Методические указания и задания для самостоятельного решения для студентов специальности «Экономика»

1
Методические указания и
задания для самостоятельного
решения для студентов специальности «Экономика»
заочной формы (ССО, ПСО)
обучения
2
дисциплина
Теория вероятностей и математическая статистика
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………….
4
1 Основные теоретические сведения……...……………………………
5
1.1 Классическое определение вероятности……………………..….
5
1.2 Элементы комбинаторики…………………………………………
6
1.3 Теоремы сложения и умножения вероятностей……….…………
7
1.4 Формула полной Вероятности. Формула Байеса……………….
9
1.5 Формула Бернулли………………………………………………..
10
1.6 Локальная теорема Лапласа………………………………………
11
1.7 Интегральная теорема Лапласа……………………………………
12
1.8 Теорема Пуассона………………………………………………….
12
1.9 Дискретные и непрерывные случайные величины……………..
13
1.10 Математическое ожидание дискретной случайной величины…
15
1.11 Дисперсия……………………………………………………….
16
1.12 Функция распределения и плотность вероятности……………
17
1.13 Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
19
1.14 Нормальное распределение……………………………………..
20
1.15 Сравнение двух дисперсией……………………………………..
21
1.16 Выборочное уравнение прямой линии регрессии…………….
23
1.17 Дисперсионный анализ………………………………………….
26
2 Задания для самостоятельной работы……………………………….
29
Литература………………………………………………………………..
46
Приложение
4
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемые методические указания дают возможность студентам группы
специальностей "Экономика и управление" закрепить теоретические знания по
теории вероятности и математической статистике самостоятельным решением задач.
В указаниях приводится краткое содержание теоретического материала тем,
которое сопровождается подробным разбором решений типовых задач, задания
для самостоятельной работы студентов.
Всего предусматривается выполнение студентов 11 заданий. Каждое задание
содержит 20 вариантов. Перед выполнением работы студент должен изучить соответствующие разделы курса по литературе, рекомендованной в данном пособии.
При выполнении контрольной работы следует соблюдать указанные ниже
правила.
1. Контрольную работу следует выполнять в тетради пастой любого цвета, кроме
красного, оставляя поля для замечаний.
2. Решение задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях,
сохраняя номера задач. Перед решением надо полностью выписать ее условие.
В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.
3. Решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия. В
конце решения, следует записать ответ.
4. Контрольная работа, выполненная не по-своему варианту, не допускается к собеседованию. К собеседованию не допускается также работа, в которой выполнены не все задания.
5. После получения прорецензированной работы студент должен исправить в ней
все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты.
6. Оформление титульного листа контрольной работы выполняется согласно приложения 1.
Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и возвращается студенту для переработки.
5
1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
1.1 Классическое определение вероятности
Наблюдаемые нами события можно разделить на достоверные, невозможные,
случайные.
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет
осуществлена определенная совокупность условий.
Случайным называют событие, которое может произойти, либо не произойти,
если будет осуществлена определенная совокупность условий.
Вместо слов «осуществлена совокупность условий» зачастую говорят «произведено испытание».
События называют несовместными, если появление одного из них исключает
появление других событий в одном и том же испытании.
Система событий образует полную группу для данного испытания, если любым
исходом его является одно или только одно событие этой группы. Возможные,
исключающие друг друга, результаты одного испытания называются элементарными истодами испытания.
Исход испытания называется благоприятствующим некоторому событию, если в результате этого исхода появляется указанное событие. События называются
равновозможными, если нет оснований считать одно из них более или менее возможным, чем остальные. Определение Вероятностью Р(А) события А называют
отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу
всех равновозможных элементарных исходов испытания, образующих полную
группу, т.е. Р( А) 
m
(1.1).
n
Свойства вероятности:
1 . Вероятность достоверного события равна единице.
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
3. Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и
единицей.
Таким образом, вероятность любого события А удовлетворяет неравенству:
0  P( A)  1. (1.2)
Пример 1
Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма очков равна семи?
Решение:
6
Число возможных исходов испытания п=36. Событию А, заключающемуся в
том, что сумма очков равна 7, благоприятствуют исходы испытания (1,6), (6,1),
(2,5), (5,2), (3,4), (4,3). Следовательно, т=6. Значит Р( А) 
m
6 1

 .
n 36 6
1.2 Элементы комбинаторики
Решение задач на вычисление вероятностей по классической схеме часто облегчается использованием формулы комбинаторики.
Рассмотрим k множеств М1, М2,…, Мk содержащих соответственно по m1,
m2,…, mk элементов. Выбирается по одному элементу из каждого множества и составляется еще одно множество. Число способов, которыми можно выбирать по
одному элементу из каждого множества, равно произведению m1; m2;…; mk.
Будем рассматривать комбинации, в которые каждый элемент данного множества может входить не более одного раза, т.е. комбинации без повторений.
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их
порядком. Число возможных размещений:
Аnm  n(n  1)(n  2)...(n  m  1). (2.1)
Пример 2
Сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр 1,2,3,4,5,6
без повторений.
Решение:
n=3; m=3; А63 = 6·5· 4 = 120.
Перестановками называются комбинации, составленные из одних и тех же n
различных элементов и отличающихся только порядком их расположения Число
всех возможных перестановок:
Рn=1·2· 3…n=n!
(2.2)
(Заметим, что 0!=1).
Пример 3
Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
Решение:
Р10=10! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 = 3628800.
Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число
сочетаний:
Сnm 
n!
.
m!(n  m)!
(2.3)
Пример 4
Сколькими способами можно выбрать трех человек из 20?
Решение:
n=20, m= 3. С203 
20!
20!201918 20  19  18


 1140.
3!(20  3)!
3!17!
1 2  3
7
Отметим, что числа размещения, перестановок и сочетаний связаны равенством:
(2.4)
Аnm  Pm  Cnm .
Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляются по другим формулам. Например, если среди n элементов n1 элементов одного вида, n2 - другого и т.д., то число перестановок с повторениями Pn (n1 , n2 ,...nk ) 
n!
,
n1!n2!...nk !
где n=n1+n2+…+nk.
1.3 Теоремы сложения и умножения вероятностей
Суммой А+В событий А и В называется событие, состоящее в том, что в результате опыта наступит или событие А, или событие В, или оба вместе. (Другими
словами, суммой А+В событий А и В называется событие, состоящее в появлении
хотя бы одного из этих событий):
Если события А и В несовместны, то А+В - это событие А, или событие В.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении и события А и события В.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в их совместном появлении.
Событием, противоположным событию А, называется событие, обозначаемое А и состоящее в том, что в результате опыта событие А не наступит.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность
суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (3.1)
Следствие 1.
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А1 + А2 +… + Аn) = Р(А1) + Р (А2) + ... + Р (Аn).
Следствие 2.
Если события А1,A2,...,Аn образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:
Р (А1) + Р (А2)+...+ Р (Аn) = 1.
Следствие 3.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р( А)  Р( А )  1.
Пример 5
В ящике 4 белых, 5 красных и 6 зеленых шаров. Шары перемешивают и
наудачу извлекают один шар. Какова вероятность события, состоящего в том, что
шар окажется цветным?
Решение:
8
Обозначим:
А - событие, состоящее в том, что извлеченный шар окажется красным;
В - событие, состоящее в том, что извлеченный шар окажется зеленым.
Интересующее нас событие состоит в появлении события А+В. Так как А и В
несовместны, то Р(А + В) =Р(А) + Р(В) =
5
6 11

