Кольца и поля - Justworks.ru


http://justworks.ru/vmk
Вступление: Можете использовать эти доказательства и определения как хотите, они
предоставляются по принципу «as is»… т.е. никакой ответственности за их 100%ю
правильность нет, ибо они не очень просты и я умею ошибаться…Соответственно,
приветствуются вопросы и поправки… ICQ: 411-928-384
Поля
Необходимые определения:
1. Поле – кольцо, являющееся группой по умножению. (Пример: {R,+,*})
2. Если F2 подмножество F1, то F1 – расширение F2 (Записывается: F1 = F2(M), где множество
добавленное к F1 для получению F2)
3. Раcширение поля F простое, если оно получается добавлением одного элемента (это НЕ
значит «числа», элементом может быть все что угодно, в том числе, какая то линейная
комбинация чисел)
Простое расширение можно представить себе следующим образом:
F(∂) = {a0+a1∂+a2∂2+…|ai из F}
4. Минимальный многочлен для ∂ над F – многочлен наименьшей степени, корнем которого
является ∂
5. Многочлен неприводим над F, если он не раскладывается в произведение 2-х сомножителей
многочленов (как минимум первой степени)
Маленькая лемма, которую я посчитал нужным доказать отдельно от теоремы.
Лемма: Пусть g(x) минимальный многочлен для α в поле F, α не принадлежит F, тогда g(x) не
приводим над F
Доказательство:
Пусть g(x) приводим над F, тогда g(x) = f(x)*s(x) где α корень либо f(x) либо s(x) (ведь это же
корень g(x)). Из того, что степени f(x) и g(x) меньше, чем g(x) мы получаем новый многочлен,
степени меньшей, чем g(x) корнем которого является α, что противоречит тому, что g(x) –
минимальный многочлен.
Теорема: Всякое конечное алгебраическое расширение является простым
Дано: F(α, β)
Доказать: Существует ∂ из F(α, β), такое что F(∂) = F(α, β)
Доказательство:
Пусть g(x) и f(x) минимальные многочлены над F для α и β соответственно.
α1 … αn – корни g(x)
β1 … βm – корни f(x)
Пусть для определенности α1 = α и β1 = β
f(x) и g(x) взаимно просты над F, т.к. g(x) неприводим над F (по лемме)
Найдем в F такое c, что αi + c*βj ≠ α1 + c*β1 для всех пар (i, j) отличных от (1, 1)
Возьмем из F(α, β) ∂ = α + c * β.
f(x) имеет корнем β
g(∂ - c*x) имеет корнем β (т.к. ∂ - c * β = α, а α – его корень)
Заметим, что f(x) и g(x) многочлены коэффициенты, которых принадлежат F(∂) (g(x) можно
упростить до такого многочлена, возведя все в нужные степени и приведя подобные
слагаемые).

http://justworks.ru/vmk
Имеем НОД(f(x), g(∂ - c*x)) = x – β. (над F(∂))
А здесь делаем заключение: НОД 2-х многочленов над заданным полем будет иметь
коэффициенты над тем же полем, т.е. β из F(∂), но и ∂ из F(∂). Следовательно и α (их линейная
комбинация) будет находиться в F(∂). А отсюда имеем, что F(α, β) – подмножество F(∂) (т.к. и
α и β мы можем найти в F(∂))
Но ∂ = α + c * β (всего лишь их линейная комбинация) и следовательно F(∂) – подмножество
F(α, β). Вспомним Прилуцкого (недобрым словом?) и хором скажем: «Тогда F(α. β) = F(∂)»
Вот, собственно, и все…
Конечные поля
Определение: n – характеристика поля, если 1+1+…+1 (n раз) = 0 (n единичных элементов по
умножению в сумме дают единичный по сложению)
Утверждение: Если поле имеет конечную характеристику, то она – простое число
Доказательство:
Пусть n – характеристика поля и n = p * q, (p ≠ 0, q ≠ 0), тогда рассмотрим g1 = (1+1+…+1)p раз
и g2 = (1+1+…+1)q раз g1 * g2 = 0, следовательно g1 не имеет обратного (чего не может быть)...
(если бы g1 имел обратный то при умножении нашего равенства g1 * g2 = 0 на него слева,
получили бы g2 = 0, что означало бы что q – характеристика поля)
Утверждение: Если поле F имеет характеристику p, то оно содержит поле вычетов по
модулю p: Zp = {0, 1, … p-1}
Доказательство:
Если поле имеет характеристику p, то оно содержит элементы 1, 1+1, 1+1+1, (1+1+…+1)p раз =
0, т.е. содержит Zp = {0, 1, … p-1}. НО: из этого еще не следует что это поле вычетов. То что
это именно поле следует из того, что p – простое (по выше доказанному).
Примечание: Такая конструкция будет полем вычетов тогда и только тогда, когда p –
простое (в противном случае возникают делители нуля и это будет только кольцо)
Утверждение: Конечное поле имеет порядок pk, где p – простое число.
Доказательство:
Рассмотрим конечное поле F c характеристикой p. По выше доказанному, оно содержит в себе
поле вычетов по модулю p, т.е. Zp = {0, 1, … p-1}, тогда F – расширение Zp. Пусть a1, a2 … an –
базис надстройки F над Zp. Тогда каждый элемент из F представим в виде:
a1 * x1 + … + an * xn, где xi из Zp, т.е. |F| = pk
Теперь нам предстоит доказать, что такое расширение F существует (т.е. его можно
построить). Рассмотрим мультипликативную(т.е. относительно умножения) группу F\{0}.По
следствию из т. Лагранжа имеем: x(p^k)-1 = 1 для любого элемента x из F\{0}. Следовательно,
все элементы F\{0} удовлетворяют этому уравнению. Но тогда все элементы F удовлетворяют
уравнению: xp^k = x, т.е. являются корнями многочлена f(x) = xp^k – x, не нулевые его корни
являются корнями g(x) = x(p^k)-1 – 1.
g’(x) = (pk-1)x(p^k)-2 , тогда g(x) и g’(x) не имеют общих корней, следовательно, различны и все
корни многочлена f(x), т.е. наше поле действительно существует и |F| = pk.