Д.С. Набатова - Финансовый Университет при Правительстве РФ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Кафедра «Прикладная математика»
Д.С. Набатова
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Рабочая программа дисциплины
Для подготовки бакалавров направления 010400.62 «Прикладная
математика и информатика» по профилю «Математическое и
информационное обеспечение экономической деятельности»
Москва 2010
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Кафедра «Прикладная математика»
УТВЕРЖДАЮ
Ректор
__________ М.А. Эскиндаров
_______ ___________ 2010 г.
Д.С. Набатова
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Рабочая программа дисциплины
Для подготовки бакалавров направления 010400.62 «Прикладная
математика и информатика» по профилю «Математическое и
информационное обеспечение экономической деятельности»
Рекомендовано Ученым советом факультета «Математические
методы и анализ рисков», протокол № 6 от 25 мая 2010 г.
Одобрено кафедрой «Прикладная математика», протокол № 12 от
19 мая 2010 г.
Москва 2010
1
УДК 519.85
ББК ?
Рецензент: В.М. Гончаренко, доцент кафедры «Прикладная математика»
??
Д.С. Набатова
«Методы оптимизации». Программа дисциплины для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика» (программа подготовки
бакалавров) – очная форма обучения.– М.: ФГОБУ ВПО «Финансовый
университет при Правительстве Российской Федерации», кафедра «Прикладная математика», 2010. - с.
Дисциплина «Методы оптимизации» является дисциплиной вариативной части цикла «Математика» дисциплин ФГОС ВПО по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика». Программа содержит: программу дисциплины; рабочий план изучения дисциплины; тематику и планы лекций, тематику практических и
самостоятельных занятий с указанием технологии их проведения; формы контроля за
их выполнением.
УДК 519.85
ББК ?
Учебное издание
Дария Сергеевна Набатова
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Рабочая программа дисциплины
Компьютерный набор, верстка: Д.С. Набатова.
Формат 60х90/16. Гарнитура Times New Roman
Усл.п.л.1,1. Изд. № -2010. Тираж ___ экз.
Отпечатано в ФГОУ ВПО «Финансовый университет при
Правительстве Российской Федерации»
 Д.С. Набатова, 2010
 ФГОБУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», 2010
2
Содержание
1. Цели и задачи дисциплины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Место дисциплины в структуре ООП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Требования к результатам освоения дисциплины . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4. Объем дисциплины и виды учебной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. Содержание дисциплины
5.1 Содержание разделов дисциплины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи . . . . . . . . . . . . .10
5.3 Разделы дисциплины и виды занятий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6. Практические (семинарские) занятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7. Самостоятельная работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8. Контрольные вопросы и системы оценивания. . . . . ……………………12
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ...13
10. Приложение. Учебно-методическая карта дисциплины . . . . . . . . . . . 15
3
1. Цели и задачи дисциплины
Цель дисциплины –
1. Получение базовых знаний и формирование основных навыков по
нелинейному, целочисленному и динамическому программировании, многокритериальной оптимизации, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической деятельности.
2. Развитие понятийной теоретической базы и формирование уровня
практической подготовки, необходимых для понимания основных методов
оптимизации и их применения в экономике.
Задача дисциплины –
В результате изучения дисциплины «Методы оптимизации» студенты должны владеть основными математическими понятиями дисциплины;
уметь использовать математический аппарат для решения теоретических и
прикладных задач экономики; уметь решать типовые задачи и иметь навыки работы со специальной математической литературой.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина «Методы оптимизации» является дисциплиной вариативной части математического цикла Федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования (ФГОС
ВПО) по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат).
Изучение дисциплины «Методы оптимизации» основывается на базе
знаний, полученных студентами в ходе освоения дисциплин «Линейная алгебра», «Математический анализ» и «Исследование операций» того же
блока.
4
Дисциплина «Методы оптимизации» изучается на втором году обучения, закладывает фундамент для понимания основных методов решения
задач оптимизации и эконометрического прогнозирования и является базовым теоретическим и практическим основанием для многих последующих
математических и финансово-экономических дисциплин подготовки бакалавров по направлению «Прикладная математика и информатика».
3. Требования к результатам освоения дисциплины
В совокупности с другими дисциплинами базовой и вариативной части математического цикла ФГОС ВПО дисциплина «Методы оптимизации» обеспечивает инструментарий формирования следующих общих и
профессиональных компетенций бакалавра экономики:

