Основы нелинейной динамики - Физический факультет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Физический факультет
Рассмотрено и одобрено
на заседании кафедры «Теоретической
и вычислительной физики»
Протокол №______
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
_________________________
«____» _______________2009 г.
____________________
Зав. кафедрой _______________
«_____» ____________ 2009 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
учебной дисциплины «ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ»
цикла ДС по специальности
010700 Физика
Составитель
кандидат физ.-мат. наук,
ЧЕЧИН Г.М.
Ростов-на-Дону
2009
-2Содержание УМК
1. Пояснительная записка
2. Учебно-тематический план дисциплины
3. Содержание курса
Модуль 1. Основные понятия нелинейной динамики. Методы теории
возмущений
Модуль 2. Детерминированный хаос
Модуль 3. Солитоны
4. Методические рекомендации к самостоятельной работе студентов
5. Экзаменационные билеты
-3-
1. Пояснительная записка
1.1. Цели изучения дисциплины
Вторая половина 20-го века ознаменовалась бурным развитием
нелинейной
динамики.
детерминированный
Возникли
(динамический)
такие
новые
хаос,
странные
понятия
как
аттракторы,
фракталы, солитоны, диссипативные структуры, синергетика и т.д. В
значительной степени развитие этого направления связано с возможностью
постановки вычислительных (компьютерных) экспериментов.
Целью изучения дисциплины "Основы нелинейной динамики"
является освоение студентами магистратуры основных понятий
нелинейной
динамики,
методов
исследования
нелинейных
математических моделей и понимание роли этих моделей в различных
областях естествознания, а также понимание эвристической роли
вычислительного эксперимента.
1.2. Задачи изучения дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны:
- знать основные идеи, понятия и методы нелинейной динамики;
- уметь применять наиболее известные методы исследования
нелинейных математических моделей при
проведении
вычислительных экспериментов;
-
иметь
представление
о
роли
нелинейной
динамики
в
современном естествознании и об эвристической роли вычислительных
(компьютерных) экспериментов.
В обязательный минимум содержания подготовки по дисциплине
-4«Основы нелинейной динамики» должны входить:
Понятие о динамических моделях с дискретным и непрерывным
временем,
о
динамическом
хаосе,
регулярных
и
хаотических
аттракторах, бифуркационных диаграммах, фрактальных структурах и
их размерностях, различных сценариях перехода к хаосу, теории
универсальности
Фейгенбаума,
сечениях
Пуанкаре,
показателях
Ляпунова, о классификации особых точек двумерных динамических
систем,
гомоклинических
и
гетероклинических
траекториях,
множествах Жюлиа и Мандельброта, понятие о теореме КолмогороваАрнольда-Мозера;
Понятие
о
внутренних
резонансах
нелинейной
системы,
асимптотических методах поиска периодических решений нелинейных
дифференциальных уравнений, использующих идею перенормировки
частоты колебаний, о нелинейных нормальных модах Розенберга и
Ляпунова;
Понятие о цепочках Ферми-Пасты-Улама и Тоды, о полностью
интегрируемых уравнениях в частных производных (уравнение КдФ,
нелинейное уравнение Шредингера, уравнение синус-Гордона) и
допускаемых ими солитонных решениях;
Понятие
о
синергетических
структурах
и
условиях
их
возникновения.
1.3. Место дисциплины в образовательной программе
специальности
Курс "Основы нелинейной динамики" является одним из
спецкурсов,
посвященных
успехам
и
современным
проблемам
естествознания. Он является введением в бурно развивающуюся в
-5настоящее время область научных исследований. С другой стороны,
этот курс является частью единого комплекса обучения студентов
применению современных компьютерных технологий для решения
физических задач. Для усвоения курса необходимо знание основ
математического анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных
уравнений, теории вероятностей, математической физики, численного
анализа, теоретической механики, статистической и квантовой физики.
2. Учебно-тематический план дисциплины
Наименование
модулей и тем
1
Модуль 1.
Основные
понятия
нелинейной
динамики.
Методы
теории
возмущений.
2
Тема 1. Понятие о
нелинейной динамике.
Нелинейная динамика и
вычислительный
эксперимент.
Всего
часов
по
учеб.
плану
3
Виды учебных занятий
Аудиторные
занятия
Сам.
Прак.
работа
Лекции занятия
4
5
6
4
2
2
Тема 2. Методы теории
возмущений при решении
нелинейных задач.
11
3
8
Тема 3. Понятие о
синергетике.
Динамический хаос и
самоорганизация.
4
2
2
-6-
Тема 4. Примеры
самоорганизации в
различных явлениях
природы
4
2
Тема 5. Логистическое отображение
отображение.
Бифуркационная
диаграмма.
6
2
Понятие
о
теории
универсальности
Фейгенбаума.
Тема 6. Понятие
о фракталах. Фрактальные
6
2
размерности.
Примеры
фрактальных структур.
Тема 7. Отображения в комплексной
плоскости.
Множества
Жюлиа
6
и2
Мандельброта.
