Ответы Задача 1. Водород является преобладающим элементом

Ответы
Задача 1. Водород является преобладающим элементом во Вселенной и в солнечной атмосфере. Предположим для простоты, что корона состоит из чистого водорода. Так
~ 10 K , то водород будет полно6
как температура солнечной короны очень высокая
стью ионизован (потенциал ионизации водорода составляет
13,6 эВ , а 1 эВ соответству-
T  11600 K ).. Каждый электрон можно представить в виде микроско29
м 2 (томсоновское сечение рассеяния).
пического зеркальца с площадью   6,7  10
ет температуре
6
Так как интенсивность отраженного излучения в 10 раз меньше интенсивности Солнца,
то общая площадь этих микроскопических зеркал во столько же раз должна быть меньше
площади солнечной фотосферы SC . Поэтому полное число электронов N в солнечной
короне равно:
N  10  6 SC  10  6  4RC 2 ,
где
RC – радиус Солнца (точнее солнечной фотосферы).
Так как ядро атома наиболее распространенного изотопа водорода содержит только
один протон, а масса протона гораздо больше массы электрона, то масса короны M примерно равна массе всех протонов, находящихся в солнечной короне, т.е.:
M  mp  N  mp 
где
10 6 4RC 2

 1,5 1014 кг  8 1017 M C ,
M C – масса Солнца.
Сравним массу солнечной короны с массой земной атмосферы.. Зная, что при нор-
105 Па приходим к вы1 м 2 составляет примерно 104 кг. Умножая эту
мальных условиях атмосферное давление составляет примерно
воду, что масса столба воздуха сечением
величину на площадь земной поверхности
массу земной атмосферы
4RЗ 2 ,
где
RЗ
– радиус Земли, получаем
M З  5  1018 кг.
Как видим масса наблюдаемой солнечной короны примерно в
массы земной атмосферы.
30 000 раз меньше
Задача 2. Точечные объекты характеризуются блеском, а протяженные – яркостью.
Освещенность E , создаваемая протяженным объектом связана с его яркостью B соотношением
E  B,

R 2
r2
 – телесный угол, под которым наблюдатель видит пятно (Венеру) радиусом
Rп ( RВ ) которое находится от наблюдателя на расстоянии r . Для пятна r  rЗ  Rc  ,
а для Венеры r  rЗ  rB . Пятно находится на поверхности Солнца, его центр совпадагде
ет с центром видимого солнечного диска, а размер пятна значительно меньше солнечного
радиуса. Поэтому оно к наблюдателю ближе центра Солнца на солнечный радиус ( RC ),
которым нельзя пренебречь, как мы это сделали с земным радиусом. Через rЗ , rB обозначены расстояния от Солнца соответственно Земли и Венеры. Вводя угловой радиус

R
, под которым наблюдается объект, переписываем формулу для освещенности
r
объекта на Земле в виде:
E  B 2 .
Угловые радиусы Солнца, пятна и Венеры соответственно равны:
C 
RC
,
rЗ
л 
Rп
rЗ  RС
,
B 
RB

rЗ  rB
Яркость объекта определяется с помощью закона Стефана–Больцмана
B  T 4 .
Излучением Венеры, проходящей по диску Солнца можно пренебречь по сравнению с более мощным излучением Солнца, поэтому освещенность при прохождении Венеры по диску Солнца в заданном пункте наблюдения практически создается только частью
солнечного диска, не закрытым Венерой:
E1  TC 4 (  C 2   B 2 ).
Излучением пятна пренебречь нельзя. Поэтому Солнце с пятном (но без Венеры)
создает в том же пункте наблюдения освещенность:
E2  TC 4 (  C 2   п 2 )  Tп 4 п 2 .
По условию задачи
E1  E2 , откуда  п   В
TС 4
TС 4  Tп 4

