Геометрия - Основные образовательные программы ТюмГУ

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Ишиме
УТВЕРЖДАЮ
Директор филиала
______________ /Шилов С.П./
20.11.2014
ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика
очной формы обучения
1
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от 20.11.2014
Содержание: УМК по дисциплине Геометрия
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения
Автор(-ы): Ярославцева Ю.В.
Должность
Заведующий
кафедрой физикоматематических
дисциплин и
профессиональнотехнологического
образования
Председатель УМС
филиала ТюмГУ в
г.Ишиме
Начальник ОИБО
ФИО
Мамонтова
Т.С.
Дата
согласования
Результат
согласования
Примечание
16.10.2014
Рекомендовано
к электронному
изданию
Протокол заседания
кафедры от 16.10.2015
№2
Протокол заседания
УМС от 11.11.2015
№3
Поливаев
А.Г.
11.11.2014
Согласовано
Гудилова
Л.Б.
20.11.2014
Согласовано
2
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г. Ишиме
Кафедра физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования
Ярославцева Юлианна Викторовна
ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика
очной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
Ярославцева Ю.В. УМК по дисциплине Геометрия
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения.
Тюмень, 2014.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Геометрия
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная
деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и
профессионально-технологического образования.
Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР Мамонтова Т.С., к.п.н., доцент
Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой
© Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014.
© Ярославцева Ю.В., 2014.
4 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова"
УТВЕРЖДАЮ
Ректор ФГБОУ ВПО «ИГПИ
им. П.П. Ершова»
_______________ С.П. Шилов
«___» ______________ 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
СД.Ф.6 ГЕОМЕТРИЯ
050201.65 – Математика с дополнительной специальностью Физика
Ишим 2011
5 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
ПРИНЯТО
На заседании кафедры
математики, информатики и МП
Протокол № 2 от «20» октября 2011 г.
Зав. кафедрой
_______________
роспись
Т.С. Мамонтова
И.О.Ф. зав. кафедрой
ОДОБРЕНО
На заседании УМК факультета
Протокол № 2 от «22» октября 2011 г.
Председатель УМК
_______________ ____Е.В. Ермакова__
роспись
И.О.Ф. председателя
СОГЛАСОВАНО
«23» октября 2011 г.
Начальник ОИБО
_______________ ___Л.Б. Гудилова___
роспись
И.О.Ф. начальника ОИБО
ВВЕДЕНА В ДЕЙСТВИЕ с «1» ноября 2011 г.
РАЗРАБОТАНА __ассистентом Ю.В. Ярославцевой_________
(наименование структурного подразделения (ий), разработавшего (их) документ или руководитель рабочей
группы и ее члены)
РЕЦЕНЗЕНТЫ
_______к.п.н., ст. преподаватель М.В. Шустова______________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
_______к.п.н., доцент И.Ф. Кашлач_________________________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
Периодичность ПЕРЕСМОТРА – 1 раз в год
Программа составлена на основе ГОС ВПО «31» января 2005
Номер государственной регистрации729 пед/маг (новый)
6 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
Содержание
I. Программа дисциплины ……………………………………………………………………
1. Выписка из ГОС ВПО ………………………………………………………………
2. Введение……………………………………………….................................................
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины………....................
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины ……………………………..
2.3. Требования к организации дисциплины…………………………………...
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы ……………………………...
II. Содержание дисциплины …………………………………………………………….........
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий……………………………………
2. Материально-техническое оснащение дисциплины ……………………………
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов……………………
1. Организация аудиторной работы студентов ………………………………….....
1.1. Краткий курс лекций………………………………………………………..
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним…….
2. Организация самостоятельной работы студентов ……………………………...
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины………………………..……….
3.1. Основная литература………………………………………………………..
3.2. Дополнительная литература………………………………………………..
3.3. Электронные ресурсы ………………………………………………………
4. Методические рекомендации для преподавателя ………………………………
5. Методические рекомендации для студента ………………………………………
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля ………………………………
1. Варианты контрольных работ ……………………………………………………..
2. Вопросы к зачетам, экзамену……………………………………………………….
3. Темы рефератов ………………….……………………………………………….....
4. Темы выпускных квалификационных работ ……………………………………
V. Терминологический минимум …………………………………………………………….
1. Основные термины и понятия курса ……………………………………………..
4
4
4
4
4
5
5
6
6
11
12
12
12
12
25
25
25
25
26
26
26
27
27
33
39
39
41
41
7 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
I. Программа дисциплины
1. Выписка из ГОС ВПО
Векторы и операции над ними. Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямая
линия на плоскости, прямые и плоскости в пространстве. Линии второго порядка, поверхности
второго порядка. Преобразования плоскости и пространства. Аффинные и евклидовы n-мерные
пространства. Квадратичные формы и квадрики. Проективные пространства и их модели.
Основные факты проективной геометрии. Изображения плоских и пространственных фигур при
параллельном проектировании. Аксонометрия. Элементы топологии. Понятия гладкой линии и
гладкой поверхности. Формулы Френе. Первая и вторая квадратичные формы поверхности.
Внутренняя геометрия поверхности. Исторический обзор обоснований геометрии. «Начала»
Евклида. Элементы геометрии Лобачевского. Общие вопросы аксиоматики. Системы аксиом
Вейля евклидова пространства. Неевклидовы пространства. Длина отрезка. Площадь
многоугольника. Теорема существования и единственности.
2. Введение
Рабочая программа (РП) дисциплины «Геометрия» разрабатывалась на основе
требований ГОС ВПО в соответствии с нормативно-правовыми актами, учредительными и
нормативными документами ФГБОУ ВПО ИГПИ.
РП дисциплины «Геометрия» предназначена для студентов физико-математического
факультета педагогического института. РП включает планы практических занятий и
методические рекомендации к ним; вопросы (тесты) для самоконтроля; организацию СРС и ее
методическое обеспечение; материалы входного и итогового контроля; темы курсовых работ;
терминологический минимум (терминологический словарь).
Дисциплина «Геометрия» призвана решить задачу подготовки студентов физикоматематического факультета по специальности «Математика» к преподаванию математики в
средней общеобразовательной школе с учетом уровневой и профильной дифференциаций
математического образования.
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Геометрия» является обеспечение высокого
теоретического и практического уровня владения программного материала; обучение решению
геометрических задач различного уровня сложности и применению аппарата геометрии для
решения задач математических дисциплин, практических задач; приведение в систему знаний
школьного курса геометрии, освещение школьного курса с более высокой позиции; развитие
геометрического мышления и совершенствование владения «геометрическим» языком;
усвоение интегративных геометрических знаний в их единстве и взаимосвязи; формирование
геометрических, начально-методических умений будущего учителя математики.
Задачи преподавания и изучения дисциплины:
- ознакомление с историей развития и становления науки геометрии;
- формирование умений оперировать геометрическими определениями, теоремами,
суждениями;
- выработка навыков применения теоретических знаний, используя геометрические
методы;
- формирование логического, пространственного, геометрического мышления;
- формирование графической культуры.
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины.
После изучения дисциплины «Геометрия» студент
знает:
- основные понятия и методы геометрии;
- основные направления развития геометрии;
умеет:
- проводить исследование основных геометрических понятий;
- доказывать основные теоремы и суждения геометрии;
8 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
- решать математические задачи, различного уровня сложности, относящиеся к данному
курсу геометрии;
- применять геометрические методы к решению вузовских и школьных задач по
геометрии;
владеет:
- основными понятиями, теоремами школьного и вузовского курса геометрии;
- навыками работы с циркулем, линейкой и проведение простейших построений.
- культурой мышления; математической речи.
2.3. Требования к организации дисциплины
Дисциплина «Геометрия» предусматривает проведение лекций и практических занятий.
Она реализуется через систему индивидуальных заданий, самостоятельных и контрольных
работ.
Основное содержание лекций - изложение теоретических основ геометрии, а также их
иллюстрация примерами.
Практические занятия посвящаются, главным образом, решению задач по изученным
темам.
Самостоятельная работа студентов по геометрии осуществляется при подготовке к
практическим занятиям и при выполнении домашнего задания.
Контроль над самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в
виде домашних самостоятельных работ, аудиторных входных и итоговых контрольных работ,
зачетов и экзамена.
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Таблица 1
Вид учебной деятельности
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции (ЛК)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа
Курсовые, выпускные
квалификационные работы (КР, ВКР)
Вид итогового контроля
Всего
часов
398
222
114
108
176
Распределение по семестрам в часах
Семестр
I
II
III
IV
138
108
80
72
88
64
36
34
44
32
20
18
44
32
16
16
50
44
44
38
Экзамен
Зачет
Экзамен
Зачет
9 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
II. Содержание дисциплины
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий
I семестр, «Метод координат. Элементы векторной алгебры. Движения и преобразования»
Таблица 2
Объем в часах по видам занятий
№
Наименование разделов и тем
Всего
ЛК
ПР
СРС
1
Аналитическое задание множества на плоскости и в
12
4
2
6
пространстве
2
Прямая линия на плоскости
29
10
16
3
Контрольная работа № 1
4
4
3
Линии второго порядка. Кривые второго порядка
7
2
2
3
4
Полярные координаты
7
2
2
3
5
6
7
8
Контрольная работа №2
Векторы и операции над ними (координаты,
действия над векторами).
Домашняя самостоятельная работа
Скалярное, векторное и смешанное произведения
Контрольная работа № 3
Прямые и плоскости в пространстве. Метод
координат на плоскости и в пространстве.
Преобразования плоскости и пространства.
Контрольная работа № 4
Поверхности второго порядка.
4
10
6
14
4
30
4
7
3
4
4
3
5
6
16
10
6
3
4
4
2
4
3
2
1.
Аналитическое задание плоскости. Задание множеств на плоскости. Задание
множеств в пространстве. Приложение метода координат к школьному курсу геометрии.
Уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через
три точки. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Пучок
плоскостей. Полупространство.
2.
Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.
Расстояние от точки до прямой. Параметрические уравнения прямой. Пучок прямых.
Полуплоскость. Окружность. Уравнение прямой в пространстве. Канонические уравнения
прямой. Взаимное расположение двух прямых. Общее уравнение прямой. Взаимное
расположение прямой и плоскости.
3.
Эллипс. Определение. Каноническое уравнение эллипса. Исследование формы
эллипса. Директрисы эллипса. Гипербола. Определение и каноническое уравнение гиперболы.
Исследование формы гиперболы. Парабола. Определение и уравнение параболы.
4.
Полярные координаты. Полярная система координат. Уравнение эллипса,
гиперболы и параболы в полярных координатах.
5.
Понятие вектора. Направленные отрезки. Определение вектора. Действия над
векторами. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Линейная зависимость векторов
Координаты вектора. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Координаты вектора на
плоскости и пространстве. Ориентация тройки векторов. Приложение векторного метода к
школьному курсу геометрии.
6.
Скалярное произведение векторов. Определение и свойства скалярного
произведения на плоскости и пространстве. Вычисление скалярного произведения. Векторное
произведение. Определение и свойства векторного произведения. Вычисление векторного
произведения. Смешанное произведение векторов. Определение и свойства смешанного
произведения. Вычисление смешанного произведения.
10 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
7.
Преобразования декартовых координат Параллельный перенос осей. Замена
базиса. Общий случай преобразования координат. Движения. Параллельный перенос
плоскости. Определение и свойства параллельного переноса плоскости. Параллельный перенос
как композиция двух осевых симметрий. Метод параллельного переноса. Поворот плоскости.
Определение поворота и теоремы о его задании. Коммутативность поворотов вокруг одной
точки. Угол поворота. Разложение поворота на композицию симметрии. Метод поворота.
Центральная симметрия. Метод симметрии. Классификация движений плоскости. Движения
первого и второго рода. Классификация движений плоскости. Движения пространства.
Определение и общие свойства. Теорема подвижности. Виды движения пространства.
Симметрия относительно плоскости. Параллельный перенос пространства. Поворот
пространства вокруг прямой. Классификация движений пространства. Движения первого и
второго рода. Классификация движений пространства первого рода. Классификация движений
пространства второго рода. Движение фигур.
8.
Цилиндры, конусы, фигуры вращения. Цилиндр. Конус. Фигуры вращения.
Поверхности вращения. Эллипсоид. Гиперболоиды. Эллиптический и гиперболический
параболоиды. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
II семестр, «Конструктивная геометрия. Измерение величин. Геометрия Лобачевского»
Таблица 3
Виды занятий
Содержание темы
Всего
ЛК
ПР
СРС
Конструктивная геометрия. Задачи на построение
24
4
18
2
Контрольная работа № 5
2
2
Изображения плоских и пространственных фигур при
5
1
2
2
параллельном проектировании. Изображение фигур на
плоскости и в пространстве
Изображение сечений многогранников
5
1
2
2
Контрольная работа № 6
2
2
Общие
основы
аксиоматики.
Аксиоматическое
4
2
2
построение геометрии. Исторический обзор обоснований
геометрии. «Начала» Евклида.
Аксиоматический
метод
построения
геометрии.
4
2
2
Основные понятия, аксиомы. Следствия из аксиом
Системы аксиом Вейля евклидова пространства.
3
1
2
Аксиоматика Гильберта.
4
2
2
Длина отрезка. Измерение отрезков и углов
5
1
2
2
Площадь многоугольника. Теорема существования и
6
1
3
2
единственности.
Объем многоугольных тел
5
1
2
2
Равновеликость и равносоставленность.
3
1
2
Обзор аксиоматик школьных курсов геометрии.
3
1
2
Контрольная работа № 7
2
2
Элементы геометрии Лобачевского. Пятый постулат.
4
2
2
Система аксиом планиметрии Лобачевского.
4
2
2
Параллельные и расходящиеся прямые.
6
2
2
2
Эквидистанта и орицикл
6
3
1
2
Непротиворечивость планиметрии Лобачевского
3
1
2
Элементы сферической геометрии
4
2
2
