Ñ Ð½ÐµÑ€Ð³Ð¸Ð

Физика, 9 класс
Горбанева Лариса Валерьевна
ст. преподаватель кафедры физики ДВГГУ
Закон сохранения энергии в механике
Закон сохранения энергии утверждает, что энергия тела никогда не
исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в
другой. Этот закон универсален. В различных разделах физики он имеет свою
формулировку. Классическая механика рассматривает закон сохранения
механической энергии. В нем речь идет о постоянстве полной энергии. Полной
энергией тела в механике называют сумму кинетической и потенциальной
энергий данного тела.
Полная механическая энергия замкнутой системы физических тел, между
которыми действуют консервативные силы, является величиной постоянной.
Так формулируется закон сохранения энергии в механике Ньютона.
Прежде всего, определимся, что является замкнутой системой и какие
силы можно назвать консервативными, а также что такое полная механическая
энергия.
Замкнутой, или изолированной, принято считать физическую систему, на
которую не действуют внешние силы, то есть тела взаимодействуют между
собой и не взаимодействуют с другими телами, не принадлежащими этой
системе. В ней не происходит обмена энергией с окружающим пространством, и
собственная энергия, которой она обладает, остаётся неизменной, то есть
сохраняется. В такой системе действуют только внутренние силы, и тела
взаимодействуют друг с другом. В ней могут происходить лишь превращения
потенциальной энергии в кинетическую и наоборот. Простейший пример
замкнутой системы – снайперская винтовка и пуля.
Силы, которые действуют внутри механической системы, принято
разделять на консервативные и неконсервативные.
Консервативными считаются силы, работа которых не зависит от
траектории движения тела, к которому они приложены, а определяется только
начальным и конечным положением этого тела. Консервативные силы называют
также потенциальными. Работа таких сил по замкнутому контуру равна нулю.
Примеры консервативных сил – сила тяжести, сила упругости.
Все остальные силы называются неконсервативными. К ним относятся
сила трения и сила сопротивления. Их называют также диссипативными силами.
Эти силы при любых движениях в замкнутой механической системе совершают
отрицательную работу, и при их действии полная механическая энергия системы
убывает. Она переходит в другие, не механические виды энергии, например, в
теплоту. Поэтому закон сохранения энергии в замкнутой механической системе
может выполняться, только если неконсервативные силы в ней отсутствуют.
Полная энергия механической системы состоит из кинетической и
потенциальной энергии и является их суммой. Эти виды энергий могут
превращаться друг в друга.
Вспомним что такое потенциальная и кинетическая энергии тела?
Потенциальной энергией называют энергию взаимодействия физических тел или
их частей между собой. Она определяется их взаимным расположением, то есть,
расстоянием между ними, и равна работе, которую нужно совершить, чтобы
переместить тело из точки отсчёта в другую точку в поле действия
консервативных сил.
Потенциальную энергию имеет любое неподвижное физическое тело,
поднятое на какую-то высоту (рис. 1), так как на него действует сила
тяжести, являющаяся консервативной силой. Такой энергией обладает
вода на краю водопада, санки на вершине горы.
Откуда же эта энергия появилась? Пока физическое тело
поднимали на высоту, совершили работу и затратили энергию. Вот эта
энергия и запаслась в поднятом теле. И теперь эта энергия готова для
совершения работы.
Величина потенциальной энергии тела определяется высотой, на которой
находится тело относительно какого-то начального уровня. За точку отсчёту мы
можем принять любую выбранную нами точку.
Если рассматривать положение тела относительно Земли, то
потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю. А на высоте h
она вычисляется по формуле: Еп = mɡh, где m – масса тела, ɡ – ускорение
свободного падения, h – высота центра масс тела относительно Земли.
При падении тела c высоты h1 до высоты h2 сила тяжести совершает
работу. Эта работа равна изменению потенциальной энергии и имеет
отрицательное значение, так как величина потенциальной энергии при падении
тела уменьшается. A = – (Eп2 – Eп1) = – ∆ Eп, где Eп1 – потенциальная энергия
тела на высоте h1, Eп2 – потенциальная энергия тела на высоте h2.
Если же тело поднимают на какую-то высоту, то совершают работу против
сил тяжести. В этом случае она имеет положительное значение. А величина
потенциальной энергии тела увеличивается.
Потенциальной энергией обладает и упруго
деформированное тело (сжатая или растянутая пружина –
рис. 2). Её величина зависит от жёсткости пружины и от
того, на какую длину её сжали или растянули, и
𝑘𝑥 2
определяется по формуле: 𝐸п =
, где k – коэффициент жёсткости, x –
2
удлинение или сжатие тела.