Тема 8. Странные
аттракторы в трехмерных
8
2
диссипативных системах.
Модуль 2.
Детерминиро Тема
9.
Показатели
ванный хаос Ляпунова и их вычисление.
Тема 10. Классификация
особых точек
динамических систем с
двумя степенями свободы.
Устойчивые и
неустойчивые многообразия
особых точек.
Тема 11. Особенности
динамического хаоса в
консервативных системах.
Сечение Пуанкаре.
Система Хенона-Хейли.
Тема 12. Понятие о
теореме КАМ.
Диффузия Арнольда.
2
4
4
4
6
8
2
6
4
2
2
7
2
5
6
2
4
-7-
Модуль 3.
Солитоны
Тема 13. Открытие
солитонов и их
свойства. Проблема
Ферми-Пасты-Улама.
Явление возврата.
Тема 14. Длинноволновое
приближение в задаче ФПУ.
Уравнение KdV.
Кортевега-де Фриза
(KdV ) и его свойства.
Солитоны для уравнения
KdV и их свойства.
Тема 15. Уравнение
mKdV. Преобразование
Миуры. Связь решений
уравнения KdV с
изоспектральной задачей
для уравнения Шредингера
Тема 16. Уравнение
синус-Гордона и
понятие о кинках.
Нелинейное уравнение
Шредингера. Солитоны
огибающей.
Тема 17. Цепочки Тоды и
их свойства. Солитоны
в различных областях
естествознания.
ИТОГО:
6
2
4
8
2
6
9
3
6
6
2
4
6
2
4
109
36
73
-8-
3. Содержание курса
Модуль 1. Основные понятия нелинейной динамики. Методы
теории возмущений
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен
знать
основные понятия нелинейной динамики и историю ее
развития, иметь представление об основных понятиях синергетики,
уметь
применять
метод
Пуанкаре-Линдштедта
и
метод
многовременных разложений для поиска периодических решений
обыкновенных дифференциальных уравнений с перенормированной
частотой.
Содержание модуля 1
Тема 1. Понятие о нелинейной динамике. Нелинейная динамика и
вычислительный эксперимент
Линейные и нелинейные модели естествознания. Эвристическая
роль вычислительного эксперимента при исследовании нелинейных
динамических моделей. История развития нелинейной динамики.
Тема 2. Методы теории возмущений при решении нелинейных задач
Недостатки
традиционной
схемы
теории
возмущений.
Роль
внутренних нелинейных резонансов. Перенормировка частоты колебаний
при учете нелинейных взаимодействий. Метод Линдштедта-Пуанкаре
построения периодических решений нелинейных дифференциальных
уравнений. Метод многомасштабных разложений.
Тема 3. Понятие о синергетике . Хаос и самоорганизация
Следует обратить особое внимание на условия, которым должна
-9удовлетворять динамическая система для того, чтобы в ней могло
наблюдаться явление самоорганизации – возникновение диссипативных
структур
равновесия).
(нелинейность,
открытость
Осознать,
что
при
и
далекость
от
состояния
самоорганизации
энтропия
рассматриваемой системы уменьшается, что не противоречит
началу термодинамики в силу открытости системы.
второму
Рекомендуемая
литература: прежде всего, это книги основоположников синергетики
И.Пригожина [6] и Г.Хакена [7]. В качестве дополнительной литературы
рекомендуются книги [4] и [5].
Тема 4. Примеры самоорганизации в различных явлениях природы
По данной теме рекомендуется прочитать вводные главы в
книгах [4], [5], [6] и, особенно, в книге Г.Хакена [7].
Проектное задание
1.Найти периодическое решение уравнения Дуффинга методом
Пуанкаре-Линдштедта.
2. Найти периодическое решение уравнения Дуффинга методом
многомасштабных разложений.
Тест рубежного контроля
1. Наличие в дифференциальном уравнении нелинейных членов может
привести к возникновению в решении
а) резонансных членов;
б) секулярных членов;
в) автомодельных членов;
г) членов Пуанкаре-Дюлака.
2. В гамильтоновых системах резонансные
нелинейные члены
- 10 приводят к
а) перенормировке частот колебаний;
б) возникновению диссипации энергии;
в) к явлению Пуанкаре;
г) к явлению Дюлака;
3. Уравнение Дуффинга имеет.
а) квадратичную нелинейность;
б) кубическую нелинейность;
в) периодически изменяющийся во времени коэффициент при
неизвестной функции;
г) экспоненциально убывающий во времени коэффициент при
неизвестной функции.
4. Среди коэффициентов уравнения Матье есть
а) зависящие от времени степенным образом;
б) экспоненциально зависящие от времени;
в) синусоидально зависящие от времени;
г) коэффициенты уравнения Матье вообще не зависят от времени.
5. Резонансная теория возмущений в квантово-механическом подходе
к исследованию движения частицы в периодическом потенциале
приводит к
а) возникновению уровней Ландау;
б) возникновению в энергетическом спектре запрещенных зон;
в) возникновению разрешенных энергетических зон;
г) циклотронному резонансу.
