КВАЗИСПРАВЕДЛИВЫЙ ДЕЛЁЖ С НЕСКОЛЬКИМИ

КВАЗИСПРАВЕДЛИВЫЙ ДЕЛЁЖ С НЕСКОЛЬКИМИ УЧАСТНИКАМИ
Александр Рубчинский
В докладе рассматривается модель дележа Брамса-Тэйлора [1, 2, 3] при наличии нескольких участников. Здесь предполагается делимость всех обсуждаемых пунктов. Введём необходимые формальные
понятия и обозначения, следуя в основном изложению в [3]. Число пунктов обозначим через n, число
участников  через m. Относительная важность пунктов задаётся матрицей a = (aij) (i = 1, ..., n; j = 1,
..., m). Целочисленность aij (i = 1, ..., n; j = 1, ..., m) не предполагается, поэтому без ограничения общности можно считать, что ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 = 100 (j = 1, ..., m), и интерпретировать aij как процент важности,
приписываемой j-ым участником i-му пункту.
Делёж формально задаётся матрицей x = (xij) (i = 1, ..., n; j = 1, ..., m), где xij  доля i-го пункта,
получаемая j-ым участником. Естественно, что 0 ≤ xij ≤ 1(i = 1, ..., n; j = 1, ..., m), ∑𝑚
𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 = 1 (i = 1, ...,
n), поскольку каждый пункт полностью распределяется между участниками. Множество всех дележей
обозначим через X; оно является прямым произведением n одинаковых симплексов Si: 0 ≤ xij ≤ 1 (j = 1,
mn
..., m), ∑𝑚
𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 = 1 и, следовательно, X  выпуклый многогранник (в линейном пространстве E ).
Доход (выигрыш) gj(x) j-го участника при дележе x определяется формулой gj(x) = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 (j = 1, ...,
m); g(x) = (g1(x), ..., gm(x)) есть векторный доход при дележе x. Положим G = {g(x) | x ϵ X}. Множество
G представляет собой множество всех возможных векторных доходов при всех возмож-ных дележах
x ϵ X. Оно называется множеством достижимости, поскольку каждый векторный доход g ϵ G
может быть получен как результат некоторого дележа. Легко видеть, что G является выпуклым
многогранником в неотрицательном ортанте пространства Em.
Введём, следуя [1, 2], содержательно важные свойства дележей. Делёж x называется пропорциональным, если
gj(x)  100  m (j = 1, ..., m);
(1)
равноценным, если
gp(x) = gq(x) (p, q = 1, ..., m);
эффективным, если
g(x) ϵ GP,
(вектор g(x) недоминируем по Парето никаким другим вектором g(у); это означает, что если при любом дележе у некоторый участник получит больше, чем при дележе x, то какой-то другой участник
обязательно получит меньше);
свободным от зависти, если для любых j, p = 1, ..., m, j ≠ p
gj(x)  ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑝 ,
(2)
т.е. по своей собственной оценке j-ый участник получает не меньше, чем любой другой.
Пусть делёж x ϵ X свободен от зависти. Складывая неравенства (2) для всех p ≠ j, получаем
1
(m–1)gj(x)  ∑𝑝≠𝑗( ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑝 ) = ∑𝑛𝑖=1( ∑𝑝≠𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑝 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 ( ∑𝑝≠𝑗 𝑥𝑖𝑝 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 (1 − 𝑥𝑖𝑗 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 −
∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 100 – gj(x),
т.е. (m–1)gj(x)  100 – gj(x), или mgj(x)  100, что совпадает с (1). Таким образом, любой делёж, свободный от зависти, является пропорциональным. Обратное неверно, о чём говорят простые примеры,
приведённые в [1, 2].
Делёж был назван справедливым, если он одновременно пропорционален, равноценен, эффективен и
свободен от зависти (в силу предыдущего замечания свойство пропорциональности можно удалить из
этого списка). Основные естественные вопросы, возникающие при исследовании справедливых дележей такие же, как и при исследовании других формально определённых объектов: существуют ли
справедливые дележи? если да, то как их находить? какими ещё интересными свойсвами (кроме указанных в определениях) они обладают?