Потенциальная энергия пружины может совершать работу.
Кинетическая энергия. В переводе с греческого «кинема» означает
«движение». Энергия, которой физическое тело получает вследствие своего
движения, называется кинетической. Её величина зависит от скорости движения:
𝐸𝑘 =
𝑚𝑉 2
.
Катящийся по полю футбольный мяч, скатившиеся с горы и
продолжающие двигаться санки, выпущенная из лука стрела – все они обладают
кинетической энергией.
Если тело находится в состоянии покоя, его кинетическая энергия равна
2
нулю. Как только на тело подействует сила или несколько сил, оно начнёт
двигаться. А раз тело движется, то действующая на него сила совершает работу.
Работа силы, под воздействием которой тело из состояния покоя перейдёт в
движение и изменит свою скорость от нуля до V, называется кинетической
энергией тела массой m.
Если же в начальный момент времени тело уже находилось в движении, и
его скорость имела значение V1, а в конечный момент она равнялась V2, то
работа, совершённая силой или силами, действующими на тело, будет равна
приращению кинетической энергии тела: ∆Ek = Ek2 – Ek1
Если направление силы совпадает с направлением движения, то
совершается положительная работа, и кинетическая энергия тела возрастает. А
если сила направлена в сторону, противоположную направлению движения, то
совершается отрицательная работа, и тело отдаёт кинетическую энергию.
Таким образом, любое физическое тело, находящееся на какой-то высоте,
имеет потенциальную энергию. Но при падении оно эту энергию начинает
терять. Куда же она девается? Оказывается, она никуда не исчезает, а
превращается в кинетическую энергию этого же тела.
Предположим, на какой-то высоте неподвижно закреплён груз. Его
потенциальная энергия в этой точке равна максимальному значению. Если мы
отпустим его, он начнёт падать с определённой скоростью. Следовательно,
начнёт приобретать кинетическую энергию. Но одновременно начнёт
уменьшаться его потенциальная энергия. В точке падения кинетическая энергия
тела достигнет максимума, а потенциальная уменьшится до нуля.
Потенциальная энергия мяча, брошенного с высоты, уменьшается, а
кинетическая энергия возрастает. Санки, находящиеся в состоянии покоя на
вершине горы, обладают потенциальной энергией. Их кинетическая энергия в
этот момент равна нулю. Но когда они начнут катиться вниз, кинетическая
энергия будет увеличиваться, а потенциальная уменьшаться на такую же
величину. А сумма их значений останется неизменной. Потенциальная энергия
яблока, висящего на дереве, при падении превращается в его кинетическую
энергию.
Эти примеры наглядно подтверждают закон сохранения энергии, который
говорит о том, что полная энергия механической системы является величиной
постоянной. Величина полной энергии системы не меняется, а потенциальная
энергия переходит в кинетическую и наоборот. На какую величину уменьшится
потенциальная энергия, на такую же увеличится кинетическая. Их сумма не
изменится. Процесс преобразования кинетической энергии в потенциальную и
наоборот можно увидеть, наблюдая за раскачивающимся маятником.
Математически закон сохранения энергия выражается следующей
формулой: Ek1 + Eп1 = Ek2 + Eп2, где Ek1, Eп1 – кинетическая и потенциальная
энергии системы до какого-либо взаимодействия, Ek2, Eп2 – соответствующие
энергии после него.
Действительно, равенство Ек2+Еп2=Ек1+Еп1 можно записать в виде:
Ек2 – Ек1= –(Еп2 – Еп1). Это равенство означает, что изменения
кинетической и потенциальной энергий противоположны по знаку: увеличение
одной из них сопровождается уменьшением другой, и наоборот.
Еще раз хочется заметить, что существуют условия применимости закона
сохранения механической энергии. Закон сохранения механической энергии
выполняется в замкнутых системах, тела в которых взаимодействуют
потенциальными силами (силы упругости и тяготения), а силы трения
отсутствуют или можно пренебречь работой, совершаемой ими. В качестве
примера можно привести систему тел, взаимодействующих с Землей. При
отсутствии сопротивления воздуха механическая энергия взаимодействующих с
Землей тел сохраняется.
Рассмотрим применение закона сохранения механической энергии при
решении задач.
Пример 1. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный
на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз
меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра 1м.
Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от
удара пули на угол 10°.
Решение. Для решения задачи необходим чертеж (рис. 3).
