1.3 Взаимодействие спроса и предложения. Равновесие………………………….11
2. Постановка задачи…………………………………………………………………15
3. Необходимые условия оптимальности…………………………………………...19
4. Метод возможных направлений…………………………………………………..22
5. Алгоритм идентификации линии спроса…………………………………………26
6. Численное моделирование и исследование рынка……………………………....28
6.1 Упрощенная модель рынка……………………………………………………...28
6.2 Улучшенная модель рынка……………………………………………………...33
Заключение…………………………………………………………………………....43
Список используемой литературы…………………………………………………..44
Приложение А. Руководство пользователя………………………………………....45
Приложение Б. Руководство программиста………………………………………...47
3
Введение
Цель этой работы заключается в исследовании рынка. Основной задачей является
посторенние модели рынка как самоуправляемой системы при наличии запаздываний в
поставках товара. При этом критерий оптимальности рыночный цены формулировался
при отсутствии априорных знаний о линии предложения.
Существуют разные модели. Например, классическая модель Вальраса – Маршалла [1],
модифицированные модели [2]. Все они основываются на линиях спроса и предложения,
которые предполагаются известными. В классической модели рынка Вальраса-Маршалла
и ее модификациях рыночное равновесие достигается в точке пересечения линий спроса и
предложения. В этой модели рынок, будучи выведенным в некоторый начальный момент
времени из состояния равновесия, стремится снова к состоянию равновесия, совершая
вокруг него затухающие колебания, если точка равновесия устойчива, и незатухающие
колебания, если она неустойчива (известная «паутинообразная» модель рынка).
В реальных условиях функционирования рынка можно предположить, что вид линии
спроса более или менее известен (его можно идентифицировать по результатам
наблюдений покупательского спроса при различных ценах на один и тот же товар). Но вид
линии предложения, как правило, неизвестен, и его практически невозможно оценить по
наблюдениям за состоянием рынка. В связи с этим в данной работе рассматривается
математическая модель рынка, не требующая знания линии предложения, но
использующая знание линии потребительского спроса.
Использоваться будет только линия спроса, которая идентифицируется путем сбора
данных и оцениванием параметров. Оптимальные цена и количества товара будут
оцениваться, опираясь исключительно на спрос. Критерий оптимальности заключается в
максимизации функционала, который представляет суммарную прибыль, полученную за
какой-нибудь промежуток времени.
4
1. Классическая модель рынка Вальраса-Маршалла
1.1 Понятие спроса
Спрос [1] на какой-либо товар характеризует наше желание купить то или иное
количество этого товара. Именно "желание купить" отличает спрос от простого "хотенья"
заполучить то или иное благо, чем бы оно ни диктовалось: настоятельной
необходимостью удовлетворить жизненно важную потребность или требованиями
комфорта, стремлением выглядеть не хуже других или перещеголять соседа.
Наличие спроса на какой-то товар предполагает чье-то согласие уплатить за него
определенную цену, а значит, и согласие пожертвовать "в обмен" на покупку данного
товара покупкой некоторого количества других товаров и услуг на ту же сумму.
Следовательно, на спрос оказывают влияние не только вкусы и предпочтения
покупателей, их желания, но и размеры их денежных доходов и сбережений, а также цены
предлагаемых товаров.
Объемом спроса на какой-либо товар называют количество этого товара, которое согласно
купить отдельное лицо, группа людей или население в целом в единицу времени (день,
месяц, год) при определенных условиях. К числу этих условий относятся вкусы и
предпочтения покупателей, цены данного и других товаров, величина денежных доходов
и накоплений.
Ценой спроса называют максимальную цену, которую покупатели согласны заплатить за
определенное количество данного товара.
Зависимость объема спроса от определяющих его факторов называют функцией спроса.
В общем виде функция спроса может быть представлена так:
Qi  Qi (T ; P1 ,...., Pk ; I ;...),
D
D
(1.1)
где Q1D – объем спроса на i-тый товар (i = 1,2,..., k); Т – вкусы и предпочтения; P1, ...,Pk –
цены всех товаров, включая i-тый; I – денежный доход.
Если все факторы, определяющие объем спроса, кроме цены интересующего нас товара
(Pi), положить неизменными, то от функции (1.1) можно перейти к функции спроса от
цены, характеризующей зависимость спроса на i-ый товар лишь от его собственной цены:
Qi  Qi ( Pi ),
D
D
(1.2)
5
Функция спроса от цены может быть представлена одним из трех способов:
1) табличным, например:
Pi (руб.) Q1D (штук)
...
...
100
1000
150
700
...
...
500
300
...
...
2) аналитическим, например:
Qi  Qi ( Pi ),
D
D
(1.3)
3) графическим. На рис. 1.1 линия DD представляет графическое отображение функции
спроса от цены. Она называется линией спроса. Абсциссы точек линии спроса
характеризуют объем спроса, а ординаты – цены спроса
6
Рис 1.1. Линия спроса.
Рис 1.2. Изменение объема спроса и сдвиг линии спроса.
Необходимо различать изменение объема спроса и изменение спроса. Изменение объема
спроса имеет место при изменении цены товара и неизменном характере зависимости
объема спроса от цены (1.2) ≈ движение вдоль линии спроса. Например, как видно на рис.
1.2, при снижении цены с Р1 до P2 объем спроса увеличивается с Q1 до Q2. Если же в силу
изменения доходов или вкусов покупателей установится новая зависимость между ценой
и объемом спроса, т.е. изменится функция спроса от цены (1.2), то произойдет сдвиг
линии спроса от D1D1 до D2D2, так что при цене Р1 объем спроса возрастет с Q1 до Q3, а
при цене Р2 – с Q2 до Q4. В этом случае говорят, что увеличился сам спрос. Очевидно, что
при снижении спроса, скажем, в результате сокращения доходов новая линия спроса
пройдет левее и ниже D1D1.
Обратную зависимость между ценой и объемом спроса (при снижении цены объем спроса
растет, и наоборот) часто называют законом спроса.
7
Известно одно исключение из этого закона, получившее название парадокса Гиффена.
Английский экономист Роберт Гиф-фен (1837≈1910) обратил внимание на то, что во
время голода в Ирландии в середине XIX в. объем спроса на картофель, цена которого
выросла, существенно увеличился. Дело в том, что картофель представлял основной