 .
15 15 15
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события
А не зависит от того, произошло событие В или нет.
Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из
них не зависит от любой совокупности остальных
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А
меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Вероятность события А, вычисляемая при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А и обозначается Рв(А).
Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения двух событий
равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную при условии, что первое из них произошло:
Р(АВ) = Р(А)РА(В)-Р(В)Рв(А).
(3.2)
Следствие 1.
Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.
Следствие 2.
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению
вероятностей этих событий:
Р(АВ)=Р(А) Р(В).
Для вычисления вероятности совместного появления большего числа событий, например, четырех, используют формулу:
Р(АВСД)=P(A)PА(B)PAB(C)PАВС(Д).
Для нескольких независимых в совокупности событий вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:
Р (А1А2 ...Аn) = Р(А1)Р(А2) ... Р (Аn).
Следствие 3.
Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, ..., Аn, независимых в совокупности, равна разности единицы и произведения вероятностей противоположных событий А1 , А2 ,..., Аn : Р (А1+А2+...+Аn) = 1-Р( A 1)Р( A 2) ... Р ( A n).
Пример 6
В ящике 4 белых и 6 черных шаров. После перемешивания наудачу извлекаются два шара. Какова вероятность того, что оба извлеченных шара - белые?
Решение:
А- событие, заключающееся в том, что 1-й извлеченный шар - белый.
В - событие, заключающееся в том, что 2-й извлеченный шар - белый.
9
Тогда АВ - событие, заключающееся в том, что оба извлеченные шара - белые.
Р( АВ)  Р( А) РА ( В) 
4 3 2
  .
10 9 15
Пример 7
Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7, вторым - 0,8. Оба
стрелка независимо друг от друга производят в цель по выстрелу. Найти вероятность того, что оба стрелка попали в цель.
Решение:
А - 1-й стрелок попал в цель;
В - 2-й стрелок попал в цель.
По условию: Р (А) = 0,7, Р (В) = 0,8.
АВ - оба стрелка попали в цель.
Р (АВ) = Р(А)·Р(В) = 0,7·0,8 = 0,56.
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Теорема сложения вероятностей совместных событий: вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их совместного появления:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
(3.3)
Пример 8
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равно
0,92, второй - 0,95. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы
один сигнализатор
Решение:
Обозначим: А - сработает 1-й сигнализатор, В - сработает 2-й сигнализатор
По условию Р (А) = 0,92, Р (В) = 0,95. А+В - срабатывает хотя бы один сигнализатор.
Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В) = 0,92+0,95-0,92·0,95=0,996.
1.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса
Пусть событие А может произойти в результате осуществления одного события из некоторой полной группы событий: Н1, Н2,…, Нn.
События этой группы обычно называют гипотезами.
Тогда Р( А)  Р( Н1 ) РН ( А)  Р( Н 2 ) РН ( А)  ...  Р( Н n ) PH ( A)
(4.1)
(формула полной вероятности), причем
Р(Н1) +Р(Н2) +…+Р(Нn)=1.
Пример 9
В магазин для продажи поступает продукция трех предприятий в следующих
относительных долях: 1 - 40%, 2 - 50%, 3 - 10%. Для продукции этих предприятий
1
2
n
10
брак соответственно составляет:
1 - 5%, 2 - 6%, 3 - 1%. Найти вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине, окажется
доброкачественным.
Решение:
Обозначим: А- случайно приобретенное изделие - доброкачественное; Н1, Н2,
Н3 - приобретенное изделие изготовлено соответственно на 1, 2 и 3 предприятиях.
Согласно условию:
Р(Н1)=0,4; Р (Н2) = 0,5; Р(Н3)= 0,1.
РН ( А)  1  0,05  0,95; РН ( А)  1  0,06  0,94; РН ( А)  1  0,01  0,99.
1
2
3
По формуле полной вероятности получаем
Р(А)=0,4·0,95+0,5·0,94+ 0,1·0,99 = 0,949.
Пусть в результате испытания произошло событие А, которое могло наступить только вместе с одним из событий Н1, Н2,…, Нn, образующих полную группу
событий. Требуется найти вероятность событий Н1, Н2,…, Нn, после испытания,
когда событие А уже имело место, т е. РА(Нi), i=1,2,..., n. Для нахождения этих вероятностей используют формулы Байеса (формулы гипотез):
РА ( Н i ) 
P( H i ) PH ( A)
i
P( H1 ) PH ( A)  P( H 2 ) PH ( A)  ...  P( H n ) PH ( A)
1
2
, i=1,2,…,n.
(4.2)
n
Замечание.
1) Вероятности PA(Нi) называются послеопытными (апостериорными) вероятностями гипотез Нi, а вероятности Р(Нi) - доопытными (априорными) вероятностями гипотез Нi. Эти вероятности различаются.
2) Знаменатель в правой части формулы (4.2) совпадает с правой частью формулы (4.1) и равен Р(А).
1.5 Формула Бернулли
Пусть проводится серия из n испытаний, в результате каждого из которых событие А может произойти или не произойти. Предполагаем, что вероятность р
наступления события А в каждом испытании постоянна, т. е. не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предыдущих испытаний
Последовательность испытаний, удовлетворяющих указанному условию, называется последовательностью независимых испытании (или схемой Бернулли).
Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеется лишь два
исхода:
1) событие А, Р(А) = р; 2) событие А , Р( А ) = g = 1-p. (5.1)
Вероятность Рn(к) того, что в серии из n испытаний в схеме Бернулли событие
А наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), выражается
формулой Бернулли:
Рn (k )  Cnk p k g n  k , где Cnk 
n!
.
k!(n  k )!
(5.2)
В некоторых задачах требуется определить вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет не менее k раз. Используя теорему сло-
11
жения вероятностей и формулу Бернулли, искомую вероятность определяют по
формуле:
Рn(k)+Рn(k+1)+...+ Рn(n). (5.3)
Количество п испытаний, которое необходимо произвести для того, чтобы с
вероятностью, не менее Р, можно было утверждать, что событие А произойдет хотя бы одни раз, определяем по формуле:
n
ln( 1  P )
.
ln( 1  p )
(5.4)
Наивероятнейшее значение  появлений события А в n испытаниях равно целой части числа (n+1)р, а если это число целое, то наивероятнейших значений два:
1  (n  1) p  1, 2  (n  1) p. (5.5)
Пример 10
Что вероятнее, выиграть у равносильного противника 4 партии из 6 или 5 из
8?
Решение:
Используя
Р6 (4) 
Затем
формулу
6!  1 
 
2!4!  2 
4
5
при
n=6,
k=4,
1
2
р= ,
1
2
g=1-р= ,
находим
65 1 
15
1
  
   .
1 2  2 
64
2
2
при
8!  1 
Р8 (5) 
 
5!3!  2 
Бернулли
6
n=8,
k=5,
1
2
р= ,
g=
6 7 8 1 
7
15 14
7
1


 P8 (5),
  
   ; Р6 (4) 
1 2  3  2 
32
64 64 32
2
3
1
2
находим:
8
следовательно, веро-
ятнее выиграть 4 партии из 6.
1.6 Локальная теорема Лапласа
Формула Бернулли становится трудно применимой при больших n. Это связано с вычислением Cnk .
Существует практически удобный способ вычисления вероятностей Рn(к) приближенный, но достаточно точный при больших значениях n.
Теорема Лапласа. Пусть р - вероятность появления события А в одном испытании, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли в п испытаниях событие А наступит ровно k раз, приближенно выражается равенством:
Рn (k ) 
k  np
, ( x) 
где x 
npg
1
 ( x) ,
npg
(6.1)
2
1 x2
e , g  1  p.
2
Формула (6.1) дает тем более точный результат, чем больше n.
Для функции  (х) составлены таблицы, составленные лишь для x  0 , так как
 (х) - четная функция, т.е.  (-х)=  (х).
12
Пример 11
Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение:
n= 400, k = 80, р= 0,2, g=1-0,2 = 0,8.
х
80  400  0,2
 0, Р400 (80) 
400  0,2  0,8
1
1
 0   0,3989  0,0498625.
8
400  0,2  0,8
1.7 Интегральная теорема Лапласа
Во многих задачах требуется вычислить вероятность Рn(k1, k2) того, что в серии испытаний событие А произойдет не менее k1 и не более k2 раз. Вычисление
этой вероятности с помощью формулы Бернулли при больших п весьма затруднительно.
Удобный приближенный способ вычисления вероятностей Рn(k1, k2) в схеме
Бернулли дает интегральная теорема Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна р (0 < р < 1), то имеет место приближенное неравенство
Pn (k1 , k 2 ) 
где
1
2
x1 
x2

t2
e 2 dt,
(7.1)
x1
k1  np
npg
, x2 
k 2  np
, g  1  p.
npg
Для вычисления вероятностей Рn(k1, k2) формулу (7.1) представляют в виде:
Рn (k1; k2 )  Ф( х2 )  Ф( х1 ),
(7.1)
2
1 х t2
 е dt функция Лапласа, для которой составлены таблицы. Так
2 0
как Ф(-х) = - Ф(х), то таблицы составлены лишь, для x  0 .
где Ф( х) 
Замечание 1. Формула (7.1) или (7.1,) дает хорошие результаты при достаточно больших п.
Замечание 2. Вероятность того, что событие А наступит не менее k раз можно
считать с помощью формулы (7.1) или (7.1,), полагая k1 =k, k2=п.
Пример 12
Вероятность того, что изделие не прошло контрольную проверку равна 0,2. Найти
вероятность того, что среди 400 отобранных изделий окажется непроверенных изделий от 70 до 100 деталей.
Решение:
n=400, k1=70, k2=100, p=0,2, g=1-p=1-0,2=0,8.
70  400  0,2
100  400  0,2
 1,25, х2 
 2,5.
400  0,2  0,8
400  0,2  0,8
Р400 (70,100)  Ф(2,5)  Ф(1,25)  Ф(2,5)  Ф(1,25)  0,4938  0,3944  0,8882.
х1 
1.8 Теорема Пуассона
Рассмотрим схему Бернулли с малой вероятностью р появления события А в
одном испытании и с большим количеством n испытаний. Пусть при большом п
13
малая вероятность р такова, что рn=  , где  - некоторое число. Вероятность Рn(k)
в такой схеме Бернулли описывается теоремой Пуассона: Пусть n  ,   0 постоянно и p 

n
. Тогда в схеме Бернулли из п независимых испытаний, в каждом из
которых вероятность наступления события А равна р, имеет место приближенное
равенство
Pn (k ) 
k e 
k!
(формула Пуассона).
(8.1)
Замечание. Формулу Пуассона можно (применять в случаях, когда число п
испытаний "велико", вероятность события р "мала", а  =пр "не мало и не вели
ко"
Пример 13
При изготовлении некоторой продукции вероятность отклонения от стандарта составляет 0,001. Какова вероятность того, что в партии из 1000 изделий этой продукции 2 изделия окажутся нестандартными?
Решение:
Вероятность р=0,001 мала, п=1000 велико,  =пр=1000*0,001=1. Тогда по
формуле Пуассона получаем:
Р1000 (2) 
2е 
2!