Найти скорость пули можно, используя закон
сохранения импульса для системы «пуля-шар». Так как пуля
застревает в шаре, то такой удар называется неупругим.
Запишем закон сохранения импульса для неупругого удара в
`
`
проекции на ось ОХ: m1V1  (m1  m2 )V2 , где V1 – скорость
пули до столкновения, V2 – скорость шара и пули после их
столкновения, m1 – масса пули, (m1+ m2) – масса пули и
шара. Тогда из данного выражения можно найти V1:
(m1  m2 )V2`
V 
. В этом выражении неизвестна также скорость V2, которую
m1
`
1
можно найти по закону сохранения энергии. Так как силы, действующие на тела
консервативны, то можно применять закон сохранения энергии.
Пусть в результате столкновения с пулей центр массы шара поднялся на
высоту h, тогда по закону сохранения энергии: полная механическая энергия в
замкнутой системе тел остается неизменной. В момент столкновения
потенциальная энергия пули и шара равна нулю, но так как скорость пули
максимальна, то кинетическая энергия в этот момент максимальна. При
отклонении система приобретает потенциальную энергия, но при этом скорость
уменьшается до нуля и соответственно до нуля уменьшается кинетическая
энергия. То есть кинетическая энергия переходит в потенциальную:
(m1  m2` )V22
 (m1  m2 ) gh . Из данного выражения найдем V2: V22  2 gh .
2
Высоту h найдем из рисунка: h=l – l∙cosα=l∙(1-cosα). Подставив h в
2
выражение для V2: V2  2 gl (1  cos  ) , откуда V2  2 gl (1  cos  ) .

sin( ) 
2
преобразования выражения для нахождения V2 найдем V1:
Используем
тригонометрическое
уравнение
(1  cos  )
2
для
(m1  m2 )

sin( ) gl .
m1
2
Подставив значения величин получаем:
(m  1000m1 )
V1`  2 1
0,09) 9,8  1  570 м / с
m1
Пример 2. Груз массой 0,5кг падает с некоторой высоты на плиту массой
1 кг, укрепленную на пружине жесткостью k=9,8∙102Н/м. Определить
наибольшее сжатие пружины, если в момент удара груз обладал скоростью
5м/с. Удар неупругий.
Решение. Согласно условиям задачи систему можно считать замкнутой. По
закону сохранения энергии, полная механическая энергия груза вместе с плитой
после удара равна потенциальной энергии сжатой пружины:
(m1  m2` ) 2
kx2
V2  (m1  m2 ) gx 
, где m1 – масса груза, m2 – масса плиты, х
2
2
– искомое сжатие пружины, V2 – скорость груза и плиты после удара, которую
можно найти по закону сохранения импульса для неупругого удара:
V1`  2
`
m
V
1
1
m1V1`  (m1  m2 )V2` , откуда V 
.
(m1  m2 )
`
2
Подставляя полученное выражение в закон сохранения энергии получим:
(m1  m2` )
m12V12
kx2

 (m1  m2 ) gx 
, или
2
2
(m1  m2 ) 2
m12V12
0
m1  m2
Решая полученное квадратное уравнение получаем:
kx2  2 g (m1  m2 ) x 
km12V12
g (m1  m2 )  g (m1  m2 ) 
(m1  m2 )
x
.
k
2
2
9.8(0,5  1)  9,8 (0,5  1) 
2
x
2
9,8 10 2 0,5 25 2
(0,5  1)
 8,2 10 2 м .
9,8 10
Второй корень отрицательный и он не удовлетворяет условию задачи.
Закон сохранения механической энергии выполняется при действии
внешних потенциальных сил, если они не изменяются с течением времени. Это
связано с тем, что закон сохранения механической энергии – следствие
однородности времени. Именно поэтому даже потенциальные силы, зависящие
2
от времени, приводят к невыполнению закона сохранения механической
энергии.
Можно использовать закон сохранения энергии и при действии внешних
сил, если эти силы не совершают работу. Например, при колебании груза на
нити работа силы упругости нити равна нулю, и можно воспользоваться законом
сохранения механической энергии. Очень часто применение закона сохранения
энергии значительно упрощает решение задач. Изменение полной механической
энергии системы равно работе внешних сил: А=ΔЕ=Е2–Е1. При этом удобно
рассматривать начальное и конечное состояние тела. Если утечки механической
энергии не происходит, то ест сила трения отсутствует, то Е2 – Е1=0,
где Е1 – полная механическая энергия системы в первом состоянии,
Е2 – полная механическая энергия системы во втором состоянии.
