Вопросы для самоконтроля - Армавирский государственный

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Армавирская государственная педагогическая академия»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К ОРГАНИЗАЦИИ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
по дисциплине
Б З.Р «Математика»
Направление подготовки
050100 Педагогическое образование
Профиль подготовки
Начальное образование (ZSВП Нач 2-1)
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр педагогического образования
Форма обучения заочная
Составитель: доц. Фоменко Е.И.
Армавир, 2013
Литература
Основная литература
1. Виленкин Н.Я. и др. “Математика” - М. Просвещение, 1978 г.
2. Лаврова Н.Н., Стойлова П.П. “Задачник-практикум по математике” - М. Просвещение,
1985 г.
3. Стойлова Л.П. “Математика”, М. Изд. Центр «Академия», 1997 г.
4. Стойлова Н.П., Виленкин Н.Я. “Математика”, М. Просвещение, 1990 г.
5. Стойлова Н.П., Пышкало А.М. “Основы начального курса математики” - М.
Просвещение, 1988 г.
6. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть1. Армавир, 2000
7. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть 2. Армавир, 2000
8. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть3. Армавир, 2004
9. Фоменко Е.И. Пособие по математике для студентов заочного отделения факультета
педагогики и методики начального образования. Часть 4. Армавир, 2000
10. Фоменко Е.И. Основные вопросы математики: учебно- методическое пособие по
математике для студентов социально – педагогического факультета отделения
педагогики и методики начального образования педагогических вузов/ Е.И. Фоменко.Армавир: Редакционно – издательский центр АГПУ, 2009.-260с.
Дополнительная литература
11.Архипов Б.М. и др. “Математика” - Минск, 1976 г.
12.Кессельман В.С. Занимательная математика. М.: АСТ: Астрель,2008.
13.Колягин Ю.М., Луканкин Г.М. “Основные понятия современного школьного курса
математики”. - М. Просвещение, 1974 г.
14.Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И.
Адян, Н.С. Бахвалов и др.- М.: Сов. Энциклопедия, 1988.
15.Новая иллюстративная энциклопедия. Кн.4 Ве-Ге.- М.: Большая российская
энциклопедия, 2000.
16.Пышкало А.М. “Теоретические основы начального курса математики” - М.
Просвещение, 1974 г.
17.Столяр А.А., Лельчук М.П. “Математика” - Минск, 1975 г.
Интернет-ресурсы:
1. 1. Образовательная система «Школа 2100» –http://www.school2100.ru
2. Российский общеобразовательный портал - http://www.school.edu.ru
3. Электронная библиотека. Грамотей. http://www.gramotey.com
5. Научная библиотека МГУ http://www.nbmgu.ru/ruslibraries
6. Российская государственная библиотека http://www.rsl.ru/
7. Электронная библиотека диссертаций РГБ http://www.diss.rsl.ru
ЗАДАНИЯ К ЗИМНЕЙ СЕССИИ
1) Выполните задания:
Тема: Понятие множества, элемент множества. Способы задания множеств. Виды
множеств. Отношения между множествами. Круги Эйлера
Выполните задания:
1) Найдите сходство и различие операций над множествами: пересечения,
объединения, разности, декартова произведения?
2) Найдите сходство и различие доказательства свойств пересечения,
объединения, разности, декартова произведения над множествами?
3) Изобразите на кругах Эйлера следующие множества:
а) АВС; б) АВ, ВС, АС=; в) АВ, СВ и АС=;
г) (АВ)С(рассмотрите различные случаи).
4) О каких множествах и операциях над ними идет речь в задачах:
а) С одной грядки сняли 25 кочанов капусты, а с другой-15 кочанов. Всю эту
капусту разложили в корзины по 8 кочанов в каждую. Сколько потребовалось
корзин?
б) Для школьного сада привезли 24 саженца яблонь. На одном участке пионеры
посадили 6 саженцев, а на другом - остальные в три ряда поровну. Сколько
саженцев посадили в каждом ряду?
5) Покажите, что выполняя задание: "Запишите числа, которые больше чем 65 и
меньше, чем 75",учащиеся по сути дела встречаются с двумя способами задания
множества.
6) Запишите множество К однозначных натуральных чисел, являющихся
нечетными или кратными 3. Выразите это множество через множество А,
однозначных нечетных чисел и множество В однозначных чисел кратных 3.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется элементами множества?
2. Какие способы задания множеств вы знаете?
3. Какое множество называется подмножеством другого множества?
Тема: Операции над множествами: пересечение, объединение, разность двух
множеств. Нахождение дополнения подмножества. Разбиение множества на
классы. Декартово произведение множеств. Свойства операций :
1. В чем сходство и различие операций над множествами: пересечения,
объединения, разности, декартова произведения? (Выделите отличительные
черты).
2. В чем сходство и различие доказательства свойств пересечения, объединения,
разности, декартова произведения над множествами? (Выделите
отличительные черты).
Выполните задания:
1)Докажите: а) свойство ассоциативности объединения множеств; б) свойство
дистрибутивности декартова умножения относительно пересечения (объединения)
множеств; в) свойства разности множеств № 10, 12, 13.
2)Запищите элементы пересечения (объединения, разности, декартова произведения)
множеств А и В:
а) А= {а,о,и,у,ю}, В={а,б,и,к,о};
б) А={3,6,9,12,15}; В={6,1,2,5,9,13}; в) А={1,2,3,4,5,6} В={12,34,56}.
3) Найдите разность множеств А и В:
а) А={д,о,м}, В={м,о,р,е}; б) А={11,12,48,54,7}, B={7,12};
в) А=х/ хN, х 11, В=х/ хN, х 5.
4) Выпишите все двузначные числа, в которых число десятков принадлежит множеству
{8,6,2}, а число единиц множеству {3,5,0}.
5) Даны множества: А={а, б, с}, B={m,n} ,С={х, у, z}. Запишите множества: АВС и
ВАС. Выясните, какие из следующих высказываний верны: а) (б, m, х)АВС;
б) (б, m, х)ВАС; в) АВС=ВАС.