В данном случае в книге [1] даны исчерпывающие ответы на эти вопросы при числе участников, равном двум. Справедливый делёж существует для любой матрицы важности а; он легко находится
предложенным авторами методом «подстраивающегося победителя»; важным свойством такого (т.е.
найденного именно данным методом) справедливого дележа является следующее: все пункты (кроме,
быть может, одного, определяемого в процессе работы этого метода) достаются целиком одному или
другому участнику, и только один пункт действительно может делиться между ними. Однако уже при
трёх участниках справедливые дележи могут отсутствовать, а метод «подстраивающегося победителя» неприменим. Именно поэтому представляется целесообразным отказаться от условия «свободы
от зависти», заменив его более слабым условием пропорциональности.
Содержательно пропорциональность, т.е. желание получить по своей оценке не менее (1/m)-ой части
от максимально возможных ста баллов, кажется менее жёстким (и потому более реальным) условием,
чем свобода от зависти, основанная на оценивании результатов других участников по своим предпочтениям, и зависящая не только от доставшихся лично тебе пунктов, но и от перераспределения пунктов между другими участниками. Поэтому вводится новое понятие квазисправедливого дележа. Делёж называется квазисправедливым, если он одновременно пропорционален, равноценен и Паретооптимален. Именно такие дележи будут рассмотрены в работе.
Приведём основные результаты.
1. При любой матрице важности A, любом числе участников m и любом числе пунктов n существует
квазисправедливый делёж.
Ранее этот результат был известен для случая двух участников (см. [1]). В общем случае удаётся установить, что любая грань многогранника G, входящая в его паретовскую границу, лежит в гиперпоскости, все коэффициенты уравнения которой одного знака, в силу чего их можно считать положительными. Из этого факта и следует указанное общее утверждение.
2
2. Установлено, что нахождение квазисправедливого дележа сводится к решению задачи линейного
программирования:
∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖1 𝑥𝑖1  max
(3)
при условиях
∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑗+1 𝑥𝑖𝑗+1 (j = 1, ..., m1);
(4)
∑𝑚
𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 = 1 (i = 1, ..., n);
(5)
xij  0 (i = 1, ..., n; j = 1, ..., m),
(6)
3. Следует отметить, что квазисправедливый делёж определяется, вообще говоря, неоднозначно.
Поэтому целесообразно выбирать такие дележи, которые обладают некоторыми дополнительными
содержательно полезными свойствами.
Остановимся на этом подробнее. Введём понятие «разреза». Разрез  это деление некоторого «куска»
какого-то пункта (может быть, всего пункта) на две части. Таким образом, процесс деления одного
пункта на m непустых частей (т.е. между m участниками) осуществляется путём выполнения m1 разрезов. Естественно, что для реального осуществления дележа желательно, чтобы число разрезов было
бы как можно меньше, т.е. чтобы как можно больше пунктов доставалось участникам целиком. Для
двух участников всегда существует такой справедливый делёж, в котором делить приходится не более одного пункта (.т.е. число разрезов не превосходит 1).
В настоящей работе установлен следующий общий результат. При любом числе участников m и любом числе пунктов n существует квазисправедливый делёж, число разрезов в котором не превосходит
m–1.
Заметим, что верхняя оценка числа разрезов на единицу меньше числа участников; она не зависит от
числа n пунктов. Заметим также, что в этом утверждении, как и в аналогичном утверждении для двух
участников, речь идёт не о всех квазисправедливых дележах, а лишь о существовании дележа с данным свойством. Конечно, встаёт естественный вопрос о поиске такого квазисправедливого дележа.
Однако из доказательства утверждения о сведении поиска справедливого дележа к задаче линейного
программирования следует, что любой делёж, найденный симплекс-методом, обладает указанным
свойством.
Литература
1. Brams, S.J., Taylor, A.D. Fair Division. Cambridge University Press. 1996.
2. Brams, S.J., Taylor, A.D. The Win-Win Solution. W.W. Norton & Company, 1999 (русский перевод:
С.Д. Брамс, А.Д. Тэйлор. Делим по справедливости. М.: СИНТЕГ, 2002).
3. Rubchinsky A. Fair Division with Divisible and Indivisible Items: Working paper WP7/2009/05. Moscow:
NRU Higher School of Economics, 2009.
3