Числа Бернулли

Числа Бернулли
План:
Введение


1 Формула для чисел Бернулли
2 Свойства
o 2.1 Значения чисел Бернулли
Примечания
Литература
Введение
Числа Бернулли
Числа Бернулли - последовательность рациональных чисел
найдена Якобом Бернулли в связи с вычислением
суммы одинаковых степеней натуральных чисел:
,
где
- Биномиальное коэффициент.
1. Формула для чисел Бернулли
Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:
2. Свойства


Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме
, Равны нулю, знаки
меняются.
Числа Бернулли являются значениями при
многочленов Бернулли :
.
Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто
служат числа Бернулли. Например:

Экспоненциальная генератриса для чисел Бернулли:
,



,
.
Эйлер указал на связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции
Римана
при четных
Из чего следует
для всех n.

:
В математике, числа Бернулли B n является последовательностью рациональных чисел,
которая глубоким связана с теорией чисел. Они тесно связаны со значениями дзетафункции Римана для отрицательных аргументов.
Есть несколько определений для чисел Бернулли. Наиболее распространенным является B
n = 0 для всех нечетных n, кроме 1 и B 1 = 1/2, но некоторые авторы используют B 1 = +1 /
2 и некоторые пишут B n для B 2 n. Значение первых ненулевых чисел Бернулли (более
значений ниже):
n 0
B
1
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1/2
1/6
0
-1/30
0
1/42
0
-1/30
0
5/66
0
-691/2730
0
7/6
Числа Бернулли были открыты примерно в одинаковое время швейцарским математиком
Якобом Бернулли, в честь которого они названы, и независимо японским математиком
Секи Кова. Открытие Секи было опубликовано посмертно в 1712 году [1] [2] в своей работе
Katsuyo Sampo; Бернулли, также посмертно, в своем Ars Conjectandi 1713.
Они появляются в расписании в ряд Тейлора функций тангенса и гиперболического
тангенса, в формуле Эйлера-Маклорена, и в выражениях для некоторых значений дзетафункции Римана.
2.1. Значения чисел Бернулли
B N = 0 для всех нечетных N ', отличное от 1. B 1 = 1/2 или 1/2 в зависимости от
принятой конвенции (см. выше).
Примечания
1. Selin, H. (1997), p. 891
2. Smith, DE (1914), p. 108
Литература

Абрамович В. Числа Бернулли - kvant.mccme.ru/1974/06/chisla_bernulli.htm, Квант,
№ 6, 1974;
Это незавершенная статья математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.
http://nado.znate.ru