ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
Кафедра «Электроэнергетика транспорта»
А.А.АРТЁМОВ
Е.И.КОННОВА
РАСЧЁТ РАЗВЕТВЛЁННОЙ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Методические указания
к выполнению домашнего задания
Москва – 2015
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
Кафедра «Электроэнергетика транспорта»
А.А.АРТЁМОВ
Е.И.КОННОВА
РАСЧЁТ РАЗВЕТВЛЁННОЙ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Рекомендовано редакционно-издательским советом
университета в качестве методических указаний для
студентов электротехнических специальностей ИТТСУ
Москва – 2015
УДК 621.311
А-86
Артёмов А.А., Коннова Е.И. Расчёт развётвленной цепи
синусоидального тока: Методические указания. - М.: МГУПС
(МИИТ), 2015. – 30 с.
Методические указания предназначены для студентов
электротехнических и системотехнических специальностей, в
учебных планах которых предусмотрено изучение дисциплин
“Теоретические основы электротехники”, “Основы теории
электрических цепей”, “Электротехника и электроника” и им
подобных.
В методических указаниях рассматривается расчет и анализ
разветвлённой цепи синусоидального однофазного тока.
 МГУПС (МИИТ), 2015
Задание
Расчёт разветвлённой цепи синусоидального тока
1.Считая, что индуктивная связь между катушками
отсутствует:
1.1.определить токи во всех ветвях схемы (см.
варианты схем);
1.2.составить баланс активных и реактивных
мощностей;
1.3.определить показания ваттметра;
1.4.построить
векторную
диаграмму токов и
топографическую диаграмму напряжений;
1.5.построить кривые мгновенных значений э.д.с. e1
и тока i3 .
2.Учитывая взаимную индуктивность катушек, и
считая заданным ток I1 в первой ветви, а э.д.с. E1
неизвестной:
2.1.определить неизвестные токи и э.д.с. E1 ;
2.2.построить
векторную
диаграмму токов
топографическую диаграмму напряжений.
–
и
Указания к работе
1. При учете взаимной индукции в качестве заданного
тока I1 в первой ветви следует принять ток, существовавший
в этой же ветви при отсутствии индуктивной связи.
2. На топографических диаграммах должны быть
показаны векторы напряжений на всех элементах схемы.
3. Напряжения на элементах схемы, обладающих
взаимной индуктивностью, должны быть разложены на
3
составляющее (напряжение самоиндукции и напряжение
взаимоиндукции в каждой из индуктивно связанных катушек).
4. Номер схемы соответствует порядковому номеру,
под которым фамилия студента записана в групповом
журнале.
5. Числовые значения параметров схемы приведены в
таблице 1.
1. Расчёт разветвленной цепи синусоидального тока
без учета индуктивной связи между катушками
1.1. Определение токов в ветвях схемы
Очень широкое распространение на практике получил
символический, или комплексный, метод расчета цепей
синусоидального тока.
Сущность символического метода расчета состоит в
том, что при синусоидальном токе можно перейти от
уравнений, составленных для мгновенных значений и
являющихся
дифференциальными,
к
уравнениям,
составленным для комплексов тока и э.д.с. Мгновенные
значения
токов,
напряжения,
э.д.с.
заменяют
их
комплексными изображениями. Так, r I m – это изображение
падения напряжения ri ;
1
I m – соответственно изображения падений
j L I m ,  j
C
напряжения на индуктивности и конденсаторе, I m –
комплексная амплитуда тока i ;   2 f .
Все методы и приемы, используемые для расчета цепей
постоянного тока, применимы и для расчета цепей
синусоидального тока при условии представления расчетных
величин в комплексной форме.
4
Таблица1. Числовые значения параметров схем
Пара- Размерметры
Е1
ность
В
Е2
В
λ
Номер варианта
9
10
100 220 200 200 200 240 280 400
1
2
3
4
5
6
7
8
50
40 1000 100
11
12
100 140 200 220 240 280 240 100
π/6 π/3 π/2 π/6 π/4 π/3 π/2 π/6
60
π/4
70 1200 120
π/6 π/3 π/4
r1
Ом
4
6
8
10
12
20
40
3
40
20
100
6
L1
мГн
20
40
4
6
2
10
3
30
10
20
2
30
C1
мкФ
200 300
40
90
20
50
10
300 100 200
20
200
r2
Ом
8
12
14
24
30
4
20
10
30
4
40
50
5
6
L2
мГн
30
10
6
4
8
8
10
30
4
50
C2
мкФ
250 200
80
40
100
30
140 200 200 150
30
300
6
8
4
16
24
30
4
r3
Ом
2
6
L3
мГн
10
60
4
8
5
4
C3
мкФ
400 200
30
8
50
10
3
10
5
2
20
30
20
5
20
20
400 300 150
20
300
k12
0
0,6
0
0,3
0,6
0,8
0
0,6
0
0,6
0,4
0,6
k13
0,6
0,8
0,6
0,6
0,8
0
0,6
0
0,7
0,5
0
0
0
0
0,6
k23
f
Гц
0,8
0
0,8
0,8
0,8
0,8
0
0,6
0,8
60
50
400 400 500 500 500
50
50
50
500
50
Примечание. λ – угол, на который E1 опережает E2 ; kmn –
коэффициент индуктивной связи катушек в ветвях m и n.
5
1
5
r1
r1
*
* W
C1
L1
*
L2
*
L3
r3