1 1
е  0,184.
2
1.9 Дискретные и непрерывные случайные величины
Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания
приобретает то или иное числовое значение из некоторого множества. При этом
заранее неизвестно, какое имело значение случайная величина примет в результате опыта.
Случайная величина называется дискретной, если все ее возможные значения
изолированны друг от друга и их можно занумеровать.
Случайную величину называют непрерывной, если она может принимать любые значения из некоторого промежутка (конечного или бесконечного).
Случайные величины будем обозначать заглавными буквами, например X, Y,
а их возможные значения соответствующими малыми буквами х 1, х2, …, хn; у1, у2,
..., уm. Вероятность того, что случайная величина примет значение, равное х i, обозначают Р(Х= хi)=рi.
Законом распределения случайной величины называется соответствие между
ее возможными значениями и вероятностями, с которыми эти значения принимаются.
Простейшей формой задания этого закона для дискретных, случайных величин является таблица, первая строка которой содержит все возможные значения
случайной величины, в вторая - их вероятности
14
X х1 x2
… xn
р
р1 р2 … pn
Отметим, что р1 + р2 + ... + рn= 1.
Для того, чтобы придать закону распределения более наглядный вид, прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладывают возможные
значения случайной величины, а по оси ординат - их вероятности. Точки (хi, рi),
i=1,2,..., n, соединяют отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения (рис. 1)
Рисунок 1.
Пример 14
Стрелок, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до тех пор, пока либо не попадет, либо не израсходует все патроны. Случайная величина X - число израсходованных стрелком патронов. Построить закон и многоугольник распределения этой
случайной величины, если вероятность попадания в цель стрелком при одном выстреле равна 0,6.
Решение:
Возможные значения случайной величины X:
х1=1, х2=2, х3=3, х4=4.
р1=(X = х1) = 0,6, т. е. попадание при первом выстреле.
Х=х2 - это попадание при втором выстреле (и промах при первым). Вероятность промаха равна 0,4, поэтому по теореме умножения вероятностей
р2=Р(Х=х2)=0,4*0,6=0,24.
Х=х3 - попадание при третьем выстреле (и промах в первых двух). По теореме умножения вероятностей:
р3=Р(Х=х3)=0,4*0,4*0,6=0,096.
Х=х4 - попадание или промах при четвертом выстреле (и промах в первых
трех).
По
теоремам
умножения
и
сложения
вероятностей:
р4=Р(Х=х4)=0,4*0,4*0,4*0,6+0,4*0,4*0,4*0,4=0,064
Контроль: р1 + р2 + р3+ р4= 0,6 + 0,24 + 0,096 + 0,064 = 1. И так, получили закон распределения:
X
1 2
3
4
р 0,6 0,24 0,096 0,064
6
Строим многоугольник распределения
15
1.10 Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма
произведений возможных значений случайной величины на их вероятности, то
есть, если Х - дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет
вид:
X х1 x2 … xn
р
р1 р2 … pn
то М(Х)= х1р1+ х2р2+…+хnрn
(10.1)
Отметим, что при большом числе опытов среднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной величины приближается к ее математическому
ожиданию.
Замечание. Математическое ожидание случайной величины есть величина
неслучайная.
Пример 15
Найти М(Х), если закон распределения случайной величины X задан таблицей
X -2 1 3 6
7
р 0,2 0,1 0,1 0,4 0,2
Решение:
М(Х)=(-2)*0,2+1*0,1+3*0,1 +6*0,4 + 7*0,2 = 3,8.
Основные свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной,
т.е., если С=const, то М(С)=С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. М(СХ)=СМ(Х).
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величии равно сумме
математических ожиданий этих величин, т.е. М(Х+У)=М(Х)+М(У).
4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е.
М(Х*У)=М(Х)*М(У), где X и У - независимые случайные величины.
Пример 16
Законы распределения случайных величин X и У заданы таблицами
X -1 0 2
р 0,3 0,2 0,5
У 1 3
р 0,4 0,6
16
Показать, что М(Х+У)=М(Х)+М(У) и М(ХУ)=М(Х)* М(У).
Решение:
М(Х) =(-1)*0,3+0*0,2+2*0,5 = 0,7,
М(У)=1*0,4+3*0,6 = 2,2.
Определим закон распределения случайной величины Х+У.
Х+У -1+1
-1+3
0+1
0+3
2+1
2+3
р
0,3 *0,4 0,3*0,6 0,2*0,4 0,2*0,6 0,5*0,4 0,5*0,6
или
Х+У 0
1
р
0,12 0,08
2
3
5
0,18 0,12+0,2 0,2
Контроль: 0,12 + 0,08 + 0,18 + (0,12 + 0,2) + 0,3 = 1.
М(Х+У) = 0*0,12 + 1*0,08 + 2*0,18 + 3*0,32 + 5*0,3 = 2,9 = 0,2 + 2,2
М(Х)+М(У).
Определяем закон распределения случайной величины ХУ.
X У (-1)*1 (-1)*3
0*1
0*3
2*1
2*3
р
0,3*0,4 0,3*0,6 0,2*0,4 0,2*0,6 0,5*0,4 0,5*0,6
или
X У -3
-1
0
2
6
р
0,18 0,12 0,08+0,12 02
0,3
Контроль: 0,18 + 0,12 + (0.08 + 0.12) + 0,2 + 0,3 = 1.
М(ХУ) = (-3)*0,18 + (-1)*0,12 + 0*0,2 + 2*0,2 + 6*0,3 = 1,54 = 0,7*2,2
М(Х)*М(У).
1.11 Дисперсия
Пусть X - случайная величина. Случайную величину X - М(Х) называют отклонением.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое
ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания,
то есть:
D(Х) = М((Х-М(Х)))2.
(11.1)
Дисперсия характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины по отношению к ее математическому ожиданию.
Нередко вместо формулы (11.1) в вычислениях используют эквивалентную ей
формулу:
D(Х) = М(Х2)-(М(Х))2. (11.2)
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т. е. D(С)=0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в
квадрат, т. е. D(СХ)=С2D(Х).
3. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией D(Х±У)=D(Х)+D(У).
17
Следствие: D(С+Х)=D(Х), где С - постоянная.
Замечание. Дисперсия D(Х) имеет размерность квадрата единицы размерности случайной величины X. Это создает определенные неудобства, поэтому вводят
показатель рассеяния случайной величины, имеющий ту же размерность, что и
случайная величина. Для этого извлекают квадратный корень из дисперсии Полученную величину называют средним квадратическим отклонением (стандартом)
и обозначают:
 (Х), т.е.  ( Х )  D( X ) . (11.3)
Пример 17
В условиях примера 16 показать, что D(Х+У)=D(Х)+D(У).
Решение:
Вычислим D(Х), D(У) и D(Х+У).
2
X 1 0 4
р 0,3 0,2 0,5
М(Х2) =1*0,3 + 0*0,2+4*0,5 = 2,3
D(Х) = М(Х2) - (М(Х))2 = 2,3 - (0,7)2 =1,81.
Y2
1
9
p
0,4
0,6
2
M(У )= 1*0,4+9*0,6 =5,8.
D(Y)=5,8-(2,2)2=0,96.
(Х+У)2 0
1
4
9
25
р
0,12 0,08 0,18 0,32 0,9
М((Х+У)2) = 0*0,12+1*0,08+4*0,18+9*0,32+25*0,3 = 11,18
D(Х+У) = М((Х+У)2) - (М(Х+У))2=11,18- (2,9)2- 2,77.
Следовательно,
D( X  Y )= 2,77 = 1,81 + 0,96 = D(Х) +D(У).
1.12 Функция распределения и плотность вероятности
Закон распределения, рассмотренный выше (в виде таблицы), пригоден только для дискретных случайных величин. Для характеристики непрерывных случайных величин вводят функцию распределения:
F(x)=P(X<x), (12.1)
называемую также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения случайной величины X (х - произвольное действительное
число).
Заметим, что функция распределения имеет смысл и для дискретных случайных величин и может быть записана в виде: F ( x)   pi (12.2)
xi  x
Свойства функции распределения:
1. F(х) - величина безразмерная и 0  F (x)  1.
2. F(х) - неубывающая функция, т.е. если х1> х2, то F ( x1 )  F ( x2 ) .
3.F( а  Х  b )=F(b)-F(a).
18
4. lim
F ( x)  1, lim F ( x)  0.
x 
x 
Для непрерывных случайных величин нередко вместо функции F(х) бывает
удобнее использовать функцию f(х), определяемую равенством:
f(x)= F  (x) (12.3)
и называемую плотностью вероятности или дифференциальным законом распределения случайной величины X.
Свойства плотности вероятности:
1. f ( x)  0,

2.  f ( x)dx  1 если же возможные значения случайной величины принадлежат

b
 f ( x), a  x  b,
то  f ( x)dx  1.
a
0, x  a и x  b,
отрезку [а,b], т.е. f ( x)  
b
3. P(a  x  b)   f ( x)dx.
a
x
4. F ( x)   f ( x)dx.