6.
Для
возможности
возникновения
динамическая система должна быть:
а) замкнутой и нелинейной;
б) открытой и линейной;
в) открытой и нелинейной;
синергетических
структур
- 11 г) замкнутой и линейной.
7.
При
возникновении
синергетических
структур
энтропия
динамической системы:
а) возрастает;
б) убывает;
г) не изменяется;
д) не существует.
8. Реакция Белоусова-Жаботинского описывает:
а) периодический во времени химический процесс;
б) экспоненциально затухающий химический процесс;
в) цепную химическую реакцию;
г) некоторый переходной химический процесс.
Бланк ответов
1
2
3
4
5
6
7
8
а
б
в
г
Список рекомендуемой литературы
Сборники из серии "Кибернетика - неограниченные возможности и
возможные ограничения":
1. "Компьютеры и нелинейные явления". М.-Наука, 1988.
2. "Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент". М.-Наука,
1988.
3. Р.Х.Сагдеев, Г.М.Заславский. Введение в нелинейную физику. М.Наука, 1988.
- 12 4.
Э. Скотт. Нелинейная наука. Рождение и развитие когерентных
структур. Москва. Физматлит, 2007.
5. А.Ю.Лоскутов. А.С.Михайлов. Основы теории сложных систем.
Москва-Ижевск, 2007
6. И. Пригожин. От существующего к возникающему. М.-Наука, 1985.
7. Г.Хакен. Введение в синергетику. М.-Мир, 1985.
8. А.Х. Найфе. Введение в методы возмущений. М.-Мир, 1984.
Модуль 2. Детерминированный хаос
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен знать
следующие
понятия:
детерминированный
хаос,
дискретное
отображение, бифуркация, регулярный и странный аттракторы,
классификацию особых точек двумерных динамических систем (узел,
фокус, центр, седло),
устойчивые и неустойчивые многообразия
особых точек, гомоклинические и гетероклинические траектории,
гомоклиническая структура, фрактал, фрактальная размерность,
множества Жюлиа и Мандельброта, показатели Ляпунова, сечение
Пуанкаре,
системы
понятие
о
Ресслера,
теории
Лоренца,
универсальности
Хенона-Хейли;
Фейгенбаума,
иметь
теореме
Колмогорова-Арнольда-Мозера, диффузии Арнольда; уметь находить
показатели
Ляпунова,
строить
бифуркационную
диаграмму
логистического отображения, множества Жюлиа и Мандельброта,
строить
аттракторы
различных
типов
для
трехмерных
динамических систем типа Ресслера, Лоренца и др., строить и
анализировать сечения Пуанкаре для систем типа Хенона-Хейли и др.
- 13 Содержание модуля 2
Тема 5. Логистическое отображение, бифуркационная диаграмма,
понятие о теории универсальности Фейгенбаума
Логистическое отображение и его биологическая интерпретация.
Аттрактор. Бифуркации удвоения периода.
Поиск первой точки
бифуркации логистического отображения. Бифуркационная диаграмма.
Хаотические аттракторы. Окна регулярного движения. Понятие о теории
универсальности Фейгенбаума и константах, носящих его имя.
Тема 6. Понятие о фракталах.
Фрактальные
Снежинки
структуры
Коха ковры
в
природе.
Серпинского.
Множество
Емкость
и
Кантора.
другие
виды
фрактальных размерностей.
Тема 7. Дискретные отображения в комплексной плоскости
Отображение Мандельброта и его компьютерная реализация.
Множество Жюлиа и его построение. Множество Мандельброта и его
построение. Связь бифуркационных диаграмм для отображения
Мандельброта и логистического отображения.
Тема 8. Странные аттракторы в трехмерных диссипативных
системах
Модель Лоренца и ее возможные физические интерпретации.
Понятие о странном (хаотическом аттракторе). Модель Ресслера и ее
странный аттрактор. Карты динамических режимов. Модели Спротта.
Трехмерные диссипативные системы с симметриями. Система D 2.
Тема 9. Показатели Ляпунова
Наглядная интерпретация возможности хаотического поведения
в детерминированных системах. Показатели Ляпунова. Вычисление
старшего показателя Ляпунова. Алгоритм Бенетина. Вычисление всех
показателей Ляпунова. Диаграмма старшего показателя Ляпунова для
- 14 системы D2 . Понятие об индексах Бунтиса (SALI, GALI).
Тема 10. Особые точки динамических систем с двумя степенями
свободы
Понятие о качественной теории дифференциальных уравнений.
Классификация особых точек в двумерных динамических системах
(узел, фокус, центр, седло). Устойчивые и неустойчивые многообразия
особых точек. Устойчивость по линейному приближению.
Тема 11. Особенности динамического хаоса в консервативных
системах
Сечение Пуанкаре. Системы, близкие к полностью интегрируемым.
Движения вблизи сепаратрис. Перекрытие резонансов. Система ХенонаХейлиса.
Тема
12.
