ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПТИМИЗАЦИИ

Методы оптимизации и принятия решений
Составил проф. С.А. Пиявский
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПТИМИЗАЦИИ
Математическая постановка задачи оптимизации.
Особые случаи при решении задач оптимизации.
Абсолютный и относительный оптимум.
Пример оптимизации цилиндрического стержня под действием сжимающей
нагрузки.
5. Пример оптимизации двухстержневой фермы.
6. Метод перебора: суть, преимущества и недостатки.
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
5.
ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Метод дихотомии.
Метод трихотомии.
Метод золотого сечения.
Метод Фибоначчи.
Метод ломаных.
НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
1. Метод штрафных функций.
2. Что такое градиент функции (определение)
3. Найти градиент функции f ( x1 , x 2 , x3 )  4 x1 x 2  x  x 2 x3
4. Найти приближенно градиент функции
f ( x1 , x 2 ) 
в точке (1,1,2)
30 * sin( x1  x 2 x3 )
1  ( x1 ) 2  4( x 2 ) 2
в
точке (1,2)
5. Описать суть градиентного метода и его расчетные формулы
6. В чем отличие метода наискорейшего спуска от градиентного
7. Сравнительные недостатки и преимущества градиентного метода и метода
наискорейшего спуска
8. Условия остановки в методах спуска
9. В чем суть метода покоординатного спуска
10. Как связаны градиентный метод и метод покоординатного спуска при
оптимазации функции 2-х переменных
11. Что такое зацикливание в методах спуска и как с ним бороться
12. Описать метод наискорейшего спуска и расчетные формулы
13. В чем суть метода релаксаций
14. В чем суть метода “оврагов”
15. Сделать 4 шага градиентного метода при оптимизации функции
f ( x1 , x 2 , x3 )  3( x1x3  2)2  3x1  ( x 2 )2  2( x1 )2  min
16. Нарисовать две линии уровня функции и в пяти разных точках одной из них
показать, как направлен антиградиент
17. Нарисовать семейство линий уровня функции и показать траекторию
градиентного спуска из двух различных точек.
18. Метод Ньютона для функции 1 переменной.
19. Метод Ньютона для функции многих переменных.
20. Обобщенный и модифицированный методы Ньютона.
21. Метод сетей.
22. Метод сетей в задаче с ограничениями.
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
1. Математическая постановка задачи линейного программирования.
2.Сущность
графического
метода
решения
задачи
линейного
программирования.
3. Решить задачу линейного программирования графическим методом
5 x1  6 x2  max
3 x1  x2  0
 2 x  x  3
 1
2

 x1  x2  6
3 x1  4 x2  0
4. Cоставить и решить в EXCEL математическую модель следующей задачи в
терминах линейного программирования. .Три типа самолетов следует
оптимально распределить между четырьмя авиалиниями так, чтобы при
минимальных эксплуатационных расходах перевезти по каждой из четырех
авиалиний соответственно не менее 300, 200, 100, 500 единиц груза. В
таблице заданы количества самолетов каждого типа, месячный объем
перевозок каждым самолетом по каждой авиалинии и соответствующие
эксплуатационные расходы:
Тип
самоле
та
1
2
3
Число самолетов
50
20
30
15
20
30
Месячный объем
перевозок 1 самолетом
10
25
50
20
10
30
50
17
45
15
70
40
Эксплуатационные
расходы на одном
самолете
20
25
40
28
15
45
70
40
65
5. Постановка транспортной задачи. Математическая модель транспортной
задачи.
6. Что такое допустимый базисный план перевозок.
7. Метод циклов (описать по шагам алгоритм)
8. Придумать и решить транспортную задачу с 3-мя поставщиками и 4-мя
потребителями.
ВЕКТОРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
1. Постановка задачи векторной оптимизации
2. Что такое эффективное решение (математическое определение)
3. Что такое множество допустимых решений и пространство критериев
4. Что такое множество Парето,
5. Дать графическое пояснение множества Парето, в каком пространстве оно
определено
6. Построить множество эффективных вариантов решения и множество Парето
в следующей задаче оптимизации (по каждому критерию ведется
минимизация)
Номер
критерий 1
критерий 2
критерий 3
критерий 4
варианта
решения
1
3
2
-2
4
2
4
7
1
3
3
5
8
9
6
4
5
1
5
2
5
8
3
4
2
6
9
1
8
7
7. Теорема о линейной свертке (определение)
8. Что такое линия уровня функции (пояснить на примере и дать определение)
9. Что такое семейство линий уровня функции (пояснить на примере и дать
определение)
10. Геометрическая иллюстрация теоремы о линейной свертке
11. Теорема Гермейера о свертке (определение)
12. Геометрическая иллюстрация теоремы Гермейера
13. В чем преимущество свертки Гермейера перед линейной сверткой
МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ
1. Аксиомы рационального поведения, классическая теория полезности.
