Прохождение света через сферическую границу раздела

ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ СФЕРИЧЕСКУЮ ГРАНИЦУ
РАЗДЕЛА
1.1 Отражение и преломление на сферической границе
Сформулированные выше законы поведения света носят общий
характер. Полезно для упрощения решения практических задач рассмотреть
поведение света и построение изображений на неплоских, в частности,
сферических границах раздела.
Пусть свет от точечного источника S падает
на сферическую границу раздела двух сред  с
показателями преломления n1 и n2, где n2 > n1
(рис. 2.1). Индексация определяет порядок
прохождения сред, (луч падает на границу раздела
из первой среды и проходит во вторую). Ход
лучей через эту границу построен по общим
Рис. 2.1.
законам геометрической оптики. Изображение S
получено как точка пересечения двух лучей
исходящих из точки предмета S. Линия SS´, по которой идет луч,
проходящий границу раздела  по перпендикуляру, носит название главной
оптической оси системы. Точка K – вершина поверхности , точка О –
центр кривизны этой поверхности.
Уточним условия (или ограничения), при которых рассматривается
преломление света на сферической границе раздела.
а) пучки гомоцентрические;
б) изображения стигматические;
в) пучки параксиальные – это означает, что углы  и ´ малы, так, что
можно считать равными отрезки SK  SA и AS´  KS´.
Без этих условий мы не получим четких изображений, будут иметься
искажения или аберрации, речь о которых пойдет далее (см. раздел 2.6).
Правило знаков
При выводе выражения, связывающего положения изображения и самой
точки предмета, будем пользоваться правилом знаков: поставив предмет по
одну сторону преломляющей поверхности, выбираем направление хода
лучей через систему. Отсчет отрезков (расстояние от предмета до границы
раздела, расстояние до изображения от границы раздела, радиус кривизны
границы раздела) производится от преломляющей поверхности в сторону
окончания отрезка. Если направление отсчета совпадает с направлением хода
луча через систему, то такой отрезок считается положительным, если
направление отсчета противоположно ходу луча через систему – такой
отрезок отрицателен. Показатели преломления сред, разделенных
преломляющей поверхностью, тоже имеют знаки. Если после границы
раздела луч продолжает идти в том же направлении, то для него и первая
среда и вторая имеют положительные показатели преломления. Для
рисунка 2.1 показатели преломления сред положительны. Если лучи
проходят систему против выбранного направления (например, отражаются),
то для них показателям преломления соответствующих сред приписываются
отрицательные значения.
Учитывая условия (а-в) и правило знаков, обозначим SK  SA =  а1,
AS´  KS´ = а2 и AO  KO = R (радиус сферической поверхности). Написав
закон преломления на границе раздела, и решая задачу геометрически,
получим выражение:
 1 1
 1 1
n1     n2     Q .
(2.1)
a
R
a
R
 1

 2

1 1 
n   при
a R
преломлении сохраняет свою величину Q. Его называют инвариантом Аббе.
Для расчетов этот инвариант удобнее записать в виде
n2 n1 n2  n1
.
(2.2)
 