Пример 18
 0, x  0

F ( x )   2 x ,0  x  1
 0, x  1.

Найти, f ( x), P  X  2 , построить графики функций F(x) и f(x).
1
2

Решение:
 0, x  0

f ( x)  F ( x)   x 2 ,0  x  1
 1, x  1.

2
1
2
1
1 3
1
 2
P  X  2    f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   2 f ( x)dx   0dx  x 2 11  0  1   .
4 4
1
1
2
2
2
 1
2
2
2
2
19
Рисунок 4
1.13 Числовые характеристики непрерывной случайной
величины
Математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], определяется формулой
b
М ( Х )   xf ( x)dx,
(13.1)
a
где f(х) - плотность вероятности случайной величины X.
Если возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой

оси, то М ( Х )   xf ( x)dx.

Аналогично дисперсии дискретной случайной величины определяется дисперсия непрерывной случайной величины:
b
D( x)   ( x  М ( Х )) 2 f ( x)dx. (13.2)
a
Если возможные значения случайной величины принадлежит всей числовой

оси, то D( x)   ( x  М ( Х )) 2 f ( x)dx. (13.3)

При вычислениях вместо формул (13.2) и (13.3) бывает удобнее использовать
соответственно формулы:
20
b

2
D
(
x
)

 ( x  М ( Х )) f ( x)dx.

a
. (13.4)


2
 D( x)   ( x  М ( Х )) f ( x)dx


Замечание. Свойства М(Х) и D(Х) аналогичны соответствующим свойствам
числовых характеристик дискретной случайной величины.
(13.5)  ( Х )  D( X )
- среднее квадратическое отклонение случайной величины (стандарт).
Пример 19
 0, x  2

f ( x )  kx,2  x  4
 0, x  4.

Найти коэффициент k, М(Х), D(Х),  (X).
Решение:
По свойству 2 функции f(x):
4
4
2
2
 kxdx  1, или k  xdx  1, k
x2 4
 1, k  (8  2)  1.
2
2
1
k .
6
1
14 2
1 x3 4 28
М ( Х )   х xdx   x dx 
 ,
2
6
62
6 3
9
2
2
4
4
1
1
784 1 x 4
 28 
D( Х )   х 2 xdx      x 3dx 

6
62
81 6 4
2
 9 
4
 ( X )  D( X ) 
4
2

784 26

,
81
81
26
26

.
81
9
1.14 Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения,
если ее функция плотности вероятности имеет вид:

1
f ( х) 
е
 2
( ха)2
2 2
(14.1)
где а  R,  0 - параметры распределения.
График функции f(х) называют нормальной кривой или кривой Гаусса.
имеет вид (рис. 5)
Рисунок 5
и обладает следующими свойствами:
Он
21
1) кривая симметрична относительно прямой х = а;
2) функция имеет максимум f (a) 
1
;
 2
3) при х  ±  во кривая приближается к оси Ох;
4) кривая выпукла при х  (а-  , а+  ) и вогнута при х  (  , a   )  (a   ,)
М(Х) = а, D(Х) =  2, т.о. а - это математическое ожидание нормальной случайной величины, а  - ее среднее квадратическое отклонение.
Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал (a,  )
  
  а 
  Ф
. (14.2)
  
  
определяется по формуле Р(  X   )  Ф
где Ф(х) - функция Лапласа (см. параграф 1.7).
Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал, симметричный относительно математического ожидания, определяется формулой:
 
Р Х  а     2Ф . (14.3)
 
Из этой формулы получаем Р   Х  а   3  2Ф(3) = 0,9973,
откуда следует правило трех сигм для нормального распределения: практически достоверно, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания не превышает утроенного среднего квадратического отклонения. (Слова "практически достоверно" означают, что лишь в 0,27% случаев отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания может
превзойти 3  ).
Пример 20
X - нормально распределенная случайная величина с М(Х)=5, D(Х)=1 . Написать f(х) для этой случайной величины и найти вероятность ее попадания в интервал (4,7).
Решение:
а=М(Х)=5,
  D( X )  1  1.
Следовательно,

1
f ( x) 
e
1 2
( x  5) 2
2 *12
,
или
1  ( x 25)
.
e
2
2
f ( x) 
7 5
 45
Р ( 4  X  7 )  Ф
  Ф
  Ф(2)  Ф(1)  Ф(2)  Ф(1)  0,4772  0,3413  0,8185
 1 
 1 
1. 15 Сравнение двух дисперсией
Пусть имеются две случайные величины X  N a x ,  x  и Y  N a y ,  y  с неизвестными дисперсиями и две независимые выборки x1 , x2 ,..., xn и y1 , y 2 ,..., y m . Требуется
по полученным выборочным оценкам
22
n
S x2 
1
n
 ( xi  x ) 2
i 1
n 1
m
и S y2 
 ( yi  y ) 2
i 1
m 1
(15.1),
1 m
 y i , проверить гипотезу H 0 :  x2   y2 .
i 1
m i 1
В качестве критерия при проверке гипотезы H 0 :  x2   y2 используют функn
где x   xi и y 
цию:
S x2
F ( 1 ,  2 )  2
Sy
(15.2),
которая имеет F - распределение Фишера-Снедекора с  1  n  1,  2  m  1 степенями свободы, если полученные по выборкам значения S x2  S y2 и
F ( 1 ,  2 ) 
S e2
(15.3) с  1  m  1,  2  n  1, если S y2  S x2 .
2
Sx
Если задаться уровнем значимости J, то можно построить критические области для проверки гипотезы H 0 :  x2   y2 при двух альтернативных гипотезах:
1) H 1 :  x2   y2 если S x2  S y2 , или H 1 :  x2   y2 , если S x2  S y2 . В этом случае критическая область правосторонняя ( f крП , ) , где f крП определяется из условия
Р( F ( 1 ,  2 )  f крП )  J ;
2) H 1 :  x2   y2 . В этом случае критическая область двусторонняя. Однако можно использовать только правостороннюю область ( f крП , ) , где f крП определяется
из
условия
P( F ( 1  n  1,  2  m  1)  f крП ) 
P( F ( 1  m  1,  2  n  1)  f крП ) 
J
,
2
если
S x2  S y2 ,
и
из
условия
J
, если S x2  S y2 .
2
Если fr попадает в критическую область, то принимается альтернативная
гипотеза Н1, в противном случае принимается альтернативная гипотеза Н1, в противном случае принимается гипотеза H 0 :  x2   y2 ; при этом оценкой генеральной
дисперсии служит величина: S 2 
S x2 (n  1)  S y2 (m  1)
nm2
(15.4).
Пример 21
При уровне значимости J=0,1 проверить гипотезу H 0 :  x2   y2 , если случайные величины Х и У распределены по нормальному закону, при альтернативной гипотезе H 1 :  x2   y2 ; если
Таблица 1
Х
хi
5
6
7
ni
2
4
4
У
yi
5
6
7
8
mi
1
8
7
1
23
Решение:
Вычислим "исправленные" выборочные дисперсии S x2 ; S y2 . Для этого найдем
2*5  6*4  7*4
 6,2 ;
10
5 *1  6 * 8  7 * 7  8 *1
у
 6,5 .
17
25 * 2  36 * 4  49 * 4
 10
 6,2 2   0,62 ;
Тогда: S x2  
10

 9
 25 *1  36 * 8  49 * 7  64 *1
 17
S y2  
 6,5 2   0,11.
17

 16
2
2
Учитывая, что S x  S y , определим fr:
х и у: х 
fr=0,62/0,11=5,64.
Критическое значение f , находим из условия:
П
кр
J
 0,05 . По таблице F - распределения определяем
2
f крП =2,54. Так как число fr=5,64 попадает в критическую область 2,54;  ; то гипо-
P( F ( 1  10  1,  2  17  1)  f крП ) 
тезу о равенстве дисперсии отвергаем.
1. 16 Выборочное уравнение прямой линии регрессии
Если обе линии регрессии У на Х и Х на У - прямые, то корреляцию называют линейной.
Выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х имеет вид:
y x  y  rB
y
x
( x  x ),
(16.1)
где y x - условная средняя; х _ и _ у - выборочные средние признаков Х и У;
 х _ и _  у - выборочные средние квадратические отклонения; rB - выборочный коэффициент корреляции, причем
 n xy xy  nxy
(16.2)
rB 
n x y
Если данные наблюдений над признаками Х и У заданны в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к
условным вариантам: И i 
xi  C1
h1
; j 
yi  C2
h2
, (16.3)
где С1 - "ложный нуль" вариант Х (новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда и имеющая наибольшую частоту; h1 - шаг, т.е. разность между
двумя соседними вариантами Х ; С2 - ложный нуль вариант У; h2 - шаг варианта У.
В этом случае выборочный коэффициент корреляции:
24
rB 
 nu И nИ  ,
n и  
n
nИ
где И   и ;     ;  и  И 2  (И ) 2 ;     2  ( ) 2 .
n
n
Зная эти величины, можно определить:
x  U h1  C1 ; y   h2  C2 ;  x   U h1 ;  y    h2 .
rв служит для оценки силы линейной корреляционной связи.
Пример 22
Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х по данным,
приведенным в корреляционной таблице:
Таблица 2
У
Х
4
9
14
19
24
29
ny
10
2
3
5
20
7
3
10
30
2
50
2
54
40
1
10
6
17
50
4
7
3
14
nx
3
10
6
64
15
3
n=100
Решение:
Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей варианты с наибольшей частотой: С1=19; С2=30.
Таблица 3
n
И