владение культурой мышления, умение аргументировано и яс-
но строить устную и письменную речь (ОК-1);

способность к интеллектуальному, культурному и профессио-
нальному саморазвитию, стремление к повышению свей квалификации и
мастерства (ОК-2);

способность осознавать социальную значимость своей профес-
сии, обладание высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК-9);

демонстрация общенаучных базовых знаний естественных
наук, математики и информатики, понимание основных научных фактов,
концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой (ОК10);

умение использовать навыки поиска и работы с информацией
из различных источников, включая сетевые ресурсы сети Интернет, для
решения профессиональных и социальных задач (ОК-15);
5

умение приобретать новые научные и профессиональные зна-
ния, используя современные и информационные технологии (ОК-16);

способность собирать, обрабатывать и интерпретировать дан-
ные современных научных исследований, необходимые для формирования
выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и
этическим проблемам (ПК-1);

способность понимать и применять в исследовательской и
прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-2);

способность в составе научно-исследовательского и производ-
ственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности (в
соответствии с профилем подготовки) (ПК-4);

способность критически переосмысливать накопленный опыт,
изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности (ПК-5);

способность осуществлять целенаправленный поиск информа-
ции о новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет
и из других источников (ПК-6);

знание и следование в жизни кодексу профессиональной этики
(ПК-7);

способность формировать суждения о значении и последствиях
своей профессиональной деятельности с учетом социальных, профессиональных и этических позиций (ПК-8);

понимание сущности и значения информации в развитии со-
временного общества; владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации (ПК-9);

способность решать задачи производственной и технологиче-
ской деятельности на профессиональном уровне (ПК-10);
6

