Расчет эффекта пула ипотек.

Расчет эффекта пула ипотек
Ерешко А.Ф.
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
Введение
Объемы жилищных инвестиций составляют существенную часть внутреннего
валового продукта в развитых и развивающихся странах [1-3] Это объясняется тем, что
жилищное кредитование, при котором финансовые институты вкладывают депозитные
средства в жилищные кредиты и жилищное строительство, постоянно не убывает. Для
стран с переходной (к смешанной), экономикой, кроме того, как отмечается в [1,2],
жилищное кредитование играет большую роль в процессе формирования кредитных
историй граждан, составляя благоприятный фон для развития рыночных отношений.
Особую роль в жилищном кредитовании играет ипотечное кредитование, - особая форма
кредита под залог приобретаемого актива. В тех странах (США, Великобритания, и др.),
где первоначальный этап формирования кредитных отношений завершился, широко
развит рынок ценных бумаг, связанный с ипотечным кредитованием [3].
Во всех формах ипотечного кредитования, ключевой идеей является принцип
использования актива экономическим агентом до полной его оплаты при условии его
залога и выплаты финансовых средств, полученных в кредит, до полной оплаты
приобретаемого актива. Таким образом экономический агент сокращает время ожидания
до потребления актива, но увеличивает собственные расходы на его приобретение.
Очевидно, что многообразные факторы, сопутствующие процессу получения кредитов и
его возврату требуют соответствующего вычислительного арсенала. С точки зрения
банков – это обычный кредит с достаточной гарантией, для потребителя – возможность
досрочного обладания активом. Для всех участников процесса весьма важно оценить
соотнесение уровня потребления актива для агента и прибыли от операции для кредитной
организации и риска операции. При этом риск тоже различен для каждого участника, но
методы оценки, базирующиеся на формальных моделях и вычислительных методах
остаются едиными.
Данная работа посвящена разработке одного из возможных методов расчета
преимуществ объединения в коалицию участников, желающих увеличить выгоды от
приобретения актива и уменьшения рисков от их обладания
Обозначим номера агентов k  1,...K , время принимает дискретные значения
t  1,..., T .
Независимое поведение экономических агентов
Мы рассмотрим ситуацию, когда экономический агент функционирует в свободной
экономической среде и имеет возможность свободного финансового выбора при желании
приобрести жилье. Положим, что рынок предлагает агенту набор договоров со
следующими условиями: на первом этапе происходит накопление средств на счету агента
с заданным ставками процентов на депозит, затем через фиксированное число шагов агент
получает возможность получить в пользование жилье и заключает договор на получение
кредита для приобретение данного жилья, и принимает на себя условия по возврату
полученного кредита.
Введем соответствующие обозначения.
t k1 – момент начала депозитного договора агента номера k с банком,
z tk – процентные ставки на депозитный вклад агента k в момент t ,
d tk – вклады агента k в моменты времени t ,
2
Dtk2 – накопленная сумма на депозите агентом k в момент t  tk2 ,
k
Dtk1  Dtk (1  0.01z tk )  d tk , t  1,..., tk2  1
t k2 – момент передачи жилья в пользование агента, начало кредитного договора,
Ctk2 – величина получаемого кредита = H t 2 (стоимость приобретаемого жилья) – Dt 2
k
k
k
(накопленная сумма на депозитном счете).
gtk – процентные ставки на полученный агентом кредит,
ctk – выплаты кредита по аннуитетной схеме,
t k3 – момент времени завершения участником выплат по кредиту и получения жилья