продукт питания ирландских бедняков. Повышение его цены вынудило их сократить
потребление других, более дорогих и качественных продуктов. Поскольку все же
картофель оставался сравнительно наиболее дешевым продуктом, объем спроса на него
вырос.
1.2 Понятие предложения
Предложение [1] характеризует готовность продавца продать определенное количество
того или иного товара в определенный период времени.
Объемом предложения называют количество какого-либо товара, которое желает продать
на рынке отдельный продавец или группа продавцов в единицу времени при
определенных условиях. К числу этих условий относятся характер применяемой
технологии, цены данного и других товаров, включая цены производственных ресурсов,
наличие и размеры налогов и дотаций, а в природоэксплуатирующих отраслях и
природно-климатические условия.
Цена предложения ≈ это минимальная цена, по которой продавец согласен продать
определенное количество данного товара.
Зависимость объема предложения от определяющих его факторов называется функцией
предложения. В общем виде функция предложения имеет вид:
Qi  Qi ( Li ; P1 ,...., Pk ; Ti , N ;...),
S
S
(1.4)
где Q iS – объем предложения i-того товара (i = 1,2,..., k); Li – характер применяемой в
производстве i-того товара технологии;
P1, ..., Pk – цены товаров, включая i-тый товар; Ti – налоги и дотации, установленные по iтому товару; N – природные условия. Если все факторы, определяющие объем
предложения, кроме цены интересующего нас товара (Pi), положить неизменными, то от
функции (1.4) можно перейти к функции предложения от цены, характеризующей
зависимость объема предложения товара только от его цены:
Qi  Qi ( Pi ).
S
S
(1.5)
8
Как и функция спроса, функция предложения от цены (1.5) может быть представлена
тремя способами:
1) табличным, например:
S
Pi (руб.) Q i (штук)
...
...
100
300
150
500
...
...
500
1000
...
...
2) аналитическим, например:
Qi  a  bPi
S
(1.6)
3) графическим. На рис. 1.3 линия SS представляет графическое отображение функции
предложения от цены. Она называется линией предложения. Абсциссы точек линии
предложения характеризуют объем спроса, а ординаты – цены предложения. Как видим,
линия предложения в отличие от линии спроса имеет здесь положительный наклон, с
ростом цены увеличивается и объем предложения. Однако так бывает далеко не всегда. В
отличие от общего закона спроса, практически не знающего исключений, подобного
общего закона предложения не существует. Мы принимаем положительный наклон линии
предложения пока лишь в качестве первого приближения.
9
Рис 1.3. Линия предложения.
Как и при рассмотрении спроса, следует различать изменение объема предложения и
изменение предложения. Изменение объема предложения имеет место при изменении
цены товара и неизменном характере зависимости объема предложения от цены (1.5) –
движение вдоль линии предложения. Например, как видно на рис. 1.4, при повышении
цены с P1 до P2 объем предложения увеличивается с Q1 до Q2. Если же в силу изменения
какого-либо другого фактора (например, в связи с неблагоприятными погодными
условиями в случае сельскохозяйственного производства) устанавливается новая
зависимость между ценой и объемом предложения, т.е. изменяется сама функция
предложения, происходит сдвиг линии предложения с S1S1 до S2S2, так что при прежней
цене P1 объем предложения составит лишь Q3, а при цене P2 – Q4. В этом случае говорят,
что уменьшилось само предложение. Очевидно, что при увеличении предложения линия
предложения сместится вправо от S1S1.
Рис 1.4. Изменение объема предложения и
сдвиг линии предложения.
10
Увеличение предложения (сдвиг линии предложения вправо) может произойти по
следующим причинам:
а) понижение цен на применяемые в производстве данного товара ресурсы;
б) понижение цен на товары, которые являются "конкурентами" данного товара в
производстве (например, понижение цены на свеклу может увеличить предложение
моркови);
в) повышение цен на товары, производимые "совместно" с данным товаром. Так,
повышение цен на шкуры крупного рогатого скота может увеличить предложение
говядины;
г) улучшение технологии производства данного товара;
д) уменьшение налога на данный товар или введение дотации;
е) благоприятные погодные условия, если речь идет о сельскохозяйственном продукте,
или открытие месторождений с благоприятными условиями добычи, если речь идет об
ископаемом сырье.
1.3 Взаимодействие спроса и предложения. Равновесие
Чтобы рассмотреть взаимодействие спроса и предложения [1], необходимо совместить
линии спроса и предложения на одном графике. На рис. 1.5,a DD – линия спроса, SS –
линия предложения. Абсциссы их точек характеризуют соответственно объемы спроса и
объемы предложения, а ординаты – цены спроса и цены предложения. Рыночное
равновесие определяется координатами точки пересечения линий DD и SS, которым
соответствуют объем QE и цена PE. Их называют соответственно равновесным объемом
(QE = QD = QS) и равновесной ценой (РS = РD - РS).
В состоянии равновесия рынок сбалансирован, ни у продавцов, ни у покупателей нет
внутренних побуждений к его нарушению. Напротив, при любой другой цене, отличной
от PE, рынок не сбалансирован, а у покупателей и продавцов имеются эффективные
стимулы к изменению сложившейся ситуации.
11
Рис 1.5. Равновесие. а – по Вальрасу; б – по Маршаллу.
Пусть, например, реальная рыночная цена будет несколько выше равновесной, скажем, P1.
При такой цене объем спроса составит, очевидно, QD1, тогда как объем предложения ≈
QS1.
В этом случае избыток предложения (QS1 - QD1 ) будет оказывать понижающее давление
на цену P1. Если же реальная рыночная цена окажется ниже равновесной, скажем на
уровне P2, объем спроса QD2 окажется выше объема предложения QS2. Здесь избыток
спроса (QD2 - QS2) будет оказывать повышающее давление на цену P2 В первом случае это
давление будет оказываться через конкуренцию продавцов, во втором ≈ через
конкуренцию покупателей. Заметим, что одно и то же лицо может выступить как
покупатель при цене P2 и как продавец того же товара при цене P1.
Такой подход к описанию равновесия часто называют равновесием по Вальрасу.
Существует, однако, и альтернативный подход, известный как равновесие по Маршаллу.
Суть его в том, что равновесие на рынке складывается не под влиянием давления
