Параллельные алгоритмы решения обратных задач

Е. Н Акимова, канд. физ.-мат. наук, В.В. Васин, чл.-корр. РАН
Институт математики и механики УрО РАН
(Россия, 620219, Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16,
тел.(343) 3753446, Е-mail: [email protected])
Параллельные алгоритмы решения обратных задач
гравиметрии и магнитометрии на МВС-1000 на основе
регуляризованного метода Ньютона
Аннотация. Для решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии о
восстановлении поверхности раздела между средами по реальным гравитационным и
магнитным данным предложены и численно реализованы на многопроцессорном
вычислительном комплексе МВС1000 параллельные алгоритмы на основе
регуляризованного метода Ньютона. Проведены доказательные вычисления сходимости
итерационного метода Ньютона при решении модельной обратной задачи гравиметрии.
Проведен анализ эффективности и ускорения параллельных алгоритмов, которые
значительно уменьшают время решения задач. Комплекс параллельных алгоритмов для
решения задачи гравиметрии размещен на разработанном специализированном Webсервере, установленном в ИММ УрО РАН. Работа выполнена при поддержке РФФИ,
проект № 06–01–00116.
Постановка задачи 1. Рассматривается трехмерная структурная обратная задача
гравиметрии о восстановлении поверхности раздела между средами
(геологической границы) по известному скачку плотности  ( x, y ) и гравитационному полю, измеренному на некоторой площади земной поверхности.
Предполагается, что нижнее полупространство состоит из двух или трех слоев
постоянной плотности, разделенных искомыми поверхностями S1 и S 2 .
В предположении, что гравитационная аномалия создана отклонением
искомой поверхности от S горизонтальной плоскости z  H , в декартовой
системе координат функция z  z ( x, y ) , описывающая искомую поверхность
раздела, удовлетворяет нелинейному двумерному интегральному уравнению
Фредгольма первого рода




1
1
A[ z ]  f    

dxdy   F ( x, y ),
1
1 
2
2
2
2
2
2
2 2 
a c   x  x








   y  y   z ( x , y )   x  x    y  y   H  

b d
(1)
f  гравитационная постоянная,   скачок плотности на границе раздела
где
сред, F ( x, y )  аномальное гравитационное поле, z  H  асимптотическая плоскость для данной геологической границы.
Постановка задачи 2. Рассматривается трехмерная структурная обратная задача
магнитометрии по численному восстановлению разделяющей поверхности сред
(геологической границы) на основе данных о магнитном поле, измеренном на
некоторой площади земной поверхности, и скачке вектора намагниченности.
Функция z  z ( x, y ), описывающая искомую поверхность раздела, удовлетворяет
1
нелинейному двумерному интегральному уравнению Фредгольма первого рода




z ( x, y)
H
B[ z ]  J   

dxdy  G ( x, y),
3
3 
2
2
2
2
2
2
2
2
a c   x  x

   y  y  z ( x, y)  x  x   y  y  H  

(2)
где J  скачок вертикальной компоненты вектора намагниченности, G ( x, y ) 
b d
аномальное магнитное поле, обусловленное отклонением искомой поверхности
от асимптотической плоскости z   H .
Предварительная обработка гравитационных либо магнитных данных,
связанная с выделением аномального поля (т.е. получение правых частей
уравнений (1)  (2)), выполняется по методике [1], разработанной П.С. Мартышко
и И.Л. Пруткиным (Институт геофизики УрО РАН).
Уравнения гравиметрии и магнитометрии являются существенно
некорректными задачами, решения которых обладает сильной чувствительностью
к погрешностям правых частей,
полученных в результате измерений и
предварительной обработки геофизических данных.
После дискретизации уравнений (1), (2) на сетке n  M  N , где заданы
правые части F ( x, y ) и G ( x, y ) , и аппроксимации интегральных операторов A и
B по квадратурным формулам имеем системы нелинейных уравнений
An [ z ]  Fn .
(3)
Для решения нелинейных уравнений вида (3) используется итеративно
регуляризованный метод Ньютона, успешно применяемый при решении обратных
задач гравиметрии и магнитометрии с реальными данными [2][3]
z k 1  z k   An  z k    k I   An  z k    k z k  Fn  .
1
(4)
k
Здесь An  z  , Fn  конечномерные аппроксимации интегральных операторов и
правых частей в (1)  (2), A 'n ( z k )  производная Фреше оператора A в точке z k ,
 k  последовательность параметров регуляризации. Нахождение очередного
приближения z k 1 по найденному z k сводится к решению СЛАУ
Ank z k 1  Fnk ,
где A  An  z    k I  плохо обусловленная несимметричная заполненная n  n
матрица, Fnk  Ank z k   An  z k    k z k  Fn   вектор размерности n .
k
n
(5)
k