a2 a1
R
Последнее
выражение
показывает,
что
произведение
Это выражение носит название формула сферической преломляющей
поверхности. Она позволяет однозначно определить положение
изображения, если известно положение предмета и наоборот. Правая часть
этого равенства не зависит от положения предмета и его изображения, а
определяется только свойствами самой оптической системы, и носит
название оптическая сила (D) сферической преломляющей поверхности.
n n
(2.3)
D 2 1
R
Пользуясь установленным выше правилом знаков, можно выяснить,
какие изображения получаются в случае выпуклой (R>0) и вогнутой (R<0)
поверхностей. Точно так же в зависимости от того, будут ли а1 и а2 иметь
разные знаки или одинаковые, мы будем иметь случаи, когда изображение
располагается с противоположной по сравнению с источником стороны
преломляющей поверхности или лежит по одну сторону ним. В первом
случае (а2 > 0) точка, именуемая изображением, есть действительно точка
пересечения преломленных лучей. Такое изображение называется
действительным (см. рис. 2.1). Во втором случае (а2 < 0), очевидно,
преломленные
лучи,
идущие
во
второй
среде,
остаются
расходящимися
и
реально
не
пересекаются. В этом
случае
название
изображения относится
Рис. 2.2.
к той воображаемой точке, которая представляет собой место пересечения
предполагаемого продолжения преломленных лучей. Такое изображение
называется мнимым.
Помимо оптической силы сферической преломляющей поверхности
данную оптическую систему характеризуют постоянные величины
называемые фокусными расстояниями. Точкой переднего фокуса F по
определению называется точка на оптической оси, в которую надо поместить
предмет, чтобы после преломления на сферической преломляющей
поверхности изображение находилось на бесконечности (рис. 2.2а).
Расстояние f1 от поверхности  до точки первого фокуса называется
передним фокусным расстоянием и определяется из выражения (2.2) при
условии а2 =  как:
nR
n
(2.4)
f1  a1   1
 1.
n2  n1
D
Точкой заднего фокуса F’ по определению называется точка на
оптической оси, куда после преломления на сферической преломляющей
поверхности соберутся лучи от предмета, находящегося на бесконечности
(рис. 2.2б). Расстояние f2 от поверхности  до точки заднего фокуса
называется задним фокусным расстоянием и определяется из
выражения (2.2) при условии а1 = :
n R
n
(2.5)
f 2  a2  2
 2.
n2  n1 D
В данном случае . точки фокусов лежат по разные стороны сферической
границы раздела и, в соответствии с правилом знаков, переднее фокусное
расстояние отрицательно, а заднее – положительно. Как видно,
f 2 f1   n2 n1 , т. е соответствующие фокусные расстояния прямо
пропорциональны показателям преломления сред, в которых они
расположены.
Сферическое зеркало
Практическим важным случаем является отражение света от
сферического зеркала. Например: если границу раздела на рисунке 2.2
сделать зеркальной (это будет выпуклое сферическое зеркало), то при
попадании луча на границу раздела, зеркало отражает луч обратно в среду с
показателем преломления n1. Для луча отраженного показатель преломления
второй среды n2 =  n1 и выражение (2.3) будет иметь вид:
n n
2n
(2.6)
D 1 1  1.
R
R
Очевидно,
что
для
сферического
зеркала
f1  f 2  R 2 .
Случаи вогнутого и
выпуклого
зеркала
Рис. 2.3.
отличаются лишь знаком R. Легко видеть, что фокус вогнутого зеркала 
действительный, а фокус выпуклого зеркала  мнимый (рис. 2.3).
Примеры построения изображений в зеркалах приведены на рис. 2.4 а–е.
Во всех случаях использованы те лучи, ход которых легко определить. Для
вогнутого зеркала луч, идущий параллельно оптической оси, после
отражения проходит через фокус зеркала; луч, прошедший через фокус,
отражается параллельно оптической оси; луч, попавший в вершину зеркала,
отражается под тем же углом к оптической оси; луч, прошедший через центр
кривизны, отражается обратно. Аналогично выполняется построение для
выпуклого зеркала, но в этом случае через фокус или центр кривизны
проходят продолжения лучей.
Рис. 2.4.
Плоское зеркало может рассматриваться как частный случай
сферического зеркала. У плоской поверхности радиус кривизны R   , и
оптическая сила D = 0, а по формуле сферической преломляющей
поверхности (2.2), учитывая, что n2 =  n1, получим: a2 = – a1. Это еще раз
подтверждает сделанный ранее вывод: изображение предмета в плоском
зеркале мнимое, равное и симметрично расположенное.
Линейные и угловые характеристики изображений
Рис. 2.5.
Рис. 2.6.
Построим
изображение
маленькой части сферы SC ,
полученное при прохождении
лучей через границу раздела.
Отметим
точку
S,
сопряженную точке S, и точку
C сопряженную точке С
(рис. 2.5). Если отрезки SC и
SC очень малы, то вместо
самих дуг, как элементов
сферы, в расчет можно брать
аппроксимирующие их хорды (элементы плоскости).
Используя свойства параксиальных гомоцентрических пучков, можно
построить изображение небольших протяженных предметов при
преломлении на сферической поверхности. Плоскость предмета SC и
плоскость его изображения SC называются плоскостями, сопряженными
по отношению к данной оптической системе.
Поставив предмет SC перпендикулярно главной оптической оси,
получим изображение SC (рис. 2.6). Обозначим длину отрезка SC через y,
отрезка SC – через y. Отношение размера изображения к размеру предмета
носит название линейного или поперечного увеличения:
V  y  y  S C  SC .
(2.7)
Приписывая SC и SC знаки (как обычно), получим, что увеличение
положительно, если изображение прямое, и отрицательно, если
изображение перевернутое.
Для малых SC и SC находим:
n a
(2.8)
V  1 2.
n2 a1
У преломляющей системы показатели преломления n1 и n2 всегда
положительны, так что знак увеличения определится знаком отношения а2
/а1. Для расположения изображения и предмета, соответствующего рис. 2.6,
отрезки а1 и а2 имеют разные знаки, т. е. V отрицательно, а изображение
перевернутое; для мнимых изображений  наоборот.
Сопряженные плоскости называются главными, если для них V = 1, т. е.