Элементы геометрии Римана.
4
2
2
11 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
1.
Задачи на построение. Основные определения и постановка задачи. Теоремы о
пересечении прямых и окружностей. Решение задачи на построение циркулем и линейкой.
Метод геометрических мест. Алгебраический метод решения задач на построение. О
разрешимости задач на построение циркулем и линейкой. Неразрешимость некоторых задач на
построение циркулем и линейкой. О построениях одним циркулем и одной линейкой.
2.
Преобразование подобия. Гомотетия. Преобразование подобия. Подобие
треугольников. Метод подобия. Аффинные преобразования плоскости. Аффинные координаты
на плоскости. Определение и простейшие свойства аффинных преобразований. Аффинная
эквивалентность фигур. Метод аффинных преобразований. Перспективно-аффинные
преобразования. Инверсия. Определение и аналитическое задание инверсии. Основные
свойства инверсии. Метод инверсии. Параллельное проектирование. Параллельное
проектирование плоскости. Параллельное проектирование и аффинные преобразования.
Параллельное проектирование пространства.
3.
Изображение фигур на плоскости. Изображение плоских фигур. Изображение
пространственных фигур. Изображение сечений многогранников. Метод Монжа.
4.
Аксиоматическое построение Евклидовой геометрии. Исторический очерк
обоснования геометрии.
5.
Аксиоматический метод построения геометрии. Основные понятия, аксиомы.
Следствия из аксиом. «Начала» Евклида. Проблема пятого постулата. Работы по обоснованию
геометрии во второй половине XIX в Аксиоматический метод построения геометрии.
6.
Аксиоматика Вейля.
7.
Аксиоматика Гильберта. Структура аксиоматики Гильберта. Следствия из аксиом
принадлежности. Аксиомы порядка. Аксиомы равенства (конгруэнтности) отрезков и углов.
Следствия аксиом первых трех групп. Сравнение отрезков и углов. Движения (перемещения).
8.
Аксиомы непрерывности и параллельности. Измерение отрезков и углов.
Аксиомы непрерывности. Определение длины отрезка. Основные теоремы о длине отрезка.
Построение отрезка данной длины. Координаты на прямой. Мера угла. Аксиома
параллельности Евклида. Абсолютная геометрия.
9.
Площадь многоугольных фигур. Понятие площади. Многоугольные фигуры.
Аксиоматическое определение площади многоугольных фигур. Единственность площади
многоугольных фигур. Существование площади.
10.
Объем многогранных тел. Многогранные тела. Аксиоматическое определение
объема многогранных тел. Единственность объема многогранных тел.
11.
Равновеликость и равносоставленность.Постановка задачи. Доказательство
теоремы Бойяи-Гервина. Равновеликость и равносоставленность многогранников. Величина.
Скалярные величины. Измерение величин. Умножение величины на число. Другой подход к
понятию величины.
12.
Обзор аксиоматик школьных курсов геометрии. Аксиоматика в учебнике
А.П.Киселева. Аксиоматика планеметрии А.Н.Колмагорова. Аксиоматика планиметрии. А.В.
Погорелова. Аксиоматика в учебнике Л.С.Атанасяна, В.Ф.Бутузова, С.Б.Кадомцева и
Э.Г.Позняка. Аксиоматика А.Д.Александрова.
13.
Геометрия Лобачевского. Некоторые факты абсолютной геометрии. Сумма углов
и дефект треугольника. Теорема Лежандра. Четырехугольник Саккери. Взаимное расположение
двух прямых.
14.
Система аксиом планиметрии Лобачевского. Простейшие следствия аксиом.
Параллельные и расходящиеся прямые. Определение и свойства параллельных прямых.
Расходящиеся прямые. Взаимное расположение параллельных прямых.
15.
Угол параллельности. Простейшие кривые на плоскости Лобачевского.
Окружность.
16.
Орицикл. Эквидистанта.
12 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
17.
Непротиворечивость
геометрии
Лобачевского.
Модель
планиметрии
Лобачевского. Постановка вопроса. Понятие модели. Модель Пуанкаре планиметрии
Лобачевского. Независимость аксиомы параллельных Евклида от остальных аксиом евклидовой
геометрии. Некоторые факты геометрии Лобачевского в модели Пуанкаре. Модель КэлиКлейна планиметрии Лобачевского.
18.
Общие вопросы аксиоматики. Непротиворечивость системы аксиом.
Минимальность системы аксиом. Арифметическая модель системы аксиом евклидовой
планиметрии. Непротиворечивость евклидовой планиметрии. Категоричность системы аксиом.
Категоричность системы аксиом евклидовой планиметрии. Элементы сферической геометрии.
19.
Элементы геометрии Римана.
III семестр «Многомерная геометрия. Проективная геометрия »
Таблица 4
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Виды занятий
ЛК
ПР
2
Содержание темы
Аффинные и евклидовы n-мерные пространства.
Система аксиом n-мерного евклидова точечного
пространства.
Плоскость, полуплоскость.
Выпуклые многогранники.
Движение евклидова пространства
Всего
5
5
6
6
1
2
2
1
1
1
3
3
3
Линейные, билинейные и квадратичные формы в
векторном пространстве.
Квадратичные формы и квадрики. Квадрики в
аффинном пространстве, евклидовом точечном
пространстве.
Контрольная работа № 8
Основные
факты
проективной
геометрии.
Расширенная прямая (плоскость, пространство).
Проективная плоскость.
Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
Проективные координаты. Сложное отношение
четырех точек прямой.
Проективные квадрики.
Проективные
пространства
и
их
модели.
Проективные преобразования.
Контрольная работа № 9
6
2
1
3
6
2
1
3
СРС
3
4
6
1
2
4
3
6
4
6
2
1
1
1
1
2
3
3
3
8
7
2
2
3
2
3
3
4
4
1. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства. Система аксиом n-мерного евклидова
точечного пространства. Аффинные преобразования. Определение аффинных преобразований и
их простейшие свойства. Аффинные преобразования и линейные операторы. Основная теорема
об аффинных преобразованиях. Геометрический смысл
определителя аффинного
преобразования. Примеры.
2. Плоскость. Определение и аналитическое задание. Определение k- мерной плоскости.
Параметрические и общие уравнения плоскости. Система точек в общем положении. Задание
плоскости системой точек в общем расположении. Взаимное расположение двух плоскостей.
Параллельные плоскости. Пересекающиеся плоскости. Скрещивающиеся плоскости. Луч,
отрезок, полуплоскость, полупространство.
13 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
3. Выпуклые многогранники. Определение выпуклого многогранника. Граница
выпуклого многогранника. Симплекс. Параллелепипед. Определитель Грама. Объем
параллелепипеда.
4.Преобразование координат. Движение евклидова пространства. Определение и
простейшие свойства движения. Группа движений. Аналитическое задание движения.
Ориентация движения. Классификация. Виды движений. Параллельный перенос. Симметрия
относительно плоскости Pk. Поворот пространства En вокруг (n-2) мерной плоскости.
5. Линейные, билинейные и квадратичные формы в векторном пространстве.
6. Квадратичные формы и квадрики. Квадрики в аффинном пространстве, евклидовом
точечном пространстве. Линейные, билинейные и квадратичные формы в векторном
пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированном
базисе. Квадрики в аффинном пространстве. Определение и примеры квадрик. Приведение
уравнения квадрики к каноническому виду. Классификация квадрик в Аn. Классификация
квадрик в аффинных пространствах A2, A3. Квадрики в евклидовом точечном пространстве.
Приведение уравнения квадрики к каноническому виду. Центральные и нецентральные
квадрики. Классификация квадрик в двумерном пространстве. Классификация квадрик в
трехмерном пространстве.
7. Проективная геометрия. Центральное проектирование и расширенная евклидова
плоскость. Центральная проекция. Расширенная евклидова плоскость.
8. Проективная плоскость. Однородные координаты на евклидовой плоскости. Связка
прямых. Определение проективной плоскости. Простейшие свойства точек и прямых на
проективной плоскости.
9. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
10. Проективные координаты и сложное отношение четырех точек прямой. Проективные
координаты на прямой. Преобразование проективных координат на прямой. Проективные
координаты на плоскости. Двойное отношение четырех точек проективной прямой.
11. Проективные квадрики. Определение квадрики. Проективная классификация
квадрик. Точки пересечения прямой и овальной квадрики. Полюс и поляра. Задание квадрики
пятью точками. Теорема Паскаля. Теорема Брианшона.
12. Проективные преобразования. Определение проективных преобразований. Свойства
проективных преобразований. Группа проективных преобразований. Понятие о теоретикогрупповых принципах геометрии. Геометрия и группы преобразований. Проективная геометрия
как геометрия группы К. Автоморфизмы проективной группы К. Многомерная геометрия.
Система аксиом n-мерного евклидова точечного пространства. Простейшие следствия аксиом.
Аксиомы евклидова точечного пространства. Аффинное пространство. Аффинные и декартовы
координаты. Угол между векторами. Неравенство Коши - Буняковского. Расстояние между
точками. Вычисление расстояний и углов. Понятие о псевдоевклидовом пространстве.
Определение псевдоевклидова пространства. Двумерное псевдоевклидово пространства
индекса 1. трехмерное и четырехмерное псевдоевклидовы пространства.
IV семестр «Элементы топологии. Элементы дифференциальной геометрии»
Таблица 5
№
1
2
3
Содержание темы
Элементы
топологии.
Топологические
пространства. Свойства. Отображения.
Топологические свойства поверхностей.
Топологические вопросы в школьном курсе
геометрии. Понятия гладкой линии и гладкой
поверхности.
Всего
6
Виды занятий
ЛК
ПР
1
1
7
2
5
1
2
СРС
4
3
4
14 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
Элементы
дифференциальной
геометрии.
14
4
6
4
Пространственные кривые. Кривизна и кручение
кривой. Формулы Френе.
5 Начальные понятия теории поверхностей. Первая и
11
3
4
4
вторая квадратичные формы поверхности.
6 Внешняя геометрия поверхности.
8
2
2
4
7 Внутренняя геометрия поверхности.
7
2
1
4
8 Поверхности постоянной гаусовой кривизны.
5
2
3
9 Геометрия на сфере мнимого радиуса в
5
1
4
псевдоевклидовом пространстве.
Контрольная работа №10
4
4
1. Элементы топологии. Топологические пространства. Аксиоматика топологического
пространства. Примеры топологических пространств. Топология, индуцированная метрикой.
Замкнутые множества. Свойства топологических пространств. Внутренние, внешние,
граничные точки. Замыкание. Базис. Подпространство. Связность. Отделимость. Компактность.
Отображения топологических пространств. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм.
Вложение и погружение. Линейная связность.
2. Топологические свойства поверхностей. Понятие n-мерного многообразия.
Поверхности и поверхности с краем. Операция «склеивания». Лист Мебиуса и «ручка».
Клеточное разбиение поверхности с краем. Эйлерова характеристика поверхности.
Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Топологическая классификация
поверхностей.
3. Топологические вопросы в школьном курсе геометрии. Геометрические тела.
Многоугольники и многогранники. Многогранная поверхность и развертка. Классификация
правильных многогранников. Понятия гладкой линии и гладкой поверхности.
4. Элементы дифференциальной геометрии. Пространственные кривые. Понятие кривой.
Операции с вектор функциями одной переменной. Касательная прямая. Длина дуги кривой.
Естественная параметризация. Трехгранник Френе. Кривизна и кручение кривой. Кривизна
кривой. Первая формула Френе. Абсолютное кручение. Кручение. Формулы Френе.
Натуральные уравнения. Винтовые линии.
5. Начальные понятия теории поверхностей в евклидовом пространстве. Поверхности в
3
Е и их аналитическое задание. Координатные линии. Кривые на поверхности. Касательная
плоскость. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности. Угол
между кривыми на поверхности. Площадь области на поверхности. Об определении площади
поверхности.
6. Внешняя геометрия поверхностей. Вторая квадратичная форма. Кривизна кривой на
поверхности. Соприкасающийся параболоид поверхности. Главные направления и главные
нормальные кривизны. Тип точки на поверхности. Теорема Эйлера. Экстремальные свойства
главных направлений. Отыскание главных направлений и главных нормальных кривизн.
Деривационные формулы. Основные уравнения теории поверхностей.
7. Внутренняя геометрия поверхностей. Изотермические поверхности. Понятие о
внутренней геометрии поверхности. Геодезическая кривизна кривой на поверхности.
Геодезические линии. Полугеодезическая система координат. Кратчайшие. Теорема Гаусса Бонне.
8. Поверхности постоянной гаусовой кривизны. Локальная изотермичность
поверхностей постоянной гаусовой кривизны. Поверхности постоянной отрицательный
кривизны. Внутренняя геометрия сферы. Геометрия на сфере мнимого радиуса в
псевдоевклидовом пространстве.
9. Геометрия на сфере мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве.
2. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для обеспечения дисциплины имеются: технические и аудио- средства обучения.
4
15 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов
1. Организация аудиторной работы студентов
1.1. Краткий курс лекций
В библиотеке института и на кафедре математики, информатики и МП имеется
необходимое количество учебной литературы по данной дисциплине. Тематика лекций
соответствует содержанию разделов дисциплины (раздел II).
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним
1 КУРС
ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ 1 СЕМЕСТР
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1
ТЕМА: «ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ»
Цель: научиться использовать элементы векторной алгебры при решении
геометрических задач; строить вектора суммы и разности векторов на плоскости и в
пространстве.
1.
К занятию студент должен
-знать ответы на контрольные вопросы
•
Сложение векторов, построение и свойства.
•
Разность векторов, построение.
•
Умножение вектора на число, построение, свойства.
•
Линейная зависимость векторов.
-выписать в рабочую тетрадь этапы векторного метода ([1 ] § 8, стр. 36)
2. Домашнее задание
[2 ] §3 стр. 16 №№ 3.12, 3.13, 3.20
Литература:
[1] Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия: учебное пособие для физикоматематических факультетов педагогических институтов.- СПб.: Специальная Литература, 1997.
[2] Сборник задач по геометрии /С.А. Франгулов, П.И. Совертков и др.-М.: Просвещение,
2002.
[3] Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие : Для
вузов.- 15-е изд. -М.: Наука, 1998.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2
ТЕМА: «СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ»
Цель: научиться решать стандартные задачи на нахождение скалярного, векторного
произведения и на применение скалярного, векторного произведения векторов к решению
планиметрических и стереометрических задач.
1.
К занятию студент должен знать ответы на контрольные вопросы
• Определение скалярного произведения векторов на плоскости и доказательство
свойств.
• Вывод формулы для нахождения скалярного произведения в координатной
форме.
• Определение векторного произведения векторов и доказательство свойств.
• Доказательство свойства дистрибутивности векторного произведения векторов.
• Геометрический смысл векторного произведения векторов.
• Вывод формулы для нахождения векторного произведения в координатной
форме.
2.
На занятии: геометрический диктант; опрос по контрольным вопросам.
3.
Домашнее задание
16 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
  