избытков спроса и предложения, а под влиянием превышения цены спроса над ценой
предложения или, наоборот, цены предложения над ценой спроса, на что продавцы
реагируют соответственно увеличением или сокращением объема предложения.
Равновесие по Маршаллу иллюстрирует рис. 1.5, б. Если объем предложения ниже
равновесного уровня QE, цена спроса выше цены предложения, например при Q1 PD1 > PS1,
что побуждает продавцов увеличить объем предложения. Если объем превышает
равновесный уровень, цена предложения выше цены спроса, например при Q2 PS2 > PD2,
что заставляет продавцов снизить объем предложения. При равновесном объеме цена
спроса совпадает с ценой предложения: PS = PD = PE
Различию в этих подходах мы и обязаны "обратным" расположением осей координат на
графиках спроса и предложения. Маршалл оперировал прежде всего понятиями "цена
спроса" и цена предложения", поэтому функции спроса и предложения у него имеют вид:
12
PD=PD(Q),
PS = PS(Q),
а условием равновесия являлось равенство:
PD(Q)=PS(Q)
(1.7)
Объемы спроса и предложения, как независимые переменные, откладывались по оси
абсцисс. Вальрас же сосредоточил внимание на объемах спроса и предложения при
данных ценах. Поэтому функции спроса и предложения у него имеют вид:
QD= QD (P)
Qs= Qs (P)
А условием равновесия являлось равенство:
QD (P)= Q S(P)
(1.7*)
Современная экономическая теория оперирует функциями спроса и предложения по
Вальрасу, а их графическими отображениями по Маршаллу. Это не влияет на результаты
анализа взаимодействия спроса и предложения, за исключением некоторых моментов.
Экономические процессы протекают во времени. Описывающие их модели делятся на два
класса: динамические и статические. Динамическими обычно называют модели,
непосредственно учитывающие фактор времени. В этих моделях все переменные
являются функциями времени.
Обозначив время через t, мы можем представить «процесс нащупывания» равновесия по
Вальрасу уравнением:
dP
 h[Q D ( P)  Q S ( P)]  hQ D ( P),
dt
h  0,
13
(1.8)
где Q D (P) – избыток спроса при цене P. При Q D (P) >0 цена повышается, при
Q D (P) <0 цена понижается, при Q D (P) =0 выполняется условие (1.7*).
По Маршаллу процесс взаимодействия спроса и предложения описывается уравнением:
dQ
 k[ P D (Q)  P S (Q)]  kP(Q),
dt
k  0,
(1.9)
где P (Q ) – превышение ценой спроса цены предложения при объеме продаж Q.
Очевидно, что при P (Q ) >0 объем предложения возрастает, при P (Q ) <0 снижается,
при P (Q ) =0 условие (1.7) выполняется.
14
2. Постановка задачи
Дадим постановку задачи построения управляемой модели рынка, следуя схеме,
предложенной в работе [6].
Пусть x – цена товара, QD – объем спроса товара при данной цене. В простейшем
случае линия спроса, определяющая зависимость объема спроса товара от его цены,
представляется прямой линией [1], понижающейся с ростом цены:
Q D ( x)  Qm  ax ,
(2.1)
где a – модуль тангенса угла наклона линии в координатах цена-спрос (x, Q), Qm – спрос
при нулевой цене. Реально спрос QD(x) нелинеен, и при приближении цены к нулю очень
быстро возрастает, а при значительном увеличении цены медленно приближается к нулю,
оставаясь положительным, так что линейная модель спроса (2.1) является простейшим
приближением линии спроса, достаточно адекватным реальности лишь в окрестности
точки рыночного равновесия.
Пусть состояние рынка характеризуется в каждый данный момент (интервал) текущего
времени t ценой товара x(t). Не будет большим преувеличением предположение о том, что
рынок стремится обеспечить покупательский спрос и при этом добиться максимальной
прибыли путем соответствующего регулирования цены товара. Очевидно, слишком
высокие цены приведут к падению покупательского спроса на этот товар и снизят объем
продаж с соответствующим уменьшением прибыли. Наоборот, слишком низкие цены
сделают рынок нерентабельным для продавцов. Следовательно, критерий оптимальности
поведения рынка должен быть связан с требованием обеспечения покупательского спроса
при цене, обеспечивающей максимальную прибыль продавцов, т.е. максимальную
рентабельность рынка.
Примем в качестве стратегии поставки товара на рынок поставку товара при закупке
его в объёме покупательского спроса. В момент времени t покупательский спрос
определяется линией спроса
Q D (t )  Qm  ax(t ) .
(2.2)
Обычно между моментом заказа товара для поставки его на рынок и моментом
исполнения заказа (фактической поставкой) проходит некоторое время τ (запаздывание,
лаг поставки), так что к моменту времени t на рынок поступит товар, заказанный за τ
единиц времени до этого в объёме
Q S (t )  Qm  ax(t  )
(2.3)
по цене закупки P1. Таким образом, к моменту времени t объём поставки товара равен
QS(t), тогда как объём спроса товара в этот момент составляет величину QD(t) по цене x(t).
15
Заметим, что стратегия закупки товара в объёме текущего спроса (2.3) не учитывает
того факта, что в момент времени t–τ на рынке уже может находиться непроданный на
предыдущем интервале товар в объёме Q(t–τ), так что логичнее было бы заказывать
поставку товара в объёме
Q S (t )  Q(t  )  Qm  ax(t  )  Q(t  )
вместо объёма спроса (2.3), если QS(t)>Q(t–τ), т.е. если текущий спрос превышает остатки,
или вообще не заказывать товар, если его остатки превышают текущий спрос. Однако в
такой постановке модель рынка резко усложняется, хотя, естественно, является более
адекватной реальности. Из-за сложности такой модели оставим пока стратегию закупки
товара для поставки его на рынок в виде текущего спроса (2.3).
Если x(t–τ)<x(t), то QS(t)>QD(t), и спрос будет полностью удовлетворен. При этом
останется непроданным Q(t)=QS(t)–QD(t)>0 единиц товара. Если же x(t–τ)≥x(t), то
QS(t)≤QD(t), и спрос может оказаться неудовлетворенным в полном объёме. Весь товар
QS(t) будет продан, непроданного товара (остатка) не будет (Q(t)=0), и образуется дефицит
спроса QS(t)–QD(t)<0, что приведет к недополученной прибыли.
Таким образом, если к моменту t (к началу t-го интервала дискретного времени) имелся
остаток (непроданный товар) в объёме Q(t), а дополнительное предложение (поставка)
товара на этом интервале составило величину QS(t), то продано на этом интервале может
быть либо QD(t), если Q(t)+QS(t)≥QD(t), либо Q(t)+QS(t), если Q(t)+QS(t)<QD(t). Тогда
остаток товара на рынке к началу следующего (t+1-го) интервала выразится величиной