-3
-2
-1
0
1
2
-2
2
3
5
-1
7
3
10
0
2
50
2
54
1
1
10
6
17
2
4
7
3
14
nu
2
10
6
64
15
3
n=100
Найдем И и  :
 nu И   6  20  6  0  15  6  0,11 ;
И 
n
100
n

    2 * 5  1*10  0 * 54  1*17  2 *14  0,25.
 
n
100
2
2
Найдем И и  :
 nu И 2  2 * 9  10 * 4  6 *1  64 * 0  15 *1  3 * 4  0,91 ;
И2 
n
100
25
2 
 n 2   5 * 4  10 *1  54 * 0  17 *1  14 * 4  1,03.
n
100
Найдем  u и   :
 u  И 2  ( И ) 2  0,91  (0,11) 2  0,95 ;
    2  ( ) 2  1,03  (0,25) 2  0,97.
Найдем  nu И , для чего составим расчетную таблицу. Произведения частоты nИ на варианту И, т.е. nИ И , записывают в правом верхнем углу клетки, содержащей частоту. Складывают все числа, помещенные в правых верхних углах
клеток данной строки, и их сумму помещают в клетку этой же строки "столбца И".
Умножают варианту  на И и полученное произведение записывают в соответствующую клетку "столбца И ". Сложив все числа "столбца И ", получают сумму И которая равна искомой сумме  nU И . Для данной таблицы  nU И =72.

Для контроля расчета аналогичные вычисления производят по столбцам: произведения  nИ записывают в левый нижний угол клетки, содержащий частоту;
все числа, помещенные в левых нижних углах одного столбца, складывают и их
сумму помещают в "строку V ". Умножают каждую варианту V на u и результат
записывают в клетках последней строки. Сложив все числа последней строки, получают сумму  и V, которая также равна  nИ И =72.
И
Таблица 4
И
V
-3
-2
-6
-2
3
-17
17
-
0
0
-
5
5
13
26
-
-
-
-
-3
7
3
-3
-
-
0
2
-
-
2
0
1
1
2
50
0
-1
0
10
10
6
6
6
0
-
-
-
-4
-13
-2
7
4
7
18
14
20
8
V   nuV
-
-
0
2
24
-
-2
1
-12
2
-6
-7
0
-
1
-14
-1
U
0
-6
2
-4
U   nu И
-1
6
3
6
6
  U =72
26
uV
12
26
2
0
20
12
 n V =72
Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:
 nИ И  nИ  72  100(0,11)  0,31  0,82 ;
r 
u
B
n ИU 
контроль
100 * 0,95 * 0,97
h1  9  4  5; h2  20  10  10; x  Иh1  C1  0,11* 5  19  18,45;
y   h2  C2  0,25 *10  30  32,5; x  h1 И  5 * 0,95  4,75; y  h2   10 * 0,97  9,7.
9,7
Уравнение регрессии: y x  32,5  0,82 *
( x  18,45)  y x  1,67 x  2,2.
4,75
1. 17 Дисперсионный анализ
Дисперсионным анализом называется статистический метод анализа результатов испытаний, цель которого оценить влияние одного или нескольких качественных факторов на рассматриваемую величину.
Рассмотрим схему дисперсионного анализа на примере исследования влияния различных видов рекламы на прибыль предприятия.
Если разделить виды рекламы на несколько групп (уровней факторов) и
через одинаковые интервалы времени изменить прибыль, то результаты можно
представить в виде таблицы:
Таблица 5
Номер измеУровни фактора
нения
Ф1
Ф2
…
Фр
1
Х11
Х12
…
Х1p
2
Х21
Х22
…
Х2p
…
…
…
…
…
g
Хg1
Хg2
…
Хgp
Групповая
…
Х r1
Х r2
Х rp
средняя
Число измерений на каждом уровне считаем одинаковым и равным g. В
последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.
Общую среднюю можно получить как среднее арифмитическое групповых
средних:
p
X rj
j 1
p
Х 
. (17.1)
На разброс прибыли относительно общий средней влияют как изменения
уровня фактора, так и случайные факторы. Для того, чтобы учесть влияние
данного фактора, общая выборочная дисперсия разбивается на две части, первая
2
.
из которых называется факторной S ф2  , а вторая - остаточной S ост
С целью учета этих составляющих вначале рассчитываются общая сумма
квадратов отклонений вариант от общей средней:
27
p
g
Rобщ    ( X ij  X )
2
j 1 i 1
(17.2)
и факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней,
которая и характеризует влияние данного фактора,
p
Rф  g  ( X rj  X )
2
j 1
(17.3)
Остаточная сумма квадратов отклонний:
Rост=Rобщ -Rф. (17.4)
Для определения общей выборочной дисперсии необходимо Rобщ разделить
на число измерений pg:
d общ 
Rобщ
pg
, (17.5)
а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выражение нужно умножить на
pg
:
pg  1
Rобщ
S 2 общ 
pg  1
, (17.6)
где (pg-1) - число степеней свободы несмещенной общей выборочной дисперсии.
Соответственно, для несмещенной факторной выборочной дисперсии:
S 2ф 
Rобщ
p 1
, (17.7)
где (р-1) - число степеней свободы несмещенной факторной выборочной дисперсии. Для несмещенной остаточной выборочной дисперсии число степеней свободы равно разности:
pg-1-(p-1)=p(g-1), (17.8)
и выражение дисперсии примет вид:
2
S ост

Rост
. (17.9)
p( g  1)
С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина: f набл 
S ф2
2
S ост
(17.10)
2
Так как отношение двух выборочных дисперсии S 2 ф и S ост
распределено
по закону Фишера - Снедекора, то полученное значение fнабл сравнивают со зна2
чением функции распределения F  S ф2 / S ост
в критический точке fкрит, соответствующей выбранному уровню значимости J. Если f набл  f крит , то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он
оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь.
Для расчета Rобщ и Rф могут быть использованы также формулы:
p
Rобщ    X
j 1 i 1
2
p

2
 pg ( X ) ; Rф  g  ( X rj )  p( X )  (17.11)
 j 1

2
g
2
ij
28
Пример 23
При уровне значимости J =0,05 методом дисперсионного анализа проверить нулевую гипотезу о влиянии фактора на качество объекта на основании пяти
измерений для трех уровней фактора Ф1-Ф3:
Таблица 6
Номер измерения
Ф1
Ф2
Ф3
1
2
3
1
2
4
5
4
3
3
4
5
4
2
3
10
5
1
6
3
Групповая средняя
2,4
4,2
4,6
Решение:
Находим общую среднюю: Х  (2,4  4,2  4,6) / 3  3,73 .
По формуле:
p
2
g
Rобщ    X 2 ij  pg ( X ) . Из условия p=3, g=5. Для расчета Rобщ составляем таблицу
j 1 i 1
квадратов вариант:
Номер измерения
Ф1
Ф2
1
4
9
2
16
25
3
9
16
4
4
9
5
1
16
34
95

2
Вычисляем: Rобщ=34+95+151-3*5(3,73) =71,3.
По
формуле
Ф3
1
16
25
100
9
151
2
p

Rф  g  ( X rj ) 2  p( X )   Rф  52,4 2  4,2 2  4,6 2  3(3,73) 2   14,1.
 j 1

Получаем остаточную сумму квадратов отклонений: Rост=Rобщ-Rф=71,3-14,1=57,2.
Определяем
факторную
и
остаточную
дисперсию:
S ф2 
Rф
р 1

Rост
14,1
57,2
2
 7,05; S ост


 4,77 .
2
р( g  1) 3 * 4
С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитываем: f набл 
S ф2
S
2
ост