6) Покажите графически, что декартово умножение множеств
А= {3,2,1} и В= {1, 4,6} не обладает свойством коммутативности.
7)Изобразите на координатной плоскости декартово произведение множеств Х и У, если
Х=х/ хN, х- четные; х  10, У= х/ хN, 5 х  10.
8) Определите порядок выполнения действий в следующих выра
жениях: а) АВС; б) АВС; в) АВСД; г) АВСД.
9) Постройте три круга, представляющие попарно пересекающиеся
множества А, В и С, и отметьте штриховкой области, изображающие
множества: а) АВС; б) АВС; в) (АВ)С; г) (АВ)С;
д) АВС; е) (АС) (В С).
10) Проиллюстрируйте, используя круги Эйлера, следующие свойства:
а) ассоциативности пересечения множеств;
б) дистрибутивности пересечения относительно объединения множеств;
в) дистрибутивности объединения относительно пересечения множеств.
11) Среди следующих выражений найдите такие, которые представляют собой равные
множества:
а) РМК; б) Р(МК); в) РМР К; г) Р(МК);
д) (РМ)К; е)(МР)(РК).
12) Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 2; В - натуральных чисел, кратных
3; С- натуральных чисел, кратных 5.
а) Изобразите при помощи кругов Эйлера данные множества и от
метьте штриховкой область, изображающую множество А В  С.
б) Сформулируйте характеристическое свойство элементов этого
множества и назовите 3 элемента, которые ему принадлежат.
в) Верно ли, что А В С = (А В) (А  С)?
13) Сформулируйте условия, при которых истинны следующие выказывания:
а) 5  А \
В;
б) 7  А \ В.
14) Известно, что х  А \ В. Следует ли из этого, что: а)хА; б)хВ?
15) Найдите разность множеств А и В, если
а) А = {1,2, 3,4,5,6}, В ={2,4, 6, 8, 10};
б) А = {1,2, 3,4, 5, 6}, В = ;
в) А = {1,2,3,4,5,6},В={1,3,5};
г) А = {1, 2, 3,4, 5, 6}, В = {6, 2, 3, 4, 5, 1}.
16) В каких случаях, выполняя упражнение 14, вы находили дополнение множества В до
множества А?
17)Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 3, В - натуральных чисел, кратных 9.
а) Сформулируйте характеристическое свойство элементов множества В'А.
б) Верно ли, что 123  В'А, а 333  В'А?
18) Найдите дополнение множества У до множества X, если:
а) Х- множество точек прямой АВ, Y- множество точек отрезка АВ;
б) X - множество точек квадрата, У - множество точек круга, вписанного в этот
квадрат.
19) Из каких чисел состоит дополнение:
а) множества натуральных чисел до множества целых;
б) множества целых чисел до множества рациональных;
в) множества рациональных чисел до множества действительных.
20) Из множества X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделили подмножества X1, Х2 и
Х3. В каком из следующих случаев множество X оказалось разбитым на классы:
а) X1 ={1,3,5,7, 11}, Х2 = {2,4,6,8, 10, 12},Х3={9};
б) X1 = {1,3,5,7,9,11}, Х2 = {2,4,6,8,10, 12}, Х3= {10, 11, 12};
в) X1 = {3, 6, 9, 12}, Х2 = {1, 5, 7, 11}, Х3 = {2, 10}?
21) Из множества X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11, 12} выделим подмножества:
а) А - четных чисел, В - нечетных чисел;
б) А - чисел, кратных 2; В - чисел, кратных 3; С- чисел, кратных 4;
в) А - нечетных однозначных чисел; В - четных двузначных чисел.
В каком случае произошло разбиение множества X на классы?
Вопросы для самоконтроля.
1. Какое множество называется пересечением множеств А и В?
2. Докажите свойство ассоциативности операции пересечения множеств.
3. Какое множество называется объединением множеств А и В?
4. Какое множество называется разностью множеств А и В?
5. Какое множество называется декартовым произведением множеств?
6. Какое множество называется дополнением множества В до множества А?
7. Докажите свойства разности и дополнения множеств №10.11,12,13?
8. Докажите свойство дистрибутивности декартова произведения относительно
пересечения (объединения).
9. Докажите свойства связывающие операции пересечения и объединения множеств.
Тема: Понятие высказывания. Логические операции над высказываниями.
Предикаты, логические операции над предикатами. Кванторы.
Доказательство истинности или ложности высказываний с кванторами.
Построение отрицания высказывания с квантором.
1. Сравните высказывание и высказывание с квантором.
2. Что необходимо для выявления логической структуры составного предложения.
3. Определите сходство и различие между высказыванием и предикатом.
Выполните задания:
1) Что необходимо для выявления логической структуры составного предложения.
2) Определите сходство и различие между высказыванием и предикатом.
3) B высказывании «всякий прямоугольник является четырехугольником» выделите
квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание,
заменив слово «всякий» его синонимом.
4) В высказывании «хотя бы одно из чисел первого десятка составное» выделите
квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание,
заменив квантор «хотя бы одно» его синонимом.
5) Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значения
истинности:
а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль.
б) Произведение любого числа и единицы равно этому числу.
в) При делении нуля на любое другое число получается нуль.
г) Квадрат любого числа неотрицателен.
6) Укажите способы установления значения истинности высказываний, содержащих
кванторы, заполнив таблицу:
Структура высказывания
( х X) А(х)
( х  X) А(х)
Значение истинности
и
л
7)Сравните понятия высказывание и высказывание с квантором.
8)Запишите 5 таких чисел, что:
а) все они кратны 7; б) некоторые из них кратны 5; в) некоторые из них не кратны
5; г) ни одно из них не кратно 3.
9) Пусть P(x), Q(x) и R(x) соответственно обозначают следующие одноместные
предикаты: «треугольник х равносторонний», «треугольник х равнобедренный» и
«треугольник х прямоугольный».
Сформулируйте нижеприведенные высказывания и установите их значение
истинности: а) ( х) P(x); б) ( х) P(x); в) ( х) P(x) R(x);
г) ( х) R(x)  Q(x).