- [2 ] §3 стр. 16 №№ 3.52, 3.59, 3.71; Докажите тождество аb  c d 
ac a d
bc b d
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
ТЕМА: «ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ»
Цель: научиться решать стандартные задачи на нахождение смешанного произведения и
на применение смешанного произведения векторов к решению стереометрических
задач.
1.
К занятию студент должен знать ответы на контрольные вопросы
• Определение векторного произведения векторов и доказательство свойств.
• Геометрический смысл векторного произведения векторов.
• Вывод формулы для нахождения векторного произведения в координатной
форме.
• Определение смешанного произведения векторов и свойства.
• Геометрический смысл смешанного произведения векторов.
• Вывод формулы для нахождения смешанного произведения в координатной
форме.
• Ориентация тройки векторов.
2. Домашнее задание
- [2 ] §3 стр. 16 №№ 3.92 (а,в), 3.95, 3.99, 3.106
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4
ТЕМА: «ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ»
Цель: использование векторной алгебры и координатного метода к решению задач и
доказательству теорем элементарной геометрии
1. К занятию студент должен знать ответы на контрольные вопросы
• Сложение векторов, построение и свойства.
• Разность векторов, построение.
• Умножение вектора на число, построение, свойства.
• Линейная зависимость векторов.
• Определение скалярного произведения векторов на плоскости и доказательство
свойств.
• Вывод формулы для нахождения скалярного произведения.
• Определение векторного произведения векторов и доказательство свойств.
• Доказательство свойства дистрибутивности векторного произведения векторов.
• Геометрический смысл векторного произведения векторов.
• Вывод формулы для нахождения векторного произведения.
• Определение смешанного произведения векторов и свойства.
• Геометрический смысл смешанного произведения векторов.
• Вывод формулы для нахождения смешанного произведения.
• Ориентация тройки векторов.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5
ТЕМА:«КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА№1»
Цель: использование векторной алгебры и координатного метода к решению задач и
доказательству теорем элементарной геометрии; формирование умения работать в группе.
1. К занятию студент должен
• знать ответы на все контрольные вопросы практических занятий 1-4.
• на отдельном листке бумаги написать сочинение «Векторы
17 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
на плоскости и в
пространстве» (в свободном стиле) обязательно отвечая на
вопросы:
1. В какой последовательности изучались вопросы темы.
2. Какие понятия, определения, теоремы являются основными при изучении данной
темы?
3.
Какие связи можно установить между объектами темы? Представьте их в виде
схемы, графа.
4. Какие объекты необходимо было знать, перед изучением темы? Где они изучались?
Почему эти знания являются необходимыми?
5. Какие вопросы темы Вами не достаточно хорошо поняты? Почему?
6. Сформулируйте вопрос по данной теме.
7. Составьте задачу по данной теме.
8. Оцените себя. На какую оценку Вы претендуете по изучению и знанию вопросов данной
темы, дайте пояснения.
2. На занятии
•
Работа по индивидуальным карточкам
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6
ТЕМА: «РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. ВЗАИМНОЕ
РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ»
Цель: научиться составлять различные виды уравнений прямой; строить в
прямоугольной системе координат прямую линию по уравнению; научиться использовать
свойства прямой при решении геометрических задач, научиться определять взаимное
расположение прямых на плоскости графически и аналитически; научиться решать
стандартные геометрические задачи, используя расположение прямых на плоскости;
определять угол между прямыми, заданными различными уравнениями и находить расстояние от
точки до прямой.
•
•
•
•
•
•
1.
К занятию студент должен знать ответы на контрольные вопросы:
Вывод общего уравнения прямой.
Вывод канонического и параметрического уравнений прямой.
Вывод уравнения прямой с угловым коэффициентом.
• Вывод уравнения прямой в «отрезках».
Вывод формулы для нахождения угла.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданным различными видами
уравнений.
Вывод формулы для нахождения расстояния от точки до прямой.
2.
На занятии
- вводный геометрический диктант;
- [3 ] №№216, 218, 223, 224, 229, 230, 247.
- [3] №№ 253, 255, 260, 267, 275, 285, 291.
3.
Домашнее задание
[2] §4 стр. 23 №№4.5,4.14,4.16, 4.46, 4.49.
[2 ] §4 стр. 23 №№ 4.17, 4.36, 4.30, 4.55.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №7
ТЕМА: «ПУЧОК ПРЯМЫХ»
Цель: научиться составлять уравнения прямых, входящих в пучок.
1.
К занятию студент должен
- знать определение пучка прямых и доказательство теоремы о уравнении пучка прямых;
18 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
- изучить [1 ] §2 , п.6 «Полуплоскость» .
2. На занятии
- опрос по контрольным вопросам.
- [3 ] №№ 355, 355, 357, 359.
3. Домашнее задание
[2 ] §4 стр. 23 №№ 4.56, 4.44, 4.55
- на отдельном листке бумаги написать сочинение «Прямая линия на плоскости» (в
свободном стиле) отвечая на вопросы:
1. Назовите наиболее важные вопросы темы.
2. В какой последовательности они изучались.
3. Установите и зафиксируйте связи между изучаемыми вопросами темы.
4. Что из ранее изученного понадобилось для изучения данной темы? Перечислите
факты, понятия, утверждения.
5. Что из данной темы осталось вами непонятым? Почему?
6. Составьте задачу по данной теме.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8
ТЕМА: «ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ПЛОСКОСТЕЙ. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ»
Цель: научиться составлять общее уравнение плоскости; определять расположение
плоскости в зависимости от уравнения и строить плоскость; применять теоретические знания к
решению стереометрических задач, научиться устанавливать взаимное расположение
плоскостей в пространстве; применять формулу для нахождения расстояния от точки до
плоскости к решению стереометрических задач, строить плоскость в системе координат.
1. К занятию студент должен знать ответы на контрольные вопросы
 Вывод общего уравнения плоскости.
 Исследование общего уравнения плоскости и расположение плоскости в пространстве.
 Вывод уравнения плоскости, проходящей через три точки.
 Вывод формулы для нахождения расстояния от точки до плоскости.
 Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
 Разобраться и законспектировать в рабочую тетрадь [1 ] §11, п. 5, стр.57
2. На занятии [3 ] №№ 937, 939, 926, 955, 962
3. Домашнее задание
- [2 ] §6 №№ 6.9, 6.18, 6.22
- Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки, соответственно
равные 5 и -7, и проходящей через точку (1;1;2).
- Даны пять точек: (3,5,1), (2,7,4), (1,0,-2), (5,10,10), (0,0,-5). Какие две из данных пяти
точек нужно соединить отрезком, чтобы он пересек треугольник, имеющий своими вершинами
остальные три точки?
- Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и
плоскостью 2 x  3 y  6 z  18  0 .
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 9
«ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В
ПРОСТРАНСТВЕ»
1. К занятию студент должен знать ответы на контрольные вопросы
 Исследование общего уравнения плоскости и расположение плоскости в пространстве.
 Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
 Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве
19 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
 Прямая, как линия пересечения плоскостей
 Определение общих точек прямой и плоскости
 Взаимное расположение прямых в пространстве
 Нахождение угла между прямыми
 Расстояние от точки до прямой в пространстве
 Кратчайшее расстояние между двумя прямыми
 Нахождение угла между прямой и плоскостью
2. Домашнее задание
- [2 ] § 7 №№ 7.2, 7.6, 7.8 (а, г)
- проверить, имеют ли общую точку плоскости 5x-z+3=0, 2x-y-4z+5=0, 3y+2z-1=0,
3x+4y+5z-3=0
- определить, которая из координатных плоскостей принадлежит пучку 4x-y+2z-6+
t(6x+5y+3z-9)=0?
- составьте задачу по данной теме и напишите ее на отдельном листке бумаги (без
решения).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 10
ТЕМА: «РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ»
1. К занятию студент должен знать ответы на контрольные вопросы
 Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве
 Прямая, как линия пересечения плоскостей
 Определение общих точек прямой и плоскости
 Взаимное расположение прямых в пространстве
 Нахождение угла между прямыми
 Расстояние от точки до прямой в пространстве
 Кратчайшее расстояние между двумя прямыми
 Нахождение угла между прямой и плоскостью
2. На занятие
3. Домашнее задание
- [2 ] § 7 №№ 7.14, 7.15
- подготовить рабочие тетради для проверки на выполнимость д/з планов 11-15
- подготовка к аудиторной контрольной работе по теме «Прямая и плоскость в
пространстве
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №11
ТЕМА: «КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3»
Цель: использование векторной алгебры и координатного метода к решению задач и
доказательству теорем элементарной геометрии; формирование умения работать в группе.
1. К занятию студент должен
- знать ответы на все контрольные вопросы практических занятий № 8-10
2. На занятии
- работа по индивидуальным карточкам.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 12
ТЕМА: «ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ЭЛЛИПС И
ОКРУЖНОСТЬ»
Цель: познакомиться с замечательными кривыми на плоскости и различными системами
координат.
1. К занятию студент должен знать
- общее уравнение линии второго порядка Ах2+Ву2+Сху+Dх+Еу+F=0
20 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
- определение эллипса и вывод его канонического уравнения
- исследование эллипса и его построение
- в различной учебной литературе найти одну замечательную кривую, отличную от
конических сечений, ее уравнение (если есть, то способ построения) и записать в рабочую
тетрадь
2. На занятии:
- теоретический опрос
- работа у доски
3. Домашнее задание
- [2 ] § 5 №№ 5.2 (а, в, г), 5.6 (а, б, г,д)
- характеристики для каждого эллипса из заданий № 5.2 и выполненных в аудитории
внести в таблицу:
Каноническое
уравнение эллипса
Большая
ось
Малая
ось
Фокусы
Эксцентриситет
Дирек- Точка, принадлетрисы жащая эллипсу
- построить эллипсы из задания №5.2
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 13
ТЕМА: «ГИПЕРБОЛА.»
1. К занятию студент должен знать
- определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения
- исследование гиперболы и построение ее
- определение параболы, вывод уравнения и свойства
2. Домашнее задание
- [2 ] § 5, №№ 5.13 (г, д), 5.14 (в, г)
- заполнить таблицу, на основе домашних примеров
Каноническое
уравнение
гиперболы
Боль
шая
ось
Ма Фокусы
лая
ось
Эксцентриситет
Директрисы
Асим
птоты
Угол
между
асимп
тотами
Точка,
принадлежащая
гиперболе
- построить гиперболы из №5.13
- [2 ] § 5, №№ 5.32, 5.29
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 14
ТЕМА: «ПАРАБОЛА. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ И ПОЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА»
1. К занятию студент должен знать
- вывод канонического уравнения эллипса
- вывод канонического уравнения гиперболы
- определение параболы, вывод уравнения и свойства
- вывод полярного уравнения кривых второго порядка
2. Домашнее задание
21 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
- дополнить таблицы из домашних заданий к планам 17,18 столбцом «Полярное
уравнение линии» и заполнить его
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 15
ТЕМА: «СФЕРА. ЭЛЛИПСОИД. ГИПЕРБОЛОИДЫ»
1. К занятию студент должен
- знать определение эллипсоида вращения, эллипсоида
- знать уравнение эллипсоида вращения, эллипсоида, сферы
- уметь исследовать эллипсоид методом сечений по уравнению
- знать определение однополостного гиперболоида вращения, двуполостного
гиперболоида вращения
- знать определение и вывод уравнения однополостного и двуполостного гиперболоидов
- уметь исследовать однополостный и двуполостный гиперболоиды методом сечений по
уравнению
2. Домашнее задание
- [2 ] §8 №№ 8.24 (в), 8.29
- построить поверхности в каждом задании
- [2 ] §8 №№ 8.28, 8.29
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 16
ТЕМА: «ПАРАБОЛОИДЫ. ЦИЛИНДРЫ »
1. К занятию студент должен
- знать определение параболоида вращения;
- знать определение и метод построения эллиптического параболоида;
- знать определение и метод построения гиперболического параболоида;
- уметь исследовать эллиптический и гиперболический параболоиды методом сечений
по уравнению;
- уметь исследовать цилиндры методом сечений по уравнению.
ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ 2 СЕМЕСТР
Работа в семестре ведется по бально-рейтинговой системе
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2
ТЕМА: Решение задач на построение методом геометрических мест.
Студент должен
знать: основные построения на плоскости; основные свойства плоских фигур; этапы
решения задачи на построение; основные геометрические места точек на плоскости.
уметь: строить с помощью циркуля и линейки основные геометрические построения на
плоскости; проводить анализ и синтез задачи; выполнять чертеж от руки сохраняя свойства
объекта; определять основные геометрические места точек на плоскости.
I. К занятию построить в тетради основные геометрические места точек на плоскости из
[1]. (0,5балла)
II.
На занятии решение конструктивных задач методом ГМТ.
III.
Домашнее задание
 Построить общую внутреннею касательную для двух не пересекающихся окружностей
(1,5 балла)