E1

C3
E2

r3
C3
C2
*
*
E1
r2
L2
* *
r2
L3

L1
E2
*W
*
2
6
r1
C1
*
L1
L2
*
L1
C2
r1
L3
*
r3

E1
r2
L2
* *
*L 3
C2
C1

C3

E2

C3
E1
E2
*W
*
W *
*
3
7
r1
C1
*
L1
L2
*
r2
r1
*L 3
*
L1
C2

E2
*
*
W *
r2
L3

C3
E1
L2
C2
*
r3


E2
E1
W *
C3
*
4
8
r1
L1
C1

*
*
r1
C2
*
L1
*
L2
L3
L3
*
*
r3
C3
E1
L2

E2
r3

E1
r3
W *
W *
*
*
6
C3
C2

E2
9
13
L1
r1
L2
*
r2
*
C2
L1
C1
*L 3
* *
*L
L2
C2
r2
3
C1


r3
E1
E2
r3

E1

C3
E2
W *
W *
*
*
10
14
r1
C1
*
L1
*
*
L2
W
L1
L2
* *
*
L3
C2
r2
L3
C2
C3

r1
* r2

E1
*

E2

r3
C3
E1
E2
*
r3
W
11
*
15
*
r1
L1
L2
r2
*
*
r1
L1
L2
*L 3
*
C1

C2
L3
C1

r3
E1
r2
*
E2


C3
E1
E2
C3
*W
*
W *
*
12
16
r1
C1
L1
*
L2
*
r2
r1
C2
C1
L3

L1
L2
*
r2
C2
L3
*
E1
*
r3

E2

E1
*

r3
E2
C3
*W
*
W *
*
7
17
21
r1
L1
L2
*
L1
C1
*
L2
* *
*L 3
r2
*L 3
r2
C2
C2


r3
E1

E2

r3
E1
W *
E2
*W
*
*
18
22
r1
*
L1
r2
L2
*
*L 3
L1
C1
C2
L2
* *
r2
L3
C2
*



E1
r3
E2
C3

r3
E1
E2
W *
*W
*
*
19
23
r1
*
L1
L2
C1
*
*
r2
L1
L2
*L 3
E1
r2
*
C2
r3

*
L3

E2
C2
r3

E1
C3

E2
C3
W *
W *
*
*
20
24
r1
L1
*
L2
*
r2
C1
*
L3
*

C2
*

E2
E1

*W
*
8
*
L1
*
L2
r2
L3
*
E1
C3
W
r3
C3

E2
25
28
r1
L1
C1
L2
*
*
r2
r1
L3
C2
*
E1
*
*
* *
C1
E2
L2
C2
L3
*

r3

L1
W
r3

E1

C3
E2
W *
*
26
29
r1
*
W
*
*
L1
L2
*L
C1
*
*
r1
r 2 C2
L1
L2
L3
C1
*
3

r3

E1
C2
*
C3

r3
E1

E2
E2
W *
*
27
30
r1
*
*
W
* r1
C1
L1
*
E1
*
L1
r2
L2
*
*L 3
r2
C2
L3
r3

C2
*

C1
L2
C3
C3
E1

E2
W *
*
9
r3

E2
Пример.
Рассмотрим расчет схемы (рис. 1) без учета
индуктивной связи между катушками. Заданы следующие
параметры схемы:
Е1=100 В;
Е2=120 В;
λ=π/4;
L1=30 мГн;
C1=200 мкФ;
r1=6 Ом;
L2=50 мГн;
C2=300 мкФ;
r2=6 Ом;
L3=20 мГн;
C3=300 мкФ;
r3=4 Ом;
k12=0,6;
k13=0,8;
k23=0;
f=50 Гц.
1
- j 1C
j L 1
j  L 2 r 2 - j C
r1
1
2
3
7
4

8
9

I1

E1
j
I3
- j 1C
L
6

3
I2
5
2

r3
3


I 3
E2
I 3
* W
*
1
Рис. 1.
Символический метод применим не только для
комплексных амплитуд, но и для комплексных действующих
значений синусоидальных величин. По условию заданы
действующие значения э.д.с. E1 и E2 , поэтому расчет удобнее
выполнять для действующих значений токов и напряжений
(см. рис. l), предварительно определив комплексные