10) Ученик неправильно выполнил следующее задание: «Написать 4 таких числа,
чтобы некоторые из них были больше 12». Что можно сказать о числах,
написанных учащимся? Могло ли быть число 14 среди написанных чисел?
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется высказыванием?
2. Какие бывают высказывания? Дать их определение.
3. Что называется конъюнкцией (дизъюнкцией, отрицанием) высказывания?
4. Каковы свойства логических операций? Доказать с помощью таблицы истинности их
справедливость.
5. Какое предложение называется предикатом?
6. Что называется конъюнкцией (дизъюнкцией, отрицанием) предикатов?
7. Чему равно область истинности отрицания (конъюнкции, дизъюнкции) предикатов?
Доказать.
8. Что такое квантор?
9. Назовите виды кванторов.
10. Что называется операцией связывания кванторами?
11. Как установить истинность высказывания с квантором?
12. Как построить отрицание с квантором?
Тема: Определяемые и неопределяемые понятия. Способы определения понятий.
Требования к определению понятий. Решение задач на распознание.
1. Описать требования предъявляемые к понятиям.
Выполните задания:
1) Установите, какие ошибки допускаются при формулировке некоторых понятий.
2) Дайте определение квадрата через понятие «прямоугольник». Пользуясь данным
определением, укажите условия, при которых фигура будет являться квадратом.
3) Выявите логическую структуру следующих определений:
а)Параллельные прямые - это две прямые, принадлежащие плоскости и
непересекающиеся или совпадающие.
б) Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а
две другие не параллельны.
4) Установите, в каком из случаев (рис. 2) отрезок PQ является диаметром круга. Каким
определением диаметра удобнее воспользоваться при решении данной задачи:
а) Диаметр круга - это хорда,
проходящая через его центр.
б) Диаметр круга - это отрезок,
соединяющий две точки окружности
и проходящий через центр.
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется понятием?
2. Какими свойствами обладает каждый математический объект?
3. Назовите десять понятий изучаемых в начальном курсе математики. Есть ли среди них
такие, которые находятся в отношении рода и вида?
4. Что называется содержанием понятия?
5. Что называется объемом понятия?
6. Какое понятие называется родовым, а какое - видовым?
7. Что такое определение?
8. Какие существуют способы определения понятия?
9. Что такое определяемое и определяющее?
10. Сформулируйте требования предъявляемые к определению понятий.
Тема: Отношение логического следования и равносильности между предложениями.
Необходимые и достаточные условия. Строение теоремы. Способы
доказательства .
1. Дайте определение понятия доказательство.
2. Перечислите виды доказательств (приведите примеры).
Выполните задания:
1) Приведите примеры предикатов, которые находятся в отношении следования на
одном множестве и не находятся на другом.
2) Задайте множество X так, чтобы предикат С (х): х —четное число» следовал из
предиката D (х): «х — положительное число».
3)Сформулируйте следующие утверждения в виде конъюнкции двух взаимно
обратных утверждений:
а) треугольник АВС является прямоугольным тогда и только тогда, когда один из
его углов прямой;
б) треугольник ABC является равнобедренным тогда и только тогда, когда АВ = ВС,
или ВС = АС, или АС = АВ.
4) Докажите, что если А (х) является необходимым и достаточным условием для В (х),
то и В (х) является необходимым и достаточным условием для А (х).
5) Следует ли предложение В(х) - «Число х четное» из предложения
А (х), если:
а)
А(х) - «Число х делится на 6»;
б)
А(х) - «Число х делится на 7»;
в)
А(х) - «Число х делится на 2».
Предложения А(х) и В(х) заданы на множестве натуральных чисел.
6) Установите, находятся ли данные пары предложений в отношении следования:
а) Треугольник А ВС - равносторонний. Треугольник А ВС - равнобедренный.
б) Четырехугольник A BCD - квадрат. Четырехугольник A BCD - ромб.
в) х : 3 и х : 6.
г) а > 2 и а > 5.
7) Сформулируйте следующие высказывания в виде «если ..., то ...»:
а) А - достаточное условие для В;
б) А - необходимое условие для В;
в) В - достаточное условие для А;
г) В- необходимое условие для А.
8) Среди следующих предложений укажите истинные; ответы обоснуйте:
а) Число а - натуральное, следовательно, и 15а - натуральное число.
б) Число 15а - натуральное, следовательно, а - натуральное число.
в) Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырех
угольник - прямоугольник.
г) Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырех
угольник - прямоугольник.
д) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы все
его углы были равны.
е) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы все
его углы были равны.
9) Равносильны ли следующие предложения А (х) и В(х), если:
а) А(х) - «число делится на 9», В(х) - «сумма цифр в записи числа делится на 9».
б) А(х) - «каждое слагаемое суммы делится на 4», В(х) - «сумма делится на 4».
10) Докажите, что предложение «в прямоугольнике F диагонали взаимно
перпендикулярны» и «прямоугольник F - квадрат» равно сильны. Утверждения о
равносильности сформулируйте тремя раз личными способами.
11) Какие из следующих предложений можно переформулировать, употребив слова
«необходимо» либо «достаточно»:
а) Если в четырехугольнике все углы равны, то четырехугольник
является прямоугольником.
б) Сумма двух четных чисел есть число четное.
в) Всякое число, которое делится на 3 и на 5, делится на 15. Какие из
нижеприведенных высказываний истинные:
а)Для того чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно де
лилось на 6.
б) Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы оно де
лилось на 6.
в) Для того чтобы число делилось на 100, необходимо и достаточ
но, чтобы оно делилось на 10.
г) Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно,
чтобы оно делилось на 2 и на 5.
12) Вместо многоточия вставьте слова «необходимо» либо «доста
точно», либо «необходимо и достаточно», чтобы данные предложения
были истинными:
а) Для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2, ... ,
чтобы каждое слагаемое делилось на 2.
б) Для того чтобы каждое слагаемое делилось на 2, ... , чтобы сумма этих
слагаемых делилась на 2.
в) Для того чтобы число делилось на 45, ... , чтобы оно делилось на 5 и на 9.
