Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ПСИХОЛОГО-СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ПСИХОЛОГО-СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ, МЕНЕДЖМЕНТА И МЕЖДУНАРОДНОГО ТУРИЗМА УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _________________С.Г. Дембицкий "_____"__________________20___ г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Направление подготовки 080100 – ЭКОНОМИКА Профиль подготовки Финансы и кредит Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения Очная, очно-заочная, заочная Рекомендовано Ученым советом НОУ ВПО «МПСУ» (протокол № ___ от 20__ г.) Одобрено кафедрой ____________________ (протокол № ____ от 20__ г.) Зав.кафедрой __________________________ Москва 2012 Иволгина С.В. доцент кафедры математических методов и моделей в экономике Рабочая программа дисциплины «Методы оптимальных решений». Программа для студентов, обучающихся по направлению 080100 - «Экономика» профиль подготовки «финансы и кредит»— М.: Московский психолого-социальный университет, кафедра «Математические методы и модели в экономике», 2011 Дисциплина «Методы оптимальных решений» является обязательной дисциплиной, входящей в программу обучения в Московском психологосоциальном университете по математическому циклу, в рамках специальности «Экономика». В рабочей программе дисциплины представлены требования к уровню освоения дисциплины, тематический план изучения дисциплины, варианты задач и контрольных работ по отдельным темам для самостоятельного изучения и методические указания по решению задач по темам, вопросы и билеты для подготовки к экзамену. Рецензент: Балдин К.В. – д.э.н., зав. кафедрой «Математические методы и модели в экономике» МПСУ. 2 1. Цели освоения дисциплины Курс «Методы оптимальных решений» входит в программу обучения в Московском психолого-социальном университета при изучении дисциплин «математического цикла» ФГОС ООП по направлению «Экономика». Его цель – структуризация мышления и развитие логических способностей студентов, усвоение всех необходимых сведений и методов расчетов, которые в дальнейшем используются как в общепрофессиональных дисциплинах, так и в предметах специализации. Достижение указанной цели возможно при решении следующих задач:  овладение базовыми разделами математики, необходимыми для анализа и моделирования экономических задач;  определение и упорядочение необходимого объема информации при постановке, реализации и обработке итоговых результатов математической модели экономической задачи;  овладение прикладными расчетными приемами по реализации вычислительных аспектов математических задач;  освоение навыков использования справочной и специальной литературы. 2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы (ООП) бакалавриата Дисциплина «Методы оптимальных решений» относится к математическому циклу ООП. Изучение данного курса предполагает наличие базовых знаний, полученных студентами в процессе освоения школьного курса математики Курс «Методы оптимальных решений» является основой изучения комплекса экономических дисциплин, предусмотренных программой обучения 3 студентов по направлению «Экономика» и профилю «Финансы и кредит», таких как: «Менеджмент», «Логистика», «Эконометрика», «Экономика». 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Методы оптимальных решений» В результате освоения дисциплины «Методы оптимальных решений» формируются часть компетенций ОК-12, ОК-13, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК5, ПК-6, ПК-10, ПК-12, ПК-14, ПК-15 Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки «Экономика». В результате освоения дисциплины обучающийся должен: знать:  способен понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК-12) ; уметь:  способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально- экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);  способен на основе типовых нормативно-правовой базы социально-экономические методик и действующей рассчитать показатели, экономические и характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-2);  способен выполнить необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и 4 представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);  способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5);  способен на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические эконометрические модели, анализировать и и содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-6);  способен использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-10);  Способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);  Способен использовать для решения коммуникативных задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-12); владеть:  владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией, способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13); 5 4. Структура и содержание дисциплины «Методы оптимальных решений» Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы (144 часа). Очная форма обучения (срок обучения 4 года) Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) № п/п 1 2 3 Разделы и темы дисциплины С е м е с т р Линейное программирование. Графический 3 метод решения задачи линейного программирования Симплексный метод решения 3 задачи линейного программирования Теория двойственности. 3 Двойственная задача к задаче В С Е Г О Из них аудиторные занятия П р а к т и ч е с Л к И аб . н Л ор з т е ат а е к ор н р ц . я а и пр т к и ак и т ти я и ку в м / с е м и н а р ы С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а К о н т р о л ь н а я р а б о т а К у р с о в а я Формы текущего контроля успеваемости Форма промежуточной аттестации (по семестрам) р а б о т а 16 2 4 10 Опрос и решение индив. заданий 16 2 4 10 Опрос и решение индивидуальных заданий 8 1 2 5 Опрос и решение индив. заданий 6 4 5 6 7 8 планирования торговли. Решение задачи линейного программирования двойственным симплексным методом Целочисленное программирование Транспортная задача. Нахождение оптимального плана методом потенциалов Динамическое программирование. Рекуррентные соотношения Беллмана Математическая теория оптимального управления Сетевые графики Системы 9 массового обслуживания Экономико10 математические модели ИТОГО 3 16 2 4 10 Опрос и решение индив. заданий 3 16 2 4 10 Опрос и решение индив. заданий 3 8 1 2 5 Опрос и решение индив. заданий 3 16 2 4 10 Опрос и решение индив. заданий 3 16 2 4 10 Опрос и решение индив. заданий 3 16 2 4 10 Опрос и решение индив. заданий 3 16 2 4 10 Опрос и решение индив. заданий 144 18 36 90 экзамен Заочная форма обучения (срок обучения 5 лет) № п/п Разделы и темы дисциплины С е м е Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) В С Из них аудиторные занятия С а К о К у Формы текущего контроля успеваемости Форма промежуточной аттестации 7 с т р Е Г О Л е к ц и и 1 2 3 4 5 Линейное программирование. Графический метод решения задачи линейного программирования Симплексный метод решения задачи линейного программирования Теория двойственности. Двойственная задача к задаче планирования торговли. Решение задачи линейного программирования двойственным симплексным методом Целочисленное программирование Транспортная задача. Нахождение оптимального плана методом Л аб ор ат ор . пр ак ти ку м П р а к т и ч е с к .з а н я т и я / с е м и н а р ы И н т е р а к т и в м ос то ят ел ь на я ра бо та н т р о л ь н а я р а б о т а р с о в а я (по семестрам) р а б о т а 15 Опрос и решение индив. заданий 15 Опрос и решение индивидуальных заданий 8 8 Опрос и решение индив. заданий 3 16 16 Опрос и решение индив. заданий 3 16 14 Опрос и решение индив. заданий 3 16 3 16 3 0,5 0,5 1 0,5 0,5 1 8 6 7 8 потенциалов Динамическое программирование. 3 Рекуррентные соотношения Беллмана Математическая теория 3 оптимального управления Сетевые графики Системы 9 массового обслуживания Экономико10 математические модели ИТОГО 8 Опрос и решение индив. заданий 14 Опрос и решение индив. заданий 8 16 1 1 3 16 16 Опрос и решение индив. заданий 3 16 16 Опрос и решение индив. заданий 3 16 1 1 14 Опрос и решение индив. заданий 144 4 4 136 экзамен Заочная форма обучения (срок обучения 4 года) № п/п Разделы и темы дисциплины С е м е Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) В С Из них аудиторные занятия С а К о К у Формы текущего контроля успеваемости Форма промежуточной аттестации 9 с т р Е Г О Л е к ц и и 1 2 3 4 5 Линейное программирование. Графический метод решения задачи линейного программирования Симплексный метод решения задачи линейного программирования Теория двойственности. Двойственная задача к задаче планирования торговли. Решение задачи линейного программирования двойственным симплексным методом Целочисленное программирование Транспортная задача. Нахождение оптимального плана методом Л аб ор ат ор . пр ак ти ку м П р а к т и ч е с к .з а н я т и я / с е м и н а р ы И н т е р а к т и в м ос то ят ел ь на я ра бо та н т р о л ь н а я р а б о т а р с о в а я (по семестрам) р а б о т а 15 Опрос и решение индив. заданий 15 Опрос и решение индивидуальных заданий 8 8 Опрос и решение индив. заданий 4 16 16 Опрос и решение индив. заданий 4 16 14 Опрос и решение индив. заданий 4 16 4 16 4 0,5 0,5 1 0,5 0,5 1 10 6 7 8 потенциалов Динамическое программирование. 4 Рекуррентные соотношения Беллмана Математическая теория 4 оптимального управления Сетевые графики Системы 9 массового обслуживания Экономико10 математические модели ИТОГО 8 16 1 1 8 Опрос и решение индив. заданий 14 Опрос и решение индив. заданий 4 16 16 Опрос и решение индив. заданий 4 16 16 Опрос и решение индив. заданий 4 16 1 1 14 Опрос и решение индив. заданий 144 4 4 136 экзамен Заочная форма обучения (срок обучения 3.5 года) Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) № п/п 1 Разделы и темы дисциплины Линейное С е м е с т р 3 В С Е Г О 16 Из них аудиторные занятия П р а к т и ч е Л с аб к ор Л .з ат е а ор к н . ц я пр и т ак и и ти я ку / м с е м и н а р ы 0,5 0,5 И н т е р а к т и в С а м ос то ят ел ь на я ра бо та 15 К о н т р о л ь н а я р а б о т а К у р с о в а я Формы текущего контроля успеваемости Форма промежуточной аттестации (по семестрам) р а б о т а Опрос и решение индив. 11 2 3 4 5 6 7 8 программирование. Графический метод решения задачи линейного программирования Симплексный метод решения задачи линейного программирования Теория двойственности. Двойственная задача к задаче планирования торговли. Решение задачи линейного программирования двойственным симплексным методом Целочисленное программирование Транспортная задача. Нахождение оптимального плана методом потенциалов Динамическое программирование. Рекуррентные соотношения Беллмана Математическая теория оптимального управления Сетевые графики Системы 9 массового обслуживания Экономико10 математические модели заданий 15 Опрос и решение индивидуальных заданий 8 8 Опрос и решение индив. заданий 3 16 16 Опрос и решение индив. заданий 3 16 14 Опрос и решение индив. заданий 3 8 8 Опрос и решение индив. заданий 3 16 14 Опрос и решение индив. заданий 3 16 16 Опрос и решение индив. заданий 3 16 16 Опрос и решение индив. заданий 3 16 14 Опрос и решение индив. заданий 3 16 3 0,5 1 1 1 0,5 1 1 1 12 144 ИТОГО 4 4 экзамен 136 Заочная форма обучения (срок обучения 3 года) Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) № п/п 1 2 3 Разделы и темы дисциплины С е м е с т р Линейное программирование. Графический 2 метод решения задачи линейного программирования Симплексный метод решения 2 задачи линейного программирования Теория двойственности. Двойственная задача к задаче 2 планирования торговли. Решение задачи линейного программирования двойственным В С Е Г О 16 16 8 Из них аудиторные занятия П р а к т и ч е Л с аб к ор Л .з ат е а ор к н . ц я пр и т ак и и ти я ку / м с е м и н а р ы 0,5 0,5 0,5 0,5 И н т е р а к т и в С а м ос то ят ел ь на я ра бо та К о н т р о л ь н а я р а б о т а К у р с о в а я Формы текущего контроля успеваемости Форма промежуточной аттестации (по семестрам) р а б о т а 15 Опрос и решение индив. заданий 15 Опрос и решение индивидуальных заданий 8 Опрос и решение индив. заданий 13 4 5 6 7 8 симплексным методом Целочисленное программирование Транспортная задача. Нахождение оптимального плана методом потенциалов Динамическое программирование. Рекуррентные соотношения Беллмана Математическая теория оптимального управления Сетевые графики Системы 9 массового обслуживания Экономико10 математические модели ИТОГО 16 Опрос и решение индив. заданий 14 Опрос и решение индив. заданий 8 Опрос и решение индив. заданий 14 Опрос и решение индив. заданий 16 16 Опрос и решение индив. заданий 2 16 16 Опрос и решение индив. заданий 2 16 1 1 14 Опрос и решение индив. заданий 144 4 4 136 экзамен 2 16 2 16 2 8 2 16 2 1 1 1 1 Содержание курса ТЕМА 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Общая задача линейного программирования (ЛП). Основные определения (целевая функция, стандартная задача ЛП, каноническая \основная\ задача ЛП, допустимые решения, опорный план, оптимальный план). Основные теоремы. Многоугольник решений. Этапы решения задачи линейного программирования 14 графическим методом (алгоритм решения). ТЕМА 2. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Постановка задачи. Математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП). Алгоритм симплексного метода решения ЗЛП. ТЕМА 3. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ . ПЛАНИРОВАНИЯ ТОРГОВЛИ. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДВОЙСТВЕННЫМ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ Двойственная задача к задаче планирования торговли. Основные теоремы. Анализ оптимального плана двойственной задачи. Двойственный симплексный метод. Определения. Алгоритм двойственного симплексного метода. ТЕМА 4. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Общая формулировка задачи. Графический метод решения задачи. Прогнозирование эффективного использования производственных площадей. Метод Гомори. ТЕМА 5. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА . НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ Общая постановка транспортной задачи (ТЗ). Математическая модель ТЗ. Основные определения (допустимый план, оптимальный план, базисный или опорный план, вырожденный или невырожденный, закрытая задача). Основные теоремы. Алгоритм построения 1-го опорного плана. Потенциалы. Теорема. Алгоритм метода потенциалов. ТЗ с «закрытым» потребителем. 15 Альтернативный оптимум в ТЗ. Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач. ТЕМА 6. ДИНАМИЧЕСКОЕ БЕЛЛМАНА ПРОГРАММИРОВАНИЕ . РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ Постановка задачи. Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования. Рекуррентные соотношения Беллмана (метод функциональных уравнений). ТЕМА 7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Управление в динамических системах. Система дифференциальных уравнений. Понятие об устойчивости решения. Задачи анализа и синтеза. Обратная связь. Принцип максимума Понтрягина. ТЕМА 8. СЕТЕВЫЕ ГРАФИКИ Основные понятия сетевой модели. Минимизация сети. ТЕМА 9. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Формулировка задачи и характеристики системы массового обслуживания (СМО). СМО с отказом. СМО с неограниченным ожиданием. СМО с ожиданием с ограниченной длиной очереди. ТЕМА 10. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Функции полезности. Кривые безразличия. Функции спроса. Уравнение Слуцкого. Кривые «доход-потребление». Кривые «цены-потребление». 16 Коэффициенты эластичности. Материальные балансы. Функции выпуска продукции. Производные функции затрат ресурсов. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции. Модели общего экономического равновесия. Модель Эрроу – Гурвица. Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса. Общие модели развития экономики. Модель Солоу. 5. Образовательные технологии Комплексное изучение учебной дисциплины «Методы оптимальных решений» предполагает овладение материалами лекций, учебной литературы, творческую работу студентов в ходе проведения практических, а также систематическое выполнение заданий для самостоятельной работы студентов. В ходе лекций раскрываются основные вопросы в рамках рассматриваемой темы, делаются акценты на наиболее сложные и интересные положения изучаемого материала, которые должны быть приняты студентами во внимание. Материалы лекций являются основой для подготовки студента к практическим занятиям. Основной целью практических занятий является контроль степени усвоения пройденного материала, закрепление материала и развитие навыка самостоятельного решения задач. При проведении занятий в аудитории используется интерактивное оборудование (компьютер, мультимедийный проектор, интерактивный экран), что позволяет обеспечивается значительно активизировать следующими процесс предоставляемыми обучения. Это возможностями: отображением содержимого рабочего стола операционной системы компьютера на активном экране, имеющем размеры классной доски, имеющимися средствами мультимедиа; средствами дистанционного управления компьютером с помощью электронного карандаша и планшета. Использование интерактивного оборудования во время проведения занятий требует знаний и 17 навыков работы с программой ACTIVstudio и умения пользоваться информационными технологиями. Получение знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio при проведении занятий по данной изучаемой дисциплине возможно с помощью специального обучающего курса на электронном носителе, который можно получить на факультете экономики, менеджмента и международного туризма. 6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины 6.1. ВИДЫ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ КОНТРОЛЯ N Наименование тем темы Содержание самостоятельной работы 1. Симплексный метод решения задачи линейного программирования Составление математической модели и решение задачи ЛП симплексным методом. Анализ полученного решения 2. Теория двойственности. Двойственная задача к задаче планирования торговли. Решение задачи линейного программирования двойственным симплексным методом Составление двойственной задачи к задаче планирования торговли. Анализ оптимального плана двойственной задачи. Решение задачи двойственным симплексным методом 3. Целочисленное программирование Решение задач методом Гомори 4. Транспортная задача. Нахождение оптимального плана Решение транспортной задачи методом потенциалов. Форма контроля Контрольная работа, индивидуальные задания Контрольная работа, индивидуальные задания Контрольная работа, индивидуальные задания Контрольная работа, индивидуальные 18 методом потенциалов задания Постановка задачи. Динамическое Решение задачи программирование. методами Рекуррентные динамического соотношения программирования. Беллмана Рекуррентные соотношения Беллмана. Расчет временных параметров, построение сетевого графика и распределение ресурсов. Учет Сетевые графики стоимостных факторов при реализации сетевого графика. Минимизация сети 5. 6. Системы массового обслуживания 7. Решение СМО с отказом, СМО с неограниченным ожиданием, СМО с ожиданием с ограниченной длиной очереди. Контрольная работа, индивидуальные задания Контрольная работа, индивидуальные здания Контрольная работа, индивидуальные здания 6.2. ТЕМАТИКА СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ ТЕМА 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 1. Постановка задачи. Основные определения и теоремы. 2. Решение задачи линейного программирования графическим методом. ТЕМА 2. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 1. Постановка задачи. 19 2. Составление математической модели задачи линейного программирования симплексным методом. 3. Анализ полученного решения. ТЕМА 3. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ . ПЛАНИРОВАНИЯ ТОРГОВЛИ. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДВОЙСТВЕННЫМ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ 1. Двойственная задача к задаче планирования торговли. 2. Анализ оптимального плана двойственной задачи. 3. Решение задачи двойственным симплексным методом. ТЕМА 4. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 1. Общая формулировка задачи. 2. Графический метод решения задачи. 3. Прогнозирование эффективного использования производственных площадей. 4. Метод Гомори. ТЕМА 5. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА . НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ 1. Общая постановка транспортной задачи. 2. Математическая модель транспортной задачи. 3. Решение задачи методом потенциалов. 4. Решение ТЗ с «закрытым» потребителем. 5. Альтернативный оптимум в ТЗ. ТЕМА 6. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ . РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 20 БЕЛЛМАНА 1. Постановка задачи. 2. Решение задачи методами динамического программирования. 3. Рекуррентные соотношения Беллмана. ТЕМА 7. СЕТЕВЫЕ ГРАФИКИ 1. Расчет временных параметров сетевого графика. 2. Построение сетевого графика и распределение ресурсов. 3. Учет стоимостных факторов при реализации сетевого графика. 4. Минимизация сети. ТЕМА 8. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 1. Решение СМО с отказом, СМО с неограниченным ожиданием, СМО с ожиданием с ограниченной длиной очереди. 6.3. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМАМ ТЕМА 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 4x1  x2  5 4x  x  0  1 2 x1  3x2  6 1.  3x  4x  24  1 2 x1 , x2  0 L( X )  2x1  6x2 extr  x1  x2  3 x  7x  0  1 2 x1  x2  6 2.   5x  2x  5  1 2 x1 , x2  0 L( X )  4x1  4x2  extr 21  x1  2x2  4 x  3x  3  1 2 5x1  8x2  40 3.  x 0 1 0  x2  5 L(X)  10x1 16x2 extr 5. 2x1  x2  5 3x  x  3  1 2 x1  2x2  5 4x  5x  32  1 2 x1 , x2  0 L( X )  3x1 1,5x2 extr  3x1  2x2  6 x  8x  0  1 2 3x1  2x2 18 7.   x  x  2  1 2 x1 , x2  0 L( X )  5x1  5x2 extr x1  x2  5 3x  2x  6  1 2 2x1  x2  0 4.  x 0 1 0  x2  6 L( X )  3x1  3x2  extr 2x1  x2  0 6x  x  6  1 2 x1  2x2  2 6.  0 x 6  1 x2  0 L( X )  4x1  2x2 extr 4x1  3x2  24 x  2x  3  1 2 4x1  3x2  0 8.  5x  x  5  1 2 x1 , x2  0 L( X )  3x1  6x2 extr 22 2x1  7x2 14 x  x  4  1 2 x1  7x2  0 9.  0 x 6  1 x2  0 x1  5x2  0 3x  4x  12  1 2 3x1  4x2  30 10.  2x  x  2  1 2 x1 , x2  0 L( X )  6x1  3x2 extr L(X)  2x1 14x2 extr ТЕМА 2. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 11. 2x1x2 6x3 360 x x 3x 600 1 2 3 2x x 2x 200  1 2 3 x 0,k 1,3 л 2x1 4x2 2x3 50 4x 2x 6x 100  1 2 3 4x 2x x 200 2 3 12.  1 x 0,k 1,3 л L(X)10x14x2 14x3 max x1 2x2 3x3 900 2x x 2x 400  1 2 3 4x 6x 2x 200 3 13.  1 2 x 0,k 1,3 л L(X) 6x1 5x2 5x3 max L(X)2x1 2x2 3x3 max 2x1 x2 3x3 600 x 2x x 500 1 2 3 6x 4x 2x 900 2 3 14.  1 x 0,k 1,3 л L(X) 2x1 2x2 3x3 max 23 3x1 6x2 4x3 200 4x 2x 4x 100  1 2 3 2x 3x x 80 15.  1 2 3 x 0,k 1,3 л 17. x14x3 60 3x x 85  2 3 3x 2x 2x 74 2 3 16.  1 x 0,k1,3 л L(X) 8x1 5x2 5x3 max L(X)16x112x2 24x3 min 2x1 5x2 x3 100 6x x 88  1 2 2x 3x 20  2 3 x 0,k 1,3 л x12x2 4x3 112 5x 2x 40 1 3 3x 4x x 90 1 2 3 x 0,k 1,3 л 18. L(X) 18x1 13x2 9x3 min 19. x13x2 2x3 60 2x 5x 100  2 3 2x 1x 36  1 2 x 0,k1,3 л L(X) 15x16x2 20x3 min 7x1x2 2x3 100 3x 4x 68 2 3 4x 5x 32 20.  1 2 x 0,k1,3 л L(X)14x115x2 25x3 min ТЕМА 3. ТЕОРИЯ L(X)24x112x2 20x3 min ДВОЙСТВЕННОСТИ . ПЛАНИРОВАНИЯ ТОРГОВЛИ. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДВОЙСТВЕННЫМ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ Решить следующие задачи двойственным симплексным методом. Провести анализ оптимального плана двойственной задачи. 24 x1x2 x3 10 4x x 5x 8 1 2 3 3x 2x 4x 5 3 21.  1 2 x 0,k1,3 л 2x12x2 4x3 8 6x x 6 1 3 20x 4x x 4 2 3 22.  1 x 0,k1,3 л L(X)505x14x2 4x3 max L(X)1020x14x2 x3 max 23. 2x15x24x3 34 x 3x 30 1 2 x 2x 36 1 3 x 0,k1,3 л 24. L(X)100 4x15x22x3 max 25. x1 4x2 16 2x 3x 21  1 3 2x 5x 3x 20  1 2 3 x 0,k 1,3 л 26. L(X) 3x1 3x2 2x3 min 27. x14x3 24 2x 5x 70 1 2 6x 3x x 36 1 2 3 x 0,k1,3 л L(X)802x13x2 4x3 max 2x23x3 36 5x 4x 4x 30 1 2 3 2x x 20 1 2 x 0,k1,3 л L(X)150 5x17x26x3 max x23x3 24 4x 2x x 52 1 2 3 2x 3x 28 1 3 x 0,k1,3 л L(X)100 4x15x24x3 max 28. x12x2x3 12 x 7x 3x 6 1 2 3 x 5x x 6 1 2 3 x 0,k1,3 л L(X)100 6x112 x28x3 max 25 29. 3x2 2x3 10 5x x 5x 30 1 2 3 4x 4x 20 1 3 x 0,k1,3 л L(X)608x12x2 4x3 max 30. 6x2 x3 36 2x x 28  1 3 x 7x 30 1 2 x 0,k 1,3 л . L(X) 6x1 15x2 6x3 min ТЕМА 4. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Найти максимум или минимум целевой функции при заданной системе ограничений. Во всех задачах xj ≥ 0 и 31. 2x1x2x3 1,  4x12x2x3 2, 3x x3 5. 1 xj -целые (j =1,2 или j= 1,3 ) 3x12x2 8, 34.  x14x2 10. L(x) = 3x1 +4 x2 → max L(x) = 2x1 – x2 –3x3 → min 32. 2x1 11x2 38,  xx2 7, 4x 5x 5.  1 2 35. L(x) = x1 + x2 → max L(x) = x1 + x2 → max 33. x12x22,  3x12x26. 2x1x27,  . 2x13x210 36. 3x1x2x36,  4x13x2x33, 2x 2x33. 1 L(x) = x1 – 4x2 + 2x3 → min L(x) = x1 +4 x2 → max 26 13x1 9x2 38,  37. 2x2 7, x 9x 5  1 2 5x1x2 4,  5x13x2 6. 39. L(x) = 7x1 – x2 → max L(x) = 2x1 → max x13x2 2,  5x1x2 6. 38. 3x1x2 6,  5x1x2 9. 40. L(x) = 2x1 → max L(x) = 5x1 – 3x2 → max ТЕМА 5. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА . НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ Решить транспортные задачи: 43. 41. 28 30 18 10 300 10 6 3 12 480 15 31 18 12 460 4 2 14 17 440 09 4 21 6 355 11 5 15 7 285 10 9 3 12 420 3 8 12 9 45 550 420 250 360 390 85 220 380 42. 14 7 25 7 135 8 23 11 16 320 4 9 5 10 110 3 15 7 3 225 340 210 320 440 44. 2 5 1 8 150 27 12 0 14 5 150 4 9 3 11 145 13 18 4 5 150 11 7 5 8 125 16 8 3 6 160 185 165 125 190 140 150 200 100 48. 45. 10 13 20 9 149 3 7 3 1 179 16 4 9 12 160 1 5 9 5 126 21 4 9 12 160 3 10 4 12 115 6 10 4 6 144 7 4 1 10 110 150 145 160 100 100 145 335 95 49. 46. 15 20 21 19 120 4 8 3 10 420 11 9 1 20 90 0 12 18 8 340 18 4 1 20 60 15 6 3 18 350 13 9 5 20 65 7 5 9 10 300 280 320 290 310 85 65 105 190 50. 47. 