Понятие о теореме Колмогорова-Арнольда-Мозера
Переменные действие-угол. Инвариантные торы и их разрушение. Слабый
и сильный хаос в гамильтоновых системах. Диффузия Арнольда.
Проектное задание
1. Построить бифуркационную диаграмму для логистического
отображения
2.
Исследовать
странные
аттракторы
в
трехмерной
диссипативной системе с квадратичными нелинейными членами,
которая обладает симметрией D2
Тест рубежного контроля
1. Что такое аттрактор:
а) бассейн притяжения предельного цикла;
б) бифуркация удвоения периода;
- 15 в)
притягивающее множество
точек фазового
пространства
динамической системы;
г) старший показатель Ляпунова.
2. Что такое логистическое отображение?
а) логическое отображение логических операций;
б) одномерное квадратичное отображение;
в) проекция фазового пространства на конфигурационное;
г) проекция инвариантного многообразия на действительную ось.
3. Основными характеристиками фрактала являются
а)
инвариантность
относительно
дробно-рационального
преобразования;
б) дробная размерность и самоподобие;
в)
наличие
автомодельности
относительно
группы
преобразований Ли-Бэклунда;
г) наличие гомоклинической структуры.
4. Фрактальная размерность множества Кантора
а) не превышает единицы;
б) больше числа пи;
в) превосходит ранг топологической размерности;
г) равна константе Фейгенбаума.
5. Модель Лоренца
а) содержит квадратичные нелинейности;
б) содержит кубические нелинейности;
в) является линейной моделью;
г) содержит дробно-рациональную нелинейность.
6. Сечение Пуанкаре вводится для
а) разделения бифуркаций Хопфа и Адронова;
б) визуализации областей хаотического и регулярного движений;
в) визуализации диффузии Арнольда;
- 16 г) отделения седла Фейгенбаума от фокуса Жюлиа.
7. С помощью показателей Ляпунова можно вычислить
а) некоторый вид фрактальной размерности;
б) топологическую размерность инвариантного многообразия;
в) константу Фейгенбаума;
г) размеры аттрактора.
8. Одним из свойств, общим для всех систем, в которых возможны
странные аттракторы, является их:
а) диссипативность;
б) интегрируемость;
в) гамильтоновость;
г) замкнутость.
Бланк ответов
1
2
3
4
5
6
7
8
а
б
в
г
Список рекомендуемой литературы
1. Р.Х.Сагдеев, Г.М.Заславский. Введение в нелинейную физику.
М.-Наука, 1988.
2.
Э.
Скотт.
Нелинейная
наука.
Рождение
и
развитие
когерентных структур. Москва. Физматлит, 2007.
3. Г.Шустер. Детерминированный хаос: Введение. М., Мир-1988.
- 17 4. С.П. Кузнецов. Динамический хаос. Москва, Физматлит, 2001.
5. А.Ю.Лоскутов. А.С.Михайлов. Основы теории сложных
систем. Москва-Ижевск, 2007.
6. Е.Федер.Фракталы. М.-Мир, 1991.
7. Х.-О.Пайтген , П.Х.Рихтер. Красота фракталов. М.-Мир, 1993.
8.
А.Лихтенберг,
М.Либерман.
Регулярная
и
хаотическая
динамика. М.-Мир, 1984.
Модуль 3. Солитоны
Комплексная цель После изучения модуля студент должен знать
следующие
понятия:
цепочки
Ферми-Пасты-Улама,
уравнение
Кортевега-де Вриза, явление возврата, континуальное приближение,
автомодельные решения уравнений в частных производных, солитон
KdV, модифицированное уравнение KdV, полностью интегрируемые
системы, преобразование Миуры, изоспектральная задача и связь
уравнения KdV
с уравнением Шредингера, нелинейное уравнение
Шредингера, солитоны огибающей, уравнение синус-Гордона, кинки,
топологические и нетопологические солитоны, цепочки Тоды; иметь
понятие о методе обратной задачи рассеяния в теории солитонов,
об истории развития теории солитонов, о роли солитонов и
солитоноподобных объектов в различных областях естествознания;
уметь
делать
переход
к
континуальному
приближению
для
дискретных моделей, строить автомодельные решения уравнений в
частных
производных,
исследовать
с
помощью
численного
моделирования динамику солитонов и других типов нелинейных
возбуждений в цепочках и непрерывных одномерных моделях.
- 18 Содержание модуля 3
Тема 13. Открытие солитонов и проблема Ферми-Пасты-Улама
Открыие уединенных волн Скоттом Расселом. Проблема ФермиПасты-Улама о термализации нелинейных цепочек. Явление возврата.
Работа
Забуски
и
Крускалла
–
переход
к
длинноволновому
приближению и вывод уравнения KdV.
Тема 14.Уравнение Кортевега-де Вриза и его свойства
Автомодельные решения уравнений в частных производных. Вывод
уравнения для солитонов KdV. Зависимость формы и скорости движения
солитона от его амплитуды. Прохождение солитонов друг через друга.
Качественное объяснение устойчивости солитонов KdV.