г) Для того чтобы угол был острым,... , чтобы он был меньше прямого.
13) Теорему разбейте на две так, чтобы одна из них выражала прямую, а другая —
обратную теорему:
«Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом необходимо и
достаточно, чтобы его противоположные сторону были равны».
Вопросы для самоконтроля:
1. Какое высказывание называется импликацией (эквиваленцией)?
2. Какие предложения называются равносильными?
3. Какие предложения называются теоремами?
4. Какова структура теоремы?
5. Назовите виды теорем.
6. В чем заключается закон контрапозиции?
7.
Тема: Правильные и неправильные рассуждения. Простейшие правила вывода.
Проверка правильности рассуждений при помощи кругов Эйлера .
 П р и в е с т и п р и м е р ы н е п о л н о й и н д ук ц и и и а н а л о г и и .
 С ф о р м ул и р уй т е о п р е д е л е н и е п о л н о й и н д ук ц и и .
Выполните задания:
1. Если углы смежные, то их сумма равна 1800. АВС+DEF=2800. Следовательно, углы
ABC и DEF не смежные.
2.Все натуральные числа целые. Все целые числа рациональные. Следовательно, все
натуральные числа рациональные.
3.ЕСЛИ четырехугольник является прямоугольником, то у него диагонали равны. ABCD прямоугольник. Следовательно, у него диагонали равны.
4. Некоторые прямоугольники - квадраты. Все квадраты - правильные четырехугольники.
Следовательно, некоторые квадраты являются правильными четырехугольниками.
5. Некоторые целые числа не кратны 2. Некоторые целые числа кратны 3. Следовательно,
существуют целые числа, не кратные 6.
6. Постройте умозаключение, доказывающее, что: а) 18 делится на 2; б) 117 не делится на
2; в) 21 кратно 3; г) 121 не кратно 3.
7. Изобразите следующие высказывания с помощью к Эйлера:
а) все прямоугольники являются четырехугольниками;
б) некоторые учащиеся 1 В класса — отличники;
в) число 3,2 не является натуральным;
г) некоторые четные числа делятся на 3;
д) если число делится на 6, то оно делится на 2.
8. Приведите примеры умозаключений, встречающихся в начальных классах,
построенных по правилу: а) заключения; отрицания; в) силлогизма.
9.Закончите умозаключение, используя правило заключения:
Все студенты II курса педагогического факультета летом поработать в пионерский
лагерь. Соснина — ...
10. Закончите умозаключение, используя правило отрицания:
В любом прямоугольнике противоположные стороны попарно равны. В
четырехугольнике ABCD ...
11.Постройте правильные умозаключения из следующих предложений:
а) В четырехугольнике A BCD все углы прямые. Четырехугольник ABCD —
прямоугольник. Если в четырехугольнике все углы прямые, то он является
прямоугольником.
б) Все деревья имеют ствол. Боярышник не имеет ствола. Боярышник не является
деревом.
12.Восстановите рассуждение полностью:
5<6, так как при счете число 5 называется раньше чем 6.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что такое умозаключение?
2.
3.
4.
5.
Какие виды умозаключений вы знаете?
Назовите простейшие схемы дедуктивных (не дедуктивных) рассуждений.
Что такое индукция (полная и неполная), аналогия?
Как осуществляется проверка правильности рассуждений с помощью кругов Эйлера?
Тема: Соответствие между элементами двух непустых множеств. Способы задания
соответствий. Виды соответствий: прямое, обратное, противоположное,
функциональное, взаимно однозначное.
 Выявите различные типы и способы задания соответствий.
 Выделите отличительные признаки понятий: а) области определения и области
значения соответствия; б) образа и прообраза элемента при данном соответствии; в)
всюду определенного, сюръективного, функционального, инъективного,
противоположного, обратного и взаимно однозначного соответствий
Выполните задания:
1.Между элементами множеств А= {10, 11, 12, 13} и В ={3, 4, 5, б, 7} задано соответствие
R «больше на 6». Постройте граф и график R, R-1 , R.
2. Между элементами множеств А = {10, 11, 12, 13} и В ={3, 4, 5, 6, 7} задано
соответствие «больше на 6».
Постройте графы прямого, обратного
и противоположного соответствий.
3. Постройте граф соответствия Р —
«иметь равные площади» заданного
на множествах треугольников,
изображенных на рисунке и множестве натуральных чисел.
4. Запишите соответствие, изображенное на рисунке и найдите обратное,
противоположное. Постройте графы и графики этих соответствий.
а)
б)
в)
г)
5.Найдите область определения, множество значений, прообразы и образы
соответствий, изображенных в № 4.
Вопросы для самоконтроля.
1. Какая связь между элементами множеств называется соответствием?
2. Какие виды соответствий вы знаете?
3. Что называется областью отправления (прибытия) соответствия?
4. Какое множество называется областью определения (значения) соответствия?
5. Что называется графиком соответствия?
6. Какие способы задания соответствий вы знаете?
7. Какое соответствие называется взаимно однозначным?
8. Какие множества называются равномощными?
9. Какими свойствами обладают равномощные множества?
Тема: Отношения на множестве, их свойства. Отношение эквивалентности. Связь
отношения эквивалентности с разбиением множества на классы. Отношение
порядка .



Выявите различные типы и способы задания отношений.
Выделите отличительные признаки понятий: а) соответствия и отношения; б)
отношений порядка и эквивалентности; в) отношений порядка, предпорядка,
частичного и линейного порядка.
Выделите различные формы изображения: а) отношения, б)свойств отношений.
Выполните задания:
1.Постройте граф отношения Р — «иметь равные площади заданного на множестве
треугольников, изображенных на рисунке. Докажите, что Р является отношением
эквивалентности, и запишите классы эквивалентности.
2. Докажите, что отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 6», заданное на
множестве натуральных чисел, является отношением эквивалентности. Сколько
классов эквивалентности определяет это отношение?
3. Каждому числу а из множества М ={1,2, 5, 10, 25, 50}поставили в соответствие
натуральное число bиз того же множества такое, что а b = 50. Постройте граф
отношения, определите свойства и вид отношения.