изображение получается прямым и в натуральную величину объекта.
Оптическая система из одной преломляющей поверхности представляет
собой вырожденный случай: главные плоскости совпадают между собой и
представлены плоскостью H, касательной к сфере в точке K (рис. 2.6), т. е.
а1 = а2 = 0. Соответственно и фокусные расстояния сферической поверхности
следует считать расстояниями от этой единственной главной плоскости до
фокусов.
Углы  и  на рис. 2.6 определяют максимальное раскрытие (апертуру)
пучков, падающих на поверхность  (угол 2), и сопряженных им
изображающих пучков (угол 2). Предельное значение этих углов
определяется требованием соблюдения условий параксиальности. При
выполнении условий параксиальности без искажения передается
изображение не только точки, но и небольшого предмета, расположенного
около оси оптической системы. Оправа линзы или другое отверстие,
ограничивающее углы  и , называется апертурной диафрагмой.
Для параксиальных лучей имеет место соотношение
y n1  y n2 ,
(2.9)
носящее название теоремы ЛагранжаГельмгольца.
При использовании пучков со значительной апертурой получение
четких изображений возможно лишь при выполнении условия
y n1 sin   y n2 sin 
(2.10)
(условие синусов Аббе). Для параксиальных лучей углы  и  малы, так что
условие Аббе переходит в уравнение (2.9).
Условие ЛагранжаГельмгольца или условие синусов налагает
ограничение на свободу преобразования световых пучков при помощи
оптических систем, связывая апертуру и размер предмета с апертурой и
размером изображения. Из него вытекает, что преобразование данного
оптического пучка при помощи оптической системы в другой пучок любого,
наперед заданного строения невозможно. Строение преобразованного пучка
может быть только таким, какое допускает условие ЛагранжаГельмгольца.
Это важное принципиальное ограничение приобретает особое значение
в вопросах фотометрии и концентрирования лучистой энергии при помощи
оптических систем.
Центрированная оптическая система
Преломление на одной сферической границе раздела двух сред
используется сравнительно редко. Большинство реальных преломляющих
систем содержит, по крайней мере, две преломляющие поверхности (линза),
или большее их количество.
Система
сферических
поверхностей
называется
центрированной, если центры
всех поверхностей лежат на
одной
прямой,
которая
называется
главной
оптической осью системы
Рис. 2.7.
(рис. 2.7).
В центрированной оптической системе при произвольном числе
преломлений на границах раздела гомоцентрический параксиальный пучок
остается гомоцентрическим и дает стигматическое изображение.
Изображение малых отрезков происходит аналогично тому, как это
происходит на одной преломляющей поверхности. В центрированной
системе имеет место наличие двух фокусов и двух фокальных плоскостей
установленное для одной поверхности, а также сохраняет силу теорема
ЛагранжаГельмгольца:
y1 n11  y2 n2 2  y3 n33  
(2.11)
Для центрированной оптической системы сохраняет смысл и понятие
главных плоскостей, как таких сопряженных плоскостей, в которых объект и
изображение имеют одинаковые величину и направление. Но в то же время
если для одной преломляющей сферической поверхности обе главные
плоскости сливались в одну, касающуюся ее вершины, то для
центрированной системы эти две плоскости уже не совпадают. Фокусные
расстояния системы, так же как в случае одной сферической поверхности
рассчитываются как расстояния от соответствующей главной плоскости до
фокуса.
1.2 Преломление света в линзе. Формула тонкой линзы
Простейший случай центрированной системы, состоящей всего из двух
сферических поверхностей, отделяющих какой-либо прозрачный, хорошо
преломляющий материал от окружающей среды, имеет очень большое
значение. Такая система представляет собой линзу и играет важную роль во
многих оптических приборах.
Линза называется тонкой, если расстояние между вершинами
сферических поверхностей, ограничивающих ее, мало по сравнению с
радиусами кривизны поверхностей. Для тонкой линзы можно считать
вершины преломляющих поверхностей совпадающими в одной точке,
которая носит название оптического центра линзы. Любой параксиальный
луч, проходящий через точку оптического центра, практически не
испытывает преломления. Действительно, для таких лучей участки обеих
поверхностей линзы можно считать параллельными, так что луч, проходя
через них, не меняет направления, но лишь смещается параллельно самому
себе (преломление в плоскопараллельной пластинке), а так как толщиной
линзы можно пренебречь, то смещение это ничтожно и луч практически
проходит без преломления. Луч, проходящий через центр, называется осью
линзы. Та из осей, которая проходит через центры кривизны обеих
поверхностей, называется главной, остальные  побочными.
Выражение, связывающее положение предмета и его изображения в
линзе (формула линзы) может быть выведена, если рассматривать два
Рис. 2.8.
последовательных преломления лучей на каждой из границ раздела (рис. 2.8).
Первая (по ходу луча) преломляющая поверхность дает изображение
предмета А в точке С, которое, в свою очередь, является предметом для
второй по ходу луча поверхности. Окончательное изображение предмета А в
линзе  точка В. Представленное ниже выражение было получено при тех же
ограничениях, которые мы ввели при преломлении на одной сферической
границе раздела сред. Условия: гомоцентричность пучков, стигматичность
изображений, параксиальность и правило знаков. Главные плоскости тонкой
линзы совпадают и проходят перпендикулярно главной оптической оси в
оптическом центре, поэтому расстояния от предмета и изображения
отсчитываются от оптического центра линзы (а1 и а2). Показатель
преломления линзы обозначим nл, показатель преломления однородной
среды, в которой (будем считать) находится линза – nср. R1 – радиус кривизны
первой по ходу луча сферической преломляющей поверхности, R2 радиус
второй. В этом случае формула линзы будет иметь вид:
nср nср
 1
1 