 [2] § 5 № 20 (0,5 балла) № 36 (0,5 балла)
 Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
ТЕМА: Решение задач на построение методом параллельного переноса
22 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
Студент должен
знать: основные построения на плоскости; основные свойства плоских фигур; этапы
решения задачи на построение; определение и свойства параллельного переноса, как движения
плоскости;
уметь: строить с помощью циркуля и линейки основные геометрические построения на
плоскости; проводить анализ и синтез задачи; выполнять чертеж от руки сохраняя свойства
объекта; выполнять параллельный перенос элементов в заданном направлении.
I. К занятию подготовиться к самостоятельной работе по основным построениям на
плоскости.
II. На занятии самостоятельная работа по основным построениям на плоскости, решение
конструктивных задач методом параллельного переноса.
III. Домашнее задание
 Построить треугольник по трем медианам. (1,5 балла)
 Построить четырехугольник по трем сторонам и двум углам при неизвестной стороне.
(1,5 балла)
 [ 2 ] § 5 № 40 (0,5 балла) № 23 (0,5 балла)
 Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4
ТЕМА: Решение задач на построение методом поворота (симметрии)
Студент должен
знать: основные построения на плоскости; основные свойства плоских фигур; этапы
решения задачи на построение; определение поворота как геометрического преобразования
плоскости и его основные свойства, определение симметрии как геометрического
преобразования плоскости и основные свойства.
уметь: выполнять с помощью циркуля и линейки основные геометрические построения
на плоскости; проводить анализ и синтез задачи; выполнять чертеж от руки сохраняя свойства
объекта; выполнять поворот фигуры вокруг заданного центра; определять и распознавать
симметричные фигуры; строить симметричные объекты известным относительно данной точки
или данной прямой.
I. К занятию построить в тетради : угол 45° и 30° (0,5балла); фигуру симметричную данной
окружности относительно точки лежащей га окружности и точки не лежащей на окружности
(0,5 балла)
II. На занятии решение конструктивных задач методом поворота и симметрии.
III. Домашнее задание
 Построить треугольник АВС наименьшего периметра, если даны его сторона и высота,
опущенная на эту сторону. (1,5 балла)
 Построить равноудаленные точки от точки А, лежащих на разных окружностях. (1,5
балла)
 [ 2 ] § 5 № 39 (0,5 балла) § 6 № 45 (0,5 балла)
 Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5
ТЕМА:
Решение задач на построение методом гомотетии
Студент должен
знать: основные построения на плоскости; основные свойства плоских фигур; этапы
решения задачи на построение; определение и свойства преобразования плоскости гомотетии
(подобия); свойства подобных и гомотетичных фигур;
уметь: строить с помощью циркуля и линейки основные геометрические построения на
плоскости; проводить анализ и синтез задачи; выполнять чертеж от руки сохраняя свойства
23 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
объекта; различать и выделять подобные и гомотетичные объекты; определять коэффициент
гомотетии (подобия) и центр гомотетии; строить подобные фигуры.
I. К занятию выполнить в тетради построение: постройте квадрат со стороной 4 см. и
найдите гомотетичные фигуры с коэффициентами ½ и (-½), относительно центра квадрата .
(0,5балла)
II. На занятии решение конструктивных задач гомотетии (подобия).
III. Домашнее задание
 Дан треугольник с острым углом φ. Вписать в него ромб с углом φ. (1,5 балла)
 [2] § 9 № 38 (0,5 балла) № 14 (0,5 балла)
 Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6
ТЕМА:
Решение задач на построение алгебраическим методом
Студент должен
знать: основные отрезки; основные свойства плоских фигур; этапы решения задачи на
построение; суть алгебраического метода; необходимые условия для построения любого
отрезка; алгебраический аппарат формул и зависимостей между объектами;
уметь: строить с помощью циркуля и линейки основные отрезки на плоскости;
проводить анализ и синтез задачи; выполнять чертеж от руки сохраняя свойства объекта;
переводить словесное описание задачи и ее решения на язык формул и символов;
преобразовывать выражение,.
I. К занятию построить в тетради основные отрезки. (0,5 балла);.
II. На занятии решение конструктивных задач алгебраическим методом.
III. Домашнее задание
 Построить отрезок, являющийся корнем уравнения x 2  x ab  a 2  0 (1,5 балла)
 Из вершин данного треугольника, как из центров описать три окружности касающихся
попарно внешним образом. (1,5 балла)
 [2] § 12 № 31 (0,5 балла)
 Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №7
Решение задач на построение методом инверсии
ТЕМА:
Студент должен
знать: основные построения на плоскости; основные свойства плоских фигур; этапы
решения задачи на построение; определение инверсии; свойства прямых и окружностей при
инверсии; алгоритм построения инверсных точек;
уметь: строить с помощью циркуля и линейки окружности, прямые, углы; проводить
анализ и синтез задачи; выполнять чертеж от руки сохраняя свойства объекта; применять
алгоритм построения инверсных точек; реализовывать анализ решения задачи; оформлять
решение задачи.
I. К занятию построить в тетради инверсные точки относительно точек лежащих на ,
внутри и вне окружности инверсии. (0,5 балла)
II. На занятии решение конструктивных задач методом инверсии.
III. Домашнее задание
 Через данную точку М проведите прямую так, чтобы точки А и В ее пересечения с
данными прямыми c, d удовлетворяли условию АМ·ВМ= m 2 , где m- данный отрезок (2 балла)
 [ 2 ] § 5 № 24 (0,5 балла) § 9 № 8 (0,5 балла)
 Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №8
24 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
ТЕМА: Построение орнаментов и бордюров
Студент должен
знать: определение движения плоскости; виды движения плоскости; основные свойства
движений (параллельного переноса, поворота, симметрии); алгоритм применения движения к
фигурам на плоскости; определение композиции движений;
уметь: применять к фигурам на плоскости параллельный перенос, поворот, симметрию и
их композиции.
I. На занятии работа в группах: построение бордюров 7 типов, орнаментов.
II. Домашнее задание
Для элемента нарисуйте бордюры первого и второго типа (0,5 балла).
Нарисуйте бордюры пятого и шестого типа для элемента. Светлыми кругами на нем
отмечены центры симметрии. Для пятого типа – отрезок, задающий параллельный перенос,
имеет длину в два раза большую, чем расстояние между соседними центрами симметрии. Для
шестого типа бордюров воспользоваться вертикальной прямой –ось симметрии (0,7 балла).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №9
ТЕМА:
Решение задач одним циркулем или одной линейкой
Студент должен
знать: этапы решения задачи на построение; неразрешимые задачи с помощью циркуля и
линейки; теоремы Штейнера и Мора-Маскерони; основные свойства плоских фигур;
уметь: проводить анализ и синтез задачи; выполнять чертеж от руки сохраняя свойства
объекта; оформлять решение задачи; приводить примеры разрешимые только циркулем или
только линейкой; подводить задачу под известный прием.
I. К занятию разобраться с решениями задач рассмотренных на лекционном занятии.
II. На занятии решение конструктивных задач одним циркулем или одной линейкой.
III. Домашнее задание
 Из данных точек М и Р, расположенных по разные стороны диаметра АВ окружности,
центр которой не дан, провести две прямые, пересекающиеся на АВ, так, чтобы угол между
ними делился прямой АВ на две равные части (с помощью одной линейки). (1,5 балла)
 Построить точку, симметричную данной относительно данной прямой (с помощью
циркуля) (1,5 балла)
 Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №10
ТЕМА:
Изображение плоских и пространственных фигур
Студент должен
знать: определение изображения; свойства плоских и пространственных фигур; свойства
изображения; требования предъявляемые к изображению; центральное и параллельное
проектирование;
уметь: изображать плоские и пространственные фигуры в соответствии с требованиями,
предъявляемыми к изображениям; узнавать плоские и пространственные фигуры, их свойства
и определения; приводить контрпримеры и примеры..
I. К занятию в тетради выполнить задание: какие фигуры могут быть спроектированы в
отрезок, в луч, в треугольник, в трапецию и в каких случаях (0,5 балла); подготовиться к
самостоятельной работе по решению школьных задач на построение.
II. На занятии правильно изображаем плоские и пространственные фигуры.
III. Домашнее задание
 Построить изображение окружности и квадрата, построенного на ее диаметре (1,5
балла)
 Дано изображение правильного шестиугольника. Изобразите биссектрису внешнего
угла шестиугольника (1,5 балла)
25 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
 Дано изображение пятиугольной призмы. Прямая проходит через две данные точки на
несмежных боковых гранях призмы. Постройте изображение точек пересечения этой прямой с
диагональными плоскостями призмы (1,5 балла)
 Домашняя контрольная работа
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №11
ТЕМА: Стереометрические задачи на построение
Студент должен
знать: основные свойства фигур; требования к изображениям; определение двухгранного
и линейного углов; определения пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых
(плоскостей); изображения плоских и пространственных фигур; определения и свойства
геометрических преобразований пространства; .
уметь: изображать точки, прямые и плоскости в заданном взаимном расположении;
правильно изображать пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые (плоскости),
пространственные фигуры; строить углы между плоскостями и прямыми; заменять двугранные
углы линейными..
I. К занятию в тетради выполнить задание: что представляет собой геометрическое место
точек (ГМТ) симметричных точкам данной прямой относительно данной точки, ГМТ
равноотстоящих от трех данных точек и ГМТ равноотстоящих от двух данных точек А и В.(0,5
балла)
II. На занятии решение конструктивных стереометрических задач.
III. Домашнее задание
 Построить точку симметричную данной относительно данной прямой и данной
плоскости (1,5 балла)
 Отрезок данной длины m поместить между данной прямой d и плоскостью γ так, чтобы
он был параллелен данной прямой d (1,5 балла)
 Домашняя контрольная работа (18 баллов)
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №12
ТЕМА: Построение сечений многогранников. Метод следов
Студент должен
знать: определение и свойства изображения; изображение пространственных фигур;
алгоритм построения сечения многогранника методом следов;
уметь: правильно изображать геометрические фигуры в пространстве; правильно строить
проекции точек на плоскость и прямую; правильно строить проекции прямой на плоскость;
строить след прямой на плоскость и плоскости на плоскость.
I. К занятию ответьте на вопрос: какие многоугольники могут получиться при пересечении
плоскости и куба. (0,5 балла)
II. На занятии построение сечений методом следов.
III. Домашнее задание
Построить сечения плоскостью, проходящей через три точки,
для следующих
изображений (1,5 балла)/ Условные обозначения:
- точка, заданная на видимой поверхности многогранника
- точка, заданная на продолжении поверхности (вне) многогранника
26 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №13
ТЕМА: Построение сечений многогранников. Метод внутреннего проектирования
Студент должен
знать: определение и свойства изображения; изображение и свойства пространственных
фигур; основную задачу и ее решение; алгоритм построения сечения многогранника методом
внутреннего проектирования;
уметь: правильно изображать геометрические фигуры в пространстве; правильно строить
проекции точек на плоскость и прямую; применять алгоритм построения сечения методом
внутреннего проектирования при решении задач.
I. К занятию ответьте на вопрос: какие многоугольники могут получиться при
пересечении плоскости с пятиугольной пирамидой. В каких случаях ? (0,5 балла)
II. На занятии построение сечений методом внутреннего проектирования
III. Домашнее задание
Построить сечения плоскостью, проходящей через три точки,
для следующих
изображений (1,5 балла). Условные обозначения:
- точка, заданная на видимой поверхности многогранника
- точка, заданная на продолжении поверхности (вне) многогранника
27 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №14
ТЕМА:
Построение сечений многогранников
Студент должен
знать: определение и свойства изображения; изображение и свойства пространственных
фигур; прием построения сечения многогранника;
уметь: правильно изображать геометрические фигуры в пространстве; правильно строить
проекции точек на плоскость и прямую; применять прием построения сечения многогранников
при решении задач.
I. К занятию подготовиться к контрольной работе
II. На занятии контрольная работа по индивидуальным карточкам
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №15
ТЕМА: Аксиоматика Погорелова А.В.
Студент должен
знать: основные определения и аксиомы в аксиоматике Погорелова А.В.; основные
следствия из аксиом; понятия, определяемые через основные определения и отношения;
требования, предъявляемые к системе аксиом;
уметь: сформулировать определения объектам через основные определения; приводит
примеры и контрпримеры для определений; правильно оформлять решение (доказательство)
задачи (теоремы); использовать символику; строить чертеж к условию задачи (теоремы);
проводить логически обоснованное доказательство (решение) задачи.
I. К занятию В тетрадь выписать все аксиомы из школьного учебника по геометрии 7-11
класс Погорелова А.В. (0,5 балла)
II. На занятии решение задач по группам (3-5 баллов)
III. Домашнее задание