3 6 1 9 139 2 0 10 16 148 7 20 3 14 220 9 11 20 8 200 15 4 5 14 390 9 1 0 11 150 400 85 135 220 28 6.4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ ПО ПОДГОТОВКЕ И ПРОВЕДЕНИЮ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПОДГОТОВКА И ПРОВЕДЕНИЕ ЛЕКЦИЙ Лекция (от лат. lectio – чтение) – систематическое, последовательное и ясное изложение преподавателем учебного материала или какого-либо научного вопроса. При необходимости может сопровождаться демонстрацией слайдов и фильмов. Как одна из организационных форм и методов обучения традиционна для высшей школы. Лекция – экономный по времени способ сообщения студентам значительного объема информации. В среднем учебная лекция занимает 1,5 – 2 часа. Основными современными требованиями, предъявляемыми к лекции, являются: целостное и систематическое изложение материала, его научность, доступность, органичная связь с другими видами учебных занятий. Лекция должна иметь:  четкую структуру и логику раскрытия последовательно изучаемых вопросов;  иметь законченный характер освещения определенной темы (проблемы), связь с предыдущим материалом;  быть доказательной и аргументированной, содержать достаточное количество примеров, обоснований, доказательств;  ставить перед студентами вопросы для размышления;  лектор должен уметь пробуждать интерес к знаниям, стимулировать к самостоятельной работе;  лектору необходимо уметь удерживать внимание аудитории, его речь должна быть культурной, т.е. отличаться смысловой точностью и грамматической правильностью; он должен владеть специальной терминологией и уметь ее разъяснять. От лектора требуется не только четкое и логически связное изложение содержания предмета, но и умение направить и стимулировать слушателей к 29 активной мыслительной работе. Восприятие лекции слушателями зависит от качества материала. Главное в лекции – умение активизировать познавательную деятельность слушателей, добиться ответной мыслительной реакции. Лекция призвана подтолкнуть студентов к размышлению, подсказать направления самостоятельной работы, побудить к действию. В каждой лекции должны быть неразрывно объединены два начала образовательное и воспитательное. В лекции не должно быть ничего лишнего, все направляется на достижение поставленной цели, на раскрытие основной идеи, на доказательство того или иного положения. Существенное значение имеет использование на лекции средств обратной связи различной степени сложности. Обратная связь выступает как способ для лектора получать представление о ходе усвоения материала и активности аудитории. Подготовка лекции - это процесс, включающий в себя сбор, накопление и распределение материала по времени, продумывание логического построения лекции, выделение наиболее важных моментов из всего материала. Лекция должна аккумулировать все накопленные материалы, так или иначе относящиеся к теме. Процесс подготовки к лекции индивидуален и во многом зависит от сложности темы, подготовленности преподавателя, особенностей учебной группы. Однако, несмотря на это, можно выделить основные этапы в процессе подготовки, характерные для лекции по любому учебному предмету. К ним относятся:  изучение исходной документации;  разработка замысла лекции и выбор целесообразной методики;  оформление лекции, репетиция. Структура лекции:  название темы;  указание времени на лекцию в целом, вводную часть, основную часть, заключение;  вводная часть;  основная часть; 30  краткие выводы по каждому из вопросов;  заключение;  список использованной литературы. К исходной документации, которой обязан руководствоваться преподаватель, относится программа учебной дисциплины, учебники и учебнометодические пособия, частные методики преподавания дисциплины, расписание занятий со студентами. При разработке замысла лекции одной из важных задач преподавателя является постановка учебной проблемы. Умение найти основную идею в каждой лекционной теме имеет решающее значение для ее успеха. Как правило, тема лекции определена учебной программой данной дисциплины. Она обязательна для преподавателя. Изменения в названии темы, постановке учебных вопросов обязательно обсуждаются на кафедре и только после соответствующего утверждения вносятся коррективы. Самостоятельно изменять их формулировку преподаватель не имеет права. Его право – выбирать содержание, соответствующее теме и учебным вопросам, а также методы, ведущие к достижению оптимального результата познавательной деятельности студентов. При выборе методов преподаватель исходит из соображения педагогической целесообразности и учета состава студенческой аудитории. При разработке структуры лекции важно смоделировать эффект ее воздействия, расчленить учебный материал на модули, логически увязанные друг с другом, сформулировать основные идеи и выводы по каждому учебному вопросу и теме в целом; надо так подойти к собранному материалу и так знать его, чтобы найти каждому учебному модулю его логическое место. Логическая стройность, соразмерность и взаимосвязь отдельных частей ведет к четкости ее изложения, ясности освещения вопроса, облегчает ее понимание студентами. Оформление лекции заключается, как правило, в разработке ее полного текста или плана-конспекта. Полный текст лекции необходим при чтении лекции по особо важному учебному материалу. В плане-конспекте дается краткое содержание излагаемых вопросов, фактический материал, выводы и 31 обобщения, пометки о времени и месте демонстрации средств наглядности, а также другие пометки, необходимые преподавателю в ходе чтения лекции. В отдельных случаях преподаватель составляет краткий план лекции, включая в него обязательные входные данные и перечень вопросов с распределением их по времени. Вводная часть (введение). Вступление (введение) определяет не только тему и план, но и цель лекции. Оно призвано заинтересовать и настроить аудиторию на слушание материала. На лекции преподавателю необходимо сначала установить контакт с аудиторией, затем, не торопясь, четко и ясно, назвать тему лекции, дать студентам записать ее. Далее перейти к изложению вводной части, в которой определяется место темы в изучаемом курсе и ее значение для практической деятельности студентов, проинформировать о распределении времени на тему. Если это не первая лекция по теме, то преподаватель должен связать ее с предшествующей лекцией. Далее следует перечислить учебные вопросы и дать возможность студентам записать их. Проведение лекции может предусматривать различные варианты ее начала, однако в целом вводная ее часть должна четко ориентировать студентов в рамках рассматриваемой проблемы, а также указать на то, что они должны усвоить на лекции, чему конкретно научиться. Вводная часть лекции не должна занимать более 5 – 7 минут. Темп ее изложения, как правило, выше темпа изложения содержания учебных вопросов, что заставляет обучаемых психологически собраться и сосредоточиться. Важное условие успеха преподавателя на лекции – интонация, выразительность его речи, оптимальность ее ритма и темпа, включение элементов юмора. Определяя темп речи, преподаватель должен учитывать, что студенты записывают только то, что преподаватель подчеркивает голосом, разрядкой речи, педагогическими паузами и повторами отдельных положений, приглашением обучаемых к тому, чтобы они запомнили то или иное положение, выделенное преподавателем. 32 Заключительная часть. Заключение в структуре лекции имеет также большое значение, т.к. именно оно позволяет подвести итоги сказанному, поставить перед студентами необходимые задачи, указать на связь с последующим учебным материалом и порядок подготовки к следующему занятию, ответить на вопросы, возникшие за время лекции. После ответов на возникшие вопросы лектор заканчивает занятие. Необходимо помнить, что к важнейшим преимуществам лекционного обучения относится то, что лектору можно задать вопрос и тут же получить ответ. После того, как на поступивший вопрос дан полный и достаточно обоснованный ответ, преподавателю после лекции следует обдумать, почему заданы такие вопросы, и внести необходимые коррективы в текст лекции. Лекторское мастерство преподавателя, как и его знания, оттачиваются в результате ежедневного труда. Для этого требуется тщательный анализ результатов каждой прочитанной лекции, как по ее содержанию, так и по форме изложения. ПОДГОТОВКА И ПРОВЕДЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Специфика этого вида занятий (семинаров) состоит в выполнении самостоятельно или под руководством преподавателя заданий и является активной формой учебных занятий. Практические занятия призваны развивать и закреплять у студентов навыки самостоятельной работы, применять полученные на лекциях знания. В ходе семинара вырабатывается умение формулировать, обосновывать и излагать собственное суждение по обсуждаемому вопросу, умение отстаивать свои взгляды, а также углубляются и закрепляются знания, полученные на лекциях и в ходе самостоятельной работы. Во всех случаях семинары выполняют познавательную, воспитательную и контрольную функции, т.е. в ходе подготовки и проведения семинара студенты приобретают более глубокие знания, существенно расширяется их представление об изучаемом предмете, приобретается способность свободно 33 оперировать понятиями и терминами, ранее им незнакомыми. В ходе семинара преподаватель изучает обучаемых, степень усвоения ими материала. Семинары выполняют также и функцию контроля: преподаватель составляет суждение об уровне знаний обучаемых, получает представление о сильных и слабых сторонах их подготовки – все это дает возможность преподавателю своевременно оказать необходимую помощь слабо успевающим студентам. Разумеется, что всего этого удастся достичь только в случае высокой активности студентов, которая напрямую зависит от уровня их подготовленности, а также от умения преподавателя создать атмосферу раскованности, взаимопонимания и взаимодоверия. К традиционным семинарам в высшей школе относят:  занятия, основная цель которых – углубленное изучение определенного систематического курса и тематически связанного с ним;  занятия, предназначенные для основательной проработки отдельных, наиболее важных и типичных в методологическом отношении тем курса или отдельной темы; Основные функции практического (семинарского) занятия: Познавательная функция. Семинар позволяет организовать творческое, активное изучение теоретических и практических вопросов, установить непосредственное общение преподавателя со студентами, формирует самоконтроль за правильным пониманием изучаемого материала со стороны студентов, расширяет и закрепляет знания, навыки и умения. Воспитательная функция. Семинар осуществляет связь теоретических знаний с практикой, усиливает обратную связь субъекта и объекта воспитания, дает возможность преподавателю изучить индивидуальные особенности каждого студента. Функция контроля. Семинар позволяет проконтролировать уровень знаний, навыков и умений студентов, качество их самостоятельной работы. 34 Подготовка семинара. Работу к организации данного вида занятий преподаватель начинает с определения исходных данных. К ним относятся: тема, вопросы, определенные учебной программой, состав студентов и уровень их подготовки, время и продолжительность занятия, возможности учебно-материальной базы. При разработке исходных данных преподаватель руководствуется учебной программой, которая регламентирует глубину и направленность обучения. Учебные и воспитательные цели преподаватель формулирует исходя из темы, педагогических задач и уровня подготовки студентов. Изучив общие положения и методическую литературу по предмету, преподаватель начинает непосредственную подготовку к занятию. При выборе методов преподаватель исходит из содержания вопросов, подготовленности студентов, целей занятий и возможностей учебно-материальной базы. Необходимо стремиться к тому, чтобы избранные методы обучения и методические приемы способствовали углубленному изучению предмета, а также прививали практические навыки. При расчете учебного времени необходимо учитывать содержание учебных вопросов и цель занятия – чего хочет добиться преподаватель от студентов: овладения ими знаниями или знаниями, навыками и умениями. При подготовке к семинару преподаватель должен подобрать ряд примеров, на которых можно отработать лекционный материал, показать практическое значение темы, тщательно продумать порядок их на занятии. Обязательно необходимо подобрать задания разной сложности (от простого к сложному), а также более сложные задания для сильных студентов. Затем ему необходимо отобрать наглядные определить технические средства пособия для обучения и практического изучить занятия, правила их использования на занятии. Особенно тщательно продумывается задание на самоподготовку студентам, разрабатывается план семинарского занятия. Преподаватель контролирует подготовку студентов к семинару, оказывает им помощь. 