сопротивления всех элементов схемы (Ом):
10
X L1   L1  314  30 103  9, 42 ;
X L 2   L2  314  50 103  15, 7 ;
X L 3   L3  314  20 103  6, 28 ;
X C1 
XC2 
1
C1
1
C2

1
 15,92 ;
314  200 106

1
 10, 62 ;
314  300 106
X C 3  X C 2  10, 62 .
Выберем положительные направления токов и
обозначим их на схеме рис. 1. Расчет схемы можно вести
любым известным методом, например, с помощью уравнений
Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов и
т.п., но в данном случае целесообразно применить метод двух
узлов. Для этого схему рис. 1 заменим эквивалентной
расчетной схемой – изображением (рис. 2), которая имеет два
узла 1 и 3 и три ветви с комплексными сопротивлениям –
Z (Ом):
Z1
Z2
3


I1
I2

E1

Z3
I3
1
Рис. 2.
11

E2
Z1  r1  jX C1  jX L1  6  j15,92  j 9, 42  6  j 6,50  8,85e  j 47,29 ;
o
Z 2  r2  jX C 2  jX L 2  6  j10, 62  j15, 7  6  j 5, 08  7,86e j 40,25 ;
o
Z 3  jX L 3 
o
r3 ( jX C 3 )
4( j10, 62)
 j 6, 28 
 3,50  j 4,96  6, 07e j 54,79 .
r3  jX C 3
4  j10, 62
Для схемы, приведенной на рис. 2, узловое напряжение U 31 (В)
U 31 
E1 Y 1  E2 Y 2
Y1  Y 2  Y 3
где Y 1 ; Y 2 ; Y 3 – комплексные проводимости соответственно
первой, второй и третьей ветви, См.:
o
1
1

 0,113e j 47,29  0, 0767  j 0, 083 ;
Z1 8,85e  j 47,29
o
1
1
Y2 

 0,127e  j 40,25  0, 097  j 0, 082 ;
Z 2 7,86e j 40,25
Y1 
Y3 
o
1
1

 0,165e  j 54,79  0, 095  j 0,135 .
Z 3 6, 07e j 54,79
Тогда
U 31 
100e j 45  0,113e j 47,29  120  0,127e j 40,25

0, 0767  j 0, 083  0, 097  j 0, 082  0, 095  j 0,135
 31, 2  j 20,8  37,5e j 33,69 .
o
Э.д.с. E1 и E2 взяты со знаком плюс, так как они
направлены к узлу 3, в противном случае э.д.с. надо брать с
отрицательными знаками. В знаменателе учитываются
проводимости всех ветвей схемы, независимо от того,
содержатся в них э.д.с. или нет.
Применяя обобщенный закон Ома для отдельных
ветвей, определим искомые токи (А):
12
I1 
o
E1  U 31 70, 71  j 70, 71  (31, 2  j 20,8)

 7,19e j 98,9  1,11  j 7,10 ;
o
Z1
8,85e j 47,29
I2 
o
E2  U 31 120  (31, 2  j 20,8)

 11, 6e  j 53,5  6,90  j9,33 ;
o
Z2
7,86e j 40,25
I3 
o
U 31 31, 2  j 20,8 37,5e j 33,69