Доказать, что если наклонная перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в
некоторой плоскости, то ее проекция на эту плоскость также перпендикулярна прямой. (1,5
балла)

Даны две скрещивающиеся прямые . Через точку А, не лежащую на этих прямых,
проведите прямую, пересекающую данные. Всегда ли это возможно ? (1,5 балла)
28 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №16
ТЕМА: Геометрия Лобачевского Н.И.
Студент должен
знать: основные определения и аксиомы в аксиоматике Лобачевского Н.И.; основные
следствия из аксиом; понятия, определяемые через основные определения и отношения;
требования, предъявляемые к системе аксиом; основные модели ;
уметь: формулировать определения объектов через основные определения; приводить
примеры и контрпримеры для определений; правильно оформлять решение (доказательство)
задачи (теоремы); использовать символику; строить чертеж к условию задачи (теоремы);
проводить логически обоснованное доказательство (решение) задачи; пользоваться моделями
Пуанкаре и Кэли-Клейна.
I.
К занятию рассмотреть модели Пуанкаре и Кэли-Клейна.
II.
На занятии решение задач
2. Организация самостоятельной работы студентов
2.1. Содержание занятий
№
п/п
1.
2.
3.
4.
Наименование раздела учебной
дисциплины
Виды СРС
Метод координат. Элементы векторной
алгебры. Движения и преобразования
Конструктивная геометрия. Измерение
величин. Геометрия Лобачевского
Многомерная геометрия. Проективная
геометрия
Элементы топологии. Элементы
дифференциальной геометрии
Домашние задания, консультации,
подготовка к контрольным работам
Домашние задания, консультации,
подготовка к контрольным работам
Домашние задания, консультации,
подготовка к контрольным работам
Домашние задания, консультации,
подготовка к контрольным работам
Всего
часов
10
10
10
10
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
3.1. Основная литература
Основная:
1. Кузютин, В.Ф. Геометрия / В.Ф. Кузютин, Н.А. Зенкевич, В.В. Еремеев: учеб. для вузов. СПб.: Лань, 2003. – 416 с. – 2 экз.
2. Цубербиллер, О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. - 32-е изд., стер. - СПб.:
Лань, 2005. – 336 с. – 30 экз.
2 экз.
30 экз.
3.2. Дополнительная литература
Дополнительная:
1. Веселов, А.П. Лекции по аналитической геометрии: учеб. пособие / А.П. Веселов,
Е.В. Троицкий. - СПб.: Лань, 2003. – 160 с. – 2 экз.
2 экз.
3.3. Электронные ресурсы:
1. Электронно-библиотечная система elibrary: http://elibrary.ru
2. Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных “East View”
ООО «ИВИС»: http://www.eastview.com/
3. Электронный справочник «Информио»: http://www.informio.ru/
4. Электронно-библиотечная система "Университетская библиотека онлайн":
http://www.biblioclub.ru
4. Методические рекомендации для преподавателя
Для освоения дисциплины используются знания, умения и виды деятельности,
профессиональные качества личности, сформированные в процессе изучения дисциплин
«Алгебра и теория чисел», «Математический анализ» вариативной части профессионального
29 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
цикла. Знания, умения и личностные качества будущего специалиста, формируемые в процессе
изучения дисциплины «Геометрия», будут использоваться в дальнейшем при освоении
дисциплин «Теория и методика изучения математики», «Практикум решения задач по
элементарной математике». Дисциплина «Геометрия» является логической основой понимания
сущности доказательств и их логического строения, формирование пространственного
восприятия математических объектов и воображения при их построении и изучении.
На практических занятиях по курсу геометрии должны быть выработаны
соответствующие навыки и умения, связанные с теоремами и методами их доказательств,
решения учебных задач, используя геометрические методы. Студенты также приобретают
начально-методические умения.
5. Методические рекомендации для студентов
Студенту следует помнить, что дисциплина «Геометрия» предусматривает обязательное
посещение студентом лекций и практических занятий. Она реализуется через систему
аудиторных и домашних работ, входных, текущих и итоговых контрольных работ,
тестирование, систему курсовых и выпускных квалификационных работ. Самостоятельная
работа студентов заключается в выполнении домашних заданий с целью подготовки к
практическим занятиям (см. планы практических занятий), выполнение курсовых и выпускных
квалификационных работ и вариантов контрольных работ и тестов. Результаты
самостоятельной работы оформляются в виде курсовых и выпускных квалификационных работ.
Контроль над самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде
контрольных работ, зачетов и экзаменов.
30 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля
1. Варианты контрольных работ
Самостоятельная работа (входная)
«Векторы. Действия над векторами»
  
