Прикладная алгебра_4ПМИ_7сем

Прикладная алгебра. 4 ПМИ 7 семестр
Примерный перечень вопросов к зачету
Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Высший член многочлена.
Лемма о высшем члене произведения многочленов.
Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Формулы
Виетта.
Лемма о высшем члене симметрического многочлена и следствие из неё. Отношение
высоты на множестве многочленов. Лемма о конечности убывающей последовательности
симметрических многочленов.
Основная теорема о симметрических многочленах (включая существование и
единственность). Теорема о значении симметрического многочлена от корней многочлена.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена. Необходимое и достаточное условие существования кратных
корней, и дискриминант.
Необходимое и достаточное условие наличие общего корня у двух многочленов.
Результант. Основная теорема о результанте.
Исключение переменных из системы двух алгебраических уравнений с двумя
переменными.
Теорема о возрастании модуля многочлена.
Теорема о непрерывности модуля многочлена.
Теорема о наименьшем значении модуля многочлена.
Лемма Даламбера.
Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Неприводимые над
полем комплексных чисел многочлены. Теорема о числе комплексных корней многочлена
с комплексными коэффициентами степени n.
Сопряжённость мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Теорема о совпадении
чётности числа действительных корней многочлена с действительными коэффициентами
с чётностью степени многочлена.
Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных корней
многочлена с действительными коэффициентами.
Решение уравнений 3-й степени. Формулы Кардано.
Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами.
Решение уравнений 4-й степени методом Феррари.
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
Критерий неприводимости Эйзенштейна.
Алгебраические и трансцендентные числа. Простое расширение поля.
Минимальный многочлен алгебраического элемента. Теоремы о свойствах минимального
многочлена.
Алгебраическое расширение поля. Теорема о строении простого алгебраического
элемента.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Конечное расширение поля. Теорема о том, что каждое конечное расширение поля
является алгебраическим расширением.
Составное расширение поля. Теорема о том, что конечное расширение конечного
расширения является конечным расширением. Теорема о том, что составное
алгебраическое расширение является алгебраическим. Теорема о конечности расширения
P(1,, n ) над полем P , где 1,, n - алгебраические над P элементы.
Теорема о простоте составного алгебраического элемента.
Условия разрешимости уравнений 3- й степени в квадратных радикалах.
Приложение к задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Задача о трисекции
угла. Задачи о построении правильных многоугольников.