Подставляя вместо угловых радиусов солнечного пятна и Венеры их аналитические выражения, окончательно получаем:
r  RС
Rп  RB З
rЗ  rB
TС 4
TС 4  Tп 4
 25000 км.
Таким образом, солнечное пятно, вызывающее в месте наблюдения такое же
уменьшение освещенности, как и прохождение Венеры по диску Солнца, имеет поперечник примерно в четыре раза больший, чем у Земли.
Задача 3. Освещенность, которую создает Луна на Земле, определяется расстоянием от Солнца до Луны (Луна светит отраженным от Солнца светом), расстоянием от Земли до Луны, площадью отражающей лунной поверхности, альбедо Луны и светимостью
Солнца. По условию задачи меняется только альбедо Луны. Чем большую часть света Луна отражает, тем большую освещенность создает Луна на Земле. Поэтому освещенность
увеличится в три раза.
2,512 ( m mo ) 
откуда
E
,
Eo
 E 
m  mo  2,5 lg   mo  2,5 lg 3  mo  1,2 m.
 Eo 
Итак, звезда будет светить в 3 раза ярче, что соответствует уменьшению ее видиm
мой звездной величины примерно на 1,2 .
Задача 4. В подсолнечной точке темп притока энергии равен
(1  A) Eo ,
где A  0,07  альбедо Луны, Eo  1360 Вт / м – солнечная постоянная. Отток энергии происходит за счет излучения нагретого поверхностного слоя почвы (в ИК2
диапазоне), темп которого равен T , где  – постоянная Стефана, а T – температура
поверхностного слоя почвы. Приравнивая темпы нагрева и охлаждения, получаем
4
T 4  (1  A) Eo ,
откуда T  388 K  115C. Эта оценка слегка завышена. Она была бы строго верна,
если бы Луна была всегда обращена одной стороной к Солнцу (а не к Земле). Но так как
вращение Луны вокруг оси происходит медленно, ошибка должна быть невелика.
Задача 5. Плутино светит отраженным от Солнца светом. Количество световой
энергии, падающей от Солнца на Плутино в единицу времени (световой поток), равно количеству энергии, проходящей за то же время через поперечное сечение Плутино, проходящее через его центр перпендикулярно к падающему световому потоку:
2
D

4

  
2
4rq 2
LC
Умножив эту величину на альбедо Плутино A , находим отраженную от Плутино
энергию в переднюю полусферу. Тогда освещенность, создаваемая Плутино на Земле,
равна:
LC
EP  A 
4rq 2
D
 4  
2
2 ( rq  a З ) 2
2

Освещенность, создаваемая Солнцем на Земле в подсолнечной точке, равна
EC 
В двух последних формулах
ной орбиты.
Далее по формуле
LC
LC
4a З 2
– светимость

Солнца,
aЗ
– большая полуось зем-
2,512
 ( mc  mп )

EC
EП
определяем видимую звездную величину Плутино, когда его блеск максимальный при
наблюдении с поверхности Земли без учета влияния земной атмосферы:
1
(rq  a З )rq  2  2
m
m  mC  5 lg
   15 .
D
 A
Задача 6. На единицу поверхности планеты в подсолнечной точке падает поток
2
R 
J   *  T* 4 ,
 r 
R*  радиус звезды, а r  расстояние от нее
(1  A), поглощаемая поверхностью планеты идет
где
до планеты. Из этого потока доля
на ее нагрев. Приравнивая скорости
притока и оттока энергии в подсолнечной точке, получаем
2
1  A R*  T*4  Tпл 4 ,
 r 
откуда для температуры поверхности планеты в подсолнечной точке имеем
Tпл  1  A1|4
Расстояние
r
R*
T* .
r
находим, используя третий закон Кеплера:
GM 2 / 3
P ,
4 2
r 3
где P – период обращения планеты вокруг своей звезды, имеющей массу M температуру
«поверхности» T* . Подставляя выражение для r в формулу для Tпл , получаем
1/ 6
 3 

Tпл  
G

 *
1  A1|4
T*

P1 / 3
По условию задачи, температура на поверхности планеты должна быть такой же,
как на Луне. Для этого в последней формуле необходимо положить
T*  TC , *  C , P  1 год. Приравнивая температуры на планете и на Луне, для периода обращения планеты в земных годах получаем следующее простое выражение:
P
C
*
 T*

 TC
3

 