в собственность
Таким образом, возможности и обязательства агента определяются набором
следующих параметров: {tk1 , tk2 , tk3 , d tk , ctk } .
Модель Кооператива
Теперь рассмотрим ситуацию, когда агенты объединяют свои возможности и
обязательства в целях улучшения своего положения. Основаниями такого улучшения
может быть возможность для некоторых членов объединения (коалиции) воспользоваться
средствами, собранными на других счетах. Эта возможность, естественно, не должна
допускать возможности ущемлять положение других участников, поскольку основной
принцип объединения, как это формулируется в теории игр, состоит в том, что существует
уровень выигрыша участника (максмин), который он может обеспечит себе в любой
момент, и это должно быть закреплено в условиях договоров по вхождению в коалицию и
неукоснительно соблюдаться на уровне законов страны. Возможность нарушения условий
договоров относится к уровню страновых рисков.
Будем предполагать, что объединение в организационном плане состоит в создании
независимого юридического лица – Кооператива, который объединяет и решает задачу
максимизации собственного капитала Кооператива при условии удовлетворения
устремлений участников коалиции, направленных на сокращение сроков ожидания
получения жилья и на уменьшение дополнительных затрат на получение жилья, которые
проистекают от необходимости оплаты процентов за кредит.
Итак, модель Кооператива есть объединение времен вхождения в коалицию и
потоков платежей участников. Эти параметры являются фиксированными внешними для
коалиции величинами. Параметрами задачи, возможными к изменению, являются ставки
по процентам.
Объединяя вклады участников до получения ими в пользование жилья, Кооператив
может (и должен) размещать эти суммарные средства на депозитных счетах Кооператива
в банках по ставкам не меньшим, чем при индивидуальном поведении участников.
Поскольку эти средства более значительны, чем каждый индивидуальный вклад, то
возможны ситуации, когда банки согласятся принимать вклады Кооператива по более
высокой ставке. Тогда это станет первым источником выгоды от вхождения в коалицию.
В те же моменты, что и при индивидуальном поведении, участник получает в пользование
жилье от Кооператива, которое он приобретает для участника на внешнем рынке.
Естественно, для этих операций Кооператив при необходимости будет прибегать к
заимствованию на внешнем рынке. Будем предполагать, что рынок предлагает некоторый
фиксированный набор кредитных договоров L , отличающихся продолжительностью и
ставками процентов.
Расчеты аннуитетных платежей для этих договоров будем осуществлять по
стандартной схеме.
3
Пусть Ctk2 – размер кредита, выданного участнику k в момент t k2 на n шагов по ставке g tk
k
в процентах, тогда ctk – размер аннуитетных выплат, рассчитывается по формуле:
(1  0.01  gtk ) n
.
k
(1  0.01  gtk ) n  1
Вторым источником привлекательности коалиции для участников может служить
уменьшение процентов по кредитам, что выразится в уменьшении потоков аннуитетных
платежей участников на этапе после получения жилья в пользование до полной оплаты
расходов и получения жилья в собственность. В вычислительных экспериментах расчет
аннуитетных платежей членов Кооператива будет производиться на основе внутренних
ставок, которые желательно получать меньше, чем на внешнем рынке.
Именно учет этого эффекта и составляет предмет исследований данной статьи.
Выпишем теперь соответствующие соотношения.
Полагаем, что T  L , K  L
Динамику финансовых средств компании запишем в виде:
ctk  Ctk2  0.01  gtk 
L
L
St  St 1  f t  t   Ctl  
l 1
t 1
 g C  cf