Тема 15. Связь уравнения KdV с изоспектральной задачей для уравнения
Шредингера
Модифицированное уравнение KdV (mKdV) и его свойства. Полная
интегрируемость
уравнений
KdV
и
mKdV
(существование
у
них
бесконечнонго числа законов сохранения). Преобразование Миуры. Переход
к аналогу квантового уравнения Шредингера. Общее понятие об обратной
задаче рассеяния в теории солитонов.
Тема 16.Нелинейное уравнение Шредингера и уравнение синусГордона
Семейства полностью интегрируемых уравнений в частных
производных. Нелинейное уравнение Шредингера и его использование
при описании различных явлений физики. Солитоны огибающей.
Уравнение синус – Гордона и его роль в физике. Кинки –
топологические солитоны уравнения синус-Гордона.
Тема 17. Цепочки Тоды. Роль солитонов в различных областях
естествознания
Цепочка Тоды – полностью интегрируемая дискретная модель.
- 19 Формулы законов сохранения для цепочки Тоды. Солитоны в цепочке
Тоды. Предельный случай взаимодействия упругих шаров. Роль
солитонов в различных областях науки и техники.
Проектное задание
1. Исследовать явление возврата для цепочек Ферми-ПастыУлама с небольшим числом частиц и периодическими граничными
условиями.
2.
Исследовать
процесс
взаимодействия
двух
уравнения KdV.
Тест рубежного контроля
1. Цепочка FPU-α и FPU-β отличаются друг от друга
а) числом грузиков и пружинок;
б) граничными условиями;
в) числом нелинейных членов;
г) степенью нелинейности.
2. Уравнение KdV отличается от mKdV:
а) характером дисперсионного члена;
б) характером нелинейного члена;
в) порядком частной производной по времени;
г) порядком частной производной по пространству.
3. Соотношение Миуры представляет собой уравнение…
а) Риккати;
б) Дуффинга;
в) Матье;
г) Шрёдингера.
солитонов
- 20 4. Первоначальной целью исследования динамика цепочки FPU было
нахождение времени…
а) термализации;
б) диффузии;
в) возврата;
г) сегрегации.
5. Солитоны для уравнения KdV представляют собой.
а) автомодельное решение этого уравнения;
б) автомобильное решение этого уравнения;
в) потенциальное решение этого уравнения;
г) соленоидальное решение этого уравнения.
6. Для солитонов KdV характерно, что с увеличением амплитуды:
а) увеличивается их полуширина;
б) увеличивается скорость их движения;
в) происходит потеря их устойчивости;
г) происходит их переход в бризерное состояние.
7. При взаимодействии солитнов KdV происходит:
а) их разрушение;
б) прохождение их друг через друга;
в) возникновение кноидальной волны;
г) изменение направления движения.
8. Солитоны для моделей, описываемых нелинейным уравнением
Шрёдингера представляют собой:
а) топологические солитоны;
б) солитоны огибающей;
в) гауссианы;
г) бумероны.
9. Кинк является солитоном для уравнения…
а) KdV;
- 21 б) синус-Гордона;
в) Матье;
г) Дуффинга.
10. Модель KdV можно вывести из модели FPU
а) в длинноволновом приближении;
б) коротковолновом приближении;
в) кноидальном приближении;
г) соленоидальном приближении.
Бланк ответов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
а
б
в
г
Список рекомендуемой литературы
1. Р.Х.Сагдеев, Г.М.Заславский. Введение в нелинейную физику.
М.-Наука, 1988.
2. Р.Додд, Дж.Эйлбек, Дж.Гиббон, Х.Моррис. Солитоны и
нелинейные волновые уравнения. М.-Мир, 1988.
3. А.Ньюэлл. Солитоны в математике и физике. М.- Мир, 1989.
4. А.Т. Филлипов. Многоликий солитон. М.-Наука, 1990.
5.
Э.
Скотт.
Нелинейная
наука.
Рождение
когерентных структур. Москва. Физматлит, 2007.
и
развитие
- 22 -
4. Методические рекомендации к самостоятельной
работе студентов
Самостоятельная
работа
студентов
состоит
в
проработке
лекционного материала, работе с учебниками и монографиями,
выполнении работ по компьютерному моделированию, подготовке к
собеседованиям с преподавателем и проверки им проектных заданий,
подготовке к экзамену.
4.1
Методические
рекомендации
к
изучению
вопросов
теоретического материала курса «Основы нелинейной динамики»,
вынесенных
на
самостоятельную
проработку,
а
также
рекомендации по подготовке к выполнению проектных заданий.
Тема 1
Особое внимание следует обратить на принципиальное различие
задач линейного и нелинейного естествознания и на возможную
эвристическую роль вычислительных экспериментов.
Методические рекомендации: Наиболее удачно и полно эти
вопросы освещены в литературе, указанной в модуле 1 – [1], [2].
Тема 2
Особое внимание необходимо обратить на идею перенормировки
частоты за счет наличия в уравнениях резонансных членов. После
этого рекомендуется
на примере уравнения Дуффинга детально
разобрать методику построения нескольких первых членов
рядов
теории возмущений, получаемых в методе Пуанкаре-Линдштедта и
методе многовременных разложений.
