Факультативный курс по математике в 11 классе Конспект

Факультативный курс
по математике
в 11 классе
Конспект
итогового повторения
темы
«РАССТОЯНИЕ
МЕЖДУ
СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ
ПРЯМЫМИ»
МОУ СОШ № 10
г. Новороссийск
учитель математики
Волкова О.А.
Тема « Расстояние между скрещивающимися прямыми»
одна из самых трудных тем курса геометрии 10-11 класса. Для
успешного решения задач данной темы, учащиеся должны хорошо
знать свойства перпендикулярности и параллельности прямых и
плоскостей, определение расстояния между скрещивающимися
прямыми.
Отработка навыков нахождения расстояния между
скрещивающимися прямыми идет на моделях куба и правильной
пирамиды. Далее рассматриваются упражнения, лежащие в основе
многих
задач,
помогающие
учащимся
научиться
«видеть»
необходимое расстояние.
Во всех задачах скрещивающиеся прямые выделены синим и
красным цветами, а расстояние между ними – зеленым. Каждый
чертеж дается на экране в цвете, сначала условие, а после
обсуждения,
по
щелчку,
выводится
решение.
Наиболее
рационально вести показ на интерактивной доске: по ходу решения
на слайде можно делать дополнительные построения, заметки.
Уровень сложности задач постепенно наращивается.
Данный материал можно использовать и в курсе геометрии 10
класса по мере прохождения теоретического материала, т.к задачи
включают весь курс геометрии. Для увеличения плотности занятия,
учащиеся
приходят
необходимых
с
пирамид,
заготовленными
цветными
чертежами
карандашами.
куба
и
Количество
рассмотренных задач дано с избытком для повторения данной
темы, поэтому учитель может отбирать задачи в зависимости от
учебного времени и работоспособности класса.
1. Подготовительный
этап.
На доске дан чертеж куба и условия задач.
Доказать:
Задача 1. АА1 ║ (ВВ1С1)
Задача 2. DC ║ (AВC1D1)
Задача 3. АC  (ВВ1D1D)
Задача 4. DC 1  (A1D1CB)
Задача 5. DB 1  (AD1C)
Задача 6. CA 1  (C1BD)
Задача 7. ( АCD1 )║ (A1 ВС1)
Задача 8. ( АCD1 ) и (A1 ВС1) делят диагональ В1D на три равные части.
Учащиеся на заготовленных чертежах решают задачи с помощью
цветных карандашей и сверяют с цветным чертежом на экране. Если
учащиеся предлагают другое решение, они на носятся на слайд.
Для Задачи 5, Задачи 6 и Задачи 8 на доске заготовлены чертежи с
наводящими вопросами. Все задачи обсуждаются фронтально.
2. Далее на чертеже отрабатывается
основное
определение расстояния между
скрещивающимися прямыми a и b.
CD является общим перпендикуляром
к прямым a и b;
частные случаи
нахождения расстояния между
скрещивающимися прямыми
а)
Пусть  ║ 
a  ; b 
A   ; AB  
B
AB   a; b
б)
AB   ; CD  
1)
AB   
  AB  CD
CD   
2) проводим OF  CD
OF
–
перпендикуляр
К АВ и CD
OF    AB; CD
,
общий
3. Решение базовых задач.
Задачи на кубе
На доске записаны задачи следующего этапа и чертеж куба.
а). НАЙТИ :
Задача на кубе 1.
Задача на кубе 2.
Задача на кубе 3.
Задача на кубе 4.
Задача на кубе 5.
Задача на кубе 6.
Задача на кубе 7.
Задача на кубе 8.
Задача на кубе 9.
Задача на кубе 10.
Задача на кубе 11.
где E   A1B ; F  AC
Задача на кубе 12.
, если АМ=МО
Задача на кубе 13.
P  DC , DP  PC
Учащиеся решают задачи на заготовленных чертежах, с помощью цветных
карандашей и сверяют решения с чертежом в цвете.
1. Найти
2. Найти
3. Найти
4. Найти
5. Найти
6. Найти
случай б)
см. (задача 4 и частные
7. Найти
случай б)
см. (задача 4 и частные
8. Найти
9. Найти
(см. задача 8)
10. Найти
(см. задача 8)
11. Найти
где
12. Найти
, если АМ=МО
E   A1B 
;
F  AC
13. Найти
P  DC
,
DP  PC
Задачи на правильных пирамидах,
все ребра которых равны а
НАЙТИ:
Задача на пирамидах 1.
Задача на пирамидах 2.
Задача на пирамидах 3.
, где BK  KC
Задача на пирамидах 4.
Задача на пирамидах 5.
Задача на пирамидах 6.   AC; SB
Задача на пирамидах 7.   AC; SF  , где OF  FB
Задача на пирамидах 8.   AC; SN 
Задача на пирамидах 9.
Задача на пирамидах 10.
Задача на пирамидах 11.
Задача на пирамидах 12.
1. Найти
2. Найти
3. Найти
4. Найти
5. Найти
, где
BK  KC
6. Найти
7. Найти
, где OF  FB
8. Найти
9. Найти
Дано:
AB=AC=BC=AD=a
AD  (ABC)
 DC; AB -?
1) Проведем CF || AB и CN  AB
2) Построим AF||NC
3) Получим DF  CF по теореме о
трех перпендикулярах.
4)
CF  DCF 
   ADF   DCF 
5)
CF   ADF 
AB || CF 
  AB || DCF 
6)
CF  DCF 
AM  DF
7)