4. Какие из следующих отношений являются отношениями эквивалентности, а какие —
порядка: а) равенство на множестве геометрических фигур; б) подобие на множестве
геометрических фигур; в) равносильность на множестве уравнений; г)
перпендикулярность на множестве прямых; д) «быть длиннее» на множестве отрезков?
5. Графы отношений Р, Q и М приведены соответственно на рисунке. Определите
свойства данных отношений и укажите среди них отношение: а) эквивалентности; б)
порядка.
6. Постройте граф отношения Q — «иметь не меньшую площадь», заданного на
множестве треугольников, изображенных на рисунке задания № 1. Упорядочивает ли
отношение Q данное множество?
7. Докажите, что отношение «иметь один и тот же остаток «при делении на 6»,
заданное на множестве натуральных чисел, является отношением эквивалентности.
Сколько классов эквивалентности определяет это отношение?
Вопросы для самоконтроля.
1. Что такое отношение на множестве.
2. Какие способы задания отношений вы знаете?
3. Сформулируйте свойства отношений.
4. Какое отношение на множестве называется отношением эквивалентности (порядка)?
5. Какое множество называется упорядоченным (линейно - упорядоченным, частично –
упорядоченным)?
6. Какие виды отношений вы знаете?
2) Решите примерные задания зачета.
1. Закончите умозаключение, используя правило отрицания: Все числа, имеющие два
делителя, являются простыми. Число 48 - …
2. Найдите пересечение, объединение, разность, декартово произведение множеств С и
Е, если С=х хN, х3, Е=х хZ, -1 х  2.
3. Соответствие Р – “число х кратно числу у” задано между элементами множеств
Х=21,56,26,22 и У=3,4,7, причем хХ, уУ. Постройте граф соответствий Р, Р-1
и Р.
4. Проверьте с помощью кругов Эйлера правильность умозаключения: Все деревья –
растения. Кактус – растение. Значит, кактус – дерево.
5. Какими свойствами обладает отношение “больше ” заданного на множестве
12,13,14,15,16,17, постройте его граф.
6. Соответствие Р – “число х кратно числу у” задано между элементами множеств
Х=21,56,26,22 и У=3,4,7, причем хХ, уУ. Постройте граф соответствий Р, Р-1
и Р.
7. На множестве Z задана высказывательная форма А(х): “2х-3 5х”. Найдите ее
значения истинности при х=-2; х=0; х=5. Можно ли на основании полученных
ответов утверждать, что для любых целых чисел неравенство верно? Почему?
8. Сформулируйте определение понятия "квадрат", указав в качестве родового понятия
«прямоугольник». Пользуясь данным определением укажите условия при которых:
а)фигура будет являться квадратом; б) фигура не будет являться квадратом.
9. Выясните, какие из следующих высказываний истинны:
10. а)если число кратно 6, то оно кратно 2;
11. б)если треугольник прямоугольный, то он не равносторонний;
12. Дана теорема: «Для того чтобы диагонали четырехугольника делились в точке
пересечения пополам, достаточно, чтобы четырехугольник был параллелограммом».
Выделите в ней и заключение и сформулируйте ее при помощи слов «следует»,
«всякий».
ЗАДАНИЯ К ЛЕТНЕЙ СЕССИИ
1) Выполните задания:
Тема: Понятие натурального числа и нуля. Отношения “равно”, “меньше”,
“больше” на множестве ц.н. чисел и их свойства.
 Сравните понятия целого неотрицательного числа и натурального.
 Найдите особенность в определении суммы целых неотрицательных чисел.
 Выделите отличительные и сходные признаки: а) отношений порядка, б) в
обосновании выбора действия сложения для различных типов задач.
Выполните задания:
1.Каким образом определяется в начальном курсе математики понятие: а) натурального
числа; б) нуля.
2.Какие два числа можно сложить, чтобы получить в сумме число 3? Запишите все
возможные случаи и, используя определение суммы целых неотрицательных чисел
докажите это.
3.Используя первое определение отношения “меньше” докажите, что для любых
натуральных чисел a, b, c справедливо утверждение: “Если ab, то a+cb+c.”
4.Приведите примеры двух заданий из учебников математики для начальных классов, в
которых отношения “меньше”, “больше” и “равно” рассматриваются с теоретико –
множественных позиций.
Указание: используйте учебник математики для 1 класса.
5. Обоснуйте выбор действия: а) 59; б) 138; в) 5=5.
6. Как возникли понятия натурального числа и нуля.
Вопросы для самоконтроля.
1. Какие множества называются равномощными? Привести примеры.
2. Чем является целое неотрицательное число с теоретико – множественной точки зрения?
3. Чем является натуральное число с теоретико – множественной точки зрения?
4. Какие целые неотрицательные числа называются равными?
5. Объясните теоретико – множественный смысл отношения “равно” на примере.
6. Сформулируйте основные свойства отношения “равно”.
7. Дайте определения отношению “меньше” (3 определения). Привести примеры.
8. Дайте определение отношению “больше ”.
9. Что называется суммой целых неотрицательных чисел?
10.
Сколько типов задач, решаемые сложением и какие встречаются в начальном курсе
математики. Приведите примеры.
Тема: Определение суммы ц.н. чисел, ее существование и единственность. Законы
сложения: коммутативный, ассоциативный.
Выполните задания:
1. Обоснуйте выбор действия при решении следующих задач:
а) Несколько девочек участвовали в танце. Три из них были в белых юбочках и три — в
синих. Сколько девочек участвовало в танце?
б) Пете осталось полить 2 грядки, а Мише 3 грядки. Сколько грядок осталось полить
мальчикам?
в) У Коли было 5 марок, а у Феди — на 3 марки больше. Сколько марок было у Феди?
г) Юра нашел 16 грибов, а Витя на 6 грибов меньше, чем Юра. Сколько всего грибов
нашли мальчики?
д)Садовнику надо подрезать 16 тополей и 11 лип. Он подрезал 23 дерева. Сколько
деревьев осталось подрезать садовнику?