35 При личной подготовке к семинарскому занятию преподаватель детально разбирается в теме, просматривает литературные источники, которые рекомендовал для изучения студентам, просматривает систему наглядности на предстоящем занятии. По итогам личной подготовки преподаватель составляет план-конспект. Он является основным рабочим документом преподавателя и определяет направление и ход занятия. Обычно план-конспект составляется в произвольной форме, должен быть прост и удобен для использования на занятии. В нем, как уже отмечалось ранее, должно быть отражены: тема занятия; учебные и воспитательные цели; время, отводимое на занятие; учебные вопросы и распределение времени; метод проведения занятия; место проведения занятия; материальное обеспечение; руководства и пособия; порядок проведения занятия. Перед проведением занятия преподаватель может проверить качество подготовки студентов к занятию. ПРОВЕДЕНИЕ КОЛОКВИУМА Коллоквиум (от латинского colloquium – разговор, беседа) – одна из форм учебных занятий, беседа преподавателя с учащимися на определенную тему из учебной программы. Цель проведения коллоквиума состоит в выяснении уровня знаний, полученных учащимися в результате прослушивания лекций, посещения семинаров, а также в результате самостоятельного изучения материала. В рамках поставленной цели решаются следующие задачи:  выяснение качества и степени понимания учащимися лекционного материала;  развитие и закрепление навыков выражения учащимися своих мыслей;  расширение вариантов самостоятельной целенаправленной подготовки учащихся; 36  развитие навыков обобщения различных литературных источников;  предоставление возможности учащимся сопоставлять разные точки зрения по рассматриваемому вопросу. В результате проведения коллоквиума преподаватель должен иметь представление:  о качестве лекционного материала;  о сильных и слабых сторонах своей методики чтения лекций;  о сильных и слабых сторонах своей методики проведения семинарских занятий;  об уровне самостоятельной работы учащихся;  об умении студентов вести дискуссию и доказывать свою точку зрения;  о степени эрудированности учащихся;  о степени индивидуального освоения материала конкретными студентами. В результате проведения коллоквиума студент должен иметь представление:  об уровне своих знаний по рассматриваемым вопросам в соответствии с требованиями преподавателя и относительно других студентов группы;  о недостатках самостоятельной проработки материала;  о своем умении излагать материал;  о своем умении вести дискуссию и доказывать свою точку зрения. В зависимости от степени подготовки группы можно использовать разные подходы к проведению коллоквиума. В случае, если большинство группы с трудом воспринимает содержание лекций и на семинарских занятиях демонстрирует недостаточную способность активно оперировать со смысловыми единицами и терминологией курса, то коллоквиум можно разделить на две части. Сначала преподаватель излагает 37 базовые понятия, содержащиеся в программе. Это должно занять не более четверти занятия. Остальные три четверти необходимо посвятить дискуссии, в ходе которой студенты должны убедиться и, главное, убедить друг друга в обоснованности и доказательности полученного видения вопроса и его соответствия реальной практике. Если же преподаватель имеет дело с более подготовленной, самостоятельно думающей и активно усваивающей смысловые единицы и терминологию курса аудиторией, то коллоквиум необходимо провести так, чтобы сами студенты сформулировали изложенные в программе понятия, высказали несовпадающие точки зрения и привели практические примеры. За преподавателем остается роль модератора (ведущего дискуссии), который в конце «лишь» суммирует совместно полученные результаты. ТЕСТИРОВАНИЕ Контроль в виде тестов может использоваться после изучения каждой темы курса. Итоговое тестирование можно проводить в форме:  компьютерного тестирования, т.е. компьютер произвольно выбирает вопросы из базы данных по степени сложности;  письменных ответов, т.е. преподаватель задает вопрос и дает несколько вариантов ответа, а студент на отдельном листе записывает номера вопросов и номера соответствующих ответов. Для достижения большей достоверности результатов тестирования следует строить текст так, чтобы у студентов было не более 40 – 50 секунд для ответа на один вопрос. Итоговый тест должен включать не менее 60 вопросов по всему курсу. Значит, итоговое тестирование займет целое занятие. Оценка результатов тестирования может проводиться двумя способами: 1) по 5-балльной системе, когда ответы студентов оцениваются следующим образом: 38 - «отлично» – более 90% ответов правильные; - «хорошо» – более 80% ответов правильные; - «удовлетворительно» – более 70% ответов правильные. Студенты, которые правильно ответили менее чем на 70% вопросов, должны в последующем пересдать тест. При этом необходимо проконтролировать, чтобы вариант теста был другой; 2) по системе зачет-незачет, когда для зачета по данной дисциплине достаточно правильно ответить более чем на 70% вопросов. Чтобы выявить умение студентов решать задачи, следует проводить текущий контроль (выборочный для нескольких студентов или полный для всей группы). Студентам на решение одной задачи дается 15 – 20 минут по пройденным темам. Это способствует, во-первых, более полному усвоению студентами пройденного материала, во-вторых, позволяет выявить и исправить ошибки при их подробном рассмотрении на семинарских занятиях. 6.5.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ Самостоятельная работа студентов в ходе семестра является важной составной частью учебного процесса и необходима для закрепления и углубления знаний, полученных в период сессии на лекциях, семинарах, а также для программой индивидуального и изучения рекомендованной дисциплины литературой. в соответствии Самостоятельная с работа выполняется в виде подготовки домашнего задания. Контроль за качеством самостоятельной работы может осуществляться с помощью устного опроса на лекциях или семинарах, группового решения задач, проведения коллоквиума, проверки письменных контрольных работ. Устные формы контроля помогут оценить понимание студентами материала (применение теорем, свойств), умение передать нужную информацию, грамотно использовать математические термины. Письменные работы помогут преподавателю оценить насколько студенты 39 владеют материалом, умение пользоваться свойствами, теоремами, методами решения задач. В ходе написания контрольной работы студент приобретает навыки самостоятельной работы с научной, учебной и специальной литературой, учится анализировать источники и грамотно излагать свои мысли. 6.6.КРАТКИЙ ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС С МЕТОДИЧЕСКИМИ УКАЗАНИЯМИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 1. Графический метод решения задачи линейного программирования. Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции. n L (x) = cx  max  j 1 j (1.1) j при условиях n a x b, i  1, k  j 1 ij j (1.2) i n a x b, i k1,m j 1 ij xj  0 j (1.3) i , j 1,l;l n (1.4) где aij , bi , cj – заданные постоянные величины и Определение. Функция (1.1) k ≤ m. называется целевой функцией (или линейной формой) задачи (1.1) – (1.4), а условия (1.2) – (1.4) - ограничениями данной задачи. Определение. Стандартной (симметричной) программирования называется задача, которая задачей линейного состоит в определении 40 максимального значения функции (1.1) при выполнении условий (1.2) и (1.4), где k = m и l = n . Определение. Канонической (основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (1.1) при выполнении условий (1.3) и (1.4), где k = 0 и l = n . Определение. Совокупность чисел ограничениям задачи (1.2) – (1.4), X (x ,x ,..., x ), 1 2 n удовлетворяющих называется допустимым решением (планом). Определение. План задачи (1.1) * * * * X  ( x ,x2,..., x ), 1 n при котором целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным. Определение. Опорный план называется неврожденным, если он содержит m положительных компонент, в противном случае – план вырожденный. Свойства основной задачи линейного программирования (1.5) – (1.7) тесным образом связаны со свойствами выпуклых множеств. Определение. Множество точек называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную выпуклую комбинацию. Геометрический смысл этого определения состоит в том, что множеству вместе с его двумя произвольными точками полностью принадлежит и 41 прямолинейный отрезок, их соединяющий. Примерами выпуклых множеств являются прямолинейный отрезок, полуплоскость, круг, шар, куб, полупространство и др. Определение. Тоже Х выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации двух других различных точек данного множества. Например, угловыми точками треугольника являются его вершины, круга – точки окружности, которая его ограничивает. Теорема 1. Множество планов основной задачи линейного программирования является выпуклым ( если оно не пусто). Теорема 2. Если основная задачи линейного программирования имеет оптимальный план, то максимальное значение целевая функция задачи принимает в одной из вершин многогранника решений. Если максимальное значение достигается более чем в одной вершине, то целевая функция принимает его во всякой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих вершин. Непустое программирования множество образует планов выпуклый основной многогранник, задачи каждая линейного Ершина которого определяет опорный план. Для одного из опорных планов (одной из вершин многогранника решений) значение целевой функции является максимальным (при условии, что функция ограничена сверху на множестве планов). Вершину многогранника решений, в которой целевая функция 42 принимает максимальное значение, найти сравнительно просто, если задача, записанная в форме основной, содержит не более двух переменных, т.е. L( X ) = С1 · x1+ С2 · x2 при условиях (1.9) a x a b i1 1 i2x 2 i , (i  1, k ) (1.10) xj ≥ 0, (1.11) Каждое из неравенств (1.10), (1.11) системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость допустимых значений переменных соответственно с граничными прямыми a x a b i1 1 i2x 2 i, (i  1, k ) , x1 = 0, x2 = 0. Если система неравенств допустимых решений называется (1.10), (1.11) совместна, то областью задачи является выпуклое множество, которое многоугольником решений. Стороны этого многоугольника лежат прямых, уравнения которых получаются из исходной системы заменой знаков неравенств на знаки точных равенств. Для определения многоугольника решений, в которой вершины функция принимает максимальное значение, необходимо построить линию (начальную прямую) С1x1+С2x2=0, проходящую через начало координат на плоскости x10x2, и передвигать ее в направлении вектора N = (С1,С2) до тех пор, пока она не пройдет через последнюю общую точку с многогранником решений. Координаты указанной точки определяют оптимальный план данной задачи. Таким образом, решение задачи линейного программирования графическим методом включает в себя следующие этапы. 43 1. На плоскости x10x2 строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (1.10) и (1.11) знаков неравенств на знаки точных равенств. 2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи. 3. Находят многоугольник решений. 4. Строят вектор N = (С1,С2), направление которого указывает на возрастание целевой функции. 5. Строят начальную прямую С1x1+С2x2=0, проходящую через начало координат. 6. Передвигают начальную прямую в направлении вектора N = (С1,С2) до положения опорной прямой (до крайней угловой точки многогранника решений). В результате находят точку, в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо множество точек с одинаковым значением целевой функции, если начальная прямая сливается с одной из сторон многоугольника решений, либо устанавливается неограниченность сверху функции на множестве планов (L(x) → ∞). 7. Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке. Замечания. 1. Нахождение минимального значения целевой функции отличается от нахождения ее максимального значения при данной системе ограничений тем, что начальная прямая передвигается в направлении, противоположном вектору N. 44 2. В случае, когда требуется найти минимум функции (1.1), можно решить задачу на максимум целевой функции, так как min L(X) = – max (–L(X)). 3. Если ограничения исходной задачи отражают расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной равно объему соответствующего неиспользуемого ресурса. 4. Если максимум (или минимум) целевой функции достигается на отрезке АВ многоугольника решений, то необходимо определить координаты угловых точек А (x1(А), x2(А)) и В(x1(В), x2(В)) и вычислить значение целевой функции в этих точках. При этом L(X)В т.В L(X)В т.А = и множество оптимальных планов можно представить как выпуклую линейную комбинацию угловых точек отрезка АВ: * (A ) ( B ) x  x ( 1   ) x 1 1  1 x  x ( 1   ) x * 2 (A ) 2 где 0 ≤ α ≤ 1. (1.12) (B ) 2 Пример. Найти максимум и минимум линейной функции L( X ) = –2x1+8x2 → extr при условиях: 45  5 x1  x 2  0  5 x  2 x  10 2  1  x1  4 x 2  4 x  x  6 2  1  x1 , x 2  0 Построим на плоскости x10x2 многоугольник допустимых решений задачи. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных  5 x1  x 2  0  5 x  2 x  10 2  1  x 1  4 x 2  4 равенств:  x  x  6 2  1  x1  0   x 2  0 () (  ) (  ) (  ) ( ) (  ) Построив полученные граничные прямые, найдем соответствующие полуплоскости допустимых значений переменных и их пересечение. Многоугольником допустимых решений задачи является пятиугольник ABCDE, координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи. 46 N (2;8) y Y I 8 6 5 4 L(X)  0 3 2 I 1 II 0 –1 1 2 3 4 5 Y I 6 I x Y I I Для нахождения точек экстремума L ( X )  2 x  8 x 0 и вектор 1 2 построим начальную прямую N (2;8) . Передвигая начальную прямую параллельно самой себе в направлении вектора N , найдем точку D, в которой начальная прямая принимает положение опорной прямой. Следовательно, в точке D целевая функция принимает максимальное значение. Так как точка D получена в результате пересечения прямых I и IY, то для определения ее 5x1 x2 0 координат решим систему уравнений:  . x1 x2 6 Решая систему уравнений, получим x1*  1 , x2*  5 ; L ( X )  2  1  8 5  38 . Для нахождения минимального значения целевой функции задачи, начальную прямую перемещаем в направлении, противоположном вектору N . Как видно из условий задачи, начальная прямая параллельна прямой (III), так как коэффициенты при переменных x1 и x2 47 2  8    2 . Поэтому пропорциональны  4 1   начальная прямая займет положение опорной прямой в точках А, Е и в любой точке отрезка АЕ, в которых целевая функция принимает одно и тоже минимальное значение. Для определения координат угловых точек А и Е решим системы двух линейных уравнений: 1. x14x2 4 .  x2 0 Получим 2. x1( A)  4 ; x2( A)  0 ; 2 4  8 0  8 . L( X ) в т.А  x14x2 4  x1x2 6 Получим x1(Е)  28 2 x2( Е )  ; ; 5 5 L( X ) в т.Е 28 2   2   8    8 . 5 5 Выразим координаты любой точки отрезка АЕ через координаты угловых точек, т.е. запишем множество минимальных решений:    28 28 8 * ( A ) ( Е )  ; x  x  ( 1  ) x  4  ( 1  ) = 1 1 1 55 5 где 0 ≤ α ≤ 1 * (A ) ( Е ) 0(1) =   . x  x ( 1   ) x 2 2  2 = 5 5 5 2 2 2 Таким образом, оптимальный план задачи: * Xmax(1 ;5), L(X)max38 ; 2 2   28 8 * X min =  5 5; 5  5   ,   L (X)min  8 . * Подставляя любые значения α * от 0 до 1 , получим координаты 48 множества точек отрезка АЕ, в каждой из которых целевая функция принимает минимальное значение, равное – 8. Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Пусть торговое предприятие реализует n групп товаров, используя при этом ограниченные материально-денежные ресурсы размером bi (i  1, m) . Известны расходы ресурсов i –го вида на организацию продажи единицы товарооборота товаров матрицы А = (aij) , j-ой группы, (i  1, m) ( j  1, n) , заданные в виде технологической , и прибыль, получаемая предприятием от реализации единицы товарооборота товаров j-ой группы - Сj. Требуется определить объем и структуру товарооборота Хj ( j  1, n) , при которых общая прибыль торгового предприятия была бы максимальной. Математическую модель задачи можно записать следующим образом: Определить X (x ,x ,..., x ), 1 2 n который удовлетворяет ограничениям n a x b, i  1, m i (2.1) ,  j  1, n (2.2) j 1 ij xj  0 j и доставляет максимальное значение целевой функции n L ( X ) c x max  j j j  1 Задача линейного программирования (2.1)–(2.3) (2.3) может быть решена симплексным методом, так как система ограничений задана в виде системы неравенств только смысла «≤ » и вектор столбец свободных членов содержит 49 только положительные числа, т.е. bi ≥ 0. Алгоритм симплексного метода включает следующие этапы. 1. Составление первого опорного плана. Перейдем от системы неравенств (2.1) к системе уравнений путем введения неотрицательных дополнительных переменных. Векторы-столбцы при этих переменных представляют собой единичные векторы и образуют базис, а соответствующие им переменные называются базисными. n ax x  j 1 ij j  b i, n  1 i  1, m (2.4) Разрешим систему уравнений (2.4) относительно базисных переменных: n x b a  n  1 i ijx j, i  1, m (2.5) j 1 Аналогично функцию цели представим в виде:  n    L ( X ) 0   c x  j j  1  j  (2.6) Полагая, что основные переменные опорный план x x ...  x 0 1 2 n , получим первый 0 X ( 0 , 0 ,..., 0 , b , b ,..., b ) 1 1 2 m , L(X1 )  0. 0 Исследование опорного плана на оптимальность, а также дальнейший вычислительный процесс удобнее вести, если условия задачи и первоначальные данные, полученные после определения первого опорного плана, занести в симплексную таблицу. Первые m строк симплексной таблицы содержат коэффициенты системы ограничений и свободные члены. Последняя (m +1)-ая строка таблицы называется индексной. Она заполняется коэффициентами функции цели, взятыми с противоположным знаком. 50 2. Проверка оптимальности опорного плана. Если все коэффициенты индексной строки симплексной таблицы (при решении задачи на максимум целевой функции) неотрицательны (∆ ≥ 0, j 1,nm, то опорный план задачи является оптимальным. Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, план не оптимальный и можно перейти к новому опорному плану, при котором значение Переход целевой функции увеличится. к другому плану осуществляется исключением из исходного базиса какого-нибудь из векторов и введением в него нового вектора. 3. Определение направляющих (разрешающих) столбца и строки. Из отрицательных коэффициентов индексной строки ∆j < 0 выбираем максимальный по абсолютной величине. Направляющий столбец, соответствующий выбранному коэффициенту, показывает, какой вектор или переменная на следующей итерации прейдет из свободных в базисные. Пусть, например, ∆k < 0 и решено ввести в базис вектор А k. Для определения вектора (переменной), подлежащего исключению из базиса, элементы столбца свободных членов симплексной таблицы (значения базисных переменных) делим на соответствующие положительные элементы направляющего столбца  bi  a  ik для всех aik  0  . Результаты заносим в столбец Θ симплексной таблицы. Строка симплексной таблицы, соответствующая минимальному значению Θ, является направляющей. Пусть этот минимум достигается при i = r. Тогда из базиса исключают вектор Аr , т.е. переменная 51 xr на следующей итерации выйдет из состава базисных переменных и станет свободной. Элемент симплексной таблицы аrk , находящийся на пересечении направляющих столбца и строки, называется разрешающим. 4. Определение нового опорного плана. Для перехода к новому опорному плану производится пересчет симплексной таблицы методом Жордана- Гаусса. Сначала заменим переменные в базисе, т.е. вместо xr в базис войдет переменная аk , соответствующая направляющему столбцу. Разделим все элементы направляющей строки r симплексной таблицы на разрешающий элемент аrk и занесем в строку r предыдущей результаты деления следующей симплексной таблицы, которая соответствует введенной в базис переменной xk. В результате этого на месте разрешающего элемента новой симплексной таблицы будем иметь «1», а в остальных клетках столбца «к» накапливаем нули. Это равносильно исключению переменной из всех строк таблицы (уравнений), кроме строки xk r, соответствующей переменной . xk . Преобразование остальных строк симплексной таблицы, включая индексную, рассмотрим на примере строки і. Для получения новых элементов іой строки коэффициент а іk , находящийся на пересечении і-ой строки и k-го столбца и взятый с противоположным знаком, умножаем на элементы преобразованной направляющей строки и складываем с r соответствующими элементами і-ой строки. Результаты заносим в і-ую строку новой симплексной таблицы. Если коэффициент а іk = 0, то і-ая строка 52 переносится в следующую симплексную таблицу без изменений. Полученный новый опорный план снова проверяем на оптимальность. Таким образом, переходим ко второму этапу алгоритма и продолжаем процесс до получения оптимального плана. Замечания. 1. При решении задачи линейного программирования на минимум целевой функции признаком оптимальности плана являются отрицательные значения всех коэффициентов индексной строки симплексной таблицы. Если опорный план не оптимален, то максимальное положительное значение коэффициента индексной стоки определяет выбор направляющего столбца. 2. Если в направляющем столбце все коэффициенты а іk ≤ 0, то функция цели L( Х ) не ограничена на множестве допустимых планов, т.е. L( Х ) → ∞ и задача не имеет решения. 3. Если в столбце θ симплексной таблицы содержатся два или несколько одинаковых наименьших значения, то новый опорный план будет вырожденным, т.е. одна или несколько базисных переменных станут равными нулю. 4. Если в оптимальный план вошла дополнительная переменная xn+1 , то это свидетельствует о недоиспользовании ресурса і-го вида в количестве значения этой переменной. 5. Если в индексной строке оптимальной симплексной таблицы находится нуль, принадлежащий столбцу свободной переменной, не вошедшей в базис, а среди коэффициентов данного столбца имеется хотя бы один 53 положительный элемент, то задача имеет множество оптимальных планов. Свободную переменную, соответствующую указанному столбцу, можно ввести в базис, выполнив 3 и 4 этапы алгоритма, в результате будет получен второй оптимальный план с другим набором базисных переменных, но с тем же значением функции цели. Согласно основной теореме линейного программирования, любая выпуклая комбинация этих планов также является оптимальным планом задачи. Пример. Торговое предприятие при продаже трех групп товаров использует три вида ограниченных материально-денежных ресурсов. Нормы затрат ресурсов на реализацию единицы товарооборота (тыс.руб.), объем ресурсов и доход от реализации единицы товарооборота приведены в технологической таблице. Определить оптимальный план реализации товаров, обеспечивающий торговому предприятию максимальную прибыль (числа условные). № Виды п\п материальноденежных ресурсов (i = 1,3) Единица Норма затрат ресурсов измерения на реализацию 1 ед.товарооборота 1 2 3 группа группа группа (а і1) (а і2) (а і3) 1. Рабочее время Чел.-час. 2 1 6 продавцов 2. Площадь м2 3 3 9 торговых залов 3. Площадь м2 2 1 2 складских помещений Прибыль от Тыс.руб. 14 6 22 реализации ед. т/о Объем материальноденежных ресурсов (b і) 240 540 120 max 54 Запишем математическую модель задачи. Определить X(x 1,x 2,x 3) , который удовлетворяет условиям 2x1 x2 6x3 240 3x 3x 9x 540  1 2 3  2x1 x2 2x3 120 x1 0,x2 0,x3 0. ( 2 .7 ) ( 2 .8 ) и доставляет максимальное значение целевой функции L ( X )  14 x  6 x  22 x  max 1 2 3 . (2.9) Задачу (2.8) – (2.9) решим симплексным методом. Для получения первого опорного плана систему неравенств (2.7) приведем к системе уравнений 240 2x1x26x3x4 3x3x 9x x 540 1 2 3 5  x6120 2x1x22x3  x10,x20,x30. В системе уравнений x1 , x2 , x3 (2.10) - основные переменные, характеризующие объемы реализации 1, 2 и 3 групп товаров соответственно, x4 , x5 , x6 - дополнительные переменные, определяющие объемы ресурсов. Решим систему уравнений (2.10) относительно базисных переменных (2x1x26x3) x4240  (3x13x29x3) x5540 x120 6 (2x1x22x3) Функцию цели запишем в виде: L ( X )  0  (  14 x  6 x  22 x ) 1 2 3 55 (2.12) Полагая, что свободные переменные опорный план: x x2 x3 0, 1 получим первый 0 X ( 0 , 0 , 0 , 240 , 540 , 120 ) L(X1 ) 0, в котором базисные 1 , 0 x 240 ,x 540 ,x 120 . 5 6 переменные 4 Первый опорный план заносим в симплексную таблицу (см. таблицу0. этот план является не оптимальным, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты: –14, –6, –22. Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбираем наибольший по абсолютной величине. Так как |–22| > {|–14|, |–6|}, то направляющий столбец соответствует переменной x3. Тогда на следующей итерации переменная x3 перейдет из свободных в базисные. Элементы столбца свободных членов симплексной таблицы разделим на направляющего столбца: столбца θ выбираем соответствующие 240  40; 6 положительные 540 120  60;  60. 9 2 Из трех значений min{40,60,60}= 40. Строка симплексной таблицы, соответствующая минимальному значению θ, является определяет коэффициенты направляющей. Она переменную x4, которая на следующей итерации перейдет из базиса и станет свободной. На пересечении направляющих столбца и строки находится разрешающий элемент, равный 6. В таблице 1 направляющие столбец и строка помечены стрелками, а разрешающий элемент обведен кругом. Формируем следующую симплексную таблицу 2. Вместо переменной x4 56 в таблицу 2 вошла переменная x3. Строка, соответствующая переменной x3 получена в результате деления всех элементов направляющей строки (строка переменной таблицы 1) на разрешающий элемент 6. На месте x4 разрешающего элемента в таблице получаем «1». В остальных клетках столбца x3 таблицы 2 накапливаем нули методом Жордана-Гаусса. Рассмотрим преобразование второй строки симплексной таблицы, которая соответствует переменной x4 . Для получения новых значений элементов все данной строки необходимо элементы преобразованной направляющей строки таблицы 2 умножить на число, стоящее на пересечении строки x5 и столбца x3 таблицы 1, взятое с противоположным знаком, т.