Краткий обзор развития понятия числа.

Краткий обзор развития понятия числа.
На первых этапах существования человеческого общества числа,
открытые в процессе практической деятельности, служили для
примитивного счёта предметов, дней, шагов и т.п. В первобытном обществе
человек нуждался лишь в нескольких первых числах.
***
Первым понятием математики, с которыми столкнулись люди, были "меньше", "больше" и
"столько же". Если одно племя меняло пойманных ими рыб на сделанные людьми другого
племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей.
Достаточно было положить рядом с каждой рыбой один нож, чтобы обмен между
племенами состоялся.
О том, как появились имена у чисел, ученые узнают, изучая языки разных племен и
народов. Например, оказалось, что нивхов, живущих на Сахалине и в низовьях Амура,
числительные зависят от того, какие предметы считают. Важную роль играет форма
предмета, так что по-нивхски в сочетаниях "два яйца", "два камня", "два одеяла", "два
глаза" и т. д. числительные различны. Одному русскому слову "два" у них соответствует
несколько десятков различных слов. Много различных слов для одного и того же
числительного применяют некоторые негритянские племена и племена, живущие на
островах Тихого океана.
И должно было пройти много столетий, а может быть и тысячелетий, прежде чем одни и
те же числительные стали применять к предметам любого вида. Вот тогда и появились
общие названия для чисел.
Ученые считают, что сначала названия получили только числа 1 и 2. По радио и по
телевидению часто приходится слышать: "...исполняет солист Большого театра..." Слово
"солист" означает
"певец, музыкант или танцор, который выступает один". А
происходить оно от латинского слова "солюс"- один.
А название для числа 2 во многих языках связано с предметами, встречающимися
попарно,- крыльями, ушами и т. д. Но бывало, что числам 1 и 2 давали другие имена.
Иногда их связывали с местоимениями "я" и "ты", а были языки, где "один" звучало так
же, как "мужчина", а "два"- как "женщина".
У некоторых племен еще совсем недавно не было других числительных, кроме "один" и
"два". А все, что шло после двух называлось "много". Но потом понадобилось называть и
другие числа. Ведь и собак у охотника, и стрел у него, и овец у пастуха может быть
больше, чем две. И тут придумали замечательный выход: числа стали называть, повторяя
несколько раз названия для единиц и двоек.
Например, на языке некоторых папуасских племен (а живут папуасы на острове Новая
Гвинея в Тихом океане) числительное "один" и сейчас звучит "урапун", а числительное
"два"- "окоза". Число 3 они назвали "окоза-урапун", а число 4- "окоза-окоза". Так они
дошли до числа 6, которое получило имя "окоза-окоза-окоза". А дальше у них шло уже
знакомое нам название- "много" (конечно по-папуасски). И 10 у них "много", и 100 тоже
"много".
1
***
Но с развитием цивилизации человеку потребовалось изобретать всё большие и
большие числа, уметь их записывать.
***
Попробуйте сказать слово "сто", пользуясь папуасскими названиями "урапун" и "окоза".
Придется пятьдесят раз повторить слово"окоза". Слушателю надоест это слушать, да и не
сможет он понять: повторено слово "окоза" именно пятьдесят раз или только сорок
девять?
Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. С их помощью можно
было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. А в странах, где люди ходили
босиком, по пальцам легко было считать до 20. Тогда этого практически хватало для
большинства людей.
Пальцы оказались настолько тесно связанными со счётом, что на древнегреческом
языке понятие " считать" выражалось словом "пятерить". Да и в русском языке слово
"пять" напоминает "пясть" - часть кисти руки (слово "пясть" сейчас употребляют редко,
но производное от него -"запястье"- часто используют и сейчас).
А научившись считать по пальцам до десяти, люди сделали следующий шаг вперёд и
стали считать десятками. И если одни папуасские племена умели считать лишь до шести,
то другие доходили в счёте до нескольких десятков. Только для этого приходилось
приглашать сразу много счётчиков. Знаменитый русский исследователь Новой Гвинеи
Миклухо-Маклай должен был однажды объяснить папуасам, через сколько дней вернётся
к ним доставивший его корабль "Витязь". Для этого он нарезал кусочки бумаги, а папуасы
должны были сосчитать.
Итак, чтобы сосчитать всего-навсего до тридцати, пришлось работать трём папуасам,
при этом они узнали количество десятков, а количество единиц их не заинтересовало.
Во многих языках слово "два" и "десять" созвучно. Может быть, это объясняется тем,
что когда-то слово "десять" означало "две руки". И сейчас есть племена, которые говорят
"две руки" вместо "десять" и "руки и ноги" вместо "двадцать". А в Англии первые десять
чисел называют общим именем - "пальцы". Значит, и англичане когда-то считали по
пальцам.
***
Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал
напряженного интеллектуального труда.
С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась
необходимость сравнить число предметов одного вида с числом предметов
другого вида. На этом этапе возникли понятия "больше", "меньше",
"столько же" или "равно".
2
Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа.
Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и
делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и
служило признакам чрезвычайно высокой образованности человека.
С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука
арифметика. Её возникновению и развитию способствовали практические
потребности - строительство разнообразных сооружений, торговля,
мореходство и пр. Долгое время арифметике имели дело с числами
относительно небольшими. Например, в системе счисления Древней Греции
самым большим числом, которое имело название, была "мириада" - 10 000.
***
Греки применяли несколько способов записи чисел. При использовании ионической
нумерации числа выражались буквами алфавита. Чтобы отличить число от слова, над
буквами числа ставился специальный значок
-титло. Этот способ записи чисел
применялся жителями Милета и Александрии. Афиняне для обозначения чисел
пользовались первыми буквами слов-числительных:
Г (Γέύτέ) - пять,
Δ(Δέκά)- десять,
Χ(Χιλιάό) - тысяча,
Μ(Mυριάό) - десять тысяч,
I, II, III, IIII -соответственно 1, 2 , 3, 4
ΔΔΔIIII
- 10+10+10+4=34
С помощью этих цифр житель Древней Греции мог записывать любое, не очень большое,
число. Великий греческий математик Диофант Александрийский записывал дроби
примерно так , как приятно сейчас: числитель над знаменателем , но без черты. Это был
один из способов записи дробей в Древней Греции.
***
Ещё в III в. до н. э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен.
Вот тогда - то Архимед в своём трактате "Исчисление песчинок" "Псаммит" разработал систему, которая позволила выразить сколь угодно
большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен.
***
Величайший ученый Древней Греции Архимед в III в. до н. э. написал набольшую
арифметическую книгу "Псаммит", или "исчисления песчинок", в которой он опровергает
ложное мнение некоторых людей о том, будто бы число песчинок на земле столь велико,
что его нельзя выразить, а числа больше этого и вообще якобы не существует. Архимед
доказывает, что если наполнить песчинками пространство всего мира, всю вселенную,
которую он принимает за огромный шар с диаметром около 15 000 000 000 км, то число
песчинок (в нашей нумерации) не превысит 1063, т. е. числа, составленного из единицы с
63 нулями, и что, конечно, существует еще большие числа, сколь угодно большие. Таким
образом, в "Псаммите" Архимед показал, что счет можно продолжать не ограничено, т. е.
3
натуральный ряд бесконечен. Потребовалось, однако, сотни лет, чтобы эта идея стала
общедоступной.
***
Следует заметить, что первое представление о потенциального бесконечно
малом и бесконечно большом дал Анаксагор (около 500 - 428 гг. н. э.).
Древнегреческий философ Аристотель (384 - 322 гг. до н. э.) в своих
высказываниях, допуская бесконечность математического пространства, считал
математическую прямую бесконечной. Аналогичных принципов придерживался
и Евклид.
Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел,
совершили скачок от конечного к бесконечному. Смелая идея
бесконечности, которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности
Вселенной, открыла в математике широкие возможности, хотя и
вызвала значительные противоречия, некоторые из них не раскрыты и по сей
день.
***
Парадокс (антиномия) - "ситуация, когда в теории доказывается два взаимно
исключающих друг друга суждения, причем каждое из этих суждений выведено
убедительными с точки зрения данной теории средствами"
1.Дихотомия. Движение невозможно, так как, что бы ни двигалось, оно прежде, чем
достигнуть конца пути, должно достигнуть его середины, а еще раньше этого,
должно достигнуть одной четвертой пути и так далее- без конца. Следовательно,
движение не может никогда даже начаться.
2.Ахиллес. Бегущий Ахиллес никогда не сможет догнать ползущую перед ним
черепаху, так как прежде всего он должен добежать до того места, откуда
отправилась черепаха, но, пока Ахиллес сделает это, черепаха уже уползет с этого
места и снова окажется впереди. Повторяя этот довод и дальше, мы заключаем, что
черепаха всегда будет находиться впереди.
***
В IV в. до н. э. греческие математики из школы Пифагора открыли
несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым,
ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со
сторонами, равными единице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем
через √2. Учёные того времени относили к числам только рациональные и не
признавали иррациональные числа. Они нашли выход в том, что под числами
стали понимать длины отрезков прямых.
Геометрическое выражение чисел на первых этапах сыграло положительную
роль в дальнейшем продвижении математики, но затем вызвало ряд
затруднений и стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры.
4
Потребовалось не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли
осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи
такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной
десятичной дроби.
Как видно, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые
числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и,
наконец, действительные. (Любое число, которое можно выразить в виде
конечной или бесконечной десятичной дроби, представляет собой элемент
множества действительных чисел.)
Но на этом развитие не завершилось. В связи с решением уравнений
математики встречались с числом, которое выражалось √-1. Оно получило
название мнимой единицы. Долгое время мнимые числа не признавали за числа.
После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745 - 1818) нашел
возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые
"мнимые числа" получили своё место в множестве комплексных чисел.
Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера и Эйлера,
которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и
некоторые функции комплексного переменного истолковали геометрически.
Однако и на этом развитие понятие числа не завершилось. Оно продолжает свой
путь дальше.
5