способность составлять и контролировать план выполняемой
работы, планировать необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать результаты собственной работы (ПК-12);
В результате освоения содержания дисциплины «Методы оптимизации» студент должен:
знать
- основы теории математического и целочисленного программирования,
динамического программирования, многокритериальной оптимизации, необходимые для решения математических и финансово-экономических задач;
уметь
- применять методы оптимизации для решения экономических задач;
владеть
- навыками применения современного математического инструментария
для решения экономических задач;
- методикой построения, анализа и применения математических моделей
для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (в части компетенций, соответствующих основным методам).
4. Объём дисциплины и виды учебной работы
Общая трудоёмкость дисциплины составляет 4 зачётных единицы.
Вид промежуточной аттестации – экзамен.
Вид учебной работы
Часы
Общая трудоёмкость дисциплины
144
Аудиторные занятия
51
Лекции (Л)
17
7
Практические занятия (ПЗ)
34
Самостоятельная работа
93
В семестре
В сессию / форма
57
36
экзамен
5. Содержание дисциплины
5.1. Содержание разделов дисциплины
1. Введение в методы оптимизации.
1.1. Общая постановка задачи оптимизации. Классификация задач.
Постановка задачи математического и выпуклого программирования.
1.2. Безусловный экстремум функции многих переменных (ФМП).
Необходимые и достаточные условия существования экстремума ФМП.
1.3. Приближенные методы определения локального экстремума
функций многих переменных. Градиентные методы 1 и 2 порядка. Метод
наискорейшего спуска. Метод Ньютона.
2. Задачи целочисленного программирования (дискретное программирование).
2.1. Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры
(задача о назначениях, о коммивояжере и т.п.). Метод ветвей и границ.
2.2. Двойственный симплекс-метод. Псевдорешение. Алгоритм двойственного симплекс-метода. Примеры решения задач двойственным симплекс-методом.
2.3. Метод Гомори решения задач целочисленного программирования. Примеры задач с экономическим содержанием.
3. Выпуклое программирование.
8
3.1. Постановка задачи выпуклого программирования. Условия регулярности. Необходимые условия оптимальности (условия Куна-Таккера).
Достаточные условия.
3.2. Задача квадратичного программирования с выпуклой целевой
функцией. Понятие о седловой точке. Связь задачи выпуклого программирования с задачей нахождения седловых точек.
3.3. Теория множителей Лагранжа и теорема Куна-Таккера. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа. Зависимость решения от
параметров.
3.4. Решение задачи об оптимальном портфеле ценных бумаг с помощью теоремы Куна-Таккера
3.5. Приближенные методы решения задач выпуклого программирования. Метод Франка-Вульфа для решения задач с линейными ограничениями.
3.6. Метод штрафных функций для ограничений равенств.
4. Динамическое программирование.
4.1. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана.
4.2. Задача о распределении средств между предприятиями. Непрерывный и дискретный случай.
4.3. Модели управления запасами. Статическая детерминированная
модель без дефицита и с дефицитом. Стохастические модели управления
запасами.
5. Задачи многокритериальной оптимизации.
5.1. Происхождение и постановка задачи многокритериальной оптимизации. Множество достижимых критериальных векторов. Доминирование и оптимальность по Парето. Эффективные решения и паретова граница.
5.2. Теорема Куна-Таккера в выпуклых задачах многокритериальной
оптимизации.
5.3. Игровой подход к задачам многокритериальной оптимизации.
Понятие игры. Стратегии. Цена игры.
5.4. Принятие решений в условиях риска. Игры с природой. Критерий
Байеса-Лапласа.
9
5.5. Принятие решений в условиях неопределенности. Критерии
Гурвица, Вальда, Сэвиджа.
5.2. Разделы дисциплины и виды занятий
Трудоёмкость в часах
№
п/
п
Наименование раздела (темы)
дисциплины
Всего
часов
Аудиторная работа
Общая
1
2
Введение в методы
оптимизации
Задачи целочисленного программирования
Лекции Семинары
Внеаудиторная (самостоятельная)
работа
Общая
12
6
2
4
6
20
8
2
6
12
3
Выпуклое программирование
25
12
4
8
13
4
Динамическое программирование
25
12
4
8
13
5
Многокритериальная оптимизация
26
13
5
8
13
Экзамен
36
-
-
-
36
Итого:
144
51
17
34
93
5.3. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми дисциплинами
№
Наименование обеспечиваемых дис-
10
Разделы
п/п
циплин базовой части
1
2
3
4
*
*
*
1
Эконометрика
*
2
Теория игр
Макроэкономическое планирование и
*
3
прогнозирование
*
5
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
4
Финансовый менеджмент
*
5
Финансовые рынки