 ( nл  nср )  
(2.12)
a2
a1
R
R
 1
2
Выражение позволяет однозначно определить положение изображения,
если задано положение предмета. Правая часть равенства не зависит от
положения предмета и его изображения и определяется только свойствами
самой оптической системы. Первая скобка (nл – nср) определяет физические
параметры системы, а (1/R1 – 1/R2) – геометрические. По аналогии с
формулой сферической преломляющей поверхности, правая часть выражения
(2.12) названа оптической силой тонкой линзы:
(2.13)
D  (nл  nср )1 R1  1 R2  .
Легко показать, что оптическая сила тонкой линзы по сути есть сумма
оптических сил ее поверхностей. Действительно:
D1  nл  nср  R1; D2  nср  nл  R2 ; D  D1  D2
Измеряется оптическая сила линзы в диоптриях (дптр). 1 дптр  это
оптическая сила линзы, находящейся в воздухе, имеющей фокусное
расстояние в 1 метр.
Линза называется собирающей (положительной), если D > 0;
рассеивающей (отрицательной), если D < 0. В случае линзы
представленной на рис. 2.9: R1 > 0, а R2 < 0, тогда 1 R1  1 R2  1 R1  1 R2 и
оптическая сила такой линзы D > 0, если nл > nср. Таким образом, знак
оптической силы линзы определяется ее геометрическими параметрами и
соотношением показателей преломления сред.
Рис. 2.9.
Рис. 2.10.
На рис. 2.10 представлены линзы различной конфигурации. Если
nл > nср, то линзы под номерами 1, 2, 3 являются положительными, а под
номерами 4, 5, 6  отрицательными, если же nл < nср, то наоборот.
Рассматривая тонкую линзу, находящуюся в однородной среде, можно
ввести величины
f1  
f2 
nср
(nл  nср )1 R1  1 R2 
nср
( nл  nср )1 R1  1 R2 