Q(t  1)  Q(t )  Q S (t )  Q D (t ) 1 Q(t )  Q S (t )  Q D (t ) ,
(2.4)
где 1(·) – индикатор события, указанного в скобках, равный 1, если событие имеет место,
и 0, если нет.
Соотношение (2.4) может рассматриваться как уравнение состояния рынка по
переменной Q. В развернутой форме это уравнение имеет вид:
Q(t  1)  Q(t )  ax(t   )  x(t )1Q(t )  ax(t   )  x(t ) , t  0,1,2,  .
(2.5)
Очевидно, на закупку товара в объёме QS(t) по цене P1 продавец платит сумму QS(t)P1. А
продажа товара происходит в момент t по цене x(t) в объёме


Qпрод (t )  min Q(t )  Q S (t ), Q D (t ) 
 min Q(t )  Qm  ax(t   ), Qm  ax(t ) 
 Qm  ax(t   )  Q(t )1x(t   )  x(t )  Q(t ) / a  
 ax(t ) 1x(t   )  x(t )  Q(t ) / a x(t ) 
 Qm  ax(t   )P1  Q(t ) P2 .
16
(2.6)
При этом выручка продавца составит на интервале t величину Qпрод(t)x(t), а прибыль –
разницу
Q S (t ) P1  Qпрод (t ) x(t ) .
При этом, если Q(t)≠0 (оставался некоторый объём непроданного товара на текущем
интервале дискретного времени), то хранение его стоило Q(t)P2, где P2 – цена хранения
единицы товара, и прибыль уменьшается на эту величину. Таким образом, текущая
прибыль продавца на t-м интервале времени составляет величину
J (t )  min Q(t )  Qm  ax(t   ), Qm  ax(t )x(t ) 
Qm  ax(t   )P1  Q(t ) P2 .
(2.7)
Если с течением времени цена стабилизируется, принимая равновесное значение x, так
что x(t)→x, x(t–τ)→x, min(Q(t)+Qm–ax(t–τ), Qm–ax(t))→Qm–ax, то текущая прибыль
принимает вид:
J (t )  (Qm  ax)( x  P1 )  Q(t ) P2 ,
(2.8)
откуда видно, что наибольшего и стационарного значения она достигает в отсутствие
остатков непроданных товаров, т.е. при Q(t)=0:
J ( x)  (Qm  ax)( x  P1 ) .
(2.9)
Это квадратичная выпуклая вверх функция x. Следовательно, максимальное значение
текущая прибыль достигает при
x
Qm  aP1
 P* ,
2a
(Qm  aP1 ) 2
max J ( x)  J P 
x
4a
 