*
*
*
*
6
Экономика фирмы
*
*
*
*
6. Практические (семинарские) занятия
Рабочая учебная программа дисциплины предусматривает 34 часа
аудиторных практических занятий (семинаров) (17 занятий по 2 аудиторных часа).
Подробная тематика семинаров (с указанием соответствующей самостоятельной работы, форм контроля и связи с тематикой лекций) представлена в приложении.
Структура практических занятий в общем такова:
1.
Проверка наличия выполненного задания самостоятельной ра-
2.
Выборочная проверка наличия и правильности выполнения до-
боты.
машнего задания.
3.
Разбор типичных ошибок, возникших в самостоятельной работе.
4.
Рассмотрение теоретических оснований для практики текущей
5.
Разбор практических методов и решение соответствующих за-
темы.
дач.
11
Корректировка заданий для самостоятельной работы студентов.
6.
На некоторых практических занятиях вместо пп. 4 - 6 проводится
аудиторная контрольная работа (см. приложение).
7. Самостоятельная работа
Самостоятельная работа студентов по дисциплине состоит из 8 заданий, соответствующих каждой лекции. Подробный перечень заданий для
самостоятельной работы (с тематической связью аудиторных занятий,
формами контроля и рекомендуемой учебно-методической литературой)
приведен в приложении.
Внеаудиторными формами и инструментами самостоятельной работы студентов по дисциплине являются:
 выполнение домашних заданий (практических и теоретических);
 выполнение домашних контрольных работ (как средство подготовки
к аудиторным контрольным работам);
 подготовка к практическим занятиям как работа с лекционным материалом;
 подготовка к экзамену.
8. Контрольные вопросы и системы оценивания
В качестве оценочных средств программой дисциплины предусматривается:
 текущий контроль (аудиторные контрольные работы, домашние контрольные работы, домашние задания);
 промежуточный контроль (экзамен);
12
Итоговая оценка данной части дисциплины проставляется по 100бальной системе:
- неудовлетворительно – менее 51 балла;
- удовлетворительно – от 51 до 69 баллов;
- хорошо – от 70 до 85 баллов;
- отлично – 86 баллов и выше;
и формируется:
- аттестационными баллами семестра (20)
- экзаменационным баллом (80)
Аттестационный балл семестра складывается из баллов текущей «аттестации» в середине семестра (10) и баллами второй половины семестра
«работа в году» (10), каждый из которых учитывает успешность работы
студента в семестре (выполнение домашних заданий, аудиторных и домашних контрольных работ, выступления у доски).
Экзаменационные требования (теоретические вопросы и практические задания) изложены в [14].
9. Учебно-методическое
и информационное обеспечение дисциплины
Рекомендуемая литература
а) основная
1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра
И.Г. Математика в экономике. Ч.2. Математический анализ. Финансы и
статистика, 2007.
2. Ягодовский П.В. Функции нескольких переменных. Учебное пособие для подготовки бакалавров. М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, 2009.
13
3. Винюков И.А., Попов В.Ю., Пчелинцев С.В. Линейное программирование. Учебное пособие для подготовки бакалавров. М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, 2009.
4. Бабайцев В.А. и др. Сборник задач по курсу математики. Под
редакцией А.С. Солодовникова и А.В. Браилова. М.: Финансовая академия
при Правительстве РФ, 2001.
5. В.М. Гончаренко, В.Ю. Попов. Экономические приложения линейного программирования. Учебное пособие. М.: Финансовая академия
при Правительстве РФ, 2003.
6. Гончаренко В.М. Математические модели и методы исследования операций. Руководство к решению задач. М.: Финансовая академия
при Правительстве РФ, 2006.
7. Солодовников А.С. Динамическое программирование. Лекции по
курсу «Математические модели и методы исследования операции». М.:
Финансовая академия при Правительстве РФ, 2003.
8. Акулич И.Л. Математическое программирования в примерах и
задачах. М.: Высшая школа, 1993.
9. Бабайцев В.А., Гисин В.Б., Рябов П.Е. Математические методы финансового анализа. Руководство к решению задач. М.: Финансовая
академия при Правительстве РФ, 2003.
б) дополнительная:
10. Колемаев В.А. Математические методы и модели исследования операций. Учебник. М.: ЮНИТИ, 2008.
11. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и
экономическая теория. М.: Айрис-Пресс, 2002.
14
12. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. М.: ЮНИТИ, 1997.
13. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении
экономикой и бизнесом. М.: Издательство «Дело», 2001.
14. Гончаренко В.М., Набатова Д.С., Попов В.Ю. Вопросы и задачи по дисциплине «Методы оптимизации». Учебное издание для студентов бакалавриата по направлению «Экономика». М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2010.
