Материал предназначен для самостоятельного освоения важного учебного материала по теме «Производная, её механический и геометрический смысл». К теме даны тесты в двух вариантах: первый – тренировочный, второй – для самоконтроля. В каждом из них по 10 заданий. Выполнив задание, следует выбрать верный ответ (А, Б, В, Г) после каждого тестового задания. За решение 9-10 заданий можно поставить себе оценку «5», за 8 – «4», за 7 – «3». 1. 2. 3. 4. 5. 6. РАЗДЕЛЫ ТЕМЫ «Производная, её механический и геометрический смысл»: Приращение аргумента и приращение функции. Скорость изменения функции. Производная функции в точке. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования. Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции. Механический смысл производной. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ Вопросы и задания 1. Что называется приращением аргумента? Объясните на примере. 2. Пусть y f (x) - функция. Как обозначается приращение её аргумента? 3. y f (x) - функция, x0 - первоначальное значение аргумента, x - новое значение аргумента. Как можно записать приращение аргумента в виде формулы? 4. Если первоначальное значение аргумента x0 получило приращение x , как можно записать соответствующее ему значение функции? 5. Что называется приращением функции? Как оно кратко обозначается? 6. Приращение функции f в точке x0 записывается в виде формулы следующим образом: f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) . Поясните значение каждого символа. 7. Для функции y x найти y , если x 2, x0 1,9. 8. Найдите ошибку в решении следующей задачи: Дана функция y x 2 . Найти y , если x 2,2, x0 2. Решение: y y( x0 x) y( x0 ); y ( x0 x) y ( x) (2,2) 2 4,84; y( x0 ) 22 4; y = 4,84 – 4 = 8,84. 9. Найдите приращения x и y в точке x0 , если y x 2 4, x0 2; x 1,9. 10. Дана функция y 2 x 5. Найдите x и y , если x0 3 и x 0,2. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ Вопросы и задания. 1. Что называется средней скоростью прямолинейного движения точки? 2. Пусть s f (t ) - уравнение движения точки. При равномерном движении средняя s скорость постоянна на любом участке пути и определяется по формуле Vср. . Что t такое s и t ? 3. Ознакомьтесь с решением задачи: Тело движется по закону s(t ) 1 10t. Вычислите: 1) приращение времени t ; 2) приращение пути s ; 3) среднюю скорость тела на промежутке от t1 1 до t 2 3 . Решение: 1) t t 2 t1 3 1 2; 2) s s2 s1 ; s2 s(t 2 ) 1 10t 2 1 10(3) 31; s1 s(t1 ) 1 10t1 1 10(1) 11; s = 31 – 11 = 20; s 20 10. t 2 Решите самостоятельно аналогичную задачу: Тело движется прямолинейно по закону s(t ) 1 20t 5t 2 . вычислите среднюю скорость движения тела на промежутке от t1 1 до t 2 2. 4. Какие вы знаете примеры неравномерного движения? 5. Какую скорость движения можно назвать мгновенной? 6. Чтобы найти мгновенную скорость, можно поступить так: найти среднюю скорость и посмотреть, к какому значению она близка, если считать, что t практически не отличается от нуля. Найдем скорость движения точки в момент t 3 с, если точка движется прямолинейно по закону s 3t 2 2t 5, где t дано в секундах, а s – в метрах. s Vср. s s(t t ) s(t ) 3(t t ) 2 2(t t ) 5 (3t 2 2t 5) 6tt 3(t ) 2 2t t s 6tt 3(t ) 2 2t 6t 3t 2 t t При t 0 Vмгн. 6t 2 6(3) 2 16 м/с. 7. Решите аналогичную задачу. Прямолинейное движение точки задано уравнением y 2 x 2 8 x 10, ( x в секундах, y - в метрах). Найти скорость движения точки в момент времени t 8 с (мгновенную скорость). Ответ: 24 м/с. 3) Vср. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Вопросы и задания. 1. Составьте последовательность действий (алгоритм) для определения скорости движения в момент времени t . 2. Дайте определение производной функции f в точке x0 . 3. Как обозначается производная функции f в точке x0 и как читается это обозначение? 4. Какая функция называется дифференцируемой в точке? 5. Ознакомьтесь с решением следующей задачи: Найти производную функции f ( x) x 2 в точке x0 . Решение. 1) Найдем приращение функции f в точке x0 : f (0 x) 2 x02 x02 2 x0 x (x) 2 x02 2 x0 x (x) 2 . 2) 3) f f 2 x0 (x) 2 . 2 x0 x, (x 0). x x x При x 0 сумма 2 x0 x, т.е. разностное отношение стремится к 2x0 . f 2x0 при x 0 . Следовательно, f ( x0 ) 2 x0 . x Таким образом, производная функции f ( x) x 2 в точке x0 равна 2x0 . Найдем разностное отношение 6. Аналогично найдите производную функции f ( x) x 3 в точке x0 . Воспользуйтесь формулой (a b) 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 . 7. Что называется производной функции y f (x) ? Как обозначается производная функции y f (x) ? 8. Что называется дифференцированием? 9. Найдите производную функции y 3 x 5 . ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Вопросы и задания. 1. Какие элементарные функции вы знаете? Запишите. 2. Ознакомьтесь с таблицей элементарных функций: (C ) 0, (kx b) k , где C - произвольная постоянная, k и b - постоянные, 1 (ln x) , (cos x) sin x , ( x n ) nx n1 , x 1 1 (log a x) (tgx) , , ( x ) e x , x ln a cos 2 x 1 (ctgx) (sin x) cos x , . ( x) a x ln a , sin 2 x Как называются эти функции? Названия каких элементарных функций вам неизвестны? Найдите их названия в учебнике или справочнике. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Вопросы и задания. 1. Чему равны производные суммы дифференцируемых в точке x0 функции U и V ? Запишите кратко формулой и проговорите это правило. 2. Чему равна производная произведения дифференцируемых в точке x0 функции U и V ? Запишите кратко формулой и проговорите это правило. 3. Чему равна производная произведения постоянной С на функцию U , дифференцируемую в точке x0 ? Как можно кратко сформулировать это правило? Запишите его в виде формулы. 4. Сформулируйте правило дифференцирования степенной функции. Запишите это правило формулой. 5. Запишите формулу дифференцирования частного двух функций в точке x0 . При каких условиях она верна? 6. Ниже представлены основные правила дифференцирования. (CU ) CU , С - постоянная величина (1) (U V ) U V (2) (UV ) U V UV (3) U U V UV (4) V2 V 7. Найдите производные функций: а) f ( x) 2 x 3 (воспользуйтесь правилом (1)); 2 x 2 3x 1 f ( x) б) . Найдите значение производной этой функции при x = 1 3x 1 (воспользуйтесь правилом (4)); в) f ( x) x 3 sin x (воспользуйтесь правилом (2)); f ( x) x cos x (воспользуйтесь правилом (3)). г) 8. Найдите f (x) , если а) б) f ( x) x 3 x 2 ; f ( x) (3x 1)(1 5 x) ; в) f ( x) 5 3x ; 1 3x 1 2 г) f ( x) x ( x 1) ; д) f ( x) x sin x ; sin x f ( x) . x 1 е) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Вопросы и задания. 1. Уравнение прямой можно записать следующим образом: y kx b . Что означает в этой формуле k? 2. Постройте прямую, заданную уравнением y 2 1 . Объясните по чертежу, что означают k = 2 и b = 1. 3. В чем состоит геометрический смысл производной? Приведите пример. 4. Постройте график функции y x 2 и проведите касательную к графику в точке x = 0,5. Вычислите угловой коэффициент касательной к графику функции y x 2 в точке x = 0,5. 