1

1
Лекция 11. Круговая диаграмма асинхронной
машины
11.1. Обоснование и построение круговой диаграммы
асинхронной машины
Круговая диаграмма асинхронной машины представляет собой
геометрическое место (годограф) концов вектора тока при изменении
скольжения в пределах    s   , то есть – во всех возможных режимах работы. При этом частота сети, величина приложенного
напряжения, и все параметры схемы замещения полагаются неизменными. Теоретическое обоснование круговых диаграмм было выполнено еще в начале ХХ века, и долгое время они (с определенными дополнениями и уточнениями) являлись средством анализа и расчета
самых различных характеристик асинхронных машин. В настоящее
время это их значение утрачено, однако, они дают настолько наглядное представление о количественных и качественных взаимосвязях
токов, мощностей, моментов и других параметров асинхронной машины во всех режимах работы, что их роль в общей теории электрических машин остается весьма значительной.
Рассмотрим вначале круговые диаграммы напряжений и токов
для цепи с последовательным соединением индуктивного x L  const 
и активного r  var  сопротивлений (рис. 11.1).
U1
UL1
I
U1
xL
UL2
UL
U1
r
Ur1
∞
I2
0
I1
r
Ur
Ur2
Iк
Рисунок 11.1 − Схема (а) и круговые диаграммы напряжений (б)
и токов (в) последовательной цепи с хL = const и r = var
При любом значении r входное напряжение U1 остается неизменным, и определяется суммой активной Ur и реактивной UL составляющих падений напряжения:
2
U1  Ir  jIx L ,
U1  Ur2  UL2  I r 2  xL2  DU  const .
(11.1)
Окружность диаметром DU  U1 является геометрическим местом вершин прямых углов, образуемых векторами UL , Ur при изменении активного сопротивления r. Сплошной линией показана полуокружность, соответствующая индуктивному сопротивлению х, пунктиром – ёмкостному. Разделим все составляющие уравнения (11.1) на
реактивное сопротивление:
2
U1
 I 1   r   I к  DI  const
xL
 xL 
(11.2)
Окружность с диаметром, равным в масштабе току короткого
U
замыкания на чисто реактивное сопротивление r  0  : Iк  1  DI ,
xL
представляет собой годограф концов векторов тока при изменении
активного сопротивления в пределах:   r  0 (верхняя полуокружность соответствует индуктивному характеру х). При разрыве цепи
r    ток равен нулю.
Цепь, показанная на рис. 11.1, полностью подобна каждой из
двух параллельных ветвей Г-образной схемы замещения асинхронной
машины (рис. 11.2).
r1
I1
x1
r’2
x’2
r'2
I0
1s
s
x0
U1
- I’2
r0
Рисунок 11.2 − Упрощенная схема замещения асинхронной машины
3
Круговые диаграммы строятся на основании результатов, полученных при выполнении опытов холостого хода и короткого замыкания. Наиболее наглядна круговая диаграмма, соответствующая упрощенной схеме замещения асинхронной машины (рис. 11.2), в которой
принято: С1  1 ; Р0  Рст  3I02r0 .
U1
Iк1
φк
I’к2
φ0
O
O’
I0
O’’
U1
x1  x'2
A
IL
Рисунок 11.3 − Построение круговой диаграммы асинхронной машины
по данным опытов холостого хода и короткого замыкания
Построение круговой диаграммы, показанной на рис. 11.3, сводится к следующему.
1.
2.
По оси ординат направляется вектор напряжения, и под углом
φ0 к нему в определенном масштабе откладывается вектор тока
холостого хода I0 при номинальном (или особо оговоренном)
значении напряжения.
Из конца этого вектора под углом φк в том же масштабе откладывается вектор полного тока короткого замыкания Iк1, приведенный к номинальному напряжению.
4
3.
4.
Графически определяется вектор приведенного тока ротора I’к2,
из середины которого восстанавливается перпендикуляр до пересечения с прямой О – А, параллельной оси абсцисс, проходящей через конец вектора тока I0.
Точка пересечения О’’ является центром окружности приведенных токов ротора, радиус которой равен отрезку O – O’’, и в
U
масштабе токов (А/мм): m I  1
– половине тока
x'к О  O' '
короткого замыкания на индуктивное сопротивление:
I'к 2L
U
 1  m I O  O' ' . Полученная окружность является
2
2x'к
геометрическим местом концов векторов тока статора во всех
возможных режимах работы асинхронной машины.
11.2. Анализ режимов работы и характеристик асинхронной
машины с помощью круговых диаграмм
Анализ режимов работы асинхронной машины выполняется на
основе баланса активных мощностей.
В двигательном режиме асинхронная машина потребляет из сети активную мощность, которая определяется произведением напряжения на активную составляющую тока:
P1  3U1I1 cos 1  3U1I1акт
(11.3)
и согласно схеме замещения равна сумме потерь мощности в самой
машине и механической мощности ротора:
1 s 

