Модели распределенных био

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Осенний семестр: модели динамики популяций
Введение. Обзор. Объекты моделирования. Типы моделей.
Специфика моделей локализованных и структурированных систем. Характер применяемого математического аппарата.
Элементы теории бифуркаций. Геометрическая интерпретация.
Коразмерность вырождения и понятие о теории катастроф.
Бифуркация Андронова. Ляпуновские величины.
Простейшие модели динамики популяций. Линейные модели.
Логистическая модель. Система «хищник – жертва». Уравнения Вольтерра, Колмогорова. Трофические функции
Автоколебательные режимы в системе «хищник – жертва». Релаксационные колебания системы в модели типа «сборка».
Сообщества с вертикальной структурой и трофические цепи.
Условия существования замкнутых и разомкнутых трофических цепей заданной длины.
Конкуренция нескольких видов. Экологическая ниша и конкурентный отбор. Принцип эволюционной оптимальности. Простейшие примеры применения принципа.
Дискретные модели популяций. Случай неперекрывающихся
поколений. Переход к хаосу для изолированной популяции.
Итерационные модели конкуренции двух видов, хищничества
и паразитизма. Дискретная динамика на плоскости.
Дискретная модель популяции с возрастной структурой.
Свойства оператора Лесли. Биологический потенциал популяции. Конкурентный отбор в модели Лесли.
Учет запаздывания в непрерывных моделях популяций. Уравнение Хатчинсона. Параметрическая структура областей
устойчивости и характер возникающих бифуркаций.
11. Модели с непрерывной возрастной структурой. Линейная модель изолированной популяции. Биологический потенциал и
структура предельных распределений.
12. Квазилинейные системы с возрастной структурой. Условия
Гуртина-МакКами сводимости к конечномерной системе уравнений. Их содержательная интерпретация.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Весенний семестр: модели распределенных систем
Модели биологических систем с пространственной структурой. Системы, описывающиеся уравнениями типа «реакция–
диффузия». Модели хемотаксиса.
Случай одного уравнения «реакции – диффузии». Критический
показатель диффузионной неустойчивости стационарных решений. Условия устойчивости нестационарных решений.
Решения типа бегущей волны. Минимальная скорость распространения возмущений. Цепочки волн. Смысл понятия устойчивости бегущей волны.
Бегущие волны в системе двух уравнений типа «реакция –
диффузия». Система «ресурс – потребитель» и «мертвые» зоны.
Бегущие волны на плоскости. Спиральные волны.
Диффузионная неустойчивость в системе двух уравнений «реакции – диффузии». Критерий ее возникновения и его интерпретации.
Элементы теории бифуркаций в бесконечномерном пространстве. Конечномерная структура ветвлений в системе 2 уравнений «реакции–диффузии». «Мягкие» диссипативные структуры.
Зависимость бифуркационной диаграммы стационарных решений системы «реакции–диффузии» от пространственной области распределения. Приложения к динамике популяций.
9. Характер стационарных режимов в пространственно распределенных системах с конкуренцией.
10. Модели сообществ с непрерывной возрастной структурой.
Квазилинейные системы.
11. Критерии устойчивости стационарных решений в моделях сообществ с непрерывной возрастной структурой.
12. Устойчивые стационарные решения в моделях конкурирующих сообществ с возрастной структурой.
13. Модели в задачах эпидемиологии. Пороговый уровень заболевания. Влияние структурирующих факторов на характер распространения эпидемии.
Список литературы
1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 304 с.
2. Вайнберг М.М., Треногин В.А., Теория ветвлений решений
нелинейных уравнений. М., Наука, 1969, 528 с.
3. Свирежев Ю.М., Нелинейные волны, диссипативные структуры и волны в экологии. М., Наука, 1987, 366 с.
4. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О., Устойчивость биологических сообществ. М. Наука, 1978. 352с.
5. Семевский Ф.Н., Семенов С.М., Математическое моделирование экологических процессов. Л. Гидрометеоиздат, 1982,
290 с.
6. Смит Дж. М., Модели в экологии, пер. с англ., М., Мир,
1976, 184 с.
7. Шапиро А.П., Лупов С.П., Рекуррентные уравнения в теории популяционной биологии. М., Наука, 1983, 134 с.
8. Webb G.F., Theory of nonlinear age-dependent population dynamics. (Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, v. 89), N.-Y, 1985, 294 p.
Министерство образования и науки РФ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
“УТВЕРЖДАЮ”
Проректор по учебной работе
________________ Ю.А. Самарский
“___” ________________ 2006 г.
ПРОГРАММА
по курсу: ___МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ БИО- И ЭКОСИСТЕМ__
для направления: 511600 ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА
факультеты: _ФАКИ_____________________________
кафедра: ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
курс: 4_____
семестр: _7,8___
экзамен _7_ семестр
лекции: 66 час.
диф.зачет _8_ семестр
ВСЕГО ЧАСОВ: 34____
Программу составил: д.ф.-м.н. В.Н. Разжевайкин
Программа обсуждена на заседании
кафедры вычислительной математики 28 июня 2006 г.
Зав. кафедрой
проф. А.С. Холодов