(2.10)
*
.
Заметим, что линия спроса Qm–ax принимает значение, равное нулю, при xmax=Qm/a (это
максимальная цена, при которой спрос обращается в нуль, т.е. предельная цена, по
которой покупатель уже не согласен покупать товар). Цена закупки товара P1<P*<xmax
всегда.
Таким образом, в рассматриваемой модели рынка существует равновесная цена P*,
обеспечивающая максимальную прибыль продавца, которая достигается при отсутствии
остатков непроданного товара.
Пусть до некоторого начального момента t=0 рынок находился в состоянии равновесия,
так что
x(t ) t  0  P * .
(2.11)
17
Пусть в момент t=0 рынок каким-либо образом выводится из состояния равновесия, т.е.
цена товара в этот момент принимает значение
x(0)  P0  P * .
(2.12)
Очевидно, для обеспечения максимальной прибыли продавца рынок в следующий же
момент дискретного времени должен вернуться в состояние равновесия P*, т.е. скачком
изменить цену от значения x(0)=P0 до значения x(1)=P*. Однако реальный рынок, как
правило, не допускает резкого изменения цен, обладая определенной инерционностью,
консерватизмом. Эту инерционность можно ввести в математическую модель рынка в
виде аддитивной штрафной функции вида

R
x(t  1)  x(t )2 , R  0 ,
2
к целевой функции рынка J(t). Величину u(t)=x(t+1)–x(t) можно рассматривать как
«управление», которое вырабатывает инерционный рынок, стремясь перевести себя из
возмущенного состояния x(0)=P0 в равновесное P* с максимизацией на траектории этого
перехода суммарной прибыли:
J   Qm  ax(t   )  Q(t )  1x(t   )  x(t )  Q(t ) / a  
T
t 0
 ax(t ) 1x(t   )  x(t )  Q(t ) / a x(t ) 
T 1
 Qm  ax(t   ) P1  Q(t ) P2   
t 0
R 2
u (t )  max
u,x
2
(2.13)
при ограничениях типа равенств (уравнения состояния)
x(t  1)  x(t )  u(t ) , x(0)  P0  0 , x(t ) t  0  P * , t  0, T  1 ,
(2.14)
Q(t  1)  Q(t )  ax(t   )  ax(t )1x(t   )  x(t )  Q(t ) / a  ,
Q(0)  Q0 , t  0, T  1 ,
(2.15)
и неравенств (ограничения на состояния)
x(t  1)  0 , t  0, T  1 ,
(2.16)
или, что то же, неравенств (ограничений на управления)
x(t )  u (t )  0 , t  0, T  1 .
(2.17)
Здесь T – время наблюдения за состоянием рынка (время функционирования рынка)..
18
Таким образом, рассматриваемая модель рынка – это оптимально самоуправляемая
система, описываемая уравнениями состояния (2.14), (2.15), максимизирующая выпуклый
вверх функционал качества (2.13) с помощью управлений u(t), допустимых системой
неравенств (2.16) или (2.17).
3. Необходимые условия оптимальности
Следуя работе [6], выпишем необходимые условия оптимальности управления u(t) и
состояния x(t), Q(t), используя функцию Лагранжа, присоединяющую к функционалу
качества (2.13) ограничения типа равенств (уравнения состояния) (2.14), (2.15) с помощью
неопределенных множителей Лагранжа (сопряженных по Гамильтону переменных) p(t+1),
q(t+1):
T 1
L( x, Q, u, p, q)  J ( x, Q, u )   p(t  1)x(t )  u (t )  x(t  1)  
t 0
T 1
  q(t  1)Q(t )  ax(t   )  ax(t )  1x(t   )  x(t )  Q(t ) / a   Q(t  1) .
t 0
(3.1)
Решив двойственную задачу
L(u, p, q)  max L( x, Q, u, p, q)
(3.2)
x ,Q
при фиксированных значениях управлений u(t) и сопряженных переменных p(t+1), q(t+1),
получим систему рекуррентных уравнений для сопряженных переменных, решаемую в
обратном времени:
q(t )  q(t  1) 
J
, t  T  1,1 ,
x(t )
J
,
x(T )
(3.3)
J
J
, t  T  1,1 , q(T ) 
,
Q(t )
Q(T )
(3.4)
p(t )  p(t  1) 
p(T ) 
где

 

J
 Qm  aP *  Q(t ) 1 P *  x(t )  Q(t ) / a 
x(t ) 1t  1


 2ax(t ) 1 P *  x(t )  Q(t ) / a ,
J
x(t )
 Qm  aP0  Q( )  1P0  x( )  Q( ) / a  
t 
19
 2ax( ) 1P0  x( )  Q( ) / a  ,
J
 Qm  ax(t   )  Q(t )  1x(t   )  x(t )  Q(t ) / a  
x(t )  1t T 
2ax(t ) 1x(t   )  x(t )  Q(t ) / a  
ax(t   ) 1x(t )  x(t   )  Q(t   ) / a   aP1 ,
J
x(t )
 Qm  ax(t   )  Q(t )  1x(t   )  x(t )  Q(t ) / a)  
T   t T
2ax(t ) 1x(t   )  x(t )  Q(t ) / a) ;

(3.5)

J
 x(t ) 1 P *  x(t )  Q(t ) / a  P2 ,
Q(t ) 1t  1
J
Q(t )
 x( ) 1P0  x( )  Q( ) / a   P2 ,
t 
J
 x(t ) 1x(t   )  x(t )  Q(t ) / a   P2 .
Q(t )  1t T
(3.6)
Выпишем функцию Гамильтона как функцию управления u(t):
H u (t )   
R 2
u (t )  p(t  1) * u (t ) .
2
(3.7)
Оптимальное управление находится из условия максимума этой функции по u(t) при
ограничениях (2.17). Функция Гамильтона (3.7) – выпуклая вверх квадратичная функция
скалярной переменной u(t). Безусловный максимум этой функции находится в точке
u * (t )  p(t  1) / R .
(3.8)
Но оптимальное управление u(t) должно удовлетворять ограничению (2.17), откуда
получаем:


u(t )  u * (t ) 1 u * (t )  x(t )  0 ,
(3.9)
т.е. окончательно
u(t )   p(t  1) / R 1x(t )  p(t  1) / R  0 .
(3.10)
Подставив это выражение в уравнение состояния (2.14), получаем уравнение
состояния в замкнутой форме (т.е. уравнение состояния оптимального самоуправляемого
рынка):
20
x(t  1)  x(t )   p(t  1) / R1x(t )  p(t  1) / R  0 ,
x(0)  P0 ,
x(t ) t  0  P * .
(3.11)
Это уравнение совместно с уравнением состояния (2.15) и уравнениями (3.3), (3.4) для
сопряженных переменных p(t), q(t) образуют нелинейную двухточечную краевую задачу
(ДТКЗ), решение которой определяет
оптимальную
траекторию перехода
рассматриваемой модели инерционного рынка с запаздыванием из возмущенного
состояния x(0)=P0 к равновесному состоянию P*.
К сожалению, эффективных общих методов решения нелинейных двухточечных
краевых задач не существует.
21
4. Метод возможных направлений
Воспользуемся для решения оптимизационной задачи (2.13) при ограничениях типа
равенств (2.14)–(2.15) и неравенств (2.16) или (2.17) одним из методов последовательных
приближений по управлениям – методом возможных направлений [3], конкретизировав
его применительно к рассматриваемой задаче оптимизации инерционного рынка с
запаздыванием. Опишем работу алгоритма по шагам.
Шаг 1.
Выбираем в качестве допустимого начального приближения для управления u(t )  0 ,
t  0, T  1 .
Шаг 2.
Используя рекуррентное соотношение (2.14), вычислим траекторию цен x(t ) , t  1, T ,
соответствующую заданному управлению u(t ) , полагая x(0)  P0 . Используя рекуррентное
соотношение (2.15), вычислим соответствующую траекторию остатков товара Q(t ) ,
t  1, T , полагая Q(0)  Q0 .
Шаг 3.
Используя формулы (3.5) и (3.6), вычислим все производные J x(t ) и J Q(t ) ,
t  1, T , соответствующие значениям x(t ) , Q(t ) , после чего, используя рекуррентные
соотношения (3.3), (3.4), вычислим в обратном времени все сопряженные переменные
p(t ) , q(t ) , t  1, T .
Шаг 4.
Вычислим градиент функции Гамильтона при заданных u(t ) и полученных p(t ) :
 (t ) 
H u (t ) 
  Ru (t )  p (t  1) , t  0, T  1 .
u (t ) u u , p  p
(4.1)
Найдем направления s (t ) изменения u(t ) , обеспечивающие наибольшее улучшение
показателя качества (увеличение функции Гамильтона), решив задачу максимизации
скалярного произведения
 
