59_Вычислительная математика Пиявского

ЗАЧЕТНЫЕ ВОПРОСЫ
МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
1. Описать словесно идею метода Гаусса
2. К каким видам может быть приведена матрица коэффициентов после
прямого хода метода Гаусса
3. В каком случае, в терминах метода Гаусса, система линейных уравнений
будет иметь единственное решение
4. В каком случае, в терминах метода Гаусса, система линейных уравнений
будет иметь бесчисленное множество решений
5. Как получать отдельные решения в случае, если система линейных
уравнений имеет бесчисленное множество решений
6. В каком случае, в терминах метода Гаусса, система линейных уравнений не
будет иметь решения
7. Может ли система линейных уравнений иметь ровно три решения
8. Решить методом Гаусса следующую систему уравнений
2 x  5 y  3 z  2q  7
3 x  2 y  3q  2
x  4y  z  0
x  y  z  q  1
9. Что является слабым местом метода Гаусса и как с этим бороться
10. Как рассчитать определитель методом Гаусса
МЕТОД ИТЕРАЦИЙ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
11. Что такое линейное пространство (определение)
12. Что такое линейное нормированное пространство (определение)
13. Две нормы в линейном пространстве Rn
14. Проверка аксиом нормы для первой нормы x 1 в Rn
15. Определение нормы матрицы (с пояснением формулы словами)
16. Две нормы матрицы
17. Неравенства для нормы произведения матрицы на вектор и матрицы на себя
18. Суть метода простых итераций
19. Условия сходимости и доказательство сходимости метода простых итераций
20. Вывод оценки погрешности в методе простых итераций
21. Суть метода Зейделя
22. Условия сходимости метода Зейделя
МЕТОД ИТЕРАЦИЙ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
5.
6.
7.
8.
Определение Липшицевой функции
Графическая иллюстрация Липшицевой функции
Как найти постоянную Липшица для дифференцируемой функции
Найдите постоянную Липшица для функции f ( x)  3 x 2  2 x  2 x  1 на
отрезке [2,4]
9. Сколько постоянных Липшица имеет функция и почему
10. Может ли постоянная Липшица быть отрицательной
11. Основная формула метода итераций для решения нелинейного уравнения
12. Условия сходимости метода итераций для нелинейного уравнения
13. Две оценки погрешности метода итераций для нелинейного уравнения
14. Графическая иллюстрация сходимости и расходимости метода итераций для
нелинейного уравнения
15. Аналогия между решением нелинейного уравнения и системы линейных
уравнений (по условиям сходимости, самому методу и оценкам сходимости)
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
1. Метод Ньютона решения одного нелинейного уравнения (расчетные
формулы и геометрическое пояснение
2. Условия сходимости метода Ньютона
решения одного нелинейного
уравнения
3. От какой границы отрезка следует начинать решение уравнения методом
Ньютона
4. Условие существования на отрезке хотя бы одного корня уравнения
5. Условия существования на отрезке ровно одного корня уравнения (с
использованием первой и второй производной). Необходимые или
достаточные эти условия
6. Метод деления отрезка пополам решения одного нелинейного уравнения
(расчетные формулы, условия сходимости, погрешность)
7. Упрощенный метод Ньютона решения одного нелинейного уравнения
8. Связь между методом Ньютона и методом итераций при решении одного
нелинейного уравнения
МЕТОД ИТЕРАЦИЙ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Определение расстояния в R n . Приведите пример
Свойства расстояния в метрическом пространстве
Определение замкнутого шара в метрическом пространстве
Расчетные формулы метода итераций для систем нелинейных уравнений
Условия сходимости метода итераций для систем нелинейных уравнений
Оценка погрешности метода итераций для систем нелинейных уравнений
Оценка величины постоянной Липшица для систем нелинейных уравнений
Провести аналогию между методами итераций для одного уравнения, систем
линейных и нелинейных уравнений