15
10. Приложение
Учебно-методическая карта дисциплины
"Методы оптимизации"
Наименование
раздела
Введение в методы
оптимизации:
2ч. лекций,
4 ч. практические
занятия
12 ч. самостоятельной работы.
Задачи целочисленного программирования:
2 ч. лекций,
3 ч. практические
занятия
20 ч. самостоятельной работы.
№
Содержание лекций
1
Постановка задачи оптимизации. Классификация
задач. Понятие локального и глобального экстремума ФМП. Необходимые и достаточные условия
существования локального экстремума ФМП.
Критерий Сильвестра проверки достаточных
условий.
2
Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры (задача о назначениях, задача о
коммивояжере и т.п.). Метод ветвей и границ.
Содержание семинаров
Практическое занятие по
теме лекций № 1
[2] § 2.2 – 2.6.
Приближенные
методы
определения локального
экстремума ФМП. 1 и 2-го
порядка. Метод наискорейшего спуска. Метод
Ньютона.
Решение задач линейного
программирования с помощью
двойственного
симплекс метода.
[3] § 2.4.
Графический метод и метод Гомори решения задачи целочисленного программирования.
[6] § 3.3.
Метод ветвей и границ
[10] § 5.6
16
Самостоятельная работа
Вид контроля
Поиск экстремумов
функций с помощью
приближенных методов.
Контроль наличия и выборочная проверка домашнего задания.
Метод ветвей и границ
решения задач целочисленного программирования
Контроль наличия и выборочная проверка домашнего задания.
Выпуклое программирование:
4 ч. лекций,
8 ч. практические
занятия
25 ч. самостоятельной работы.
3
4
Динамическое
программирование
4 ч. лекций,
8 ч. практические
занятия,
25 ч. самостоятельной работы.
5
Постановка задачи выпуклого программирования.
Условия регулярности. Необходимые условия оптимальности (условия Куна-Таккера). Достаточные
условия. Понятие о седловой точке. Связь задачи
выпуклого программирования с задачей нахождения седловых точек.
Теория множителей Лагранжа и теорема КунаТаккера. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа. Зависимость решения от параметров.
Метод динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана.
Решение задач с помощью
теоремы Куна-Таккера
[3] § 4.5
Контрольная работа № 1
Связь задачи выпуклого
программирования с задачей нахождения седловых
точек.
Решение задачи об оптимальном портфеле ценных
бумаг с помощью теоремы
Куна-Таккера.
[9] § 6
Приближенные
методы
выпуклого программирования. Метод ФранкаВульфа для задачи с линейными ограничениями.
Метод штрафных функций
для ограничений-равенств.
[9] §7
Задача о распределении
средств между предприятиями (непрерывный случай)
[7] § 5.2
Задача о распределении
средств между предприятиями (дискретный случай)
[8] § 4-6.
17
Домашняя контрольная работа №1.
Домашняя контрольная работа №2.
Методы динамического программирования.
Уравнение Беллмана.
Проверка домашней
контрольной работы №1
Проверка домашней
контрольной работы №2.
Контроль наличия и выборочная проверка домашнего задания.
6
Многокритериальная оптимизация
5 ч. лекций,
8 ч. практические
занятия,
26 ч. самостоятельной работы.
7
8
Задача о замене оборудования. Графическое решение. То же для функций,
заданных таблично.
[12] §12
Статическая детерминированная модель с дефицитом. Стохастические модели. Решение задач.
[12] §12
Модели управления запасами. Статическая детерминированная модель без дефицита и с дефицитом. Стохастические модели управления запасами.
Происхождение и постановка задачи многокритериальной оптимизации. Множество достижимых
критериальных векторов. Доминирование и оптимальность по Парето. Эффективные решения и паретова граница. Теорема Куна-Таккера в выпуклых
задачах многокритериальной оптимизации.
Игровой подход к задачам многокритериальной
оптимизации. Понятие игры. Стратегии. Цена игры. Принятие решений в условиях риска. Игры с
природой. Критерий Байеса-Лапласа.Принятие решений в условиях неопределенности. Критерии
Гурвица, Вальда, Сэвиджа.
Доминирование и оптимальность по Парето
[10] § 4.1-4.3
Выпуклые задачи многокритериальной оптимизации.
Контрольная работа №3.
Определение оптимальной
стратегии предприятия в
условиях рисков. Игры с
природой. Решение задач.
[13] §22
Принятие решений в условиях неопределенности.
Задачи распределения инвестиций. .
[13] § 23
Принятие решений в условиях неопределенности.
Задачи распределения инвестиций. .[13] § 23
9
Обзорная лекция
18
Задачи на определение
оптимальных сроков
замены оборудования.
Контроль наличия и выборочная проверка домашнего задания.
Домашняя контрольная работа №3.
Проверка домашней
контрольной работы №3
Задачи распределения
инвестиций в условиях неопределенности
Контроль наличия и выборочная проверка домашнего задания.