Элементы доказательных вычислений сходимости метода Ньютона при
решении задачи гравиметрии. Как показал тщательный анализ, при подходящем выборе начального приближения z 0 и параметров регуляризации  k при
решении задачи гравиметрии на некотором шаге k фактически выполняются (в
итерационных точках) условия сходимости одного из вариантов теоремы Ньютона-Канторовича [4]  [6], что влечет практическую сходимость метода Ньютона.
Теорема 1. [4]. Пусть z *  решения уравнения F ( z )  A[ z ]  F ( x, y)  0.
Пусть  a  {z : z  z *  a} и при некоторых a, a1 , a2 , 0  a, 0  a1 , a2  
1. F '( z ) 1  a1 при z a .
выполнены условия:
2. F ( z1 )  F ( z2 )  F '( z2 )( z1  z2 )  a2 z2  z1 при z1 , z2  a .
Тогда при условиях 1,2 и z 0  b  {z : z  z *  b}, b  min (a, c 1 ), c  a1  a2
процесс Ньютона сходится с оценкой погрешности

z k  z *  с 1 с z 0  z *
2

2k
.
Проведем доказательные вычисления сходимости метода Ньютона при
решении модельной задачи гравиметрии по теореме 1.
Идея доказательных вычислений принадлежит К.И. Бабенко [7].
Условия теоремы 1 проверялись в итерационных точках k  1, 2,... при
решении модельной задачи гравиметрии для некоторой области S : 50  60 км2 .
hx  0.5, hy  2 км  шаги сетки,   0.5 г / см3  скачок плотности на
поверхности раздела, f  6.67 108 cм3 / г  c 2  гравитационная постоянная, H  5 км.
Синтетическое гравитационное поле F ( x, y ) определялось путем решения
прямой задачи гравиметрии (1) для некоторой исходной поверхности раздела с
добавлением случайного шума z ( x, y )  5  (4 /  ) arctg (2 x / 5  10)  sin( y / 30).
Заметим, что в данной задаче модельные данные приближены к реальным.
Пусть z *  решение уравнения F ( z )  0, z k  решение на текущей итерации
уравнения F ( z )  A[ z ]  F ( x, y)   z  0. Введем обозначения:
a1 (k )  F '( z k )1  1/ min  ( Ank )T Ank  , a2 (k )  F ( z* )  F ( z k )  F '( z k )( z*  z k ) / z k  z * ,
a  max z k  z * , c 1  max{(a1 (k )  a2 (k )) 1}, b  min (a, c 1 ).
Тогда, при подходящем выборе начального приближения z 0  (0.1, H  H / 2)
и параметра регуляризации  начиная с некоторого k имеем значения констант
a, a1 , a2 , c, b, удовлетворяющие условиям теоремы 1 о сходимости метода.
Имеем z 0  z *  b, ..., z k  z *  b, z k 1  z *  b.
2
В случае z 0  H справедлива оценка H  z *  z 0  z *  b.