A0 T*  10 000 K , *  300 кг / м3 период обращения
планеты составляет около 10 лет .
Для звезды класса
Так как величина падающего потока пропорциональна косинусу зенитного расстояния звезды z , то зависимость температуры на лишенной атмосферы планеты от z имеет вид:
Tпл ( z )  Tпл (0) 4 cos z .
Если бы Земля обращалась не вокруг Солнца, а вокруг звезды спектрального класса
M5V (T*  2 800 K , *  10 000 кг / м3  10 г / см3 ) , то чтобы на ней можно было
сносно жить – не замерзнуть и не изжариться – продолжительность года должна была бы
составлять 15 земных суток. Впадать в долгую зимнюю спячку медведям не удалось
бы.
Задача 7. Расстояние от Солнца до Седны, находящейся в афелии, в 960 раз
больше, чем среднее расстояние от Солнца до Земли. Поэтому Солнце на Седне светит в
960 2 раз слабее, чем на Земле. Полная Луна светит слабее Солнца на Земле в
2,512( mc mл )  2,512( 26 ,8( 12 ,7))  2,512( 26 ,8( 12 ,7))  437 000 раз. Поэтому Солнце на Седне дает примерно в 2,1 раза меньше света, чем Луна на Земле в полнолуние.
Задача 8. Температура T поверхности экзопланеы грубо оценивается из уравнения
энергетического баланса. За температуру звезды принимаем температуру солнечной фотосферы Tc , за радиус – радиус Солнца Rc . Большую полуось орбиты оцениваем из третьего закона Кеплера. В результате имеем
a  2,6  10 6 км,
Tc 4  4Rc 2  R 2
 T 4  4R 2 ,
2
.
4a
R 
T  Tc  c 
 2a 
1
2
 2200 K ,
Экзопланета очень близко расположена от своей звезды, имеет высокую температуру, а, следовательно и достаточно протяженную атмосферу, способную через внутреннюю точку Лагранжа перетекать на свою звезду, способную за несколько миллионов лет
поглотить как атмосферу планеты, так и саму планету.
Задача 9. Наилучшее разрешение телескопа в оптическом диапазоне определяется
  1,22

, где  – длина волны, а D – диаметр объектива телескопа. Выбирая
D
  5500 A  5,5 107 м , имеем
как

5,5 10 7
  1,22  1,22
 6,71 10 9 рад  6,71 10 9  206265  1,38 10 3 .
D
100
Так как  Cen A – звезда солнечного типа, то можно ожидать, что пятна на ее по-



верхности похожи на солнечные. Наиболее крупные солнечные пятна можно увидеть невооруженным глазом. Учитывая, что разрешающая способность среднего глаза человека
составляет примерно 1 , то будем считать, что самые крупные пятна на Солнце имеют угловой размер 1 для наблюдателя на Земле, т.е. с расстояния 1 а.е. С расстояния
1,3 пк  1,3  206265 а.е. , на котором находится от нас  Cen A
увидим под углом

 
это пятно мы



1
 3,7 10  6  2,2 10  4 .
1,3  206265
Итак, разрешение будущего телескопа примерно на порядок хуже требуемого для того,
чтобы увидеть самое крупное пятно на  Cen A . Поэтому увидеть пятна на  Cen A
как протяженные объекты с помощью OWL не удастся.
Задача 10. Для того чтобы работали законы геометрической оптики, необходимо,
чтобы рабочая длина волны излучения была значительно меньше размеров (диаметра)
телескопа, а размеры неоднородностей отражающей поверхности были много меньше
( 10) рабочей длины волны. Так как размеры ячеек сетки составляют 1 см, то мини-
10 см . Максимальную рабочую длину
волны можно оценить в 1 м , так как диаметр антенны телескопа составляет 10 м . Учимальную рабочую длину волны можно оценить в
тывая связь между частотой электромагнитной волны  , ее скоростью
и длиной волны
 , имеем
c
 min 
max
 max 
c
min
c  3 10
8
м/с

3 108 м / с

 3 108 Гц,
1м
3 108 м / с

 3 109 Гц.
0,1 м
Задача 11. Абсолютная звездная величина Капеллы равна
M  m  5  5 lg r  0,5m.
2,512  ( M  M C )  2,512  ( 0,5 4,7 )  2,512 5, 2  120 раз
больше светимости Солнца. На расстоянии 120  10,9 а.е. от Капеллы температурные
Светимость Капеллы в
и световые характеристики будут достаточно близки к земным. Но и ускорение свободного падения на планете должно быть таким же, как у Земли.
g
GM п 4
  G R,
3
R2
M п , R,   масса, радиус и средняя плотность планеты.. Средняя плотность Земли в
5,52 раза превышает плотность планеты. Поэтому ее радиус во столько же раз должен
2
быть больше радиуса Земли. Масса планеты при этом превысит массу Земли в 5,52 раз
26
и составит примерно 1,8 10 кг .
где
Задача 12. Чем горячее звезда, тем в более коротковолновую область попадает
максимум ее излучения. В спектре звезды B преобладает коротковолновое (красное) излучение. Если на пути от Земли к этим звездам нет большого количества межзвездной пыли, поглощающей свет звезд и меняющей ее цвет, то звезда A горячее звезды B .
Задача 13. Видимая звездная величина сверхновой на расстоянии
центра Галактики была бы равна
8 000 пк от
r 
m1  m  5 lg c ,
r
где r исходное расстояние от сверхновой в удаленной галактике до наблюдателя. Для
нахождения r воспользуемся законом Хаббла
V  Hr .
Для нахождения скорости удаления галактики, обусловленной космологическим
расширением Метагалактики воспользуемся эффектом Доплера, для которого необходимо
знать величину красного смещения
z
Так как
z
  
 0,35.