7,05
 1,48. Для уровня значимости J=0,05, чисел сте4,77
пеней свободы 2 и 12 находим fкр из таблицы распределения Фишера-Снедекора:
fкр(0,05;2;12)=3,89.
В связи с тем, что f набл  f крит , нулевую гипотезу о существенном влиянии
фактора на количество объекта.
29
2 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1 Элементы комбинаторики
1.1 Сколько существует двухзначных чисел, в которых цифра десятков и цифра
единиц различные и нечетные.
1.2 В выпуклом семиугольнике проведены все возможные диагонали, при этом
никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения
указанных диагоналей?
1.3 В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 16 команд, при этом
любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?
1.4 Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в
ней должен хотя бы один математик?
1.5 Сколько существует делителей числа 210?
1.6 В железнодорожного вагона один против другого стоят два дивана, на каждом
из которых по четыре места. Из восьми пассажиров трое желают сидеть лицом в
направлении движения поезда, а два - спиной. Сколькими способами могут различаться пассажиры с учетом их пожелания?
1.7 Каждый телефонный номер состоит из семи цифр. Сколько всего телефонных
номеров, не содержащих других цифр, кроме 2, 3, 5 и 7?
1.8 Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в три вагона?
1.9 Буквы азбуки Морзе состоят из символов точка и тире. Сколько букв получим,
если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных
символов?
1.10 Сколькими способами можно расположить в ряд две зеленые и четыре красные лампочки?
1.11 Сколько всех семизначных чисел, у каждого из которых цифра 6 встречается
три раза, а цифра 5 - четыре раза?
1.12 Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек
в группе. Сколькими способами можно это сделать?
1.13 Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трех бандеролях соответственно по две, три, четыре книги в каждой бандероли?
1.14 Сколькими способами можно распределить семь молодых специалистов по
трем цехам, которым соответственно нужны один, два, четыре специалиста?
1.15 Лифт, в котором находится восемь пассажиров, останавливается на шести
этажах. Пассажиры выходят группами по одному, три и четыре человека. Сколькими способами это может произойти, если на каждом этаже может выйти только
одна группа пассажиров, при этом порядок выхода пассажиров одной группы не
имеет значения?
1.16 Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из четырех пятикопеечных монет и из четырех двухкопеечных монет?
30
1.17 В кондитерской имеется пять различных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных?
1.18 Сколько всего чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?
1.19 Сколько будет костей домино, если использовать в их образовании все цифры?
1.20 Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения цифр в каждом из них? Сколько среди них таких, которые не кратные пяти?
Задача 2 Теоремы сложения и умножения вероятностей
2.1 В двух партиях 80% и 90% доброкачественных изделий соответсвенно.
Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружения среди них: а) хотя бы одного бракованного; б) двух бракованных; в)
одного доброкачественного и одного бракованного?
2.2 Вероятность того, что цель будет поражена первым стрелком равна 0,7, вторым - 0,6. Найти вероятность того, что в цель попадет только один стрелок.
2.3 В ящике 4 белых и 5 черных шаров. Извлекаются 3 шара. Какова вероятность
того, что все извлеченные шары, а) белые; б) черные.
2.4 В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 3 человека.
Найти вероятность того, что все отобранные - мужчины?
2.5 В магазин поступило 30 телевизоров, 5 среди которых имеют скрытые дефекты. Наудачу отбираются 2 телевизора для проверки. Какова вероятность, что они
оба не имеют дефектов.
2.6 В ящике имеется 12 деталей, среди которых 8 окрашенных. Сборщик наудачу
извлекает две детали. Найти вероятность того, что обе извлеченные детали окажутся окрашенными.
2.7 Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,8, вторым - 0,6 Определить вероятность того, что: а) цель поражена хотя бы одним стрелком, б) цель
не поражена при условии, что стрелки произвели независимо друг от друга по одному выстрелу.
2.8 Вероятность безотказной работы двух независимо работающих сигнализаторов соответственно равна 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что сработают а)
оба сигнализатора; б) хотя бы один сигнализатор.
2.9 На полке стоят 10 книг, из которых 4 книги без переплета. Наудачу взяты две
книги. Найти вероятность того, что обе взятые книги: а) без переплета, б) в переплете.
2.10 Вероятность того, что 1-й студент сдаст экзамен равна 0,8, второй - 0,7.
Найти вероятность того, что а) оба студента сдадут экзамен; б) хотя бы один студент сдаст экзамен.
2.11 Изделия проверяются на стандартность Вероятность того, что изделие
стандартно равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий
только одно стандартно.
31
2.12 Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности
отказов элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа
устройства, если для этого достаточно отказа хотя бы одного элемента.
2.13 Среди 1000 лотерейных билетов 4 выигрышных. Найти вероятность того,
что 3 наудачу выбранных билета являются выигрышными.
2.14 Студент знает 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что студент знает
предложенные ему экзаменатором 3 вопроса.
2.15 В группе из 20 студентов четверо не подготовились к занятию. Наудачу вызваны два студента. Какова вероятность того, что они оба готовы к занятию?
2.16 Партия товара, состоящая из 15 ящиков, подлежит приемке, если при проверке наугад двух выбранных ящиков окажется, что содержащиеся в них изделия
удовлетворяют стандарту. Найти вероятность приемки партии, содержащей в 5
ящиках нестандартные изделия.
2.17 Для некоторой местности число пасмурных дней в июле равно 6 Найти вероятность того, что 1 и 2 июля наудачу выбранного года будет ясная погода.
2.18 Два спортсмена должны выполнить норму мастера спорта. Вероятность того, что первый спортсмен выполнит норму равна 0,9, второй - 0,8. Найти вероятность того, что норма будет выполнена: а) обоими спортсменами; б) хотя бы одним спортсменом.
2.19 Два спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятность зачисления в сборную команду первого и второго спортсменов соответственно равны 0,8; 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из этих спортсменов попадет в сборную.
2.20 Два студента ищут нужную им книгу в книжных магазинах. Вероятность того, что книга будет найдена первым студентом, равна 0,5, вторым - 0,7. Какова вероятность того, что только один из студентов найдет книгу?
Задача 3 Формула полной вероятности и формулы Байеса
3.1 Вероятности посещения трех магазинов одинаковы Вероятность того, что в
первом магазине есть необходимый, товар равна 0,7, во втором - 0,6, в третьем 0,5. Найти вероятность того, что нужный товар будет куплен.
3.2 С одинаковой вероятностью студент может уехать на одном из трех видов
транспорта. Вероятность того, что он приедет вовремя на автобусе равна 0,8, на
трамвае - 0,6, на троллейбусе - 0,7. Найти вероятность того, что студент вовремя
приедет на занятия.
3.3 В первой урне 6 белых шаров, во второй - 3 белых и 3 черных, в третьей -5
белых и один черный. Из взятой наудачу урны извлечен один шар. Найти вероятность того, что он - черный.
3.4 В урне лежит шар неизвестного цвета - с равной вероятностью черный или
белый. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания
наудачу извлекается один шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?
3.5 Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, на вто-
32
ром - 0,02. Производительность первого автомата втрое больше, чем второго.
Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна
3.6 Имеется три партии товара:
•в первой партии 10% бракованных изделий;
• во второй - 20%;
• в третьей - нет бракованных изделий.
Наудачу извлечено одно изделий из наудачу взятой партии. Найти вероятность
того, что оно бракованное.
3.7 В цехе два конвейера, с которых сходят одинаковые детали и сбрасываются в
общую кучу. Вероятность того, что деталь с первого конвейера нестандартна равна 0,04, со второго - 0,07. Производительность первого конвейера в два раза больше производительности второго. Какова вероятность того, что произвольно взятая