Р1  Р0  Рэл1  Рэл 2  Р 2  3I 02r0  3I'22  r1  r'2 
r'2  . (11.4)
s


В генераторном режиме работы мощность подводится к ротору,
и изменяет свой знак, поскольку скольжение при этом отрицательно.
Баланс мощностей при этом имеет вид:
1 s

Р1  Р 2  Р 0  Р эл1  Р эл 2  3I'22 
r'2 r1  r'2   3I 02r0 . (11.5)
 s

5
Наглядное представление о балансе активных мощностей в двигательном и генераторном режимах работы дают энергетические диаграммы, приведенные на рис. 11.4.
Р1
Рр.к
Р 2  3I'22 r'2
РЭМ
3I02 r0
Р1
3I’22 r1
Рр.к
3I02 r0
1s
s
3I’22 r2
РЭМ
3I’22 r1
Р 2  3I'22 r'2
1 s
s
3I’22 r2
Рисунок 11.4 − Энергетические диаграммы асинхронной машины
в режимах двигателя (а) и генератора (б)
Из выражений (11.3) − (11.5) следует, что при неизменном по
величине напряжении U1  const  все составляющие мощности пропорциональны активным составляющим тока, и поэтому в определенном масштабе выражаются соответствующими отрезками на круговой
диаграмме (рис. 11.5).
При скольжении: s  0 имеет место режим идеального холостого хода, приведенный ток ротора равен нулю, и: Р1  Р 0 . На круговой диаграмме этому режиму соответствует точка О. В упрощенной
схеме замещения с учетом принятых допущений потери мощности
ΔР0 не зависят от нагрузки, и выражаются в масштабе мощности от-
6
резками Д 3  Д 4  Г 3  Г  А 3  А 4 , заключенными между линиями
О’ – 4 и О – 3, которые называются линией подведенной мощности, и
линией мощности рабочего контура соответственно.
U1
О–А
Двигательный
режим
Д
А (А1)
1
А–Б
Режим
электромагнитного
торможения
Г1
Д1
Г2
Б
2
А2
Д2
О
О'
Д3
Д4
Г3
А3
Г4
А4
ΔР0
3
4
Г
О – Б: Генераторный режим
Рисунок 11.5 − Круговая диаграмма и линии мощностей асинхронной
машины в различных режимах работы: О – 1 – линия механической
мощности; О – 2 – линия электромагнитной мощности; О – 3 – линия
мощности рабочего контура; О’ – 4 – линия подведенной мощности
Скольжению s  1 (точка А) соответствует режим короткого замыкания, при котором механическая мощность равна нулю, и мощность, потребляемая из сети, равна сумме потерь:
Р1  Р0  Рэл1  Рэл 2  3I 02r0  3I'22 r1  I'22 r'2 .
(11.6)
Линия О – 1 называется линией механической мощности, а дуга
окружности О – А представляет собой годограф векторов тока в дви-
7
гательном режиме. Отрезки перпендикуляров Д – Д1, восстановленных из любой точки на этой дуге в масштабе мощности равны механической мощности ротора.
При скольжении s   (точка Б) имеем:
3I'22 r'2 3I'22
1 s
r' s  r'2 r'2 s
r'
r'2  3I'22 2
 3I'22 2  0 ;
s
s

Р1  3I 02r0  3I'22 r1  РЭМ .
(11.7)
Линия О – 2 называется линией электромагнитной мощности
(линией электромагнитных моментов). Эта линия проходит через
точку А2, которая определяется исходя из пропорции:
Р эл 2 3I'22 r'2 r'2 А1  А 2



.
Р эл1
r1
А2  А3
3I'22 r1
Дуга окружности А – Б представляет собой годограф векторов
тока в режиме электромагнитного тормоза, а дуга окружности О – Б
соответствует генераторному режиму работы.
Определение мощностей и электромагнитного момента. Все
мощности и их составляющие пропорциональны активным составляющим тока, и при постоянных значениях сопротивлений r0, r1, r’2 в
масштабе мощностей m p , равном для трехфазной машины:
mp  3mI U1
выражаются отрезками перпендикуляров, восстановленных из любой
точки окружности токов.
В режиме двигателя:
механическая мощность:
электромагнитная мощность:
подведенная мощность:
потери в обмотке статора:
потери в роторе:
Р 2  mр Д  Д1  ;
РЭМ  mр Д  Д 2  ;
Р1  mр Д  Д4  ;
Р эл1  mр Д 2  Д 3  ;
Р эл 2  mр Д1  Д 2  .
8
В режиме генератора:
подведенная механическая мощность: Р 2  mр Г  Г1  ;
РЭМ  mр Г  Г 2  ;
электромагнитная мощность:
Р1  mр Г  Г4  ;
мощность, генерируемая в сеть:
Рэл1  mр Г2  Г3  ;
потери в обмотке статора:
Рэл 2  mр Г1  Г2  .
потери в роторе:
Зная электромагнитную мощность и частоту вращения поля статора ω1 легко вычислить и электромагнитный момент:
М ЭМ 
РЭМ
1
,
(11.8)
а по известным значениям мощностей Р1 и Р2 − к.п.д. в двигательном
и генераторном режимах работы:
Д 
Р 2 Д  Д1
;