е. на (–9). Результаты умножения сложить с соответствующими элементами строки x5 таблицы 1 и записать в строку x5 таблицы 2. 40·(–9) + 540 = 180 1 3 1 6 ·(–9) + 3 = 0 ·(–9) + 3 = 1·(–9) + 9 = 0 1 6 3 2 3 ·(–9) + 0 = – 2 0·(–9) + 1 = 1 0·(–9) + 0 = 0. Аналогично проводятся расчеты по всем строкам таблицы, включая индексную. Далее возвращаемся к этапу 2 алгоритма – проверка оптимальности опорного плана. Выполняя последовательно все этапы алгоритма, заполняем таблицу 3. На третьей итерации в таблице 3 получен оптимальный план, так как все 57 коэффициенты в индексной строке ∆j ≥ 0, j = 1, 6. Запишем оптимальный план: X * = (30, 0, 30, 0, 180, 0), L( X ) = 1080 (тыс.руб.). * Следовательно, для получения максимальной прибыли в размере 1080 тыс. руб. торговому предприятию необходимо продавать товаров 1-ой группы 30 ед. (х1*= 30) и товаров 3-ей группы 30 ед. (х3*= 30). В оптимальный план вошла дополнительная переменная х5*= 180. Это указывает на то, что ресурсы второго вида (площади торговых залов) недоиспользованы на 180 м2, остальные ресурсы использованы полностью, так как х4*= х6*= 0. Полученный в результате решения оптимальный план является невырожденным, так как при расчете столбца θ не были получены одинаковые минимальные значения и все значения базисных переменных в оптимальном плане отличны от нуля. В индексной строке таблицы 3 в строках переменных x2 , x4 , x6 , не вошедших в состав базисных, получены ненулевые элементы, поэтому оптимальный план задачи является единственным. абл ица 1 Т Базисные переменные ←x4 абл x1 x2 x3 x4 x5 x6 θ 2 1 6 1 0 0 40 x5 540 3 3 9 0 1 0 60 x6 120 2 1 2 0 0 1 60 L( X 1 ) 0 –14 –6 –22↑ 0 0 0 x3 40 1 3 1 6 1 1 6 0 0 0 Т Свободные члены (значения базисных перемнных) 240 120 58 ица 2 Т 1 0 – 1 0 1 30 0 11 3 0 0 1 4 0 3 1 0 1 0 3 4 2 0 5 180 0 3 2 0 ←x6 40 4 3 2 3 0 L( X 2 ) 880 – 7 20 ↑ 3 абл ица 2 3 x5 –3 x3 30 0 0 1 x5 180 0 3 2 0 x1 30 1 1 2 0 1080 0 1 0 * L( X 3 ) –2 –3 –2 –4 1 –4 Двойственная задача к задаче планирования торговли Каждой задаче линейного программирования можно сопоставить другую задачу, называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой. Составим двойственную задачу к задаче планирования товарооборота (2.1) – (2.3), которую будем называть прямой. Обозначим yi ( i  1, m ) – двойственная оценка (неявная стоимость) единицы i-го ресурса. Тогда двойственная задача к задаче планирования торговли формулируется следующим образом: Требуется определить оценку единицы каждого вида ресурса, чтобы при заданных объемах ресурса bi, нормах их расхода aij и показателях прибыли cj, общая стоимость ресурсов, затраченных на организацию торгового процесса, была бы минимальной. Запишем математическую модель двойственной задачи к задаче 59 линейного программирования (2.1) – (2.3). Определить Y  (y ,y ,..., y ), 1 2 m который удовлетворяет условиям m a y c , i1 ij i yi ≥ 0, j j  1, n (3.1) i  1, m (3.2) и доставляет минимальное значение целевой функции m F ( Y ) b min  iy i (3.3) i 1 Ограничения (3.1) показывают, что оценка (стоимость) всех ресурсов, затраченных на продажу единицы j группы товаров, должна быть не меньше прибыли, получаемой от продажи единицы j группы товаров, а общая стоимость всех ресурсов (3.3) должна быть минимальной. Задачи (2.1) – (2.3) и (3.1) – (3.3) представляют симметричную пару двойственных задач, так как системы ограничений заданы неравенствами и на переменные xj и yi накладывается условие неотрицательности. Для симметричной пары задач двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам: 1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче. 2. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов системы ограничений прямой путем транспонирования. 60 3. Если система ограничений прямой задачи задана неравенствами смысла «≤», то система ограничений двойственной задачи записывается неравенствами смысла «≥». 4. Свободными членами системы ограничений двойственной задачи являются коэффициенты функции цели прямой задачи. 5. Если целевая функция прямой задачи задается на максимум, то целевая функция двойственной задачи – на минимум. 6. Коэффициентами функции цели двойственной задачи являются свободные члены системы ограничений прямой задачи. 7. На каждую переменную двойственной задачи накладывается условие неотрицательности. Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо одна от другой. Однако при определении оптимального плана одной из задач находится решение и другой задачи. Существующие зависимости между решениями прямой и двойственной задач характеризуются теоремами двойственности. Теорема 1. Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т.е. Теорема 2. План прямой задачи = . и план двойственной задачи являются оптимальными только тогда, если для любого и выполняются равенства: 61 (3.4) Из (3.4) следует, что для оптимальных планов пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1. Если для некоторого , то ; 2. Если для некоторого , то . Теорема 3. Если исходная задача имеет оптимальный план , то оптимальный план двойственной задачи можно определить с помощью следующего соотношения: = Сб∙А−1 где (3.5) Сб – коэффициенты целевой функции базисных переменных, вошедших в оптимальный план исходной задачи; А−1 - обратная матрица к матрице, составленной из векторов, вошедших в оптимальный план. Таким образом, если найти оптимальный план исходной задачи, то используя соотношение (3.5) можно определить оптимальный план двойственной задачи. Поскольку в системе уравнений исходной задачи (2.4) среди векторов имеются m единичных, то матрица расположена в первых столбцах единичных m строках векторов. оптимальной симплексной таблицы в Тогда нет необходимости оптимальный план двойственной задачи умножением компоненты этого плана А−1 совпадают с определять Сб на А−1, поскольку соответствующими элементами 62 индексной (m + 1)-й строки столбцов единичных векторов. Пример. В качестве прямой задачи используем задачу (2.7) – (2.9), которая решена симплексным методом. Составим к данной задаче двойственную и запишем её оптимальный план. Требуется определить , , который удовлетворяет условиям и доставляет минимальное значение целевой функции (3.8) Задачи (2.7) – (2.9) и (3.6) – (3.8) образуют симметричную пару двойственных задач. Решение прямой задачи определяет оптимальный объем и структуру товарооборота торгового предприятия, а решение двойственной – оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для реализации товаров. Установим сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач. В первой строке запишем переменные xj по порядку номеров (сначала основные, затем – дополнительные), во второй строке – переменные двойственной задачи, оптимальные значения которых получены в индексной (m + 1)-й строке таблицы 3.3. 1. x1 x2 x3 основные x4 x5 x6 дополнительные 2. 63 дополнительные основные Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получаем решение двойственной, не решая её, и наоборот. Таким образом, оптимальный план двойственной задачи (см.таблицу 3.3) к задаче планирования товарооборота равен: = (2, 0, 5, 0, 1, 0), Анализ оптимального плана двойственной задачи В оптимальном плане словные двойственные оценки единицы ресурсов I и III видов отличны от нуля ( . Ресурсы I и III видов в оптимальном плане прямой задачи используются полностью, так как дополнительные переменные ( . Двойственная оценка единицы ресурса II вида равна нулю Этот вид ресурса не . полностью используется при оптимальном плане реализации товаров . Таким образом, двойственные оценки в оптимальном плане больше нуля у тех видов ресурсов, которые полностью используются при реализации товаров. Поэтому данные оценки определяют дефицитность ресурса предприятия, а её величина показывает, на сколько возрастет максимальное значение целевой функции прямой задачи при увеличении количества соответствующего вида ресурса на единицу. Например, увеличение ресурса III вида на 1 м2 приведет к получению нового оптимального плана, при котором прибыль от реализации товаров возрастет на 5 т.руб. и станет равной: 1080 + 5 = 1085 тыс.руб. При этом коэффициенты, стоящие в столбце переменной x 6 64 таблицы 3.3, показывают, что указанное увеличение прибыли достигается за счет увеличения продажи товаров I группы на товаров III группы на ед., уменьшения продажи ед. . Аналогично можно найти новый оптимальный товарооборота при изменении дефицитного ресурса I вида. При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи (3.6) получаем Второе ограничение двойственной задачи выполняется как строгое неравенство. Это означает, что двойственная оценка ресурса, используемого для реализации единицы товара II группы, выше прибыли. Следовательно, продавать товары II группы невыгодно и их продажа не предусмотрена оптимальным планом прямой задачи . Первое и третье ограничения двойственной задачи являются равенствами. Это означает, что двойственные оценки ресурса, используемого для продажи единицы товара I и III группы, равны в точности прибыли, получаемой от их реализации. Поэтому продажа данных групп товаров экономически целесообразна и предусмотрена оптимальным планом прямой задачи. Задачи Используя вариант контрольного задания № 70-138, необходимо: − к прямой задаче планирования товарооборота составить двойственную (записать математическую модель); 65 − используя оптимальный план прямой задачи, установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач; − согласно сопряженным парам переменных из оптимального плана прямой задачи записать оптимальный план двойственной задачи и дать анализ двойственных оценок. Двойственный симплексный метод Двойственный симплексный используется для решения задачи линейного программирования, записанной в форме основной задачи, среди векторов которой имеется m единичных, свободные члены bi принимают любые значения, а система ограничений задана в виде неравенств смысла «≥», либо смешанных неравенств «≥», «≤» и «=». Если в симплексном методе оптимальный план получается в результате перехода от одного опорного плана к другому, то в двойственном симплексном методе – в результате движения по псевдопланам. Определение 1. Условно-отимальным планом или псевдопланом называется план, в котором удовлетворяется признак оптимальности (все коэффициенты индексной строки ∆j ≥ 0 при решении задачи на максимум и все ∆j ≤ 0 при решении задачи на минимум целевой функции), а среди значений столбца свободных членов bi имеются отрицательные числа. Алгоритм двойственного симплексного метода включает следующие этапы: 66 1. Составление псевдоплана. Систему ограничений исходной задачи приводим к системе неравенств смысла «≥». Для этого обе части неравенств смысла «≥» умножаем на (−1). Если ограничение исходной задачи задано в виде равенства, необходимо представить его в виде системы двух неравенств противоположного смысла. От полученной системы неравенств смысла «≤» переходим к системе уравнений, вводя неотрицательные дополнительные переменные, которые становятся базисными. Разрешаем систему уравнений относительно базисных переменных и первый опорный план заносим в симплексную таблицу. Индексную строку таблицы заполняем коэффициентами целевой функции, взятыми с противоположными знаками. 2. Проверка плана на оптимальность. Если в полученном опорном плане условие оптимальности не выполняется, то осуществляем симплексную процедуру(см.решение задачи ЛП симплексным методом). В этом случае существует следующее правило: при расчете значений столбца  отрицательные значения свободных членов bi делим только на отрицательные коэффициенты направляющего столбца, положительные значения bi - на положительные коэффициенты aik, а в строке, имеющей разноименные знаки bi и aik значения i не существует. Если в опорном плане условие оптимальности удовлетворяется и все значения столбца свободных членов bi ≥ 0, то получен оптимальный план. Наличие среди столбца свободных членов хотя бы одного отрицательного 67 числа свидетельствует о получении псевдоплана и требует перехода к следующему этапу алгоритма. 3. Определение направляющих (разрешающих) строки и столбца. Среди отрицательных значений столбца свободных членов bi выбираем наибольшее по абсолютной величине. Строка, соответствующая этому значению, является направляющей ( i = k ). Симплексную таблицу дополняем строкой , в которую заносим результаты деления, взятые по абсолютной величине, коэффициентов индексной строки на соответствующие отрицательные направляющей строки. В столбцах, имеющих значения существует. Столбец с минимальным значением коэффициенты aik ≥ 0, j не j является направляющим. Разрешающий элемент, находящийся на пересечении направляющих строки и столбца симплексной таблицы, в двойственном симплексном методе он всегда отрицательный. 4. Определение нового опорного плана. Новый опорный план получаем в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса и далее переходим к этапу 2 алгоритма. Решение задачи продолжаем до получения оптимального плана. Если все коэффициенты направляющей строки положительны, т.