е)Для ремонта дома сначала привезли 18 бревен, а потом еще 15. После этого осталось
привезти 9 бревен. Сколько всего бревен пойдет на ремонт дома?
2. Докажите свойства ассоциативности сложения.
3. Докажите свойства монотонности сложения.
4. Вычислите рациональным способом значение выражения и объясните, какие свойства
(законы) сложения были при этом использованы:
(357+249)+51; 2999+4453+3432+11+247; 234+427+356+573;
(3345+2199)+1045.
Вопросы для самоконтроля.
1. Докажите ассоциативный закон сложения целых неотрицательных чисел.
2. Докажите коммутативный закон сложения целых неотрицательных чисел.
3. Докажите аддитивное свойство сложения целых неотрицательных чисел. Приведите
пример применения этого свойства.
4. Сформулируйте свойство монотонности сложения целых неотрицательных чисел и
докажите его.
5. Сколько типов задач (какие), решаемые действием сложения, встречаются в начальной
школе? Приведите примеры. Дайте теоретико – множественное истолкование действия
сложения в этих задачах.
Тема: Определение разности, ее существование и единственность. Связь вычитания
со сложением. Вычитание числа из суммы и суммы из числа.
 Найдите особенность в определении разности целых неотрицательных чисел.
 Выделите отличительные и сходные признаки в обосновании выбора действия
вычитания для различных типов задач.
Выполните задания:
1.Обоснуйте выбор действия при решении следующих задач:
а) На тарелке лежало 5 яблок. Их было на 3 меньше, чем груш.Сколько груш лежало на
тарелке?
б) У Саши было 10 книг. Две книги он подарил товарищам. Сколько книг осталось у
Саши?
в) На верхней полке 9 книг, а на нижней 5. На сколько книг больше на верхней полке,
чем на нижней?
г) На верхней полке 9 книг, их на 5 больше, чем на нижней. Сколько книг на нижней
полке?
д) На уборке картофеля занято 10 картофелекопалок, а грузовых машин – на 2 больше. На
сколько грузовых машин больше, чем картофелекопалок было на уборке?
е)Ваня собрал 8 стаканов малины, а его сестра – на 2 стакана меньше. Сколько стаканов
малины собрали дети?
ж)В хозяйстве 20 тракторов. 9 из них отправили на одно поле, 9 — на другое, а остальные
были в ремонте. Сколько тракторов было в ремонте?
з)Дом ремонтировали 12 мужчин и 8 женщин. 5 человек из них перевели на другую
работу. Сколько человек осталось ремонтировать дом? Реши разными способами.
и)В начале учебного года в классе было 20 учеников. В течение года 4 ученика выбыли,
так как переехали в другие районы. За это время поступили 2 новых ученика. Сколько
учеников осталось в школе к концу года?
2. Докажите свойство вычитания числа из суммы.
3. Докажите свойство вычитания суммы из числа.
4. Вычислите рациональным способом значение выражения и объясните, какие свойства
вычитания были при этом использованы:
(357+249)-157; 2999-(343+1199); (234+427)-134; (3345-2199)-1045.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется разностью двух целых неотрицательных чисел?
2. Сформулируйте правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Объясните их
теоретико – множественный смысл.
3. Сколько типов задач (какие), решаемые действием вычитания, встречаются в
начальной школе? Приведите примеры. Дайте теоретико – множественное
истолкование действия вычитания в этих задачах.
Тема: Определение произведения ц.н. чисел через декартово произведение множеств,
его существование и единственность. Определение произведения через
сумму. Операция умножения и ее основные свойства.
 Сравните определения произведения целых неотрицательных чисел.
 Выделите особенность в обосновании выбора действия умножения.
Выполните задания:
1.Обоснуйте выбор действия при решении следующих задач:
а)Сколько кроликов разместили октябрята в 6 клетках, если в каждую поместили по 2
кролика?
б) На верхней полке 4 книги, это в 3 раза меньше, чем на нижней. Сколько книг на
нижней полке?
в) Золушка торопилась на бал и за вечер перебрала 3 мешка крупы по 10
килограмм в каждом мешке. Сколько всего килограмм крупы успела перебрать
Золушка?
г)В старшей группе детского сада 5 динозавриков, а абракадабриков в 3 раза больше.
Сколько абракадабриков в детском саду?
д)Винни-Пух сочинил 4 пыхтелки. Это в 5 раз меньше, чем он сочинил шумелок. Сколько
шумелок сочинил Винни-Пух?
2.Вычислите рациональным способом значение выражения и объясните, какие свойства
(законы) умножения были при этом использованы:
1)689 17; 2) (805+23)4; 3) 254712; 4)211 49; 5) 7895-5078; 6) 250838.
3. Докажите свойство ассоциативности умножения.
4. Докажите свойство дистрибутивности умножения относительно вычитания.
5. Докажите свойство монотонности умножения.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется произведением целых неотрицательных чисел а и в? (два
определения).
2. Какие числа называются сомножителями? Какая операция называется
умножением?
3. Как вы понимаете, что произведение целых неотрицательных чисел существует и
притом единственное?
4. Запишите коммутативный и ассоциативный законы умножения целых
неотрицательных чисел и дайте их истолкование с теоретико-множественной
позиции.
5. 5.Запишите дистрибутивный закон умножения относительно сложения
(вычитания). Какие преобразования выражений возможны на его основе? В каком
виде используется этот закон в начальном обучении математике?
6. Сформулируйте свойства монотонности для умножения целых неотрицательных
чисел.
Тема: Определение частного ц.н.числа и натурального через разбиение множества на
классы. Условия существования и единственности частного. Теоретико –
множественный смысл правил деления суммы и произведения на число.
1. Найдите особенность в определении частного целых неотрицательных чисел.
2. Найдите отличительные и сходные черты в определении частного целых
неотрицательных чисел.
3. Выделите особенность в раскрытии теоретико – множественной основы правил
деления суммы и произведения на число.
4. Выделите отличительные и сходные признаки в обосновании выбора действия
деления для различных типов задач.
Выполните задания:
1. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи деления. Дайте
теоретико-множественное истолкование получившихся равенств.