 6,18e j 21,1  5, 77  j 2, 23 .
j 54,79o
j 54 ,79o
Z3
6, 07e
6, 07e
o
В правильности произведенных расчетов можно
удостовериться с помощью первого и второго законов
Кирхгофа. Однако в данном случае ограничимся проверкой
только по первому закону Кирхгофа (так как проверка по
второму закону Кирхгофа слишком громоздка):
I3  I1  I 2  1,11  j 7,10  6,90  j9,33  5,79  j 2, 23 .
Зная ток I 3 в третьей ветви, найдем токи I 3' и I 3'' :
I 3'  I 3
I 3''  I 3
o
o
 jX C 3
 j10, 62
 6,18e  j 21,1
 5, 78e  j 41,74  4,31  j 3,85 ;
r3  jX C 3
4  j10, 62
o
o
r3
4
 6,18e  j 21,1
 2,18e j 48,26  1, 45  j1, 63 ;
r3  jX C 3
4  j10, 62
1.2. Построение векторной диаграммы токов и
топографической диаграммы напряжений
Токи и напряжения на различных участках
электрической цепи синусоидального тока, как правило, по
фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом
расположении различных векторов дают векторная диаграмма
токов и топографическая диаграмма напряжений, которые
также позволяют осуществлять контроль расчетов.
Качественный контроль заключается в сравнении
направлений различных векторов на комплексной плоскости,
которые получаются при аналитическом расчете, с
направлением этих векторов, исходя из физических
соображений.
13
По полученным комплексным действующим значениям
токов для схемы, приведенной на рис. 1, построим векторную
диаграмму токов в масштабе тока mI (рис. 3. а).
Для
построения
топографической
диаграммы
напряжений принимаем комплексный потенциал какой-либо

точки равным нулю, например, 1  0 . Потенциал этой точки
совмещен с началом координат на комплексной плоскости.
Далее последовательно определяем комплексные потенциалы
всех точек схемы, одновременно строя топографическую
диаграмму напряжений в масштабе mU (рис. 3. б).
Потенциал каждой последующей точки отличается от
потенциала предыдущей на величину падения напряжения на
участке схемы между рассматриваемыми точками. Падение
напряжения берется со знаком "плюс", если направление
обхода противоположно направлению тока в данной ветви, в
противном случаи – со знаком "минус" .
+j
I1
I 3
+1
0
I3
I 3
I2
Рис. 3а
14
+j
I2 jXL2
7
5
E1
I1( jXC1)
I1 r1
I2 ( jXC2 )
8
9
3
1
0
I1 jX L1
I 2 r2
6
+1
2 I3 jX L3
E2
4
I 3 ' r3
Рис. 3б
Выберем направления обхода ветвей от точки 1 к точке
3 по каждой из трех ветвей (см. рис. 1).


Тогда потенциал  2 будет больше потенциала  1 на
величину падения напряжения на сопротивлении I 3' r3 :


2  1  I3' r3  0  (4,31  j3,85)4  17,3  j15, 4  23,16e j 41,68
o
На комплексной плоскости отмечаем потенциал точки
2 и соединяем полученную точку с началом координат,
отрезок
1–2
должен
быть
параллелен
току
I 3'
и
перпендикулярен току I 3'' .
Потенциал точки 3 на комплексной плоскости:


3  2  I3 jX L3  17,3  j15, 4  (5,77  j 2, 23) j 6, 28 
 31,3  j 20,9  37,64e j 33,73 
o
Полученую точку З соединяем с точкой 2. Отрезок
потенциальной диаграммы 2–3 должен быть перпендикулярен
току I 3 .
15
Аналогично вычисляются комплексные потенциалы
всех обозначенных на схеме рис. 1 точек и строится
топографическая диаграмма напряжений для первой ветви

(где ток I1 ):




7  1  E1  0  70, 71  j 70, 71  70, 71  j 70, 71  100e j 45 ;
o
8  7  I1 r1  70, 71  j 70, 71  (1,11  j 7,10)6 
 77, 4  j 28,1  82,5e j 20 ;
o


9  8  I1 ( jX C1 )  77, 4  j 28,1  ( 1,11  j 7,10)(  j15,9) 
 35, 6  j10,3  37, 06e j163,86 ;
o