T 1
H u(t )
s
(
t
)

 u(t )
  (t )s(t )  max
s
t 0
t 0
T 1
22
(4.2)
при ограничениях s(t )  1 , t  0, T  1 . Очевидно, её решение имеет вид:


(4.3)
u(t )  u(t )   s(t ) , t  0, T  1 ,
(4.4)
s(t )  sign (t )  sign p(t  1)  Ru(t ) , t  0, T  1 .
Шаг 5.
Строим новое управление
где ε>0 – шаг изменения управления в направлении s(t ) . Тогда получится новая
траектория
x(t  1)  x(t )  u(t )   s(t ) , t  0, T  1 , x(0)  P0 .
(4.5)
Решив это уравнение для любого t, получим:
x(t  1)  x(t  1)   c(t  1) , t  0, T  1 ,
(4.6)
где обозначено:
t
c(t  1)   s(k ) , t  0, T  1 .
k 0
(4.7)
С одной стороны, шаг ε>0 должен быть выбран так, чтобы не нарушались неравенства
(2.16):
x(t  1)   c(t  1)  0 , t  0, T  1 .
(4.8)
Очевидно, если c(t+1)≥0, то ε>0 может быть любым, даже как угодно большим. Если же
c(t+1)<0, то, очевидно,
0 
x(t  1)
c(t  1) .
Положим
 u  min  u (t ) ,
(4.9)
где
c(t  1)  0,
 ,
, t  0, T  1 .
 x(t  1) c(t  1) , c(t  1)  0
 u (t )  
(4.10)
С другой стороны, шаг ε>0 желательно выбрать таким, чтобы целевой функционал при
новом управлении увеличился как можно больше, т.е. чтобы J(ε), определяемый
формулой (2.13) при u(t )  u(t )   s(t ) , x(t  1)  x(t  1)   c(t  1) , t  0, T  1 , с учетом (2.15) и
23
условия
c(t ) t 0  0 ,
достигал
максимального
по
ε>0
значения.
Ограничиваясь
параболическим приближением функции J(ε),
J ( )  J (0) 
dJ (0)
1 d 2 J (0) 2


d
2 d 2
и обозначая
dJ ( )
d
 A,
d 2 J ( )
 0
d 2
B,
(4.11)
 0
получим линейное уравнение:
dJ ( )
 A  B  0 ,
d
(4.12)
откуда
 x  arg max J ( ) 

A
.
B
(4.13)
Окончательно
  min u ,  x  .
(4.14)
Коэффициенты A и B рассчитываются по формулам:
A   Qm c(t )  aP1 c(t   ) 
T
t 0


 2ac(t ) x(t ) 1x(t  )  x(t )  Q(t ) / a Rx(T )  P ,

 a x(t  )c(t )  ac(t  ) x(t )  Q(t )c(t ) 1 x(t  )  x(t )  Q(t ) / a 
0
T


(4.15)