Пример 3. Груз массой 2кг, падающий с высоты 5м, проникает
в мягкий грунт на глубину 5см. Определить среднюю силу
сопротивления грунта.
Решение. Для решения задачи изобразим данные на рисунке
(рис. 4).
Направим ось ОY вертикально вверх, начало оси выберем на
глубине h1 от поверхности земли. На участке СО действует внешняя
сила (сопротивление грунта), поэтому
А=ΔЕ или Е – Е0=А, где Е0 =mgh+mgh1 – механическая энергия груза в
точке В, Е – механическая энергия груза на глубине h1 от поверхности земли.
Так как в точке 0 y=0 и V=0, то Е=0.
Работа внешних сил на участке С0 A= – Fh1. Учитывая получаем: 0 – mgh
– mgh1= – Fh1, откуда
h
5
F  mg  (  1) или F  2  9,8  (
 1)  1,98кН
h1
0,05
Если в качестве внешней силы выступает сила трения (или сила
сопротивления движению), то закон приобретает вид Е2 – Е1=Атр. А так как
работа силы трения равна Атр=Fтр∙S∙cos180= – Fтр∙S, то можно записать это же
соотношение как Е2 – Е1= – Fтр∙S или Е1 – Е2= Fтр∙S.
Пример 4. Определить тормозной путь автомобиля, движущегося со
скоростью 36км/ч, если коэффициент торможения равен 0,4.
Решение. Полная механическая энергия автомобиля равна только
кинетической энергии, так как потенциальная энергия на поверхности земли
равна 0.
В задаче рассматривается два состояния автомобиля: состояние 1 в момент
начала торможения и состояние 2 в момент окончания торможения (остановки).
В состоянии 1 полная механическая энергия Е1=Ек, а в состоянии 2 полная
механическая энергия равна 0: Е2=0. Тогда закон сохранения и превращения
энергии примет вид: Е2 – Е1=Атр или 0 – Е1=Атр
mV 2
 Fтр  S . Так как тело движется по горизонтальной поверхности и
2
сила тяжести его уравновешивается силой реакции опоры, то Fтр=µmg, тогда
V2
mV 2
 mg  S . Из полученного уравнения найдем S: S 
.
2g
2
Переведем все известные величины в СИ и подставим в полученную
10 2
 12,7 м .
формулу, получаем: S 
2  0,4  9,8
Пример 5. Шарик скользит без трения по наклонному желобу, а затем
описывает в желобе «мертвую петлю» радиуса r = 50 см. С какой высоты
начал двигаться шарик без начальной скорости, если сила его давления на
желоб в верхней точке петли равна нулю?
Решение. В верхней точке петли на тело действует только сила тяжести,
так как по условию задачи сила его давления на желоб в
верхней точке петли равна нулю. Значит уравнение
движения шарика в верхней точке петли: 𝑚𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑚𝑔 = 𝑚𝑎, где а – центростремительное ускорение.
Выражение для центростремительного ускорения:
𝑎=
𝑉2
𝑟
,
𝑉2
𝑉2
тогда 𝑚𝑔 = 𝑚
или 𝑔 =
или 𝑉 2 = 𝑟𝑔
𝑟
𝑟
Так как движение шарика происходит без трения, то систему можно
считать замкнутой. Тогда возможно применить закон сохранения энергии: Ek1 +
Eп1 = Ek2 + Eп2, где Ek1 =0 – кинетическая энергия шарика в начале движения на
𝑚𝑉 2
высоте H, Eп1=mgH – потенциальная энергия шарика на высоте H, 𝐸𝑘2 =
–
2
кинетическая энергия в верхней точке петли, Eп2=mg2r – потенциальная энергия
шарика в верхней точке петли.
Тогда закон сохранения энергии можно записать в следующем виде:
𝑚𝑉 2
𝑚𝑔𝐻 =
+ 𝑚𝑔2𝑟.
2
Учитывая значение для 𝑉 2 , и выполнив математические преобразования,
получаем H=2,5r. Подставив значение r=0,5м, получим H=1,25м
Задачи для самостоятельного решения:
Ф.9.2.1. Маятник представляет собой тяжелый шарик, подвешенный на
нерастяжимой и невесомой нити длиной l. Маятник был отклонен от вертикали
на угол α и затем отпущен. Какую наибольшую скорость V приобретет шарик?