3  9  I1 jX L1  35, 6  j10,3  (1,11  j 7,10) j15,9 
 31,3  j 20,9  37, 64e j 33,73 .
o

Для второй ветви (где ток ) I 2 :




 4  1  E2  0  120  120 ;
5   4  I 2 (  jX C 2 )  120  (6,90  j 9,33)(  j10,62) 
 218,9  j 73,1  230,78e j18,47 ;
o


 6  5  I 2 r2  218,9  j 73,1  (6,90  j 9,33)6  177,6  j129,0 
 219,51e j 35,99 ;
o


 3   6  I 2 jX L 2  177,6  j129,0  (6,90  j 9,33) j15,7 
 31,3  j 20,9  37,64e j 33,73 .
o
Точка 3 является обшей для всех трех ветвей, поэтому
потенциал ее должен при расчете получаться одним и тем же,
независимо от того, по какой ветви рассчитывались
потенциалы от точки 1 до точки 3.
16
1.3. Определение показаний ваттметра
Показание ваттметра PW определяют
разметки его зажимов.

PW  Re U

где
с
учетом


I;

U – комплексное напряжение между точками
подсоединения параллельной обмотки ваттметра;

I – сопряженный комплексный ток, протекающий по
последовательной обмотке ваттметра.
Для исходной схемы (см. рис. 1) с заданной разметкой
зажимов напряжение на параллельной обмотке берут равным
разности потенциалов между ее концом, имеющим звёздочку

(точка 1), и концом, не имеющим звёздочки (точка 9). Ток I1
входит в конец последовательной обмотки, не имеющей
звёздочку, поэтому он взят со знаком "минус":






PW  Re  U19 (  I1 )   Re (1   9 ) (  I1 )  




 Re  37,06e j163,86 ( 7,19e  j 98,9 )   Re  266,6e j 64,96  




o
 266,6 cos 64,96  112,9 Вт .
o
o
o
1.4. Составление баланса активных и реактивных
мощностей
Для любой замкнутой электрической цепи соблюдается
баланс комплексных мощностей в соответствии с законом
сохранении энергии:
Sисточников  Sприёмников
или для схем, не содержащих источников тока:
n
E
k 1
k

n
I k    I k2 rk  jI k2 ( X Lk  X Ck )  .
k 1
17
где

n
E
k 1
k
I k – алгебраическая сумма комплексных мощностей,
развиваемых
источниками
э.д.с.
Положительны
те
из
слагаемых, для которых направления действия э.д.с. Ek и
соответствующего тока I k совпадают. В противном случае
слагаемое отрицательно.
В правой части уравнения баланса мощностей записана
арифметическая сумма активных мощностей
n
I
k 1
алгебраическая
n
I
k 1
2
k
сумма
реактивных
2
k k
r
и
мощностей
( X Lk  X Ck ) цепи.
Комплексная
источниками:


мощность
(ВА),
развиваемая
S  E1 I1  E2 I 2  100e j 45  7,19e  j 98,9  120e j 0 11, 6e j 53,5 
o
o
o
o
 1250  j537 .
Определив активную мощность (Вт):
P  I12r1  I22r2  I32r3  7,192  6  11,62  6  5,782  4  1250 ,
и реактивную (вар)
Q  I12 ( X L1  X C1 )  I 22 ( X L 2  X C 2 )  I 32 X L 3  I 32 ( X C 3 ) 
 7,192 (9, 42  15,9)  11, 62 (15, 7  10, 62)  6, 20 2  6, 28 
2,182  (10, 62)  537 ,
убедимся, что действительная и мнимая части комплексной
мощности, развиваемой источниками, равны соответственно
активной и реактивной мощностям цепи.
18
1.5. Построение кривых мгновенных значения э.д.с.
и тока
Для получения мгновенного значения синусоидальной
величины (если известно ее действующее значение A  Ae j ),
надо умножить A на 2e jt и взять мнимую часть от
полученного произведения:
a(t )  Jm  A 2e j e jt   Am sin(t  ) .
Для расчетной схемы:

e1 (t )  Jm  E1 2e j1 e jt   141, 4sin(314t  ) ;
4

i3 (t )  8, 75sin(314t  ) .
9
Графики мгновенных
показаны на рис. 4.
e1 , B
значений
i3 (t )
и
i3 , A
e1
141,4
8,75

e1 (t )