велико, то воспользуемся релятивистской формой эффекта Доплера
(1  z ) 2  1 V


2
c
(1  z )  1
Итак,
V
c (1  z ) 2  1
r  
 1,24 109 пк .
2
H H (1  z )  1
С расстояния
8 000 пк блеск сверхновой был бы равен
 8 000 
  4 m.
m1  22 m  5 lg
9
 1,24 10 
Сверхновая светила бы как Венера на земном небе.
Задача 14. Расстояние между звездами, образующими двойную систему много
меньше расстояния от них до Земли. Поэтому если во время главного минимума от нас
скрыта какая-то угловая площадь S от диска одной звезды, то во время вторичного минимума закрыта будет та же площадь S , но на диске другой звезды. При этом каждое из
покрытий может быть как полным, так и частным, и это заранее не известно.
Так как расстояния до обеих звезд можно считать одинаковым, а потемнением
дисков к краю мы по условию задачи пренебрегаем, то количество световой энергии, при-
ходящей от одной звезды с фиксированной угловой площади S по закону СтефанаБольцмана определяется исключительно температурой поверхности звезды T и пропор4
ционально T . Обозначим суммарный поток от обеих звезд вне минимумов через J и
вычислим уменьшение потоков в каждом из минимумов. Для главного и вторичного минимумов соответственно получаем:


  0,1J
 J 1  2,512
J1  J 1  2,5120,55  0,4 J
J 2
0,11
Получается, что количество световой энергии, поступающей с одинаковых площадок двух звезд, отличается в 4 раза, следовательно, их эффективные температуры различаются в 2  1,41 раз. При этом во время главного минимума затмевается более горячая звезда. К сожалению, без дополнительной информации нельзя ничего сказать о том,
какие затмения полные, а какие – частные. Поэтому нельзя определить и соотношение радиусов и светимостей звезд. Без спектральных наблюдений не удастся определить и соотношение их масс.
Задача 15. От 2000 звезд 6 -й звездной величины падает на Землю в
больше света, чем от одной такой звезды.
2000 раз
N  2000 звезд 6 -й звездной величины EN связан со
световым потоком от Сириуса E S и с видимыми звездными величинами Сириуса mS и
одной звезды 6 -й видимой звездной величины m6 следующим образом:
Поэтому световой поток от
EN
E
 N 6  N  2,512 ( m6  ms )  2000  2,512 (6( 1, 46 ))  7,06.
ES
ES
Задача 16. Скорость электрона в планетарной туманности равна:
2

 23 кг  м 

  10 000 К
3  1,38  10
2
с  К 
3kT

5 м
V


6
,
74

10

me
с
9,1  10 31 кг
За время жизни атома в метастабильном состоянии t электрон пролетает расстояние V  t . Он столкнется с атомом, оказавшимся внутри цилиндра с объемом Vt ,
где  – эффективное сечение взаимодействия атома с электроном. Если суммарный объем
таких цилиндров покроет весь объем туманности, то вероятность того, что атом в метастабильном состоянии не испытает столкновения с электроном, будет очень мала. Если же
этот объем будет меньше объема туманности, то мы увидим небулярные линии. Это условие для N электронов, находящихся в туманности с объемом Vтум имеет вид:
NVt  Vтум .
Разделив последнее выражение на объем туманности
n
N
Vтум
есть электронная концентрация, получаем:
Vтум и учитывая, что
nVt  1.
Из последнего выражения следует, что небулярные линии будут видны в спектре
планетарной туманности, если концентрация свободных электронов не превосходит
n
1
 3 1012 м 3 .
Vt
Задача 17. Определяем радиус R удаленной галактики по известному угловому
диаметру d  1 и расстоянию до галактики r :
R   ( рад) r 
d / 2  3600 / град  r  17,5 кпк.
206265 / рад
Линейный размер изображения радиуса галактики
лескопа с фокусным расстоянием
F  2 м равен:
Rиз  R
Rиз
в фокальной плоскости те-
F
 17,5 мм.
r
При этом конец изображения будет сдвинут на
l  Rиз sin .
Это приводит к тому, что спектральная линия с длиной волны
сительно своего нормального положения на величину