Наиболее удачное и полное изложение этих вопросов имеется в
книге Найфе [8].
- 23 Темы 3-4
Пространное изложение основных понятий науки, получившей
название «Синергетика”, можно найти в книгах, написанных ее
создателями – И.Пригожиным и Г.Хакеном [6], [7], а много
дополнительных деталей в [4] и [5] .
Тема 5
Логистическое
отображение
является
наиболее
простой
и
доступной для понимания и самостоятельного моделирования на
компьютере динамической системой, исследование которой позволяет
осознать возможность хаотического поведения, несмотря на полную
детерминированность уравнений движения. В связи с этим, в
проектом задании Модуля 2 предлагается детально исследовать
последовательность бифуркаций для логистического отображения и
оценить величину константы Фейгенбаума.
Хорошее описание бифуркационной диаграммы логистического
отображения можно найти в книгах Шустера [3] и Кузнецова [4] .
Тема 6
Введенное в современную науку Мандельбротом понятие фрактала
нашло применение в самых различных разделах естествознания. Этим
вопросу посвящена книга Федера [6]. Систематическое исследование
свойств фракталов можно найти в книгах Шустера [3] и Кузнецова [4].
Тема 7
Дискретные отображения в комплексной плоскости и методы
построения множеств Жюлиа и Мандельброта великолепно описаны в
книге [7]. Студентам настойчиво рекомендуется освоить построение
этих множеств на компьютере, используя для этого обычные
алгоритмические языки.
Тема 8
Наиболее известными непрерывными моделями (описываемыми
- 24 обыкновенными дифференциальными уравнениями), в которых может
наблюдаться
диссипативные
хаотическое
системы
поведение,
Ресслера
являются
и
трехмерные
Лоренца.
Студентам
рекомендуется провести самостоятельное компьютерное исследование
простых и странных (хаотических) аттракторов для этих систем с
использованием пакета математических вычислений MAPLE. При
этом особое внимание следует обратить на различие в структуре
странных аттракторов Лоренца и Ресслера.
Тема 9
Показатели Ляпунова в настоящее время широко используются для
диагностики хаотического поведения детерминированных систем (заметим,
что в последние годы появились и другие, «более быстрые” индикаторы
различия хаотического и регулярного движений – индексы Бунтиса SALI и
GALI). Для вычисления показателей Ляпунова обычно используется
эффективный алгоритм Бенетина, хорошо описанный в книге Кузнецова [4].
Студентам рекомендуется написать программу нахождения старшего
показателя Ляпунова для трехмерной диссипативной системы D_2.
Тема 10
Для
исследования
качественного
поведения
динамических
систем часто оказывается весьма полезным нахождение их особых
(стационарных) точек и анализ решения линеаризованных в их
окрестностях соответствующих линеаризованных систем уравнений с
постоянными коэффициентами. Студентам следует обратить особое
внимание
на
динамических
классификацию
систем,
которая
особых
точек
для
осуществляется
действительных и мнимых частей собственных
по
двумерных
характеру
значений матрицы
линеаризованной системы (узел, фокус, центр, седло). Для изучения
этих вопросов рекомендуется книга [1]. Обратите также внимание на
то, что при анализе устойчивости предельного цикла возникает
- 25 система линейных дифференциальных уравнений с переменными (а не
постоянными!) коэффициентами, для анализа которой приходится
прибегать к вычислению собственных значений матрицы монодромии,
построенной по методу Флоке.
Тема 11
Студентам следует особое внимание обратить на отсутствие
аттракторов в консервативных системах. Необходимо хорошо понять
процедуру построения сечений Пуанкаре для анализа областей
регулярного и хаотического движений. Весьма полезно построить
сечение
Пуанкаре
например, системы
для
простейшей
системы
второго
порядка,
типа Хенона-Хейли. Эти вопросы хорошо
изложены в книгах Шустера [3] и Лихтенберга [8].
Тема 12
Для исследования динамического хаоса в гамильтоновых системах
принципиально важной является теорема КАМ. К сожалению, ее
доказательство весьма сложное и весьма длинное. Тем не менее, основные
выводы этой теоремы можно сформулировать достаточно просто. Для
изучения этих вопросов студентам рекомендуется воспользоваться, в
первую очередь, книгами Шустера [3] , Лихтенберга и Либермана [8] , а
также Заславского и Сагдеева [1]. Следует также обратить внимание
на различие понятий слабого и сильного хаоса и на понятие Диффузии
Арнольда.
Тема 13
Особое внимание следует обратить на классическую проблему
Ферми-Пасты-Улама о времени термализации нелинейных цепочек.