4

i3
4

2
3
4

9
Рис. 4
19
2
t
2. Расчет разветвленной цепи синусоидального тока
с учетом индуктивной связи между катушками
2.1 Определение неизвестных токов и э.д.с. E1
при
заданном токе I1 .
На схеме рис. 5 стрелками укажем наличие взаимных
индуктивных связей в соответствии с исходными данными и
рассчитаем сопротивления взаимоиндукции (Ом);
X M 12   k12 L1 L2  314  0, 6 30 103  50 103  7,32 ;
X M 13   k13 L1 L3  314  0, 6 30 103  20 103  6,16 .
Расчет схемы, приведенной на рис. 5, можно вести,
составляя уравнения по первому и второму законам Кирхгофа
или методом контурных токов. Метод узловых потенциалов
можно применить лишь после перехода к эквивалентной
схеме без индуктивных связей путем развязки.
В данном случае воспользуемся методом контурных
токов.
j М12
- j1C
r1
1
7
8

E1

*
9
I1

j L 1
 C3
I 11
*
4
6
*
j М13 
I3
-j 1
1
r 2 - j C
2
j L 2
3

j L 3
I2
2

r3

I 22

I 3
I 3
*W
*
1
Рис. 5.
20
5

E2
Направив независимые контурные токи так, как
показано на рис. 5, в канонической системе уравнений
I11 Z11  I 22 Z12  E11 ;
I11 Z 21  I 22 Z 22  E22
получим следующие значения коэффициентов при условии,
что параллельно соединенные сопротивления X C 3 и r3
заменены одним эквивалентным сопротивлением Z П .
ZП 
o
r3 ( jX C 3 ) 4( j10, 62)

 3, 74e  j 20,6 ;
r3  jX C 3
4  j10, 62
Z11  Z1  Z 3  2 jX M 13  6  j 6,50  3,50  j 4,96  2 j 6,16 
 9,50  j10,80  14, 4e j 48,3 ;
Z 22  Z 2  Z 3  6  j 5, 08  3,50  j 4,96 
o
 9,50  j10, 04  13,85e j 46,7 ;
Z12  Z 21  Z 3  jX M 12  jX M 13  3, 50  j 4,96  j 7,32  j 6,16 
o
 3,50  j3,80  5,17e j 47,3 .
o
Следует обратить внимание, что в комплексные
сопротивления контуров и в комплексные взаимные
сопротивления могут входить, кроме обычных комплексных
сопротивлений,
комплексные
сопротивления
взаимоиндукции. В комплексные сопротивления контуров они
входят со знаком "плюс" или "минус", в зависимости от того,
согласно или встречно включены катушки относительно
собственного контурного тока. В комплексное сопротивление
первого контура Z11 включено удвоенное сопротивление
взаимоиндукции 2 jX M 13 со знаком "плюс", так как катушки
L1 и L3 относительно первого контурного тока включены,
согласно. Во втором контуре взаимные индуктивные связи
21
отсутствуют, поэтому комплексное сопротивление Z 22 имеет
обычный вид.
Знаки комплексных сопротивлений взаимоиндукции,
входящих в состав комплексных взаимных сопротивлений,
выбираются путем сопоставления направлений контурных
токов смежных контуров относительно одноименных зажимов
магнитосвязанных элементов: при согласном включении
ставится знак "плюс", при встречном – знак "минус".
В некоторых случаях контуры могут быть связаны
между собой лишь за счет магнитных связей.
Так, в сопротивлении Z12  Z 21 слагаемое jX M 13 входит
со знаком "плюс", так как катушки индуктивности 1 и 3
включены согласно относительно контурных токов I11 и I 22 ,
слагаемое jX M 12 – со знаком, "минус", потому что катушки
индуктивности 1 и 2, имеющие магнитную связь с
коэффициентом
взаимоиндукции
М12,
относительно
контурных токов I11 и I 22 включены встречно.
Согласно условию задания, в качестве заданного тока
I1 в первой ветви следует принять ток, существовавший в
этой же ветви при отсутствии индуктивной связи. Тогда
контурный ток I11 известен и равен току I1 , э.д.с. E22  E2 , а
E11  E1 и неизвестна.
Подставив найденные значения коэффициентов в
каноническую систему уравнения и решив её относительно I 22
и E11 получим:
22
E I Z
120  7,19e j 98,9  5,17e j 47,3
I 22  22 11 11 

