Обратные производственные функции комплексного переменного

И.С.Светуньков
Обратные производственные
переменного1
функции
комплексного
В работе любой организации часто приходится решать задачи прогнозирования
и планирования. Производственные функции действительных чисел, например,
такие как производственная функция Кобба-Дугласа с её многочисленными
модификациями, позволяют решить эти задачи. Например, меняя значения
капитальных и трудовых вложений (K и L) в производственной функции КоббаДугласа, исследователь может моделировать различные ситуации на
производстве, а также предсказывать, каким будет объём производства при
данных сочетаниях ресурсов. Для того чтобы узнать, какие требуются затраты K
и затраты L для получения определённого объёма производства Q,
исследователи вынуждены выводить функции изоквант, получая вместо одного
решения множество решений – сочетания K и L, дающие один и тот же объём
производства Q.
Аппарат производственных функций комплексного переменного значительно
богаче. Он не только позволяет рассчитывать значения издержек на
производстве и прибыли от производства, таким образом выполняя задачи
моделирования и прогнозирования, но и рассчитывать, какими должны быть K
и L для получения заданных затрат и достижения требуемой прибыли, при
данном процессе производства, выполняя задачи планирования.
Производственную функцию комплексного переменного можно представить
как функцию, удовлетворяющую равенству:
G  iC  f  K  iL 
(1)
Для решения задачи планирования, требуется построить функцию, обратную
(1).
Рассмотрим, как можно это сделать на примере степенной производственной
функции комплексного переменного с комплексными коэффициентами:
G  iC   a 0  ia1   K  iL 
b0 ib1
,
(2)
где: K – капитальные затраты, L – трудовые затраты, G – прибыль производства,
C – издержки от производства, a0, a1, b0, b1 – коэффициенты функции, которые
могут быть найдены как для каждого наблюдения, так и для нескольких
наблюдений, с помощью метода наименьших квадратов [1].
Для выведения функции, обратной к (2), надо построить функцию вида:
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 07-06-00151, «Разработка основ экономикоматематического моделирования с использованием комплексных переменных».
1
K  iL  g  G  iC 
Сделать это можно путём несложных преобразований функции (2):
1
 G  iC  b0 ib1
K  iL  

 a 0  ia1 
(3)
Однако выполнять расчёты значений переменных в такой форме сложно.
Покажем, как это можно сделать – выведем формулы для нахождения K и L
независимо друг от друга.
Вначале прологарифмируем левую и правую части формулы (3). Получим:
ln  K  iL  
ln  G  iC   ln  a 0  ia1 
 b0  ib1 
(4)
Как известно, логарифм комплексного числа может быть преобразован по
формуле:
ln  X 1  iX 2   ln




X 
X 12  X 22  i  arctg  2   2 n  , где n  Z .2
 X1 


Воспользовавшись этим правилом, преобразовав формулу (4), умножим
числитель и знаменатель правой части равенства на число, сопряжённое
знаменателю. Получим:

 ln
ln  K  iL   




 a 
C
G 2  C 2  i arctg    ln a 02  a12  i arctg  1    b0  ib1 
G
 a0  
(5)
b02  b12
Раскрывая скобки в числителе правой части равенства, группируя
действительную и мнимую части, а затем, проэкспонировав обе части
равенства, получим:
K  iL  e
b0  ln


 
G 2  C 2  ln


 a 
C 
a02  a12   b1  arctg    arctg  1  
 
G
 a0  
b02  b12
e
 
 a 
C
 b  arctg    arctg  1   b1  ln

 0
G


 a0   

i
b02  b12

 
G 2  C 2  ln


a02  a12  
 
(6)
Здесь и далее мы принимаем n=0 и рассматриваем изменение полярного угла комплексной переменной в
промежутке (0;2 ) .
2
Модуль правой части полученного равенства P и полярный угол β находятся по
формулам:
Pe
b0  ln


 
G 2 C 2 ln


 a 
C 
a 02  a12  b1  arctg   arctg  1  
G
 
 
 a0  
2
2
b0 b1
 
 
 a 
C
2
2
 b0  arctg    arctg  1    b1 ln G  C  ln
G
 a0  
 
b02  b12
 
(7)
a 02  a12
 

(8)
Представив комплексное число Pe i в тригонометрической форме, получим:
K  iL  P cos     iP sin    ,
а данное равенство выполняется только при равенстве соответствующих
действительных и мнимых частей:
K  P cos   
(9)
L  P sin    ,
(10)
где P находится из (7), а β находится из (8).
Функции (9) и (10) позволяют проводить расчёты того, какими должны быть
затраты труда и капитала для достижения требуемых прибыли и издержек
производства, поскольку последние выступают в качестве входных переменных
(при сохранении технологии производства). Фактически, функции (9) и (10)
могут быть использованы в качестве уравнений изоквант (кривых,
показывающих комбинации использования первого и второго типа ресурсов для
выпуска определённого количества товара) и уравнений изоклиналей (линий на
плоскости ресурсов, все точки лежащие на которых характеризуют один и тот
же способ производства, при разных объёмах производства).
Покажем, как можно использовать обратные производственные функции на
практике на примере Диатомового комбината. Принципиально важно, что для
этого достаточно иметь наблюдение за один временной промежуток.
В нашем распоряжении имеются относительные значения K, L, C, G, которые
приведены ниже:
K
L
C
G
1,333 2,058 1,780 0,036
По этим значениям можно найти величины коэффициентов:
a 0  0,12; a1  0,67; b0  0,56; b1  0,46;
Посмотрим теперь, какие затраты K и L должна понести организация, чтобы,
например, прибыль выросла в два раза и стала равной 0,072, а издержки
производства оставались неизменными. Подставив G=0,072, С=1,780, а также
значения коэффициентов в формулы (1.9) и (1.10) получим:
K
L
C
G
1,401 2,067 1,780 0,072
То есть, для удвоения прибыли, организации при сохранении издержек
производства надо увеличить K на 0,068, а L – на 0,009. Переводя
относительные величины в абсолютные, получим, что увеличение прибыли на
95,5 тыс. рублей требует увеличения капитальных затрат на 289,9 тыс. рублей и
трудовых затрат на 1,85 тыс. рублей.
Таким образом, степенную модель производственной функции комплексных
переменных с комплексными коэффициентами можно использовать для
различных многовариантных расчётов, в том числе и для рационального
управления производственными ресурсами.
Список литературы
1. Теория функции комплексного переменного в экономико-математическом
моделировании. Материалы Всероссийского научного семинара. 19
декабря 2005 г. / Под ред. проф. С.Г.Светунькова. – СПб.: Изд-во
СПбГУЭФ, 2006.