 AM  DCF 
 ADF   DCF   DF 
8)
AM   DC; AB
AB  AD
AB   ADF 

AB  AF  CF   ADF 
10.Найти
-
расстояние
между
скрещивающимися высотами граней правильного тетраэдра с
ребром а.
а) Первое решение
1)Проведем ME||BD; тогда (SME)||BD
2) Построим OK  ME;  ME  SK  ME  SOK   SOK   SME 
3)  BD; SM  OP 
4) SO  SB 2  OB 2  a 2 
5) SK  SO 2  OK 2 
6) sin  
a2

3
2a 2 a 2


3
16
2a 2

3
6a 2 a 6

9
3
35a 2 a 35

48
4 3
SO a 6  4 3 4 18 PO



SK
3a 35
3 35 OK
OP  OK  sin  
a  4 18
a 2  9  35
a 70


3  35
35
4  3 35
б) Второе решение Найти
1) Проведем СH||BD, получим (SCH)||BD;
2) Строим NO1  BD; и O1L  CH  NL  CH  NO1L  CH  NO1L  CNH 
3) O1F  NL ;  BD; CN   O1F
1
a 6
SO 
2
6
a
O1L 
2
4) NO1 
NL  NO1  O1L 
a2 a2
5a 2 a 15



6
4
36
6
5) sin  
O1F 
NO1
a 6 6
6
OF OF


 1  1
a
NL 6  a 15
15 O1L
2
a 6
a 2 a 10 a 10



25
10
2 15 2 5
В). Задачи для домашней работы с последующей проверкой в
классе.
12. Найти
-
задача, предлагаемая на ЕГЭ в 2003
году. Прямая AD перпендикулярна плоскости правильного
треугольника АВС со стороной 3 2 . Найти расстояние между
прямыми АС и BD, если AD = 3 3 .
AD   ABC 
AB  AC  BC  3 2
AD  3 3
  AC; BD 
Ответ: 3
№ 527. Геометрия 10-11. Атанасян Л.С. и др.
Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра.
Радиус оснований цилиндра равен r, его высота равна h, а
расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d.
Найти: 1) h, если r = 10, d = 8, AB = 13.
2) d, если h = 6, r =5, АВ = 10
1) Проведем образующие АА1 и ВВ1, построим плоскость
(А1ВВ1А).
2) Т.К. образующие параллельны оси цилиндра ОО1, то (А1ВВ1А)║
ОО1. (А1ВВ1А) и ОО1 перпендикулярны основаниям цилиндра.
3) Из точки О1 проведем O1D  А1В,
O1D – общий перпендикуляр к (А1ВВ1А) и ОО1.
4) Далее решается равнобедренный треугольник О1АВ1.
4.Подводим итоги.
1. При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми
проще использовать частные случаи нахождения расстояния –
ищем частный случай на чертеже.
2. Если нужно найти  a, b, то строим плоскость  ,параллельную
прямой а так, чтобы в   и ищем длину перпендикуляра из любой
точки прямой а на  , чаще всего это будет высота треугольника.
3.
Расстояние
между
диагональю
куба
скрещивающейся с ней диагональю грани равно
с
ребром
a 6
6
.
а
и
4. Расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных
граней куба с ребром а равно
a 3
3
.
5. Расстояние между скрещивающимися высотами правильного
тетраэдра равно
a 10
10
или
a 70
35