o
Z 22
13,85e j 46,7
o
o
o
120  30,9  j 20,7 152e  j 7,8

 10,95e  j 54,5  6,36  j8,92 ;
j 46,7o
j 46,7o
13,85e
13,85e
o

E11  I11 Z11  I 22 Z12  7,19e j 98,9  14, 4e j 48,3  10,95e  j 54,5  5,17e j 47,3 
o
o
o
o
 103, 2e j147,6  56,6e  j 7,2  31,1  j 48,3  57, 4e j122,8 .
o
o
o
Комплексные значения действительных токов в ветвях и э.д.с.
I 2  I 22  6,36  j8,92 ;
I 3  I11  I 22  1,11  j 7,10  6,36  j8,92 
 5, 25  j1,82  5,56e  j19,1 ;
o
E1  E11  31,1  j 48,3  57, 4e j122,8 .
o
+j
I1
I 3
+1
0
I3
I 3
I2
Рис. 6а.
23
2.2. Построение векторной диаграммы токов и
топографической диаграммы напряжений.
Векторную диаграмму токов строим по
действующим значениям токов (рис. 6, а) аналогично тому,
как это было сделано в п. 1.2. Потенциалы всех точек схемы,
изображенной на рис. 5, определяем так же, как в п. 1.4., но с
учетом взаимных индуктивных связей между катушками.
По условию задания напряжения на элементах схемы,
обладающих взаимной индуктивностью, разложим на
составляющие: падение напряжения, обусловленное э.д.с.
самоиндукции, и падение напряжения, возникающее за счет
э.д.с.
взаимоиндукции.
Падение
напряжения,
компенсирующее э.д.с. самоиндукции, берется со знаком
"плюс", если направление обхода противоположно току в
катушке, и со знаком "минус", если эти направления
совпадают. Падение напряжения, компенсирующее э.д.с.
взаимоиндукции в той же катушке, учитывается с тем же
знаком, что и падение напряжения от э.д.с. самоиндукции,
если катушки включены согласно. При встречном включении
катушек знак перед слагаемым падения напряжения от э.д.с.
взаимоиндукции противоположен знаку слагаемого падения
напряжения от э.д.с. самоиндукции.
Начнем построение топографической диаграммы с
того, что выберем направление обхода всех ветвей от точки 1

к точке 3 (см. рис. 5), приняв потенциал 1  0 .

Потенциал точки 2 будет больше потенциала  1 на
величину падения напряжения на сопротивлении Z П , так как
направление обхода противоположно току I 3 .


2  1  I 3 Z П  (5, 24  j1,82)  (3,5  j1,32) 
 15,95  j13, 28  20,8e j 39,8 .
o
24
В соответствии с условием задания потенциал точки 3
вычислим по составляющим. Предварительно вычислим
потенциал промежуточной точки 2' обусловленный только
э.д.с. самоиндукции:


 2   2  I 3 jX L3  15,95  j13, 28  (5, 24  j1,82)  j 6, 28 
 27,38  j19,6  33,6e j 35,7 ,
o
а затем учитываем падание напряжения от э.д.с.
взаимоиндукции третьей катушки с первой с тем же знаком,
что и падение напряжения от э.д.с. самоиндукции, так как
катушки включены согласно по отношению к токам I1 и I 3 , и

вычисляем потенциал  3 :


3   2  I1 jX M 13  27,38  j19,6  (1,11  j 7,10)  j 6,16 
 16,0  j13,0  20,7e j141 .
o
Аналогично рассчитываем потенциалы всех точек
схемы, одновременно отмечая их на топографической
диаграмме:




 4  1  E2  120 ;
 5   4  I 2 (  jX C 2 )  120  (6,36  j8,92)  (  j10,62) 
 215,0  j 67,7  225e j17,5 ;
o


 6   5  I 2 r2  215,0  j 67,7  (6,36  j8,92)  6 
 176,8  j121, 2  214e  j 34,5 ;
o


 6   6  I 2 jX L 2  176,8  j121, 2  (6,36  j8,92)  j15, 7 
 36,8  j 23, 2  43,6e j 32,2 ;
o