  
1) Нарисуйте три произвольных вектора a , b , c . Постройте b  c  a .
   
 
 
 
2) Треугольник АВС прямоугольный равнобедренный. Вычислить a , b  b , c  c , a  ,



если a  3, b  4, c  5 .
3) Определить внутренний угол треугольника при вершине А, если вершины треугольника
заданы координатами (5,0), (0,1), (3,3).
4) В параллелограмме АВСД, вершины А (-3,5), В (1,7), М (1,1) – точка пересечения
диагоналей. Найдите координаты вершин С и Д.
5) В параллелограмме АВСД точка Е – середина ВС, точка О – точка пересечения






диагоналей. Построить АВ  ДС; АВ  ВЕ  ОЕ  СД .
Контрольная работа № 1
«Прямая на плоскости»
1 уровень

1) Даны точка А(-1,4) и вектор n {2,3}. Какие уравнения прямой можно составить?
Составьте их.
2) Из предложенных ниже выберите параметрическое уравнение прямой 2х+3у-1=0:
a) x=-1-3t, y=1+2t
b) x=3t, y=1+2t
c) x=-1+2t, y=-1+3t
d) x=1+3t, y=-1-2t
3) Выберите из предложенных вариантов отрезки, отсекаемые прямой 5х-3у-15=0 на
координатных осях:
a) 5 и –3;
b) 3 и –5;
c) 3 и 5;
d) –3 и –5
4) Исследуйте расположение прямых 3х-у=0 и х+2у+1=0. Постройте прямые в
прямоугольной системе координат.
5) Составьте общее уравнение любой стороны треугольника, заданного координатами
своих вершин (2,1), (1,-1), (3,2).
2 уровень
6) Прямая отсекает на осях координат равные положительные отрезки. Составьте
уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой с осями
координат равна 8 кв.ед.
7) Определите расстояние между прямыми 3х+у-3√10=0 и 6х+2у+5√10=0.
8) Составьте уравнения прямых, проходящих через точку М (5,1) и образующих с
прямой2х+у-4=0 угол π/4.
3 уровень
9) Покажите, что треугольник со сторонами х+у3+1=0, х√3+у+1=0, х-у-10=0
равнобедренный. Найдите внутренние углы при его вершинах.
10) Составьте уравнение окружности, проходящей через точку (4,-1) и касающейся прямых
х-2у+4=-0 и 2х-у-8=0.
31 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4)
5)
Контрольная работа № 2
«Кривые второго порядка»
Найти множество точек для каждой из которых сумма расстояний до фокусов равна 8,
фокус F1 (-3,0). Построить полученное множество.
х2 у 2
Для гиперболы

 1 найти все характеристики и построить сопряженную ей
16 9
гиперболу.
На параболе х2=-16у найти точку, фокальный радиус вектор которой равен 14.
Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (-2,2), В (0,6), С (6,-2).
Является ли отрезок АВ диаметром?
Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания, если касательная к
х2 у2

 1 проходят через точку (10,-8).
4
3
Контрольная работа № 3
«Векторы на плоскости и в пространстве»
Дан треугольник АВС А(3,2,-3), В(5,1,-1), С91,-2,1). Найдите внешний угол при
вершине А.
Даны три вектора а (1,-1,2), с (5,-6,2), к (1,3,-1). Найдите координаты и длину [[а,к]с].
Тетраэдр АВСД задан координатами своих вершин А (1,2,2), В (0,3,3), С (2,-5,-1), Д (-1,2,2). Определите длину высоты опущенной из вершины В на грань АСД.
Доказать, что векторы совпадающие с медианами любого треугольника в свою очередь
могут служить сторонами другого треугольника.
Контрольная работа № 4
«Плоскость и прямая в пространстве»
Составить уравнение плоскости проходящей от начала координат на расстоянии 4
единицы и отсекающей на осях координат отрезки, связанные соотношением а:в:с=3:1:2
В пучке 15х+19у-12 +к(4х+3у-2z-5)=0 найти плоскость, отсекающую равные отрезки на
осях Ох и Оу.
Вычислить угол между плоскостями 3x-y+21z-1=0 и 40x-21y-z+1=0.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку (0,0,1) и пересекающей каждую
 x  2y  z 1  0
x 1 y z 1
 
из прямых 
и
.
3
2
1
2 x  y  2 z  3  0
Найти точку симметричную точке А(2,-3,1) относительно плоскости 4x-y-z=3.
Контрольная работа № 5
«Решение задач на построение»
Данная контрольная работа посвящена темам курса «Конструктивная геометрия».
Контрольная работа содержит в себе 12 задач. Из них первые восемь решаются одним из
следующих методов: геометрических мест, параллельного переноса, поворота, гомотетии,
алгебраическим, инверсии. Девятая задача решается с помощью одной линейки. Десятая задача
решается с помощью одного циркуля. Одиннадцатая и двенадцатая задачи посвящены
стереометрическим задачам на построение.
Суть методов:
 геометрических мест – отбрасывают одно из данных условий и строят
соответствующую фигуру F1; затем по отброшенному условию строим фигуру F2;
искомое геометрическое место определяется как пересечение построенных фигур;
32 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»

параллельного переноса – при решении сближают данные или искомые фигуры,
или их элементы, такое сближение часто позволяет свести более сложную задачу
на построение к построению треугольника по трем элементам;
 поворота – а анализе отмечают, что построение сводитсяк нахождению пары точек
К и Р таких, что точка К лежит на первой фигуре, Р – на второй фигуре и Р
является образом точки К при некотором геометрическом преобразовании;
 гомотетии - не рассматривая линейный элемент, строят по остальным данным
вспомогательную фигуру, подобную искомой, затем определяют коэффициент
подобия, равный отношению данного линейного элемента к соответствующему
линейному элементу вспомогательной фигуры;
 алгебраический – решение задачи сводится к построению некоторого отрезка (или
нескольких отрезков), длина искомого отрезка выражается через длины известных
отрезков с помощью некоторых формул
Следует отметить, что часть задач взяты из школьных учебников геометрии.
Вариант 1
1. Построить четырехугольник по трем сторонам и радиусу описанной окружности.
1. Построить треугольник по двум сторонам, высоте.
2. Построить трапецию по двум диагоналям, углу между ними и боковой стороне.
3. Через данную точку Р провести прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между
двумя данными окружностями, делился этой точкой пополам.
4. Построить треугольник по двум углам и отрезку равному сумме стороны, высоты и
медианы, проведенных к этой стороне.
5. Построить окружность, проходящую через две данные точки и пересекающую данную
прямую под данным углом.
5abc  tq  b 2  cos   c
6. Построить отрезок
х
.
a 4  b4  a 4  b4
7. Построить прямоугольный треугольник, по данной сумме катетов и высоте, проведенной
к гипотенузе.
8. Построить точку симметричную данной, относительно диаметра круга, центр которого
не отмечен.
9. Построить отрезок равный среднему геометрическому двух данных отрезков.
10. На поверхности куба найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух
пересекающихся диагоналей граней куба.
11. Построить образ тетраэдра РАСВ при осевой симметрии с осью х, если х не пересекает
тетраэдр; ось х содержит одно из редер тетраэдра.
Контрольная работа № 6
«Построение сечений многогранников»
1 вариант
Построить сечение плоскостью проходящей, через три точки методом следов (а),
методом внутреннего проектирования (б).
а) для пятиугольной призмы, если одна точка лежит на боковом ребре, одна на ребре
верхнего основания, одна внутри.
б) для пятиугольной пирамиды, если одна точка лежит на боковом ребре, одна на
плоскости нижнего основания, одна на продолжении боковой грани.
2 вариант
Построить сечение плоскостью проходящей, через три точки методом следов (а),
методом внутреннего проектирования (б).
а) для шестиугольной призмы, если одна точка лежит на боковой грани, две внутри.
33 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
б) для шестиугольной пирамиды, если одна точка лежит на боковом ребре, одна на
плоскости нижнего основания, одна на боковой грани, не содержащей это ребро.
1)
2)
3)
Контрольная работа № 7
«Аксиоматический метод. Измерение величин»
Докажите, что середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами
ромба.
Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает какой либо отрезок,
то он пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла.
Найдите площадь
S1
S2
S3
Sx
4) Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности площадей оснований.
Радиусы оснований R и r. Найдите объем усеченного конуса.
Контрольная работа № 8
«Многомерная геометрия»
1) Определите, какие углы - острые, прямые или тупые - образуют векторы каждой пары:
(4,3,-5,1,2) и (2,-1,3,0,5), (2,-3,0,4,5) и (-7,1,6,2,1), (4,-6,2,-7,1) и (2,1,5,-2,3).
2) Даны точки А(1,3,-2,1), В(4,-1,6,5), С(8,-5,2,3). Найдите вершину Д параллелограмма
АВСД.
3) Запишите параметрическое уравнение плоскости проходящей, через точки (-1,0,-1,0),
(2,0,-1,1), (-1,1,0,0), (1,1,-1,4).
4) Выясните взаимное расположение плоскостей: P (x1=2t, x2=t+1, x3=-t+2) и Q (x1=7t+3,
x2=-1, x3=-4t+8).
5) Из ниже приведенных уравнений квадрик выберите те, которые отвечают квадрикам в
А3 эллиптическому цилиндру, гиперболе, паре мнимых плоскостей:
2
2
ξ1 + ξ2 =1, ξ12=0, ξ12- ξ22=1, ξ12+ ξ22+ ξ32=0, ξ12+ ξ22- ξ12=0, ξ12+ ξ22=1,
ξ12= -1, ξ12=2 ξ2.
6) Сколько вершин и граней разных размерностей у пятимерного куба.
7) Запишите формулы, задающие поворот вокруг точки С(-1,3) на угол π/6.
х   2х  х  1

1
2
8) Дано аффинное преобразование пространства А2:  1
.