из кучи деталь окажется нестандартной?
3.8 В двух колодах по 36 карт. Из первой колоды наудачу вынимается карта и
кладется во вторую колоду, из которой затем после перемешивания вынимается
наудачу одна карта. Найти вероятность того, что эта карта бубновой масти
3.9 Число автобусов и троллейбусов относится как 3:2. Вероятность вовремя приехать на автобусе равна 0,8, на троллейбусе - 0,7. Найти вероятность того, что
опоздания не будет.
3.10 В группе 25 студентов. Из них отличников - 4, хорошистов - 6, троечников 12, остальные - двоечники. Вероятность сдачи экзамена отличником равна 0,95,
хорошистом - 0,8, троечником - 0,6, двоечником - 0,3. Какова вероятность того,
что произвольно вызванный студент сдаст экзамен?
3.11 Сообщение можно передать письмом, по телефону и с оказией с одинаковой
вероятностью. Вероятность того, что сообщение дойдет в каждой из перечисленных возможностей соответственно равны 0,7; 0,6; 0,8. Какова вероятность
доставки сообщения?
3.12 Поломка прибора может быть вызвана одной из трех причин, вероятности
которых соответственно равны 0,7; 0,2; 0,1. При наличии этих причин поломка
происходит соответственно с вероятностями 0,1; 0,2; 0,2. Найти вероятность того,
прибор выйдет из строя.
3.13 В первой урне 3 белых и 5 черных шара. Из первой урны извлекается один
шар и опускается во вторую. Какова вероятность вынуть белый шар из второй урны после этого?
3.14 В магазин одновременно поступают изделия с трех заводов: 30% с первого,
50% со второго, 20% с третьего. Среди изделий первого завода 80% первосортных,
второго - 90%, третьего - 70%. Куплено одно изделие. Определить вероятность того, что оно первосортное.
3.15 В ящике два шара. Равновозможны все случая их сочетания по цвету. В
ящик опускается белый шар, а затем после перемешивания наудачу извлекается
один шар. Найти вероятность того, что он белый.
33
3.16 Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора
стандартна, равна 0,8, а второго - 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу
деталь (из наудачу взятого набора) - стандартная.
3.17 В ящик, содержащий 3 одинаковые детали, брошена стандартная деталь, а
затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена
стандартная деталь, если равновероятны все возможные предложения и числе
стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.
3.18 При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8. а сигнализатор С-11 срабатывает с вероятностью 1. Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С-11 или С-11, соответственно равны 0,6 и 0,4.
3.19 Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту
равна 0,96. Предполагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительны результат с вероятностью 0,98 для изделий удовлетворяющих
стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, - с вероятностью
0,05. найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартными, действительно удовлетворяет стандарту.
3.20 Из 1000 ламп 300 принадлежат первой партии, 500 - второй, и 200 - третьей.
В первой партии 6%, во второй 5% и в третьей 4% бракованных ламп. Определить
вероятность того, что взятая наудачу одна лампа - бракованная.
Задача 4 Повторение испытаний: формулы Бернулли
локальная и интегральная теоремы Лапласа
4.1 . Вероятность "сбоя" в работе телефонной станции при каждом вызове равна
0,1. Найти вероятность двух "сбоев" при шеста вызовах.
4.2 Вычислить вероятность того, что при 100 бросаниях нонеты "орел" вы
падет 10 раз.
4.3 Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4 Произведено
5 испытаний Найти вероятность того, что событие А наступит не более одного раза
4.4 Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6. Найти вероятность того, что в четырех испытаниях оно наступит менее двух раз.
4.5 Завод выпускает изделия, из которых 80% стандартных. Какова вероятность
при отборе 100 изделий обнаружить ровно 18 нестандартных?
4.6 Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4. Произведено
4 испытания. Что вероятнее, что событие наступит два раза или не менее трех раз?
4.7 Вероятность появления события А в одном испытании равно 0,2. Найти
вероятность того, что в 100 испытаниях событие А появится не менее 30 и не более 40 раз.
4.8 Вероятность появления события А в каждом из 2100 независимых испытаний
равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 раз.
4.9 Среди 1000 лотерейных билетов есть 4 выигрышных. Найти вероятность того,
что три наудачу взятых билета окажутся выигрышными.
34
4.10 Известно, что в данном селе 80% семей имеют телевизоры. Найти вероятность того, что среди 6 случайно отобранных семей 2 окажутся без телевизора.
4.11 Вероятность того, что в течение дня расход воды не превысит норму равна
0,75. Найти вероятность того, что расход воды будет нормальным в течение четырех из пяти дней.
4.12 В каждом из 2000 независимых испытаний вероятность появления события
А равна 0,0005. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 2 раза.
4.13 При каждом выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,6.
Найти вероятность того, что при пяти выстрелах будет три промаха.
4.14 Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность
того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных.
4.15 Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
4.16 Найти вероятность того, что в 400 независимых испытаниях событие А
наступит не менее 190 и не более 215 раз, если вероятность появления события в
одном испытании равна 0,5.
4.17 Вероятность появления события в одном испытании равна 0,9. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие наступит ровно 80 раз.
4.18 Найти вероятность того, что в 400 испытаниях событие А наступит не менее 290 раз и не более 330 раз, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,8.
4.19 Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,9. Найти
вероятность того, что в 100 испытаниях событие А наступит не менее 80 раз.
4.20 Вероятность выживания бактерий после радиоактивного излучения равна
0,004. Найти вероятность того, что после облучения 500 бактерий останется менее
3 выживших.
Задача 5
Формула Пуассона
5.1 Книга издана тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге дефект брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5
неправильно брошюрованных книг.
5.2 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга.
Вероятность отказа любого элемента в течении часа равна 0,002. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента.
5.3 Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа,
равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность
того, что в течение часа позвонят 5 абонентов?
5.4 Средне число вызовов на АТС за одну минуту равно 8. Найти вероятность того, что в течении двух минут поступит: 1) четыре вызова; 2) менее четырех; 3) не
менее четырех.
5.5 Среднее число сигналов об аварии на пульт управления в одну минуту равно
6. Найти вероятность того, что за две минуты на пульт поступит: 1) три сигнала; 2)
менее трех; 3) более трех.
35
5.6 Среднее число сигналов о сбоях работы системы, поступающих на пульт в течении часа, равно 8. Найти вероятность того, что в течении двух часов сигналов
поступит: 1) три; 2) менее трех; 3) не менее трех.
5.7 Среднее число заявок, поступающих на ВЦ в течении суток равно 120. Найти
вероятность того, что в течении часа на ВЦ поступит: 1) три заявки; 2) менее
трех; 3) более трех.
5.8 Среднее число кораблей, заходящих в порт в течение суток равно 96. Найти
вероятность того, что в течении двух часов в порт зайдут: 1) два корабля; 2) не
более двух; 3) более двух.
5.9 Среднее число заявок, поступающих на ВЦ за один час равно 5. Найти вероятность того, что за два часа поступит: 1) 4 заявок; 2) менее четырех; 3) не более
четырех.
5.10 Среднее число вызовов, поступающих на АТС за одну минуту равно 3. Найти
вероятность того, что за 5 минут поступят: 1) два вызова; 2) менее двух; 3) не менее двух.
5.11 Среднее число заявок, поступающее в телеателье за 1 час равно 4. Найти вероятность того, что за 2 часа поступит: 1) четыре заявки; 2) менее четырех; 3) не
менее четырех.
5.12 Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 30 мин. равно 2.
Найти вероятность того, что за два часа прибудут: 1) 5 самолетов; 2) не более 5;
3) более 5.