Ф.9.2.2. Для забивки сваи груз весом 2кН поднимают с постоянной
скоростью V=5м/с, а затем отпускают его на высоте H=10м, после чего он
движется свободно до удара о сваю. Вес сваи 3кН, сила сопротивления грунта
движению сваи постоянна и равна 20кН. Какова энергия груза в момент его
удара о сваю? На какую глубину h опускается свая после каждого удара?
Ф.9.2.3. Падение молота массой 5 кг продолжалось 0,5 с. Определите
потенциальную энергию молота относительно наковальни в начале падения и
кинетическую энергию в конце падения. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ф.9.2.4. Из пружинного пистолета выстрелили вертикально вниз в мишень,
находящуюся на расстоянии 2 м от него. Совершив работу 0,12 Дж, пуля
застряла в мишени. Какова масса пули, если пружина была сжата перед
выстрелом на 2 см, а её жесткость 100 Н/м?
Ф.9.2.5.
Два
шарика
подвешены
на
вертикальных тонких нитях так, что они находятся
на одной высоте. Между ними находится сжатая и
связанная нитью пружина. При пережигании
связывающей
нити
пружина
распрямляется,
отклоняя шарики в разные стороны на одинаковые
углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой,
𝑚
если отношение масс 2 = 1,5 ? Считать величину сжатия пружины во много раз
𝑚1
меньше длин нитей.
Ф.9.2.6. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, попадает в вал и проходит до
остановки 0,5 м. Определить силу сопротивления вала движению пули, если её
масса 24 г.
Ф.9.2.7. Оцените среднюю силу натяжения ремней безопасности,
удерживающих человека в автомобиле, движущемся со скоростью 36 км/ч и
столкнувшегося со столбом, при этом у машины появилась вмятина 35 см. Масса
человека 70 кг.
Ф.9.2.8. Падающим с высоты 1,5м грузом забивают сваю, которая от удара
уходит в землю на 2см. Определить среднюю силу удара и его
продолжительность, если масса груза 500кг, а масса сваи много меньше массы
груза.
Ф.9.2.9. Шар массой m = 3 кг удерживается на высоте h = 3м
над столиком, укрепленным на пружине. Найдите максимальное
сжатие пружины при свободном падении шарика на столик, если
ее жесткость k = 500 Н/м. Массами пружины и столика
пренебречь. Удар абсолютно неупругий.
Ф.9.2.10. С какой высоты упала пружина жесткостью
50Н/см, если при ударе о землю она сжалась на 4см? Масса
пружины 100г. Ось пружины при падении осталась вертикальной.
Ф.9.2.11. Шар массой 1 кг, подвешенный на
нити длиной 90 см, отводят от положения равновесия
на угол 60о и отпускают. В момент прохождения
шаром положения равновесия в него попадает пуля
массой 10 г, летящая навстречу шару. Она пробивает
его и продолжает двигаться горизонтально.
Определите изменение скорости пули в результате
попадания в шар, если он, продолжая движение в
прежнем направлении, отклоняется на угол 39о. (Массу шара считать
неизменной, диаметр шара – пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити,
cos 39 = 7/9).
Ф.9.2.12. При выполнении трюка «Летающий велосипедист» гонщик
движется по трамплину под действием силы тяжести, начиная движение из
состояния покоя с высоты Н (см. рисунок).
На краю трамплина скорость
гонщика направлена под углом α=30° к
горизонту. Пролетев по воздуху, гонщик
приземляется на горизонтальный стол,
находящийся на той же высоте, что и
край трамплина. Какова дальность
полета
L
на
этом
трамплине?
Сопротивлением воздуха и трением пренебречь.
Ф.9.2.13. Парашютист массой 70 кг отделился от неподвижно висящего
вертолета и, пролетев 150 м до раскрытия парашюта, приобрел скорость 40 м/с.
Чему равна работа силы сопротивления воздуха?
Ф.9.2.14. Шар подвешен на невесомой нерастяжимой нити
длиной l = 0,5 м.
Какую
минимальную
горизонтально
направленную
скорость Vo надо сообщить шару, чтобы он сделал полный оборот в
вертикальной плоскости?
Ф.9.2.15. Брусок массой m1=500г соскальзывает по наклонной плоскости с
высоты h и, двигаясь по горизонтальной поверхности, сталкивается с
неподвижным бруском массой m2=300г. В результате абсолютно неупругого
соударения общая кинетическая энергия брусков становится равной 2,5 Дж.
Определите высоту наклонной плоскости h. Трением при движении пренебречь.
Считать, что наклонная плоскость плавно переходит в горизонтальную.