е. aik ≥ 0, то задача не имеет решения, так как в этом случае j , ( не существует. Пример. 68 Определить , который удовлетворяет условиям x1 x2 2x3 12 x 3x 8x 6 1 2 3  x1 x2 x3 7 x1 0, x2 0, x3 0. ( 4 .1 ) ( 4 .2 ) и доставляет максимальное значение целевой функции L ( X )  200  5 x  8 x  11 x  max 1 2 3 . (4.3) Систему ограничений (4.1) приведем к системе неравенств смысла «≤», умножив обе части I и II неравенств на (−1). x1 x2 2x3 12 x 3x 8x 6  1 2 3  x1 x2 x3 7  x1 0,x2 0,x3 0. ( 4 .1 ) ( 4 .2 ) Перейдем к системе уравнений: 12 x1x22x3x4 x3x 8x x 6 1 2 3 5  x67 x1x2x3  x10,x20,x30. (4.5) За базис выбираем систему векторов - В системе уравнений А4, А5, А6, так как эти векторы единичные и линейно независимые. Соответствующие единичным векторам переменные x4 , x5 , x6 являются базисными. Разрешим систему уравнений (4.5) относительно базисных переменных 69 (4.6) Функцию цели запишем в виде: L ( X )  200  ( 5 x  8 x  11 x ) 1 2 3 . (4.7) Полагая, что свободные переменные , получим первый опорный план, который заносим в симплексную таблицу 1. , . В таблице 1 псевдоплан или условно-оптимальный план, так как условие оптимальности в индексной строке выполняется, а в столбце свободных членов имеются отрицательные значения. Следовательно, переходим к следующему этапу алгоритма – определению направляющих строки и столбца. Среди отрицательных значений столбца свободных членов выбираем наибольший по абсолютной величине. Так как |−12| > |−6|, то первая строка, соответствующая переменной , является направляющей, а переменную нужно вывести из базиса. Для выбора направляющего столбца коэффициенты индексной строки делим на соответствующие отрицательные коэффициенты строки: ; ; направляющей . Результаты деления, взятые по абсолютной величине, заносим в строку . Из полученных j выбираем min{5; 8; 5,5} = 5, которое соответствует первому столбцу с переменной x1. Данный столбец является направляющим, а переменную x1 следует ввести в базис. На пересечении направляющих 70 строки и столбца находится разрешающий элемент, равный (−1). Далее выполняем преобразование симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса и заполняем таблицу 2. Третий опорный план (таблица 3) является оптимальным, так как в индексной строке условие оптимальности выполняется и все значения базисных переменных – положительные числа: = (2; 0; 5; 0; 36; 0), L( аб л и ц а 1 Т Базисные Свободные переменные члены (значения базисных переменных) −12  x 4 x4 x5 x6 -1 −1 −2 1 0 0 3 −8 0 1 0 x6 7 1 −1 1 0 0 1 200 5 8 11 0 0 0 5 8 5,5 − − − x1 12 1 1 2 −1 0 0 x5 6 0 4 −6 −1 1 0 x6 −5 0 −2 −1 1 0 1 140 0 3 1 5 0 0 − 1,5 1 − − − L( X 2 )  Т аб л и ц а 3 x3 −1   x2 −6 0 аб л и ц а 2 x1 x5 L( X 1 ) Т = 135. x1 2 1 −3 0 1 0 −2 x5 36 0 16 0 −7 1 −6 x3 5 0 2 1 −1 0 −1 135 0 1 0 6 0 1 * L( X 3 ) 71 ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА. Общая постановка транспортной задачи в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления (поставщики) A1, A2, . . ., A m в состоит пунктов потребления n (потребители) B1, B2, . . . Bn так, чтобы: - вывезти все грузы от поставщиков; - удовлетворить спрос каждого потребителя; - обеспечить минимальные суммарные транспортные расходы на перевозку всех грузов. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой используется минимальная стоимость перевозки всего груза. Обозначим: ai - наличие груза в i-ом пункте отправления ; bj - величина потребности в этом грузе в j-ом пункте назначения ; сij - стоимость перевозки единицы груза из i-ого пункта отправления в j-ый пункт потребления (тариф перевозки); xij - количество груза, перевозимого из i-ого пункта отправления в j-ый пункт назначения, назначения, xij ≥ 0. Математическая постановка транспортной задачи состоит в нахождении такого неотрицательного решения системы линейных уравнений, при котором целевая функция принимает минимальное значение. Запишем математическую модель транспортной задачи. 72 Требуется определить матрицу , которая ) удовлетворяет следующим условиям: n  ai , i  1, m (5.1) bj ,  j  1, n (5.2) x j1 ij m x i1 ij x ij  0 ,  j  1, n i  1, m (5.3) , и доставляет минимальное значение целевой функции m n L( )= cx min   i 1 j 1 j (5.4) j Поскольку переменные удовлетворяют системе линейных уравнений (5.1), (5.2) и условию неотрицательности, то обеспечивается доставка необходимого груза каждому потребителю, вывоз имеющегося груза от всех поставщиков, а также исключаются обратные перевозки. Определение 1. Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений (5.1) и (5.2), определенное матрицей ) называется допустимым планом транспортной задачи. Определение 2. План ) при котором функция (5.4) принимает максимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи. Теорема 1. Ранг матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений (5.1) и (5.2) транспортной задачи, на единицу меньше числа уравнений, т.е. равен (m + n – 1). 73 Следовательно, число линейно независимых уравнений равно (m + n – 1), они образуют базис, а соответствующие им переменные будут являться базисными. Определение 3. Допустимый план транспортной задачи, имеющий не более (m + n – 1) отличных от нуля величин , называется базисным или опорным. Определение 4. Если в опорном плане число отличных от нуля значений переменных в точности равно (m + n – 1), то план является невырожденным, а если меньше – вырожденным. Теорема 2. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, что суммарные запасы груза в пунктах отправления были равны суммарным потребностям в пунктах назначения, т.е. = (5.5) Определение 5. Модель транспортной задачи, удовлетворяющая условию (5.5), называется закрытой. Если указанное условие не выполняется, то модель является открытой. Для получения оптимального плана открытую модель транспортной задачи необходимо свести к закрытой модели. В случае превышения запаса над потребностью, т.е. > , вводится фиктивный (n+ 1) –ый пункт назначения с потребностью bn+1 = − , а соответствующие тарифы считаются равными нулю: Сi ,n+1 = 0 74 Если < , то вводится фиктивный (m + 1) –ый пункт отправления с потребностью am+1 = − и тарифами Сm+1, j = 0 Рассмотрим один из методов построения первого опорного транспортной задачи – метод минимальной стоимости или плана наилучшего элемента матрицы удельных затрат. Определение 6. Наилучшим элементом матрицы удельных затрат (тарифов) будем называть наименьший тариф, если задача поставлена на минимум целевой функции, наибольший тариф – если задача поставлена на максимум. Алгоритм построения первого опорного плана. 1. Среди матрицы удельных затрат находим наилучший тариф. 2. Клетку распределительной таблицы с выбранным тарифом заполняем максимально возможным объемом груза с учетом ограничений по строке и столбцу. При этом либо весь груз вывозится от поставщика, либо полностью удовлетворяется потребность потребителя. Строка или столбец таблицы вычеркивается из рассмотрения и в дальнейшем распределении не участвует. 3. Из оставшихся тарифов вновь выбираем наилучший и процесс продолжается до тех пор, пока не будет распределен весь груз. Если модель транспортной задачи открытая и введен фиктивный поставщик или потребитель, то распределение сначала осуществляется для 75 действительных поставщиков и потребителей, и в последнюю очередь нераспределенный груз направляется от фиктивного поставщика или к фиктивному потребителю. Дальнейшее улучшение первого опорного плана транспортной задачи и получение оптимального плана производим методом потенциалов. Теорема 3. План ) транспортной задачи является оптимальным, если существует система (m + n) чисел ui и vj (называемых потенциалами), удовлетворяющая условиям: L( ) → min 1. (5.6) 2. L( ) → max (5.7) Потенциалы ui и vj являются переменными двойственной задачи, составленной к исходной транспортной задаче, и обозначают оценку единицы груза в пунктах отправления и назначения соответственно. Обозначим: ) оценка свободной (незанятой) клетки таблицы. Определение 7. Опорный план транспортной задачи является оптимальным, если все оценки свободных клеток распределительной таблицы (задача поставлена на минимум). Алгоритм метода потенциалов 76 1. Построение первого опорного плана транспортной задачи методом минимальной стоимости. 2. Проверка вырожденности плана. Потенциалы могут быть рассчитаны только для невырожденного плана. Если число занятых клеток в опорном плане (число базисных переменных) меньше, чем (m+n−1), то вносим нуль в одну из свободных клеток таблицы так, чтобы общее число занятых клеток стало равным (m+n−1). Нуль вводят в клетку с наилучшим тарифом, которая принадлежит строке или столбцу. Одновременно вычеркиваемых при составлении первого опорного плана. При этом фиктивно занятая нулем клетка таблицы не должна образовывать замкнутого прямоугольного контура с другими занятыми клетками таблицы. 3. Расчет значения функции цели (5.4) путем суммирования произведений тарифов (удельных затрат) на объемы перевозимого груза по всем занятым клеткам таблицы. 4. Проверка оптимальности плана. Определяем потенциалы записываем уравнение . Для каждой занятой клетки , в результате получаем систему (m + n−1) уравнений с (m + n) переменными. Так как число переменных больше числа уравнений, то полученная система не определена и имеет бесчисленное множество решений. Поэтому одной из неизвестных величин придают произвольное 77 значение. Для простоты вычислений полагаем потенциалы определяются однозначно, а , тогда остальные их значения заносятся в дополнительные строку и столбец распределительной таблицы. Для каждой свободной клетки определяем оценки Если все . (задача решается на минимум целевой функции), то оптимальный план найден. Если хотя бы одна оценка свободной клетки не удовлетворяет условию оптимальности, то необходимо план улучшить, осуществив перераспределение груза. 5. Построение нового опорного плана. Из всех положительных оценок свободных клеток выбираем наибольшую (задача поставлена на минимум); из всех отрицательных – наибольшую по абсолютной величине (задача поставлена на максимум). Клетку, которой соответствует наибольшая оценка, следует заполнить, т.е. направить в нее груз. Заполняя выбранную клетку, необходимо изменить объем поставок, записанных в ряде других занятых клеток и связанных с заполняемой так называемым циклом. Циклом или прямоугольным контуром в распределительной таблице транспортной задачи называется ломанная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, а звенья – вдоль строк и столбцов, причем в каждой вершине цикла встречаются ровна два звена, одно из которых находится в строке, другое – в столбце. Если ломанная линия, образующая цикл, пересекается, то точки пересечения не являются вершинами. Для каждой 78 свободной клетки можно построить единственный цикл. Вершинам цикла, начиная от вершины, находящейся в выбранной клетке на загрузку, присваиваем поочередно знаки «+» и «−» . будем назвать эти клетки плюсовыми и минусовыми. Из объемов груза, стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее и обозначим его θ. Перераспределяем величину θ по контуру, прибавляя θ к соответствующим объемам груза, стоящим в плюсовых клетках, и вычитаем θ из объемов груза, находящихся в минусовых клетках таблицы. В результате клетка, которая была свободной и выбрана на загрузку, становится занятой, а одна из занятых клеток контура – свободной. Полученный опорный план проверяем на оптимальность, т.е. возвращаемся к четвертому этапу алгоритма. Замечания 1. Если в минусовых клетках построенного цикла находятся два или несколько одинаковых минимальных значений , то при перераспределении объемов груза освобождается не одна, а две или несколько клеток. В этом случае план становится вырожденным. Для продолжения решения необходимо одну или несколько одновременно освобождающихся клеток таблицы занять нулем, причем предпочтение отдается клеткам с наилучшим тарифом. Нулей вводят столько, чтобы во вновь полученном опорном плане число занятых клеток (базисных переменных) было ровно (m + n−1). 79 2. Если в оптимальном плане транспортной задачи оценка для некоторой свободной клетки равна нулю ) , то задача имеет множество оптимальных планов. Для клетки с нулевой оценкой можно построить цикл и перераспределить груз. В результате полученный план будет также оптимальным и иметь такое же значение целевой функции. 3. Значение целевой функции на каждой итерации можно рассчитать следующим образом: (задача поставлена на минимум), (задача поставлена на максимум), где - величина перемещаемого по контуру объема груза; - оценка свободной клетки, в которую направляется груз при переходе к новому опорному плану; − значение функции цели на k-ой итерации; − значение функции цели на предыдущей итерации. Пример На трех складах оптовой базы имеется однородный груз в количествах 40, 80 и 80 единиц. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина, каждый из которых должен получить соответственно 70, 20, 60 и 60 единиц. Стоимости доставки единицы груза (тарифы) из каждого склада ) во все магазины ) заданы матрицей . 