Приведем примеры выбора начального приближения.
1. z 0  H  5, z 0  241.8,   2.5, a1 (k )  F '( z k ) 1  0.64,
a  max z k  z *  97.32, c 1  max{(a1 (k )  a2 (k )) 1}  97.47, b  97.32.
2. z 0  3, z 0  236.9,   2.5, a1 ( k )  F '( z k ) 1  0.64,
a  max z k  z *  147.3, c 1  max{(a1 (k )  a2 (k )) 1}  95.5, b  95.5.
3. z 0  7, z 0  145.76,   2.5, a1 (k )  F '( z k ) 1  0.64,
a  max z k  z *  276.2, c 1  max{(a1 (k )  a2 (k )) 1}  95.6, b  95.6.
4. z 0  0.3,
z 0  103.0,   2.5, a1 (k )  F '( z k ) 1  0.64,
a  max z k  z *  276.2, c 1  max{(a1 (k )  a2 (k )) 1}  96.2, b  96.2.
Следовательно, условия теоремы 1 выполняются в итерационных точках.
Теорема 2. [6]. Пусть выполняются неравенства
1. F '( z0 ) 1  m0 , F '( z0 ) 1 F ( z0 )  0 ;
2. F '( z1 )  F '( z2 )  N2 z1  z2 z1 , z2  B( z* , R).
1  1  2m00 N 2
1
,
 R, то уравнение F ( z )  0
2m0 N 2
m0 N 2
имеет решение z * , к которому сходится процесс Ньютона, т.е. z *  B ( z0 , R ),
и справедлива оценка z *  z  1  2m  N 2n , n  0,1,...
0
0 0 2
m0 N 2
Проведем доказательные вычисления сходимости метода Ньютона при
решении модельной задачи гравиметрии по теореме 2.
Вычислим константу N 2 для задачи гравиметрии (1). Обозначим
Тогда, если 0 
K ( x, y, x ', y ', z ( x ', y ')) 
Вычислим
1
 x  x 2   y  y 2  z 2 ( x, y) 


1

2
1
  x  x  2   y  y   2  H 2 


1
.
2
bd
b d

1
z 2 ( x ', y ')
F ''( z)  f  
dx
'
dy
'

dx 'dy ' .
2
2
2
3/ 2
2
2
2
5/ 2

[( x  x ')  ( y  y ')  z ( x ', y ')]
a c
 a c [( x  x ')  ( y  y ')  z ( x ', y ')]

3
Оценим
F '( z1 )  F '( z2 ) L  sup sup K z''2 ( x, y, x ', y ', z)  f   (b  a)1/ 2  (d  c)1/ 2  z1  z2 L .
2
2
1
 N2  sup sup K ( x, y, x ', y ', z )  f   (b  a)  (d  c) 
''
z12
1/ 2
1/ 2
2
1 1
 f   (b  a)1/ 2  (d  c)1/ 2   3  3   f   (b  a)1/ 2  ( d  c)1/ 2  3 .
z 
z
z
Условия теоремы 2 выполняются при выборе начального приближения,
достаточно близкого к точному решению.
Приведем примеры выбора начального приближения.
1
1. z0  zT  0.001, z0  237,   2.5. m0  F '( z0 )  0.57, F ( z0 )  0.8,
3
3
Для области S : 100  30 N 2  3  55  2 / z  330 / 3  12 
1  1  2m00 N 2 1  1  2  0.57  0.045 12
1
0  0.045 
 0.07,

 0.06  R.
2  0.57 12
m0 N 2
0.57 12
3
3
2. z0  zT  0.01,   2.5. Для области S : 16  5 N 2  3  9  2 / z  54 / 3  2 
0  0.43 
1  1  2m00 N 2 1  1  2  0.57  0.43  2
1
 0.44,