смещается отно-
    l   6,9 A.
Смещение спектральной линии вызвано вращением галактики вокруг ее оси. Из
условия задачи следует, что линейная скорость точки галактики, из которой был послан
радиосигнал, лежит на луче зрения и численно равна лучевой скорости. Поэтому на осно-

V
определяем линейную скорость вращения звезды на краю

c
галактики V  376,4 км / с.
ве эффекта Доплера

Время движения сигнала от галактики к Земле и обратно равно
t
2r

c
Так как орбита звезды относительно центра галактики круговая, то зная радиус галактики и орбитальную скорость звезды, определяем период вращения галактики вокруг
ее оси вращения:
T
2 R

V
За время движения сигнала от галактики к Земле и обратно точка, из которой был
послан радиосигнал, повернется относительно центра галактики на угол
2
2rV
t

T
Rc
Переводя радианы в градусы, получаем   16,4.

Независимо от того, приближается ли точка к Земле, или удаляется от нее, ответный сигнал необходимо направить под углом к центру галактики
 
d
cos   0,48.
2
Задача 18. Расстояние до скопления галактик определяем при помощи закона Хаббла с использованием нерелятивистской формы эффекта Доплера, так как красное смещение скопления галактик z  0,1 мало.
z



V
, V  cz,
c
r
V  Hr ,
r
V cz
 ,
H H
км
 0,1
с
 429 Мпк.
км
70
с  Мпк
300 000
Так как по условию задачи угловой радиус скопления галактик
пространственный радиус
  2,5 , то его
R составляет
R  r sin   17 Мпк.
Максимальная разность лучевых скоростей отдельных галактик и всего скопления
примерно равна круговой скорости на краю скопления V . В этом случае из определения
круговой скорости определяем полную массу скопления галактик:
M ск
V 2R

 1015 M C ,
G
где M C – масса Солнца. Определим суммарную массу всех звезд скопления. Абсолютная
звездная величина каждой из галактик по формуле Погсона равна
M  m  5  5 lg r  18m  5  5 lg 429 000 000  20,1m.
Если считать, что каждая звезда похожа на Солнце с абсолютной звездной величи-
M  4,7 m , то каждая галактика содержит примерно N  8,3 10 9 звезд. Тогда
13
суммарная масса звезд скопления будет равна 8,3 10 M C . Сравнивая массу всех звезд
ной
скопления с полной массой скопления галактик, приходим к выводу, что звезды составляют только 8,3 % , остальные 91,7 % приходятся на темную материю.
Задача 19. Нижнюю границу массы Галактики получим в предположении, что вся
масса ее находится в сфере с радиусом, равным расстоянию Солнца от центра Галактики.
Тогда круговая орбитальная скорость Солнца
GM
 1011 M C ,
r
где V  220 км / с  орбитальная скорость Солнца, G  гравитационная постоянная,
M  искомая масса Галактики, r  8,5 кпк  расстояние Солнца от центра Галактики,
M C  масса Солнца.
V
Действительная масса Галактики, по крайней мере, на порядок больше. Указание
на это дает анализ измеренных лучевых скоростей одиночных звезд, расположенных в гало Галактики.
Задача 20. Уширение линии
H  в спектре ядра сейфертовской галактики можно
объяснить эффектом Доплера, вызванным движением облаков газа:



V

c

Половина наблюдаемой ширины спектральной линии   15 A соответствует
максимальному смещению линии в красную (облако удаляется от наблюдателя) или в фиолетовую (облако приближается) часть спектра для облака, движущегося с наибольшей
скоростью вдоль луча зрения.
Эта скорость составляет V
c


 1000 км / с.
В нашей Галактике межзвездных облаков, движущихся с такими колоссальными
скоростями, нет, если не считать выбросов сверхновых на начальных этапах их разлета,
пока они еще не успели существенно затормозиться.
Критерии оценивания задач:
1.
Логическое обоснование решения на качественном уровне – 3 балла.
2.
Правильный вывод расчетных формул (с пояснениями) для вычисления требуемых величин –
3 балла.
3.
Верно вычисленные значения искомых величин – 2 балла.
4.
Максимальное количество баллов за каждую задачу – 8.