l
l
l 1  t  l
t
 Ht ,
или
L
L
 St 1  St  f t  t   Ctl  
l 1
t 1
 g C  cf

l
l 1  t  l
l
t
 Ht ,
при L  t  T  L .
Lt
L
t 1
 St 1  St  ft  t   Ctl    g l Cl  cft  H t ,
l 1
l 1   t  l
при 1  t  L , S0  0 , Lt  t .
L
LT t t 1
 St 1  St  ft  t   Ctl    g l Cl  cft  H t ,
l 1
l 1   t  l
при T  L  t  T , Lt  T  t .
здесь St – финансовые средства Кооператива в кассе и на расчетном счете,
f t – объем изъятия с депозитного счета Кооператива,
t – объем доразмещения средств на депозитном счете Кооператива
Ctl – объем средств, взятых Кооперативом в кредит по l -му договору, l  1,..., L
Кредит Ctl порождает в последующие моменты времени t  tl , tl  1,..., l выплаты в
суммах равных Ctl g l .
Поток платежей k -го участника выглядит следующим образом:
 0,1  t  tk1
 k 1
2
d t , t k  t  t k
cf t   k 2
, где
3
 ct , tk  t  tk
 0, tk3  t  T
t k1 – момент времени заключения договора участника с Кооперативом,
t k2 – момент времени завершения периода накопления средств участника
t k3 – момент времени завершения участником выплат после получения жилья в
пользование и получения жилья в собственность.
4
Динамика средств на депозитном счете компании во внешнем банке запишется в
виде:
Dt  (1  zt 1 ) Dt 1  ft  t ,
или для матричной записи:
 (1  zt 1 ) Dt 1  Dt  ft  t  0 , где zt – процентная ставка на депозитный вклад
кооперативу.
Ограничения на выбор f t и t :
ft  Dt  0
t  S t  0
Функционал задачи относится к конечному финансовому состоянию компании:
(c, x)  ST  DT  max
Представление в матричной форме
Для решения сформулированной оптимизационной задачи можно применить
различные методы. В частности, вполне стандартно можно выписать соотношения
динамического программирования и построить алгоритмы переборного характера, как это
предложено в [5]. Так же вполне традиционно использовать методы решения задач
линейного программирования, учитывая их обширную проработанность и наличие
доступных стандартных библиотек.
Остановимся здесь на втором подходе. Для этих целей необходимо привести задачу
к стандартному виду задач линейного программирования:
В общем виде соотношение можно записать в виде:
Ax  b , где
x  {St , Dt , f t ,t , Ct1 ,..., CtL } , t  1,..., T
b  (cft  H t )
cf t – суммарный поток платежей участников компании
H t  0 , t  tk2 , H t 2 – стоимость квартиры k -го участника
k
(c, x)  ST  DT  max
Это приведение можно осуществить несколькими приемами. Один из них состоит в
том, чтобы последовательно исключить фазовые переменные из общих соотношений и
получить линейное выражение для конечного критерия
только с управляемыми
переменными: . При этом видоизменится форма ограничений. Прямой же путь состоит в
сохранении и фазовых и управляющих переменных и в табличном представлении общей
матрицы для динамических связей при простых ограничениях неотрицательности для
всех переменных задачи.
Фрагменты матрицы A представлены в приложениях 1,2.
Схема решения задачи
Воспользуемся приемом преобразования исходной оптимизационной задачи к задаче
поиска седловой точки функции Лагранжа и построения итеративных игровых методов.
Соотношения игрового метода, основанного на поиске седловой точки функции
Лагранжа имеют вид:
L( x, y )  (c, x)  y ( Ax  b) , x  X , y  Y ,
где X , Y – параллелепипеды, определяемые из условия совпадения решения исходной
задачи и поиска седловой точки функции Лагранжа и
x – исходные переменные,
y – двойственные переменные.
5
Итеративный алгоритм запишется в виде:
xn 1  xn   n xn , xn  ~
xn  xn ,  n  0 ,  n  0
yn  yn ,  n  0 ,  n  0 ,
yn 1  yn   n yn , yn  ~
~
где xn определяется из решения задачи max [(c  yn A) x] ,
x X
~
и y из решения задачи max [ y( Ax  b)] .
n
yY
Фрагменты данных задач имеют вид:
Для задачи max [(c  yn A) x] :
x X
[...  ( y
S
t ,n