Р1 Д  Д4
Г 
Р1 Г  Г4
.

Р 2 Г  Г1
Определение коэффициента мощности удобнее всего производить с помощью дополнительно построенной дуги окружности с центром в точке О’. Численно коэффициент мощности равен отношению
активной составляющей тока к полному току, которому на диаграмме
соответствует отношение проекции любой точки этой дуги на ось ординат к радиусу. Поскольку радиус остается неизменным, в определенном масштабе cos  равен самой проекции. Удобно выбирать радиус равным 10 см, в этом случае отпадает необходимость в дополнительном разбиении шкалы.
Определение скольжений производится с помощью дополнительной шкалы, которая представляет собой отрезок прямой, параллельной линии электромагнитной мощности, заключенный между
точками ее пересечения перпендикуляра, восстановленного из конца
вектора тока холостого хода s  0 , и продолжением линии механической мощности s  1 , как это показано на рис. 11.6. Этот отрезок
разбивается на деления. Скольжение определяется точкой пересечения продолжения вектора приведенного тока ротора со шкалой.
9
1
шкала скольжений
s
sкр
U1
1
0
1
в
cosφ
б
РЭМ max
г
д
Р2max
I1
Р2
I’2
а
0
О’
линия косинусов
2
РЭМ
Р1
3
4
Рисунок 1.6 − Построение рабочих и механических характеристик
с помощью круговой диаграммы
Построение рабочих характеристик (рис. 11.7 – а). Первая точка (а) соответствует режиму холостого хода Р 2  0  . Ток I1 в масштабе равен модулю вектора тока холостого хода, мощность Р1 − его активной оставляющей, cosφ определяется, как было показано ранее,
проекцией точки пересечения продолжения вектора этого тока с линией косинусов, к.п.д. равен нулю. На дуге окружности, соответствующей двигательному режиму выбирается ряд точек (на рисунке 11.6 −
точка б), которые соединяются с началом координат (точка О’). Длина
соответствующего отрезка представляет собой в масштабе ток статора, отрезки, соответствующие в масштабе мощностям Р1 и Р2, показаны на рис. 11.2, там же пунктиром показано определение коэффициР
ента мощности, к.п.д. равен отношения мощностей   2 . Точка
Р1
«в», соответствующая максимуму механической мощности определяется точкой касания дуги линией, параллельной линии механической
мощности. Соответствующие ей значения мощностей, тока, к.п.д. и
коэффициента мощности определяются аналогично.
10
I1, P1,
cosφ,
η
б
в
Р1
cosφ
η
I1
P2
0
s
0
б
г
sкр
1
P2max
МЭМ
д
Мп
Мmax
Рисунок11.7 − Рабочие (а) и механические (б) характеристики АД,
построенные с помощью с помощью круговой диаграммы
Построение механической характеристики (рис. 11.7 – б). В
режиме холостого хода: s  0 ; PЭМ  0 ; М ЭМ  0 . Определение
скольжения и электромагнитной мощности для точки «б» и других
точек на дуге окружности показано построениями на рис. 11.6, а электромагнитный момент рассчитывается по формуле (11.8). Максимальному моменту и критическому скольжению соответствует максимум
электромагнитной мощности, который определяется точкой «г» касания дуги линией, параллельной линии электромагнитной мощности.
Пусковой момент определяется по электромагнитной мощности в точке «д» при s  1 . Для построения этой же характеристики, но в функции частоты вращения ротора М ЭМ  f  2  используется формула:
 2i  1 1  s i  .
При построении описанной круговой диаграммы принят ряд допущений, главные из которых заключаются в том, что в схеме замещения не учтен комплексный множитель С1, а значения всех сопротивлений полагаются неизменными. Это приводит к неточным результатам расчета характеристик, в особенности при больших скольжениях. Существует ряд методов, позволяющих внести соответствующие
коррективы в построение диаграмм, однако, при этом они существенно усложняются и теряют наглядность, не решая кардинально проблему точности.