Исследование этой проблемы для ФПУ цепочек привело к целому
ряду важных открытий в области нелинейной динамики. Прежде всего
это касается введения в современную физику Забуски и Крускалом
понятия солитона. Следует отметить, что несмотря на более чем 50-
- 26 летнюю
историю
знаменитой
работы
Ферми-Пасты-Улама,
исследования ФПУ цепочек продолжается, и вплоть до настоящего
момента эта модель нередко служит источником появления новых
идей и понятий нелинейной динамики. Чрезвычайно важно на примере
проблемы ФПУ осознать эвристическую значимость вычислительного
эксперимента. Следует подчеркнуть, что именно работа Ферми, Пасты
и
Улама
является
вычислительной
общепризнанным
физики.
По
началом
современной
вышеозначенным
вопросам
рекомендуются книги [2, 4, 5].
Тема 14
Особое внимание студенты должны обратить на переход к
длинноволновому приближению при анализе динамики цепочек ФПУ.
При этом очень полезно вспомнить процедуру вывода в курсе
«Численного анализа” формул решения ОДУ и формул для оценки их
погрешностей. Из литературных источников рекомендуется при этом
книга [2]. Полезно также просмотреть введение к книгам [3] и [5].
Тема 15
Фактически,
эта
тема
посвящена
так
называемому
«героическому периоду” в развитии науки о солитонах, который
датируется началом семидесятых годов прошлого века. особое
внимание при этом следует обратить на преобразование Миуры,
которое
открыло
связь
теории
солитонов
и
ряда
квантово-
механических задач. Это был научный прорыв, значимость которого
трудно переоценить. Студентам рекомендуется изучить вводную главу
из книги Ньюэлла [3].
Тема 16
В настоящее время известно несколько больших семейств уравнений
в частных производных, которые являются полностью интегрируемыми
(имеют бесконечно большое число законов сохранения). К этим
- 27 семействам, кроме уравнений KdV
и
mKdV, относятся нелинейное
уравнение Шредингера (оно является основным уравнением нелинейной
оптики) и уравнение синус-Гордона. Следует обратить особое внимание на
различия в форме и свойствах их солитонных решений – солитонов
огибающей и кинков (последние являются примером топологических
солитонов). для освоения этой темы рекомендуются книги [2-5] из списка
литературы, указанного после модуля 3.
Тема 17
Цепочки Тоды являются одним из очень немногих дискретных
систем,
которые являются полностью интегрируемыми. Для них, в
частности, известен общий вид всех первых интегралов движений,
записанный в виде единой формулы. Наряду с тривиальными
законами сохранения (энергией и импульсом) для цепочек Тоды
существуют совершенно нетривиальные, только им присущие законы
сохранения. Студентам следует обратить внимание на то, что
обычный школьный опыт с цепочкой соприкасающихся друг с другом
одинаковых шаров, на которую налетает такой же шар, на самом деле,
объясняется не просто законом сохранения импульса, а солитоном
упругих
деформаций,
бегущим
вдоль
этой
цепочки
(такая
механическая система является предельным случаем цепочки Тоды).
4.2 Общий список рекомендуемой литературы
Сборники из серии "Кибернетика - неограниченные возможности
и возможные ограничения":
1. "Компьютеры и нелинейные явления". М.-Наука, 1988.
2. "Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент". М.Наука, 1988.
3. Р.Х.Сагдеев, Г.М.Заславский. Введение в нелинейную физику.
- 28 М.-Наука, 1988.
4. Р.Додд, Дж.Эйлбек, Дж.Гиббон, Х.Моррис. Солитоны и
нелинейные волновые уравнения. М.-Мир, 1988.
5. А.Ньюэлл. Солитоны в математике и физике. М.- Мир, 1989.
6. А.Т. Филлипов. Многоликий солитон. М.-Наука, 1990.
7.
Э.
Скотт.
Нелинейная
наука.
Рождение
и
развитие
когерентных структур. Москва. Физматлит, 2007.
8. Г.Шустер. Детерминированный хаос: Введение. М., Мир-1988.
9. С.П. Кузнецов. Динамический хаос. Москва, Физматлит, 2001.
10. А.Ю.Лоскутов. А.С.Михайлов. Основы теории сложных
систем. Москва-Ижевск, 2007
11. Е.Федер.Фракталы. М.-Мир, 1991.
12. Х.-О.Пайтген , П.Х.Рихтер. Красота фракталов. М.-Мир,
1993.
13. И. Пригожин. От существующего к возникающему. М.Наука, 1985.
14. Г.Хакен. Введение в синергетику. М.-Мир, 1985.
15. А.Х. Найфе. Введение в методы возмущений. М.=Мир, 1984.
- 29 5 . Экзаменационные билеты
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 1
по предмету ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
1. Методы теории возмущений при решении нелинейных задач
естествознания. Резонансная теория возмущений. Метод
Линдштедта-Пуанкаре.
2. Понятие о детерминированном хаосе. Логистическое отображение.
Бифуркационная диаграмма. Понятие о теории универсальности
Фейгенбаума.
3. Открытие солитонов и их свойства.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 25.04.2009
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 2
по предмету ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
1. Детерминированный хаос в системах с непрерывным временем.
Модель Лоренца. Понятие о странном (хаотическом) аттракторе.
