7 класс, осенняя сессия

Материал для подготовки к переводному экзамену по математике
(7 класс, осенняя сессия)
1. Темы для повторения по алгебре:

степень, действия со степенями (умножение степеней, деление
степеней, возведение степени в степень):
a m a n  a mn ;

m
a m : a n  a mn ;
am
a

;
 
bm
b
abm  a mb m ;
a 
m n
a 0  1 ( a  0 ).
 a mn ;
действия с одночленами и многочленами:
1. умножение одночлена на одночлен:
Для того чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить их коэффициенты и сложить показатели степенного
выражения с одинаковыми основаниями, например:
−8𝑎3 𝑐 ∙ 4𝑎2 𝑐 5 = −32𝑎5 𝑐 6 .
2. сложение и вычитание многочленов:
Для того чтобы сложить (вычесть) два многочлена, надо соединить их знаком + (–), используя правило раскрытия скобок, привести подобные члены, например:
(3𝑥 2 + 3𝑥 − 2) + (7𝑥 2 − 6𝑥 + 5) = 3𝑥 2 + 3𝑥 − 2 + 7𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 10𝑥 2 − 3𝑥 + 3;
(3𝑥 2 + 3𝑥 − 2) − (7𝑥 2 − 6𝑥 + 5) = 3𝑥 2 + 3𝑥 − 2 − 7𝑥 2 + 6𝑥 − 5 = −4𝑥 2 + 9𝑥 − 7.
3. приведение подобных членов многочлена:
Для того чтобы привести подобные члены многочлена, надо
сложить их коэффициенты и дописать их общую буквенную
часть, например:
2𝑎𝑏 + 4𝑏2 − 3𝑎2 + 𝑎2 − 7𝑎𝑏 + 𝑏2 = −5𝑎𝑏 + 5𝑏2 − 2𝑎2 .
1
4. умножение одночлена на многочлен:
Для того чтобы умножить одночлен на многочлен, надо каждый
член многочлена умножить на этот одночлен и полученные одночлены сложить, например:
(−3𝑥 5 + 2𝑥 4 − 4𝑥 3 + 5𝑥) ∙ 2𝑥 = −6𝑥 6 + 4𝑥 5 − 8𝑥 4 + 10𝑥 2 .
5. умножение многочлена на многочлен:
Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить каждый член другого
многочлена и полученные одночлены сложить, например:
(2 − 3𝑥) ∙ (2𝑥 − 3) = 4𝑥 − 6𝑥 2 − 6 + 9𝑥 = −6𝑥 2 + 13𝑥 − 6.

формулы сокращённого умножения:
a  b2  a 2  2ab  b2 – квадрат суммы;
a  b2  a 2  2ab  b2 – квадрат разности;
a 2  b 2  a  b a  b  – разность квадратов;
a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2  – сумма кубов;
a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2  – разность кубов;
a  b3  a3  3a 2b  3ab2  b3 – куб суммы;
a  b3  a3  3a 2b  3ab2  b3 – куб разности.

разложение на множители:
1. вынесение общего множителя;
2. использование формул сокращённого умножения;
3. группировка.

линейная функция, её график:
1. Линейная функция – функция вида 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 , где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.
2
2. Графиком линейной функции является прямая. Для построения
графика достаточно задать две точки  x1 ; y1  и  x2 ; y2  .
3. k – угловой коэффициент.
В уравнении функции 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 коэффициент k отвечает за
наклон графика функции:
если k  0 , то угол наклона прямой к оси х острый;
если k  0 , то угол наклона прямой к оси х тупой.

системы уравнений:
1. графический способ;
2. способ подстановки:
а) Выбираем одно уравнение (лучше выбирать то, где числа
меньше) и выражаем из него одну переменную через
другую, например, x через y (можно и y через x);
б) Полученное выражение подставляем вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.
в) Решаем полученное линейное уравнение и получаем значение одной из переменных.
г) Подставляем полученное значение в выражение, полученное в первом пункте, получаем значение второй переменной.
д) Выполняем проверку полученного решения, записываем
ответ.
3. способ сложения:
а) Если требуется, путем равносильных преобразований
уравниваем коэффициенты при одной из неизвестных
переменных в обоих уравнениях.
3
б) Складывая или вычитая полученные уравнения, получаем линейное уравнение с одной переменной.
в) Решаем полученное уравнение с одной переменной и
находим значение этой переменной.
г) Подставляем полученное значение в любое из двух уравнений системы и решаем это уравнение, получив, таким
образом, значение второй переменной.
д) Выполняем проверку решения, записываем ответ.
4