nср
nср
D
и
,
(2.14)
D
определяющие положения точек главных фокусов этой оптической системы.
Они получены по аналогии с фокусными расстояниями сферической
преломляющей поверхности и, как видно, имеют разные знаки. Таким
образом, точки фокусов лежат по разные стороны от линзы (точка первого
фокуса  перед линзой, точка второго фокуса  за линзой по ходу луча), но
равны по абсолютной величине. Поэтому иногда, используя физический
жаргон, говорят о «фокусе» линзы (одном фокусном расстоянии).
Пример построения изображения в тонкой
линзе представлен на рис. 2.11. Здесь собирающая
(положительная) линза строит действительное,
перевернутое и уменьшенное изображение y
предмета y. Линейное (поперечное) увеличение,
даваемое тонкой линзой, рассчитывается точно
Рис. 2.11.
так же, как и для одной поверхности:
V  y y  a a .
(2.15)
Аналогично вышеизложенному, найдем, что для перевернутых
действительных изображений увеличение отрицательно, а для прямых
мнимых V > 0.
Величина и знак линейного увеличения для одной и той же линзы
зависят от расположения предмета. Если предмет расположен за двойным
фокусом собирающей линзы (рис. 2.12а), то его изображение оказывается
действительным, перевернутым и уменьшенным.
Если предмет находится в точке двойного фокуса, то изображение
становится равным, оставаясь действительным и перевернутым (рис. 2.12б).
При дальнейшем приближении предмета к линзе изображение постепенно
отдаляется, увеличиваясь в размерах, а при достижении предметом передней
фокальной плоскости – переносится в бесконечность (рис. 2.12в, г).
Рис. 2.12.
Расположение предмета между фокусом и линзой приводит к
формированию мнимого, прямого, увеличенного изображения (случай
увеличительного стекла или лупы, рис. 2.12д).
Отрицательная (рассеивающая) линза характеризуется существенно
меньшей вариативностью формируемых изображений: при любом
расположении предмета изображение получается мнимым, прямым и
уменьшенным (рис. 2.12е).
Если есть оптическая система, состоящая из нескольких сложенных
вместе тонких линз, находящихся в однородной среде (nср), то для
определения фокусного расстояния такой системы можно воспользоваться
выражением
(2.16)
f сист  nср Dсист ,
где Dсист определяется как сумма оптических сил каждой линзы в
отдельности, рассчитанных для той среды, в которой находится сама
система.
На рис. 2.13 изображена система двух линз,
собирающей и рассеивающей. Видно, что
оптическая сила собирающей линзы по модулю
больше, чем рассеивающей (ее фокусное
расстояние короче). Поэтому при их совмещении
друг с другом итоговая оптическая сила
оказывается
положительной:
Рис. 2.13.
D = D1+D2 >0.Естественно, что оптическая сила
такой системы меньше, чем у первой (собирающей) линзы, а фокусное
расстояние – больше.
Если в многолинзовой системе оптические элементы расположены на
конечных расстояниях друг от друга, то оптическая сила такой системы не
равна простой сумме оптических сил составляющих ее линз, а зависит от
расстояния между линзами L (см. ниже раздел 2.5):
D  D1  D2  D1D2 L .
1.3 Идеальные оптические системы
Тонкая линза как система двух центрированных поверхностей
представляет собой простейшую оптическую систему, дающую довольно
несовершенное изображение. В большинстве случаев мы прибегаем к
построению более сложных систем, характеризующихся наличием большого
числа преломляющих поверхностей и не ограниченных требованием
близости этих поверхностей (тонкости линзы).
В 1841 году Гаусс дал общую теорию оптических систем, получившую
дальнейшее развитие в трудах многих математиков и физиков. Теория Гаусса
 теория идеальной оптической системы, т. е. системы, в которой
сохраняется гомоцентричность пучков и изображение геометрически
подобно предмету. Согласно этому определению всякой точке пространства
объектов соответствует в идеальной системе точка пространства
изображений; эти точки носят название сопряженных. Точно так же каждой
прямой или плоскости пространства объектов должна соответствовать
сопряженная прямая или плоскость пространства изображений. Иными
словами, теория идеальной оптической системы  чисто геометрическая
теория, устанавливающая соотношение между точками, линиями,
плоскостями.
Изложенное в разделе 2.1 показывает, что идеальная оптическая система
может быть осуществлена с достаточным приближением в виде
центрированной оптической системы, если ограничиться областью вблизи
оси симметрии, т. е. параксиальными пучками. В теории Гаусса требование
тонкости системы отпадает, но лучи по-прежнему предполагаются
параксиальными. Нахождение физической системы, которая приближалась
бы к идеальной даже при пучках значительного раскрытия, есть задача
прикладной геометрической оптики.
Линия, соединяющая центры кривизны сферических поверхностей,
представляет собой ось симметрии центрированной системы (рис. 2.14  ось
ОО) и называется главной оптической осью системы. Теория Гаусса
устанавливает ряд так называемых кардинальных точек и плоскостей,
задание которых полностью описывает все свойства оптической системы и
позволяет пользоваться ею, не строя реального хода лучей в системе.
Рассматривая,
чисто
геометрически,
сопряженные друг другу лучи, проходящие
через центрированную оптическую систему
(рис. 2.14), получим, что любой точке на
проекции плоскости Н1 найдется сопряженная
точка на проекции плоскости Н2, например, R1 и
R2. К тому же А1R1 =А2R2, т. е. увеличение:
Рис. 2.14.
V = A2R2 / A1R1=1.
Таким образом, плоскости Н1 и Н2 перпендикулярные к главной
оптической оси изображаются друг в друге прямо и в натуральную величину
и называются, как уже отмечалось в разделе 2.1, главными плоскостями.
Точки А1 и А2 пересечения главных плоскостей с осью носят название
главных точек системы. Расстояния от главных точек до фокусов
называются фокусными расстояниями системы (на рис. 2.14  расстояния
Рис. 2.15.
f). На рис. 2.15 показаны примеры определения фокусных расстояний в
толстой линзе, частном случае простейшей центрированной оптической
Рис. 2.16.
системы.
Главные плоскости и главные точки могут лежать как внутри так и вне
системы (рис. 2.16), совершенно несимметрично относительно поверхностей,
ограничивающих систему, например даже по одну сторону от нее. Поскольку
фокусные расстояния центрированной системы отсчитываются от главных
плоскостей расстояния от точек фокусов до поверхностей, ограничивающих
систему, могут быть различны (пример: линзы-мениски на рис. 2.16, третья и
шестая).
Две фокальные плоскости, две главные плоскости и точки их
пересечения с главной оптической осью системы носят название
кардинальных плоскостей и точек системы. Используя свойства этих
Рис. 2.17.
кардинальных точек, можно строить изображение предмета в толстой линзе,
находящейся в однородной среде, не рассматривая прохождение этих лучей
внутри линзы. Примеры таких построений приведены на рис. 2.17.
1.4 Матричное описание оптических систем
Траектория любого луча, проходящего через оптическую систему,
представленную набором преломляющих поверхностей, состоит из отрезков
прямых линий. В приближении гауссовой оптики каждый меридиональный
луч, т. е. луч, лежащий в одной плоскости с оптической осью системы Z,
можно задать двумя параметрами. Этими
параметрами являются: высота y, на которой этот
луч пересекает некоторую заранее выбранную
опорную плоскость (ОП) z = const и угол  между
лучом и оптической осью (рис. 2.18). Для
проведения
расчетов
оказывается
удобнее
заменить
угол 
соответствующим
ему
Рис. 2.18
параметром n (или, точнее говоря, nsin).
Для исследования поведения луча при прохождении оптической
системы необходимо рассмотреть только два основных процесса:
 Перемещение между двумя преломляющими поверхностями –
оптический промежуток. Луч просто проходит по прямой линии от одной
поверхности к другой. Область между поверхностями характеризуется ее
толщиной l и показателем преломления среды n.
 Преломление на сферической границе раздела радиуса R между
областями с показателями преломления n1 и n2.
Преобразование параметров y и n луча при переходе от одной опорной
плоскости к другой в параксиальном приближении линейно и имеет вид
 y 2  Ay 1  Bn11
.