 yt , n  ytS1, n ) St  ( ytD, n  ytf, n  ytD, n (1  zt )) Dt 
 ( ytS, n  ytD, n  ytf, n ) f t  ( ytS, n  ytD, n  yt, n )t  ...]  max
Для задачи max [ y( Ax  b)] :
yY
[...  ( y
S
t,n
 ytS1, n g 1 )Ct1  ( ytS, n  ytS1, n g 2  ytS 2, n g 2 )Ct2 
 ...  ( ytS, n  ytS1, n g l  ...  ytS l , n g l )Ctl  ( ytS, n  ytS1, n g L  ...  ytS L , n g L )CtL  ...]  max
при условиях:
0  St  S max , 0  Dt  D max , 0  ft  f max , 0  t   max , 0  Ctl
l  1,..., L
Заключение
Данная постановка предлагается для проведения расчетов как в момент организации
Кооператива, когда сформировалась последовательность вступлений членов, так и в
процессе функционирования для оценки эффекта пула для вновь поступающих членов.
Вычислительные эксперименты связаны с изменением ставки процентов для расчетов
аннуитетных платежей участников коалиции при неизменных кредитных ставках на
внешнем рынке и определением уровня самофинансирования Кооператива.
Предложенная модель и алгоритм вполне доступны для реализации на ПЭВМ.
Список использованных источников
1 Аверченко В., Весели Р., Наумов Г., Файкс Э., Эртл И. Принципы жилищного
кредитования. М.: Альпина Бизнес Букс, 2006. 261 с.
2 Полтерович В.М., Старков О.Ю. Проблема трансплантации ипотечных
институтов в переходных экономиках: роль стройсберкасс./ Препринт WP/2006/210. М.:
ЦЭМИ РАН, 2006. 91 с.
3 Маршалл М. Дж., Бансал В.К. Финансовая инженерия. Пер. с английского. М.:
Инфра-М, 1998. 784 с.
4 Итеративные методы в теории игр и программировании. Под ред. В.З.
Беленького и В.А. Волконского. М., 1974. 239 с.
5 Ерешко А.Ф. Принципиальная схема сеточного метода решения детерминированного
эквивалента стохастической задачи управления портфелем финансовых инструментов. Труды
ИСА РАН. //Динамика неоднородных систем. Выпуск 10(1) М: ИСА РАН, 2006. С.151-162.
6
Приложение 1.
Фрагмент матрицы A с кредитами Ctl , l  1,..., L для 4-ех шагов.
t4
t 3
C t1 4
C t2 4
C t3 4
C t4 4
1
1
1
1
g
1
t2
g
2
g
2
t 1
g
3
g
3
g
3
t
g
4
g
4
g
4
g
4
... C t13
C t23
C t33
C t43
...
... ... C t1
C t2
C t3
C t4
1
1
1
... ...
...
1
...
g
1
1
...
g
2
g
2
1
...
g
3
g
3
g
3
1
... ...
g
4
... ...
g
4
... ...
g
4
... ...
g
4
t 1
...
t2
...
... ...
t 3
...
... ...
t4
...
... ...
1
... ... g
1
g
2
3
g4
g3
g4
g3
g4
g
g2
g4
Приложение 2.
Фрагмент матрицы A связанный с переменными S t , Dt , f t ,  t , C t1 ,..., C tL .
St 1
Dt 1
1 1
ytS1 1
D
t 1
f
t 1

t 1
ft 1 t 1 Ct11 Ct21 ... CtL1 St
y
1
1
y
1
1
y
1
...
...
S
t
D
t
f
t

t
1
...
1
...
ft t Ct1 Ct2 ... CtL St 1 Dt 1 ft 1 t 1 Ct11 Ct21 ... CtL1
 1  1 ...  1
1
...
Dt
...
...
...
St 1
...
...
...
Dt 1
...
...
...
ft 1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
t 1
Ct11
Ct21
...
CtL1
St
Dt
ft
t
Ct1
Ct2
...
CtL
St 1
Dt 1
ft 1
t 1
Ct11
Ct21
...
CtL1
... ... ... ...
...
... ... ... ... ... ... ...
...
y
g
1
g
2
 (1  zt 1 )
... g
...
...
...
...
...
L
1
... ... ...
...
 1 1  1  1 ...  1
...
...
1
1 1
...
...
y
...
1
1
...
...
y
...
...
...
...
...
y
1
1
...
...
...
...
...
...
...
...
... ... ... ...
...
...
... ... ... ... ... ... ...
...
S
t 1
D
t 1
f
t 1

t 1
y
0
g
2
... g
y
...
y
y
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
L
1
1
2
g g ... g
 (1  zt )
...
... ... ...
...
L
1 1
1
 1  1 ...  1
1
...
1
1
...
...
1
1
...
...
...
...
...
...
...
...
... ... ... ...
...
...
1
... ... ... ... ... ... ...
...
...
1
...
...
...
...
...
... ... ...