27.03.03_vychislitelnaya_matematika

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебно-методической работе
________________ д.ф.н., проф. Елина Е.Г.
«__» ________________ 2014 г.
Рабочая программа дисциплины
Вычислительная математика
Направление подготовки
27.03.03 (220100) - СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И УПРАВЛЕНИЕ
Профиль подготовки
«Системный анализ и исследование операций»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов,
2014 год
1. Цели освоения дисциплины
Дисциплина «Вычислительная математика» посвящена изучению
основных методов вычислительной математики, а также уравнений в
частных производных, возникающих из рассмотрения некоторых важных
задач физики и механики. Цель курса – развить у студентов навыки
компьютерной реализации основных численных методов и разработки
вычислительных
алгоритмов
решения
задач,
возникающих
при
математическом моделировании физических процессов, таких как волновые
процессы, процессы теплопередачи и диффузии, стационарные процессы.
Преподавание дисциплины имеет целью подготовить студентов к
проведению вычислительных исследований по заданной методике и
системному анализу их результатов в контексте научно-исследовательской
деятельности.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Базовая часть математического и естественнонаучного цикла Б2.Б.6.
Дисциплина «Вычислительная математика» вместе с другими
базовыми курсами составляет платформу направления подготовки
«Системный анализ и управление». При изучении дисциплины необходимы
глубокие и прочные знания по основным разделам курса «Высшая
математика»: высшая алгебра, аналитическая геометрия, математический
анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения, теория функций
комплексного переменного.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины: ОК-10, ПК-1, ПК-8
- способность применять основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы
математического
анализа
и
моделирования,
теоретического
и
экспериментального исследования (ОК-10);
- способность применять аналитические, вычислительные и системноаналитические методы для решения прикладных задач в области управления
объектами техники, технологии, организационными системами, работать с
традиционными носителями информации, распределенными базами знаний
(ПК-1);
- способность принимать научно-обоснованные решения на основе
математики, физики, химии, информатики, экологии, методов системного
анализа и теории управления, осуществлять постановку и выполнять
эксперименты по проверке их корректности и эффективности (ПК-8).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
знать:
 основные численные методы решения задач алгебры, анализа и
дифференциальных уравнений;
 основные математические модели, описывающие физические
явления, приводящих к дифференциальным уравнениям в частных







производных, и соответствующих постановок задач математической
физики;
свойства решений и методы нахождения решений основных задач
математической физики.
уметь:
выбирать оптимальный численный метод для решения предложенной
задачи:
создавать компьютерные программы, реализующие основные
численные методы;
строить компьютерно ориентированные алгоритмы решения задач
математической физики.
владеть:
навыками получения решения предлагаемой задачи;
навыками графической демонстрации полученного решения;
навыками системного анализа полученных результатов.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 144 часа.
№
п/п
Раздел
дисциплины
Неделя
Семестр семестра
Раздел 1. Введение
Раздел 2.
Численные методы
решения задач
алгебры и анализа
3. Раздел 3.
Численные методы
решения
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
4. Раздел 4.
Численные методы
решения
дифференциальных
уравнений в
частных
производных
Промежуточная аттестация
Итого:
1.
2.
Виды учебной
работы, включая
самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в
часах)
Лекции
Лаб.
занятия
Самост.
работа
3
3
1-2
3-8
2
6
4
12
3
15
3
9-14
6
12
15
3
15-18
4
8
12
144
18
36
45
Формы
текущего
контроля
успеваемости
(по неделям
семестра)
Формы
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
Контрольная
работа
Экзамен
45
Раздел 1. Введение
Предмет и метод вычислительной математики математической физики.
Математическое моделирование и его роль в процессе познания, примеры.
Современные вычислительные средства и теория численных методов, их
связь и взаимное влияние. Математическая модель, этапы вычислительного
эксперимента.
Дискретизация, сетка, сеточная функция, вычислительный алгоритм,
требование к вычислительному алгоритму. Причины погрешности при
решении на ЭВМ. Корректно поставленная задача.
Раздел 2. Численные методы решения задач алгебры и анализа
Интерполяция и приближение функций. Постановка задачи.
Полиномиальная интерполяция. Теорема Вейерштрасса. Интерполяционный
многочлен Лагранжа.
Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы.
Погрешность квадратурных формул.
Численное дифференцирование, некорректность операции численного
дифференцирования. Простейшие разностные операторы. Погрешность
аппроксимации разностных операторов.
Численные методы решения систем линейных алгебраических
уравнений. Метод Гаусса. Метод квадратного корня. Метод прогонки для
трехдиагональных матриц. Итерационные методы, Метод простой итерации
и Зейделя.
Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений.
Метод простой итерации. Метод Ньютона. Сходимость методов простой
итерации и Ньютона, скорость сходимость. Одномерный случай. Методы
секущих, касательных, дихотомии. Нахождение корней алгебраических
многочленов. Теоремы Лагранжа и Декарта.
Раздел 3. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений
Численные методы решения задачи Коши. Метод Эйлера, оценка
погрешности. Усовершенствованный метод Эйлера. Метод предикторкорректор. Метод Рунге-Кутта, оценка погрешности метода Рунге-Кутта,
наиболее употребительные алгоритмы. Многошаговые методы. Метод
Адамса, оценка погрешности метода Адамса. Правило Рунге оценка
погрешности.
Численные методы решения краевых задач для ОДУ. Метод пристрелки.
Метод неопределенных коэффициентов. Метод коллокации. Метод
моментов. Разностные методы решения краевых задач. Аппроксимация
краевой задачи. Построение разностной схемы Исследование разностной
схемы: существование и единственность решения.
Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация,
устойчивость, сходимость.
Раздел 4. Численные методы решения дифференциальных уравнений в
частных производных
Общие сведения об уравнениях математической физики. Построение
математических моделей физических задач и нахождение их приближенных
решений.
Краевая задача для одномерного волнового уравнения. Постановка
краевой задачи для одномерного волнового уравнения. Задача Коши для
уравнения теплопроводности. Постановка задачи Коши для уравнения
теплопроводности. Принцип максимума и минимума для решений уравнения
теплопроводности. Краевая задача для уравнения теплопроводности.
Построение разностных схем. Явные и неявные схемы. Методы исследования
их устойчивости.
Основные краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона.
Построение разностных схем. Аппроксимация дифференциального
уравнения и краевого условия. Принцип максимума. Устойчивость
разностной схемы, оценка погрешности и сходимость. Методы решения
разностной задачи. Метод матричной прогонки.
ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ
1. Приближенное нахождение функций заданных рядами.
2. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа.
3. Приближенное вычисление интегралов с помощью квадратурных
формул
прямоугольников,
трапеций,
Симпсона.
Сравнение
погрешностей.
4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
5. Решения нелинейных алгебраических уравнений.
6. Решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
7. Решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
8. Решение краевой задачи для одномерного волнового уравнения.
9. Решение
краевой
задачи
для
одномерного
уравнения
теплопроводности.
10.Решение краевой задачи для уравнения Пуассона в прямоугольной
области.
5. Образовательные технологии
Наряду со значимым объемом лекционного материала, читаемого
автором, содержащего базовую теоретическую часть, сопровождаемую
необходимым и полным набором демонстрационных примеров и задач, в
рамках курса дисциплины предполагается активное учебное взаимодействие
среди обучающихся посредством использования базы контрольных
материалов в виде разбора конкретных задач, персонифицированного
тренинга обучаемого, в том числе и с позиции формирования и развития
общекультурных и профессиональных навыков
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – 5
изд. М.: БИНОМ, 2008.
2. Абакумов М.В., Гулин А.В. Лекции по численным методам
математической физики. Учебное пособие. Москва: ООО "Научноиздательский центр ИНФРА-М", 2013.
http://znanium.com/go.php?id=364601
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Юрко В.А. Уравнения математической физики. Саратов, Изд-во Сарат.
ун-та, 2004.
2. Самарский А.А.. Теория разносных схем. – М., Наука, 1977.
3. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.:
Наука, 1977.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Учебная аудитория с обязательным наличием специализированной
доски, мела (маркера), проектора и пр., с возможностью размещения всех
обучающихся.
Компьютерный класс с достаточным числом рабочих мест для
проведения лабораторных занятий и наличием необходимого программного
обеспечения: язык программирования Turbo Pascal или C++.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению подготовки
27.03.03 – Системный анализ и управление
Автор:
C.А. Бутерин
__________________
Программа одобрена на заседании кафедры математической физики и
вычислительной математики от 21 марта 2014 года, протокол № 10.
Подписи:
Зав. кафедрой
В. А. Юрко
__________________
Декан механико-математического факультета:
А. М. Захаров
__________________
Декан факультета компьютерных наук и информационных технологий:
А.Г. Федорова __________________