n2 2  Cy1  Dn11
Это преобразование можно записать в матричной форме:
 y 2   A B  y 1 
(2.17)


.

 n2 2   C D  n11 
Таким образом, каждому элементу оптической системы можно
сопоставить свою матрицу преобразования лучей. Для того, чтобы получить
общую матрицу преобразования лучей, описывающую оптическую систему в
целом, нужно просто перемножить в правильной последовательности все
матрицы перемещений, преломлений и отражений, встречающиеся в системе.
Очевидно, что при прохождении луча через оптический промежуток
угол наклона  остается постоянным, а высота изменяется по закону
y2 = y1+ tg (рис. 2.18). Переходя от угла наклона к параметру n и
учитывая, что в параксиальном приближении tg  , находим, что
преобразование параметров луча оптическим промежутком можно описать
матрицей
1 l n 
T= 
(2.18)
,
0
1


где L = l /n –приведенная длина оптического промежутка:
 y 2   1 l n   y1 


.

 n2 2   0 1   n11 
Для нахождения матрицы преломления
выберем опорные плоскости ОП1 и ОП2 в
непосредственной близости от преломляющей
поверхности по обе ее стороны (рис. 2.19).
Расстояние между ними в параксиальном
приближении пренебрежимо мало, поэтому можно
считать, что луч пересекает обе плоскости на
одной высоте: y2 = y1. Для параметра n из
Рис. 2.19.
несложных геометрических преобразований с
учетом закона преломления получаем n2 = n1 –Dy1, где D – оптическая
сила преломляющей поверхности D  n2  n1  R , см. формулу 2.3. Таким
образом, матрица преломления имеет вид
 y   1 0   y1 
 1 0
R= 
,  2 
(2.19)
.


  D 1
 n2 2    D 1   n11 
Правило знаков позволяет распространить формулу (2.19) и на
сферические зеркала, заменив n2 на (–n1) и использовав для оптической силы
выражение (2.6).
Если произвольная оптическая система состоит из N элементов
(оптических промежутков и преломляющих поверхностей), то каждый из них
описывается своей матрицей преобразования Mm. Обозначив вектор
 ym 
луча
на


 nm  m 
m-й опорной плоскости, находящейся перед соответствующим элементом
через Km, получим рекуррентное соотношение: Km+1 = MmKm, аналогично
Km = Mm-1Km-1 и т. д. Отсюда находим, что для опорной плоскости ОПN+1,
находящейся на выходе из системы, KN+1 = MK1, где M– матрица
преобразования системы, представляющая собой произведение всех матриц,
взятых в обратном порядке:
M = MNMN-1MN-2…M1.
(2.20)
Так например, для толстой линзы в воздухе, представляющей собой
однородную среду толщиной l с показателем преломления n (стекло),
ограниченную сферическими поверхностями с радиусами кривизны R1 и R2,
получаем:
1  D1L
L 
 1 0 1 L  1 0 
M  R 2 TR1  