5.13 Среднее число судов, заходящих в порт в течении часа равно 5. найти вероятность того, что за два часа в порт зайдут: 1) 4 корабля; 2) менее четырех; 3) не
менее четырех.
5.14 Среднее число вызовов на АТС в течении минуты равно 10. найти вероятность того, что в течении трех минут поступит: 1) 4 вызова; 2) менее четырех; 3)
не менее четырех.
5.15 Среднее число вызовов, поступающих на АТС за одну минуту равно 20.
Найти вероятность того, что за две минуты поступит: 1) 5 вызовов; 2) не более 5;
3) более 5 вызовов.
5.16 Среднее число вызовов, поступающих на АТС за одну минуту равно 50.
Найти вероятность того, что за две минуты поступит 60 вызовов, не менее 60 вызовов.
5.17 Среднее число вызовов, поступающих на АТС за одну минуту равно 5. Найти
вероятность того, что за две минуты поступит: 1) 2 вызова; 2) менее 2; 3) не менее 2 вызовов.
5.18 Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в
течении 1 мин. абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятней: в течении 1 мин. позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента.
5.19 Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном
веретене в течении 1 мин. равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1
мин. обрыв произойдет на пяти веретенах.
36
5.20 найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того,
что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку, равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.
Задача 6 Нормальный закон
Заданы математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение
 нормально распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того,
что х примет значение, принадлежащие интервалу ( J ;  ) ; 2) вероятность того, что
абсолютная величина отклонения x  m окажется линейным  .
6.1 m  15,   2, J  16,   25,   4.
6.2 m  14,   4, J  18,   34,   8.
6.3 m  13,   4, J  15,   17,   6.
6.4 m  12,   5, J  1,   22,   15.
6.5 m  11,   3, J  17,   26,   12.
6.6 m  10,   2, J  11,   13,   5.
6.7 m  9,   4, J  15,   19,   18.
6.8 m  8,   2, J  6,   15,   8.
6.9 m  7,   5, J  2,   22,   20.
6.10 m  6,   3, J  0,   9,   9.
6.11 m  15,   2, J  9,   19,   3.
6.12 m  14,   4, J  10,   20,   4.
6.13 m  13,   4, J  11,   21,   8.
6.14 m  12,   5, J  12,   22,   10.
6.15 m  11,   4, J  13,   23,   6.
6.16 m  10,   8, J  14,   18,   2.
6.17 m  9,   3, J  9,   18,   6.
6.18 m  8,   4, J  8,   12,   8.
6.19 m  7,   2, J  6,   10,   4.
6.20 m  6,   2, J  4,   12,   4.
Задача 7 Сравнение двух дисперсий
При уровне значимости J=0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсии
двух нормально распределенных случайных величин Х и У на основе выборочных данных при альтернативной гипотезе Н1:  х2   н2 .
37
Вариант
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
Х
xi
142
145
146
148
37
38
40
41
42
39
43
45
47
51
3,5
3,7
3,9
4,0
4,1
9
10
11
12
14
6,1
6,5
6,6
7,0
7,4
20
22
23
24
26
У
ni
3
1
2
4
2
1
4
3
6
4
2
3
4
2
1
3
5
4
4
4
5
3
2
1
2
3
1
4
2
3
4
2
2
4
yi
140
146
147
151
38
39
40
41
43
75
80
84
91
94
3,6
3,7
3,8
4,4
4,2
9
10
11
13
14
5,8
6,0
6,2
6,3
6,8
18
19
20
22
23
Вариант
mi
5
3
2
2
4
3
2
2
3
4
2
3
4
2
3
5
2
1
4
5
6
4
8
3
6
4
5
2
3
6
3
4
2
5
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
Х
xi
42
45
46
50
30
32
33
34
36
42
44
48
50
53
31
35
40
42
44
61
62
64
67
68
12
16
19
21
25
44
45
48
52
54
У
ni
15
17
12
16
4
5
8
1
2
4
8
3
5
10
7
3
4
2
4
5
4
6
2
3
10
12
14
9
5
5
2
3
4
6
yi
84
87
92
96
30
31
32
34
35
44
45
46
51
55
29
32
33
35
39
60
63
64
68
70
14
15
20
21
24
43
46
48
50
53
mi
3
2
4
1
6
4
3
5
2
16
12
11
6
5
8
9
12
10
11
4
3
2
6
5
7
6
8
10
9
3
3
4
4
6
38
Вариант
7.8
7.9
7.10
Х
xi
0,2
0,4
0,8
1,2
1,2
31
33
34
38
42
15
17
20
21
25
У
ni
6
4
2
5
3
6
2
1
3
2
1
3
2
4
6
yi
0,4
0,5
0,9
1,2
1,4
85
88
95
97
100
20
22
23
25
26
Вариант
mi
3
5
6
6
6
1
3
4
2
5
4
2
2
3
1
7.18
7.19
7.20
Х
xi
16
18
21
24
25
71
73
75
79
80
70
72
73
75
78
У
ni
12
10
14
8
6
4
5
8
10
3
12
10
12
8
8
yi
18
25
29
36
40
68
69
70
74
78
16
18
21
25
29
mi
3
1
4
6
6
10
14
13
12
11
7
4
8
5
6
Задача 8 Выборочное уравнение прямой линии
Найти выборочное уравнение прямой линии у х  у  rB
У на Х по данной корреляционной таблице:
8.1
У
4
9
14
10
2
3
20
7
3
30
2
40
1
50
nx
2
10
6
8.2
У
10
15
20
30
2
6
40
4
4
50
7
60
2
70
-
y
(x  x)
x
регрессии
Х
19
50
10
4
64
24
2
6
7
15
29
3
3
ny
5
10
54
17
14
n=100
Х
25
35
10
5
30
8
8
6
35
3
ny
8
8
50
20
14
39
nx
2
10
13
50
22
3
n=100
25
4
6
2
12
Х
30
45
8
4
57
35
2
6
7
15
40
4
4
ny
6
10
53
16
15
n=100
20
2
5
2
9
Х
25
40
8
4
52
30
5
7
7
19
35
8
8
ny
8
8
50
17
19
n=100
15
3
9
4
16
Х
20
40
11
4
55
25
2
6
7
15
30
3
3
ny
6
8
51
21
14
n=100
15
7
5
7
19
Х
20
30
10
5
45
25
10
8
6
24
30
3
3
ny
6
10
45
25
14
n=100
8.3
У
15
4
4
5
10
15
20
25
nx
20
2
6
8
8.4
У
10
4
4
6
12
18
24
30
nx
15
2
6
8
8.5
У
5
1
1
20
30
40
50
60
nx
10
5
5
10
8.6
У
8
2
16
20
24
nx
5
2
2
10
4
3
7
40
8.7
У
2
2
2
10
20
30
40
50
nx
7
4
6
10
12
2
3
1
6
Х
17
50
10
4
64
22
2
6
7
15
27
3
3
ny
6
8
55
17
14
n=100
21
3
6
2
11
Х
26
45
8
4
57
31
4
6
7
17
36
3
3
ny
6
9
55
16
14
n=100
14
4
40
5
49
Х
19
2
10
4
16
24
8
6
7
21
29
3
3
ny
6
9
50
21
14
n=100
15
3
5
2
10
Х
20
45
8
4
57
25
5
7
7
19
30
3
3
ny
6
8
55
17
14
n=100
8.8
У
11
2
2
25
35
45
55
65
nx
16
4
6
10
8.9
У
4
3
3
8
18
28
38
48
nx
9
3
5
8
8.10
У
11
21
31
41
51
nx
5
4
4
10
2
5
7
41
8.11
У
5
2
2
10
20
30
40
50
nx
10
6
7
13
15
3
2
1
6
Х
20
40
10
4
54
25
2
13
7
22
30
3
3
ny
8
10
44
24
14
n=100
25
4
7
2
13
Х
30
30
10
40
35
0
8
6
23
40
3
3
8
ny
7
9
30
20
14
n=100
14
4
6
2
12
Х
19
2
8
4
14
2
2
29
4
4
8
ny
6
10
53
16
15
n=100
21
3
9
4
16
Х
26
40
11
4
55
31
2
6
15
26
3
3
ny
7
7
52
27
7
n=100
8.12
У
15
1
5
6
30
40
50
60
70
nx
20
6
4
10
8.13
У
4
49
7
92
9
10
15
20
29
nx
9
6
6
12
24
8.14
У
20
30
40
50
60
nx
11
1
1
16
4
6
10
42
8.15
У
2
8
8
6
12
18
24
30
nx
7
9
9
10
12
3
2
5
Х
17
4
40
8
4
36
22
2
9
7
14
27
7
7
7
ny
6
8
50
17
19
n=100
12
7
5
7
19
Х
17
30
10
40
22
10
8
4
22
27
4
4
ny
6
10
45
29
10
n=100
21
2
3
1
6
Х
26
40
2
4
46
31
1
2
6
8
17
36
6
3
9
ny
5
10
51
10
19
n=100
14
4
2
6
2
14
Х
19
40
4
44
24
1
4
9
7
21
29
1
2
3
ny
6
11
50
19
14
n=100
8.16
У
2
2
9
7
8
12
16
20
24
nx
7
3
4
1
8
8.17
У
11
2
10
12
10
20
30
40
50
nx
16
4
6
10
8.18
У
25
35
45
55
65
nx
4
7
3
10
9
8
8
43
8.19
У
5
9
5
8
18
28
38
48
nx
10
10
10
13
1
4
40
3
50
Х
20
4
4
25
4
8
8
7
25
30
1
2
3
6
ny
6
9
50
2
14
n=100
37
4
8
12
ny
6
8
50
17
19
n=100
8.20
У
11
21
31
41
51
nx
Вариант
9.1
9.2
9.3
9.4
2
3
3
7
3
8
13
Ф1
28
24
26
27
25
26
45
44
27
42
18
28
12
14
32
47
12
5
2
7
Задача 9
Ф2
36
34
30
29
31
34
30
46
17
36
24
36
28
40
16
56
Х
17
22
2
45
7
4
7
51
14
Дисперсионный анализ
Ф3
12
10
14
18
20
68
46
28
34
30
36
12
22
45
40
64
44
Вариант
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
46
45
41
43
Ф1
16
20
31
56
22
34
36
26
25
30
48
38
30
40
36
12
16
15
17
14
44
45
48
45
40
16
12
10
11
10
24
26
25
27
22
55
54
50
52
Ф2
28
12
40
24
34
38
30
34
36
38
40
42
37
33
39
10
8
7
5
9
40
36
32
35
30
18
20
22
25
24
46
45
44
40
43
60
58
62
61
Ф3
46
43
24
14
6
28
24
22
20
23
34
38
44
41
45
20
26
28
24
27
38
28
30
32
26
26
15
28
30
26
68
76
75
68
77
45
Вариант
9.12
9.13
9.14
9.15
9.16
9.17
9.18
Ф1
12
14
36
20
53
34
35
30
33
32
25
64
30
20
46
24
26
25
27
28
8
16
40
12
32
12
40
16
36
30
45
44
40
41
39
Ф2
22
20
18
9
44
102
98
106
112
110
45
24
12
47
18
34
30
31
29
32
15
24
42
25
30
26
16
17
30
12
36
30
31
38
35
Ф3
21
30
12
31
30
68
60
56
57
55
56
54
16
32
42
45
47
44
42
43
24
34
18
9
14
45
12
40
17
44
44
28
15
40
32
46
Вариант
9.19
9.20
1.
2.
3.
4.
Ф1
12
16
14
15
13
24
28
40
56
24
Ф2
24
20
34
26
28
32
42
30
18
24
Ф3
20
18
14
20
19
30
16
9
16
10
ЛИТЕРАТУРА
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 543 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М:.,
2000. - 400 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике Высшая школа, 2000. - 400 с.
Общий курс высший математики для экономистов / Под ред. В.И. Ермакова - М.: ИНФРА-М, 1999. - 656 с.
47
Приложение 1
Бланк титульного листа контрольной работы
Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия
Кафедра математики
Контрольная работа
по
теории вероятностей и математической статистике
Специальность _________________________
(шифр, наименование)
Курс ________
Группа _______________
Вариант____________
Студент __________________________И. О. Фамилия
(подпись)
___________________
(дата)
Рецензент_______________________ И. О. Фамилия
(подпись)
____________________
(дата)
200_