80 Составить план перевозок однородного груза с минимальными транспортными затратами (числа условные). Решение. 1. Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи: =40+80+80 = 200, =70+20+60+60 = 210. Как видно, суммарная потребность груза превышает его запасы на складах оптовой базы. Следовательно, модель транспортной задачи является открытой и в исходном виде решения не имеет. Для получения закрытой модели введем дополнительный (фиктивный) склад А4 с запасом груза, равным а4 = 210 – 200 = 10 ед. тарифы перевозки единицы груза из склада А4 во все магазины полагаем равными нулю. Все исходные данные заносим в таблицу 7. Запасы В1 В2 5 В3 4 В4 2 A1 40 4 A2 3 20 4 A3 1 2 60 3 40 3 0 3 70 80 6 10 0 0 0 80 0 81 A4 10 10 210 Потребности 70 20 60 60 210 2. Построение первого опорного плана методом минимальной стоимости. Среди тарифов минимальным или наилучшим является С14 =1. В клетку А1В4 направляем максимально возможный груз, равный min{60,40} = 40. Тогда x14 = 40. Из склада А1 весь груз вывезен, но потребность четвертого магазина неудовлетворенна на 20 ед. строка А1 выходит из рассмотрения. Среди оставшихся тарифов минимальный элемент - С23 = 2. В клетку А2В3 направляем груз min{60,80} = 60. При этом столбец В 3 выходит из рассмотрения, а из склада А2 не вывезено 20 ед. Из оставшихся элементов минимальный С22 = 3. В клетку А2В2 направляем груз в количестве min{20,20} = 20. При этом столбец одновременно вычеркиваются строка А2 и столбец В2. Выбираем минимальный элемент С31 = 4. В клетку А3В1 направляем груз, равный min{70,80} = 70. При этом столбец В1 выходит из рассмотрения, а из склада А3 не вывезено 10 ед. Оставшийся груз с третьего склада направляем в летку А3В4, x34 = 10. Потребность четвертого магазина не удовлетворена на 10 ед. направим от фиктивного поставщика – склад А4 10 ед. груза в клетку А4В4, x44 = 10. В результате получен первый опорный план, который является 82 допустимым, так как все грузы со складов вывезены и потребности всех магазинов удовлетворены. 3. Проверка вырожденности плана Число занятых клеток или базисных переменных в первом опорном плане равно шести . план транспортной задачи является вырожденным, так как число базисных переменных в невырожденном плане равно m + n – 1 = 4 + 4 – 1 = 7. Для продолжения решения задачи опорный план необходимо дополнить введением фиктивной перевозки, т.е. занять нулем одну из свободных клеток. При построении первого опорного плана одновременно были вычеркнуты строка А2 и столбец В2, поэтому произошло вырождение плана. На право фиктивной перевозки претендуют свободные клетки строки А2 и столбца В2, которые имеют минимальный тариф и не образуют с занятыми клетками замкнутого прямоугольного контура. Такими клетками являются А2В4 и А3В2. Нуль направляем в клетку А2В4. 4. Расчет значения целевой функции Значение целевой функции первого опорного плана определяем путем суммирования произведений тарифов на объемы перевозимого груза по всем занятым клеткам таблицы. L(Х1) = 4∙70 + 3∙20 + 2∙60 + 1∙40 + 3∙0 + 6∙10 + 0∙10 = 560 (тыс.руб.). 5. Проверка условия оптимальности Рассчитаем потенциалы ( больше числа уравнений по занятым клеткам таблицы из условия: Так как число неизвестных потенциалов (m + n > m + n – 1), то один из потенциалов 83 принимаем равным нулю. Пусть . Тогда для занятых клеток можем записать систему уравнений: Полагая , получим , , , , Рассчитанные потенциалы заносим в таблицу 7. Подсчитаем оценки свободных клеток. , , , , , , , , . Первый опорный план не является оптимальным, так как положительные оценки свободных клеток и максимальную положительную оценку свободной клетки - имеются . Выбираем . 6. Построение нового опорного плана Для клетки А3В2 построим прямоугольный замкнутый контур 0таблица 7) и проведем перераспределение груза контуру. Вершинам контура, начиная от вершины, находящейся в свободной клетке А3В2,присваиваем поочередно 84 знаки «+» и «−» . Из объемов груза, стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. θ = min(20,10) = 10. Прибавляем значение θ = 10 к объемам груза, стоящих в плюсовых клетках, вычитаем из объемов груза, стоящих в минусовых клетках замкнутого контура. В результате получим новый опорный план, приведенный в таблице 8. Запасы В1 В2 В3 В4 5 A1 4 2 1 40 40 4 3 A2 10 4 A3 2 60 3 70 3 10 3 6 10 80 0 A4 80 0 0 0 10 10 210 Потребности 70 20 60 60 210 Второй опорный план транспортной задачи невырожденный, так как число занятых клеток равно 7. L(X2) = L(X1) – θ∙ = 560 – 10∙3 = 530 (тыс.руб.). 85 Этот план проверяем на оптимальность. Снова находим потенциалы поставщиков и потребителей. Для этого составляем по занятым клеткам следующую систему уравнений: Полагая , получим , , , , Рассчитываем оценки свободных клеток. , , , , , , , , . Второй опорный план транспортной задачи (таблица 8) не является оптимальным, так как . Строим замкнутый контур для клетки А4В1. Находим значение θ в контуре: θ = min{70, 10, 10}= 10. Переходим к третьему опорному плану, приведенному в таблице 9. Запасы В1 В2 В3 В4 86 5 4 2 1 A1 40 4 3 2 A2 A3 60 3 20 3 80 6 20 0 A4 3 60 4 40 80 0 0 0 10 10 210 Потребности 70 20 60 60 210 Третий опорный план является вырожденным, так как в минусовых клетках замкнутого минимальных значения контура (таблица 8) находятся два одинаковых . При переходе к третьему плану клетка А4В1 становится занятой, а две клетки А2В2 и становится А4В4 оказались свободными. Для продолжения решения задачи в одну из освободившихся клеток записываем нуль. Предпочтение отдаем клетке А4В4 , так как L(X3) = L(X2) – θ∙ = 530 – 10∙1 = 520 (тыс.руб.). Проверяем третий опорный план на оптимальность. Снова находим потенциалы поставщиков и потребителей. Для этого составляем по занятым клеткам таблицы 9 следующую систему уравнений: 87 Полагая , получим , , , Рассчитываем оценки свободных клеток. , , , , , , , , . Все оценки свободных клеток меньше или равны нулю, следовательно третий опорный план является оптимальным. , Анализ оптимального плана. Из первого склада необходимо весь груз направить в четвертый магазин, из второго склада направить груз в третий и четвертый магазины в количестве 60 и 20 единиц соответственно. С третьего склада следует вывозить груз в первый и второй магазины в количестве 60 и 20 единиц соответственно. Потребность первого магазина остается неудовлетворенной на 10 единиц груза. 88 Общая стоимость доставки груза потребителям будет минимальной и составит 520 тыс.рублей. Оптимальный план транспортной задачи является вырожденным, так как клетка А4В4 занята нулем ( = 0). Задача имеет множество оптимальных планов, поскольку оценка свободной клетки . 6.7.ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ 1. Общая задача линейного программирования. Основные теоремы. Многоугольник решений. 2. Этапы решения ЗЛП графическим методом (алгоритм решения). 3. Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Постановка задачи. Математическая модель ЗЛП. 4. Алгоритм симплексного метода решения ЗЛП. 5. Двойственная задача к задаче планирования торговли. Алгоритм двойственного симплексного метода. 6. Целочисленное программирование. Общая формулировка задачи. 7. Графический метод решения задачи целочисленного программирования. Метод Гомори. 8. Общая постановка транспортной задачи. Алгоритм построения 1-го опорного плана. 9. Потенциалы. Алгоритм метода потенциалов. 10.Постановка задачи динамического программирования. Рекуррентные соотношения Беллмана (метод функциональных уравнений). 11.Математическая теория оптимального управления. Вариационные методы. Принцип максимума. 12.Графы и орграфы. 13.Основные понятия сетевой модели. Минимизация сети. 89 14.Сети Петри. 15.Формулировка задачи и характеристики СМО. 16.Функции полезности. 17.Кривые безразличия. 18.Функции спроса. 19.Уравнение Слуцкого. 20.Кривые «доход-потребление» и «цены-потребление». 21.Коэффициенты эластичности. 22.Модель Эрроу – Гурвица. 23.Модели межотраслевого баланса. 24.Общие модели развития экономики. 25.Модель Солоу. 6.8.УРОВЕНЬ ТРЕБОВАНИЙ К ИТОГОВОМУ КОНТРОЛЮ Итоговый контроль проводится в форме экзамена (устно или письменно в виде ответов на вопросы билета). Количество билетов – 30. Для сдачи экзамена необходимо знать подробные ответы на 60 вопросов. При этом оценка знаний студентов осуществляется как по 5-балльной системе, так и в баллах в комплексной форме с учетом:  оценки за работу в семестре;  контрольных работ;  оценки по итогам промежуточного контроля (зачеты);  оценки итоговых знаний в ходе экзамена. Ориентировочное распределение максимальных баллов по видам отчетности представлено в таблице. N п/п 1 2 ВИДЫ ОТЧЕТНОСТИ Оценка работы в семестре Контрольные работы Баллы 10 20 90 3 Зачеты 20 4 Результаты экзамена 50 Итого 100 Оценка знаний по 100-балльной шкале в соответствии с установленными критериями реализуется следующим образом: менее 51 балла – «неудовлетворительно»; от 51 до 69 баллов – «удовлетворительно»; от 70 до 85 баллов – «хорошо»; свыше 86 баллов – «отлично». 7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Методы оптимальных решений» 7.1. Основная литература 1. Красс М.С. Математика в экономике: Учеб. – М.:ИД ФБК-ПРЕСС, 2005. 2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учеб. для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. 3. Солодовников А.С. Математика в экономике: Учеб. – М.: Финансы и статистика, 2005 4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 2007. 5. Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и упражнения: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: ЭКСМО, 2006. 6. Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: ЭКСМО, 2006. 7. Малугин В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: ЭКСМО, 2005. 8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. Т. 1–2. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. 91 9. Трофимов В.В., Данко С.П. Математика: Учеб. пособие. – М.: МарТ, 2007. 10. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. – М.: Физматлит, 2007. 11.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Данко С.П. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Оникс, 2007. 12.Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2005. 7.2. Дополнительная литература 1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ, 2004. 2. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х томах. – М.: ТетраСистемс, 2004. 3. Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие. – М.: АСТ, 2005. 4. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2001. 5. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учеб. – М.: ДИС, 2004. 6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1964. 7. Колемаев В.А. Математическая экономика. – М.: ИНФРА-М, 2005. 8. Конюховский Л.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: ПИТЕР, 2000. 9. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. для вузов. – М: ЮНИТИ, 2002. 10.Малыхин В.И. Математика в экономике: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002. 11.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. – М.: Наука, 1967. 12.Сборник задач по высшей математике для экономистов /Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001. 92 13.Сборник задач по математике для втузов. Т. 1–2 /Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. 7.3. Программное обеспечение и интернет-ресурсы 1. allmatematika.ru 2. mathnet.spb.ru 3. www.exponenta.ru 4. www.math.ru 5. economictheory.narod.ru 6. ecsn.ru 7. ecsocman.edu.ru 8. microeconomics.ucoz.ru 9. rbc.ru/economics/economist/ 10. vlib.ustu.ru/rosec/ 11.www.consultant.ru 12.www.e-rej.ru 13.www.expert.ru 14.www.mybiz.ru 15.www.vopreco.ru 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля) «Методы оптимальных решений» Рекомендуются инновационные компьютерные технологии, основанные на операционных системах Windows, Linux, Open Sourse, а также интернетресурсы (сайты образовательных учреждений, ведомств, журналов, информационно-справочные системы, электронные учебники). При проведении занятий в аудитории используется интерактивное оборудование (компьютер, мультимедийный проектор, интерактивный экран), что позволяет значительно активизировать процесс обучения. Это 93 обеспечивается следующими предоставляемыми возможностями: отображением содержимого рабочего стола операционной системы компьютера на активном экране, имеющем размеры классной доски, имеющимися средствами мультимедиа; средствами дистанционного управления компьютером с помощью электронного карандаша и планшета. Использование интерактивного оборудования во время проведения занятий требует знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio и умения пользоваться информационными технологиями. 94

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ПСИХОЛОГО-СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ПСИХОЛОГО-СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib