Пояснительная записка.

Пояснительная записка.
В данной программе дано нестандартное изложение основных математических
понятий, позволяющее представить математику не как абстрактную науку, включающую
собрание отвлеченных формул, а как живую, необходимую для человека область знания.
Весь материал курса разделен на три части. Первая часть знакомит слушателей с
числовыми множествами и их обобщениями. Она охватывает аспекты науки о числе. В ней
изложены понятия и основные свойства известных числовых множеств и их обобщений кватернионов и октав. Рассмотрены: алгебра множеств, алгебра высказываний и основные
алгебраические структуры- группы, векторные пространства, кольца и алгебры.
Вторая часть посвящена изложению традиционного курса элементарной алгебры и
геометрии (без элементов мат.анализа). В ней рассмотрены основные принципы
дедуктивного построения математических дисциплин, исследования алгебраических
уравнений третьей и четвертой степени, элементов теории определителей, правила Кпамера
решения систем n линейных уравнений с n неизвестными, векторной алгебры и элементов
аналитической геометрии. Рассмотрены задачи конструктивной геометрии на плоскости.
В третьей части излагаются основные понятия теории функций, включая элементы
дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений и их
приложений к решению теоретических и прикладных задач. Заключительный, седьмой пункт
посвящен приложениям алгебры и теории функций к геометрическим преобразованиям на
плоскости. Рассмотрены различные группы преобразований и определяемые ими геометрии,
включая геометрию Лобачевского и геометрию Римана. Завершается часть изложением
Эрлангенской программы Клейна, сыгравшей большую роль в развитии математики.
Программа по курсу “Введение в математику“.
№
1.
2.
(4 ч/нед., всего 112ч).
Содержание.
К-во ч.
I.
Числа знакомые и незнакомые.
16 ч.
Натуральные числа.
1. Как возникло понятие числа.
2. Обозначение натуральных чисел
3. Позиционные и непозиционные системы счисления.
4. Как считали в Древнем Египте.
5. Божественная роль чисел в Древней Греции. Пифагорейская
школа.
6. Делимость чисел. Признаки делимости.
7. Формула Гаусса вычисления даты Православной Пасхи.
8. Как определить день и месяц рождения.
9. Простые числа. Теорема Чебышева. Многочлены Эйлера для
нахождения простых чисел.
10. Простые числа Мерсенна. Совершенные числа.
11. Дружественные числа.
12. Простые числа Ферма. Когда циркулем и линейкой можно
построить правильный многоугольник?
13. Фигурные числа.
14. Числа Фибоначчи.
15. Пифагоровы и героновы тройки натуральных чисел.
16. Магические квадраты. Числовая мистика.
17. Принцип математической индукции.
18. Что такое комбинаторика?
Действительные числа.
1. Множество целых чисел.
2. Рациональные числа.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
3. Цепные дроби. Линейные диофантовы уравнения.
4. Что такое действительное число?
5. Алгебраические и трансцендентные числа.
Комплексные и гиперкомплексные числа.
1. Комплексные числа и действия над ними.
2. Стереографическая проекция. Расширенная комплексная
плоскость. Инверсия.
3. Роль комплексных чисел в математике и физике.
4. Кватернионы.
5. Октавы.
Алгебраические структуры.
1. Алгебра множеств.
2. Алгебра высказываний.
3. Прямое произведение множеств. Арифметическое n-мерное
пространство.
4. Отношение эквивалентности на множестве. Фактор-множество.
5. Что такое алгебраическая структура?
6. Примеры алгебраических структур.
II. Алгебра и геометрия.
55 ч.
Основные понятия элементарной алгебры.
1. Алгебраические выражения и действия над ними.
2. Формулы сокращенного умножения. Бином Ньютона.
3. Степени и логарифмы.
4. Многочлены с одним неизвестным.
Системы линейных уравнений.
1. Симметрическая группа степени n.
2. Определители n-го порядка.
3. Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Правило Крамера.
Алгебраические уравнения высших степеней с одним
неизвестным.
1. Уравнения третьей степени. Формулы Кардано.
2. Уравнение четвертой степени. Метод Феррари.
3. Двучленные уравнения.
Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения
с одним неизвестным.
1. Иррациональные уравнения.
2. Показательные уравнения.
Логарифмические уравнения.
Математика как дедуктивная наука.
1. Основные принципы построения дедуктивной математической
теории.
2. Интерпретация математической теории.
3. Требования, предъявляемые к системе аксиом.
Основные понятия и теоремы элементарной геометрии.
1. Геометрия как дедуктивная математическая наука.
2. Основные фигуры планиметрии.
3. Некоторые теоремы планиметрии.
4. Основные фигуры стереометрии.
Некоторые теоремы стереометрии.
Векторная алгебра. Тригонометрия.
8.
9.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
2. Основные формулы тригонометрии.
3. тригонометрические уравнения.
4. Скалярное произведение векторов.
5. Векторное произведение двух векторов.
6. Смешанное произведение трех векторов.
Некоторые задачи аналитической геометрии.
1. Прямые и плоскости в пространстве.
2. Простейшие уравнения кривых второго порядка на плоскости.
3. Замечательные алгебраические кривые.
Задачи на построение циркулем и линейкой.
1. Что такое конструктивная геометрия?
2. Некоторые нестандартные задачи на построение.
3. Знаменитые задачи, не разрешаемые циркулем и линейкой.
III.
Функции в математике.
41 ч.
Числовые последовательности.
1. Понятие числовой последовательности. Числовые ряды.
2. Предел последовательности.
3. Число e
Основные функции и классификация числовых функций.
1. Понятие функции.
2. Предел функции.
3. Замечательные пределы.
4. Основные свойства функций.
5. Элементарные функции.
Производные и дифференциалы.
1. Понятие производной и ее геометрический смысл.
2. Правила дифференцирования функций.
3. Производные элементарных функций.
4. Понятие дифференциала функции.
5. Производные и дифференциалы высших порядков. Разложение
функций в степенные ряды.
6. Формула Эйлера.
7. Дифференцирование вектор-функции скалярного аргумента.
8. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
Огибающая семейства линий и поверхностей.
Исследование и построение графиков функций.
1. Асимптоты плоских кривых.
2. Основные преобразования графиков функций.
3. Построение графиков функций с использованием производной.
Интегралы и их роль в науке и технике.
1.Понятие неопределенного интеграла. Основные правила
интегрирования.
2. Интегрирование дробно-рациональных функций.
3. Способы интегрирования некоторых других классов функций.
4. Определенный интеграл и его свойства.
5. Приближенные вычисления определенных интегралов.
6. Приложение определенного интеграла к геометрии.
7. Приложение определенного интеграла к механике и физике.
Простейшие дифференциальные уравнения, их приложения и
способы интегрирования.
7.
1. Общая характеристика дифференциальных уравнений.
2. Основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка.
3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами.
4. Приложение дифференциальных уравнений к математике и
естественным наукам.
Группы преобразований.
1. Отображения множеств.
2. Понятие группы преобразований.
3. Понятие функции комплексного переменного. Конформные
отображения.
4. Дробно-линейные отображения на расширенной комплексной
плоскости. Интерпретация Пуанкаре планиметрии Лобачевского.
5. Группа движений на плоскости.
6. Группа аффинных преобразований на плоскости и ее подгруппы.
7.
Группа
проективных
преобразований
на
плоскости.
Гармоническая четверка точек на прямой.
8. Группа гиперболических движений на плоскости. Интерпретация
Кэли-Клейна планиметрии Лобачевского.
9. Что такое топология?
10. Понятие о римановой геометрии. Эрлангенская программа
Клейна.
Литература.
1. Адамар Ж. “Элементарная геометрия“
2. Антонов Н.П. “Сборник задач по элементарной математике“.
3. Аргунов Б.И., Балк М.Б. “Геометрические построения на плоскости“.
4. Барсуков А.Н. “Алгебра“.
5. Белл Э.Т. “Люди математики“.
6. Берман Г.Н. “Счет и число“.
7. Бибиков Ю.Н. “Курс обыкновенных дифференциальных уравнений“.
8. Богомолов С.А. “Введение в неевклидову геометрию Римана“.
9. Василевский А.В. “Методы решения геометрических задач“
10. Вересова Е.Е. и др. “Практикум по решению математических задач“
11. Гельфонд А.О. “Решение уравнений в целых числах“.
12. Герасимович А.И., Рысюк Н.А. “Математический анализ“.
13. Грэнвиль В. “Элементы дифференциального и интегрального исчисления“.
14. Дарбу Г. “Принципы аналитической геометрии“.
15. Депман И. “Совершенные числа“.
16. Кантор И.Л., Солодовников А.С. “Гиперкомплексные числа“.
17. Клейн Ф. “Элементарная математика с точки зрения высшей“.
18. Куваев М.Р. “Определение и доказательство в курсе высшей математики“.
19. Малаховский В.С. “Введение в математику“.
20. Малаховский Н.В. “Метод комплексных чисел в планиметрии“.
21. Норден А.П. “Элементарное введение в геометрию Лобачевского“.
22. Райхмист Р.Б. “Графики функций“.
23. Фихтенгольц Г.М. “Курс дифференциального и интегрального исчисления“.
24. Четверухин Н.Ф. “Проективная геометрия“.
25. Шувалов Э.З. и др. “Повторим математику“.
26. Щербаков Р.Н., Малаховский В.С. “Краткий курс аналитической геометрии“.