Парадокс Алле.
2. Нерациональное поведение. Теория проспектов.
3. Человеко-машинные процедуры решения многокритериальных задач.
Метод STEM.
4. Многокритериальная теория полезности (MAUT)
5. Подход аналитической иерархии (AHP)
6. Метод ранжирования многокритериальных альтернатив (ELECTRE)
7. Человеческая система переработки информации и ее связь с
принятием решений. Построение баз экспертных знаний.
8. Коллективные решения. Парадокс Кондорсе. Метод Борда. Аксиомы
Эрроу. Теорема невозможности.
9. Вербальный анализ решений. Метод ЗАПРОС.
10. Эволюция методологии принятия решений в связи с научнотехническим, экономическим и социальным прогрессом.
Возникновение движения “научного менеджмента”. Фредерик
Тейлор. Анри Файоль. Организационные принципы Гьюлика-Урвика.
Макс Вебер.
11. Доктрина управления на основе человеческих отношений. Мэри
Фоллетт. Элтон Мэйо.
12. Развитие теории организации и управления в 1950-80 г.г.
13. Современные теории принятия решений в сложных системах. Честер
Барнард. Герберт Саймон. Элвин Голднер. Системный анализ и
теория систем. Отечественная школа принятия решений. В. М.
Глушков. Г.С. Поспелов. Н.Н.Моисеев
МЕТОД ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИНН
1. Математическая постановка задачи принятия решения (три множества, две
функции)
2. Приведите пример конкретной задачи принятия решений и ее
математического описания
3. Что такое многоэлементная стратегия
4. Что такое распределяющая функция
5. Что такое области Дирихле
6. Что такое н-обобщенные потери
7. Определение способа учета неопределенности
8. Аксиомы,
которым
удовлетворяют
“разумные”
способы
учета
неопределенности
9. Аксиома монотонности и ее обоснование
10. Аксиома устойчивости и ее обоснование
11. Аксиома нормировки
12. Аксиома гладкости
13. Теорема о функции построения (без доказательства)
14. Расчет н-обобщенных потерь с помощью функции построения при конечном
множестве неопределенности
15. Свойства функции построения (с доказательством)
16. Нарисовать график функции, которая не может быть функцией построения и
объяснить, почему
17. Теорема о порождающей функции (без доказательства)
18. Формула расстояния в пространстве порождающих функций и рассуждения,
приводящие к ней
19. Оптимальный типовой набор способов учета неопределенности (графики и
формулы)
20. Описание алгоритма ПРИНН
21. Чем отличается количественный критерий от качественного
22. Что такое политика выбора
23. Привести пример задачи, подготовленной для решения с помощью
программы ПРИНН
Записать замкнутую систему для оптимального решения.
3
x  x3
min
1. f =(x1)2 – 3(x2*x1)2*x3 2. f = z – x – y3
x2 + y2 + z2 = 4
x+z=2
1
min
4
3. J =  (t 2 * x  t * y  x * y )dt
min
3
x(3) = 0
y(3) = 1
x(4) = 1
y(4) = -1
4
4. J=  (2t * x  ( x  1) * y )dt
min
3
x y t
4* x
( x  y  2 * z) 2
5. f = x*cos yz + 2* x*y2 -
6. f = 3*x -
3
min
2 * ( x  y 2 * z ) + z2 – 4*x*z
min
1
7. J =  ( y 2  2 * y * t  y)dt
min
0
y  3 * t
y(0) = 0
y (0)  1
y(1) = 0
y (1)  2
2
8. J =  (3 * t * x  5 * x * y * cos t )dt
min
1
9. Принять решение тремя известными методами
в
к
1
2
3
4
5
6
1
1
8
2
5
9
1
2
7
4
10
2
3
6
3
3
5
1
6
8
3
10. Принять решение
в
к
1
2
3
4
5
f1 
3
2
8
4
5
f2 
2
5
3
3
7
f3 
4
7
2
5
1
4
6
4
4
2
1
5
11. Найти оптимальное решение
4
J =  (t * x 2  y 2  x * y  x)dt
1
x –2*y = 4
x  0,2
min