а) Мама раздала 12 яблок, по 4 яблока каждому из детей. Сколько детей получили яблоки?
б) В коробке лежало 8 цветных карандашей, их в 2 раза больше, чем простых. Сколько
простых карандашей лежало в коробке?
Примечание: обратите внимание на тип задачи.
в)В трех коробках 18 карандашей. Сколько карандашей одной коробке?
г) В одной коробке было 12 карандашей, их в 3 раза больше, чем в другой. Сколько
карандашей во второй коробке?
д)Злая колдунья, превратилась в Белоснежку и испекла для 7 гномов 14 пирожков с
мухоморами. Но гномы её узнали, и есть пирожки не стали. Сколько пирожков съел бы
каждый гном, если бы не узнали колдунью?
е) Добрый мальчик Петя пришёл в плохом настроении в школу и стал раздавать синяки.
Всего он раздал 12 синяков 3 своим товарищам поровну. По сколько синяков получил
каждый из товарищей Пети?
ж)Чтобы найти пиратский клад нужно пройти от старого дуба 15 шагов на север. А потом
на запад в 5 раз меньше. Сколько шагов нужно пройти на запад,
з)Голодный Вася может съесть сразу 15 батонов это в 3 раза больше, чем он может съесть,
когда сыт. Сколько батонов может съесть сытый Вася?
и)Добрые мальчики Вовочка и Петечка вежливо разговаривали с собакой. За что, она
укусила Вовочку 6 раз, а Петечку 3 раза. Во сколько раз больше досталось укусов
Вовочке?
к)Такса Феня украла 10 сосисок, а кошка Мусьена – 5 сосисок. Во сколько раз меньше
досталось сосисок кошке Мусьене?
2. Объясните смысл предложения: а) 10 больше 5 в 2 раза; б) 2 меньше 8 в 4 раза.
3. Обоснуйте различные способы решения нижеприведенной задачи. Дайте теоретико –
множественное истолкование полученному равенству: Работница уложила в 5 коробок
20 желтых и 30зеленых бокалов. Сколько бокалов было уложено в каждую коробку,
если количество бокалов в каждой коробке одинаковое?
4.Вычислите рациональным способом значение выражения и объясните, какие свойства
деления были при этом использованы:
1) 840: 24; 2) (805+25): 5; 3) (32 42):8.
5. Докажите свойство деления произведения на число и объясните его теоретико
множественный смысл.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется частным целого неотрицательного числа и натурального? (2
определения). Привести примеры.
2. Как называется действие, при помощи которого находят частное а и в? Как называется
число а? Как называется число в?
3. Дайте определение частного, в котором осуществляется связь умножения и деления.
4. Сформулируйте необходимое условие существования частного натуральных чисел.
Является ли оно достаточным?
5. Сформулируйте правило деления суммы на число и дайте его теоретико –
множественное истолкование. Приведите два примера использования этого правила в
начальном курсе математики.
6. Сформулируйте правило деления произведения на число и дайте его теоретикомножественное истолкование. Привести примеры использования этого правила в
начальном курсе математики.
7. Сформулируйте свойства деления и приведите примеры на их применение.
Тема: Сложение и умножение целых неотрицательных чисел. Таблицы сложения и
умножения. Законы сложения и умножения: выполнимость и однозначность,
ассоциативность и коммутативность, дистрибутивность умножения
относительно сложения .
1. Выделите особенность в определении сложения, умножения.
2.Сравните понятия суммы и сложения целых неотрицательных чисел.
3. Сравните понятия произведения и умножения целых неотрицательных чисел.
Выполните задания:
1. Используя определение сложения, найдите, что
а) 9+5;
б) 5+6;
в) 2+7;
г) 4+9.
2. Используя определение умножения, найдите, что
а) 95;
б) 56;
в) 27;
г) 49.
3. Вычислите рациональным способом. Укажите законы, на основании которых, были
выполнены тождественные преобразования:
а) 84973+1142+13027+4858; б) 45225 в)937852542
в) 5376424225
г) 25673+2562295156;
д)2345+(1272+4655);
е) 1734+5617-9013.
4. Какие из данных высказываний истинны?
а) Существует такое целое неотрицательное число b, что верно равенство
(9+b)+14+11=9+(b+14)+11.
б) Каково бы ни было целое неотрицательное число b, что верно равенство
(9+b)+14+11=9+(b+14)+11.
в) Существуют такие целые неотрицательные числа а,b,с,k, что верны равенства
(а+b)+с+k=а+(b+с)+k; а+b+(с+k)=(а+b)+(с+k).
г)Каковы бы ни были целые неотрицательные числа а,b,с,k истинны равенства
(а+b)+с+k=а+(b+с)+k; а+b+(с+k)=(а+b)+(с+k).
4. Найдите число при делении, которого на 15421 получается неполное частное 246 и
остаток 6723.
5. По делимому а и остатку r найдите неполное частное q и делитель b, если: а) а=148,
r=37;
б) а=497, r=16.
6.Доказать теорему существования и единственности умножения целых неотрицательных
чисел. (Указание: доказательство аналогичное доказательству существования и
единственности сложения целых неотрицательных чисел).
7. Доказать свойство коммутативности умножения целых неотрицательных чисел.
(Указание: доказательство аналогичное свойству коммутативности сложения целых
неотрицательных чисел, которая состоит из двух частей). Приведите примеры его
использования в начальном курсе математики.
8. Доказать свойство мультипликативности умножения целых неотрицательных чисел.
9. Доказать свойство монотонности умножения целых неотрицательных чисел.
10. Доказать свойство правой дистрибутивности умножения относительно сложения
целых неотрицательных чисел.
11. Найдите значения выражения рациональным способом; свои
действия обоснуйте:
а)(7-63):7;
в) (15-18):(5-6);
б)(3-4-5):15;
г) (12-21): 14.
12. Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число:
а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
б)882:18 =(900 -18): 18 =900:18 -18:18 =50-1 =49;
в) 480:32 = 480:(8-4) =480:8:4 = 60:4 = 15;
г) (560-32): 16 = 560-(32:16) = 560-2 = 1120.
13. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным
способом частное; выбранный способ обоснуйте:
а) 495:15;
в) 455:7;
д) 275:55;
б)425:85;
г) 225:9;
е) 455:65.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что называется сложением целых неотрицательных чисел?
2. С помощью, каких аксиом и определений можно доказать, что сложение целых
неотрицательных чисел существует и притом единственно?
3. Сформулируйте и докажите ассоциативный закон сложения для целых
неотрицательных чисел.
4. Сформулируйте и докажите коммутативный закон сложения для целых
неотрицательных чисел.
5. Сформулируйте и докажите закон сокращения для сложения. Приведите примеры
использования этого закона.
6. Сформулируйте и докажите закон монотонности для сложения.
7. Что называется умножением целых неотрицательных чисел?
8. Запишите левый (правый) дистрибутивный закон умножения относительно сложения и
докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе?
9. Почему возникла необходимость в рассмотрении левого и правого дистрибутивных
законов? Рассматривают ли эти законы в школьном курсе математики?
10. Докажите ассоциативный закон умножения целых неотрицательных чисел. Какие
преобразования выражений возможны на его основе?
Тема: Свойства множества целых неотрицательных чисел. Порядковые и
количественные натуральные числа.
1. Выделите особенность в определении натурального числа.
2. Сравните понятие натурального числа в различных теориях.
Выполните задания:
1. Можно ли назвать отрезком натурального ряда множество:
а) {1,2,3,4};
в) {2,3,4,5};
б) {1,3,5,7};
г) {1,2,4,5}?
2. Докажите, что множество В конечное, если:
а) В - множество букв в слове «параллелограмм»;
б) В - множество учащихся в классе;
в) В - множество букв в учебнике математики.
3.Прочитайте записи: n(А) = 5; n(А) = 7. Приведите примеры множеств, содержащих
указанное число элементов. Что значит сосчитать элементы конечного множества?
Сформулируйте правила, которые должны соблюдать учащиеся при счете предметов
и которые вытекают из определения счета элементов конечного множества.
4. Разделите с остатком:
а) 37 на 5;
б) 83 на 4;
в) 12 на 15.
3. Какие остатки могут получаться при делении чисел на 4? Какой
вид имеют числа, при делении которых на 4 в остатке получается:
а)1; б)3?
4. Известно, что при делении х на у получили неполное частное z и остаток 17. Известно
также, что одно из чисел х, у и z равно 13. Какое?
5. На сколько классов разбивается множество N при помощи отношения:
а) «иметь один и тот же остаток при делении на 2»;
б) «иметь один и тот же остаток при делении на 7»?
Почему возможно такое разбиение? Назовите по одному представителю из каждого
класса разбиения множества N в случае б).
7. Одно число на 62 больше другого. При делении одного из них на
другое с остатком в частном получается 5 и в остатке 6. Найдите эти
числа.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение отношения “меньше” для целых неотрицательных чисел (через
сложение). Почему оно является отношением порядка, а отношение “непосредственно
следовать за ” – нет?
2. Какими свойствами обладает множество целых неотрицательных чисел?
3. Докажите, что множество целых неотрицательных чисел бесконечно и счетно (имеет
наименьший элемент, дискретно).
4. Какое множество называется отрезком натурального ряда? Привести пример.
5. Сформулируйте свойства отрезков натурального ряда.
6. Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформулируйте условия,
которые должны соблюдать учащиеся, ведя счет предметов.
7. Какой отрезок называется суммой данных отрезков?
8. Какой отрезок называется разностью данных отрезков?
9. Какими свойствами обладают действия над отрезками?
10. В чем заключается смысл сложения и вычитания, являющихся значениями величин?
11. В чем заключается смысл умножения и деления, являющихся значениями величин?
Тема: Натуральное число как мера длины отрезка. Арифметические действия над
числами, рассматриваемыми как меры длин отрезков.
1. Выделите особенность в определении арифметических действий.
2. Сравните понятия деления и умножения натуральных чисел.
3. Сравните понятия сложения и вычитания натуральных чисел.
Выполните задания:
Нижеприведенные задачи решите различными способами. Для каждой задачи
приведите графическую иллюстрацию и объясните выбор действия при решении:
1. В овощной магазин привезли 5 т 180 кг картофеля. Из магазина в одну палатку
отправили 1 т 400 кг картофеля, а в другую - 40 кг. Сколько картофеля оставили в
магазине?
2. Утром в кассе было 5000 р. Днем выдали 4786 р., а приняли -3905 р. Сколько денег
стало в кассе?
3. Масса бочки с медом 58 кг. Масса пустой бочки 8 кг. Сколько килограммов меда в
этой бочке?
4. Стакан чая стоит 3 р. Сколько стоят 4 стакана чая?
5. Ширина реки 18 м, а ширина ручья 2 м. Во сколько раз река шире ручья?
6. В понедельник со склада вывезли 54 т угля, во вторник — на 8 т больше, чем в
понедельник, а в среду вывезли на 25 т меньше, чем во вторник. Сколько тонн угля
вывезли со склада за эти 3 дня?
7. Длина доски 15 м. От нее отрезали 6 м, а оставшийся кусок распилили на 3 равные
части. Найдите длину каждой части.
8. Веревку разрезали на две части так, что первая часть оказалась в 4 раза больше
второй. Чему равна длина веревки, если первая часть на 18 м длиннее второй?
9. Мальчик хотел купить 9 карандашей, но на их покупку у него не хватило 6 к., тогда он
купил 7 карандашей и у него осталось 2 к. Сколько стоит один карандаш?
10. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных направлениях вышли
два пешехода. Через 2 ч расстояние между ними стало 16 км. Найдите скорость
первого пешехода, если скорость второго 5 км в час.
Вопросы для самоконтроля
1. В чем заключается смысл сложения и вычитания, являющихся значениями
величин?
2. В чем заключается смысл умножения и деления, являющихся значениями
величин?
3. Как осуществляется обоснование выбора арифметических действий при решении
задач с величинами.