Олимпиадные задания по математике 10 класс

Олимпиада. Математика 10 класс на 2 часа
1. Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первый час съел 40% всего запаса меда Кролика, а
Пятачок и Кролик вместе за это же время съели лишь 300 граммов меда. За следующий час
Винни-Пух съел 80% от оставшегося меда, а Пятачок и Кролик съели 100 граммов меда на
двоих. В итоге у Кролика осталось 800 грамм меда. Сколько килограммов меда было у
Кролика до визита Винни-Пуха?
7 баллов
2. Известно, что параболы у = х2 + Ьх + с
у = —х2 + рх + q пересекаются в точке (1; 1).
Проекция вершины второй параболы на ось х на 4 правее, чем проекция вершины первой
параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью х - (2;0). Найдите
коэффициент q.
7 баллов
3. Два велосипедиста выезжают навстречу друг другу из двух городов, расстояние между
которыми 240 километров. Если первый выедет на 4,5 часа раньше второго, то он встретит
второго велосипедиста через 7,5 часа после своего выезда. Если второй выедет на 1 час раньше
первого, то он встретит первого велосипедиста через 6 часов после своего выезда. С какой
скоростью (в км/ч) едет каждый велосипедист?
7 баллов
4. Числа a, b и с таковы, что а + b + c = 13
значение выражения
и
1
1
1
+
+
= 0,4. Найдите
аb
ca
bc
а
b
c
+
+
ca
ab
bc
7 баллов
5. Общая хорда двух пересекающихся окружностей служит для одной из них стороной
правильного вписанного четырехугольника, а для другой стороной правильного вписанного
шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей , если радиус меньшей
окружности равен 10 см?
7 баллов
Ответы и решения 10 класс
1) Из первого и последнего равенства получаем 6 = —4. Из третьего р = 12.
Из второго g = -10.
Ответ. 24; 20
2)
Решение. Пусть v1 и
v2 - искомые скорости. Тогда
7,5v1 + (7,5-4,5)v2 =24
(6-1)v1 + 6v2 = 240
Отсюда v1= 24, a v2 = 20.
Ответ. 8
3)

Решение. Пусть у Кролика было х килограммов меда. Тогда после первого часа осталось
0,6•100-х-300=600х-300 граммов меда. А после второго
0,2•(600х-300) – 100=120х - 160
Поэтому 120х -160=800, т.е. х =
960
=8
120
Ответ. -10
4)
Решение. Из первого условия следует, что 1+Ь+с = — 1+p+q = 1. Второе условие означает,
p
b
= - +4.
2
2
что
А третье условие можно переписать как 4 + 26 + с = 0. Получаем систему
из четырех уравнений:
b+c =0
p+q=2
b+p=8
2b + c = -4
5)
Ответ: 2,2
Решение: Перемножив исходные равенства, получим:
abc abc abc
+
+
=5,2
ab
bc
ca
И.ли
3+
Из последнего равенства получаем ответ.
6) Ответ:
5(
6 
2)
a
b
+
bc са
+
c
= 5,2.
ab
В этой задаче возможны два варианта расположения центра меньшей окружности: снаружи и внутри
большей окружности. Оба варианта расположения изображены на рисунках 1 и 2. В первом случае расстояние
между центрами окружностей равны сумме длин высоты равнобедренного прямоугольного треугольника, из
которых сложен вписанный квадрат, и высоты равностороннего треугольника, из которого сложен правильный
вписанный шестиугольник. Во втором случае – их разность.
Так как диагональ квадрата является диаметром меньшей окружности, то и длина стороны квадрата равна
2 см, и равна длине общей хорды окружностей. Следовательно, радиус большей окружности равен
3
10 2 : 2 = 5 2 см, а длина второй высоты равна 10 2 ·
=5 6
2
10