 3   6  I1 jX M 12  36,8  j 23, 2  ( 1,11  j 7,10)  j 7,32 
 16,0  j13,0  20,7e j141 ;
o
25




 7  1  E1  31,1  j 48,3  57, 4e j122,8 ;
o
8   7  I1 r1  31,1  j 48,3  ( 1,11  j 7,10)  6 
 24,1  j 6,0  24,8e j166 ;
o


 9  8  I1 ( jX C1 )  24,1  j 6,0  (1,11  j 7,10)  (  j15,92) 
 137,1  j11,84  138e  j175 ;
o


 9   9  I1 jX L1  137,1  j11,84  ( 1,11  j7,10)  j9, 42 
 70, 2  j1,30  70, 2e  j179 ;
o


9  9  I 2 jX M 12  70, 2  j1,30  (6,36  j8,92)  j7,32 
 4,8  j 45,3  45, 4e j 96 ;
o


3  9 I 3 jX M 13  4,8  j 45,3  (5, 24  j1,82)  j6,16 
 16,0  j13,0  20,7e j141 .
o
Следует обратить внимание на то, что при вычислении
потенциала точки 3 по первой ветви (где ток I1 ) будет две



дополнительные точки  9 и  9 . Потенциал точки  9
учитывает только падение напряжения от э.д.с. самоиндукции
первой катушки I1 jX L1 , взятой со знаком "минус", так как

направления обхода и тока I1 совпадают. Потенциал  9

отличается от  9 на величину падения напряжения от э.д.с.
взаимоиндукции первой и второй катушек индуктивности,
которые включены встречно, поэтому знак перед слагаемым
I 3 jX M 13
– "плюс", т.е. противоположный знаку перед
слагаемым . I1 jX L1
26
I 3 jX M 13
Падение напряжения
из-за взаимной
индуктивной связи между катушками 1 и 3 при расчете

потенциала  3 берется со знаком "минус", т.е. с тем же
знаком, что и перед слагаемым I1 jX L1 , так как первая и третья
катушки включены согласно.
По полученным значениям строится топографическая
диаграмма (рис. 6, б).
+j
6
I3 X M13
I1 r1
I1( jXC1)
7
E1
9
I1 jXM13
5
6
3
I1 jX L1
I2 ( jXC2 )
2
8
9
I2 jX L2
I1 X M 12
I2 X M12
9
0
I2 r2
2
I3 Z П
+1
I 3 jX L3
E2
4
Рис. 6б

Если значения потенциала  3 , полученные в
результате вычислений по всем трем ветвям, совпадают, то
расчет выполнен верно.
27
Список литературы
1. Основы теории цепей. Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин,
А. В. Нетушил и др. – М.: Энергия, 1975. - 749 с.
2.
Бессонов
Л.А.
Теоретические
основы
электротехники. Электрические цепи, – М.: Высшая школа.
1978 - 528 с.
3. Власов С.П. Сборник задач с решениями по
теоретическим основам электротехники ч. 2. – М.: МИИТ,
1992 – 62с.
28
Содержание
Задание. Разветвленная цепь синусоидального тока….3
1. Расчет разветвленной цепи синусоидального тока
без учета индуктивной связи между катушкам..........................4
1.1. Определение токов в ветвях схемы...........................4
1.2. Построение векторной диаграммы токов и
топографической диаграммы напряжений……………………13
1.3. Определение показаний ваттметра.........................17
1.4. Составление баланса активных и реактивных
мощностей....................................................................................17
1.5. Построение кривых мгновенных значений
э.д.с. и тока...................................................................................19
2. Расчет разветвленной цепи синусоидального тока
с учетом индуктивной связи между катушками.......................20
2.1. Определение неизвестных токов и э.д.с.
при заданном токе........................................................................20
2.2. Построение векторной диаграммы токов и
топографической диаграммы напряжений................................24
Список литературы..........................................................28
29
Учебно-методическое издание
Артёмов Александр Александрович
Коннова Елена Ивановна
Расчёт разветвлённой цепи синусоидального тока
Методические указания
к выполнению домашнего задания
Подписано в печать
Тираж 100 экз.
Заказ №
Усл.-п.л.
Изд. № 164-15
30