  D2 1   0 1    D1 1    ( D1  D2  D1D2 L) 1  D2 L 
.
Как и следовало ожидать, оптическая сила такой линзы не равна сумме
оптических сил составляющих ее поверхностей, а определяется как
D  D1  D2  D1D2 L . В частном случае тонкой линзы L0, матрица T
вырождается в единичную и общая матрица преобразования M имеет такой
же вид, как матрица R преломления на одной поверхности, но с оптической
силой D = D1+D2.
Отметим, что определители матриц T и R равны единице :AD – BC = 1.
Следовательно, будет равен единице и определитель матрицы для любой
оптической системы. Для того, чтобы лучше представить смысл элементов
матрицы преобразования A, B, C и D, рассмотрим, в каких случаях один из
элементов обращается в нуль.
 A = 0, следовательно y2 = Bn11. Это значит, что все лучи, входящие
в систему под одинаковым углом, пройдут через одну и ту же точку на
выходной плоскости ОП2 (рис. 2.20а). Следовательно, ОП2 является задней
фокальной плоскостью системы.
Рис. 2.20
 B = 0, следовательно y2 = Ay1. Все лучи, выходящие из точки S с
координатой y1 на плоскости ОП1, попадут в точку P с координатой y2 на
плоскости ОП2 (рис. 2.20б). Таким образом, точки S и P являются объектом и
изображением, а плоскости ОП1 и ОП2 – сопряженными плоскостями.
Величина A = y2 / y1 дает увеличение системы.
 C = 0, тогда n22 = Dn11. В этом случае все лучи, входящие в
систему параллельно друг другу под углом 1 к оптической оси, на выходе
дадут также параллельный пучок (рис. 2.20в). Оптическая система,
преобразующая параллельный пучок лучей в параллельный же, называется
афокальной или телескопической. Величина 2 /1 = n1D /n2 представляет
собой угловое увеличение системы.
 D = 0, при этом n22 = Cy1. Все лучи, выходящие из точки y1 входной
опорной плоскости, выйдут из системы под одинаковым углом (рис. 2.20г).
Следовательно, ОП1 – передняя фокальная плоскость системы.
 Если один из элементов A или D равен нулю, то условие AD – BC = 1
требует, чтобы BC = –1. Аналогично, если в нуль обращается B или C, то
AD = 1.
1.5 Глаз как оптическая система.
Не вдаваясь в строение глаза и физиологию зрения, рассмотрим, как
работает оптическая система глаза – хрусталик. Хрусталик представляет
собой прозрачное бесцветное тело, напоминающее двояковыпуклую линзу,
передняя поверхность которой менее выпуклая, чем задняя. Он состоит из
слоев различной плотности, имеющих волокнистое строение. Мышца глаза,
рефлекторно напрягаясь или расслабляясь, может менять кривизну
поверхностей хрусталика, главным образом, передней. Таким образом
осуществляется аккомодация, т. е. изменение оптической силы глаза,
позволяющее фокусировать изображение на сетчатке. Так как деформация
хрусталика может происходить только в определенных пределах, то для
всякого глаза существуют определенные границы, в пределах которых глаз
может отчетливо видеть предметы. Эти границы определяют так называемую
область аккомодации глаза. Наиболее отдаленная граница, которую глаз
может отчетливо видеть при ненапряженной мышце, называется дальней, а
ближайшая граница, которую он способен отчетливо видеть при
максимальном напряжении мышцы,  ближней точкой ясного видения. В
ненапряженном
состоянии
нормальный глаз аккомодирован на
рассмотрение бесконечно удаленных
предметов,
т. е.
он
собирает
параллельные лучи в точке сетчатки
(рис. 2.21а). Таким образом дальняя
точка
ясного
видения
для
нормального глаза находится в
бесконечности. В возрасте до десяти
лет ближняя точка нормального глаза
Рис. 2.21.
лежит на расстоянии 7…8 см от глаза.
К тридцати годам это расстояние увеличивается примерно до 15 см.
При приближении рассматриваемого предмета к глазу увеличивается
угол зрения, а с ним и размеры изображения на сетчатке. Это позволяет
рассмотреть более мелкие детали. Однако при максимально возможном
приближении усиливается напряжение мышцы, деформирующей хрусталик,
работа глаза становится утомительной. В случае нормального глаза
оптимальное расстояние для чтения и письма составляет около 25 см. Это
расстояние для нормального глаза и принимается условно за расстояние
наилучшего видения.
У близорукого глаза (рис. 2.21б) оба предела наилучшего видения
находятся ближе, а ближний предел дальнозоркого глаза  дальше, чем у
нормального глаза. Дальний предел дальнозоркого глаза всегда отрицателен,
т. е. дальняя точка ясного видения находится не спереди, а позади глаза (рис.
2.21в). Такой глаз в ненапряженном состоянии может собирать на сетчатке
только сходящиеся пучки лучей. У близорукого глаза в ненапряженном
состоянии параллельные лучи сходятся перед, а у дальнозоркого  за
сетчаткой.
Близорукость может быть обусловлена большей, а дальнозоркость 
меньшей длиной глаза по сравнению с длиной нормального глаза. Эти, а
также другие недостатки глаза могут возникать из-за неправильных значений
кривизны преломляющих поверхностей хрусталика и роговицы,
несимметричности этих поверхностей, неправильного положения хрусталика
и так далее.
С термином «дальнозоркий» ассоциируется ошибочное представление,
что дальнозоркость якобы дает возможность видеть далекие предметы.
Никакими преимуществами перед нормальным глазом, дальнозоркий не
обладает, так как вся область перед глазом, отчетливо видимая дальнозорким
глазом, отчетливо видна и нормальным глазом. Но область между ближними
точками ясного видения дальнозоркого и нормального глаза недоступна для
отчетливого рассматривания дальнозорким глазом. Примерно к 50-ти годам