 х2   х1  х2  2
Найдите образы прямых х1  3х2  0 и 2 х1  х2  3  0 .
9) Постройте образ равностороннего треугольника при косом сжатии к его медиане в
направлении другой медианы с коэффициентом 2.
Контрольная работа № 9
«Проективная геометрия»
1 вариант
1) Найти перспективные образы квадрата на проективной плоскости.
34 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
2) Найти прообразы точек (1,0,0), (0,1,0), (1,1,2), если проективные преобразования
х1  4 х1  х2

заданы уравнениями х2  6 х1  3х2
х  х  х  х
1
2
3
 3
3) Рассматривая треугольник на проективной плоскости, докажите, что медианы его
пересекаются в одной точке.
4) Определите тип КВП: х 21  х 2 2  х 23  4 х1 х3  0 .
5) Докажите, что на проективной плоскости через две пересекающиеся прямые можно
провести плоскость.
Контрольная работа № 10
« Элементы дифференциальной геометрии»
1 вариант
«Кривизна, кручение, касательная прямая и нормальная плоскость к кривой»
1. Восстановите формулы
к=

r
;
r r  
1, 2
2. Представить словесную запись предложенных предложений символической :
a) Кривая задана векторной функцией от переменных х и у.
b) Кручение определяется через вектор векторного произведения и его длину.
4. Найдите кривизну кривой

r  2t , ln t , t 2 
5. Установите истинны или ложны следующие утверждения:
a) Регулярная кривая, кручение которой везде равно нулю плоская.
b) Кривизна может принимать любые значения.
c) Кривизна регулярной кривой равна модулю второй производной от векторной функции
этой кривой.
6. Составьте уравнение нормальной плоскости к кривой x=1+t, y=-t2, z=1+t3
1 t2
x
1  t 2 , t – любое.
7. Какая линия на плоскости задается системой уравнения
2t
y
1 t2
2 вариант
«Трехгранник Френе»
1) Установите истинны или ложны следующие утверждения:
a) Первая формула Френе устанавливает зависимость вектором касательной и вектором
главной нормали.
b) Вторая формула Френе определяет вектор главной нормали через кривизну и вектор
бинормали.
c) Для нормальной плоскости в трехграннике в качестве координат перпендикулярного
вектора рассматриваются координаты вектора главной нормали.
2) Составить уравнение главной нормали кривой x=t, y= sin t, z = - cos t
3) Из ниже предложенных, выберите особенность в расположении соприкасающейся
плоскости линии x=a cos t, y= a sin t, z =b t относительно плоскости ХОУ:
a) Образует постоянный угол.
b) Параллельна ХОУ
c) Содержит ХОУ

35 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
d) произвольно.
4) Составьте уравнение бинормали кривой x = cost + t sint, y=sint – t cost, z= e –t / 2.
6) В каких точках кривая имеет касательную, параллельную плоскости 3x + y + z – 1 =0
3 вариант
«Поверхности. Уравнение касательной плоскости и нормали»
x  b cos v
1.Определите, какую поверхность задает система уравнения y  b sin v .
zv
2. Определите координаты нормального вектора к касательной плоскости к поверхности
x=u cosv, y=u sin v, z= av
3. Из ниже приведенных, выберите уравнение касательной плоскости к поверхности x y2 +
3
z =12 в точке М0 (1,2,3):
a) y + 3z - 1=0,
b) x + y + 3z - 9=0,
c) x + 3z - 9=0,
d) x + y + 3z=0.
4. Показать, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых на осях координат касательной
плоскостью поверхности
x = u3 sin 3 v,
y = u3 cos3 v,
z = (a 2 – u 2) 3 / 2.
5. Установите, истинны или ложны следующие утверждения:
a) Координаты x,y,z являются внутренними, а координаты u,v являются внешними.
b) Касательная плоскость к гладкой поверхности в данной точке – это плоскость, которая
содержит все касательные прямые к кривым, лежащим на поверхности и проходящим через
данную точку.
c) Геометрическим смыслом частных производных является векторы касательные к
любым прямым, лежащим в данной поверхности.
4 вариант
«Первая и вторая квадратичные формы»
1. Установите, истинны или ложны следующие утверждения :
a) Первой квадратичной формой регулярной поверхности называется первый
дифференциал.
b) Геометрическим смыслом первой квадратичной формы является квадрат дифференциала
длина кривой на поверхности.
c) Отношение первой квадратичной формы ко второй называется нормальной кривизной
поверхности.
d) Угол между кривыми на поверхности зависит от направляющих векторов данных
кривых.
2. Из ниже предложенных, выберите верную формулу для первой квадратичной формы:
a) I=E d 2u + F dudv + G d2v,
b) I=E d2u + 2F dudv + G d2v,
c) I=E d2u - F dudv + G d2v,
d) I=E d2v + F dudv + G d2u.
3. Найти первую квадратичную форму для поверхности
x= sin u + 2 v
y= cos u + 3 v
z= 12 v
4. Найти угол между линиями
u = ½ a v 2,
u=-½av2,
если известна
36 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
I= d2u + (u2 + a2)d 2v, при а= const.
5. Найдите вторую квадратичную форму поверхности z = x2 + y2 .
2. Вопросы к зачетам, экзамену
Вопросы к зачету 1 семестр
1) Определение эллипса и вывод его канонического уравнения.
2) Исследование форм эллипса.
3) Определение гиперболы и вывод его канонического уравнения.
4) Свойства гиперболы.
5) Парабола.
6) Полярное уравнение линий 2-го порядка.
7) Поверхности вращения.
8) Эллипсоид вращения.
9) Эллипсоид.
10) Гиперболоиды вращения.
11) Однополостный гиперболоид.
12) Двуполостный гиперболоид.
13) Эллиптический параболоид.
14) Гиперболический параболоид.
15) Конус 2-го порядка.
16) Цилиндрические поверхности.
17) Существование прямолинейных образующих однополостного гиперболоида.
18) Взаимное расположение прямолинейных образующих однополостного гиперболоида
из разных семейств.
19) Прямолинейные образующие гиперболического параболоида.
20) Взаимное расположение прямолинейных образующих гиперболического параболоида
из разных семейств.
21) Действия над векторами.
22) Линейная зависимость векторов.
23) Координаты и компоненты вектора на плоскости.
24) Скалярное произведение векторов.
25) Разложение вектора по 3-м некомпланарным векторам.
26) Свойства координат векторов.
27) Скалярное произведение векторов в пространстве.
28) Векторное произведение.
29) Смешанное произведение.
Итоговый контроль
«Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»
1 уровень
Выберите правильный ответ из числа предложенных.
Прямая задана уравнением 2х+3у-1=0
1.
направляющий вектор имеет координаты:
а) (2,3) б) (-3,2) в) (3,2) с) свой вариант
2.
вектор нормали имеет координаты:
а) (2,3) б) (-2,3) в) (3,2) с) свой вариант
3.
угол наклона прямой к оси ОХ равен:
а) 2/3
б) –3/2
в) 3/2
с) свой вариант
4.
отрезки, которые прямая отсекает на осях координат равны:
а) 1/2, 1/3 б) –1/3,1/2 в) –1/2 ,–1/3 с) свой вариант
37 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
Расстояние между точками ( 8,-5) и (-4,11) равно
а) 20
б) 21
в) 14
с) свой вариант
I.
Скалярное произведение векторов 4,-8 и 1,9 равно:
а) -68
б) 41
в) 76
с) свой вариант
II.
Кривая второго порядка задана уравнением 25х2+169у2=4225.
Эксцентриситет равен:
а) 13/12 б) 169/25 в) -12/13 с) свой вариант
x7 y 3 z 9


III.
Прямая и плоскость
и x+4y-3z-2=0
1
2
1
а) пересе- б) парал- в) прямая содержитс) свой
каются
лельны
ся в плоскости
вариант
IV.
Плоскости
2x-y+5z=2 и x+3y-z=z
а) пересе- б) паралв) перпендис) свой
каются
лельные
кулярные
вариант
V.
Прямая, задана как линия пересечения
2-х
2 x  y  3z  1  0
плоскостей 
.
5 x  4 y  z  7  0
Направляющий вектор имеет координаты:
а) {-11;-17;13} б) {13;-11;17} в) {7;3;2} с) свой вариант
VI.
Окружность задана уравнением 2х2+2у2-16х+12у+42=0.Центр окружности и
радиус равны:
а) (4;-3), 2 б) (-4;3), 4 в) (0;0), 42 с) свой вариант
VII.
Вершины тетраэдра заданы координатами А(2;1;-1), В(3;0;1), С(2;-1;3),
Д(0; -7;0). Объем тетраэдра равен:
а) 5
б) 30
в) -30
с) свой вариант
2 уровень.
Запишите только Ваш ответ.
I. Вершины треугольника АВС заданы соответственно координатами
(-3;5), (1;2), (0;6). Найдите длину высоты, опущенной из вершины А на ВС и точку, симметричную вершине
А.
II. Напишите каноническое уравнение эллипса, если фокальное расстояние равно 5,
точка (12,35) лежит на эллипсе.
III. Вычислить проекцию вектора а4,-3,5 на ось вектора с-7,8,0.
IV. Поверхность второго порядка задана уравнением
2x2-3y2-2z28x+6y-12z-21=0. Определить вид поверхности, центр и ось симметрии.
x  2 y 1 z 1


V. Найдите точку пересечения прямой
и плоскости 2x+5y-2z-13=0.
4
1
1
VI. Дано изображение параллелепипеда АВСДА’В’С’Д’ . Постройте точку Х, такую, что



