ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ И ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА

ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ И ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА»
МОДУЛЬ 1. Математический анализ
1. Общее понятие функции. Способы задания функций.
2. График функции. Основные свойства функций.
3. Понятия явной, неявной, обратной, сложной функций.
4. Основные элементарные функции и их свойства.
5. Классификация функций.
6. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
7. Пределы функции в точке и в бесконечности.
8. Бесконечно малые величины и их свойства.
9. Бесконечно большие величины и их свойства.
10. Основные теоремы о пределах.
11. Признаки существования пределов.
12. Применение замечательных пределов для вычисления пределов.
13. Непрерывность функции.
14. Классификация точек разрыва.
15. Свойства функций непрерывных в точке.
16. Свойства функций непрерывных на отрезке.
17. Определение производной. Механический и геометрический смысл производной.
18. Непрерывность и дифференцируемость.
19. Правила дифференцирования функций.
20. Производная обратной функции.
21. Производная сложной функции.
22. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
23. Правила дифференцирования.
24. Дифференциал сложной функции.
25. Применение дифференциала для приближенных вычислений.
26. Производные высших порядков.
27. Физический смысл второй производной.
28. Дифференциалы высших порядков.
29. Правило Лопиталя.
30. Возрастание и убывание функции. Теорема о монотонности функции.
31. Экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.
32. Первое достаточное условие существования экстремума.
33. Второе достаточное условие существования экстремума.
34. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
35. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
36. Асимптоты кривой.
37. Формула Тейлора.
38. Первообразная функции и неопределенный интеграл.
39. Свойства неопределенного интеграла.
40. Замена переменной интегрирования в неопределенном интеграле.
41. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
42. Определенный интеграл. Задачи, использующие определенный интеграл.
43. Свойства определенного интеграла.
44. Формула Ньютона-Лейбница.
45. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
46. Теорема о среднем.
47. Замена переменной в определенном интеграле.
48. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
49. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и их сходимость.
50. Вычисление площади плоских фигур и объема тел.
МОДУЛЬ 2. Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1. Векторы, координаты вектора, длина вектора, направляющие косинусы. Коллинеарные
и компланарные векторы.
2. Операции над векторами: умножение на число, сложение, вычитание.
3. Проекция вектора на ось и его свойства.
4. Скалярное произведение векторов, его свойства.
5. Векторное произведение векторов, его свойства. Геометрический смысл векторного
произведения.
6. Смешанное произведение векторов, его свойства. Геометрический смысл смешанного
произведения.
7. Выражение векторного и смешанного произведений векторов через координаты
сомножителей.
8. Матрицы: определение, размерность. Разновидности матриц. Отношение равенства
матриц.
9. Операции над матрицами: умножение на число, сложение, вычитание, умножение.
10. Основные свойства операций над матрицами. Транспонированные матрицы и их
свойства.
11. Определители 2-го и 3-го порядков, алгоритмы их вычисления.
12. Миноры и алгебраические дополнения к элементам определителей.
13. Определители квадратных матриц n-го порядка. Алгоритм вычисления определителя
(теорема Лапласа).
14. Свойства определителей.
15. Теорема об определителе произведения квадратных матриц.
16. Обратная и присоединенная матрицы, порядок их получения.
17. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы и их использование при
вычислении ранга матрицы.
18. Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матриц.
19. Теорема о ранге матриц.
20. Системы линейных уравнений. Решение СЛУ. Совместные и несовместные СЛУ,
определенные и неопределенные СЛУ.
21. Матричная форма записи и матричное решение систем линейных уравнений.
22. Системы линейных уравнений, их решение с помощью формул Крамера.
23. Системы линейных уравнений, их решение с помощью метода Гаусса.
24. еоремы о существовании тривиального и нетривиального решений линейной
однородной системы уравнений.
25. Фундаментальное и общее решения линейной однородной системы уравнений.
26. Теорема Кронекера-Капелли.
27. Разложение вектора по системе векторов.
28. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.
29. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
30. Векторная форма СЛУ.
31. Общее решение СЛУ в векторной форме.
32. Решение векторного уравнения путем нахождения обратной матрицы.
МОДУЛЬ 3. Методы линейного программирования, оптимизации и управления
1. Общая постановка задачи оптимизации.
2. Условия экстремума в задачах без ограничения.
3. Условия экстремума в задачах с ограничениями.
4. Постановка задачи линейного программирования.
5. Этапы математического моделирования.
6. Прикладные задачи линейного программирования.
7. Стандартные формы представления ЗЛП.
8. Геометрическая интерпретация ЗЛП.
9. Свойства ЗЛП.
10. Симплекс-метод.
11. Выбор начального допустимого базисного решения в ЗЛП.
12. Признаки оптимальности решения и отсутствия оптимального решения в симплексметоде.
13. Метод искусственного базиса.
14. Виды математических моделей двойственных задач. Общие правила составления
двойственных задач.
15. Теоремы двойственности в линейном программировании.
16. Двойственные методы в линейном программировании.
17. Постановка задач нелинейного программирования.
18. Геометрическая интерпретация ЗНЛП.
19. Задачи квадратичного программирования.
20. Градиентные методы решения ЗНЛП.
21. Постановка задачи динамических процессов.
22. Многошаговые процессы принятия решений.
МОДУЛЬ 4. Теория вероятностей и математическая статистика
1. Предмет и задачи курса Теория вероятностей. Классификация событий.
2. Основные понятия. Определения вероятности.
3. Свойства вероятности.
4. Основные формулы комбинаторики.
5. Сумма случайных событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
6. Полная группа событий. Теорема о сумме вероятностей событий, образующих полную
группу.
7. Противоположные события. Теорема о сумме вероятностей
противоположных
событий.
8. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.
9. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
10. Теорема о вероятности появления хотя бы одного события.
11. Совместные события. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
12. Формула полной вероятности.
13. Вероятности гипотез. Формулы Бейеса.
14. Формула Бернулли.
15. Интегральная теорема Лапласа.
16. Виды случайных величин.
17. Способы задания дискретной случайной величины.
18. Биномиальное распределение.
19. Распределение Пуассона.
20. Числовая характеристика дискретных случайных величин: математическое ожидание.
Его свойства.
21. Числовая характеристика дискретных случайных величин: дисперсия. Его свойства.
22. Числовая характеристика дискретных случайных величин: среднее квадратическое
отклонение. Его свойства.
23. Функция распределения вероятностей случайных величин.
24. Плотность распределения вероятностей непрерывных случайных величин.
25. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
26. Равномерное распределение случайных величин.
27. Нормальное распределение случайных величин.
28. Показательное распределение случайных величин.
29. Закон больших чисел.
30. Значение теорем закона больших чисел для математической статистики.
31. Генеральная и выборочная совокупности.
32. Объемы и типы выборок.
33. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.
34. Полигон и гистограмма.
35. Статистические оценки параметров распределения: несмещенные, смещенные,
эффективные, состоятельные.
36. Генеральная и выборочная средние.
37. Генеральная и выборочная дисперсии.
38. Несмещенность выборочной средней.
39. Начальный и центральный эмпирические моменты.
40. Точечная и интервальная оценки. Доверительный интервал.
41. Метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения.
42. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального
распределения.
43. Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения нормального
распределения.
44. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий согласия
Пирсона.
45. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
46. Зависимые и независимые случайные величины. Необходимые и достаточные условия
независимости случайных величин.
47. Ковариация (корреляционный момент). Теоремы о корреляционных моментах двух
случайных величин.
48. Коррелированность и зависимость случайных величин.
49. Линейная среднеквадратическая регрессия.
50. Линейная корреляционная зависимость случайных величин.