B    2ac(t   )c(t ) 1 x(t   )  x(t )  Q(t ) / a 
t 0


 2ac 2 (t ) 1 x(t  )  x(t )  Q(t ) / a  Rc(T ) ,
(4.16)
*
причем при вычислениях следует учитывать, что c(t ) t 0  0 , x(t ) t  0  P , x(0)  P0 ,
Шаг 6.
Найдя таким образом оптимальную величину шага ε>0, обеспечивающего
максимальное увеличение функционала качества и не выводящего траекторию рыночной
цены в область отрицательных значений, т.е. за допустимые пределы, получим новое
24
приближение управления u(t )  u(t )   s(t ) , t  0, T  1 , к оптимальному и оценим его
качество. Если
max u (t )  u (t )   ,
t
(4.17)
где δ>0 – допустимая погрешность отыскания управления, то процесс построения
решения заканчивается. Иначе переходим на шаг 2 и продолжаем процесс
последовательных приближений, пока не достигнем желаемой точности решения (4.17).
25
5. Алгоритм идентификации линии спроса
Алгоритм идентификации используется, когда нам неизвестна линия спроса и нам надо
ее идентифицировать путем выбора значений параметров, которые ее характеризуют.
Для оценки параметров неизвестной нам линии спроса используем метод наименьших
квадратов (МНК).
Для тех t’, для которых Q(t+1) > 0, Qпрод(t)= QD (t), т.е
Qпрод (t )  Qm  ax(t )
Qпрод (t ) = Q(t)
t
J '   [Q(t ' )  Qm  ax(t ' )]2  min
Qm ,a
t '0
(5.1)
t
J '
 2[Q(t ' )  Qˆ m  aˆx(t ' )]( 1)  0
Qm
t ' 0
Система нормальных
(5.2)
уравнений МНК
J
 2 [Q(t ' )  Qˆ m  aˆx(t ' )](  x(t ' ))  0
a
t ' 0
t
t
t
t
t ' 0
t ' 0
t ' 0
 Q(t ' )  Qˆ m 1  aˆ  x(t ' )  0
t
t
t
t ' 0
t ' 0
t ' 0
(5.3)
 Q(t ' ) x(t ' )  Qˆ m  x(t ' )  aˆ  x 2 (t ' )  0
t
 1  n'
t '0
1 t
 Q(t ' )  Q(t ) - средняя величина.
n' (t ) t '0
(5.4)
Q(t )  Qˆ m  aˆ x(t )  0
(5.5)
Qx (t )  Qˆ m x(t )  aˆ x 2 (t )  0
26
Qm  Q(t )  aˆ x(t )
QP(t )  (Q(t )  aˆ x(t )) x(t )  aˆ x 2 (t )  0
(5.6)
2
aˆ ( x 2 (t )  x(t ) )  Qx (t )  Q(t ) x(t )
aˆ (t ) 
(5.7)
Qx (t )  Q (t ) x(t )
(5.8)
x 2 (t )  ( x(t )) 2
Qˆ m (t )  Q(t )  aˆ (t ) x(t )
Рис.5.1.
Когда количество проданного товара будет меньше имеющегося в наличие, тогда
получается, что продажа совпала со спросом. Мы делаем выборку тех t, при которых
произошло совпадение. Таким образом на этих данных мы сможем идентифицировать
линию спроса.
Для тех t (рис.1):
Q(t )  Qˆ m (t )  aˆx(t )
(5.9)
Стратегия закупки товара:
Q S (t )  Qˆ m (t   )  aˆ (t   ) x(t   )
Идентификация линии спроса дает нам возможность оценивать поведение рынка и
прогнозировать покупку необходимого нам количества товара.
27
6. Численное моделирование и исследование рынка
6.1 Упрощенная модель рынка
Рассмотрим первую модель рынка, в которой не учитывается объем товара на складе
при заказе (2.3). При численном моделировании рынка использовались следующие
значения параметров: T=500; R=100; Qm=4; a=0.4; P0=3; P1=1; Q0=1; τ=0–30. Значение
равновесной цены вычислялось по формуле (2.10): P*=5.5.
На рис.6.1–6.2 изображены оптимальное управление u(t) и оптимальная траектория
цены x(t) для модели рынка в отсутствие запаздывания (τ=0). Виден экспоненциальный
ход траектории цены к равновесному значению. Остаток непроданного товара в этом
случае остается неизменным: Q(t)=Q0.
Рис.6.1. Оптимальное управление u(t) при τ=0
Рис.6.2. Оптимальная цена x(t) при τ=0
28
На рис.6.3–6.6 приведены оптимальное управление u(t), оптимальная траектория цены
x(t), поведение остатка непроданного товара Q(t) и фазовая траектория рынка –
зависимость остатка товара от цены Q(x) – для модели рынка при запаздывании τ=10.
Видно, что цена товара возрастает до равновесного значения и долго сохраняется на этом
уровне. Но примерно за 2τ единиц времени до конца интервала функционирования рынка
цена начинает снижаться, причем скорость снижения цены достигает максимального
значения за τ единиц времени до конца интервала, а максимальное снижение цены
достигается в конце интервала. Это можно объяснить необходимостью хотя бы частичной
распродажи остатков непроданного товара.
Рис.6.3. Оптимальное управление u(t) при τ=10
Рис.6.4. Оптимальная цена x(t) при τ=10
29
Рис.6.5. Остаток товара Q(t) при τ=10
Рис.6.6. Фазовая траектория Q(x) при τ=10
На рис.6.7–6.10 приведены оптимальное управление u(t), оптимальная траектория цены
x(t), поведение остатка непроданного товара Q(t) и фазовая траектория рынка Q(x) для
модели рынка при запаздывании τ=20. Видно, что с увеличением запаздывания скорость
снижения цены возрастает, а само снижение цены и уменьшение остатка товара к концу
интервала увеличиваются.
30
Рис.6.7. Оптимальное управление u(t) при τ=20
Рис.6.8. Оптимальная цена x(t) при τ=20
Рис.6.9. Остаток товара Q(t) при τ=20
31
Рис.6.10. Фазовая траектория Q(x) при τ=20
Исследования показали, что при больших запаздываниях (τ>40) остаток товара к концу
интервала уменьшается почти до нуля. Скорость этого снижения зависит от
инерционности рынка, определяемой параметром R (чем больше R, тем выше
инерционность), а время снижения определяется запаздыванием. Инерционность рынка не
позволяет быстро снижать цену при распродаже остатков и доводить ее до «бросовой»
цены за конечное время 2τ.
На рис.6.11–6.12 приведены оптимальное управление u(t) и оптимальная траектория
цены x(t) при запаздывании τ=30. На этих рисунках видно, что переход к равновесному
состоянию носит экспоненциальный характер и не зависит от запаздывания.
Рис.6.11. Оптимальное управление u(t) при τ=0–30
32
Рис.6.12. Оптимальная цена x(t) при τ=0–30
6.2. Улучшенная модель рынка
До этого рассматривалась модель рынка, использовавшая стратегию закупки товара (2.3).
Рассмотрим модель рынка, использующую стратегию:
Q S (t )  Q(t  )  Qm  ax(t  )  Q(t  )
(6.1)
При этом введем параметры:
 ,1 , 2
  1 ( P0  P*)   2 ( P0  P*)
(6.2)
u (t )   ( P(t )  P*)
Т.е. мы используем управление ценой, которое будет пропорционально отличию текущей
цены от оптимальной. Параметр θ не дает быстро изменяться цене, так как модель рынка
обладает инерционностью.
Промоделируем эту модель рынка, используя следующие параметры:
T=300; Qm=4; a=0.4; P0=3; P1=1; P2 =0.1; Q0=1; τ=1; 1  0.01; 2  0.05; . Рынок
выведен из равновесия путем снижения цены на товар (P0=3; P*=5.5).
33
Рис.6.13. Оптимальное управление u(t)
Рис.6.14. Оптимальная цена x(t)