Модель Ресслера. Показатели Ляпунова и их вычисление.
2. Проблема Ферми-Пасты-Улама. Явление возврата.
Длинноволновое приближение в задаче ФПУ. Уравнение
Кортевега-де Фриза (KdV ) и его свойства.
3. Понятие о синергетике. Динамический хаос и самоорганизация.
Диссипативные структуры. Периодические химические реакции.
Зав. кафедрой
Дата утверждения 25.04.2009
Экзаменатор
- 30 Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 3
по предмету ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
1. Солитоны для уравнения KdV и их свойства. Уравнение mKdV.
Преобразование Миуры. Связь решений уравнения KdV с изоспектральной
задачей для уравнения Шредингера.
2. Особенности динамического хаоса в консервативных системах.
Сечение Пуанкаре. Система Хенона-Хейли. Понятие о теореме КАМ.
Диффузия Арнольда.
3. Понятие о синергетике. Периодические химические реакции.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 25.04.2009
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 4
по предмету ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
1. Классификация особых точек динамических систем с двумя
степенями свободы. Устойчивые и неустойчивые многообразия
особых точек. Гомоклинические и гетероклинические траектории.
Гомоклиническая структура.
2. Уравнение синус-Гордона и понятие о кинках.
Нелинейное уравнение Шредингера и солитоны огибающей.
3. Логистическое отображение. Бифуркационная диаграмма.
Понятие о теории универсальности Фейгенбаума.
Зав. кафедрой
Дата утверждения 25.04.2009
Экзаменатор
- 31 Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 5
по предмету ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
1. Отображения в комплексной плоскости. Множества Жюлиа и
Мандельброта. Понятие о фракталах. Фрактальные размерности.
Примеры фрактальных структур.
2. Проблема Ферми-Пасты-Улама. Явление возврата.
Длинноволновое приближение в задаче ФПУ.
Уравнение Кортевега-де Фриза (KdV ) и его свойства.
3. Понятие о синергетике. Динамический хаос и самоорганизация.
Диссипативные структуры. Периодические химические реакции.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 25.04.2009
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 6
по предмету ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
1. Нелинейное уравнение Шредингера и солитоны огибающей.
2. Особенности динамического хаоса в консервативных системах.
Сечение Пуанкаре. Система Хенона-Хейли. Понятие о теореме КАМ.
Диффузия Арнольда.
3. Понятие о синергетике. Диссипативные структуры. Периодические
химические реакции.
Зав. кафедрой
Дата утверждения 25.04.2009
Экзаменатор
- 32 Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 7
по предмету ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
1. Солитоны для уравнения KdV и их свойства. Уравнение mKdV.
Преобразование Миуры. Связь решений уравнения KdV с изоспектральной
задачей для уравнения Шредингера.
2. Методы теории возмущений при решении нелинейных задач
естествознания. Резонансная теория возмущений. Метод
Линдштедта-Пуанкаре.
3. Детерминированный хаос в системах с непрерывным временем
Модель Лоренца. Понятие о странном (хаотическом) аттракторе.
Модель Ресслера. Показатели Ляпунова и их вычисление.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 25.04.09
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 8
по предмету ОСНОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
1. Уравнение Кортевега-де Фриза (KdV ) и его свойства.
Солитоны уравнения для KdV.
2. Детерминированный хаос в системах с дискретным временем.
Логистическое отображение. Бифуркационная диаграмма.
Понятие о теории универсальности Фейгенбаума.
3. Цепочки Тоды и их свойства.
Зав. кафедрой
Дата утверждения 25.04.09
Экзаменатор
- 33 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЙТИНГ-БАЛЛОВ ПО УЧЕБНЫММОДУЛЯМ И
ВИДАМ ЗАНЯТИЙ
Модуль 1. Основные понятия нелинейной динамики. Методы теории
возмущений
Промежуточный рейтинг-контроль.
1. Контрольная работа (тесты):
мин. 5, макс. 10.
2. Проектные задания
мин. 25, макс. 40.
3. Коллоквиум
мин. 30, макс. 50.
Сумма баллов за модуль:
мин. 60 макс. 100.
Модуль 2. Детерминированный хаос
Промежуточный рейтинг-контроль.
1. Контрольная работа (тесты):
мин. 5, макс. 10.
2. Проектные задания
мин. 25, макс. 40.
3. Коллоквиум
мин. 30, макс. 50.
Сумма баллов за модуль:
мин. 60, макс. 100.
Модуль 3. Солитоны
Промежуточный рейтинг-контроль.
1. Контрольная работа (тесты):
мин. 5, макс. 10.
2. Проектные задания
мин. 25, макс. 40.
3. Коллоквиум
мин. 30, макс. 50
Сумма баллов за модуль:
мин. 60, макс. 100.
- 34 -
Таблица 1
Соответствие баллов итогового рейтинга оценке в 1-м семестре
________________________________________________________________
Оценка
Отлично
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
________________________________________________________________
Баллы
250-300
200-249
150-199
0-149
________________________________________________________________