 0.75  R.
2  0.57  2
m0 N 2
0.57  2
Следовательно, условия теоремы 2 выполняются и процесс Ньютона сходится.
Методы решения СЛАУ и параллельная численная реализация.
На каждом шаге метода Ньютона (4) при решении СЛАУ (5) используются
прямые методы Гаусса или Гаусса-Жордана либо итерационные методы градиентного типа в регуляризованном варианте для СЛАУ с симметричной матрицей.
В случае применения итерационных методов система (5) приводится к виду
B k z k 1  ( Ank )T Ank   k' I  z k 1  ( Ank )T Gnk  b.
где ( Ank )T  транспонированная матрица,  k'  параметры регуляризации.
Для решения СЛАУ (6) используются следующие методы:
1. Итеративно регуляризованный метод простой итерации (МПИ)
1
z k 1  z k 
[( A   E ) z k  b],
(6)
(7)
max
где max  максимальное собственное значение матрицы A   E в симметричном
случае,   параметр регуляризации. max находится с помощью степенного метода.
2. Метод сопряженных градиентов в регуляризованном варианте (МСГ)
z k 1  z k   k ( B k z k  b)   k ( z k  z k 1 ),
(9)
где  k и  k вычисляются по известным формулам [8].
Условием останова итерационных процессов является B k z k 1  b / b   .
Численная реализация и распараллеливание алгоритмов для решения задач
гравиметрии
и
магнитометрии
выполнены
на
многопроцессорном
вычислительном комплексе МВС1000/32  российском массивнопараллельном
суперкомпьютере третьего поколения, состоящем из 16 двухпроцессорных
модулей Xeon 2,4 ГГц, 4 Гбайт оперативной памяти в каждом модуле, 40 Гбайт
жесткого диска и cетевых интерфейсов Fast Ethernet и Gigabit Ethernet.
Параллельные алгоритмы реализованы с помощью библиотеки MPI на
языке Фортран. Распараллеливание итерационных методов основано на разбиении
матриц A и B горизонтальными полосами на m блоков, а вектора решения z и
4
вектора правой части b СЛАУ на m частей так, что n  m  L , где n 
размерность системы уравнений, m  число процессоров, L  число строк
матрицы в блоке. На каждой итерации каждый из m процессоров вычисляет свою
часть вектора решения. Host-процессор отвечает за пересылки данных и
вычисляет свою часть вектора решения. В случае матричного умножения
AT A каждый из m процессоров умножает свою часть строк транспонированной
матрицы AT на всю матрицу A .
При распараллеливании методов типа Гаусса на каждом шаге каждый из
m процессоров исключает неизвестные из своей части L уравнений. Host
процессор выбирает ведущий элемент среди элементов строки, модифицирует
строку и рассылает ее остальным процессорам. При реализации процесса
исключения Гаусса (матрица СЛАУ приводится к верхнетреугольной) все
большее число процессоров постепенно начинает простаивать, т.к. с каждым
шагом число уравнений системы уменьшается на единицу. Это уменьшает
эффективность распараллеливания. При реализации метода Гаусса-Жордана
(матрица СЛАУ приводится к диагональной) все процессоры выполняют
вычисления со своей частью уравнений до конца. Время простоев уменьшается, и
эффективность распараллеливания увеличивается.
На многопроцессорном комплексе МВС1000/32 были решены задачи вида
(1)-(2) с реальными данными. Например, для одного рудного объекта был
обработан массив магнитных данных Оренбургской аномалии, измеренного на
площади 125 147.4 км2 с шагом x  1.25 км и y  2.2 км. Измерения
магнитного поля для исследуемого района были выполнены сотрудником
Института геофизики УрО РАН В.А. Пьянковым. Расстояние до асимптотической
плоскости составляло H  6 км. Скачок намагниченности принимался равным
J =2 (А/м). После дискретизации исходного уравнения на сетке задача (2)
сводится к СЛАУ с несимметричной заполненной матрицей 6700  6700 . Задача
решалась итеративно регуляризованным методом Ньютона с числом итераций
N Н  7 и параметром регуляризации  k  0.5 . На каждом шаге метода Ньютона
использовались параллельные алгоритмы МПИ (с числом итераций N МПИ  5000 )
и МСГ (с числом итераций N МСГ  5 ). В ходе решения задачи (нахождения
функции z ( x, y ) ) относительная норма невязки уменьшилась в 70 раз.
На рис. 1 представлена восстановленная поверхность раздела S .
Рисунок 1: Восстановленная поверхность раздела S .
5
Оба итерационных метода (МПИ и МСГ) при подходящем выборе параметров регуляризации дают близкие результаты решения z ( x, y ) , что позволяет
говорить о хорошем качестве решения. Итоговые результаты были переданы
специалистам по прикладной геофизике для геологической интерпретации.
В табл. 1 приведены времена счета и коэффициенты ускорения Sm  T1 / Tm
и эффективности Em  Sm / m решения задачи магнитометрии о восстановлении
поверхности раздела между средами с использованием на каждом шаге метода
Ньютона параллельного и последовательного итеративно регуляризованного
метода простой итерации и метода сопряженных градиентов, соответственно.
Здесь Tm – время выполнения параллельного алгоритма на МВС1000 с числом
процессоров m (m  1), T1  время выполнения последовательного алгоритма на
одном процессоре. Tm представляет собой совокупность чистого времени счета и
накладных расходов на межпроцессорные обмены, т.е. Tm  Tc  To . В общем
случае эффективность распараллеливания меняется в пределах 0  Em  1 . В
идеальном случае при равномерной и сбалансированной загрузке процессоров и
минимальном времени обменов между ними значение Em близко к единице, но
при решении практических задач она уменьшается за счет накладных расходов.
Таблица 1. Метод Ньютона (N=7) с использованием МСГ или МПИ
m (число проц.)
Sm (ускорение)
Em (эффективность)
Tm (время, мин.)
МСГ / МПИ
МСГ / МПИ
МСГ / МПИ
1
2
4
5
10

