 

Вариант №1
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (50 баллов)
1.Для множеств A   5; 0;1,1; 2;15и B   4; 0;1,2; 2;15; 20 найдите:
пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств A  B . Составьте три
различных подмножества множества В. (3 балла)
2.Решите уравнение: 5  x  x  2  x  2 , (3 балла)
3.Вычислите значения определителей:
1 3 2 1
2 3
1
1 2
2 1 3 1
1)
; 2) 2
. (3 балла)
0  1 ; 3)
2 4
0 1
4 1
1 2 4
2 0
0 1
4.Постройте обратную матрицу для данной:
3 1 0 


(3 балла)
  2 2  1
 1 1 0


5.Решите систему линейных уравнений методом Крамера:
 3x1  5 x 2  6 x3  5,

 2 x1  3x 2  5 x3  8,
 x  4 x  x  1.
1
2
3

(3 балла)
6.По координатам вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 A1 1;  2;1 , A2 0;  2; 5 , A3  1;  1;1 , A4 1; 0; 3 найти:
1)длины ребер A1 A2 и A1 A3 ; 2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A3 ; 3) площадь грани A1 A2 A3 ;
4) объем пирамиды; 5) уравнения прямых A1 A2 и À1 À3 ; 6) уравнения плоскости A1 A2 A3 ;
7) высоту пирамиды, опущенную из вершины A4 к плоскости A1 A2 A3 ; 8) высоту грани A1 A2 A3 ,
проведенную из вершины A2 к стороне A1 A3 .
(4 балла)
7.Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что большая полуось а = 10, а эксцентриситет е = 0,5;
(3 балла)


sin 2 x
n 2  5n  4
x 2  3x  2
 x  2
; 5) lim 
8.Найти: 1) lim 2
; 2) lim
; 3) lim 4 x 2  2  2 x . 4) lim
 .
x0 11x
x 
n  n  n  1
x2
x 
2 x
 x 
(3 балла)
9.Вычислите производные следующих функций:
2x
1) f x   e 2 x  log 2 3x  1; 2) f  x   x sin 5 x; 3) f  x  
.
(3 балла)
x
ln
2
10. Найдите приближенное значение выражения: 1,003 21. (3 балла)
x
3x 2  6 x
. (3 балла)
x 0 sin 3 x
12. Исследовать при помощи дифференциального счисления и построить график функции:
(3 балла)
 x 2  5x  6
y 2
.
x  3x  3
11. Вычислите значение предела, используя правило Лопиталя: lim
13.Найдите интегралы известными Вам методами:
x  23 x 2  1
2 2 x 3 1
dx
;
2)
x
e
dx , 3)


4
x
14. Вычислите известными Вам методами:
1)

ln x
dx , 4)
x4
x
2
2x  3
dx , 5)
 3 x  10

dx
x 3 x
. (4 балла)
 x

0
1)
3
 3
 2 x dx ; 2)
1
sin xdx
;

 1  cos x
(3 балла)
2
15. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y   x 2  x  6, y  0 ; 2) y  x 2  8x  18, y  2 x  18 .
(3 балла)
16. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям:
у  sin x  y cos x  1; у 0  0, х 0 

2
(3 балла)
;
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА (25 баллов)
1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не
превосходит 3;б) произведение числа очков не превосходит 3;в) произведение числа очков делится на 3.
(2,5 балла)
2. В круге радиуса 11 наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну
из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 =2,25 и S2.=3,52 (3 балла)
3. Среди 9 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того,
что среди них 3 выигрышных. (2,5 балла)
4. В двух партиях 71% и 47% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по
одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно
бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное? (2,5 балла)
5. Из 1000 ламп ni принадлежат i-й партии, i = l, 2, 3,
3
n
i 1
i
=1000. В первой партии 6%, во второй 5%, в
третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что
выбранная лампа - бракованная. n1=100, n2=250. (2,5 балла)
6. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет mi% изделий
(i=l, 2, 3). Среди изделий i-го завода ni% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось
первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом.
m1=50, m2=30, m3=20, n1=70, n2=80, n3=90, j=1 (3 балла)
7. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 10 билетов. Найти
наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность. (3 балла)
8. Случайная величина Х задана рядом распределения. Найти функцию распределения F(x) случайной
величины X и построить ее график. Вычислить для X ее математическое ожидание М(Х), дисперсию
D(X) и среднее квадратическое отклонение. (3 балла)
X
-5
2
3
4
0,4
0,3
0,1
0,2
9. При изготовлении изгибов труб для котлов электростанций одной из важнейших характеристик
качества является овальность – форма кольцевого сечения после гибки, которая отличается от
первоначальной формы- окружности. Распределение 100 изгибов, отобранных оп схеме случайной
бесповторной выборки из совокупности 500 изгибов, приведено в таблице:
Овальность
12,0 – 12,2 12,2 – 12,4 12,4 – 12,6 12,6 – 12,8 12,8 – 13,0
Итого
изгибов
Число
5
15
50
20
10
100
изгибов
Найти вероятность того, что средняя овальность в выборке отличается от средней овальности всех
изгибов по абсолютной величине не более чем на 0,05. (3 балла)
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА (25 баллов)
1. Пусть даны четыре множества A, B, C и D (см. рис.).
A
B
D
C
Постройте диаграммы Эйлера-Венна для следующих выражений:
A  C;
A ~ B;
C | D.
(5 баллов)
2. Ниже номера наборов четырех переменных, на которых логическая функция принимает единичное
значение. Запишите эту функцию в СДНФ и произведите минимизацию методом Куайна, методом
сочетания индексов и методом Карно (результаты минимизации для всех случаев должны совпасть).
f(1, 6, 7, 9, 12, 13, 14, 15) = 1.
(5 баллов)
3. Постройте матрицы смежности и инцидентности для графа.
2
5
1
3
4
(5 баллов)
4. Постройте матрицы смежности и инцидентности графа G: G1  G2  G3
G1
G2
1
2
3
5
G3
2
4
2
3
5
4
5
(5 баллов)
5. Закодируйте сообщение с длиной кодового слова l = 4. Добавьте корректирующие коды для защиты
кодов сообщения от единичных сбоев.
«ДОРОГА ЛОЖКА К ОБЕДУ!!!».
(5 баллов)