Как видно на рис.6.13-6.14, траектория перехода управления и соответственно цены
товара носит экспоненциальный характер и не зависит от запаздываний. Причем при
принятии равновесного значения, это значение сохраняется до конечного времени.
34
Рис.6.15. Спрос QD(x)
На рис.6.15 видно, что спрос из-за снижения цены резко возрастает в начале, а потом
сходится к равновесному значению.
Рис.6.16. Заказ товара QS(x)
На рис.6.16 видно, что заказ товара немного не соответствует спросу рис.3 из за наличия
задержки (τ=1) в поставке товара на рынок.
35
Рис.6.17. Остаток товара на складе Q(x)
Как видно на рис.6.17, из-за резкого возрастания спроса и наличия задержек в поставках
количество товара на складе вначале большое, но постепенно из за движения рынка к
равновесию остатки стремятся к нулю.
Рис.6.18. Продажа товара Qпрод(t)
На рис.6.18 показан объем продаж, который вначале резко увеличился вследствие
изменения спроса, но со временем сходится к равновесному значению
36
Рис.6.19. Прибыль J
На рис.6.19 показана прибыль, которая вначале резко уменьшается из за падения цены
и необходимости хранить большое количество товара на складе, но она довольно быстро
поднимается до равновесного значения путем нашего оптимального управления ценой.
Рассмотрим эту модель при тех же параметрах, но увеличим время задержки в
поставках товара ( τ=10 ). Оптимальное управление и цена сохраняют свою траекторию.
Спрос остается таким же рис.6.20.
Рис.6.20. Спрос QD(x)
37
Рис.6.21. Заказ товара QS(x)
Как видно на рис.6.21, из за большой задержки в поставках сначала заказывается товара
больше, чем на самом деле требуется, из за этого в какой то момент времени товар вообще
не заказывается, но в конечном итоге все равно сходится к равновесному значению.
Рис.6.22. Остаток товара на складе Q(x)
38
Рис.6.23. Продажа товара Qпрод(t)
Из-за наличия длительной задержки нам приходится вначале длительное время хранить
большое количество товара на складе рис.6.22, а в некоторые моменты времени склад
пустует из за задержки заказа товара рис.9, что сказывается на продажах товара (рис.11) и
на нашей прибыли (рис.6.23). Т.е. из задержек мы тратим деньги на хранение товара на
складе, а некоторый момент нам не хватает этого товара, чтобы удовлетворить спрос. Как
видно на рисунках присутствуют периоды времени когда мы теряем прибыль из за
нехватки товара, что обусловлено задержкой в поставках.
Рис.6.24. Прибыль J
39
Рассмотрим эту модель при других параметрах:
T=300; Qm=4; a=0.4; P0=8; P1=1; P2 =0.1; Q0=1; τ=5. Рынок выведен из равновесия
путем повышения цены на товар (P0=8; P*=5.5).
Рис.6.25. Оптимальное управление u(t)
Рис.6.26. Оптимальная цена x(t)
40
Рис.6.27. Спрос QD(x)
Рис.6.28. Заказ товара QS(x)
Рис.6.29. Остаток товара на складе Q(x)
41
Рис.6.30. Продажа товара Qпрод(t)
Рис.6.31. Прибыль J
Как видно на рис.6.26–6.31, при выходе рынка из состояния равновесия путем
увеличения цены товара рынок сходится к равновесию при воздействии отрицательного
управления ценой, что приводит к снижению цены (рис.6.25-6.26). Спрос (рис.6.27)
сначала резко уменьшается, но постепенно увеличивается до равновесного значения. Изза наличия существенной задержки в поставках товара мы заказываем количество товара,
которое мы не можем продать из-за резкого снижения спроса и нам приходится хранить
его на складе, что существенно уменьшает нашу прибыль вначале (рис.6.31).
42
Заключение
1. В дипломной работе была поставлена и решена задача исследования рынка с помощью
модели, построенной с использованием только линии спроса, которую можно задать
априорно или использовать алгоритм идентификации этой линии.
2. В результате работы было построено и исследовано две модели самоуправляемого
рынка с задержками в поставках товара. Исследование проводилось в среде
программирования Matlab. Причем вторая модель рынка – более сложная и,
соответственно, более адекватная.
3. С помощью самоуправляемой модели можно прогнозировать поведение рынка при
разных условиях, изменять стратегию закупки товара, находить оптимальное управление
ценой товара, что позволит продавцу получать максимальную прибыль на всем
временном участке.
4. В работе рассмотрена самоуправляемая модель рынка одного товара. Модель рынка
можно усовершенствовать и модернизировать под конкретный рынок со многими
товарами, что позволить иметь еще более адекватную реальности модель.
43
Список использованной литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Морозов В.И. Микроэкономика: В 2-х т. /Под
общей ред. В.М.Гальперина. – СПб.: Экономическая школа, 2002. – Т.1. – 349 с.
Поддубный В.В., Романович О.В. Разностные динамические модели рынка
вальрасовского типа с постоянными и случайными переменными запаздываниями
//Сб. научных трудов по материалам международной научно-практической
конференции «Научные исследования и их практическое применение.
Современное состояние и пути развития ‘2007». Т.1. Транспорт, физика и
математика. – Одесса: Черноморье, 2007. – С. 60–69.
Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. – М.: Наука,
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. – 256 с.
Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. – М.: Мир,
1977. – 652 с.
Оформление отчетов по курсовым, дипломным работам и производственной
практике на факультете информатики ТГУ. Методические указания / Сост.: Ю.Л.
Костюк. – Томск, 2003. – 19 с.
Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как оптимально самоуправляемая
инерционная система с запаздыванием // Вестник ТГУ, Томск, 2008 (в печати).
44
Приложение А. Руководство пользователя
1. Запуск matlab.exe
2. Открыть файлы «market old», «market» с помощью кнопки «Open» (Рис.1-2)
Рис. 1
Рис. 2
45
3. Ввод параметров для первой модели:
4. Ввод параметров для второй модели:
5. Для запуска программы нажимаем «Debug», в открывшемся списке выбираем
«Run» или нажимаем кнопку «F5»:
46
Приложение Б. Руководство программиста
Программа была написана с использованием Matlab, OS Windows.
1. Файл market_old.m содержит программу, описывающую первый вариант модели.
2. Файл market.m содержит программу, описывающую второй вариант модели.
47