CX  0.5CB  0.5CA
3 уровень.
Решение заданий прилагается полностью.
I. Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого
даны уравнениями 7х-5у-11=0, 8х+3у+31=0, х+8у-19=0.
II. Изобразите множество точек, заданные в полярных координатах на плоскости
уравнением  =sin 3
x  y 2  z 2
III. Напишите уравнение цилиндра с направляющей 
, если
образующие
x  2z
перпендикулярны плоскости направляющей. Постройте.
38 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
IV. Докажите, что середины всех параллельных между собой хорд гиперболы лежат на
одной прямой, проходящей через центр гиперболы. Вычислите угловой коэффициент этой
прямой, зная угловой коэффициент k хорд.
Вопросы к экзамену 2 семестр
1 часть
1) Методы изображений.
2) Изображение плоских фигур.
3) Изображение пространственных фигур.
4) Аксиоматическая проекция точек. Метод Монжа.
5) Аксиоматический метод. Требования к группе аксиом.
6) Аксиоматика Гильберта.
7) Аксиоматика Погорелова.
8) Понятие длины. Теорема существования и единственности длины (док-во).
9) Понятие площади. Теорема существования и единственности площади (док-во).
10) Площадь треугольника, прямоугольника (вывод).
11) Понятие объема. Теорема существования и единственности объема (док-во).
12) Объем куба, призмы, пирамиды (вывод).
13) Равновеликость и равносоставленность. Теорема Бойяи-Гервина (док-во).
14) Аксиоматитка Вейля.
15) Непротиворечивость аксиоматики Вейля.
16) Полнота аксиоматики Вейля.
17) V постулат. Различные доказательства V постулата. Дефект суммы углов треугольника
(док-во).
18) Определение параллельных прямых. Аксиома параллельности прямых в планиметрии
Лобачевского.
19) Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского (док-во).
20) Расходящиеся прямые и их свойства (док-во).
21) Следствия из аксиом на плоскости Лобачевского (док-во).
22) Угол параллельности. Функция Лобачевского.
23) Прострейшие кривые на плоскости Лобачевского.
24) Модель Пуанкаре планиметрии Лобачевского.
25) Модель Кэли-Клейна планиметрии Лобачевского.
26) Элементы сферической геометрии.
27) Элементы эллиптической геометрии Римана.
28) Псевдоевклидово пространства индекса к.
2 часть: Уметь доказывать теоремы школьного курса геометрии
1) Если прямая, не проходящая ни через одну вершину треугольника, пересекает одну из
его сторон, то она пересекает только одну из двух других его сторон.
2) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум
сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
3) Если одна сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно
равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники
равны.
4) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
5) Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних
углов равна 180º, то прямые параллельны.
6) Сумма углов треугольника равна 180º.
39 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
7) Из любой точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр,
и только один.
8) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
9) Если параллельные прямые, пересекающие стороны одного угла, отсекают на одной его
стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
10) Каковы бы не были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не
больше суммы расстояния от них до третьей точки.
11) Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
12) Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти
плоскости перпендикулярны.
Вопросы к экзамену 3 семестр
1 часть: Сформулировать
1) Определение проективного пространства.
2) Определение проективного репера.
3) Определение проективных координат.
4) Определение системы точек общего положения.
5) Определение расширенной прямой, плоскости.
6) Определение перспективного преобразования.
7) Прямую и обратную теорему Дезарга.
8) Принцип двойственности (малый и большой).
9) Определение отображения проективного пространства.
10) Определение сложного отношения четырех точек (прямых).
11) Определение n- вершинника.
12) Определение гармонической четверки точек (прямых).
13) Определения поляры, полюса, поляритета.
14) Теорему Штейнера.
15) Теорему Паскаля.
16) Теорему Брианшона.
2 часть
1) Понятие n-мерного проективного пространства. Векторная модель проективного
пространства проективной плоскости и проективной прямой. Простейшие свойства
проективного пространства. Расширенная прямая и плоскость.
2) Понятие проективного репера. Задание проективного репера.
3) Уравнение прямой на проективной плоскости. Условие принадлежности трех точек
одной прямой. Условие принадлежности трех прямых одной точке.
4) Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
5) Проективные отображения и преобразования прямой и плоскости. Группа проективных
преобразований. Предмет проективной геометрии.
6) Перспективные отображения.
7) Двойные отношения четырех точек (прямых) и его свойства.
8) Гармонические четверки. Полный четырехвершинник. Построение четвертой
гармонической точки.
9) Кривые второго порядка на проективной плоскости. Проективная классификация линий
второго порядка.
10) Взаимное расположение кривой второго порядка и прямой. Полюс. Поляра. Поляритет.
11) Конструктивная теория овальных линий второго порядка. Теоремы Паскаля и
Брианшона.
40 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
Тестовый контроль к зачету 4 семестр
1. Из ниже перечисленных, выберите то уравнение, которое определяет уравнение
касательной прямой к кривой
X  x(t ) Y  y (t ) Z  z (t )
X  x(t ) Y  y(t ) Z  z(t )




a)
;
b)
;
x(t )
y (t )
z (t )
x(t )
y (t )
z (t )
X  x(t ) Y  y (t ) Z  z (t )
X  x(t ) Y  y (t )



c)
; c)
.
x(t )
y(t )
z(t )
x(t )
y(t )
2. Найдите кривизну кривой

r  2t , ln t , t 2 
2
 2
2
2t 2  1 ;
a)
;
b) 2 t
2
t
2t  1
c) 0;
d) 2t 2  1 .
3. Выберите истинное утверждение:
a)
Регулярная кривая, кручение которой везде равно нулю плоская.
b)
Кривизна может принимать любые значения.
c)
Кривизна регулярной кривой равна модулю второй производной от векторной
функции этой кривой.
d)
Кручение плоской кривой всегда отлична от нуля.
1 t2
x
1  t 2 , t – любое.
4. Какая линия на плоскости задается системой уравнения
2t
y
1 t2
a)
Прямая;
b)
Окружность
c)
Ветвь гиперболы;
d)
Точка.
5. Определите, какое утверждение ложно:
a)
Первая формула Френе устанавливает зависимость вектором касательной и
вектором главной нормали.
b)
Вторая формула Френе определяет вектор главной нормали через кривизну и
вектор бинормали.
c)
Для нормальной плоскости в трехграннике в качестве координат
перпендикулярного вектора рассматриваются координаты вектора главной нормали.
d)
Вектор главной нормали является векторным произведением векторов
касательной и бинормали.
6. Из ниже перечисленных троек чисел выберите те, которые соответствуют числу
векторов, прямых, плоскостей в трехграннике Френе:
а) (1,2,4)
б) (3,2,3)
с) (3,3,3,)
д) (2,3,3)
7. Из ниже предложенных, выберите особенность в расположении соприкасающейся
плоскости линии x=a cos t, y= a sin t, z =b t относительно плоскости ХОУ:
a) Образует постоянный угол.
b) Параллельна ХОУ
c) Содержит ХОУ
d) произвольно.
8. В каких точках кривая x=3t-t2, y=t2, z=3t+t2 имеет касательную, параллельную
плоскости 3x + y + z – 1 =0:
a)
(12,-5, 6)
b)
(1, 2, 4)

41 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
c)
d)
(-18,36,54)
(21, 26, 61).
x  b cos v
9. Определите, какую поверхность задает система уравнения y  b sin v .
zv
a)
Сфера;
b)
Цилиндрическая поверхность
c)
Гиперболоид;
d)
Точка.
10. Из ниже приведенных , выберите координаты нормального вектора к касательной
плоскости к поверхности x=u cosv, y=u sin v, z= av
a)
{a sin v, a cos v, 0},
b)
{- a cos v, a cos v, u sin u},
c)
{ a sin v,- a cos v, u},
d)
{ u sin v,- u cos v, a}
11. Из ниже приведенных, выберите уравнение касательной плоскости к поверхности
x y2 + z3 =12 в точке М0 (1,2,3):
a)
y + 3z - 1=0,
b)
x + y + 3z - 9=0,
c)
x + 3z - 9=0,
d)
x + y + 3z=0.
12. Установите, какие из предложенных утверждений истинны:
a)Для произвольной поверхности r¯(t) координаты x,y,z являются внутренними, а
координаты u,v являются внешними.
b)
Касательная плоскость к гладкой поверхности в данной точке – это плоскость,
которая содержит все касательные прямые к кривым, лежащим на поверхности и проходящим
через данную точку.
c)Геометрическим смыслом частных производных является векторы касательные к
любым прямым, лежащим в данной поверхности.
13. Установите, какие утверждения ложны:
a)
Первой квадратичной формой регулярной поверхности называется первый
дифференциал.
b)
Геометрическим смыслом первой квадратичной формы является квадрат
дифференциала длина кривой на поверхности.
c)
Отношение первой квадратичной формы ко второй называется нормальной
кривизной поверхности.
d)
Угол между кривыми на поверхности зависит от направляющих векторов данных
кривых.
14. Найти первую квадратичную форму для поверхности
x= sin u + 2 v
y= cos u + 3 v
z= 12 v
I=cos2u d 2u + 36 v2 d2v,
b) I= d2u + (1+6v) dudv + 12 d2v,
c) I=u d2u – d2v,
d) Свой вариант
15. Из ниже приведенных, выберите коэффициенты второй квадратичной формы:
a)
F, N, G
b) L, M, N
c) E, F, G
d ) I, B, C
16. Какой угол образуют линии u = ½ a v 2, u = - ½ a v 2,
если известна I= d2u + (u2 + a2)d 2v, при а= const
a)
90º;
b)
30º;
a)
42 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
c)
d)
45º;
свой вариант.
3. Темы рефератов
«НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
1.
Плоские кривые (эллипс, гипербола, парабола, трохоиды, циклоиды, спирали;
построение с помощью нити и подэры)
2.
Простейшие поверхности (эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы,
цилиндры ; построение с помощью нити и подэры)
3.
Геометрия и живопись.
4.
Геометрия и архитектура.
5.
Правильные тела (правильные тела в трехмерном и четырехмерном пространствах
и их проекции на плоскость)
6. Конфигурации.
7. Геометрия и физика.
8. Геометрия на местности.
9. Измерительная геометрия.
10. Невозможные фигуры.
«ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ»
1.
Топологическое пространство.
2.
Метрическое пространство.
3.
Топологические свойства пространств.
4.
Отображение топологических пространств.
5.
Базы и вес топологического пространства.
6.
Связность и отделимость в топологии.
7.
Многообразия в топологическом пространстве.
8.
Многоугольники и многогранники в топологии.
9.
Компактность в топологическом пространстве.
10.
Компактность в метрическом пространстве.
11.
Ориентированные и неориентированные многообразия.
12.
Аффинное пространство.
13.
Двумерные многообразия.
14.
Модель Кэли – Клейна плоскости Лобачевского.
15.
Аксонометрия.
«МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»
1.
Решение задач логического характера.
2.
Возможности чертежа при решении геометрических задач.
3.
Решение геометрических задач координатным методом.
4.
Решение геометрических задач векторным методом.
5.
Решение геометрических задач методом преобразований.
6.
Решение геометрических задач методом вспомогательной окружности.
7.
Решение геометрических задач методом площадей и объемов.
8.
Методы доказательства геометрических теорем.
4. Темы выпускных квалификационных работ
1.
Вторая квадратичная форма.
2.
Внутренняя геометрия поверхности.
3.
Сферический треугольник.
4.
Кривой на поверхности.
5.
Внешняя геометрия поверхностей.
6.
Планиметрия Лобачевского.
43 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Простейшие кривые и поверхности в геометрии Лобачевского.
Элементы геометрии Римана.
Построение правильных n-угольников с помощью циркуля и линейки.
Решение задач методом поворота.
Равновеликость и равносоставленность.
Геометрия циркуля и геометрия линейки.
Теоретико-групповые принципы геометрии.
Сложное (двойное) отношение четырех точек, прямых.
Системы координат в геометрии.
44 стр. из 42 стр.
Рабочая программа дисциплины «Геометрия»
V. Терминологический минимум
1. Основные термины и понятия курса
Вектор – это величина, для которой необходимо указывать её численную
характеристику и направление в пространстве.
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное постоянное
число 2а большее, чем расстояние между фокусами 2с.
Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которой абсолютная
величина разности расстояний до двух данных точек есть величина постоянная, меньшая, чем
расстояние между фокусами.
Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых равно отстоит от
данной точки, называемой фокусом, до данной прямой, называемой директрисой.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и в называется число, равное
произведению этих векторов на косинус угла между ними.
Векторным произведением векторов а и в называется третий вектор с, определяемый
следующими условиями:
1. Длина с равна произведению длин векторов а и в и на Соs 
2. с  а , с  в
3. Направление с выбирают таким образом, чтобы смотреть с конца вектора с и видеть
кратчайший поворот от вектора с к в против часовой стрелки.
Смешанным произведением векторов а , в , с называется скалярное произведение
векторного произведения двух векторов на третий вектор.
Поверхность, образованная вращением данной линии вокруг оси называется
поверхностью вращения.
45 стр. из 42 стр.