1.41 / 1.49
2.49 / 2.74
2.93 / 3.31
4.50 / 5.55
103.15 / 174.86
73.06 / 117.42
41.40 / 63.76
35.22 / 52.83
22.91 / 31.51

0.71 / 0.74
0.62 / 0.69
0.59 / 0.66
0.45 / 0.55
Результаты вычислений показывают, что использование параллельных
алгоритмов при решении обратных геофизических задач существенно сокращает
время счета. Эффективность распараллеливания методов является достаточно
высокой и возрастает с увеличением числа точек сетки. Найденные поверхности
раздела согласуется с представлением геофизиков об исследуемых районах.
Список литературы
1. Мартышко П.С., Пруткин И.Л. Технология разделения источников гравитационного поля по глубине
// Геофизический журнал, 2003. Т. 25. № 3. С. 159168.
2. Akimova E.N., Vasin V.V. Stable parallel algorithms for solving the inverse gravimetry and magnetometry
problems //Journal for Engineering Modelling.  University of Split, Croatia, 2004. Vol. 17, No. 1. Pp. 316.
3. Акимова Е.Н., Васин В.В., Скорик Г.Г. Решение обратных задач магнитометрии и гравиметрии о
восстановлении разделяющей поверхности сред // Материалы 35–й сессии Международного
семинара им. Д.Г. Успенского – Ухта: УГТУ, 2008. С. 10–13.
4. Бахвалов Н.С. Численные методы  М.: Наука, 1973.
5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ  М.: Наука, 1977.
6. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения нерегулярных уравнений  М.:
ЛЕНАНД, 2006.
7. Бабенко К.И., Петрович В.Ю. Доказательные вычисления в задаче о существовании решения
удвоения // ДАН СССР, 1984. Т. 277. № 2. С. 265270.
8. Фаддеев В.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.  М.: Гос. издат. физ.  мат.
литературы, 1963.
6