5. В чем состоит механический смысл производной? 6. Касательной к графику f (x) , дифференцируемой в точке x0 , называется прямая, проходящая через точку x0 и имеющая угловой коэффициент, равный f (x) . y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) - уравнение касательной. Ознакомьтесь с решением задачи: Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 2 в точке с абсциссой x0 = 4. f ( x0 ) f (4) 42 16; f ( x) 2 x; f ( x0 ) 2 4 8. Уравнение касательной: y 16 8( x 4) 16 8 x 32 8 x 16; y 8 x 16 . Решите аналогичную задачу Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x) x 2 x в точке с абсциссой x0 = 2. 7. Как найти скорость, зная закон прямолинейного движения материальной точки? 8. Найдите скорость в момент времени t = 2, если тело движется прямолинейно по закону x(t ) 2t 2 6t 5 , где x(t ) измеряется в метрах, а время t – в секундах. 9. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t ) t 3 2t 2 . Найдите скорость и ускорение в момент t = 2 с. Перемещение измеряется в метрах. 1. А) 2. А) Тестовые задания к теме Вариант 1 Найдите приращение x и y в точке x0 , если y x 2 1, x0 = 1, x = 0,9. 0,1; 0,19; Б) 0,1; 0,1; В) -0,1; -0,9; Г) -0,1; -0,1. Найдите производные функций: а) f ( x) x 2 5 x 1 Б) x 5 ; В) x 5 ; Г) 2x . 2x 5 ; б) f ( x) x (4 x) 1 А) А) А) 3. 1 1 1 1 x(4 x) x x ; Б) x(4 x) x x ; В) x(4 x) x ; Г) x 2 (4 x) x . 2 2 2 2 1 x в) f ( x) 2 3x 1 x 5 1 2x 6x 1 ; Б) ; В) ; Г) . 2 2 2 (2 3 x) (2 3 x) (2 3 x) 2 (2 3x) г) f ( x) ( x 1) sin x sin ( x 1) cos x ; Б) sin x ( x 1) cos ; В) cos x 1 ; Г) cos x . Вычислите значение производной функции y f (x) в указанной точке. f ( x) x 2 8 x 1; x 1 Б) -6; В) 6; Г) -7. 1 б) f ( x) x; x 2 x 5 1 4 2 А) ; Б) ; В) -2; Г) -3. 4 4 2 а) А) 7; в) f ( x) x ( x 1); x 4 3 1 1 А) 2 ; Б) 2; В) ; Г) - . 4 4 4 4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t ) 2t 3 3t 1 . Найдите скорость и ускорение в момент t = 2. А) 20; 10; Б) 43; 36; В) 27; 24; Г) 12; 10. 1 5. Найдите угол между касательной к графику функции y x2 1 в точке x и 2 положительным направлением оси абсцисс. Постройте схематический график этой функции. А) 135°; Б) 30°; В) 60°; Г) 45°. 1. А) 2. А) 3. А) 4. А) А) 5. Вариант 2 Найдите приращение x и y в точке x0 , если y x 2 5x 6, x0 = 0,9, x = 1. 0,1; -0,31; Б) 1,9; -11,69; В) -0,1; 0,69; Г) -1,9; 10. 2 Найдите производную функции h( x) 8 x 7 x 16 в точке x 1. 9; Б) 23; В) -23; Г) -7. Найдите производную функции f ( x) (2 x 1)( 2 x 5) . 8( x 1) ; Б) 2(2 x 5) ; В) 4; Г) 2(2 x 1) . Найдите производную функций в точке x = 1. g ( x) x 2 x а) 7,5; Б) 2,5; В) 1; Г) -1. 2 x f ( x) б) x 1 3 1 1; Б) ; В) 0; Г) . 4 4 Решите уравнение h( x) 0 , если h( x) x 3 12 x 7 . А) x1 2 , x2 2 ; Б) 2 ; В) -2; 2; 6. Найдите значение производной функции f ( x) 2 x cos x при x0 = 0. Г) -2. при заданном значении аргумента: А) 2; Б) -2; В) 1; Г) 0. 7. Найдите угловые коэффициенты касательных к графикам функций в точках с заданными абсциссами. f ( x) 3x x 3 , x0 2 а) А) -9; Б) 9; В) 4; Г) 2. 3 f ( x) , x0 1 б) x x3 1 1 1 А) ; Б) -6; В) ; Г) - . 2 6 3 8. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t ) 4t 3 t 7 . Найдите скорость и ускорение в момент времени t: А) 10; 12; Б) 11; 24; В) 24; 10; Г) 12; 4. Ключи к тестовым заданиям: Вариант 1 1. В 2. а) А 3. а) Б б) Г б) Б в) А в) А г) Б Вариант 2 1. А 2. В 3. А 4. а) Б 5. В б) В Поставьте себе оценку. 4. В 6. А 5. Г 7. а) А б) Б 8. Б