из-за уплотнения хрусталика, теряющего возможность достаточно
сжиматься, появляется, так называемая, старческая дальнозоркость 
ближняя точка наилучшего видения удаляется от глаза на расстояние 50 см.
Читать на таком расстоянии уже трудно. В дальнейшем эта точка уходит еще
дальше.
Для того чтобы скорректировать зрение и позволить человеку читать с
расстояния наилучшего видения применяются очки для дальнозоркого глаза
с положительными (т. е. собирающими) линзами (рис. 2.21д), а для
близорукого  с отрицательными (т. е. рассеивающими) линзами(рис. 2.21г).
Положительные линзы приближают, а отрицательные отдаляют ближнюю
точку наилучшего видения.
1.6 Аберрации оптических систем
При рассмотрении построения изображений в идеальных оптических
системах был введен ряд ограничений (параксиальность), добиться
выполнения которых в реальных системах практически невозможно,
Поэтому важно упомянуть о погрешностях (аберрациях), возникающих в
реальных оптических системах, исправлением которых занимается
прикладная оптика.
Астигматизм  преобразование точечного (стигматического) фокуса в
две взаимно перпендикулярные фокальные линии a и b (рис. 2.22).
Астигматизм возникает, если центральный луч светового пучка идет под
большим углом к оптической оси
системы. При этом лучи, лежащие
в меридиональной плоскости, т. е.
плоскости, проходящей через
оптическую ось и центральный
луч (вертикальная плоскость на
рис. 2.22),
пересекаются
на
Рис.2.22.
горизонтальной фокальной линии a. Лучи же, лежащие в перпендикулярной
сагиттальной или экваториальной плоскости, пересекаются на
вертикальной фокальной линии b. Расстояние между фокальными линиями
z (астигматическая разность) возрастает по мере увеличения наклона пучка.
Астигматизм
может
быть
обусловлен
также
нарушением
гомоцентричности пучков при преломлении наклонных пучков или связан с
асимметрией фокусирующей системы (отклонением от сферы при
изготовлении фокусирующей оптики).
Погрешность, носящая название сферической аберрации, возникает при
нарушениях параксиальности падающих пучков и связана с тем, что
сферическая
преломляющая
поверхность, вообще говоря, не
обеспечивает
сохранения
гомоцентричности
пучка.
Продольная
сферическая
аберрация S=SS (размытие
точечного фокуса) представлена
на рис. 2.23. Параксиальные лучи
образуют изображение S, в то
время как лучи, идущие под
Рис. 2.23.
большими углами к оптической
оси и пересекающие линзу вблизи ее краев, преломляются сильнее и
формируют изображение S.
Величина S положительна для рассеивающей линзы и отрицательна
для собирающей, что позволяет предложить способ ее устранения.
Изготавливается
фокусирующая
система,
представляющая
собой
комбинацию положительной и отрицательной линз, сделанных из различных
сортов
стекла,
которая
рассчитывается
так,
чтобы
продольная
сферическая
аберрация равнялась нулю.
Если система исправлена на
сферическую
аберрацию
для
лучей, исходящих из точечного
объекта,
расположенного
на
оптической
оси,
то
такая
Рис. 2.24.
аберрация может сохраниться при
отображении внеосевых объектов. В этом случае изображение точки
принимает характерную форму, напоминающую запятую. Подобная
аберрация, приводящая к несохранению гомоцентричности внеосевых
пучков, называется комой. (Рис. 2.24).
Кома отсутствует у систем с исправленной сферической аберрацией,
если выполняется условие синусов Аббе (см. выше), что возможно лишь для
пары сопряженных плоскостей, называемых апланатическими.
Погрешность оптической
системы,
при
которой
увеличение неодинаково по
всему полю зрения носит
название дисторсия (рис. 2.25).
Если
линейное
увеличение
растет от центра к краям, то
изображение
квадрата
приобретает вид “подушки”, в
противном случае – форму
“бочки”.
В
отличие
от
рассмотренных
выше
аберраций, дисторсия приводит
Рис. 2.25.
не к ухудшению резкости, а к
искажениям геометрической формы изображения.
Еще одна важная погрешность оптических систем  хроматическая
аберрация, природа которой непосредственно связана с зависимостью
показателя преломления оптических материалов от длины волны, т. е. с
дисперсией вещества. Вследствие дисперсии фокусное расстояние зависит от
длины волны, что приводит к невозможности получить точечный фокус для
немонохроматического излучения. Прикладная оптика разработала ряд
методов устранения хроматической аберрации и создания ахроматических
объективов, в которых используются стекла с различным ходом
дисперсионной кривой.
Отметим, что зеркальные оптические системы, обладая теми же
геометрическими аберрациями, что и линзовые (сферической, астигматизмом
и т. д.), свободны от хроматической аберрации. Это обусловлено тем, что
закон отражения света, в отличие от закона преломления, не зависит от
показателей преломления сред.
Исправление всех аберраций  трудная, а иногда и невыполнимая
задача, требующая трудоемких и длительных расчетов и предъявляющая
высокие требования к технике изготовления оптических деталей. Обычно
исправляют лишь те погрешности, которые мешают решению конкретной
задачи.
Если исследователя интересует четкость изображения, образованного какойлибо оптической системой, и возможность раздельного наблюдения на нем
близких частей объекта, то требуется определить так называемую
разрешающую силу оптического инструмента. Это понятие непосредственно
связано с волновой природой света и наблюдением явления дифракции на
краях диафрагм. Оценка разрешающей силы отдельных оптических приборов
будет сделана в разделе дифракция света